Dann ist es endlich wieder Montag um zwölf,
aber bevor wir so richtig mit Statistik einsteigen,
natürlich wünsche ich allen erstmal ein gesundes, fröhliches,
erfolgreiches und was immer ihr sonst noch so mit dem Jahr vorhabt,
Jahr 2025, den ersten großen Erfolg werden wir Anfang Februar einfahren,
wenn ihr alle die Klausur schreibt und erfolgreich besteht.
Die weiteren Erfolge kommen dann. Wir sind immer noch beim Thema Kontingenzanalyse,
wir sind bei Dias Bohne immer noch bei den Kapiteln 4
-1 und 4-2 und die Hausaufgabe in dieser Woche
ist die Hausaufgabe aus dem Themenbereich 4 mit der Nummer 2
und damit warte ich nochmal ganz kurz bis Der Bus,
der gerade angekommen ist, auch noch Platz gefunden hat.
Damit steige ich nochmal in eine kurze Wiederholung ein,
denn seit der letzten Sitzung sind,
wenn ich das richtig sehe, insgesamt drei Wochen vergangen.
Dazwischen waren zwei Wochen, in denen ihr hoffentlich nicht nur
Statistik gemacht habt, sondern auch ein paar andere Sachen.
Also schauen wir nochmal, was wir in der letzten Sitzung besprochen haben.
Wir haben zunächst die Frage gestellt, was sind eigentlich Kreuztabellen
und haben uns so ein paar Gedanken darüber gemacht, wie man diese Kreuztabellen liest.
Kreuztabellen sind das Ergebnis der Auswertung von einem Datensatz wie diesem, der zwei Variablen enthält. Wohnsitz und Wallentscheidungen,
die beide nominal skaliert sind und die man dann in so eine Kreuztabelle überführt,
indem man einfach zählt, Wie oft sitzen, an welchem,
oder wie oft ist welcher Kreuzungspunkt mit Zahlen besetzt,
sodass wir dann auf zehn Personen kommen,
die in der Stadt wohnen und SPD wählen, sechs,
die in der Stadt wohnen und CDU wählen und so weiter.
Kreuztabellen werden sowohl mit absoluten Werten gefüllt, also die zehn,
drei, sechs und neun, die wir sehen.
Und dann aber vor allem mit Prozentangaben,
weil wir vor allem über die Prozentangaben dann relative Vergleiche der Spalten
zueinander anstellen können, aus denen wir dann auch etwas lernen.
Wenn wir Kreuztabellen interpretieren wollen, hatte ich gesagt, eine Möglichkeit,
die wir haben, ist die beobachteten Werte mit den sogenannten Erwartungswerten zu vergleichen,
also die beobachteten Werte, das, was wir tatsächlich in unserer Datentabelle gefunden haben.
Die Daten erwarteten Werte, diejenigen Werte, die wir finden würden, wenn wir die Randverteilung proportional auf die Spalten und Zeilen aufteilen. Wir können nicht nur die Beobachteten und die erwarteten Werte miteinander vergleichen,
sondern wir können mit letztlich ähnlicher oder gleicher Aussage die bedingten Prozente in den Spalten der Tabelle,
mit den unbedingten Prozenten in der Randverteilung vergleichen und würden dann sowohl über die Erwartungswerte als auch über die Prozentwerte feststellen,
dass in der Stadt offensichtlich häufiger als erwartet SPD gewählt wird,
denn der Erwartungswert ist 7,4 Stimmen für die SPD,
gegeben unsere 28 Wählerinnen,
tatsächlich für die SPD gestimmt haben, zehn Personen,
das ist also deutlich mehr als der Erwartungswert und das Gleiche sehen wir hier auch im Durchschnitt haben von den 28 Personen,
die hier abgebildet sind, 46 Prozent für die SPD gestimmt,
in der Stadt haben 63 Prozent für die SPD gestimmt,
das heißt also in der Stadt wird deutlich häufiger als im Gesamtdurchschnitt SPD gewählt.
Das sind die beiden Möglichkeiten, wie wir Kreuztabellen inhaltlich auswerten.
Und natürlich dürfen die Kreuztabellen auch sehr viel größer sein.
Also nicht nur aus zwei Spalten und zwei Zeilen bestehen,
sondern aus deutlich mehr Spalten und Zeilen. Das Mindeste,
was wir brauchen für eine Kreuztabelle, ist aber zwei Zeilen und zwei Spalten.
Denn wenn wir jetzt nur Stadt und Land hätten und dann sagen würden,
SPD, dann kann man damit ja nicht so viel erklären,
weil zumindest auf der einen Variable dann keine Variation da wäre.
Das war der einführende Teil. Dann habe ich gesagt,
okay, wonach gucken wir jetzt eigentlich in diesen Kreuztabellen,
wenn wir nicht einfach nur auf diese Prozentwerte schauen wollen und habe gesagt,
naja, letzten Endes suchen wir nach bestimmten Mustern,
dass entweder von links oben nach rechts unten besonders viele Fälle sind oder hohe Prozentwerte und in denen Spalten,
die von diesem Pfeil jetzt nicht betroffen sind,
steckt dann eben weniger oder wir gehen von links unten nach rechts oben,
wenn wir dagegen relativ gleichmäßig verteilte Werte haben,
wie in der dritten Darstellung, dann haben wir hier auch keinen Zusammenhang.
An der Stelle ist, das wird denen, die das Video geschaut haben,
in der letzten Runde die Aufzeichnung abgebrochen, weil ich,
ich weiß nicht, ob ihr euch noch daran erinnert,
denen falsch rumsitzenden Pfeilen in der Tabelle A1 korrigiert habe und danach nicht dran gedacht,
dass OBS, wenn man die Präsentationen unterbricht,
sich irgendein Fenster sucht, das es dann weiterhin aufzeichnet,
das nächste Mal, wenn ich wieder die Präsentation unterbrechen sollte,
um etwas zu korrigieren, bin ich dankbar,
wenn jemand sagt, willst du nicht mal gucken,
ob OBS noch das richtige Fenster aufzeichnet,
damit das mit der Aufzeichnung dann nicht nur eine Tonspur ohne Folien ist.
Also, nach solchen Mustern suchen wir, Hauptdiagonale,
so hatte ich das auch genannt, besetzt, wie in der Tabelle A1,
die nebendiagonale besetzt wie in der Tabelle B2 oder eben,
es gibt keine Muster, wenn sich die Daten einigermaßen gleichmäßig verteilen.
Nachdem wir so weit waren, habe ich gesagt,
okay, auch für Kreuztabellen wollen wir uns Zusammenhangsmaße angucken,
weil wir ja wissen wollen, wie leistungsfähig unsere statistische Erklärung oder unser statistischer Zusammenhang in einem inhaltlichen Sinne ist.
Und ich habe angefangen, indem ich gesagt habe,
lass uns noch mal kurz erörtern,
wie man in einer Kreuztabelle überhaupt eine Streuung bestimmen kann oder wie man in einer nominal skalierten Variable die Streuung bestimmen kann,
habe die sogenannte Variation Ratio eingeführt, die berechnet wird,
als V ist gleich 1 minus,
die häufigste Oder der größte Häufigkeitswert, der in der Randverteilung auftaucht,
im Verhältnis zur Gesamthäufigkeit oder zur Gesamtzahl an Untersuchungsobjekten.
Also ja, F die Häufigkeit in der Modalkategorie.
Da greifen wir auf die erste Sitzung zurück in die Gesamtzahl der Fälle.
Und von da weg haben wir uns dann zunächst erst mal
angeschaut, wie man hier Quadrat ausrechnet.
Hier Quadrat brauchen wir einerseits um bestimmte Maße für die Berechnung der Stärke des Zusammenhangs zu berechnen.
Und wie wir heute sehen werden, brauchen wir Skiquadrat dann auch,
um Signifikanzaussagen über Kreuztabellen zu treffen.
Ich habe diese Formel an die Wand geschmissen und dann in einer weiteren Folie,
die ich heute nicht zeige, aufgedeckt, wie man die Formel relativ leicht in eine Rechentabelle übersetzen kann. Aber was man hier sieht,
ist, dass dieses Hier Quadrat FB und FE stehen dafür,
FB für beobachtete Häufigkeit, eh für erwartete Häufigkeit,
dass wir dieses Sieg-Quadrat eben auch aus dem Vergleich der Beobachteten und der erwarteten Häufigkeiten berechnen mit der Idee,
dass je stärker die beobachteten Häufigkeiten von den erwarteten Häufigkeiten abweichen,
desto mehr passiert etwas in dieser Kreuztabelle im Sinne von,
da werden tatsächlich Zusammenhänge dargestellt und dieses Hiki-Quadrat benutzen wir dann um ein erstes Zusammenhangsmaß zu berechnen und das Zusammenhangsmaß an,
okay, hier ist nochmal die Rechentabelle, in der einfach aufgezeigt wird,
wie die Summenzeichen jetzt in dieser Tabelle hier zusammenspielen,
also wir haben einerseits die beobachteten Werte,
wir haben dann die erwarteten Werte, berechnen die Differenzen,
quadrieren die Differenzen,
Grund fürs Quadrieren der Differenzen ist der gleiche wie immer,
wenn wir die Differenzen nicht quadrieren,
werden sie sich gegenseitig aufheben.
Das wollen wir nicht. Also quadrieren wir sie und teilen durch die
jeweils in der Zelle erwartete Häufigkeit und kriegen dann einen Skiquadratwert insgesamt heraus,
ausgehend von dem wir das sogenannte Kram SV berechnen können.
Kram SV ist ein Zusammenhangsmaß für die Bestimmung von Zusammenhängen in Kreuztabellen,
das zwischen 0 und 1 gebunden ist,
wie die meisten Zusammenhangsmaße und dass wir berechnen,
indem wir einmal das eben ausgerechnet durch die Quadrat hernehmen,
dann die Fallzahl hernehmen und dann gucken, welche Zahl ist höher,
die Anzahl der Zeilen oder die Anzahl der Spalten,
davon ziehen wir eins ab mit diesem Wert,
multiplizieren wir das Endteilen, das Skiquadrat durch dieses Produkt ziehen,
daraus die Wurzel und haben dann das Kram SV,
das uns eben etwas über den Zusammenhang ansagt,
hier nochmal die Erläuterung dazu, was dieser Mini-Minimalausdruck bedeutet.
Und immerhin die kurze Information KramSV, kleiner als zwei,
gilt in der Regel als sehr schwacher Zusammenhang.
Vielmehr kann man über KramSV eigentlich nicht sagen. Vielleicht noch,
wenn KramSV 1 ist, dann haben wir einen extrem starken Zusammenhang.
Das heißt, da wäre dann wirklich nur die eine oder die andere diagonale Mitwerten besetzt.
Alle anderen Zellen werden mit Nullen besetzt oder wir haben KramSV von Null,
dann sind die Werte komplett gleichmäßig in der Tabelle verteilt.
Mehr kann man zu KramSV im Prinzip nicht sagen,
weil es nicht die gleiche Interpretation hat wie die Maße der proportionalen Fehlerkoralle.
Die Masse der proportionalen Fehlerreduktion, sondern es ist so ein etwas schwammigeres Maß. Es gibt dann noch weitere Korrekturen für Ski-Quadrat,
Fee Piercens C zum Beispiel und wir werden heute am Ende noch über Jules Q sprechen,
aber das nur zur Information, KMSV,
stelle ich in dieser Vorlesung deswegen vor,
weil es das allgemeinste Maß ist,
es fragt nicht nach der Struktur der Tabelle,
viel zum Beispiel kann ich nur für zweimal zwei Tabellen berechnen,
sondern es kann einfach grundsätzlich auf Kreuztabellen angerecht angewendet werden und es ist ein sinnvolles Maß,
um die Korrelation in so einer Kreuztabelle zu bestimmen.
Als zweites habe ich dann Lamda eingeführt,
dass tatsächlich ein Maß der proportionalen Fehlerreduktion ist,
also dass die präzise Interpretation hat,
wenn Lamda 80 oder 0,8 ist, dann kann ich sagen,
okay, zu 80 Prozent habe ich verstanden,
was in meinen Daten passiert, so kann ich über KMSV nicht sprechen.
Bei KMSV kann ich einfach nur sagen, okay,
0,5, da ist ein bisschen was los,
bei einem Lamda von 0,5 kann ich sagen, okay,
50 Prozent der Variationen in meinen Daten habe ich
tatsächlich erklärt
Wir haben hier eine Formel, die zunächst etwas kompliziert aussieht in der Rechentabelle,
habe ich dann wieder gezeigt, so schlimm ist es eigentlich gar nicht.
Wir haben immer nur den Vergleich zwischen einer gesamten Fallzahl und einem Modalwert.
Einmal links oben den Modalwert in der Randverteilung und dann rechts oben
die Modalwerte in den jeweiligen Spalten. Und dass wir auf
den Modalwert uns beziehen, wird einfach mit diesem Max ausgedrückt, was heißen soll.
Such dir in der jeweiligen Spalte den maximalen Wert alias Modalwert.
Und dann kriegst du einmal das E1,
einmal das E2 und teilst das Ganze dann nochmal durch das E1,
wie wir das beim R-Quadrat zum Beispiel ja auch schon kennengelernt haben.
Und unter der Formel ist nochmal aufgeschrieben im Detail, was die einzelnen Symbole bedeuten.
Die Rechentabelle lasse ich jetzt weg, darüber haben wir letztes Mal ausführlicher gesprochen. Ich denke aber,
wenn man sich die anschaut, das dann auch relativ schnell deutlich wird,
wie Lamm da ausgerechnet werden soll,
werden kurz vor Ende der letzten Vorlesung dann darüber gesprochen,
dass wir bei der Kreuztabellenanalyse auch eine Anwendungsvoraussetzung erfüllen müssen,
zumindest dann, wenn wir auch Signifikanzen berechnen wollen.
Und diese Voraussetzung ist, dass wir keine Zellerwartungen, kleiner Fünf haben dürfen,
weil bei Zellerwartungen kleiner Fünf die Signifikantstatistik so nicht mehr funktioniert werden,
dann über unterschiedliche Möglichkeiten gesprochen, an diesen Zellerwartungen etwas zu tun.
Einerseits die Fallzahl der untersuchten Objekte erhöhen,
andererseits möglicherweise auch Zeilen oder Spalten zusammenfassen, um Zellerwartungen zu erhöhen,
wenn sie unter fünf fallen, damit wir mit den Daten,
über die wir verfügen, trotzdem rechnen können.
Und dann waren wir bei dieser Zwischenzusammenfassung angekommen, wir haben ein Problem und das heißt,
wir wollen ein Zusammenhang zwischen nominal skalierten Variablen ermitteln, die richtige Brille. Dafür ist die Kontingenzanalyse oder die Kreuztabellenanalyse,
wenn wir über die Stärke des Zusammenhanges Aussagen machen wollen,
dann haben wir einerseits die Chi quadratbasierten Maße,
die alle gemeinsam daran leiden, dass sie keine präzise Interpretation haben,
wenn sie nicht null oder eins sind,
sondern sie befinden sich eben in einem etwas undefinierten Raum und wir haben Lamda als Maß der proportionalen Fehlerreduktion,
von dem ich in der vorletzten Folie vor dieser Zusammenfassungsfolie gezeigt hatte,
dass das Hauptproblem von Lamda ist,
dass es insofern ein konservatives Maß ist,
als es zum Beispiel in sehr schiefen Verteilungen, Zusammenhänge,
die wir eindeutig sehen.
Ich hatte letztes Mal dieses Heizungs- und Gebäudebeispiel mitgebracht, Zusammenhänge,
die wir eindeutig sehen, werden von Lamda unter Umständen nicht aufgegriffen.
Deswegen nehmen wir eben nicht nur Lamda,
sondern haben Kramers V zusätzlich und die anderen Maße,
um eventuell ein Lamm da,
das wegen einer schiefen Verteilung auf Null gegangen ist,
in seiner Aussage durch ein anderes Maß korrigieren zu können.
Und wir haben die Frage, können wir die Kreuztabellenanalyse
überhaupt anwenden, beziehungsweise können wir die Signifikanzstatistik überhaupt anwenden?
Und da kommt das Kriterium der Zellerwartung kleiner Fünfreihen.
Der Punkt ist nochmal wichtig, wir können zu allen Daten Kreuztabellen machen.
Wenn wir einfach nur über Zusammenhänge eine Aussage machen wollen und uns egal ist,
ob das, was wir in der Kreuztabelle ausdrücken,
auf eine Grundgesamtheit verallgemeinert werden muss,
weil wir zum Beispiel eine Vollerhebung in einer Vorlesung gemacht haben,
über die Zufriedenheit mit der Vorlesung, dann ist dieses FE kleiner
Fünf für uns auch nicht relevant,
es ist nur dann relevant, wenn wir Signifikanzstatistik betreiben,
sprich wenn wir von Stichproben auf Grundgesamtheiten schließen wollen
Dazu kommen wir dann jetzt auch im folgenden.
Also wir wollen uns jetzt in Rückerinnerung an die Sitzungen,
insbesondere aus dem späten November und frühen Dezember, nochmal der Frage Signifikantstatistik zuwenden.
Und das geht dann wieder mit Diagrammen wie diesen hier und
einem kleinen simulierten Beispiel. Aber zunächst nochmal die Frage,
auch als Auffrischung dessen, was wir schon besprochen hatten,
Inferenzstatistik, warum und wie. Wir fangen zunächst damit an,
dass wir sagen, okay, wir haben eine Fragestellung,
diese Fragestellung bringen wir in Hypothesenform, aber zunächst ist die Frage,
gibt es einen Zusammenhang zwischen zwei Variablen X und Y,
zum Beispiel dem Wohnort und der Wahlentscheidung.
Und dann können wir entweder fragen, gibt es einfach einen Zusammenhang
und dann haben wir können wir daraus eine Orientierungshypothese entwickeln?
Oder wir können auch fragen, gibt es einen Zusammenhang,
der in eine bestimmte Richtung geht?
Das macht im Feld der Kreuztabellen natürlich nur dann Sinn,
wenn wir Kreuztabellen mit ordinal skalierten Daten berechnen,
denn nominal skalierte Daten haben natürlicherweise keine Richtung.
Diese Fragen gießen wir dann üblicherweise in die Form,
über der wir bei Inferenzstatistik ja schon ausführlicher gesprochen hatten,
null Hypothese, es gibt keinen Zusammenhang zwischen X und Y. Okay,
dann mache ich es weiter am Laptop.
Alternativhypothese der Form 1, es gibt einen Zusammenhang zwischen X und Y,
Alternativhypothese der Form 2,
es gibt einen Zusammenhang X beeinflusst Y in eine bestimmte Richtung.
Wie gesagt, bei Kreuztabellen ergibt diese Formulierung nur Sinn für
ordinal skalierte Variablen
Dann habe ich zunächst natürlich die Frage,
über die wir jetzt zusammenfassen, rückblickend nochmal gesprochen hatten.
Wie kann ich den Zusammenhang in meiner Kreuztabelle überhaupt zusammenfassend berechnen? Jenseits der Tatsache,
dass ich einzelne Zellen mit ihren Erwartungswerten oder mit den Randverteilungen vergleichen kann,
wie kann ich insgesamt für eine Kreuztabelle aussagen,
wie stark der Zusammenhang, der in der Kreuztabelle abgebildet ist, ist.
Und dann kommt die Frage, wenn die Daten in meiner Kreuztabelle aus einer Stichprobe kommen,
wie kann ich ausgehend von dieser Stichprobe eigentlich etwas über die Grundgesamtheit sagen?
Oder wann weiß ich, dass der Zusammenhang,
der in meiner Kreuztabelle steht, auch für die Grundgesamtheit gilt?
Und da sind wir dann an der gleichen Stelle,
über die wir drei Wochen lang schon gesprochen hatten.
Wir arbeiten wieder mit dieser Fiktion der unendlich vielen Stichproben und das gucken wir uns jetzt nochmal für Kreuztabellen an,
wie das mit den unter unendlich vielen Stichproben aussieht,
damit wir auf der Basis dieser Logik dann eben auch wieder sagen können,
okay, der Zusammenhang in dieser Kreuztabelle ist signifikant, soll heißen,
wir können davon ausgehen, dass er auch für die Grundgesamtheit gilt oder das trifft eben nicht zu.
Also ich frage dann, wie wahrscheinlich ist die Beobachtung einer Stichprobe,
die einen Zusammenhang anzeigt,
wenn in der Grundgesamtheit keinen Zusammenhang vorliegt oder sauber formuliert,
wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, einen Alphafehler zu begehen,
wenn ich bei gegebenen Daten die Han 0 ablehne.
Dazu baue ich mir jetzt ein ideales Prüfobjekt,
um zu zeigen, was in Kreuztabellen eigentlich passiert. Das heißt,
ich bastel mir eine Grundgesamtheit, bei der in den Daten,
mit denen ich arbeite, überhaupt keinen Zusammenhang zu sehen ist.
Und dann gucke ich mir an,
was für Chikwadratwerte kommen eigentlich raus, wenn ich aus einer Grundgesamtheit,
in der kein Zusammenhang zwischen den Daten besteht,
wenn ich aus diesen Daten Kreuztabellen baue und Ichi-Quadratwerte berechne.
Und die Regel für den Inferenzschluss ist dann wieder,
wenn in der Grundgesamtheit tatsächlich kein Zusammenhang da ist,
dann ist ein großes Ski-Quadrat relativ unwahrscheinlich.
Rückerinnerung, wie wird Hiegquadrat berechnet? Je mehr die einzelnen
Zellen von ihren Erwartungswerten abweichen, das heißt,
je mehr Zusammenhang in den Daten ist, desto größer wird Hiegquadrat.
Je weniger die einzelnen Zellen in ihren Beobachtungen von den Erwartungswerten
abweichen, desto geringer ist Skiquadrat.
Aber genau diese Konstellation steht ja auch für keinen Zusammenhang.
Deswegen also, wenn in der Grundgesamtheit kein Zusammenhang da ist,
dann wäre zu erwarten,
dass bei einer Stichprobe ein sehr kleines Ichi-Quadrat oder im Idealfall natürlich sogar ein Ski-Quadrat von Nuller rauskommt.
Umgekehrt, umgekehrt. Das heißt, wenn ein großes Skiquadrat da ist,
dann spricht das dafür, dass die Daten in dieser Tabelle aus einer Grundgesamtheit kommen,
für die nicht die Nullhypothese gilt, sondern für die die Alternativhypothese gilt.
Großes Skiquadrat würde dementsprechend interpretiert als Evidenz gegen die H0 oder
als keine empirische Evidenz für die H0, sondern als Evidenz, die Alternativhypothese unterstützen.
Das schauen wir uns jetzt einmal am Beispiel an.
Ausgangssituationen, ich habe einen Datensatz gebastelt mit 500.000 Fällen.
In diesem Datensatz sind jeweils 100 und mit zwei Variablen,
die jeweils zwei Ausprägungen haben und in diesem Datensatz
sind jeweils 125.000 Fälle für die vier Merkmalskombinationen, die insgesamt nur vorkommen können.
Also wenn ihr nochmal SPD und Stadt und Land nehmt,
dann hätten wir also 125.000 Fälle,
die in der Stadt wohnen und SPD wählen,
125.000 Fälle,
die in der Stadt wohnen und CDU wählen und so weiter
Mit diesem Datensatz,
den ich, weil es ja nur Simulation sein sollen,
einfach nur mit den Werten 1 und 2 besetzt habe,
gibt es also diese vier möglichen Datenkombinationen, die tauchen jeweils 125.000 mal auf,
125.000 mal 4 sind dann die 500.000 Fälle, die da drüber stehen.
Das heißt, wenn jede Merkmalskombination gleich häufig in diesem Datensatz auftaucht,
dann gibt es in den Daten überhaupt keinen Zusammenhang zwischen der
einen und der anderen Variablen und dass sie dann als Kreuztabelle so aus,
Variable 1, Variable 2, Ausprägung 1, Ausprägung,
2, Spaltenprozent ausgerechnet, überall steht 50 Prozent.
Und wenn wir jetzt unten auf das Hii-Quadrat schauen,
dann sehen wir das Ski-Quadrat, ist hier glatt null,
also das ist das, was wir ausrechnen müssen,
wenn in einer Tabelle tatsächlich keinen Zusammenhang besteht und hier haben wir schon wieder die Fehlerwahrscheinlichkeit
Die eins sagt uns, wenn wir bei diesen Daten die null Hypothese verwerfen,
dann machen wir mit hundertprozentiger Wahrscheinlichkeit einen Fehler.
Also treffen eine inhaltlich nicht zutreffende Aussage. Jetzt machen wir
noch mal das gleiche Spiel, das wir mit den Mittelwerten schon gemacht hatten.
Das heißt, ich ziehe immer wieder Stichproben aus meiner Grundgesamtheit
von 500.000 Fällen und wir schauen uns mal an,
was für Tabellen dabei herauskommen.
Und was für Key-Quadratwerte in diesen Tabellen stehen. Erst Beziehung
und das ist natürlich das, was bei Zufallsziehungen passiert.
Ich treffe die Grundgesamtheit nicht perfekt, obwohl ich sogar eine relativ große Stichprobe gezogen habe.
Ich habe tausend Fälle insgesamt aus der Stichprobe rausgeholt, aber wir sehen,
ich habe leicht einen leichten Zusammenhang in der Verteilung. Ich habe bei der Variable 1,
52 Prozent der Spalte oben links,
48 Prozent in der Spalt in der Zeile,
unten links bei der Ausprägung 2 sind es dann 50,449,6 Prozent und wir sehen auch in der Randverteilung,
ich habe auch in der Randverteilung der Variable 1 nicht perfekt die 50-50-Aufteilung erwischt,
die in der Grundgesamtheit eigentlich vorhanden ist,
sondern meine Verteilung ist 51,2 Prozent aller Fälle sitzen in der Ausprägung 1,
48,8 Prozent aller Fälle sitzen in der Ausprägung
2. Wenn wir jetzt nochmal den Vergleich der bedingten Spalten mit der Randspalte treffen,
also 52 auf 51,2 ist eine sehr leichte Abweichung, eine kleine Differenz,
das Gleiche gilt auch für 50,4 auf 51,2 und das spiegelt sich dann in der zweiten Zeile natürlich auch wieder.
Das heißt, wir sehen hier Dinge,
die wir ein klein wenig in Richtung eines Zusammenhangs interpretieren könnten.
Aber genau das ist die Frage, ist es jetzt eigentlich
etwas oder ist es nichts? Und wir sehen jetzt unten einen Tieg Quadratwert von 0,25,
der ist relativ klein,
da steht eine sehr große Fehlerwahrscheinlichkeit von 0,6 daneben,
von der wir im Moment eigentlich noch gar nicht so richtig wissen können,
dass es sie gibt, weil das jetzt erst die weiteren Schritte sind.
Also, was habe ich gemacht aus meinem Datensatz mit 500.000 Fällen,
1.000 gezogen, eine Kreuztabelle gebaut und insbesondere darum geht es jetzt den Tieg Quadratwert ausgerechnet, der beträgt 0,2,5,9.
Das Ganze wiederhole ich jetzt ein paar Mal. Nächste Tabelle gezogen,
Randverteilung, 50,749,3, also auch hier wieder nicht,
genau das erwischt, was in der Grundgesamtheit zu sehen ist,
die bedingten Verteilungen,
47,1 und 52,8,
Da sind die Differenzen schon deutlich größer als in der Tabelle,
die wir davor gesehen hatten.
Und wir haben einen Iki-Quadratwert von 5,24, also deutlich höher als vorher.
Und nein, die Wahrscheinlichkeit lassen wir im Moment noch außen vor.
Nächste Tabelle gezogen, 51,748,3, die Werte in den
bedingten Spalten könnt ihr euch selber anschauen.
Die Abweichung der Bedingten von den unbedingten Spalten sind wieder nicht so groß.
Und ich habe ein relativ kleines Skiquadrat von 0,5.
Das Ganze mache ich jetzt noch ein paar weitere Runden.
In Runde 9 sieht die Tabelle dann so aus,
50,1 und 49,9 in der unbedingten Randspalte,
den tatsächlichen Bevölkerungsparameter relativ gut getroffen und auch in den bedingten Spalten
bin ich relativ nahe an dem gleichverteilten Ergebnis dementsprechend mein T-Quadrat auch relativ klein,
0,3. Und in Tabelle 10 sieht es gleich und gleichzeitig auch ungleich aus.
Wir haben in der Randverteilung die 50-50-Verteilung nicht so gut getroffen mit 51,5 und 48,5,
aber die bedingten Spalten sind dann durch den Zufall der Ziehung relativ nah an der unbedingten Verteilung,
sodass wir hier sogar das Kleinste bisher beobachtet, Techiequadrat ausgerechnet haben.
Was merken wir uns an dieser Stelle,
wenn ich mit einer Zufallsstichprobe in eine Grundgesamtheit gehe,
in der es definitiv keinen Zusammenhang in meinen Daten gibt?
Das hatten wir in der allerersten Tabelle gesehen. Dann ist die Wahrscheinlichkeit,
dass ich ein Skiquadrat von null tatsächlich ziehe,
vielleicht nicht ganz null, aber so gut wie null.
Also ich werde aus einer Grundgesamtheit, in der kein Zusammenhang besteht,
immer ein mindestens winzigen Zusammenhang in einer Stichprobe sehen,
weil ich einfach die Grundgesamtheit mit der Stichprobe nicht ideal treffe.
Und wir haben eben auch schon festgestellt, ein T-Quadratwert lag bei 5.
Es wird auf alle Fälle auch hier Quadratwerte geben,
die sich deutlich von null unterscheiden.
Und jetzt gucken wir uns auf den nächsten Folien mal an,
wie das mit sehr vielen Ziehungen dann aussieht.
Was ich hier gemacht habe, ist zunächst die Tabellen,
die wir uns eben angeschaut haben, in dieses dichte Diagramm einzutragen.
Das heißt, ich habe in Schritten von jeweils 0,5 gesagt,
wie viele T-Quadratwerte waren kleiner als 0,5,
wie viele waren zwischen 0,5 und 1,
zwischen 1 und 1,5 und so weiter und so fort.
Und dann sehen wir also das, was hier als dichte Diagramm abgebildet ist, entstehen.
Das heißt, wir haben rechts diesen einen etwas größeren T-Quadratwert,
die meisten Skiquadratwerte liegen relativ dicht an der Nullen.
Wenn wir das jetzt fortsetzen, in dem gleichen Modell,
wie wir das bei Inferenz über Mittelwerte besprochen hatten und immer mehr Stichproben ziehen,
dann sehen wir eine Verteilung, sich entwickeln,
die sieht etwas anders aus als die Normalverteilung.
Die Verteilung, die wir hier sich entwickeln sehen, ist die Chi-Quaddratverteilung.
Sie macht aber für Kreuztabellen genau das Leiche, wie die Normalverteilung zum Beispiel für Mittelwerte oder Regressionskoeffizienten. Sie gibt uns die Möglichkeit,
einen konkreten Chi-Quaddratwert zu bewerten mit Blick auf die Frage,
wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dieses Chi-Quadrat zu beobachten,
wenn in der Grundgesamtheit kein Zusammenhang besteht, damit wir am Ende sagen können,
wenn wir ein einigermaßen großes Skifahrdrat beobachten, aha,
wir können davon ausgehen, dass in der,
oder dass der Zusammenhang, den wir in unserer Tabelle sehen,
auch auf die Grundgesamtheit übertragbar ist.
Also, was wir hier sehen, ist die Fortsetzung dessen,
was ich in den einzelnen Tabellen gezeigt habe,
auf 100 Tabellen, also immer wieder Kreuztabellen angelegt,
immer wieder Ichi Quadratwerte erzeugt und diese dann in dieses Diagramm eingetragen.
Das Ganze weiter fortgesetzt, jetzt sind es insgesamt 1000 Stichproben. Wir sehen,
hier taucht jetzt tatsächlich auch mal ein Skifahrdraht von etwa 10 auf,
aber wir sehen auch immer noch die allermeisten, die Quadratwerte liegen unterhalb
der 1. Vielleicht kann man auch die 2 noch mit einbeziehen,
ab dann wird es schon deutlich seltener.
Und jetzt habe ich das Ganze auf insgesamt 50.000 Stichproben ausgeweitet.
Da haben wir eine einzige, eine einzige Beobachtung ganz weit draußen bei 21,
also ein T-Quadrat von 21, irgendwas. Dann,
ich weiß nicht, ob man das so richtig gut erkennen kann,
geht es hier los, dass weitere Werte kommen,
aber so richtig sichtbar wird eigentlich erst bei Ichi Quadratwerten kleiner sechs,
dass hier was in der Verteilung passiert.
Und was wir hier sehen,
ist jetzt also der fast vorletzte Schritt auf dem Weg zur Antwort auf die Frage,
mit welchen Sieg Quadratwerten oder bei welchen vielen Quadratwerten kann ich eigentlich davon ausgehen,
dass ein Zusammenhang, den ich in meiner Tabelle sehe, für die Grundgesamtheit gilt.
All die sich die Quadratwerte oder Ki-Quadratwerte in diesem Bereich sind extrem wahrscheinlich,
wenn ich aus einer Grundgesamtheit ohne Zusammenhang eine Tabelle ziehe. Das heißt,
solche kleinen Ki-Quadratwerte würden mich nicht unbedingt dazu bringen,
zu sagen, ich habe hier tatsächlich etwas gefunden,
größere Ski-Quadratwerte würden das dann tun, in dem Sinne,
dass wir sagen, so eine Tabelle zu ziehen, die,
die sich Ski-Quadratwerte hervorbringt, wenn in der Grundgesamtheit kein Zusammenhang da ist, ist extrem unwahrscheinlich.
Deswegen gehen wir davon aus,
dass diese Tabelle aus einer Grundgesamtheit kommt,
in der es tatsächlich auch
einen Zusammenhang gibt
Wir machen das jetzt noch mal ein bisschen präziser. Die Wahrscheinlichkeit aus dem Ziehungsexperiment,
die Quadratwerte zu generieren, die kleiner 0,5 sind, beträgt in meinem Rechenbeispiel 0,25,
also 52 Prozent aller gezogenen Kreuztabellen, hat Michi Quadratwerte von kleiner 0,5.
Das Ganze schieben wir jetzt peu à peu weiter nach rechts. Die Wahrscheinlichkeit,
Skiquadratwerte bis maximal eins zu ziehen, beträgt 68 Prozent,
die Wahrscheinlichkeit, C-Quadratwerte bis maximal 1,5 zu ziehen, beträgt 78 Prozent bis 2, 84 Prozent, bis 2,589 Prozent. Und damit kommen wir jetzt langsam in die Gegend,
über die wir ja auch bei den Mittelwerten und Regressionskoeffizienten gesprochen hatten,
wo wir gesagt haben,
wir wollen eigentlich eine Aussagesicherheit von 90 Prozent, 95 Prozent,
99 Prozent, Hier wären wir jetzt an der Stelle,
wo wir sagen könnten, okay, wenn ich ein Cheak-Quadrat werde,
in einer 2x2-Tabelle, wenn ich in einer 2x2-Tabelle einen Teak-Quadrat werde,
größer 3 ziehe, dann kann ich mit 92-prozentiger Sicherheit,
dafür steht die 0,92 da oben,
dann kann ich mit 92-prozentiger Sicherheit sagen, diese Stichprobe kommt aus einer Grundgesamtheit,
in der irgendein Zusammenhang zwischen den Daten da ist,
also die Nullhypothese,
dass es keinen Zusammenhang zwischen meinen Variablen gibt,
kann verworfen werden und die alternative Hypothese kann angenommen werden.
Wie stark dieser Zusammenhang ist, das steht noch auf einem anderen Blatt,
aber wir kommen jetzt langsam in den Bereich,
wo wir sagen würden, okay, hier passiert etwas in meinen Daten,
das ich von meiner Stichprobe auf die Grundgesamtheit verallgemeinern kann.
Und das können wir jetzt nach rechts noch ein Stück fortsetzen.
Hiequadrat bis 3,5 in 94 Prozent aller Fälle,
also mein Tea-Quadrat größer ist als 3,5,
dann kann ich mir mindestens zu 94 Prozent sicher sein,
dass es sinnvoll ist, die Hypothese abzulehnen oder ich habe eine Fehlerwahrscheinlichkeit von 6 Prozent etwas falsch zu machen, wenn ich die Nullhypothese ablehne.
Und wir gehen hier noch einmal bis sechs hoch,
ein H-Quadratwert größer sechs, taucht,
kleiner sechs taucht in 98,5 Prozent aller Fälle auf, das heißt,
größer sechs sind 1,5 Prozent aller Fälle und wir steigen wieder in die gleiche Logik ein,
wenn mein Key-Quadratwert diese Größe hat, dann würde ich sagen,
ich habe einen Zusammenhang, der auch in die Grundgesamtheit übertragbar ist,
wenn er kleiner ist,
dann habe ich das entsprechend nicht.
Das Ganze gucken wir uns jetzt einmal am konkreten Beispiel an,
die Zahlen sind etwas andere als in dem ursprünglichen Beispiel,
aber Der Inhalt ist der Gleiche.
Also wir wählen wieder SPD und CDU. Wir tun das als Menschen,
die in der Stadt wohnen oder auf dem Land.
Ich habe den Zusammenhang ein klein wenig schwächer gemacht. Und wenn man für den hier bestehenden Zusammenhang die erwarteten Zellhäufigkeiten ausrechnet,
ausgehend da von Ki-Quadrat ausrechnet,
dann kommt man auf ein Ki-Quadratwert von 2,23. Und jetzt ist die Frage,
okay, ich sehe einen leichten Zusammenhang,
die Leute in der Stadt wählen etwas häufiger SPD,
als CDU, die Leute auf dem Land wählen,
etwas häufiger CDU als SPD,
kann ich diesen Zusammenhang auf die Grundgesamtheit übertragen oder muss ich davon ausgehen,
dass es ein Ziehungsfehler oder ein Zufallsfehler in der Ziehung ist.
Dazu gucken wir einmal in die Tabelle,
mit unserem ausgerechneten Ki-Quadratwert von 2,23 landen wir unterhalb der Schwelle von 2,5.
Also diese Schwelle ist natürlich jetzt willkürlich gesetzt
Landen wir unterhalb der Schwelle von 2,5,
von der wir wissen, 89 Prozent aller Beobachtungen,
aller beobachteten Skiquadratwerte liegen in dem Intervall 0 bis 2,5. 11 Prozent aller Tabellen,
die wir aus einer Grundgesamtheit ohne Zusammenhang ziehen würden,
jenseits dieses Wertes liegen.
Damit haben wir aber nicht mal eine Aussagesicherheit von 89 Prozent
oder haben eine Fehlerwahrscheinlichkeit von mindestens 11 Prozent,
wenn wir auf der Basis dieses Ski-Quadratwertes die Nullhypothese verwerfen würden.
Also würden wir sagen, bei so einem kleinen Skiquadratwert bleibt
die Nullhypothese gültig oder betrachten wir die Nullhypothese weiterhin als gültig
und gehen davon aus, dass die Alternativhypothese nicht gilt.
Also diese Daten kommen nach unserer Interpretation,
auch wenn wir einen gewissen Zusammenhang gesehen haben,
nicht mit hinreichender Sicherheit aus einer Grundgesamtheit, in der es einen Zusammenhang gibt.
Sie können mit einiger Wahrscheinlichkeit auch aus einer Grundgesamtheit ohne das Zusammenhang kommen und
deswegen würden wir die Nullhypothese weiterhin als bestätigt ansehen oder würden sagen,
die Nullhypothese findet Unterstützung, die Alternativhypothese nicht.
Das liegt natürlich auch daran, dass ich hier eine
sehr kleine Stichprobe von nur 25 Personen gezogen habe.
Hi-Quadrat reagiert, wie auch die Normalverteilung oder die Ski-Quadratverteilung reagiert,
wie auch die Normalverteilung natürlich sehr stark auf die Größe der Stichprobe.
Das heißt, wenn ich diese gleichen Prozentwerte in einer deutlich
größeren Stichprobe habe, dann ist das Ski-Quadrat automatisch größer.
Das hatten wir letzte Woche uns auch angeschaut,
was passiert mit dem Peak-Quadrat, wenn ich die Zahl der Fälle verdopple.
Das Ski-Quadrat wird doppelt so groß. Wenn ich also jetzt hier
eine normale Stichprobengröße von etwa 1000 annehmen würde, das heißt,
mit 40 multiplizieren, dann hätte ich ein Ski-Quadrat von Über 80.
Und dann würde ich natürlich sagen, okay, in einer Tabelle,
die auf tausend Untersuchungsfällen beruht und in der ich einen Unterschied zwischen SPD und CDU von 57 und 43 Prozent sehe,
da kann ich dann auch schon davon ausgehen,
dass das in der Grundgesamtheit gilt,
aber in so einer kleinen Stichprobe funktioniert das eben so nicht.
Wir hatten schon ganz kurz, letzte Woche über die Freiheitsgrade in Kreuztabellen gesprochen.
Ich hatte, als wir über die T-Verteilung gesprochen hatten,
gesagt, die T-Verteilung ist, anders als die Z-Verteilung,
eine Verteilung, die auf bestimmte Merkmale meines Prüfprozesses reagiert,
also zum Beispiel auf die Frage,
wie viele Regressionskoeffizienten habe ich denn eigentlich in einer Regressionsgleichung.
Etwas ähnliches müssen wir bei Kreuztabellen auch beachten. Das heißt,
auch hier steht die Frage, Freiheitsgrade, also die Frage,
wie viele Zellen einer Tabelle können sich eigentlich frei entfalten,
wenn andere Zellen schon besetzt sind.
Und wir hatten in der letzten Woche kurz darüber gesprochen,
wie diese Zahl der Freiheitsgrade zumindest in einer 2-mal-Zweit-Tabelle aussieht.
Da haben wir genau einen Freiheitsgrad,
weil sobald eine Zelle in einer 2-mal-2-Tabelle besetzt ist,
alle anderen Zellen automatisch gefüllt werden können,
einfach durch Vergleichen der Randverteilung mit der bedingten Verteilung.
Je größer die Tabelle wird, Frage?
Dazu kommen wir gleich. Also die Frage war,
gibt es konkrete Richtwerte, ab welchem Ski-Quadratwert wir dann sagen,
ja, das Ergebnis ist signifikant,
da sind wir noch nicht ganz angekommen,
aber wir bewegen uns mit großen Schritten dahin
Zunächst die Antwort auf die Frage, okay,
wie viel Freiheitsgrade hat denn nun eine Kreuztabelle?
Bei der zweimal Zweittabelle haben wir es ja eher so gefühlt erarbeitet.
Die Anzahl der Freiheitsgrade in einer Kreuztabelle wird berechnet,
indem ich die Anzahl der Zeilen nehme, davon eins abziehe,
die Anzahl der Spalten nehme, davon eins abziehe, beides miteinander multipliziere.
Und dann kriege ich raus, wie viele Zellen in der Tabelle
sich frei bewegen können und wie viele Zellen vordefiniert sind,
wenn diese Zahlen an Zellen, die dem Freiheitsgrad entsprechend besetzt ist.
Bei der Tabelle, die wir hier haben,
wie wählen Arbeiter, Freiberuflerinnen und Angestellte und Beamtinnen, SPD,
CDU und FDP haben wir drei Spalten, drei Zeilen,
drei minus eins, mal drei minus eins ist vier.
Das heißt, diese Tabelle hat vier Freiheitsgrade.
Man könnte auch sagen, wenn wir über Kreuztabellen sprechen,
dann fasst die Zahl der Freiheitsgrade in gewisser Weise
die Struktur der Tabelle
Welle zusammen. Auch wenn natürlich leicht unterschiedliche Formen von Tabellen
bei gleichen Freiheitsgraden landen können. Also wir könnten jetzt,
muss ich aufpassen, wir könnten auch vier Spalten,
vier minus eins ist drei, das wird nichts.
Egal, bevor ich jetzt Quatsch erzähle, also unterschiedliche,
unterschiedlich geformte Tabellen können den gleichen Freiheitsgrad haben,
aber trotzdem fasst der Freiheitsgrad in gewisser Weise die Struktur der Tabelle zusammen.
Warum ist das Ganze relevant? Warum müssen wir bei Kreuztabellen auch über Freiheitsgrade reden,
so wie wir das bei der T-Statistik getan haben?
Weil sich in Abhängigkeit von der Zahl der Freiheitsgrade in einer Tabelle
die Chiquadratverteilung verändert und das will ich jetzt im Folgenden nochmal zeigen.
Ich habe hier nochmal die Chiquadratverteilung für eine Tabelle mit einem Freiheitsgrad.
Das heißt, Großteil der Werte, den wir erwarten,
liegt wirklich sehr nah an der Null.
Das war ausgehend von einer Stichprobengröße von 100. So sieht das Ganze aus,
wenn wir eine sehr große Tabelle haben mit 18, mit 16 verhältst geraden.
Also wir haben eine 9x2-Tabelle zum Beispiel neunmal drei Tabelle zum Beispiel,
9 minus 1 ist 8, drei minus 1 ist zwei,
acht mal zwei ist 16 oder wir haben eine 5x5-Tabelle,
wie auch immer.
Also je größer die Tabellen werden, desto wahrscheinlicher werden größere Richie-Quadratwerte. Also hier ein Freiheitsgrad,
hier 16 Freiheitsgrade und wir sehen in dem gleichen Ziehungsexperiment,
tauchen Ki-Quadratwerte zwischen Null und etwa 8 so gut wie gar nicht auf,
während in diesem Beispiel 8 schon ein richtiger Ausnahmewert gewesen ist
Dann kommen überhaupt erst mal bestimmte Quadratwerte und
erst relativ weit draußen, wenn man so will.
Also jenseits der 30 tauchen dann die seltenen Ski-Quadratwerte auf,
die dafür stehen, dass der Zusammenhang,
den wir in unserer Kreuztabelle gefunden haben,
auch auf eine Grundgesamtheit übertragen werden kann.
Und weil das so ist, weil also die Ski-Quadratverteilung in
Abhängigkeit von der Zahl der Freiheitsgrade sehr unterschiedlich aussehen kann.
Deswegen müssen wir die Zahl der Freiheitsgrade bei der Analyse von Ski-Quadrat
berücksichtigen. Wir vergrößern die Stichprobe noch mal ein bisschen,
um die Kurven etwas glatter zu machen.
Also ein Freiheitsgrad, die Kurve sieht dann mit tausend Ziehungen
so aus bei 16 Freiheitsgraden, sieht die Kurve so aus.
Also wir sehen fast schon von der Form her eine Normalverteilung.
Sie ist ein kleines bisschen rechtsschief, aber ganz anders als das,
was wir hier haben, dass ich massiv an die Null anschmiegt.
Und wenn wir das Ganze dann auf 50.000 Stichproben ausdehnen,
dann haben wir hier wirklich eine sehr gleichmäßige Kurve,
die tatsächlich noch nicht ganz der Normalverteilung entspricht.
Aber je mehr Freiheitsgrade wir kriegen,
desto ähnlicher wird die Form der Skiquadratverteilung dann auch der Normalverteilung.
Das ist allenfalls von heuristischem Wert,
weil es uns noch mal deutlich macht, diese beiden Verfahren einmal über Skiquadratverteilung,
einmal über Normalverteilung oder über T-Verteilung zu gehen,
haben alle den gleichen Hintergrund.
Wir versuchen immer herauszukriegen, welche Abweichungen in unseren Daten uns dazu berechtigen,
dann wirklich davon auszugehen, dass ein Zusammenhang in unseren Daten auch für eine Grundgesamtheit steht.
Genau, also hier sind langsam schon die Geschwister in Sicht,
also die Z- oder Normalverteilung und die T-Verteilung
Hier nochmal eine Abbildung aus Kühnel Krebs 2001,
die jetzt tatsächlich dann mit glatten Kurven für die unterschiedlichen Freiheitsgrade
das aufgemalt haben, die rote Kurve für einen Freiheitsgrad.
Also die geht gegen null dann wirklich gegen unendlich.
Und dann die immer flacher werdenden Kurven für Dreifachheitsgrade,
für zehn Freiheitsgrade und so weiter und so fort.
Damit sind wir das erste Mal an der Stelle,
dass ich eine Frage stelle. Ein größerer Wert für den Freiheitsgrad
steht für eine Tabelle mit mehr Spalten und oder Zeilen.
Sie haben Aussage, das ist noch nicht die Frage.
Sie haben zwei Tabellen mit leichem Michi Quadratwert. Die zweite
Tabelle hat aber einen größeren Freiheitsgrad, also mehr Spalten und Zeilen.
Welche Tabelle, für welche Tabelle ist der gefundene Zusammenhang mit größerer Wahrscheinlichkeit signifikant?
Tabelle 1, die mit dem kleineren Freiheitsgrad, Tabelle 2,
die mit dem größeren Freiheitsgrad, spielt keine Rolle,
es kommt darauf an, wie die Zellen besetzt sind,
mir leid, die Frage kann ich so noch nicht beantworten.
So, dann gucken wir uns das mal an.
Also auf die Frage, für welche Tabelle ist der gefundene Zusammenhang mit größerer Wahrscheinlichkeit signifikant?
Antworten knapp die Hälfte für die Tabelle mit der kleineren Zahl der Freiheitsgrade.
Ein Drittel sagt für die Tabelle mit der größeren Zahl an Freiheitsgraden,
elf Prozent sagen, für die Zahl der Freiheitsgrade ist entscheidend,
wie die Zellen besetzt sind.
Und acht Prozent sagen, können Sie das bitte nochmal erklären.
Das sind unerwartet wenig Prozent für D an der Stelle.
Richtig ist tatsächlich die Antwort eins. Wenn wir einfach hier
nochmal diese beiden Abbildungen miteinander vergleichen,
diese Abbildung steht für eine Tabelle mit kleinem Freiheitsgrad,
also wenigen Zeilen und Spalten.
Diese Abbildung steht für eine Tabelle mit höherem Verhältsgrad
Also deutlich mehr Zeilen und Spalten,
wenn wir jetzt einfach mal willkürlich sagen,
wir haben ein Tea-Quadrat von sechs gemessen,
dann würden wir bei der Tabelle mit einem Freiheitsgrad ein Ergebnis erzielt haben,
wo wir sagen, oh, das ist relativ unwahrscheinlich,
ein Tea-Quadrat von sechs zu messen,
wenn in der Grundgesamtheit kein Zusammenhang ist, also gehen wir davon aus,
dass in der Grundgesamtheit ein Zusammenhang vorliegt, während wenn wir hier sechs messen,
dann sind wir noch gar nicht so richtig in dem Spiel überhaupt etwas zu sehen in der Tabelle und in dem Sinne ist dann also die Antwort eins richtig,
wenn wir von dem willkürlichen gleichen Tea-Quadrat ausgehen, ohne die Frage,
was sind die konkreten Grenzen, die gerade gestellt wurde,
schon beantwortet zu haben, dann können wir trotzdem sagen,
einfach vor dem Hintergrund der beiden Grafiken,
die wir eben gesehen haben, Gleicharchiequadrat,
dann ist auf alle Fälle für die Tabelle mit dem kleineren Zahl an Freiheitsgrade die Wahrscheinlichkeit größer,
dass wir tatsächlich einen signifikanten Zusammenhang haben.
Ob das dann tatsächlich so ist, das können wir erst besprechen,
wenn wir die Frage mit den Grenzen beantwortet haben.
Wie geht es jetzt weiter? Wir haben also jetzt unsere Kreuztabelle.
Wir haben den Iki-Quadratwert ausgerechnet. Wir können die Vergleiche der Bedingten
mit den unbedingten Spalten durchführen, also eine inhaltliche Aussage führen.
Aber was machen wir jetzt genau mit dem Iki-Quadratwert?
Um das jetzt spezifischer machen zu können,
und das ist jetzt die versprochene Antwort auf die Frage,
wo ist denn eigentlich eine Grenze?
Müssen wir nochmal über Signifikanzniveaus und Fehler Wahrscheinlichkeiten kurz sprechen?
Das ist alles schon bekannt. Signifikanzniveau ist gleiche 1,
minus die Fehlerwahrscheinlichkeit. Oder Signifikanz ist gleiche 1,
minus Alpha. Die Fehlerwahrscheinlichkeit ist gleich 1, minus
Signifikanzniveau oder Alpha ist gleich 1 minus Signifikanz. Also wir haben entweder die Fehlerwahrscheinlichkeit,
wir wollen mit maximal einem, mit maximal 5,
mit maximal 10 Prozent etwas falsch machen,
wenn wir die nur Hypothese ablehnen oder wir haben die Signifikanz oder Aussagesicherheit.
Wir wollen uns unsere Aussage zu 90, 95 oder 99 Prozent sicher sein.
Und das sind dann auch die Werte, die hier nochmal stehen.
Einmal jeweils als Prozentwerte, einmal als Anteilswerte ausgedrückt.
Und das verweist jetzt schon darauf,
dass wir dich hier Quadratwerte letzten Endes mit der gleichen Logik beurteilen,
mit der wir die Z-Werte beurteilt haben und mit der wir die T-Werte beurteilt haben.
Das heißt, die HI-Quadratwerte, genau wie die Z und die T-Werte,
sind für uns eigentlich gar nicht so wichtig,
sondern sie sind für uns nur ein Zwischenschritt auf dem Weg zu dieser Fehlerwahrscheinlichkeit.
Das heißt, wir arbeiten bei den Skiquadratwerten mit den gleichen Fehlerwahrscheinlichkeiten,
mit denen wir auch bei T und Z arbeiten
Sodass wir dann für uns setzen,
ich möchte eine Aussagesicherheit von 90 Prozent erreichen,
weil ich in einem relativ kleinen Datensatz der Länder vergleicht,
arbeite mit nur 36 Fällen drin.
Da ergibt es nicht so richtig viel Sinn bei der Signifikanz, ewig weit hochzugehen.
Oder aber ich habe einen großen Umfragedatensatz und dann würde ich
eher mit einer Signifikanz von 99 Prozent oder einer Fehlerwahrscheinlichkeit von 1 Prozent arbeiten.
Und die einzige Frage ist dann noch, okay,
und wie kriege ich diese Fehlerwahrscheinlichkeiten für meine Skiquadratwerte ermittelt?
Eine Variante wäre, das direkt über Integralrechnung zu machen,
also ausgehend von den Kurven, die wir beschrieben haben.
Die Variante für sie ist genauso und das wird in den
Tutorien dann nochmal besprochen, genauso in Tabellen zu gucken,
wie das für Z und T passiert ist.
Dann gibt es nicht die Quadrattabelle in der unterschiedlichen Freiheitsgrade abgetragen
sind und wo ich für die unterschiedlichen Freiheitsgrade dann ermitteln kann,
ist er ein T-Quadratwert von 12,3 bei der gegebenen Anzahl von Freiheitsgraden,
die ich habe.
Einer der unterhalb oder oberhalb des von mir gesetzten Signifikanzniveaus liegt.
Also die Logik ab hier ist genau die gleiche wie bei
den Tests, die wir bisher schon bearbeitet haben.
Auch die Logik des Aufbaus der Archie-Quadrat-Tabelle ist identisch zu der Logik des Aufbaus der T-Tabelle.
Also ab hier wird eigentlich nur noch Bekanntes gemacht.
Wir setzen unser Niveau der Aussagesicherheit oder unser Niveau der Fehlerwahrscheinlichkeit.
Mit diesem Niveau gehen wir in die Kreuztabelle,
in die High-Quadrat-Tabelle und gucken, entspricht,
das berechnete Chiquadrat einem Wert oberhalb oder unterhalb der über die gewünschte Fehlerwahrscheinlichkeit gesetzten Schwelle.
Das heißt, wir merken uns keine Schwellen für die High-Quadratwerte,
sondern wir merken uns Schwellen für das Niveau der Aussagesicherheit
beziehungsweise für die Fehlerwahrscheinlichkeit und können in einer Tabelle ermitteln,
ob ein bestimmter Skiquadratwert dieses Niveau über- oder unterschreitet.
Wenn wir uns das jetzt nochmal am Beispiel angucken,
dann würde das also bedeuten, okay,
wir haben eine Tabelle gemalt mit 25 Fällen insgesamt.
Als ersten Schritt legen wir fest, wir wollen ein Signifikanzniveau
von 90 Prozent erreichen, weil wir eine relativ kleine Fallzahl haben.
Also wenn wir die Null-Hypothese ablehnen wollen, dann wollen wir
uns mindestens 90 Prozent Sicherheit sicher sein, dass wir das zurecht tun.
Das heißt, wir ermitteln einen kritischen Wert für Skiquadrat,
so wie wir das auch mit kritischen Werten für Z und Tee gemacht haben.
Wir ermitteln einen empirischen Wert für Skiquadrat, wir vergleichen
die beiden miteinander und dann sind wir auch schon fertig.
Wenn wir jetzt also sagen, okay, wir haben hier eine 2x2-Tabelle,
das heißt, die Tabelle hat einen Freiheitsgrad,
Wir wollen ein Signifikanzniveau von mindestens 90 Prozent erreichen,
dann können wir aus dieser Tabelle, von der ich eben gesprochen habe,
ablesen, einen Freiheitsgrad-Signifikanzniveau von 90 Prozent.
Mein kritisches Set ist 2,706, das heißt immer,
wenn das HI-Quadrat in meiner Tabelle 2,706 überschreitet,
würde ich sagen, die Evidenz spricht für die Alternativhypothese.
Die Nultypothese wird abgelehnt, wenn mein empirisches Skiquadrat kleiner ist als dieses kritische Skiquadrat,
würde ich sagen, die Evidenz spricht nicht für die Alternativhypothese,
sondern unterstützt die Nullhypothese. Unser ausgerechnetes Skiquadrat ist 2,2223,
2,23 ist kleiner als 2,76, Ergo würden wir sagen,
in diesem Falle wird die Nullhypothese nicht abgelehnt,
sondern wir gehen davon aus, dass der Zusammenhang,
den wir hier in den Daten sehen,
für die Grundgesamtheit nicht mit ausreichender Sicherheit als Zusammenhang angenommen werden kann.
Einmal, weil die Frage hier konkret kam, ist die Frage damit, Beantwortet.
Okay, gut. So, dann noch mal die Frage,
wie macht es eigentlich das Statistikprogramm? Und das Statistikprogramm berechnet uns eben direkt wieder die Fehlerwahrscheinlichkeiten,
sodass wir, wenn wir mit Output von Statistikprogrammen arbeiten,
gar nicht in diese Ski-Quadrattabelle reingehen müssen,
bei der Arbeit mit dem Statistikprogramm würden wir das Ergebnis vorgelegt bekommen für diese Tabelle,
Ski-Quadrat ist 5,24, mit einer Fehlerwahrscheinlichkeit von 0,02,2.
Das einzige, was wir jetzt hier machen müssen, ist zu sagen,
okay, ich lege mein Signifikanzniveau fest, 95 Prozent,
95 Prozent würde heißen 5 Prozent Fehlerwahrscheinlichkeit in Anteilswerte umgerechnet,
unsere Fehlerwahrscheinlichkeit Soll nicht größer sein als 0,05. Die Fehlerwahrscheinlichkeit, die hier ausgerechnet wurde, ist 0,022.
Das ist kleiner als 0,5. Also die Fehlerwahrscheinlichkeit oder die Wahrscheinlichkeit,
etwas falsch zu machen, wenn wir ausgehend von dieser Tabelle sagen,
es gibt einen Zusammenhang in der Grundgesamtheit,
ist kleiner als der von uns gesetzte,
kritische Wert von 0,05. Und dementsprechend würden wir sagen, aha,
der Zusammenhang, den wir hier zwischen Variable 1 und Variable 2 sehen,
ist ein Zusammenhang, den wir nicht nur in der Stichprobe haben,
sondern bei dem wir davon ausgehen können,
dass er auch in der Grundgesamtheit gilt.
Genau. Also, Entschuldigung, hier nochmal aufgeschrieben,
die Denke
Durch das Durchgestrichen angedeutet, wir brauchen,
wenn wir diesen Output von Staat da haben,
über das Siegquadrat eigentlich gar nicht mehr nachdenken,
weil wir direkt über die Fehlerwahrscheinlichkeit unserer Aussage treffen können.
Und wenn wir es nochmal in kritische Werte übersetzen wollten,
dann würden wir sagen, wir haben eine kritische Fehlerwahrscheinlichkeit von
0,05. Wir haben eine empirische Fehlerwahrscheinlichkeit von 0,22. Die ist kleiner,
dementsprechend nehmen wir die Alternativhypothese an und lehnen die Nullhypothese ab.
Das war die Logik der Signifikanzberechnung für Chi-Quaddratwerte. Wichtig ist jetzt nochmal zu beachten,
dass wir bei den Chi-Quaddratwerten eine umgekehrte größer kleiner Relation haben,
als bei den Fehlerwahrscheinlichkeiten,
weil der Chi-Quadratwert für das Niveau der Aussagesicherheit steht und die Fehlerwahrscheinlichkeit dann eben für die Fehlerwahrscheinlichkeit.
Deswegen, dass die empirische Fehlerwahrscheinlichkeit soll kleiner sein als die kritische Fehlerwahrscheinlichkeit,
die wir uns gesetzt haben, in diesem Falle 5 Prozent.
Das empirische, richtige Quadrat soll größer sein als das kritische Skiquadrat,
weil das empirische Skiquadrat in Wahrscheinlichkeiten umgesetzt eben nicht für die Fehlerwahrscheinlichkeit,
sondern für das Signifikanzniveau oder für die Aussagesicherheit steht.
Also, wenn ich über die Fehlerwahrscheinlichkeiten denke,
die empirische Wahrscheinlichkeit muss kleiner sein als die kritische Wahrscheinlichkeit,
wenn nicht über die Aussagesicherheit nachdenke,
dann muss die empirische Aussagesicherheit größer sein als die kritische Aussagesicherheit.
Am Ende ist es völlig egal,
in welcher Art und Weise sie da drauf schauen,
weil das einfach ja nur Kehrwerte voneinander sind,
beziehungsweise Differenzwerte,
die sich jeweils zusammen auf eins addieren,
aber daher eben die unterschiedlichen Logiken
Und das ist einmal wichtig, im Kopf zu haben,
wenn man das eine oder das andere interpretiert, um eben nicht in die falsche Interpretation reinzugeraten.
Damit bin ich mit den Grundlagen von Kreuztabellen mit Blick auf die Frage einerseits,
wie ermitteln wir Zusammenhänge in Kreuztabellen,
wie können wir also inhaltliche Aussagen ausgehen von Kreuztabellen treffen und auch mit Blick auf die Frage,
wie können wir ermitteln, ob der Zusammenhang,
den wir in einer Kreuztabelle sehen, signifikant ist oder nicht am Ende.
Und ich komme zu einem Punkt, der sich hier anbietet,
weil einerseits die Begriffe Orts und Ortsratio und das,
was dahinter steckt,
in weiteren statistischen Verfahren eine relativ große Bedeutung haben und im Kontext von Kreuztabellen einigermaßen einfach erklärt werden kann,
was hinter diesen Begriffen steckt,
die sie auch häufig in statistischen Analysen finden werden und die dann vielleicht etwas weniger mysteriös erscheinen,
wenn man über diese Werte einmal gesprochen hat.
Und das will ich im Folgenden tun. Und jetzt gehen wir dahin,
uns das einmal systematisch anzuschauen,
indem ich jetzt über Orts und Outtracio spreche und auch diese Darstellungsweise,
von der ich gerade gesprochen habe, dann überhaupt erstmal einführen werde,
obwohl sie eigentlich schon wissen, worum es geht.
Also wenn wir über Orts reden, dann reden wir,
wenn wir es auf Deutsch ausdrücken wollen würden, über Chancen.
Und zwar in der Art und Weise,
wie zum Beispiel beim Sportwetten auch über Chancen geredet wird.
Bei Sportwetten wird die sogenannte Wettsieg- oder Gewinnquote häufig auch als Quote abgekürzt, als Orts bezeichnet.
Also Orts sind sozusagen die übliche Weise, wie Buchmacher und Buchmacherinnen Gewinnwahrscheinlichkeiten darstellen.
Und ja, die Bezeichnung OZ leitet sich davon ab.
Die Frage ist also, wie werden dieser Orts ausgerechnet?
Was können wir damit im Weiteren anfangen? Die Ots,
also die Chance, bedeutet statistisch oder Wahrscheinlichkeitstechnisch definiert,
die Wahrscheinlichkeit, dass sein Ereignis eintritt,
geteilt durch die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis nicht eintritt.
Diese beiden Wahrscheinlichkeiten sind die Wahrscheinlichkeiten, über die wir in
der ersten Frage eben gesprochen haben. 0,7 die Wahrscheinlichkeit,
dass jemand SPD wählt, 0,3 die Wahrscheinlichkeit, dass jemand SPD nicht wählt.
Wir bauen bei dieser Formel auf die Festlegung,
dass Wahrscheinlichkeiten immer nur im Intervall von 0 bis 1 berechnet werden,
wobei 0 heißt, das Ereignis tritt überhaupt nicht ein.
Eins heißt, das Ereignis tritt immer ein. Und wenn wir dann sagen,
die Wahrscheinlichkeit, dass sein Ereignis eintritt, geteilt durch die Wahrscheinlichkeit,
dass das Ereignis nicht eintritt, dann heißt es immer,
die eine Wahrscheinlichkeit oder eins minus die eine Wahrscheinlichkeit ergibt die andere Wahrscheinlichkeit,
weswegen auf 0,7 als die Wahrscheinlichkeit, SPD zu wählen,
0,3, die richtige Antwort war auf die Frage,
nicht SPD zu wählen.
Und offensichtlich sind die allermeisten von ihnen damit so weit vertraut,
dass wir das jetzt hier einsetzen können.
Also Otz oder die Chance, Wahrscheinlichkeit, dass es Ereignis eintritt,
geteilt durch die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis nicht eintritt.
Und jetzt kommt nochmal wieder diese Notation, SPD,
senkrechter Strich statt, wenn wir im Kontext von Wahrscheinlichkeitsrechnung diese Figur verwenden,
x senkrechterstrich Y oder irgendetwas senkrechterstrich Y, dann soll das immer ausdrücken.
Wir berechnen eine Art von Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Ereignis,
gegeben, dass ein anderes Ereignis schon eingetreten ist.
Also hier die Wahrscheinlichkeit, SPD zu wählen, gegeben,
dass ich in der Stadt wohne. Oder in Alternativen die Wahrscheinlichkeit,
CDU zu wählen, gegeben, dass ich in der Stadt wohne,
gegeben, dass ich auf dem Land wohne oder im Zweifelsfalle auch die Wahrscheinlichkeit,
nicht SPD zu wählen, gegeben, dass ich in der Stadt wohne.
Alles kann ich durch diesen Ausdruck ausdrücken. Und die Ots,
SPD zu wählen, gegeben, dass ich in der Stadt wohne,
sind dann entsprechend der verbalisierten Formel oben. Die Wahrscheinlichkeit,
SPD zu wählen, gegeben, dass ich in der Stadt wohne,
geteilt durch die Wahrscheinlichkeit, nicht SPD zu wählen, gegeben,
dass ich in der Stadt wohne oder etwas anders auszudrückt,
ausgedrückt, Wahrscheinlichkeit, SPD zu wählen, gegeben,
ich wohne in der Stadt, getan, durch eins,
minus diese Wahrscheinlichkeit ist, was das Gleiche ist,
wie die Wahrscheinlichkeit, nicht SPD zu wählen.
Das heißt, wir haben,
wenn wir in unsere Kreuztabelle gucken, einmal zehn Personen,
die in der Stadt wohnen, von 16 und SPD wählen.
Das sind diejenigen, die die Wahrscheinlichkeit, SPD zu wählen,
wenn ich in der Stadt wohne, ergeben.
Und wir haben sechs, die in der Stadt wohnen und nicht SPD wählen.
Das Ganze ist dann also zehn durch 16 geteilt,
durch sechs, durch 16 oder 0,625 geteilt durch 0,375. Ergibt
einen Wert von 1,6 Periode, als die Orts-SPD zu wählen,
wenn ich in der Stadt wohne.
Und ich habe jetzt hier unten aufgeschrieben, unten links,
die Orts bewegen sich in einem Intervall von 0 bis unendlich.
Wobei Orts von 1 heißen, es gibt keinen Unterschied zwischen der Wahrscheinlichkeit,
dass das Ereignis eintritt und dass das Ereignis nicht eintritt.
Also beide Wahrscheinlichkeiten sind
0,5 durch 0,5 ergibt eins. Wenn die Orts kleiner sind als Null kommen,
als ein, als wenn die Orts kleiner sind als eins,
dann bedeutet das, dass die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis eintritt,
geringer ist als die Wahrscheinlichkeit, dass es nicht eintritt.
Umgekehrt, wenn die Ortsgröße eins sind, ist die Wahrscheinlichkeit,
dass das Ereignis eintritt größer als die Wahrscheinlichkeit, dass es nicht eintritt,
wenn zehn Leute von 16 SPD wählen und sechs Leute von 16 dementsprechend nicht SPD wählen,
ist die Wahrscheinlichkeit, SPD zu wählen gegeben.
Ich wohne in der Stadt größer als Nicht-SPD zu wählen und
das kommt in dem Wert von 1,16 da oben zum Ausdruck.
Wir können diese Rechnung jetzt noch etwas vereinfachen, indem wir sagen,
Orts-SPD zu wählen gegeben, ich wohne in der Stadt,
da muss ich gar nicht zehn durch 16 geteilt durch sechs durch 16 rechnen,
denn die 16 steht auf alle Fälle immer über und unter dem Bruchstrich,
weil es ja die gleiche Basiszahl ist,
von der die Anteilswerte her berechnet werden.
Das heißt, ich kann auch eigentlich von vornherein die zehn durch die sechs teilen,
die in der Tabelle stehen und kommen dann dementsprechend auch auf
diesen Ortswert von 1,6 oder die Chance etwas zu tun gegeben,
dass etwas anderes erfüllt ist.
Gleich die nächste Frage an Sie. Frauen haben bei der
letzten Bundestagswahl 24 zu 24 Prozent CDU gewählt, 76 Prozent der Frauen,
die gewählt haben, haben dementsprechend nicht CDU gewählt,
welche Aussage ist richtig Orts-CDU zu wählen gegeben,
dass man eine Frau ist, größer eins, gleich eins, kleiner eins.
Etwas mehr als vier Fünftel von Ihnen sind der Meinung,
dass die Antwort C die richtige Antwort ist,
der Meinung bin ich auch,
wir gehen nochmal
kurz hierher zurück
Wenn wir, was man der Einfachheit halber machen kann,
einfach die beiden Prozentwerte in die Formel eintragen,
also nehmen wir der Einfachheit halber diese Formel,
dann hätten wir 76, 24 Prozent,
die wir auf den Bruchstrich scheiben, 76 Prozent,
die wir unter den Bruchstrich schreiben und wir würden definitiv einen Wert deutlich kleiner als Null herausbekommen.
Also in dem Sinne ist die Antwort, sie hier die richtige Antwort. Nachdem wir die Orts bestimmt haben,
gibt es noch einen weiteren Begriff, den sich einzuführen lohnt,
weil auch er häufig in Texten auftaucht und weil er uns dann auch nochmal ermöglicht,
Effektstärken zu vergleichen,
die in die eine oder in die andere Richtung gehen,
nämlich die Frage,
Welcher Wert oberhalb von 1 steht eigentlich für einen gleich starken Zusammenhang wie ein Wert unterhalb von 1?
Mit dem konkreten Beispiel hier würden Sie sagen, naja,
10 zu 6 oder 6 zu 10,
also beides Mal ist die Differenz in den Chancen die gleiche.
Nur dadurch, dass wir einmal so rumteilen und einmal andersrum
kommen eben Werte oberhalb von einzeln unterhalb von eins raus,
aber offensichtlich ist der Zusammenhang gleich stark.
Wenn wir diese Zahlen so aber nicht vor der Nase haben,
dann ist natürlich die Frage, okay,
ist ein Ortswert von zwei gleichbedeutend mit einem Ortswert von 0,3
oder ist ja nicht gleichbedeutend.
Und um das ausrechnen zu können, können wir den Logit benutzen.
Der Logit sind nichts weiter als die logaritimierten Orts und
die erleichtern sozusagen den Vergleich unterschiedlicher Werte,
wenn man das einmal zunächst am Beispiel zeigt
Der Logit oder der Logarhythmus von 0,6 ist minus 0,51,
der Logarhythmus von 1,6 Periode, ist plus 0,51. Das heißt,
hier sehen wir jetzt auch in Zahlenwerten, das,
was wir beim Schauen auf die Brüche schon geahnt haben,
die Effektstärke oder die Stärke des Zusammenhanges ist in beiden Fällen gleich groß,
geht eben nur in jeweils unterschiedliche Richtungen.
Einmal ist die Wahrscheinlichkeit, SPD zu wählen, gegeben ein bestimmtes Merkmal ist vorhanden,
größer als SPD nicht zu wählen, beim anderen Mal ist es umgekehrt.
Also beide Betriebe, beide Werte sind im Betrag gleich.
Der Unterschied steckt nur im Vorzeichen und genau das ist das,
was wir über die Logarithmierung der Orts erreichen wollen,
dass wir nicht raten müssen,
ob 1,6 Periode im Effekt eigentlich 0,6 entspricht,
sondern dass wir einfach sagen, ja, wir können das ausrechnen.
Und was ich natürlich jetzt hier verändert, aber ich glaube,
das kommt auf der übernächsten Folie. Okay,
dann sage ich es jetzt schon mal dazu, was sich ändert,
der Referenzwert für Nicht-Zusammenhang verschiebt sich jetzt natürlich von 1 auf 0.
Das heißt, bei den Orts hatten wir gesagt, Werte größer eins,
sprechen für einen, wenn man so will, positiven Zusammenhang.
Also die Wahrscheinlichkeit, etwas zu tun,
ist größer als die Wahrscheinlichkeit, es nicht zu tun.
Werte kleiner einzusprechen für das Gegenteil. Wenn wir die Orts logaritmieren,
dann verschiebt sich dieser Wert auf null. Das heißt,
positive Logits sprechen dafür, dass die Wahrscheinlichkeit,
etwas zu tun größer ist als die Wahrscheinlichkeit, es nicht zu tun.
Negative Logits sprechen dementsprechend wieder für das Gegenteil. Und jetzt
haben wir noch einen weiteren Wert, den wir ausrechnen können,
bei dem wir jetzt Uns in die Lage versetzen,
also Kategorien in unterschiedlichen Spalten miteinander zu vergleichen.
Zunächst berechnen wir einmal die Ortsratio für die SPD und wenn wir von der Ortsratio sprechen,
dann sprechen wir über den Bruchstrich von der Wahrscheinlichkeit SPD zu wählen,
verglichen mit der Wahrscheinlichkeit nicht SPD zu wählen.
Und zwar für die Kategorie statt und dann über die Wahrscheinlichkeit SPD zu wählen,
verglichen mit der Wahrscheinlichkeit nicht SPD zu wählen für die Kategorie Land.
Also nachdem wir in den vorigen Rechnungen bei den Orts sozusagen innerhalb der Spalte verglichen haben,
ist die Wahrscheinlichkeit in der Stadt SPD zu wählen,
über- oder unterdurchschnittlich groß, vergleichen wir jetzt, die Wahrscheinlichkeit,
SPD zu wählen in der Stadt und auf dem Land miteinander, um herauszubekommen, wo sozusagen die größere Wahrscheinlichkeit besteht, SPD zu wählen.
Also nochmal in die Formel, PSPD gegeben,
ich wohne in der Stadt, geteilt durch die Gegenwahrscheinlichkeit,
also einfach die Orts, SPD zu wählen,
wenn ich in der Stadt wohne und die Orts,
SPD zu wählen, wenn ich auf dem Land wohne,
also die Wahrscheinlichkeit, SPD zu wählen, gegeben,
ich wohne auf dem Land, geteilt durch die Wahrscheinlichkeit,
genau dieses nicht zu tun, wenn wir hier in die Tabelle schauen,
dann haben wir jetzt also einmal zehn Personen,
die in der Stadt wohnen und SPD wählen, sechs Personen,
die in der Stadt wohnen und nicht SPD wählen,
das sind die Zahlen über dem Bruchstrich,
Wir haben drei Personen auf dem Land,
die SPD wählen und neuen,
die das nicht tun.
Das sind die Zahlen unter dem Bruchstrich. Das Ganze kann
auch so umformuliert werden, dass wir sagen,
zehn mal sechs durch neun durch drei. Also wir multiplizieren,
anstatt zu teilen mit dem Kehrwert und kriegen eine Fünf heraus.
Was bedeutet diese Fünf? Diese Fünf bedeutet,
dass es fünfmal so wahrscheinlich ist, SPD zu wählen,
wenn ich in der Stadt wohne, als wenn ich auf dem Land wohne.
Und das ist das, was in der Orts Ratio drinsteckt,
also das Chancenverhältnis, das Verhältnis der Chance,
etwas zu tun in einem Kontext, verglichen mit der Chance,
das Gleiche zu tun, in einem anderen Kontext.
Und gebraucht wird dazu natürlich immer auch dann die Chance,
das nicht zu tun, weil wir anders die Orts nicht berechnen können.
Also die Orts, um Vergleiche in den Spalten anstellen zu
können, die Orts Ratio,
um Vergleiche
Innerhalb der Spalte anstellen zu können, die als Ratio,
um Vergleiche zwischen den Spalten anstellen zu können und sozusagen diese Verhältnisse in Zahlen zu bringen.
Das Ganze wirkt im Moment ein bisschen nach Lapolar, was daran liegt,
dass die eigentliche Verwendung dieser Werte zum Beispiel in der logistischen Regression liegt.
Für Kreuztabellen müssen wir diese Aufwände nicht unbedingt betreiben,
aber was hinter den Begriffen Ots, Logit und Ots Ratio steckt,
lässt sich eben an Kreuztabellen besonders gut erklären.
Und deswegen führe ich das hier auch an dieser Stelle ein. Die letzte Bundestagswahl 2021 gilt,
Personen mit hoher Formaler Bildung kamen zu 23 Prozent grün gewählt,
Personen mit geringer formaler Bildung haben zu 5 Prozent die Grünen gewählt.
Was gilt für die Ots Ratio? Grün zu wählen,
im Verhältnis hohe formale Bildung zu geringer formaler Bildung. Die Ots Ratio ist größer eins, gleich eins, kleiner Eins oder soll das nochmal erklärt werden? So,
auch hier Blick ins Ergebnis,
71 Prozent sagen die Osracio ist größer eins,
25 Prozent sagen, die Osracio ist kleiner eins,
sie ahnen mit, wer wird Millionär,
A ist die richtige Antwort, wenn wir nochmal hierher zurückgehen,
wir hatten 23 Prozent Grünwählende unter Personen mit hoher formaler Bildung,
5 Prozent Grünwählende unter Personen mit geringer formaler Bildung,
wenn wir das hier hier übersetzen,
dann haben wir einmal einen höheren Prozentsatz an Personen,
die etwas tun, gegeben,
ein bestimmtes Merkmal ist erfüllt und einen geringeren Prozentsatz an Personen,
die das tun,
in unserem Beispiel hier ist die Osracio positiv gewesen,
weil eben unter der Bedingung statt deutlich mehr SPD gewählt wurde,
als unter der Bedingung Land.
Und das überträgt sich jetzt natürlich genauso auf das grünen Beispiel unter der Bedingung höher gebildet zu sein,
haben sehr viel mehr Leute grün gewählt,
als unter der Bedingung geringer gebildet zu sein und dementsprechend würde auch da eine positive Ortsratio bei dieser Rechnung herauskommen.
Und das stimmt natürlich wieder nicht für das Beispiel,
dass ich da hinten oder dass ich in Participhy angegeben hatte. Eigenschaften der Ortsratio,
die Ortsratio ist wie die Orts selbst gebunden zwischen null und positiv und endlich,
wenn die Ortsratio 1 beträgt, also die Wahrscheinlichkeit grün zu wählen,
wenn ich in der Stadt wohne oder grün zu wählen,
wenn ich höher gebildet bin, verglichen mit der Wahrscheinlichkeit grün zu wählen,
wenn ich geringer gebildet bin.
Wenn die Ortsratio 1 beträgt,
dann sind beide Wahrscheinlichkeiten gleich
Das heißt, grün zu wählen ist zumindest nicht abhängig davon,
wie ich gebildet bin, wenn die Ortsratio größer ist als eins,
dann ist das Ereignis unter der Bedingung eins wahrscheinlicher als das Ereignis unter der Bedingung zwei.
Also SPD in der Stadt ist wahrscheinlich als SPD auf dem Land.
Grün gegeben, ich bin höher gebildet,
ist wahrscheinlicher als grün gegeben, ich bin geringer gebildet,
ist die Ortsratio Ratio kleiner eins, dann ist es entsprechend umgekehrt.
Auch die Ortsratio können wir wieder so umverändern,
dass der Cut-Off nicht die Eins ist, was vielleicht ein bisschen ungewöhnlich ist,
sondern der Cut-Off ist die Null. Das heißt,
auch wir können auch für die Ortsratio den natürlichen Logarithmus bilden und
dann ist die logarithmierte Ortsratio gebunden zwischen minus und endlich und plus und endlich,
wobei alle positiven Werte dann für einen positiven Zusammenhang Hang stehen und alle negativen Werte für einen negativen Zusammenhang,
wobei dann positiver Zusammenhang eben heißt, Ereignis unter Bedingung 1,
wahrscheinlicher als Ereignis unter Bedingung 2 und negativer Zusammenhang heißt,
das Ganze ist umgekehrt.
Also wir landen auch wieder bei dem gleichen, dass wir
uns vorhin schon für den Logit und für die Orts angeschaut hatten.
Letzter Schritt für heute auf der Basis der Orts Ratio können wir jetzt auch noch ein neues Zusammenhangsmaß berechnen,
das sogenannte ULS Q, ULS Q wird ausgerechnet,
in dem von der Orts Ratio 1 abgezogen wird und das Ganze wird geteilt durch die Orts Ratio um 1 erhöht.
Das Ganze sieht dann so aus wie in der Formel 5 minus 1,
geteilt durch 5 plus 1 ist 4 durch 6,
ULS Q wäre hier also 0,6 und würde wiederum dafür stehen,
dass wir einen positiven Zusammenhang zwischen,
oder dass wir einen Zusammenhang zwischen Wohngegend und Parteineigung haben,
von einem positiven Zusammenhang zu sprechen bei nominal skalierten Variablen,
ergibt nicht viel Sinn.
Man muss immer wissen, in welcher Reihenfolge oder in
welcher Art und Weise man die Kategorien miteinander verglichen hat.
Wir könnten jetzt natürlich auch in der Formel hier oben die Wahrscheinlichkeit SPD zu wählen,
gegeben, ich wohne auf dem Land nach oben setzen und die Stadt nach unten setzen,
dann würden wir entsprechend einen Wert von 0,2 herausbekommen und müssten einfach auf dem Kopf interpretieren.
Das Ergebnis wäre im Effekt, aber genau das Gleiche.
Jules Q, das wir hier ausrechnen,
ist zwischen minus 1 und plus 1 gebunden. Das heißt,
es unterstellt in gewisser Weise sogar eine Ordnung in den Daten,
weil negative und positive Zusammenhänge abgebildet werden.
Das ist aber nicht so, das ist einfach eine Eigenschaft
des Verfahrens.
Kurze Zusammenfassung zur heutigen Sitzung
Wenn wir das Problem haben, dass wir Zusammenhänge phänomenal skalierte
Variablen ermitteln wollen, brauchen wir die passende Brille.
Das ist die Kreuztabelle. Wir interpretieren inhaltlich über die Spalten- und Randprozente
bzw. über die Beobachteten und erwarteten Werte oder über die Otsracio.
Die Stärke des Zusammenhangs können wir berechnen durch Skiquadratbasierte Maße,
Lamda und ULSQ. Das gilt aber nur für zweimal zwei Tabellen.
Die Anwendbarkeit des Verfahrens wird geprüft über die erwartete Zellhäufigkeit,
die größer sein muss als fünf.
Und die Verallgemeinerbarkeit prüfen wir über den Signifikanztest auf der Basis von Skiquadrat.
Damit sind wir für heute ziemlich punktgenau am Ende.
Nächste Woche gibt es noch einmal Kreuztabellen, dann mit originalen Daten.
Bis dahin wünsche ich euch eine schöne erste Uni-Woche für dieses Jahr