Guten Tag. Mein Name ist Markus Mikai und ich werde
Ihnen in diesem Video die Übung zwölf Algebraischem Modeum 2 vorstellen.
Sie haben im Rahmen dieser Vorlesung verschiedene Methoden des Operation Researches kennengelernt,
zum Beispiel den Simplex Algorithmus Branch and Bound oder Grafen theoretische Ansätze.
Jedoch aus der daktischen Gründen immer nur für recht kleine Probleminstanzen.
Bereits in der Vorlesung beziehungsweise dem Abschnitt Algebrage und Milieum 1
haben sie Literaturmodelle kennengelernt, die sich auf reale Probleme übertragen lassen.
Beispielsweise die Losgrößenplanung. Jedoch,
wir sind in der Realität viel mehr Restriktionen vorhanden und in
diesem Video und in dieser Erübung möchten wir ihn gerne zeigen,
wie man aus einem kleinen Literaturmodell ein Modell entwickeln kann durch Erweiterung,
das sich auf verschiedene Problemstellungen der Praxis
anwenden lässt
Zum Beispiel, dass wir mehrere Produkte berücksichtigen,
dass wir einen mehrstudigen Produktionsprozess berücksichtigen, dass wir Kapazitäten und Kapazitätserweiterungen berücksichtigen,
verschiedene Sicherheitsbestände und Haltbarkeiten im Modell berücksichtigen und auch Ressourcen spezifischer und genauer modellieren.
Beispielsweise die Tankbelegung. Im Rahmen dieser Übung soll das Dynamische Losgrößenplanungsproblem,
das bereits aus der Vorlesung algebraischer Modellierung 1 bekannt ist,
Um die Berücksichtigung der Nachfolgenden, bereits Brauerei, spezifischen,
Restriktionen erweitert werden.
Erstens soll ein mehr Produktportfolio berücksichtigt werden.
Und zum anderen soll der mehrstufige Produktionsprozess berücksichtigt werden.
Dass Weiteren sind Produktions- und Lagerkapazitäten zu berücksichtigen und es soll
die Möglichkeit gegeben werden, Kapazitätserweiterungen zu nehmen.
Des Weiteren sind Vorlaufzeiten zu berücksichtigen und diskrete Losgrößen für
bestimmte Produkte
Zudem sollen Mindestlosgrößen und Sicherheitsbestimmt eingehalten werden.
Und die Haltbarkeit für die Fertigprodukte berücksichtigt werden.
Zudem sollen die Tankressourcen genauer abgebildet werden in dem Modell.
Hier sehen Sie eine Übersicht zu dem Brauer Produktionsprozess einer Brauerei.
Zunächst haben wir einmal das Brauhaus, in dem das Bier gebraut wird,
Und anschließend in den Lagertanks, vorgehalten wird.
Dies ist die erste Produktionsstufe, in dem das Basisbier produziert wird.
In der zweiten Produktionsstufe findet zunächst eine Filtration statt.
Bevor die dann filtrierten Produkte in Puffertanks zwischenlagern.
In dieser zweiten Produktionsstufe entsteht das Sortenbier. In der dritten
Produktionsstufe haben sie die Abfüllung in Flaschendosen oder Fässern,
die anschließend im Lager vorgehalten werden, bevor sie zum Endkunden geliefert werden.
In dieser dritten Produktionsstufe wird das Fertigbier hergestellt.
Wir betrachten also in einer Brauerei drei Produktionsstufen für Basisbier,
Sortenbiere und Fertigbiere, sowie drei Produktionsressourcen.
Das Brauhaus, die Filtration und die Abfüllung.
Zudem haben wir drei unterschiedliche Kategorien von Lagerressourcen.
Zum einen die Lagertanks, Die Puffertanks und das Warenlager.
Schauen wir uns zunächst noch einmal das dynamische Losgrößenplanungsproblem an,
lass sie bereits in der Vorlesung kennengelernt haben.
In diesem Fall handelt es sich um ein Einprodukt.
Losgrößenplanungsproblem. Wir betrachten Tee, Planungsperioden. Es ist eine
Nachfrage gegeben für jede Periode. Wir haben fixe Rüstkosten gegeben
Die dann entstehen,
wenn eine Anlage zur Produktion eines Produktes vorbereitet wird,
wir haben Lagerkosten, die dann entstehen,
wenn ein Produkt auf Lager liegt und wir haben eine maximale Losgröße,
die in diesem Fall die Produktionsmenge beschränkt.
Wir betrachten drei Variablen, die erste Variable ist die Rüstvariable,
die dann den Wert 1 annimmt,
bin in der Periode
Gerüstet wird. Also die Anlage für die Produktion eines Produktes
vorbereitet wird. Diese Variable wird den,
nimmt den Wert null an, wenn in einer Periode
die Maschine eben nicht für die Produktion eines Produktes vorbereitet wird.
IT gibt den Lagerbestand am Ende der Periode T an.
Wir nehmen an, dass der Anfangslagerbestand gleich null ist.
QT ist unser Produktionsmenge bzw. unsere Losgröße,
die in der Periode T
produziert werden soll
Hier sehen Sie die mathematische Formulierung für das dynamische Losgrößenplanungsproblem.
In der Zielfunktion sollen die Kosten minimiert werden,
die aus dem Rüsten entstehen und aus der Lagerung.
F sind hier die fixen Rüstkosten und Haare, sind in
diesem Fall der Lagerhaltungskostensatz. Und die fixen Rüstkosten werden entsprechend
mit der Rüstvariable multipliziert und die Lagerkosten entsprechend mit dem Lagerbestand.
In der zweiten Nebenbedingung bzw. in der ersten Nebenbedingung,
in der zweiten Gleichung, sind Sie die Lagerbilanzerhaltungsgleichung.
Wir betrachten zunächst einmal den Lagerbestand der Vorperiode plus
die Produktionsmenge in der aktuellen Periode.
Und dieser ergibt den Endlagerbestand der Periode Tee unter Berücksichtigung
der Nachfrage in der Periode Tee
In der zweiten Nebenbedingung bzw. der dritten Gleichung wird sichergestellt,
dass nur dann produziert werden kann, wenn auch die Maschine
gerüstet ist bzw. vorbereitet ist für die Produktion eines Produktes.
Die Nebenbedingung 4 stellt hier sicher,
dass die Variablen nur positive Werte annehmen kann.
Und die fünfte Gleichung stellt sicher,
dass die Variable X nur die Werte 0 oder 1
annehmen kann
Also die Berücksichtigung, Debinärvariablen.
In der ersten Aufgabe sollen wir nun ein Mehrproduktportfolio berücksichtigen.
Das heißt, wir haben eine neue Menge I,
in der alle Produkte enthalten sind,
die produziert werden sollen.
Entsprechend sind
auch alle Parameter anzupassen
Dass wir jetzt eine Nachfrage für jedes Produkt in der Periode Tee haben,
dass unsere Fixkosten produktspezifisch sind, unsere Lagerkosten produktionsspezifisch sind.
Und unsere Maximallosgröße ebenfalls produktspezifisch ist. Das Gleiche gilt dann
auch für unsere Variablen, sodass wir unsere Rüstvariable X-I-T haben,
die dann den Wert einnimmt, eins annimmt,
wenn das Produkt eh in der Periodität gerüstet wird
Unsere Lagerbilanz, also Lagerbestands-Variable, gibt an, gibt für
jedes Produkt den Lagerbestand am Ende der Perible Tee an.
Und die Produktionsmenge gibt die Produktionsmenge jeden Produkt des I in der Periode Tee an.
Das mathematische Modell verändert sich dadurch nur geringfügig.
In der Zielfunktionsgleichung werden nun die produktspezifischen Parameter bzw. Variablen summiert,
sodass ich, sodass wir, oder das hier,
die Summe über alle Produkte und Perioden gebildet wird.
Gleiches gilt auch für die Nebenbedingungen,
die nun für jedes Produkt und jede Periode gelten
In der zweiten Aufgabe sollen nun berücksichtigt werden, dass wir
einen mehrstufigen Produktionsprozess haben. Dieser mehrstufige Produktionsprozess ergibt sich über
die unterschiedlichen Produktionsstufen. Wir betrachten hier entsprechend drei Produktionsstufen,
die nun in dem Modell abgebildet werden müssen.
Bei den Produktionsstufen ist es so, dass wir jetzt Produkte haben,
die in der ersten Produktionsstufe produziert werden, die Basisbiere,
Die Sortenbiere in der zweiten Produktionsstufe und die Fertigbiere in der dritten Produktionsstufe.
Und hier gibt es eine Produktstruktur, die jetzt in dem Modell
berücksichtigt werden muss. Entsprechend haben wir eine Menge JI,
die Produkte enthält, die Nachfolger von Produkt I sind.
Also beispielsweise Alle Sortenbiere, die aus einem Basisbier entstehen,
beziehungsweise alle Fertigbiere, die aus einem Sortenbier entstehen.
In diesem Fall ist auch ein Produktionsfaktor zu berücksichtigen.
Und gibt ihnen Faktor an. Denn ein Produkt benötigt in Abhängigkeit von den Vorprodukten,
also beispielsweise, wenn aus einem Liter Basisbier,
zwei Liter Sorten, wie entstehen können.
Dann wäre der Produktionsfaktor 0,5, da ich für ein Liter
Sortenbier, 0,5 Liter, Basisbier benötige.
Die Differenz ergibt sich beispielsweise außer Zugabe von weiteren Rohstoffen beispielsweise Wasser.
In dem Modell wird es nun die Volk berücksichtigt.
Wir passen unsere Lagerbilanzgleichung an. Und zwar um dem Therm
Der Produktionsbedarfe. In diesem Fall wird von den Basisbiren
ein Bedarf entsprechend der Produktionsmenge der Sortenbiere angegeben.
Und der direkte Bedarf, die IT,
ist in diesem Fall null
In der dritten Aufgabe sollen die Kapazitäten der Produktionsanlagen und des Lagers
berücksichtigt werden. In diesem Fall sind verschiedene Mengen einzuführen.
Zum einen die Menge IR, die angibt,
welche Produkte ich der Ressource eher zugeordnet sind
Und zum anderen die Ressourcen, die hier angelegt werden.
In diesem Fall haben wir beispielsweise die Brauerei und die Lagertanks,
die dann allen Basisbären zugeordnet werden.
Zudem unterscheiden wir zwischen Lagerressourcen und Produktionsressourcen,
die jeweils eine Teilmenge der Ressourcen darstellen
Die Lagerressource in der ersten Produktionsstufe sind unsere Lagertanks.
Und die Produktionsressource unserer ersten Stufe ist die Brauerei.
Zudem ist hier die Produktionskapazität der Ressource eher in der Periode T festzulegen.
Zudem ist hier eine Produktionszeit des Produktes I,
beziehungsweise eine Rüstzeit des Produktes I zu berücksichtigen.
In dem mathematischen Modell ist es wie folgt abgebildet.
Die Summe aller Produktionen aller Lagerbestände muss kleiner sein als die Kapazität der Ressource,
die diese Lagerressort, die diese Lagerbestände eben haben,
in der Periode Tee, in der Menge IR,
sind für die Baselsbiere, sind also entsprechend für die Lagertanks.
Alle Baselsbiere enthalten. Die Produktionskapazität wird hier wie Volk abgebildet.
Die Summe der Produktionszeiten, zuzüglich der Röstzeiten,
muss kleiner sein, als sie zur Verfügung stehende Kapazität.
Auch hier sind wieder für die Brauerei, für die Ressourcebrauerei,
Alle Produkte der Basisbiere enthalten.
In der vierten Aufgabe sollen nun über Kapazitäten berücksichtigt werden.
Hierfür ist ein Parameter und eine neue Variable einzuführen.
Der Parameter OR bilden Überkapazitätskosten der Ressource eher ab
Diese Überkapazitätskosten resultieren aus Überstunden auf Produktionsanlagen,
beispielsweise auf der Apfellinie oder aus deren Anspruchnahme von externen Lagerressourcen.
Wenn das Lagerhaus nicht ausreicht, um die Fertigprodukte zu lagern.
Die Variable ORT gibt die Benötigte über Kapazität der Ressource
eher in der Priorität an.
Entsprechend verändert sich auch das mathematische Modell
Sodass nun in der Zielfunktion auch die Kosten,
die aufgrund der in Anspruch nahe von Iberkapazitäten anfallen, berücksichtigt wird.
Durch den letzten Therm. Zudem sind in den Nebenbedingungen
der Kapazitätsrestriktionen die Variablen, ORT, zu berücksichtigen.
Zum einen für die Lagerbilanz für die Lagerrestriktionen und zum anderen
für die Produktionsrestriktion
Zusätzlich muss hier in diesem Fall eine neue Variable angelegt werden,
die nicht negativ sein darf.
In der fünften Aufgabe berücksichtigen wir Vorlaufzeiten. Vorlaufzeiten sind dann erforderlich,
wenn wir eine gewisse zeitlichen Verzug zwischen dem Fertigstellen und
der Weiterverarbeitung eines Produktes
Dies tritt zum Beispiel in der ersten Produktionsstufe der Basisbiere auf.
Sobald ein Bier produziert ist, gebraut ist,
muss dies für eine gewisse Zeit einer Vorlaufzeit in den Lagertanks
liegen, bevor es weiterverarbeitet werden kann.
Entsprechend muss hier eine Vorlaufzeit berücksichtigt werden. Die Vorlaufzeit kann
also von, hängt also von dem Produkt ab,
denn für einige Produkte ist keine Vorlaufzeit erforderlich
Diese Vorlaufzeit muss in der Lage Bilanzgleichung berücksichtigt werden.
Und zwar in der Variablen der Produktionsmenge. Dieses gibt an,
dass wenn ein Produkt, also beispielsweise ein Basisbier,
in einer Periode T benötigt wird,
dass dies dann um die Vorlaufzeit von VI
beispielsweise eine oder zwei Wochen
vorher produziert werden muss
In der sechsten Aufgabe berücksichtigen wir diskretelos Größen. Dies kann
dann erforderlich sein, wenn vom Produktionsmanagement Vorgaben gemacht werden,
dass beispielsweise Tanks voll ausgelastet werden sollen, wenn diese befüllt werden.
In diesem Fall sollen die Lagertanks voll ausgefüllt werden,
beziehungsweise voll ausgelastet werden, sodass wir bei der Brauer,
bei dem Braun, von diesem Basisbier, eine diskrete Losgröße vorgeben müssen.
Das Tankvolumen beträgt hierbei zum Beispiel 1000 Hectoliter. Dann sind entsprechend 1000,
2003000 oder 4000 und so weiter Hectoliter zu produzieren.
Im Modell werden wir dafür eine weitere Menge einführen müssen, die angibt,
ob ein Produkt Eine Tankressource benötigt und somit eine diskrete Losgröße erforderlich ist.
Zudem haben wir den Parameter, B-I,
die Losgröße bzw. die diskrete Losgröße des Produkts I angibt.
In diesem Fall könnt ihr die diskrete Losgröße tausend Einheiten betragen.
Zudem haben wir eine Variable, die die Anzahl der Los,
der diskreten Losgrößen angibt. Also beispielsweise 1,
2 und 3 für 1.000, 2.000 oder 3.000 Hectoliter.
Die zu produzieren sind. Im Modell können wir dies durch eine Nebenbedingung abbilden.
Und zwar durch die Nebenbedingung Kuh, gleich B,
mal M. Q-I-T, entspricht der Produktionsmenge bzw. der Losgröße,
B-I gibt die diskrete Losgröße an und M-I-T,
die Anzahl,
wie häufig all diese diskrete Losgröße
produziert werden soll
Diese Nebenbedingungen gilt für alle Produkte i, die eben eine diskrete Losgröße erfordern.
Wichtig ist, die Variable Deklaration der Variable M.
Hier muss die ganze Harlichkeit gelten. Also 1, 2
, 3 und so weiter. Ebenfalls für alle Produkte,
für die ein diskrete Losgröße erforderlich ist.
In der siebten Aufgabe soll Mindestlosgrößen, Sicherheitsbestände und Haltbarkeiten
berücksichtigt werden
Die Mindestlosgröße ergibt sich zum Beispiel daraus,
dass bei der Abfüllung eine gewisse mindestlosgröße produziert werden soll.
Bevor es sich lohnt, abzufüllen. Der Sicherheitsbestand ergibt sich daraus,
dass eine gewisse Unsicherheit in der Nachfrage besteht und diese soll
zum Teil in der Planung berücksichtigt werden.
Die Haltbarkeiten ergeben sich daraus, dass wir hier
ein verderbliches Produkt haben
Im Modell müssen wir da zunächst Parameter anlegen für die minimal Losgröße des Produkts.
Den Sicherheitsbestand sowie den maximalen Bestand des Produktes unter der Berücksichtigung,
dass die Nachfrage innerhalb des Produktionszeitraums nicht überschritten werden darf.
Im Modell sind entsprechend
folgende Nebenbedingungen
zu berücksichtigen
Zum einen, dass wenn produziert wird,
eine Mindestlosgröße LDI produziert werden muss.
Dass der Bestand maximal, einen maximalen Wert nicht überschreiten darf.
Wobei dieser maximale Wert die Nachfrage innerhalb des Haltbarkeitszeitraums beschreibt.
Und dass I
der Lagebestand niemals unter einem Sicherheitsbestand fallen darf
In der Aufgabe 8 sollen nun die Tankressourcen detaillierter berücksichtigt werden.
Dies ist dann erforderlich, da wir zum Beispiel einzelne Tanks
in der Gruppe der Lagertanks aggregiert betrachten. Das heißt,
wenn wir beispielsweise 20 Tanks betrachten und ein Tankvolumen von 1000 Tectoliter,
dann nehmen wir an, dass die Gesamtkapazität eben 20.000 Hectoliter sind.
Aber die einzelnen Tanks werden nicht abgebildet
Dies soll nun im Rahmen der Berücksichtigung von Tankressourcen getan werden.
Zunächst müssen wir eine Menge auf einführen, die eben
alle Tankressourcen beinhaltet. Zudem müssen wir die Anzahl an verfügbaren
Tankressourcen innerhalb dieser Tankressourcengruppe anlegen und das Tankvolumen des Produkts,
wobei das Tankvolumen von der zugeordneten Ressourcengruppe abhängt
Letztendlich müssen wir noch die Anzahl der Tankressourcen bestimmen,
die vom Produkt I in der Periode Tee beansprucht werden.
Im Modell können wir den Lagerbestand umrechnen in die Anzahl der
beanspruchten Tanks. Wenn wir hier annehmen können,
dass wir das First Infirst Out Prinzip verfolgen, können wir gewährleisten,
dass immer nur die Anzahl an Tanks benutzt wird,
die auch in dieser Nebenbedingung berücksichtigt wird
Diese Nebenbedingungen gilt für alle Produkte, die eben eine Tankressource zugeordnet sind.
Über die zweite Nebenbedingung können wir die Anzahl an Tanks bestimmen,
die in der Periode T benötigt werden.
Und sicherstellen, dass diese nicht höher sein darf,
als die Anzahl der verfügbaren Tanks.
Diese Nebenbedingungen muss für alle Ressourcengruppen aufgestellt werden
Die ein. Element, Irressourcengruppe H. widerspiegeln. Zudem muss
sichergestellt sein, dass unsere Variable N eine ganzteilige Variable ist.
Also nur Werte von 1, 2, 3 und so weiter annehmen kann.
Auch diese Variable benötigen für alle Produkte, die einer Tankressource zugeordnet sind.
Abschließend möchte ich, indem ich Ihnen noch einmal die vollständige Modellformulierung zur Berücksichtigung der Brauerei, spezifischen Restriktionen berücksichtigen. Wir haben hier verschiedene Mengen hinzugeführt,
zum Teil die Produkte, die Produkte,
die die Nachfolger vom Produkt I repräsentieren, die Produkte,
die einer Ressourcengruppe zugeordnet sind, die eigentlichen Ressourcen,
das ist so wie die Lagerressourcen und Produktionsressourcen,
die eine Teilmenge der Ressourcen darstellen, sowie die Produkte,
die eine Tankressource benötigen und eine diskrete Losgröße erfordern,
die jeweils eine Teilmenge Der Produkte darstellen und zu guter Letzt die Menge Haare,
die die Tankressorts sind, eine Teilmenge der Lagerressourcen darstellt.
Zudem haben wir diverse weitere Parameter aufgenommen. Wir haben zunächst einmal die Nachfrage um die Produkte erweitert,
beziehungsweise die Fixkosten, Lagerhaltungssatzkosten und die maximalen Losgrößen,
die hier spezifisch von dem Produkt abhängig sind,
zu dem ein Produktionsfaktor zur Berücksichtigung der Mehrstufigkeit, Kapazitäts,
Cup-Produktionskapazitäten der Ressourcen,
Produktionszeiten und Rüstzeiten für die Produkte sowie über Kapazitätskosten der Ressourcen,
Vorlaufzeiten des Produktes, diskrete Losgrößen, minimal Losgrößen,
Sicherheitsbestände sowie auch maximale Stände und die Anzahl an verfügbaren Tankressourcen sowie das Tankvolumen,
des Produktes,
das wiederum abhängt von der zugeordneten Tankressource
Insgesamt haben wir hier sechs Variablen, ein Binär-Variable für die Rüstzustände,
eine positive Variable für die Lagerbestände,
das ist wie eine positive Variable für die Produktionsmenge,
sowie auch eine positive Variable für die Überkapazität.
Zudem betrachten wir ganzheilige Variablen für die Anzahl der
zu produzierenden Diskretenlosgrößen und der Anzahl der verwendeten Tankressourcen.
Unser abgewandeltes Modell, sieht wie folgt aus.
Wir haben eine Zielfunktion, wir haben eine Lagerbilanzgleichung,
wir haben eine... Lagerkapazitätsrestriktion, eine Produktionskapazitätsrestriktion.
Eine Nebenbedingung, die angibt, wie viele Tanks verwendet werden,
eine Nebenbedingung, die Anzahl der verwendeten Tanks beschränkt,
eine Nebenbedingung,
die diskrete Losgrößen berücksichtigt
Eine Nebenbedingung, die zum einen die Losgrößen beschränkt beziehungsweise angibt,
dass nur dann produziert werden kann,
wenn entsprechend auch die Maschine gerüstet ist.
Eine minimale Losgröße wird hier berücksichtigt für jede Produktionsperiode.
Es wird ein maximaler Lagerbestand berücksichtigt,
um die Haltbarkeit der Endprodukte zu berücksichtigen.
Sowie ein minimaler Lagerbestand zur Sicherstellung
Der Sicherheitsbestände. Wie eben schon gesagt, zum Schluss noch die Variablendeklaration.
Wie gesagt, die Produktionsmenge, der Lagerbestand sowie die Überkapazität,
hat eine positive, sind als positive Variablen deklariert.
Die Rüstvariable ist als Pinärvariable deklariert.
Und die Variablen zur diskreten Losgröße bzw. Anzahl der verwendeten Lagertanks
ist als ganzteilige Variable deklariert
Ich hoffe, dieses Video hat Ihnen dabei geholfen,
die Thematik der allgebranchen Olliung besser zu verstehen und
das Potenzial von mathematischer Optimierung in der Praxis zu erkennen.
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