Dann würde ich sagen, mit dem letzten Zustrom von Personen,
der gerade noch reingekommen ist, fangen wir an.
Oder setzen wir fort. Wir haben noch einen Teil Kontingenzanalyse
vor uns. Die Literatur ist immer noch die gleiche und
die Hausaufgabe steht auch schon seit drei Wochen dran.
Aber jetzt ist es eben die vom 13.01. Ich mache mich
jetzt nochmal für zehn Minuten aus dem Staub und möchte euch bitten,
in den zehn Minuten die Online-Evaluation für den Kurs auszufüllen.
Falls ihr euch jetzt fragt, ob ihr den Link da
oben abtippen müsst, müsst ihr nicht.
Ihr könnt einfach einen Open-O-Lub reingehen. Da ist eine
ganz frische Mitteilung. Da ist der Link drin.
Ich bin dann in acht bis neun Minuten
Dann steige ich ganz langsam in die heutige Vorlesung ein.
Und wir schauen nicht mehr zurück auf die vorletzte Woche,
also auf die Woche vor den Ferien,
sondern nur noch mal kurz in die letzte Woche,
weil wir uns da noch mal mit dem Thema Inferenz auseinandergesetzt haben.
Und nach meiner Vorstellung, das Ehe eines der etwas komplizierteren Themen ist,
also kann es ja nicht schaden, dann noch mal drauf zu schauen.
Ich hatte eingangs die Frage gestellt, die wir bei Mittelwerten und Regressionen
ja auch schon gestellt hatten, wie gehen wir überhaupt vor?
Also wir bauen Hypothesen, entweder Orientierungshypothesen,
gibt es überhaupt einen Zusammenhang zwischen X und Y und bei nominal skalierten Variablen,
ist das denn ja auch das einzige,
was wir machen können?
Oder Richtung Hypothesen beeinflusst XY in eine bestimmte Richtung?
Das gilt dann vor allem für die Daten,
mit denen wir uns heute auseinandersetzen für die ordinal
skalierten Daten
Und das gießen wir dann eben in die Hypothese, Hanull,
es gibt keinen Zusammenhang zwischen X und Y und dann haben wir unterschiedliche Alternativvarianten.
Alternative 1, es gibt einfach einen Zusammenhang und wir gucken mal Alternative 2,
es gibt einen Zusammenhang und X beeinflusst Y in folgende Richtung.
Und wir stehen vor der Frage,
wie können wir denn auf der Basis einer Stichprobe,
denn in der Regel haben wir keine Vollerhebung,
wie können wir auf der Basis einer Stichprobe sicher sagen,
dass das, was wir in unseren Daten sehen,
auch für die Grundgesamtheit gilt.
Zwei Folien habe ich jetzt übersprungen, dann folgte als Schlussfolgerung aus dem,
was erzählt war. Also meine Regeln für den Inferenzschluss nochmal wiederholt,
wenn in der Grundgesamtheit kein Zusammenhang vorliegt,
dann ist ein großes Skiquadrat, wie wir das ausrechnen,
hatten wir ja schon ausführlich besprochen, sehr unwahrscheinlich.
Daher, wenn ein großes Skiquadrat sehr unwahrscheinlich ist,
dann würde ich aus der Tatsache,
dass sich ein großes Skiquadrat beobachte, dass der Zusammenhang,
den ich in meinen Daten sehe, auch in der Grundgesamtheit gilt.
Also, dass ich von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit schließen kann.
Und dann muss ich natürlich noch wie immer die Frage beantworten,
aber das liegt natürlich dann bei mir oder bei euch zu sagen,
ich möchte folgendes Niveau der Aussagesicherheit oder maximal folgende Fehlerwahrscheinlichkeit erreichen.
Und dann kann ich in den Test gehen.
Und ein großes Skiquadrat interpretiere ich dann wie folgt.
Als fehlende Evidenz für die H0, also die H0,
würde von einem großen Skiquadrat eher abgelehnt werden und die Evidenz unterstützt also die Alternativhypothese.
Und das haben wir uns dann angeschaut, indem ich gesagt habe,
ich habe mal wieder so ein Simulationsdatensatz zusammengebaut,
500.000 Fälle, in dem Datensatz gibt es jede der Merkmalskombinationen
1 und 2
Tausendmal, also in dem Datensatz ist komplette Gleichverteilung der Merkmale,
die wir uns in einer Kreuztabelle anschauen wollen.
Das heißt, es gibt keinen Zusammenhang und wenn wir uns
das einmal als Tabelle anschauen, dann sieht das genau so aus.
Also da ist auch nichts an Zusammenhang zu sehen und dementsprechend ist das Skiquadrat auch tatsächlich genau null,
weil keine einzige Zelle auch nur um einen Wert eine Differenz zwischen
Beobachtungs- und Erwartungswert hat und die Wahrscheinlichkeit etwas falsch zu machen,
wenn man die null Hypothese ablehnt, würde dementsprechend bei 100 Prozent liegen.
Dann habe ich euch mehrere Tabellen gezeigt,
die ich tatsächlich als Stichprobe aus diesen Daten gezogen hatte und am Ende dessen haben wir festgestellt,
selbst wenn ich Stichproben aus einer Grundgesamtheit mit einem perfekten Nicht-Zusammenhang ziehe,
kriege ich fast nie wirklich ein Skiquadrat von null in meiner Stichprobe.
Ich kriege eine ganze Menge Skiquadrate,
die zwischen 0 und 1 liegen und größere Skiquadrate werden dann
seltener und genau diese Regelmäßigkeit nutzen wir dann eben auch aus,
um dingfest zu machen, ab welchem Ski-Quadrat kann ich denn jetzt eigentlich hier davon sprechen,
dass ich meinen Zusammenhang aus der Stichprobe auf die Grundgesamtheit übertragen kann.
Das Ganze, was in den Tabellen passiert war,
hatte ich dann wieder in diese dichte Verteilungen übertragen und so langsam sollte deutlich geworden sein,
warum ich gleich in der ersten Sitzung euch mit diesem Begriff der dichte Verteilung belästigt habe,
weil er eben regelmäßig wieder auftaucht und weil das die Verteilung sind,
die wir für diese ganze Statistik brauchen und da an der Stelle nochmal die dichte Verteilung heißen vollständig,
Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung, also sie bilden einfach Wahrscheinlichkeiten ab.
Das hier waren die ersten zehn Tabellen und da sind also,
wie eben gerade gesagt, fast Alechie-Quadratwerte zwischen 0 und 1,
einer lag im Bereich zwischen 1,5 und 2 und einer lag
dann oberhalb von fünf Und wenn wir das Ganze 50.000 Mal wiederholt haben,
dann kriegen wir diese schönen, gleichmäßige Kurve.
Und es gibt tatsächlich sogar einen Skiquadratwert,
da ganz weit draußen bei etwa 21. Und ansonsten, wenn man genau hinschaut,
dann sieht man, dass es so jenseits der 15 langsam aufhört.
Also wenn ich aus einer Grundgesamtheit in der tatsächlich keinen Zusammenhang vorliegt,
Stichproben ziehe, dann stelle ich fest, der Großteil der Stichproben,
die ich ziehe, erzeugt relativ kleine Skiquadratwerte.
Je nachdem, wie wir jetzt klein definieren. Kleiner 2,
kleiner 4 und ganz selten treten. Große Skiquadratwerte auf.
Und genau das nutzen wir aus, um zu sagen,
okay, wenn wir die Großen haben, dann bedeuten die offensichtlich etwas anderes.
Und dann haben wir uns nochmal angeguckt, okay,
was bedeuten diese Balken jetzt tatsächlich konkret in Wahrscheinlichkeiten und hatten festgestellt,
dass 98,5 Prozent aller Beobachtungen, die wir aus dieser Grundgesamtheit ohne Zusammenhang gezogen haben,
Nicht die Quadratwert von kleiner Sechs produziert haben.
1,5 Prozent aller Stichproben haben ein Teaquadratwert von größer Sechs produziert.
Und da sind wir jetzt ja schon wieder bei der Logik
Aussagesicherheit bzw. Fehlerwahrscheinlichkeit. Also bei dem Wert von Sechs,
den wir hier haben, hätten wir eine Aussagesicherheit von 98,5,
wenn wir ihn als Grenzwert nehmen werden.
Oder eben eine Fehlerwahrscheinlichkeit von 1,5 bei einem Ki-Quadratwert von Sechs
, die null Hypothese zu verwerfen.
Aber sechs ist schon selten und Werte größer, Sechs sind also noch seltener.
Damit gehen wir dann in das Ganze testen.
Und ich hatte noch auf einen weiteren Umstand hingewiesen,
ach Moment, hier nochmal das Gleiche jetzt dichter an,
so ein übliches Signifikanzniveau rangerückt, also 89 und 11 Prozent.
Ich bin aber ganz bewusst erstmal bei den halben Schritten 0,5er Schritten geblieben.
Wir hatten aber in dem Beispiel hier ein Teaquadrat von Sukuk 2,3.
Wenn wir jetzt sagen würden,
wir nehmen einfach mal die 2,5 mit ihrer Aussagesicherheit von 89 Prozent als Grenzwert,
dann würde das empirische Sichkiquadrat aus dieser Tabelle von 2,23 nicht dafür sprechen,
dass wir evidenz gegen die Nullhypothese haben.
Wir würden also die Nullhypothese überleben lassen. Und dann hatten
wir über Freiheitsgrade gesprochen und ich habe euch erklärt,
warum es wichtig ist auf diese Freiheitsgrade zu achten,
weil die Skiquadratverteilung unterschiedlich aussieht, wenn in einer Tabelle unterschiedlich viele Freiheitsgrade drin stecken.
Das ist die Skiquadratverteilung für einen Freiheitsgrad, also für zweimal zwei Tabellen. Das ist die Skiquadratverteilung für 16 Freiheitsgrade,
also jede Form von Tabellen, bei denen irgendwie eine 16 rauskommt,
mal fünf Tabellen auf alle Fälle, denn fünf minus eins,
mal fünf, minus eins ist viermal vier ist 16 und man sieht,
je mehr Freiheitsgrade das werden,
desto mehr ähnelt diese Verteilung dann auch einer Normalverteilung oder einer T-Verteilung mit dem Unterschied, Normalverteilung und T-Verteilung als standardisierte Verteilung haben immer den Mittelwert Null.
Diese Verteilung kann natürlich gar nicht den Mittelwert Null haben,
weil ich nur, oder weil ich die Abweichungen von der Erwartung immer nur als positiven Wert auch ermitteln kann. Hier dann nochmal in kleineren Schritten dargestellt,
ein Freiheitsgrad, drei Freiheitsgrade, zehn Freiheitsgrade und dann nochmal die Frage,
also wie machen wir das jetzt mit dem Chi Quadrat,
woher wissen wir, ob etwas signifikant ist oder nicht,
mit der gleichen Logik wie vorher auch Signifikanzniveau ist,
gleiche 1 minus Fehlerwahrscheinlichkeit oder 1 minus Alpha-Fehlerwahrscheinlichkeit ist gleich 1 minus Signifikanzniveau oder Alpha ist gleich 1 minus Signifikanz und dann gehen wir einfach mit den üblichen Levels,
die wir selber festlegen,
wir wollen ein Niveau der Aussagesicherheit von 90 oder 95 oder 90 in 90 Prozent erreichen,
dementsprechend ein Niveau der Fehlerwahrscheinlichkeit von höchsten Szenen,
höchstens fünf oder höchstens ein Prozent.
Das gucken wir Energiequadrattabelle nach oder wir gehen direkt mit den Fehlerwahrscheinlichkeiten
in den Start der Output und können dann sagen, ja,
mein Ergebnis ist signifikant, auf dem von mir festgelegten Niveau oder es ist auch nicht signifikant.
Oder vielleicht ist das Niveau auch nicht immer von euch festgelegt,
vielleicht steht auch zum Beispiel in der Klausuraufgabe,
arbeitet bitte mit einem signifikanten Niveau von 95 Prozent,
aber dann ist es ja auch klar.
Gut, hier nochmal, wie sieht es im Statistikprogramm aus?
Kreuztabelle, drunter steht dann in der Regel Piercen,
Kiesquare und dann steht eine Zahl dahinter und die Statistikprogramme rechnen
uns natürlich dann auch gleich die Fehlerwahrscheinlichkeit aus.
Also bei diesem Skiquadratwert mit die eins in der Klammer
dahinter berichtet nochmal, wie viel Freiheitsgrade das Programm für
die Tabelle
Bei diesem Ski-Quadratpferd, für eine Ski-Quadratverteilung mit einem Freiheitsgrad,
ist die Wahrscheinlichkeit, etwas falsch zu machen,
wenn man die Nullhypothese ablehnt, 0,02, also 2,2 Prozent.
Also wenn wir zum Beispiel gesagt hätten,
wir wollen ein 5-Prozent-Niveau der Fehlerwahrscheinlichkeit, dann würden wir sagen,
hier können wir die Alternativhothese annehmen und das steht hier dann alles auch nochmal drin.
Gewünschte Signifikanz, größer 95 Prozent, daher gewünschte Fehlerwahrscheinlichkeit, kleiner 5 Prozent oder kleiner 0,05.
Bei einem Key-Quadrat von 5,24, das da oben ausgerechnet ist,
dass wir aber gar nicht händisch ausrechnen müssen, wenn Starter uns das Ganze bereitgestellt hat.
Dazu gehört das Niveau der Fehlerwahrscheinlichkeit von 0,02. Und dann können wir jetzt einfach sagen,
die gewünschte Fehlerwahrscheinlichkeit, also die kritische Fehlerwahrscheinlichkeit des 0,05,
das empirische P ist kleiner als 0,05, dementsprechend würden wir sagen,
Alternativhypothese findet Bestätigung nur Hypothese, kann abgelehnt werden. Wichtig an der Stelle nochmal,
das hatte ich letzte Woche ja auch betont,
wenn wir die empirischen, wenn wir die Fehlerwahrscheinlichkeiten miteinander vergleichen,
dann geht es darum zu sagen, dass die empirische Fehlerwahrscheinlichkeit ist,
kleiner ist als die kritische Fehlerwahrscheinlichkeit,
wenn wir die Ski-Quadratwerte miteinander vergleichen, dann geht es darum,
dass der empirische Skiquadratwert größer ist als der kritische Skiquadratwert,
was einfach daran liegt,
das Skiquadrat für die Signifikanz steht und P eben für die Fehlerwahrscheinlichkeit und die beiden ja in diesem inversen Verhältnis stehen.
Also wir wollen entweder kleiner sein als die Schwelle bei den Fehlern
oder größer als die Schwelle bei der Signifikanz. Gut,
das Thema überspringe ich heute und gehe direkt zu den Kreuztabellen mit originalen Daten und hoffe,
dass im Laufe der Zeit heute deutlich wird, warum es sinnvoll ist,
bei originalen Daten noch mal neu in das Thema Kreuztabellen reinzuschauen.
Zunächst noch mal als Überblick, wenn wir davon ausgehen,
dass unsere Daten in Daten setzen, grundsätzlich nominal,
original oder metrisch skaliert sein können,
wobei metrisch dann immer impliziert Ratio und Intervall skaliert und Binär kodierte,
also Dummy-Variablen,
können auch mathematisch als metrische Variablen interpretiert werden.
Das Ganze haben wir in der X- und in der Y-Variable,
wenn alles metrisch ist, dann machen wir lineare Regressionen.
Darüber hatten wir schon länger gesprochen und wenn wir Kombinationen von Nominal und Original haben,
dann arbeiten wir mit Kreuztabellen und heute gucken wir eben insbesondere auf die Kreuztabellen für originale und ordinale Daten.
Als Beispiel, wir haben Menschen gefragt,
welchen Schulabschluss sie haben und wie stark ihr politisches Interesse ist.
Und das ist auch die erste Particify-Aufgabe für euch, die ich einmal aufmachen muss.
Und hier ist nochmal der QR-Code und die Frage lautet,
einfach beim Draufgucken besteht ein statistischer Zusammenhang zwischen höchstem Schulabschluss und politischem Interesse.
Schauen wir mal auf die Ergebnisse. Der Großteil von euch sagt,
ja, in den Daten sehe ich einen Zusammenhang, 90 Prozent,
10 Prozent sagen in den Daten sehe ich keinen Zusammenhang und ich würde sagen,
in den Daten ist eindeutig ein Zusammenhang enthalten.
Und das gucken wir uns jetzt mal dann im Detail an,
wie das bei original skalierten Daten ermittelt werden kann.
Aber um nochmal an die erste Sitzung anzuknüpfen,
ihr hattet zwar keine absoluten Werte, insofern war es schwierig,
Beobachtung und Erwartung miteinander zu vergleichen,
aber ihr hattet die unbedingte Spalte am Rand,
mit der im Vergleich er dann sehen konntet, okay,
Hauptschüler sind deutlich überzufällig häufig in der Kategorie,
kein politisches Interesse vertreten.
Gymnasiastinnen sind deutlich unterdurchschnittlich, häufig in der Zeile mit keinem politischen Interesse vertreten.
Bei der Zeile starkes politisches Interesse ist es dann umgekehrt.
Hauptschülerinnen sind unterproportional vertreten, Geminasiastinnen sind überproportional vertreten und
die Realschülerinnen bewegen sich immer ungefähr so an den Durchschnitten.
Man könnte auch noch auf einer zweiten Ebene sagen,
ich sehe einen Zusammenhang, aber das ist eben was,
was wir mit den bisherigen Mitteln noch gar nicht so systematisch anschauen können.
Bei den Hauptschülern geht der Prozentanteil von oben nach unten deutlich zurück,
bei den Gymnasiastinnen nimmt der Prozentanteil in den Zeilen deutlich zu. Also auch das ist ein Signal dafür,
dass wir hier einen Zusammenhang haben und jetzt geht es darum,
das Ganze nochmal dingfest zu machen dabei die Tatsache auszunutzen,
dass unsere Daten oder unsere Kategorien sich jetzt eben nicht nur unterscheiden,
wie die Kategorien Stadt und Land oder die Kategorien,
für welche Partei entscheide ich nicht, sondern dass man sie in eine bestimmte Ordnung bringen kann.
Denn sowohl bei den Schulabschlüssen, Hauptschule, Realschule,
Gymnasium zumindest, wenn man einfach davon ausgeht,
es liegt unterschiedlich viel Zeit dahinter, die man in der Schule zugebracht hat,
am wenigsten Zeit bei der Hauptschule am meisten im Gymnasium und auch politisches Interesse,
kein mittelstark, haben ja eindeutig,
enthalten ja eindeutig Ordnungsinformationen und das wollen wir uns nochmal angucken,
wenn wir zunächst mal reinschauen, also das,
was ich eben auch schon gesagt hatte,
die geringst besetzten Kategorien sitzen bei den Gymnasiastinnen eben bei keinem politischen Interesse,
bei den Hauptschülerinnen, bei starken politischen Interesse,
bei den und entsprechend umgekehrt bei den jeweils anderen Kategorien in den Gruppen,
also man sieht hier auf alle Fälle irgendetwas passiert in dieser Tabelle.
Aber wir sind ja nicht hier um einigermaßen informiert auf Tabellen zu gucken,
sondern wir sind hier, um zu lernen,
wie man diese Informationen möglichst systematisch auswerten kann.
Und darum geht es im Folgenden. Wenn wir die Tabelle jetzt
erst nochmal so angucken und ich einfach so das Land da drunter schreibe,
das könnt ihr, wenn ihr wollt,
dann natürlich gerne auch zu Hause nochmal selbst ausrechnen, dann finden wir ein Land davon 0,17.
Oder ja doch, 0,17. Wird auch durch Runden nicht besser.
Das ist kein besonders hoher Wert. Der Wert ist,
das sage ich jetzt einfach erstmal vorab dazu,
der Wert ist aber so gering, weil Landa die Ordnungsinformationen,
die in den Daten drin steckt, also die Tatsache,
dass kein Mittelstaat sich in einer bestimmten Art und Weise systematisch aufeinander beziehen,
wie auch Haupt- und Realschule und Gymnasium,
diese Informationen kann Landa nicht auswerten.
Landa kann immer nur auf die Modalkategorien gucken, von der Modalkategorie aus Dinge bewerten.
Das heißt aber auch, wir haben hier eine 3x3-Tabelle,
ganz viel Detailinformationen, die in den Nicht-Modalkategorien drinsteckt, geht verloren.
Aber wir haben das ja eben hier gesehen,
auch in den Nicht-Modalkategorien. Also wenn wir sagen,
bei den Hauptschülerinnen ist kein politisches Interesse auf alle Fälle die Modalkategorie,
aber wir sehen ja auch noch ein systematischen Unterschied zwischen Mittel und Stark.
Und Lamda kann eben nur schauen, okay, es gibt
einen Unterschied zwischen keinen und den anderen. Und das,
was wir jetzt machen wollen, ist in der Lage,
auch noch die feinere Differenzierung zwischen Mittel und Stark und entsprechend natürlich für alle Kategorien mit zu berücksichtigen.
Und insofern übersieht Lamda eben die Ordnungsfunktion, die Ordnungsinformation,
weil es einfach nur zwischen Modal- und Nicht-Modal unterscheiden kann.
Und das, was wir jetzt anschauen werden,
kann feiner differenzieren zwischen den Werten,
die in der Tabelle drinstehen
Die Idee, die hinter dem Ganzen steckt, ist,
dass wir bergeweise Paarvergleiche machen. Also wir vergleichen quasi Personen,
die einen Hauptschulabschluss haben und kein politisches Interesse zunächst mal mit anderen Personen,
die einen Hauptschulabschluss haben und kein politisches Interesse.
Wir vergleichen diese Personen dann aber auch mit Leuten mit Realabschulabschluss.
Wir vergleichen sie mit Leuten, die Hauptschule und starkes politisches Interesse
haben. Und immer machen wir wieder Paarvergleiche und fragen,
okay, welche Merkmale hast du?
Keine Hauptschule, Hauptschule und kein politisches Interesse.
Welche Merkmale hast du? Ich war in der Realschule,
ich habe ein mittelstarkes politisches Interesse.
Aha. Und das zählen wir dann sozusagen zusammen,
wie viele Paare finden wir mit einer bestimmten Konstellation dieses
Interessenverhältnisses.
Und darum geht es jetzt
Zu zeigen, wie eigentlich dieses Bestimmen von Paaren funktioniert.
Aber letzten Endes ist die Idee, die dahinter steckt,
dass wir quasi für alle Befragten,
die in dieser Tabelle drin stecken, die Frage stellen,
wie verhältst du dich eigentlich zu den anderen Personen jeweils mit anderen Merkmalskombinationen?
Bevor wir damit weitermachen, wie viele unterschiedliche oder auch ungerichtete
Paare, kann ich aus zehn Personen bilden.
9, 45, 90 oder 100. Ich halte hier einmal an,
gehe einen weiter, mach auf und da ist der QR-Code.
Wie viele ungerichtete Paare kann ich aus zehn Personen bilden?
So, dann gucken wir uns das auch mal an.
7 Prozent sagen 9, 18 Prozent sagen 45,
26 Prozent sagen 90,
knapp 50 Prozent sagen
Laut, wer wird Millionär, müsste D die
richtige Antwort sein, ist aber nicht die richtige Antwort.
Die richtige Antwort ist 90 und ich schreibe jetzt kurz auf,
wie wir auf die 90 kommen.
Also erst nochmal zu den gerichteten und ungerichteten Paaren.
Selina und ich können ein ungerichtetes Paar bilden. Das heißt einfach,
in dem Paar sind Selina und ich und mehr nicht.
Und wir können zwei gerichtete Paare bilden, nämlich ein paar
von mir zu Selina und ein paar von Selina zu mir.
Es geht jetzt also nicht um die gerichteten Paare,
sondern es geht immer nur darum, zwei Leute in ein Paar zu stecken.
Wenn ich jetzt also zehn Personen habe, dann kann jede
von diesen zehn Personen mit jeweils neun anderen Personen ein Paar bilden.
Mit sich selbst kann sie ja kein Paar bilden,
wäre dann immer noch nur eine Person.
Deswegen steht er an der Formel zunächst zehn mal neun und
damit wir keine ungerichteten damit wir wirklich ungerichtete Paare kriegen,
teilen wir das Ganze nochmal durch zwei.
Denn wenn wir diese 10 mal 9 nehmen,
dann würde ich anfangen und würde sagen, okay,
ich will dein erstes Paar mit Selina,
ein zweites mit Richard, ein drittes mit Fabian,
ein viertes mit Jette und ich könnte jetzt noch so ein bisschen weitermachen.
Und dann kommen wir irgendwann bei Fabian an und sagen,
Fabian bildet ein erstes Paar mit Selina und ein zweites mit Richard und ein drittes mit mir.
Und damit Fabian nicht auch nochmal gezählt wird,
wird eben das Ganze durch zwei geteilt.
Deswegen sind es also 10 mal 9 durch 2 gleich 45. Moment,
habe ich jetzt vorhin gesagt, 90, warum habe ich 90 gesagt?
10 mal 9 ist 90, ja, 45 ist natürlich die richtige Antwort.
Also ich entschuldige mich bei allen, die jetzt gedacht haben,
ja, genau, 45 ist die richtige Antwort, nicht aufgepasst.
Also wir haben Jede mit jeder anderen, das sind zehn,
aber nicht mit sich selbst. Das ist zehn minus eins,
daher kommt die zehn und die neun und damit A
und B und B und A das gleiche Paar sind,
wird das Ganze durch zwei geteilt.
Also, wir haben, wenn wir zehn Personen haben,
können wir mit den zehn Personen 45 ungerichtete Paare bilden.
Was machen wir damit jetzt? Was wir in dieser Tabelle suchen,
sind zunächst Paare, Paarungen, die die gleichen Merkmale haben.
Also zum Beispiel Realschule und mittelstarkes politisches Interesse und Paarungen von Leuten,
die ungleiche Merkmale haben. Also Realschule und kein politisches Interesse
versus Realschule und mittleres politisches Interesse oder aber Realschule mit mittlerem
politischen Interesse versus Gymnasiastin mit keinem politischen Interesse.
Und das einmal durch die ganze Tabelle durch.
Und die Frage ist jetzt, was sind und wo stecken
dann jeweils diese gleichen oder ungleichen Paare
Gucken wir hier noch mal rein. Also in dieser obersten Zelle
sind 100 Personen. Diese 100 Personen können 100 mal 99,
99 durch zwei Paare gleicher Personen bilden. Also so viele Paare,
100 mal 99 durch zwei ist, kann das jemand kurz ausrechnen.
Also es gibt, lassen wir es so,
es gibt 100 mal 99 durch zwei Paarungen in dieser Zelle oben links.
Und das sind alles Personen mit leichten Merkmalskombinationen.
Und wir können das auch über mehrere Zellen betreiben.
Wir können zwischen den beiden Zellen Paare bilden und dann hätten
wir 100 Menschen in der Hauptschule kein Interesse, Zelle,
60 Menschen in der Realschule kein Interesse zelle und können zwischen diesen Personen wiederum auch Paare bilden.
In dem Falle sind es dann natürlich 100 mal 60 und
jetzt kommt auch nicht die durch zwei Logik dazu und auch nicht die Minuslogik,
weil wir ja Menschen aus der einen Gruppe mit Menschen aus
der anderen Gruppe
Paare bilden lassen
Also das Hin und Her und das mit sich selbst Paare bilden,
kommt hier sozusagen nicht mehr mit ins Renten. Das,
worauf wir jetzt schauen, sind zwei Sorten von Paarungen,
die uns insbesondere Informationen darüber geben, ob in der Tabelle ein Zusammenhang existiert.
Und das sind die sogenannten Concordantenpaare und das sind die Diskonkordantenpaare.
Was meinen wir mit Concordantenpaaren? Concordant sind für uns alle Paarungen,
bei denen eine Person systematisch in allen Variablen dieser Tabelle,
also in beiden Variablen,
eine höhere Ausprägung hat als die andere oder umgekehrt,
die eine Person hat in beiden Variablen eine niedrigere Ausprägung als die andere.
Insofern zum Beispiel die Zelle Hauptschule,
kein Interesse und Realschule, mittleres Interesse,
würde konkordante Paare bilden,
weil sowohl bei der Bildung als auch beim politischen Interesse
ein höherer Wert vorhanden ist
Deutlicher, was das soll, wird, wenn wir uns die Disconcordanten-Pare anschauen.
Bei Disconcordanten-Paren ist es so, dass wir Menschen miteinander vergleichen,
bei denen in der einen Variable eine größer als und bei der anderen Variable eine kleiner als Beziehung vorliegt.
Also, die Person, der einen Geminarsialabschluss hat,
in der Zelle oben rechts, hat eine höhere Bildung,
aber sie hat ein geringeres politisches Interesse als die Realschülerin.
Wenn ihr das euch in Regressionslogik vorstellt,
dann geht es eben um die Frage, letzten Endes haben wir eine Regressionsgrade,
die einen positiven Anstieg hat oder haben wir eine Regressionsgrade,
die einen negativen Anstieg hat.
Zwischen zwei einzelnen Personen gibt es natürlich noch keinen Anstieg einer Regressionsgraden,
aber in der Summe entsteht das. Aber genau das ist die Frage,
die erstmal hinter den Concordanten und den Disconcordanten-Paren steckt,
je mehr Concordante-Pare wir haben, desto eher ist es ein positiver Zusammenhang,
weil höher mit höher zusammengeht, je mehr Diskonkordante Paare wir haben,
desto eher ist es ein negativer Zusammenhang, weil höher mit niedriger zusammengeht.
Und das ist das,
wonach wir letzten Endes vor allem in dieser Kreuztabelle schauen,
wie viele Konkordante Paare sind da drin oder wie viele konkordante,
ja, wie viele konkordante Paare sind da drin,
was können wir ausrechnen darüber, wie viele Diskonkordante Paare sind da drin.
Und dann hätten wir, wenn wir nur konkordante Paare finden,
einen positiven Zusammenhang mit dem Wert 1,
wenn wir nur Diskonkordante Paare finden,
einen negativen Zusammenhang mit dem Wert minus eins und alle anderen Verteilungen liegen dann dazwischen.
Und ich gehe jetzt mit euch einmal durch die Tabelle,
um zu zeigen, wie man denn ausrechnet,
wie viele Konkordante und Diskonkordante Paare da drin sind.
Bevor ich das mache, ist aber noch ein Hinweis notwendig.
Wenn ihr genau hingeschaut habt, dann habt ihr gesehen,
okay, Diese Konkordanten und Diskonkordantenpaare müssen immer die Zeile wechseln.
Das heißt aber, wir haben ja auch eine ganze Menge
Vergleichspaare in der Tabelle, die in der gleichen Zeile,
der gleichen Spalte oder sogar der gleichen Zelle sitzen.
Das sind die sogenannten Ties. Und für die Frage,
wie gut wir den Zusammenhang berechnen können,
spielen diese Details auch eine gewisse Rolle.
Deswegen einmal kurz, worüber sprechen wir hier?
Wir sprechen erstens über Ties in Y. Das heißt, Paare,
bei denen die Y-Ausprägung, also die abhängige Variable, immer die gleiche ist.
Y-I ist gleich Y-J. Also Y zwischen zwei Personen verglichen ist gleich,
weil wir uns entweder in der ersten oder der zweiten oder der dritten Zeile bewegen.
Sie unterscheiden sich aber in der X-Variable. Also Ties in Y bedeutet,
wir reden über Untersuchungsobjekte, die sich in den Zeilen,
in den Zeilen wird, nicht unterscheiden,
aber schon in den Werten der erklärenden Variable unterscheiden.
Dementsprechend haben wir natürlich auch Tyson X. Das sind Untersuchungsobjekte,
die in der gleichen Spalte stehen. Also die erklärende Variable unterscheidet sich nicht,
aber sie haben trotzdem unterschiedliche Ausprägungen in der zuerklärenden Variablen.
Und dann haben wir die Paare in einer Zelle, also diejenigen Paarungen,
bei denen sowohl X als auch Y den gleichen Wert hat.
Und die haben natürlich alle, wenn wir hier Gesamtzahlen von Paarungen ausrechnen wollen,
die haben natürlich alle einen Einfluss darauf, wie dieser Zusammenhang wirklich aussieht.
Jetzt gehen wir aber zunächst hin und schauen uns an,
wie bilden wir eigentlich die Summen dieser Konkordanten- und Diskonkordantenpaare?
Denn darum geht es. Wir wollen ja herausfinden,
wie viel insgesamt von dem einen und dem anderen in der Tabelle sind,
um dann ein erstes Zusammenhangsmaß auszurechnen,
das ist das Zusammenhangsmaß Gamma
Das ist auch wieder, nein, ist es nicht.
Entschuldigung, ich wollte gerade sagen, es ist ein Maß
der proportionalen Fehlerreduktion, es stimmt aber so nicht.
Stimmt ein bisschen, aber stimmt nicht ganz. Also,
um Gamma auszurechnen, brauchen wir zunächst die Summe der Konkordantenpaare
und die Summe der Disconkordantenpaare und jetzt gucken wir einmal, wie wir die ausrechnen.
Ich bin nur gerade mal wieder verwirrt und entsetzt. Ich habe heute Vormittag,
bevor ich hierher gekommen bin, dafür gesorgt,
dass erstens in den Zeilen da oben die Zeilen nicht umbrechen und
dass aber vor allem diese Zellen hier besser zu sehen sind,
indem ich die weiß gesetzt habe.
Und mir ist jetzt nicht ganz klar,
warum das nicht erhalten ist. Aber es ist egal.
Dann muss ich euch einfach erzählen, was in den
schlecht sichtbaren Zellen
Wir bilden jetzt die Summe der Konkordantenpaare,
indem wir durch die Tabelle durchgehen und peu à peu gucken,
von welcher Zelle aus können wir, mit welchen anderen Zellen konkordante Paare bilden.
Wenn wir also hier oben links anfangen mit den 100 Hauptschülerinnen,
die kein politisches Interesse haben, dann ist klar,
mit den Realschülerinnen und mit denen dem Nasiastinnen in dieser Zeile können wir keine Konkordantenpaare bilden,
weil das ja alles ties in Y sind.
Wir können auch mit den anderen Hauptschülern keine und Hauptschülerinnen,
keine Konkordantenpaare bilden, weil das ties in X sind,
aber wir können mit allen Realschülerinnen,
die ein mittleres und ein starkes politisches Interesse und mit allen Gymnasiastinnen,
die ein mittleres und ein starkes politisches Interesse haben,
können wir konkordante Paare bilden.
Wir würden also sagen, um die Zahl dieser Paare herauszukriegen,
wir multiplizieren 100 mit 40, das wäre die erste Zelle Realschule Mittel,
Wir multiplizieren 100 nochmal mit 40 für die Gymnasiastinnen.
Wir multiplizieren 100 mit 30 für die stark interessierten Realschülerinnen
und mit 60 für die stark interessierten Gymnasiastinnen.
Addieren diese Werte alle auf und haben dann ausgehend von dieser Zelle
die Summe der Konkordantenpaare, die von dieser Zelle ausgebildet werden können.
Aber das sind natürlich noch längst nicht alle Konkordantenpaare,
die wir in der Tabelle bilden können.
Wir können auch von der ersten Zeile und der zweiten Spalte aus
immer noch zwei Konkordantepaare bilden, nämlich mit den Gymnasiastinnen,
die ein mittleres und ein starkes politisches Interesse haben.
Wenn wir dann eins weitergehen,
von dieser Zelle aus können wir keine Konkordantenpaare mehr bilden,
weil rechts und darunter ist noch was, aber rechts davon ist nichts.
Aber wir gehen eine Zeile weiter runter und können natürlich von
hier aus auch noch wieder Konkordantepaare bilden,
weil es Zellen, rechts und unterhalb dieser Zelle gibt,
nämlich 30 Realschülerinnen und 60 Gymnasiastinnen.
Und dann können wir hier
noch einmal rübergehen
Und können nochmal in einer Kombination konkordante Paare bilden, nehme ich zwischen denen mittelstark interessierten Realschülerinnen und den stark interessierten Gymnasiastinnen. Und wenn wir dann,
ich gehe nochmal hier zurück, hier hatte ich gesagt,
100 mal 40 plus 100 mal 40 plus 100 mal 30 plus 100 mal 60,
und das zieht sich dann natürlich hier so weiter,
60 mal 40 plus 60 mal 60 und hier zum Schluss nochmal 40 mal 60,
wenn wir das alles aufsummieren, dann stellen wir fest,
okay, in dieser Tabelle,
in der insgesamt 400 Personen eingetragen sind,
befinden sich 29.000 konkordante Paare.
Also 29.000 Paarungen, die dafür stehen,
dass es einen positiven Zusammenhang gibt, der da lautet,
je höher die Bildung, desto größer das politische Interesse.
Das bringt uns aber noch nicht so richtig weiter,
weil wir nicht wissen, wie viel Gegeninformationen in der Tabelle drin ist.
Deshalb gucken wir uns das Ganze jetzt nochmal für die Diskonkordantenpaare an.
Jetzt fangen wir nicht links oben an, sondern rechts oben,
weil wir ja einen größeren, mit einem kleineren Wert vergleichen wollen. Also,
wir schauen zuerst auf die 20 Gymnasiastinnen, rechts oben und stellen fest,
für die können wir 20 mal 40 plus 20 mal 40,
also ich bin jetzt jeweils hier und hier, plus 20 mal 20 plus 20 mal 30, diskoncordante Paare bilden.
Die so mieren wir also auf und gehen eine Zelle weiter von Realschule,
kein Interesse aus,
können wir immer noch mit zwei Zellen diskoncordante Paare bilden,
das heißt, wir haben 60 mal 40 und 60 mal 20,
auch das wird aufaddiert und dann geht das ganze Spiel umgekehrt symmetrisch zum vorherigen Vorgehen weiter,
indem wir eine Zeile weiter runterrutschen, aber wieder in die rechte Spalte gehen,
dann haben wir 60 mal 40 mal 30 plus 40 mal 20 und dann können wir noch einmal konkordante Paarungen bilden,
nämlich 40 mal 20 und kriegen dann raus,
dass wir 9000 diskonkordante Paare in der Tabelle drin haben.
Wenn konkordante Paare für einen positiven Zusammenhang stehen und diskonkordante Paare für einen negativen Zusammenhang.
Wer würde sagen, wir haben eher einen positiven Zusammenhang in der Tabelle?
Wer würde sagen, wir haben einen negativen Zusammenhang in der Tabelle?
Und wer sagt, ich weiß noch nicht so genau.
Okay. Dann müssen wir jetzt kurz warten mit der Antwort
auf die Frage, weil erstmal das Pausenrätsel kommt.
Die Frage, die ich eben gestellt habe, jetzt nochmal als Particify-Frage.
Also ihr müsst jetzt irgendeine Antwort geben. Wenn die Summe
der konkordanten Parecé gleich der Summe der Diskonkordanten Paredé ist,
dann ist der Zusammenhang zwischen X und Y positiv.
Es gibt keinen Zusammenhang negativ. Das kann ich auf
der Basis der vorliegenden Informationen nicht sagen.
Einmal Frage starten
75 Prozent von euch sagen, es gibt keinen Zusammenhang zwischen
den Variablen. Einige sind noch anderer Meinung. Wir gucken
uns das jetzt einfach einmal im Detail an. Also,
wir haben die Summe der Konkordantenpaare in unserem Beispiel 29.000.
Wir haben die Summe der Diskonkordantenpaare in unserem Beispiel 9.000.
Und jetzt vergleichen wir das Ganze über Gamma. Wir hatten
eben schon über Details gesprochen. An der Stelle nochmal,
ich werde noch ein paar weitere Maße außer Gamma einführen.
Gamma ist das Maß von den Maßen,
mit denen wir in original skalierten Kreuztabellen Zusammenhänge berechnen können,
dass den Zusammenhang immer überschätzt. Und das liegt einfach daran,
dass Gamma sich um diese Details überhaupt nicht kümmert.
Das heißt, wie viele Paarungen es gibt,
bei denen keine Informationen über einen positiven oder negativen Zusammenhang drin steckt,
weil sie in einer Variable gleich sind,
das ignoriert Gamma inflationiert, dadurch ein bisschen den Zusammenhang.
Hier fehlt irgendwas, ist heute komisch.
Hier fehlt gerade eine Formel. Ist nicht weiter schlimm,
ich kann die auch aus dem Kopf, ausnahmsweise,
aber okay, wo auch immer die abgeblieben ist.
So, ich denke jetzt einmal schnell dran,
hier wieder alles richtig hinzustellen. Jawohl. So, also,
wie berechnen wir systematisch aus der Summe der Konkordanten und der Diskonkordantenpaare Gamma,
einmal zum Mitschreiben,
über den Bruchstrich steht c-d,
also die Anzahl der Konkordanten vermindert um die Anzahl der Diskonkordantenpaare,
unterm Bruchstrich steht C plus
Also was wir einfach nur machen, ist die Differenz aus
den beiden Teilen durch die Summe der beiden.
Die Summe der beiden ist quasi das, gegen das wir standardisieren.
Angenommen, wir hätten 38.000 Concordante Paare in dieser Rechnung.
Also alle Paarungen, die wir ausgerechnet haben, sind Concordante Paare.
Dann würde da stehen 38.000 minus null geteilt durch 38.000.
1. Wir haben einen perfekten positiven Zusammenhang. Hätten wir 38.000 Disconcordante Paare,
dann würde da stehen 0, minus 38.000 durch die Summe von C&D 38.000,
wir hätten einen perfekten negativen Zusammenhang.
Die Hälfte von 38.000 ist 19.000, ja.
Wenn wir 19.000 Concordante und 19.000 Disconcordante Paare hätten,
würde unterm Bruchstrich immer noch 38.000 stehen,
oben würde 19.000 minus 19.000 stehen,
perfekter Nicht-Zusammenhang
Was irgendwie ja auch plausibel ist, wenn gleich viele Konkordante und Diskonkordante Paare da sind,
dann passiert in der Tabelle nichts, was sich irgendwie sinnvoll auswerten kann.
Also, wir schauen auf diese Konkordanten und Diskonkordanten Paare,
rechnen, auf dem von mir beschriebenen Wege in der Tabelle aus,
wie viele dieser Paarungen in der Tabelle drin sind.
Und das waren dann eben 29.000 Konkordante Paare,
19.000 Diskonkordante Paare, die packen wir in die Formel,
die jetzt hier gerade nicht zu sehen ist, C-D,
also Conkordante-Diskonkordante durch die Summe von den beiden und kriegen dann Dammer als Zusammenhangsmaß,
das zwischen minus eins perfekter negativer Zusammenhang und plus eins perfekter,
positiver Zusammenhang gebunden ist und dass uns eine erste Information darüber liefert,
wie die Ordnungsinformation in dieser original skalierten Kreuztabelle dann tatsächlich auch uns Informationen darüber gibt,
wie stark dieser Zusammenhang ist.
Und schlimmerweise habe ich das Gamma nicht mal ausgerechnet,
wenn jemand das kurz tun mag und laut reinrufen, sehr gern.
Bitte? Null Komma? 0,53. Ihr erinnert euch vorhin,
das Lamda war 0,13, glaube ich.
Jetzt haben wir 0,53. Also Gamma zeigt ein deutlich stärkeren Zusammenhang.
Beide Zusammenhänge sind jetzt nicht ganz korrekt.
Lamda ist sehr konservativ, weil es die Ordnungsinformation nicht sieht.
Gamma ist sehr optimistisch, weil es Details ignoriert.
Und deswegen gibt es noch weitere Maße, mit denen man
Details mit berücksichtigen kann. Was sich bei diesen weiteren Maßen
nicht ändert, ist das, was auf dem Bruchstrich steht.
Auf dem Bruchstrich wird immer gefragt, wie ist die Differenz
aus Konkordanten und des Konkordantenpaaren?
Weil wir über den Zusammenhang aus den Thais
nichts herausfinden können
Die Details finden nur Eingang bei unterschiedlichen Maßen unterschiedlicher Art und Weise
in den Ausdruck unter dem Bruchstrich, um zu sagen,
okay, wenn ich nur die Concordanten und Diskoncordanten da unten hinpacke,
dann bin ich overly Optimistik, also muss ich das kontrollieren.
Das erste Mal Maß, dass wir uns anschauen,
ist das sogenannte Somas D. und Somas D ist ein Maß,
deswegen steht in dem Kürzel irgendwas mit Y und X drin,
ist ein Maß, das unterschiedlich ausfällt, je nachdem,
ob ich in den Spalten oder in den Zeilen rechne.
Also ich muss mich entscheiden,
in welcher von den beiden Spalten und Zeilen steht meine erklärende Variable,
in welcher steht meine zuerklärende Variable, da ich gesagt habe,
ihr sollt normalerweise die erklärende Variable in die Spalten schreiben und die zuerklärende in die Zeilen habe ich jetzt hier,
das Somas D für Y gegeben X,
also das Lesen von diesem Y-Senkrecht, Herr Strich X,
ist das gleiche wie letzte Woche bei den Loggits und den Ots und so weiter.
Also, SOMSD für Y gegeben X ist 10-D,
geteilt durch C plus.de und jetzt packen wir in das Plus-D noch Details in Y mit rein,
um zu sagen, okay, wir wollen in Rechnung stellen,
dass wir eine ganze Reihe von Paarungen in der Tabelle drin haben,
aus denen wir keine Informationen extrahieren können,
die wir deswegen aber trotzdem nicht aus der Betrachtung des Zusammenhangs rauslassen können.
Und dementsprechend wird also dieses SOMSD mit den Tyson Y als Korrektur berechnet.
Jetzt gucken wir uns das mit den Tys nochmal an,
wie das dort mit der Berechnung funktioniert.
Das sieht aber letzten Endes fast genauso aus wie die Berechnungen vorher,
nur dass wir innerhalb der Zeilen bzw. innerhalb der Spalten rechnen.
Also, wenn ich Details in Y berechnen möchte,
dann gehe ich in die erste Zeile und sage, okay,
Von links an kann ich einmal oder muss ich einmal 100 mit 60 und einmal 100 mit 20 Untersuchungsobjekten ins Verhältnis setzen.
Das heißt, ich habe in dieser ersten Zeile
100 mal 60 plus 100 mal 20 Ties.
Und dann kann ich in dieser Zeile natürlich noch eine weitere
Menge von Ties bilden, nämlich ausgehend von der zweiten Spalte.
Und dann habe ich nochmal 60 plus 20 Ties.
Und dann gehe ich in die nächste Zeile und habe
40 mal 40 plus 40 mal 40 Ties und dann kommen
noch 40 mal 40 dazu und dann gehe ich in die
letzte Zeile und habe 20 mal 30 und 20 mal 60 und dann nochmal 30 mal 60 Ties.
Und das Gleiche kann ich in den Spalten natürlich genauso wiederholen.
Brauchen wir jetzt nicht, weil wir das HOMSD für Y gegeben X ausrechnen wollen.
Also wir brauchen nur Details in Y. Das wären 17.600. Das heißt,
wir haben im Moment 38.000 unter dem Bruchstrich stehen.
Wenn wir da nochmal 17.600 draufpacken, dann ist klar,
dass diese 0,5 Etwas, die wir vorher ausgerechnet haben,
deutlich kleiner werden mit diesen Daten,
damit aber auch ein etwas realistischeren Wert für den tatsächlichen Zusammenhang abgeben.
Das Gleiche nochmal in den Spalten, teils in X
jetzt 100 mal 40 plus 100 mal 20 plus 40 mal
20 plus 60 mal 40 plus 60 mal 30 plus 40 mal 30.
Und dann haben wir die Anzahl der Tyson X,
brauchen wir jetzt im Moment noch nicht, aber gleich.
Wenn wir uns das Ganze jetzt einmal angucken,
dann stellen wir fest, Lamda ist 0,1739,
Gamma ist c-d geteilt durch c plus.de, ist 0,526,
Somas D für Y gegeben X,
ist 0,36 und das ist von all den Werten,
die wir ja haben, der am meisten realistische Wert.
Jetzt kann man sich natürlich trefflich fragen, okay,
wenn Lamda unrealistisch niedrig ist und Gamma unrealistisch hoch,
warum haben wir die überhaupt
Wahrscheinlich hat das historische Gründe, also zumindest bei Gamma und Somas D,
zunächst hat man sich das mit den Konkordanten und des Konkordanten Paaren ausgedacht,
dann kam jemand, der noch schlauer war und gesagt hat,
du berücksichtigst aber einen ganzen Haufen Informationen nicht,
dann kam Somas D dazu und jetzt kommen noch zwei weitere Maße,
die das noch ein bisschen verfeinern.
Und natürlich, Landa fällt aus der Logik insofern ein bisschen raus,
als Lamda einfach ein Maße ist, das bei Kreuztabellen immer gilt,
wo dann aber auch klar ist,
wenn es Informationen vernachlässigt, die in Ordinal skaliert,
in Tabellen mit Ordinal skalierten Daten drin ist,
dann kann es natürlich nicht das am meisten angemessene Maß sein,
aber davon ist es auch kein falsches Maß.
Man muss dann nur eben davon mit der Annahme arbeiten,
dass man im Prinzip nominal interpretiert, was aber Ordnungsinformationen beinhaltet.
Dann gibt es noch die sogenannten Taumaße, die versuchen das Ganze jetzt
noch aufwändiger und komplizierter zu machen und noch präziser den Zusammenhang zu berechnen.
Tau A wird berechnet, indem wieder Differenz aus 10-d,
also Konkordante und Diskonkordante Paare. Und dann wird gesagt,
wir berechnen einfach einmal, was überhaupt Anpaarungen in der Tabelle möglich ist,
gegeben, die Anzahl der Untersuchungsobjekte, die da drinstecken.
Und dann sind wir wieder bei der Formel ganz vom Anfang,
als ich gefragt habe, wie viele Paare kann ich aus 10 Personen bilden?
Dann sind wir nämlich bei N mal N minus 1 geteilt durch zwei,
also genau diese Regel. Das ist die Anzahl der Paare,
die insgesamt in dieser Tabelle gebildet werden können. Das heißt,
mit Tau A setzen wir die Differenz aus Konkordanten und Diskonkordantenpaarungen
ins Verhältnis zur Summe, der insgesamt bildbaren Paare in der Tabelle.
Damit ist auch klar, Tau A wird von all den Maßen,
die wir hier ausrechnen, das Kleinste,
weil der Ausdruck unter dem Bruchstrich notwendigerweise immer am größten ist oder mindestens genauso groß wie die anderen.
Und die Tau B-Variante versucht es dann nochmal mit einer etwas anderen Logik,
indem sie sagt, C plus D,
plus Details in X. Das multiplizieren wir mit C plus D
und den Teils in Y. Daraus ziehen wir die Wurzel.
Da soll sozusagen, oder dahinter steckt die Idee zu sagen,
es macht nochmal einen Unterschied, ob Leute in einer Tabellenzelle sitzen.
Die werden hier ja nicht berücksichtigt oder ob sie in unterschiedlichen Tabellenzellen sitzen.
Es müssen ja Leute, gleiche Merkmalsausprägungen haben. Und diejenigen,
die sich Tau B ausgedacht haben, haben dann gesagt,
die Tau A-Formel finden wir wieder zu konservativ,
weil sie ein notwendiges,
strukturelles Merkmal von Kreuztabellen zulasten des Zusammenhanges in Rechnung führt,
indem es sagt, auch alle Teils in einer Zelle werden mit in den Nenner des Bruchstrichs genommen.
Deswegen haben die dann gesagt, ja, SOMSD reicht uns auch nicht,
weil es nur eine Variante von Teils jeweils berücksichtigt.
Also machen wir das auf diese Art und Weise.
Am Ende Muss man sich überlegen, mit welchen dieser Informationen man etwas anfangen möchte.
Wenn wir uns das Ganze jetzt einmal in der Form anschauen,
wie Starter das raushauen würde, dann hätten wir unter einer Kotztabelle,
die so aussieht wie die oben, diesen ganzen Lecks von Daten.
Also wir haben wieder das Xi-Quadrat. Diesmal steht in der Klammer eine 4. Klar,
wir haben eine 3x3-Tabelle, 3 minus eins,
mal 3 minus eins für die Anzahl der Freiheitsgrade, ergibt 4.
Wir haben einen Ski-Quadratwert von 71,7 für diese 4 Freiheitsgrade mit
einer Fehlerwahrscheinlichkeit von 0,0. Damit könnten wir erst mal sagen,
egal was wir jetzt inhaltlich rauskriegen, das, was wir rauskriegen,
ist auf alle Fälle von dieser Stichprobe auf die Grundgesamtheit übertragbar.
Kleiner Spoiler, bei Kreuztabellenanalysen mit 100 und mehr Untersuchungsobjekten,
hat man so gut wie keine Chance, nicht signifikante Zusammenhänge rauszukriegen.
Also das bei einer Kreuztabelle etwas signifikant ist,
ist zunächst überhaupt kein Aufreger, weshalb es sehr wichtig ist, zu schauen,
ob man auf der inhaltlichen Ebene was zum Interpretieren hat.
Also ob beim Vergleich der bedingten und unbedingten Verteilungen irgendwelche sinnvollen
Informationen sichtbar werden oder beim Vergleich der beobachteten und der erwarteten Häufigkeiten oder eben ob die Zusammenhangsmaße etwas anzeigen,
weil ich auch mit einem Kramers V von 0,05 einem Landa von 0,01 oder einem Gamma von 0,02 mit aller Wahrscheinlichkeit einen signifikanten Zusammenhang habe.
Also dieses wenige bisschen an Informationen, das in der Kreuztabelle drinsteckt,
ist dann trotzdem auf die Grundgesamtheit übertragbar,
aber das nützt mir nicht so viel, weil ich inhaltlich nichts über die Grundgesamtheit lerne.
Also Kreuztabellen oder die Kontingenzanalyse und der Signifikanztest über Chi-Quadrat ist ein Verfahren,
das mit extrem hoher Wahrscheinlichkeit zu signifikanten Ergebnissen führt.
Was ja aber nur heißt, das bisschen an Zusammenhang,
was du im Zweifelsfall in deiner Tabelle siehst,
gilt mit sehr großer Wahrscheinlichkeit auch für die Grundgesamtheit,
aber wenn ich damit inhaltlich nichts anfangen kann, dann nützt mir das herzlich wenig. Also,
einmal in die Maße, ich fange mit Lamda und Gamma an,
als den beiden Maßen, die sozusagen die Grenzen markieren,
Lamda sieht die Ordnungsinformationen nicht, 0,17,
Gamma sieht nur die Ordnungsinformationen, lässt alles andere weg,
0,52 und dann sehen wir mit den unterschiedlichen Korrekturen,
kommen wir dann wieder zu deutlich kleineren Werten,
zu OMSD, bei 0,36 gerundet,
Candles Taube auch bei 0,36,
das macht also gar nicht so einen riesen Unterschied offensichtlich,
ob ich zu den Tys und Y
auch noch die Tyson X mit berücksichtige
Tau A wird deutlich kleiner, weil eben,
wie ich vorhin gesagt habe, standardisiert wird gegen alle Paarungen,
die insgesamt in der Tabelle gebildet werden können.
Alle diese Maße, also Gamma, Somas D.,
Candles, Tau A, Candles, Tau B,
sind Richtungsmaße in dem Sinne, dass sie positiv und negativ sein können.
Und sie sind alle zwischen minus 1 und plus 1 gebunden.
Also perfekter, negativer Zusammenhang, minus 1, perfekter,
positiver Zusammenhang 1, wie beim R, also beim Korrelationskoeffizienten.
Und kein Zusammenhang null. Und dann haben wir natürlich auch noch,
weil es einfach an der Stelle zur Vollständigkeit dazugehört, Kramers V mit 0,2958.
Und jetzt kriegt man so ein bisschen ein Gefühl dafür,
was Kramers V eigentlich kann oder nicht kann,
wenn man es mit diesen vielen unterschiedlichen Maßen vergleicht.
Und dann stellen wir fest, okay,
es ist offensichtlich konstant
Inservativer, wenn man es zwischen 0 und 1 interpretiert als Gamma.
Es ist aber auch optimistischer als das strenge Maß für original skalierte Daten,
aber wie vorher schon gesagt, so richtig gut interpretierbar als Kramers V nicht.
Alles unter 0,2 ist nichts, worüber man groß reden sollte und über 0,2 muss man sich dann überlegen,
was man damit anfangen will, aber die genaue Höhe von KMSV hilft uns nicht besonders weiter.
Das ist das,
was wir hier rauskriegen und dann können wir einmal nochmal die Signifikanz über kritische Werte berechnen,
auch wenn wir ja schon die Fehlerwahrscheinlichkeit mit 0,00 dort stehen haben,
dann würde ich sagen,
wenn ich ein Niveau der Aussagesicherheit von 99,9 erreichen möchte bei vier Freiheitsgraden,
dann ist das kritische Skiquadrat 18,47. Wir sehen,
dass wir mit unserem empirischen Skiquadrat weit über diese 18,47 liegen und das Sieht man dann ja auch an der Fehlerwahrscheinlichkeit von 0,00,
die dort ausgewiesen wird.
Also das Ergebnis ist hochsignifikant. Wir haben ein inhaltliches Ergebnis. Wir sehen,
dass das politische Interesse mit der Höhe des Schulabschlusses steigt.
Und das können wir jetzt dann auch auf die Grundgesamtheit übertragen.
Jetzt habe ich die Daten einfach noch mal,
um die bildliche Ähnlichkeit aufzuzeigen, als Regression gerechnet.
Also ich habe die einzelnen Datenpunkte, die sind ja dann
in dem Datensatz kodiert als 1, 2, 3,
sowohl für die Schulbildung als auch für das politische Interesse.
Also hier unten 1, 2, 3 ist die X-Variable,
Grundschule, Realschule, Quatsch, nicht Grundschule, Hauptschule,
Realschule, Gymnasium,
kein Interesse,
mittleres Interesse,
hohes Interesse
Damit da jetzt nicht nur neun Datenpunkte drauf sind,
habe ich einen kleinen Trick in den Starter angewendet, der heißt,
dass die Daten gejittert werden, was einfach nur bedeutet,
zu jedem einzelnen Datenpunkt würde ein kleines bisschen dazu addiert oder abgezogen.
Also zu den dreien hier oben oder zu den Einzelnen in
der X und zu den Dreien in der Y-Achse wird einfach
bei jedem einzelnen Datenpunkt ein kleines bisschen dazugepackt oder weggenommen,
einfach damit die Punkte nicht alle genau bei 3-1 liegen,
sondern damit sie sich so ein bisschen verteilen.
Nur damit man was sieht sozusagen,
also damit man die Häufigkeiten erkennen kann,
wie viele Daten sind an welcher Stelle,
ansonsten hätten wir einfach nur da einen Datenpunkt,
genau da einen Datenpunkt und so und so sieht man noch ein bisschen,
dass da Daten sind in diesen Ecken.
Und wenn man auf diese Daten eine Regressionsanalyse loslässt,
dann würde eben auch der durch die Regression gerade angedeutete,
positive Zusammenhang deutlich werden.
Und an der Stelle ist es Gittern jetzt eben auch relevant.
Also wir sehen, hier oben sind wirklich relativ wenige Fälle.
Hier unten drängeln sich allerdings eine ganze Menge. Hier unten sind
relativ wenige Fälle. Da oben drängeln sich eine ganze Menge.
Also irgendwie geben die Daten schon wieder, was die Regressionsgrade anzeigt.
Aber natürlich sind das nicht Daten, auf die ich normalerweise eine Regressionsanalyse loslassen würde.
Wenn ich jetzt hierzu noch einen Resilo-Plot malen würde,
dann würdet ihr auch spätestens sagen, nee,
also mit den Daten stimmt irgendwas nicht, das sieht schon sehr komisch aus.
Aber nur um die Logik Ähnlichkeit sozusagen einmal abzubilden. Was dann aber auch trotzdem spannend ist,
ist, wenn man nochmal die Zusammenhangsmaßanalyse über die Maße für original skalierte Variablen mit den Regressionsmaßen vergleicht,
weil die nämlich auch deutlich macht,
dass tatsächlich die Regressionsanalyse offensichtlich nicht wirklich das angemessene Verfahren ist,
um aus diesen original skalierten Variablen die Informationen angemessen zu extrahieren.
Denn wir ermitteln hier oben ein R-Quadrat als bestimmt Heizmaß von etwa 0,17.
Damit sind wir nicht besser als das Lamda, von dem ich gesagt habe, das ist ganz viel Ordnungsinformationen ignoriert. Das liegt natürlich daran,
dass wir durch die Datenstruktur in bestimmten Bereichen riesige Residuen erzeugen,
die in einer normalen Regressionsanalyse so nicht entstehen würden,
weil wir sehr,
sehr unwahrscheinlicherweise hier oben so einen Haufen Daten hätten,
sondern unsere Datenwolke würde in etwa so aussehen,
wie ich das jetzt hier skizziere, aber gerade diese beiden Datenhäufchen,
der links oben und der rechts unten erzeugen,
dann natürlich bergeweise große Residuen, die dann dazu führen,
dass das R-Quadrat hier gar nicht so groß ist.
Unten stehen die Zahlen,
die wir eben schon hatten
Und das Ganze eben einfach nur, um zu sagen,
ja, man kann das Ganze auch mit einer Regressionsanalyse anfassen.
Die Logik ist in gewisser Weise ähnlich,
aber wir sehen eben hier ganz deutlich,
zumindest bei so einer kleinen Original skalierten Tabelle mit drei Ausprägungen in beiden Variablen,
ist es mit der Regressionsanalyse nicht so prickelnd.
Das wird, das könnt ihr von mir aus mal mit selbstgesuchten Beispielen ausprobieren,
das wird radikal besser, spätestens ab 5x5 Tabellen.
Also wenn ich original skalierte, Variablen mit mindestens fünf Ausprägungen habe,
dann sind die Unterschiede zwischen Regressionsanalyse und angemessene Analyse
mit den Maßen für Original skalierte Variablen kaum noch zu sehen.
Aber hier sieht man, es ist sinnvoll, da nochmal spezielle Maße zu haben.
Damit komme ich zur Zusammenfassung für heute. Wir hatten uns gefragt,
was sind Kreuztabellen, wie funktionieren die,
nach welchen Daten muss dann schauen wir in Kreuztabellen,
Da habe ich gestern Abend zu der Folie,
die ich vor Weihnachten in der Sitzung berichtigt habe,
um dafür zu sorgen, dass die Aufzeichnung nicht mehr funktioniert.
Diese Folie habe ich in berichtigter, nein, stimmt gar nicht.
Ich wollte die Folie einzeln in berichtigter Weise hochladen und habe
dann festgestellt, das ergibt keinen Sinn.
Ich habe den ganzen Foliensatz nochmal hochgeladen und die Folie,
die in der ersten Version Folie 26 war,
jetzt fohlt die 27 und ist jetzt aber richtig gestellt gegenüber dem Ausgangspunkt.
Dann haben wir über Zusammenhangsmaße in Kreuztabellen mit nominal skalierten Variablen
gesprochen, haben uns die Inferenzen angeschaut.
Das habe ich heute am Eingang nochmal zusammengefasst. Wir haben
letzte Woche über Orts- und Ortsratios gesprochen. Das haben wir gemacht,
weil diese Konzepte, Orts-, Lockouts, Ortsratio,
Loggets an ganz vielen Stellen in der Statistik auftauchen,
auch bei einem Thema, das wir, weil ich zwischendrin zu langsam war,
nicht mehr besprechen können, nämlich die logistische Regression.
Aber ihr werdet diesem Konzept in Texten, die mit Daten arbeiten
, immer wieder begegnen. Und da habe ich gedacht,
wenn wir schon über Kreuztabellen sprechen und man in Kreuztabellen diese Konzepte gut erläutern kann,
dann mache ich das, auch wenn ich weiß,
dass wir nicht mehr zur logistischen Regression kommen.
Weil es nicht schlecht ist, das Konzept an sich mal kennengelernt zu haben.
Und dann haben wir über Kreuztabellen in originalen Daten gesprochen.
Das heißt, wir haben bis jetzt Verfahren kennengelernt,
um nominal und original skalierte Variablen miteinander in Beziehung setzen zu können.
Wir haben ein Verfahren kennengelernt, um metrische und metrisch skalierte
Variablen miteinander in Beziehung setzen zu können.
Wir werden uns nicht im Rahmen dieser Vorlesung mit der Anova auseinandersetzen können.
Das ist das Verfahren, das hier unten drinne steht,
bei dem nominal und metrisch skalierte Variablen miteinander ins Verhältnis gesetzt werden können.
Das können wir uns aber auch deswegen sehr gut sparen,
weil ich euch erläutert habe, Regressionsanalyse mit Dummy-Variablen funktioniert.
Die Anova ist ein Verfahren,
das maximal für zwei erklärende und eine zu erklärende Variable gerechnet wird,
wenn es mehr wird, funktioniert das auch nicht mehr.
Das heißt, das, was ihr da gegebenenfalls machen wolltet,
weil ihr eine metrische Variable mit ein oder zwei Nominalskalierten Variablen erklären wollt,
könnt ihr genauso gut mit der Regressionsanalyse machen,
indem ihr einfach mit einer Dummy-Variable arbeitet.
Also das ist nicht weiter schlimm, dass wir uns darum nicht kümmern konnten.
Und die Ergebnisse sind sogar zahlenmäßig immer identisch,
weil die Hannover eigentlich nur eine etwas reduzierte lineare Regression ist.
Was ein bisschen schade ist, ist,
dass wir über die logistische Regression nicht mehr sprechen können.
Aber für die, die das interessiert,
es gibt noch das Video aus der letzten Runde,
in der ich die Vorlesung gehalten habe.
Wer also sagt, ich will mir die logistische auch nochmal erklären lassen.
Ich verspreche auch, dass sie trotzdem nicht in der Klausur drankommt,
könnt ihr euch das Video auf alle Fälle anschauen.
Ich werde da nochmal einen Link in Open O-Lad reinlegen.
Also Arbeitsschritte der Zusammenhangsanalyse. Und jetzt kann man sagen,
das gilt sowohl für Kontingenzanalysen als auch für Regressionen.
Was wir wollen, ist,
einen Schätzer suchen und finden bei der Kontingenzanalyse sind die Schätzer,
die Vorhersagewerte aus den Spalten in den einzelnen Zeilen.
Bei der Regression sind die Schätzer der Regressionskoeffizient. Wir wollen
die Leistungsfähigkeit unseres Modells kennenlernen, also idealerweise mit PHE-Maßen,
aber wenn es nicht anders geht, nehmen wir auch was anderes.
In der Kontingenzanalyse haben wir als PHE-Maß das Lamda und dann haben wir Gamma,
Zomas D und die Taumaße, wie heute erklärt.
Bei der Regressionsanalyse haben wir als PHE-Maß das R-Quaddrat.
Wir wollen natürlich die Inferenzstatistische Zuverlässigkeit unserer Schätzer prüfen. Also wir wollen wissen,
können wir das, was wir aus unserer Daten,
von denen wir annehmen, dass sie aus einer Stichprobe kommen,
können wir das auch auf die Grundgesamtheit übertragen.
In der Kontingenzanalyse machen wir das, wie heute ja
auch nochmal besprochen, mit dem Ki-Quadrat.
In der Regressionsanalyse machen wir das mit dem F-Test für das
gesamte Modell und mit T-Tests für die einzelnen Regressionskoeffizienten.
Und dann müssen wir uns natürlich am Ende immer noch fragen,
können wir das Verfahren überhaupt anwenden?
Bei der Kontingenzanalyse hatten wir gesagt, das ist relativ einfach.
Es darf keine Zellerwartung kleiner Fünf sein, dann ist alles gut.
Bei der Regressionsanalyse wisst ihr, das war ein etwas größeres Paket.
Wir müssen über Normalverteilung nachdenken, über die Verteilung der Residuen.
Wir müssen über Ausreißer, Autokorrelation nachdenken und die erklärenden Variablen sollten nicht miteinander korreliert sein.
Das war die Zusammenfassung zum Thema Kontingenzanalyse inklusive einer kleinen rückblickenden
Zusammenfassung zum Thema Regressionsanalyse und das Ganze kann man dann auch nochmal in Tabellenform darstellen.
Ich gehe jetzt nicht durch alle Zellen durch,
zumal viele Zellen hier auch gleiche oder sehr ähnliche Inhalte haben.
Also Kreuztabelle mit Nominal- und Nominal skalierten Variablen.
Da schauen wir auf die bedingten und unbedingten Verteilungen,
um inhaltliche Aussagen treffen zu können,
haben Kramers V und Lamda für den Zusammenhang mit Kiequadrat für den Signifikanztest.
Das ist hier und da genauso, weil einfach immer,
wenn wir nominal skalierte Variablen dabei haben,
auch wenn eine original skalierte Variable auf einer Seite des Zusammenhangs steht,
sind wir zurückgeworfen auf die Maße,
die nominal und nominal miteinander vergleichen können,
weil wir einfach in die eine nominal skalierte Variante,
die hier oder da dabei ist, keine Ordnungsinformationen reinkriegen.
Aber wenn wir zwei original skalierte Variablen haben, dann kommt
Zum Vergleich der bedingten und unbedingten Verteilung und dem V und dem Lamda
eben noch Gamma, Somas Day und die Taumaße dazu.
Und hier unten haben wir die Regressionsanalyse mit den Regressionskoeffizienten für die inhaltliche Aussage
dem R-Quadrat für den Zusammenhang und T und F für die Signifikanzmaße,
für Anova und logistische Regression habe ich das auch aufgeschrieben,
aber da wir darüber noch nicht gesprochen haben, ist es allenfalls informationshalber.
Damit bin ich zum ersten Mal für diese Vorlesungszeit deutlich vor
der eigentlichen Zeit fertig. Da ihr immer so ein,
zwei Minuten länger warten musstet,
bis ich zumindest das Tagesende gefunden habe,
ist das, denke ich, okay,
dann danke ich euch für die Aufmerksamkeit und wir sehen uns letzte Woche ein letztes Mal,
um was Neues zu machen und übernächste Woche bereiten wir die Klausur vor.
Ich wünsche euch noch
eine schöne Woche