Moin moin und herzlich willkommen zur siebten Übung Grundlagen des Apparations Research.
Mein Name ist Tobias Filchscheck und ich werde gemeinsam bedienen,
die ersten acht der zwölf Übungen dieser Vorlesung durchgehen.
Das Thema der heutigen Übung hier ist der minimal spannende
Baum und das Transportproblem
Und fangen wir auch gleich mal an mit Übungsaufgabe 1.
Gegeben ist der folgende, mit Transportkosten,
je Menge Einheit, bewerteter Graf eines klassischen Transportproblems.
Und die gestricheten Vereine, die Sie dort sehen,
die repräsentieren nicht realisierte Verbindungen und die anderen Pfeile,
also die durchgezogenen Pfeile, die repräsentieren hier realisierte Transportverbindungen.
Das heißt, von 1 zu 1 wird beispielsweise
etwas transportiert von 1 zu 3 wird nichts transportiert.
Und unsere Aufgabe ist es nun,
die reduzierten Kosten der Nicht-Bas-Variablen
zu bestimmen
Und bevor wir da direkt in die Übungsaufgabe einsteigen,
wir werden es schon ahnen,
schauen wir uns noch mal ganz kurz an,
was denn das zugrunde liegende Problem her ist.
Was wir jetzt hier lösen sollen, ist ja das klassische Transportproblem,
zumindest zu einem Teil. Und in dem klassischen Transportproblem,
da haben wir ja als Entscheidungsvariablen unseren Transportmengen.
Und zwar die Transportmengen von Anbieter I zu Nachfrager J. Das heißt,
Prosi ist hier die Menge unserer Anbieter und Coros J ist die Menge der Nachfrage.
Und das Ziel, zumindest beim klassischen Transportproblem,
ist es, ein möglichst kostenminimalen Transport zu erreichen.
Alternativ können wir natürlich aber auch, wie eingangs die Übung 1 bereits erwähnt,
als ich das Beispiel vorgestellt habe, darauf achten,
dass wir einen möglichst CO2-neutralen Transport haben.
Das hängt dann einfach von unserer Kantenbewertung ab,
was wir da machen wollen. Und schauen wir uns auch
noch mal ganz kurz einmal die Aufgabe an
Wenn wir uns jetzt hier diesen Grafen dort anschauen,
dann sehen wir ja da die verschiedenen Kanten.
Und diese Kanten, die zeigen uns,
was die Transportkosten sind, über die Kantenbewertung.
Wir wissen also zum Beispiel für einen Transport von 1
zu 1 müssen wir Po-Meng-Einheit
140 Geldeinheiten zahlen
Und die nicht realisierten Kanten hier, also die gestrichelten Kanten,
die zeigen an uns an, dass dort kein Transport stattgefunden hat.
Und was heißt denn das, wenn da kein Transport stattgefunden hat?
Naja, das heißt ganz einfach, dass X13 und X22 hier
gleich null sind. Und das bedeutet auch,
dass diese beiden Variablen hier jetzt nicht Basisvariablen sind.
Denn das ist ja der Fall, solange wir keine Sonderfälle haben.
Und die haben wir hier in diesem Fall jetzt nicht.
Und das bedeutet, auf der anderen Seite aber natürlich auch,
dass wir jetzt hier wissen, was unsere Basisvariablen sind.
Wenn unsere Basisvariablen, die zeigen wir uns ja dann beim Transportproblem einfach,
die realisierten Transportmengen an. Und wir wissen ja jetzt,
dass von 1-1 hier ein Transport stattfindet,
von 1-2 findet ein Transport statt.
Von 2-1 findet ein Transport statt und von 2
-3 findet ein Transport statt. Und nun können wir
ganz einfach die reduzierten Kosten der Nicht-Basisvariablen hier bestimmen.
Das heißt, wir wollen die reduzierten Kosten von X13 und
wir wollen die reduzierten Kosten von X22 bestimmen.
Und wie machen wir das mit den reduzierten Kosten nochmal genau?
Was bedeuten die eigentlich
Ihr reduzierten Kosten. Wir geben uns ja ganz einfach an,
wie sich der Zielfunktionswert ändert, wenn wir eine Variable in die Basis aufnehmen.
Wenn wir eine aktuelle Basisverheerbe betrachten,
sind sie null und wenn wir eine Nicht-Basisvariable betrachten,
sind die abseits von Sonderfällen, entweder negativ oder positiv.
Und positiver reduzierten Kosten zeigen uns dann an,
wie sich der Zielfunktionswert verbessert, wenn Promengeneinheit diese Variable,
die wir in die Basis aufnehmen.
Negative reduzierte Kosten, die zeigen uns dann an,
dass sich der Zielfunktionswert verschlechtert,
wenn wir eine der Variale,
die wir da betrachten,
in die Basis aufnehmen
Und da müssen wir ein bisschen aufpassen, wenn wir unseren Simplex-Taplo denken.
Denn in der Zielfunktionszahl ist den Plextablos, werden die Negativen reduzierten Kosten angegeben.
Das heißt, um auch die reduzierten Kosten zu kommen,
müssen sie den koeffizienten der Zielfunktionszahle nochmal mit, mal minus eins multiplizieren.
Wenn jetzt beispielsweise ein Simplex-Tableau haben und wir einen primaen Simplex unterwegs sind,
schauen wir ja, was der kleinste,
koeffizient in der Zielfunktionszahle ist, der kleiner als null ist.
Das ist nichts anderes als der koeffizient mit den höchsten reduzierten Kosten,
der uns ja dann die größte Verbesserung pro Mengeneinheit
für die Zielfunktion bringt
Und die allgemeine Form, wie der reduzierten Kosten, die sehen sie hier.
Die finden wir raus, indem wir den Zielfunktionskoeffizienten der Variable nehmen.
Und davon die Dualvariable UI und die Dualvariable VJ abziehen.
Und das sind UI-informiert, naja,
UI ist die Dualvariable der Eden-Angebotsrestriktion, klassischen Transportproblem.
Und VJ ist die Dualvariable, der Joggen-Nachfragerestriktion. Wenn jetzt
eine Basisvariable betrachtet wird, sind die reduzierten Kosten ja gleich null.
Lässt sich ja da keine Änderung erreichen, wenn wir die
mit aufnehmen, ist ja schon in der Basis drin.
Da haben wir die Formel natürlich noch einfacher,
denn wir wissen,
dass wir unseren Zielfunktionskoeffizienten ganz einfach berechnen können,
indem wir
die eine Dualvariable mit der anderen Dualvariable addieren
Und wenn wir nicht Basisvariable haben, gilt, wie gesagt,
die andere Formel, die wir oben hier schon gesehen haben.
Das ist die allgemeine Formel. Und das ist das,
was wir jetzt im Hinterkopf behalten müssen,
wenn wir diese Aufgabe eins lösen wollen.
Schauen wir uns nochmal die Aufgabe mit dem Grafen an.
Und wir haben es ja vorhin schon gesehen,
wir haben jetzt hier vier Basisvariablen und zwei Nicht-Basisvariablen.
Und da kommen wir mit den Formeln hier nun ganz einfach
die Gleichfirma aufstellen.
Fangen wir mal mit unseren Basisvariablen an
Wenn wir die Viergleichung hier aufstellen,
kommen wir auf 140, ist gleich U1 bis V1,
70 ist gleich U1 plus V2,
80 ist gleich U2 plus V1 und 120 ist gleich U2 plus V3.
Wenn der Zielfunktionskoeffizient befindet sich ja ganz einfach auf den Kanten,
denn das ist nichts anderes als unser Kantengewicht.
Und mit diesen Gleichungen können wir nun die jeweiligen Werte
der Dual-Variablen beständen. Und zwar fangen wir damit an,
dass wir eine der Dual-Varialien gleich Null setzen,
weil wir hier ja eine Resonante Gleichung haben.
Setzen wir mal U1 auf Null und dann kommen wir auch
direkt bei der ersten Gleichung darauf,
dass V1 gleich 140 sein muss
In der zweiten Gleichung setzen wir dem U1 ebenfalls nochmal gleich null
und wir kommen darauf, dass V2 nichts anderes als 70 ist.
Und dann können wir V1 ganz einfach in die dritte Gleichung
einsetzen, um dort für U2 gleich minus 60 herauszubekommen.
Und wenn wir diese U2 dann in die vierte Gleichung einsetzen,
da kommen wir heraus, dass V3 nichts anderes ist als
Hä? Und mit diesen, gerade eben bestimmten Werten der jeweiligen Dualvariable,
können wir nun ganz einfach die Werte unserer reduzierten Kosten bestimmen.
Und zwar stellen wir dafür einfach die beiden Gleichungen auf,
die wir haben, und setzen da die jeweiligen Variablen ein.
Die reduzierten Kosten der Entscheidungsvariable X-1,
3 sind dann gleich 100 minus null minus 180,
ist gleich minus 80. Das heißt, wir haben jetzt hier negative reduzierte Kosten,
und wir wissen schon, wenn wir die Entscheidungsvariable X-1,
3 in die Basis aufnehmen würden,
dann würde sich unser Zielfunktionswert pro Aufnahme der Entscheidungsvariable um minus 80 verschlechtern.
Und um nun die reduzierten Kosten von X-2-2 zu bestimmen,
rechnen wir einfach 130 plus 60, minus 70.
Und das ist ja gleich 120. Und das heißt nun,
wir wissen, in wer X-2-2 mit in die Basis aufnehmen würden,
dann würden wir eine Veränderung des Zielfunktionswertes um 120 pro Einheit
von X-2-2 erreichen
Nun ist ja die Frage,
haben wir hier eine Maximierung oder haben wir hier eine Minimierung?
Also was ist mein Ziel? Wenn ich jetzt hier eine Maximierung habe,
dann ist es natürlich toll, wenn unsere reduzierten Kosten hier positiv sind,
denn dann heißt es ja, ich kann eine Erhöhung des Zielfunktionswertes erreichen.
Und das ist ja mein Ziel. Wenn ich hier eine
Minimierung habe, dann möchte ich ja meinen Zielfunktionswert senken.
Dann sind negative reduzierte Kosten das, was hier gut ist.
Und da habe ich eine Minimierung haben, sind wir hier an C1,3 interessiert.
Denn da haben wir negative reduzierten Kosten von minus 80 und
wir können den Zielfunktionswert dementsprechend verbessern, indem wir ihn senken.
Okay, damit sind wir auch schon am Ende von Übungsaufgabe
1 angelangt und wir können weitermachen mit Übungsaufgabe
Was wäre jetzt die Nimmungsaufgabe 2 machen sollen,
ist mit der vogelischen Approximationsmethode für ihn etwas größeres Problem meiner Ausgangslösung zu bestimmen.
Und diese Ausgangslösung soll er dann verwenden mit der Modi-Methode,
um zu gucken, ob wir vielleicht noch einen besseren Zielfunktionswert erreichen können.
Und gegeben ist ja hier wieder ein klassisches Transportproblem. Wir haben jetzt hier drei Anbieter,
1, 2, 3, und wir haben fünf Nachfrager 1,
2, 3, 4,
5. Darüber hinaus haben wir links bei den Parametern A jeweils gegeben,
was das Angebot ist,
und bei den Parametern B auf der rechten Seite haben wir gegeben,
was denn die jeweilige Nachfrage ist.
Und dann müssen wir zuallererst, wenn wir hier metaphogischen Approximationsmethode arbeiten,
erst mal prüfen, ob denn ein Angebot und Nachfrage identisch sind.
Und die Summe des Angebots beträgt ja 170 und die Summe der Nachfrage beträgt 210.
Das heißt, wir haben jetzt hier eine höhere Nachfrage,
als wir ein Angebot haben.
Was wir in dem Fall machen, ist,
wir fügen hier ein künstliches Angebot bei einem künstlichen Anbieter 4 ein.
Und dieses künstliche Angebot, das ist genau so hoch,
das ist die Differenz zwischen Angebot und Nachfrage deckt.
Durch dieses christliche Angebot haben wir dann am Ende
ein Angebot von 210, wenn wir alles aussummieren.
Und wir haben eine Nachfrage von 210. Wenn Sie jetzt dementsprechend
hier natürlich ein kleinere Nachfrage hätten als ein Angebot,
dann würden Sie bei der Nachfrage eine künstliche Nachfrage einfügen.
Hä? Und nachdem wir das haben,
können wir uns mal wieder die Frage stellen,
wie denn die phogische Approximationsmethode eigentlich funktioniert
Bei der vogelischen Apoximationsmethode handelte sie jetzt um ein iteratives heuristisches Verfahren.
Das heißt,
im Gegensatz zum Simplex-Algorithmus finden wir hier nicht zwangsläufig die optimale Lösung,
aber wie ein simplexes Algorithmus gehen wir Schritt für Schritt mit einem Algorithmus vor.
Und die Idee oder vogelischen Apoximationsmethode ist,
dass wir eine gute Startlösung für das klassische Transportproblem finden
Und wie eben schon gesagt, wären hier Angebote und Nachfrage nicht gleich sind,
dann müssen wir zuallererst einmal ein künstliches Angebot und eine künstliche Nachfrage ergänzen.
Hier ja gleich mit dem Anbieter 4, denn ein Angebot
von 40 hat. Und die Transportkosten aller dieser Verbindung,
die von Angebot 4 zu den fünf Nachfragen angehen,
die müssen natürlich gleich nur sein,
denn wenn wir hier am Ende eine Lösung raus haben,
dann repräsentiert jede Transportverbindung von Anbieter 4 aus,
einfach nur, dass die Nachfrage nicht erfüllt worden ist.
Okay? Das heißt, zuallererst müssen wir hier einmal in
der vierten Zeile des Tableaus überall die Transportkosten auf Null setzen.
Sie sehen dann rechts in der Spalte mit AI,
dass das Angebot dann gleich 40 ist
Und dann müssen wir natürlich noch die restlichen Transportkosten in
unser Ausgangstableau übernehmen. Und die restlichen Transportkosten,
die können Sie ganz einfach aus dem Grafen ablesen.
Wenn wir die übernehmen, sieht das hier wie folgt aus.
Dann brauchen wir noch Angebot und Nachfrage.
Und die finden Sie ja ebenfalls in unserer Grafik gegeben.
Da müssen Sie jetzt einfach die AIs und die BJs
hier in die Tabelle übertragen.
Die Summe, ganz rechts unten, die beträgt ja 2010.
Hä? Und wenn wir dieses Tableau hier gegeben haben,
dann können wir mit der vogelischen Apoximationsmethode anfangen
Ersten Schritt müssen wir jetzt zuallererst einmal die Transportkostendifferenzen Delta J und Delta I berechnen.
Und zwar jeweils für die Zeilen und für die Spalten.
Und das machen wir jetzt mal zuallererst für die letzte Zeile hier,
um die für die letzte Zeile zu berechnen,
müssen wir jetzt in der jeweiligen Spalte gucken,
was denn die zweitgünstigsten kosten minus die günstigsten aus dem Sattel.
Also, die günstigsten Kosten sind jetzt überall hier null und
die 20 günstigsten Kosten finden sie jetzt ebenfalls in der Tabelle eingezeichnet.
Und nun müssen sie einfach nur 130 minus null rechnen,
140 minus null, 170 minus null,
90 minus null und 130 minus null.
Und dann kommen sie auf die jeweiligen Werte hier unten in der letzten Zeile.
Und das Ganze müssen wir hier nochmal für die Spalte
ganz rechts außen machen. Also viel Spalte Delta I. Hier
müssen wir nun in der jeweiligen Zeile der Tabelle gucken,
was denn die günstigsten Kosten sind und was die zweitgünstigsten Kosten
sind und dann von den zweitgünstigsten Kosten jeweils die günstigsten Kosten in der Zeile abziehen.
Also hier jetzt 140 minus 130 aus 10,
130 minus 130 minus 130 aus null,
140 bis 90 bis 50 und null
minus 0 bis
Wenn wir das getan haben, ich gehe mal weiter zu Schritt
2. Wir müssen jetzt die Spalte oder Zeile mit der größten Transportkostendifferenz auswählen.
Also gucken wir jetzt einmal jeweils bei Delta J und bei Delta I,
was denn jetzt hier insgesamt der größte Wert ist.
Man hat ja ganz klar die 170 hier in der dritten Spalte.
Heißt, wir wissen schon, es wird jetzt hier gleich nach Fahrrad 3 beliefert.
Ja, und welche Anbieter beliefert den? Jetzt finden wir
einen Schritt 3 raus. Denn nun müssen wir einfach nur gucken,
was denn die niedrigsten Transportkosten entweder in einer Spalte oder Zeile sind,
je nachdem, wo wir gerade in Schritt 2 waren.
Und die niedrigsten Transportkosten in der Spalte hier,
die finden wir jetzt natürlich in der vierten Zeile.
Wir wissen also, Anbieter 4 wird jetzt Nachfrage 3 beliefern.
Wie viele Einheiten werden da jetzt geliefert? Naja,
das finden wir ganz einfach mit Schritt 4 raus.
Wir müssen jetzt hier herausfinden, was denn die maximal mögliche Transportmenge ist.
Und dafür müssen wir einfach nur beim Anbieter 4 und beim Nachfrage 3 schauen,
was denn das jeweilige Angebot und die jeweilige Nachfrage ist.
Davon müssen wir dann den kleineren Wert auswählen.
So den kleineren Wert, naja, hier jetzt in diesem Beispiel
hat ja der Anbieter 4 nur 40 Einheiten auf Lager.
Das heißt, da kann nicht die 50 Einheiten liefern,
die der Nachfrage 3 eigentlich haben möchte,
der kann nur maximal 40 Einheiten liefern.
Deswegen wählen wir jetzt hier die 40 aus und wir wissen,
dass von Anbieter 4 zu Nachfrage 3
jetzt gleich 40 Einheiten transportiert werden
Okay. Und damit sind wir hier mit Tabelle 1
auch schon fertig und wir gehen weiter zu Tabelle 2.
Und Sie sehen schon, wir haben jetzt nur noch zehn Einheiten,
die der Nachfrager 3 gern hätte und Anbieter 4,
hat jetzt hier nur noch ein Angebot von null.
Das heißt,
das müssen Sie jetzt hier im Schritt zur nächsten Tabelle verrechnen
und wir können hier auch schon gleich die vierte Zeile der Tabelle streichen,
weil der Anbieter 4 ja jetzt hier nicht weiter relevant ist.
Hä? Und dann machen wir wieder weiter,
indem wir schauen, bei Schritt 1, was denn die Transportkostendifferenzen,
Delta-J und Delta-I sind.
Okay. Wir wählen also wieder die günstigsten Transportkosten aus und
wir wählen einmal die zweitgünstigsten Transportkosten aus und dann berechnen wir
hier die Differenz
Ganz und dann nochmal für der LTI. Wir schauen einmal
, was die günstigsten Transportkasten sind. Wir schauen es,
die zweitgünstigsten Transportkosten sind und wir berechnen einmal die Differenz.
Hä? Und damit kann man dann auch schon
gleich weitergehen zu Schritt 2. Wir müssen jetzt einmal schauen,
was denn die größte Transportkostendifferenz hier ist.
Und die finden wir ja ganz klar hier in der dritten Zeile.
Das heißt, wir wissen jetzt, Anbieter 3 wird jetzt beliefern.
Und wer nimmt die Nachfrage ab? Das bestimmen wir jetzt
in Schritt 3. Wir gucken jetzt, was sind die niedrigsten
Transportkosten in dieser Zeile hier sind.
Und die finden wir ja in der vierten Spalte.
Wir wissen also, Anbieter 3 beliefert jetzt Nachfrage
Und wie viele Einheiten werden da geliefert? Naja,
wie gesagt, das ist nun Schritt 4. Wir müssen jetzt gucken,
was denn die maximal mögliche Transportmenge hier ist.
Und da sind natürlich die 60,
denn nach Frage 4 möchte nicht mehr als 60 Einheiten haben.
Hilft ja nichts für nach Angebieter, 3070 Einheiten auf Lager
hat, wenn der Nachfrage 060 Einheiten haben möchte.
Also bilden wir jetzt hier die 60 aus und wir wissen,
von Anbieter 3 zu Nachfrage 4 werden jetzt hier
gleich 60 Einheiten transportiert
Damit können wir auch schon gleich die nächste Tabelle eröffnen und zuallererst einmal gucken,
wie sich jetzt hier Angebot und Nachfrage geändert haben.
Heißt, wir müssen die 60 jetzt hier sowohl mit
dem Angebot und der Nachfrage verrechnen und wir kommen darauf,
dass unser Nachfrage 4 nun hier schon komplett raus ist,
denn der hat bereits alles bekommen, was er benötigt.
Anbieter 3 hat nur noch zehn Einheiten auf Lage
Weißt du also, wir können hier unseren Nachfrager 4
schon mal streichen. Und wie machen wir jetzt weiter?
Naja, wir müssen wieder die Transportkostendifferenzen hier bestimmen.
Okay, also schauen wir einmal für DeltaJ,
was denn hier in der jeweiligen Spalte die günstigsten Kosten sind.
Wir gucken, was die zweitgünstigsten Kosten sind.
Und wir bestimmen einmal die Differenzen. Das Gleiche dann
nochmal für DeltaI. Wir schauen in der jeweiligen Zeile,
was die günstigsten Kosten sind.
Wir schauen uns die zweitgünstigsten Kosten,
sind und wir berechnen hier
die Differenzen
Dann nehmen wir die Tabelle mal mit auf die nächste Seite und
wir gucken, was denn hier die größte Transportkostendifferenz ist.
Die finden wir ja ganz einfach,
in Spalte 5. 40 ist hier die größte Transportkostendifferenz.
Das heißt, wir wissen jetzt, Nachfrage 5 wird beliefert.
Und wer beliefert nach Frage 5? Das finden wir jetzt in Schritt 3 heraus.
Was sind denn hier die niedrigsten Transportkosten in der Spalte?
Die niedrigsten Transportkosten in der Spalte, die finden wir in der zweiten Zeile,
denn hier bei 130 ist niedriger als 170 und 180.
Also, Anbieter 2, beliefert jetzt Nachfrage 5.
Was ist die Menge, die da geliefert wird? Naja,
schauen wir uns mal wieder an,
was denn hier möglich ist, 30 oder 60,
30 ist kleiner, ist ja klar,
jetzt hier Anbieter 5 wird nun nicht mit mehr als 30 Einheiten beliefert,
weil dann hat er zu viel bekommen.
Also wählen wir hier die 30 aus und wir wissen also,
X25 ist jetzt vielleicht 30. Okay?
Für unsere neue Tabelle heißt das,
wir müssen nochmal wieder jetzt die gelieferte Menge hier verrechnen.
Also haben wir jetzt hier nur noch eine Nachfrage von null
bei Nachfrage 5 und wir haben nur noch ein Angebot
von 30
bei Anbieter
Was machen wir jetzt? Ja, ganz klar. Hier gehen wir
zurück zu Schritt 1 und wir berechnen hier die Transportkosten-Differenzen,
Delta, J und Data E. Also, was machen wir?
Wir gucken, was denn hier unsere günstigsten Transportkosten sind.
Wir gucken, dass die zweitgünstigsten Transportkosten sind und wir berechnen die Differenzen.
Ich reiche dann nochmal für Delta E. Wir gucken,
dass hier die günstigsten Transportkosten sind.
Wir gucken, was die zweitgünstigsten sind als Bordkosten sind.
Und wir berechnen die Differenzen. Okay, also hier wieder
ganz simpel
Wen wir das getan haben,
nehmen wir die Tabelle einmal mit und wir schauen jetzt hier,
was denn die größte Transportkostendifferenz ist. Und die größte Transportkostendifferenz,
die haben wir jetzt entweder in Zeile 2 oder in Zeile 3.
Und wieso wählen wir jetzt hier Zeile 2 aus?
Na ja, ganz klar. Sie erinnern sich zurück. Immer,
wenn sie irgendwie zweideutig ist, in irgendeinem dieser Algorithmen,
dann wählen wir die Zeile oder Spalt sind mit dem kleinen anderen Index.
Zwei ist kleiner als drei. Also wählen wir hier die
zweite Zeile aus. Okay? Und nachdem wir nun wissen,
dass Anbieter 2 hier jetzt liefern wird,
müssen wir noch gucken, wer denn dieses Angebot hier annimmt.
Also welcher Nachfrage erfüllt jetzt seine Nachfrage mit der Lieferung von Anbieter 2?
Dafür gehen wir zu Schritt 3 und wir gucken uns an,
was die niedrigsten Transportkosten sind.
Und die finden wir bei
Das heißt, wir wissen jetzt, Anbieter 2 beliefert Nachfrage 2.
Und wie viele Einheiten werden da jetzt geliefert? Schauen wir
uns mal Angebot und Nachfrage an. Und wir sehen,
Anbieter hat 2, hat nur noch 30 Einheiten auf Lager,
nach Frage 2 möchte allerdings 40 Einheiten haben.
Die bekommt aber nicht vollständig, weil der Anbieter das ja nicht verfüllen kann.
Also, wenn wir jetzt hier die 30 aus und
wir wissen, X-2-2 ist jetzt hier gleich 30.
Und für unsere neue Tabelle bedeutet das nun wieder,
dass wir Angebot und Nachfrage einmal verrechnen müssen mit den 30 transportierten Einheiten und wir kommen darauf,
dass der Nachfrage 2 nur noch zehn Einheiten benötigt,
während Anbieter 2 hier gar keine Einheit mehr liefern kann.
Das heißt, wir können Anbieter 2 hier
schon mal streichen
Wir machen aber weiter. Naja, wir gehen wieder zurück
zu Schritt 1 und wir berechnen jetzt hier die Transportkostendifferenzen.
Also, für unsere letzte Zeile bedeutet es hier,
wir wählen einmal die günstigsten Kosten der jeweiligen Spalte aus.
Wir wählen die zweiten Assistentenkosten aus und wir bilden die Differenz.
Die Delta-I bedeutet das,
wir wählen jetzt zuallererst in der jeweiligen Zeile einmal die günstigsten Kosten aus,
wie wir in die zweitgünstigsten Posten aus und wir bellen die
Differenz.
Und nun müssen wir in dieser Tabelle ganz einfach wieder bestimmen,
was denn hier die größte Transportkostendifferenz ist.
Ich finde nur hier ganz klar in Spalte 3 bei der 40.
Das heißt, wir wissen, Nachfrage hat 3 wird jetzt beliefert.
Und wer beliefert Nachfrage 3? Naja, gucken wir uns mal dafür an,
was denn hier den niedrigsten Transportkosten in der Spalte sind.
Und das sind die 170. Also, Anbieter 1 beliefert jetzt
nach Frage 3. Wie viele Einheiten werden geliefert?
Ja, 10 und 40 haben wir da.
Wir können ja jetzt hier nicht mehr liefern als 10,
weil dann Nachfrage 3 nicht mehr als 10 Einheiten haben möchte.
Also, wen wir jetzt hier die 10 aus.
Und wir wissen,
X13 ist gleich
Und damit können wir ja dann auch schon die Tabelle sechs hier eröffnen.
Und in der Tabelle sechs müssen wir natürlich zuallererst einmal
dir gerade eben gelieferte Menge bei Angebot und Nachfrage berücksichtigen.
Das heißt jetzt, wir haben nur noch eine Nachfrage null
bei Nachfrage 3 und wir haben nur noch ein Angebot von
30 bei Anbieter 1 übrig.
Und mit der Nachfrage von null können wir
den Nachfrageer von 3 hier auch schon streichen
Und nun gehen wir wieder zurück zu Schritt eins.
Wir berechnen nie die Transportkünstendifferenzen. Und da fangen wir mal
an mit Delta J. Wir wählen also wieder die günstigsten Kosten
in der jeweiligen Spalte und wir wählen die zweitgünstigsten Kosten.
Dann bilden wir die Differenz. Das Ganze machen wir dann
noch für unsere verbleibenden zwei Anbieter.
Wir schauen einmal, was die günstigsten Kosten sind.
Wir schauen uns die zweitgünstigsten Kosten sind und wir bilden die Differenz.
Jetzt könnte man mal meinen, dass wir hier in Tabelle
sechs so ein kleines Problem haben.
Denn wir haben ja bei Delta E. jetzt 20 als größte Transportkostendifferenz.
Und wir haben bei Delta J. 20 als größte Transportkostendifferenz.
Und wenn man so eine Zweideutigkeit zwischen Zeile und Spalte haben,
dann wählen wir zuallererst die Zeile aus.
Das heißt, hier ist nun die dritte Zeile die Zeit,
die wir auswählen.
Und wir wissen,
Anbieter drei liefert
Mit Schritt 3 finden wir jetzt heraus, wen er denn beliefert.
Wir wählen nun die niedrigsten Transportkosten in der Zeile
und wir wissen, Nachfrage 1 wird beliefert.
Wie viele Einheiten werden beliefert? Gucken wir mal, was
sie haben. 30 und 10, 10 ist kleiner.
Also werden jetzt hier zehn Einheiten geliefert und zwar von Anbieter 3.
Also X31 ist jetzt gleich
Damit können wir dann auch schon die nächste Tabelle hier eröffnen.
Und wir sehen ja Angebot und Nachfrage, wurden verrechnet.
Denn die zehn Einheiten, die es geliefert wurden,
wurden beim Angebot von Anbieter 3 abgezogen.
Der hat jetzt also nur noch ein Angebot von null.
Und die Nachfrage von Nachfrage 1 oder ebenfalls um
zehn Einheiten von 30 auf 20 verringert.
Wenn jetzt hier also die dritte Zeile streichen,
da der Anbieter 3 nun ebenfalls raus ist.
Okay. Und nun ist es ja eigentlich nur noch logisch,
wie denn die restlichen Transportmenge sind.
Denn Anbieter 1 hat jetzt noch 30 Einheiten zur Verfügung.
Nachfrage 1 möchte 20 Einheiten haben und nach Fahrrad 2 möchte zehn Einheiten haben.
Das heißt, wir müssen jetzt hier nicht mehr groß rumrechnen.
Wir können das Ganze direkt hier bestimmen.
X11 ist also 20 und X12
ist gleich
Und damit sind Angebote und Nachfrage hier komplett erfüllt und
wir haben unsere Ausgangslösung mit der phogischen Approximationsmethode bestimmt.
Mit dieser Ausgangslösung können wir nun ganz einfach den aktuellen Zielfunktionswert berechnen.
Da brauchen wir ja nur die Werte der Entscheidungsvariablen und wir brauchen die jeweiligen Zielfunktionskoeffizienten,
die wir ja an den Kantengerichten ablesen können.
Wenn wir das miteinander multiplizieren und addieren,
kommen wir auf Gesamtkosten von 20.900 Geldeinheiten
Und ist diese Lösung jetzt hier optimal? Ja? Beantwortet
es, wir wissen es nicht. Die Vorgestalt,
Proximationsmethode findet in der Regel ziemlich gute Lösung,
aber wir wissen jetzt natürlich noch nicht, ob das ganz optimal ist.
Und was können wir da machen? Naja, wir können
jetzt hier die Modi-Methode anwenden, um eine optimale Lösung zu bestimmen.
Was ist die Modi-Methode eigentlich? Bei der Modi-Methode handelt es
sich um die sogenannte modifizierte Distributionsmethode. Und das ist ein iterativer Algorithmus,
mit dem wir Schritt für Schritt auf eine optimale Lösung kommen.
Oder zeigt uns gleich im ersten Schritt an,
dass wir eine optimale Lösung bereits gefunden haben.
Aber auf jeden Fall brauchen wir jetzt hier zuallererst für die
Modi-Methode einmal eine zulässige Startlösung. Und die haben wir ja
gerade eben glücklicherweise, metaphorischen Approximationsmethode bereits bestimmt.
Weißt du, wir können jetzt hier weitermachen.
Was machen wir mit der Modi-Methode genau? Naja,
wir suchen nach einer Nicht-Basis-Variable mit den minimalen reduzierten Posten
Wir suchen also nach einer Nicht-Basis-Variable der reduzierte Kosten kleiner als Null hat,
denn pro Aufnahme dieser Variable in die Basis können wir ja
pro Einheit eine Senkung des Zielfunktionswertes umgereduzierte Posten erreichen.
Und unser Ziel ist ja hier möglichst geringer Transportkosten zu erreichen.
Also ist das was Gutes. Das heißt,
mit der Modi-Methode führen wir jetzt hier Basentausche durch,
ebenfalls mit dem Simplex-Algorithmus auch.
Und gleichzeitig ändern wir natürlich auch die Transportmengen.
Dafür benötigen wir jetzt nicht den Simplex-Algorithmus,
das können wir alles mit der Modi-Methode machen.
Und irgendwann können wir dann Modi-Modi-Methode an einen Punkt,
wo wir keine Verbesserung mehr erreichen können.
Also alle Nicht-Basis-Variable, dann reduzierte Kosten von größer gleich Null haben.
Und dann müssen wir, dass wir
die optimale Lösung gefunden haben.
Fangen wir da mal gemeinsam an
Zuallererst brauchen wir hier jetzt,
sie werden es vermutlich erraten, mal wieder ein Tableau.
Und dieses Tableau hat ja nun für jeden Anbieter
eine Zeile und für jeden Nachfrage eine Spalte.
Hä? Darüber hinaus haben wir noch eine Zeile für
unsere Dualvariablen der Nachfragerestriktion und mal noch eine Spalte für
unsere Dualvariablen der Angebotsrestriktion
Und in der Mitte, ihr jetzt blau markiert,
müssen einfach nur die Transportkosten rein. Ja? Wir haben
da vorhin auch schon bataphorischen Apoximationsmethode in der Mitte des Tableaus gehabt.
Und nachdem wir die Transportkosten hier drin haben,
müssen wir noch die Übertragung der Startlösung hier vornehmen.
Das heißt, wir übernehmen jetzt unsere Startlösung aus der
vogelischen Apoximationsmethode und fügen dich hier in dieses Tableau ein
Und für die Variable X43 gleich 40 heißt das,
dass wir jetzt hier in Seile 4, Spalte 3,
die 40 in eckigen Klauen reinschreiben.
Eckige Klammern heißt immer, rassistieg jeweilige Transportmenge.
X34 müssen wir jetzt also Insider 3, Spalte 64 übernehmen.
Für X25 müssen wir jetzt also in Zeile 2, Spalte 5, hat 30 übernehmen. Für X22,
Zeile 2, Spalte 2, eine 30,
für X13, also in Zeile 1, Spalte 3,
eine 10, Felix 3, 1 in Zeile 3,
Spalte 1, eine 10 für X1, 1,
20 und für X1, 2,
eine 10. Also soweit eigentlich ziemlich simpel.
Okay. Und damit haben wir hier unsere Startlösung ins Tableau
übertragen und wir können damit weitermachen,
dass wir hier die Werte der Dualvariablen berechnen.
Und dafür bindet ihr mir die gleichen Formeln,
die wir vorhin auch schon in Aufgabe 1
verwendet haben
Einmal die Formel führte Nicht-Basisvariaben und die Filme für die Basisvariablen.
Und sie erinnern sich, die Formel für die Basisvariablen ist
ja einfach nur ein Ticken kürzer, weil wir wissen,
dass die reduzierten Posten bei den Basisvariablen eh schon gleich neu sind.
Und fangen wir da hier mal an.
Zuallererst müssen wir jetzt also eine der Dualvariablen gleich nur setzen,
weil wir hier eine Nebenbedingung zu viel haben.
Und setzen wir da mal U1 vielleicht nur. Kein.
Und nun müssen wir nur noch die anderen Acht-Dual-Variablen bestimmen.
Und das geht eigentlich ziemlich simpel,
nur anhand dieser Tabelle und der ersten Formel,
die sie da oben sehen.
Also sie formeln für die Basisvariablen
Machen wir das mal gemeinsam, ja?
Schauen wir uns hier mal die erste Zeile an und gucken,
wo wir den Basisvariable dort haben.
Ja, und die Basisvariable ist hier hier X11, X112 und X13.
Und wir wissen, dass wir hier drei Basisvariable nun haben,
können wir die nun mit der ersten Formel ganz einfach dafür benutzen,
um V1, V2 und V3 zu bestimmen.
Ja? Denn den Zielfunktionspoeffizienten, den haben wir ja hier
in der Tabelle, stehen bei den Transportkosten.
Zielfunktionsquoifizient, C11, ist ja nichts anderes als 130. Das heißt,
wir wissen jetzt hier, 130, bis gleich,
U1 plus V1,
U1 ist 0,
also ist 130 gleich
Fertig. Zweite Spalte haben wir ebenfalls wieder eine Basisvariable deiner
ersten Zeile, zweite Spalte. Wir wissen,
unser Zielfunktionskoeffizienter ist 140, 140 ist gleich U1 plus V2,
U1 ist ja 0,
also 140 ist gleich
Fertig eingetragen. Dritte Spalte, haben wir wieder eine Basisvariable,
da stehen also dritte Spalte, erste Zeile.
Zielfunktionskoifizient ist 170, 170 ist gleich U1 plus V3,
U1 ist ja gleich 0, also 170 ist gleich V3, fertig.
Okay, also bisher ist super simpel. Und nun können
wir gucken, wo wir noch weitere Dualvariablen bestimmen können.
Und schauen uns da mal die erste Spalte an.
Dann haben wir ja noch eine Basisvariable X31.
Da ist ja die transportierte Menge gleich 10.
Und mit dieser Basisvariable können wir nur ganz einfach
U3 bestimmen
Reichen das hier mal auf, ja. Mo 3 hier zu bestimmen,
müssen wir einfach nur die folgende Formel hier oben verwenden mit CEJ,
das ist gleich UI plus VJ und den entsprechenden Werte einsetzen.
Heißt hier also,
140 bis gleiche U3 plus 130. 140 ist der Zielfunktionskoalifizient,
U3 ist jetzt unbekannt und 130 ist V1. Und dann kommen
wir ja direkt darauf, dass U3 gleich zehn sein muss.
Und wie können wir erst weitermachen? Naja,
gucken wir hier mal in der Zeile weiter.
Wir können ja jetzt, da wir wissen,
was U3 ist, auch noch V4 bestimmen.
Machen wir das mal
Und V4 können wir jetzt bestimmen,
indem wir einfach aufschreiben, 90 ist gleich 10 plus V4.
Denn 90 ist CLC-Funktionskoifizient, zehn ist ja U3 und V4 ist unbekannt.
Wenn wir das ausrechnen, kommen wir darauf, dass V4 gleich 80 ist.
Und wie können wir dann weitermachen? Naja, schauen wir
mal, was wir hier noch für potenzielle Basisvariablen haben.
Und da können wir hier die Basisvariable X-2-2 verwenden.
Und dort wurde ja eine Transportmenge von 30 transportiert.
Und wenn wir hier die entsprechende Gleichung für die Zeilen und
Spalte aufstellen, sieht das Ganze wie folgt aus.
150 ist gleich U2 bis 140. 150 und der Zielfunktionskoifizient,
U2, jetzt wird sie unbekannt, und 140 ist ja
nichts anderes als V2-2. Eingesetzt kommen wir dann darauf,
dass U2 nichts anderes als 10 sein kann
Wo können wir noch weitermachen? Was haben wir hier noch für potenzielle Basiswariaben?
Nein, wir können uns hier natürlich nochmal die Basisvariable X43 formeln.
Dort wurden ja 40 Einheiten transportiert. Und da können wir
nun ebenfalls ganz simpel die Gleichung auch stellen.
Die ist ja null, ist gleich U4 plus 170.
Null und unser Seelfunktionskoeffizient, 170 ist jetzt hier V3 und
U4 ist unbekannt. Einfach nur ganz einfach berechnen.
U4 kann ja jetzt nur minus 170 sein.
Und wo können wir denn die letzte Dualvariable bestimmen?
Gucken wir mal, was für Basisvariablen wir hier noch haben.
Und ah, hier könnten die Basisvariable
X25 verwenden
Wenn wir die entsprechende Gleichung aufstellen, sieht die aus wie folgt.
130 ist gleich 10 plus V 5. Und damit wissen wir auch direkt,
dass V 5 nichts anderes als 120 sein kann.
Hä? Weißt du, wir müssen einfach immer nur gucken,
was die Basisvariablen sind. Gucken, ob sie in der
jeweiligen Zeit oder Spalte bereits eine Dualvariable bestimmt haben.
Und wenn das der Fall ist, können sie ganz einfach
die andere Dualvariable bestimmen. Das machen sie so lange,
bis sie alle Dualvariablen im Tableau bestimmt haben.
Gut, dann geht's weiter mit der Berechnung der Reduzierten Kosten.
Ende können jetzt, in der zweiten Formel hier oben,
wir reduzierten Kosten aller Nicht-Basis-Variablen berechnen.
Machen wir das doch mal zusammen hier für die Variable X21.
Da müssen wir jetzt einfach nur gucken, was U1 ist.
Wir müssen gucken, was V1 ist.
Und wir können das Ganze hier in die Formel einsetzen,
die ja jetzt ja oben grün markiert ist.
Und dann wissen wir, die reduzierten Kosten von X21 sind gleich 2,10,
minus 10, minus 130, sind also 70.
Und die schreiben wir dann in runden Klammern auf
Machen wir das Ganze nochmal gemeinsam hier für X-2-
3. Was sind denn da die Reduzierenkosten?
Darum müssen wir dann einfach nur bei U2 bleiben.
Und wir müssen uns natürlich nochmal hier V3 anschauen.
Und dann setzen wir das ganz stumpf in die Formel ein.
Und reduzierten Kosten sind dann gleich 170, minus 10, minus 170.
Und das Ganze ist vielleicht minus 10. Und aha, cool,
wir haben ja jetzt hier reduzierte Kosten gefunden, die negativ sind.
Das heißt, wir haben hier direkt gezeigt,
dass die aktuelle Lösung noch nicht optimal ist. Das heißt,
wir können hier ja noch eine Verbesserung des Zielfunktionswertes erreichen,
indem wir X-2-3 in die Basis aufnehmen
Denn dadurch sinkt ja unser Zielfunktionswert, was hier bei einer
Minimierung natürlich unser Ziel ist. Bevor wir das tun,
müssen wir noch einmal die reduzierten Kosten aller anderen nicht basisvariablen bestimmen,
um zu schauen, ob es nicht vielleicht eine Nicht-Basisvariable mit Niedrigeren produzierten Kosten gibt.
Aber das mache ich jetzt hier mal für Sie,
weil das alles Schritt für Schritt vorzurechnen, dauert einfach zu lange.
Und Sie sehen schon hier in dem finalen Tableau,
haben wir dann immer noch nur an einer Stelle negative reduzierte Kosten von minus zehn.
Das heißt, wir wissen jetzt,
wenn wir hier jetzt mit der Modi-Methode arbeiten,
wird jetzt hier gleich x,
zwei,
drei in die Basis aufgenommen
Und welche der Basisvariabeln verlässt jetzt die Basis? Naja,
das ist die Frage, die wir jetzt hier in Schritt 5 beantworten müssen.
Ein Schritt 5 müssen wir nämlich die neue Nicht-Basisvariable bestimmen.
Und wir müssen natürlich auch einmal die Transportmenge umverteilen.
Und schauen wir uns mal die aktuellen Basisvariablen an.
Die haben wir ja hier in eckigen Klammern dort in der Tabelle drin.
Und diese Basisvariablen, die zeigen uns natürlich aufsummiert auch,
wie viel hier pro Zeile und pro Spalte
transportiert wird
40, 60, 70, 40.
Und 30, 40, 50, 60, 30.
Jetzt habe ich ihn inklusiv hier einmal bei Unteridualvariablen jeweils geschrieben.
Und das ist ja Angebot und Nachfrage,
die wir im Ursprungsproblem im Grafen schon gesehen haben.
Denn wir haben ja Angebote und Nachfrage mit unseren Basisvariablen hier vollkommen erfüllt.
Und das ist jetzt auch der Clou bei der Modi-Methode.
Denn Angebot und Nachfrage hier Zeile und Spalte, die müssen
Nach jedem Basentausch immer noch gleich sein. Das heißt,
Angebot und Nachfrage ändern sich ja nicht. Anbieter 1,
2, 3, 4 werden nach einem Basentausch nicht plötzlich ein anderes Angebot haben.
Nachfrage 1, 2, 3, 4,
5 werden nicht ihre Nachfrage ändern durch den Basentausch.
Das heißt, wir müssen pro Zeile und pro Spalte
summiert über die Basisvariablen immer auf Angebot oder Nachfrage kommen.
Und das ermöglicht uns nun ganz einfach hier,
gewisse Basisvariablen als neue Nicht-Basisvariablen auszuschließen
Wollen wir uns zuallererst mal die Basisvariable X25 an?
Wie hat der aktuellen Wert von 30? Und wenn wir
jetzt mal ganz unten hier in die letzte Zeile schauen,
dann sehen wir ja auch Nachfrage 5, hat insgesamt 30 Einheiten abgenommen.
Und wenn wir jetzt hier an der 30 irgendwas ändern würden,
und das müssen wir ja, wenn wir hier eine neue Basisvariable aufnehmen,
dann müsste in der jeweiligen Spalte hier,
also in der fünften Spalte hier,
irgendwie eine andere Variable in die Masis aufgenommen werden.
Wenn wir jetzt beispielsweise in der 20 draußen machen würde,
dann müsste irgendeine andere Variable in der Spalte, die so zehn Einheiten,
die wir jetzt nicht mehr mit X25 transportieren, übernehmen.
Und das geht ja nicht. Wieso geht das nicht? Naja,
wir wissen ja, dass X23 gleich in die Basis aufgenommen wird.
Und ein Basentausch geht ja immer nur eins zu eins.
Eine Variable wird aufgenommen und eine Variable verlässt die Basis.
Andere ist es nicht möglich
Deswegen kann man ausschließen, dass X-2,5 Yards Kandidatin in Frage kommt.
Dann haben wir X-2,5 ändern, also irgendwie senken,
dann muss in der gleichen Spalte eine neue Basisvariable entstehen.
Und das ist hier nicht erlaubt. Damit ist X-2,5 hier
raus. Schauen wir uns mal die Spalte 4 an.
Und in der Spalte 4 gucken wir uns mal genauer gesagt, X-3,4 an.
Da werden ja 60 Einheiten von Nachfrage 4 angefragt.
Und können wir da was ändern? Erhöhen können wir die eh nicht,
weil insgesamt müssen wir die Spalte hinweg 60 nachgefragt werden.
Können wir die senken? Naja, können wir ebenfalls nicht,
weil wenn wir die senken würden,
dann müsste irgendeine der anderen Variable in der Spalte,
neue Basisvariable werden.
Neue Basisvariable wird ja jetzt schon X-2,3. Also,
X-3,4 ist als Kandidat
hier ebenfalls raus
Schauen wir uns mal die vierte Zeile an und schauen uns
da mal X43 an. Da werden ja 40 Einheiten vom
Anbieter 4 ausgeliefert. Und können wir die irgendwie senken?
Kein Anbieter 4 vielleicht an jemand anderen noch liefern?
Geht nicht. Weil wenn das der Fall wäre,
dann müsste irgendeine andere Variable in der Zeile neue Basisvariable werden.
Und das kann ja nicht sein, weil X23
gleich die Basisvariante wird. Also ist X43 auch schon als
Kandidat draus
Damit schauen wir uns hier mal X31 an.
Können wir ein X31 jetzt irgendwas ändern? Können wir mal
gucken. X31 können wir nicht erhöhen, weil wir müssen
insgesamt 70 transportieren und X34 dürfen wir ja nicht ändern.
Können wir X31 senken? Nee, weil da müsste irgendeine
andere Variable in der Zeile neue Basisvariable werden.
Und sie ahnen es, geht ja nicht,
X23 gleich in die Basis aufgenommen wird.
Also ist X31 hier als Kandidat ebenfalls raus
Schauen wir uns da mal X-1-1 an.
Können wir da was ändern? Okay,
in der Zeile geht das ja auf jeden Fall,
da könnte man mit X-1-2 oder X-1-3 irgendwas machen,
aber in der Spalte kann ich nichts machen.
Da muss ich insgesamt auf 30 kommen,
X-3-1 darf ich nicht ändern und damit darf ich
X-1-1 hier auch nicht ändern.
Also X-1-1 fliegt ebenfalls raus,
da keine andere Variable in der Spalte,
neue Basis
nach real gehören kann
Damit habe ich jetzt hier noch drei Basisfariablen übrig,
beziehungsweise vierte Variable, X, 2, 3,
wird hier gleich neue Basisvariablen.
Also drei aktuelle Basisvariablen und ein Basisvariablen Kandidaten. Und jetzt
muss ich schauen, welche der aktuellen Basisvariablen ich herausschmeiße.
Und dazu bilden wir jetzt gemeinsam einmal den Unverteidigungskreis.
Wir wissen ja, dass X, 2,
30 vielleicht erhöhen wird. Wenn X, 2,
30 erhöht, dann muss natürlich X, 2,
2 kleiner werden.
Denn wir müssen ja insgesamt in der Zeile
noch auf 60 kommen
Und wenn X-2-2 kleiner wird, dann muss X-1-2 größer werden.
Ich muss ja in der Spalte insgesamt auf 40 kommen.
Und wenn X-1 zwar jetzt größer wird, sie ahnt es
wahrscheinlich schon, muss X-1-3 kleiner werden.
Denn ich muss ja in der Zeilen dann auf 40 kommen.
Und damit habe ich den Umverteilungskreis hier auch schon eingezeichnet.
Ich weiß, es wird sich jetzt gleich bei X-2-
2 was ändern. Dort werden weniger Einheiten transportiert.
Ich war jetzt bei X-1-2, werden mehr Einheiten transportiert,
bei X-1-3 werden weniger Einheiten transportiert.
Und bei X-2-3 werden wieder
mehr Einheiten transportiert
Adam, wie viel wird sich das da jetzt ändern?
Also, wie viele Einheiten werden gleich über x,
zwei, drei transportiert? Da müssen wir einfach mal gucken,
was denn hier der kleinste Wert in unserem Umverteilungskreis ist.
Und den sind wir da bei x13 und 1X12. Bei x13
ist hier natürlich relevant, weil bei x13 nehme ich gleich was weg.
Und da kann ich nur maximal zehn Einheiten wegnehmen,
bevor die Transportmenge da negativ wird.
Und das geht ja nicht. Das widerspricht ja den Variablentermin.
Das heißt, ich kann jetzt bei x13 10 Einheiten wegnehmen
und x13 verlässt damit die Basis.
Gleichzeitig heißt es dann, dass über x23 dann
zehn Einheiten transportiert werden
Und um nun noch die Zeilen und Spalten mit Angebot und Nachfrage zu erfüllen,
muss ich dann natürlich bei X12 statt zehn Einheiten 20 Einheiten transportieren.
X1 zu 1 ist 20 X12,
ist dann 20 und zusammen gibt es 40.
Und in der Spalte 2 muss ich dann insgesamt 40 Einheiten transportieren.
Das heißt, ich muss jetzt bei X22 10 Einheiten
weniger transportieren, damit das insgesamt 40 ergibt in der Spalte
Und damit haben wir den Umverteilungskreis hier auch schon abgeschlossen.
X, 2, 3 ist jetzt also die neue Basisvariable
geworden und X, 1, 3 hat die Basis verlassen.
Und in dieser neuen Lösung hier hat sich ja Folgendes verändert.
Schauen wir uns das mal genauer an. X, 2,
2 ist nun 20, statt 30, X, 2,
3 ist neu in der Basis und hatten Wert von zehn.
1, 2 hat statt Zehnenwert von 20 und X,
1, 3 hat die Basis verlassen.
Und mit diesen neuen Werten der Entscheidungsvariablen kann ich ja nun
ganz einfach zusammen mit den Zielfunktionskoeffizienten die Gesamtkosten brechen.
Und die Gesamtkosten hier sind 20.800. Das heißt,
ich habe durch diesen Schritt mit der modi-Methode
schon mal 100 Geldeinheiten eingespart
Da kann man sich ja jetzt natürlich mal wieder
die Frage stellen, ist das Ganze jetzt optimal?
Nee, einfache Antwort ist, keine Ahnung.
Das können wir, Stand jetzt so nicht sagen.
Um jetzt zu sagen, ob das Ganze optimal ist,
müssen wir nochmal zurück zu Schritt eins der Modi-Methode gehen und damit anfangen,
dass wir hier mit eins, zwei, drei einmal aller reduzierten Kosten berechnen.
Weißt du also, ich fange damit an,
dass ich eine der Dualvariablen gleich nur setze und das mache ich mal mit Urheins.
Wenn Urheins gleich null ist, muss ich alle anderen Dualvariablen hier berechnen.
Das habe ich mal vorgespult, da kommen sie auf das folgende Ergebnis.
Und mit den dualen Variablen kann ich dann den reduzierten Kosten berechnen.
Sie erinnern sich, die zweite Form,
die sich hier oben über dem Modi-Tableau sehen
Und wenn ich dir reduzierten Kosten hier drin berechnet habe,
dann sehe ich, es gibt keine negativen reduzierten Kosten mehr.
Alle reduzierten Kosten hier sind größer gleich null.
Und damit kann ich hier in Schritt 4 sagen,
die Annahme hier ist nicht erfüllt und die Alternative tritt in Kraft.
Das heißt, wir brechen mit der Modi-Methode ab und wir wissen,
die aktuelle Lösung, die wir jetzt hier gefunden haben,
ist optimal
Gernot, haben wir die Übungsaufgabe 2 dann auch schon abgeschlossen.
Und wir haben jetzt hier gesehen, dass wenn man in
der Vogelschnapproximationsmethode als iterative Heuristik zwar eine ziemlich gute Ausgangslösung gefunden haben,
aber es war halt noch nicht die optimale Lösung.
Und mit der Modi-Methode haben wir das dann geprüft und gesehen,
wir brauchen noch einen Schritt, um dann auf die optimale Lösung zu kommen.
Und bei der reduzierten Kosten hier alle größer,
gleich null sind, wissen wir auch,
dass die Lösung mit der Modi-Methode jetzt
wirklich optimal ist
Damals sind wir ja auch schon am Ende von Übung Siemen gelangt.
Und im Gegensatz zur letzten Übung, wo sie, je nachdem,
ob sie Lust auf Games haben oder nicht Lust auf Games haben,
Glück gehabt haben, haben wir diese Woche auch wieder Aufgaben,
die sie in Games kontrollieren können.
Und wenn sie dann nicht weiterkommen,
sie finden wie immer die kommentierte Musterlösung bei Open Old hochgeladen.
Falls sie sonst noch Fragen haben, stellen sie die gerne
in der nächsten Besprechung.
Und wir sehen uns dann wieder entweder in der nächsten Besprechung
oder in der nächsten Übung.
Bis dahin