Ich bin vorhin etwas unversehens in die Pause gestolpert,
dann will ich jetzt wenigstens ordentlich aus der Pause zurückkommen.
Ich hoffe, Sie haben die Gelegenheit wie üblich genutzt und wir machen jetzt weiter,
indem wir uns diesen ganzen Hypothesenprüfungsprozess nochmal für Anteilswertvergleiche anschauen.
Dazu benutzen wir folgendes Beispiel,
das wird Sie an die Eingangsszene erinnern
Als wir auch über Parteien und Stimmungsänderungen gegenüber den Parteien im Laufe
eines Monats oder Stimmungsänderungen gegenüber Frau Merkel innerhalb eines Monats gesprochen haben.
Und hier geht es jetzt eben auch darum,
dass wir Prozentwerte miteinander vergleichen wollen. Und die Frage,
auch hier ist dieser Unterschied, den wir da sehen,
ist ja eigentlich statistisch bedeutsam. Also sprich,
ein Unterschied, den wir hier in der Stichprobe sehen,
können wir den auch als relevant für die Grundgesandtheit ansehen.
Die Frage, die wir uns jetzt ganz konkret stellen,
ist, unterscheiden sich Männer und Frauen bezüglich ihrer Wahlentscheidung für
die SPD?
Und wir haben hier Umfrageergebnisse
Und okay, in unserer Stichprobe haben 35 Prozent der Männer.
Das entspricht einem Anteilswert von 0,35. Sich für die SPD entschieden,
bei einem N von 1200. Und bei den Frauen sind es 43 Prozent,
die sich für die SPD entschieden haben, also einen Anteilswert von 0,43,
beim N von 1186, also auch sehr ähnliche Fallzahlen.
Wir haben, wie immer, mindestens zwei Hypothesen,
nämlich die Nullhypothese, die Wahlentscheidung von Männern und Frauen,
ist in der Grundgesamtheit nicht unterschiedlich.
Also das, was wir eigentlich suchen, ist nicht da.
Das ist ja immer das, was wir in die Nullhypothese reinschreiben,
das, was uns gerade nicht interessiert. Und wir haben die Alternativhypothese,
Wahlentscheidungen von Männern und Frauen in der Grundgesamtheit sind unterschiedlich und sie sehen schon,
hier ist keine gerichtete Hypothese dabei,
weil wir vielleicht auch keine konkrete Erwartung haben,
sondern weil wir einfach sagen,
wir gehen davon aus
Dass es einen Unterschied gibt. Und dann wollen wir H0 jetzt wieder durch die Frage entscheiden,
wie groß ist die Wahrscheinlichkeit in einer Stichprobe, diese Differenz zu beobachten,
wenn in der Grundgesamtheit keine Differenz vorhanden ist.
Jetzt greife ich schon ein bisschen vorweg für die Differenz,
die wir da jetzt sehen,
also die Differenz zwischen 35 und 43 Prozent,
werden wir ein Z-Wert von etwa minus 4 errechnen.
Also wenn wir Männeranteil minus Frauenanteil rechnen,
das heißt vor allem im Hintergrund dessen,
was wir bisher besprochen haben,
würden wir jetzt wahrscheinlich schon ein bisschen auch aus dem Bauch sagen,
minus 4Z,
das ist relativ groß
Also wahrscheinlich würden wir auf der Basis dieser Ergebnisse,
die null Hypothese ablehnen und die Alternativhypothese für bestätigt empfinden oder sagen, wir haben empirische Evidenz für die Alternativhypothese.
Bevor ich Ihnen das Ganze jetzt am Rechenbeispiel zeige,
dann wieder mit Starter, wechsle ich einmal kurz die Position,
um mit Ihnen einmal durch die Formeln zu gehen und Sie werden sehen,
auch diese Formeln,
auch wenn Sie im ersten Moment deutlich anders aussehen,
machen am Ende nichts anderes als das,
was wir die ganze Zeit schon machen,
einen Wert aus der Stichprobe standardisieren,
damit wir in die Z-Verteilung kommen und den
vor dem Hintergrund einer Z-Verteilung
interpretieren können
Wie sieht das Ganze jetzt in Formeln aus? Wir fangen mit dem Vertrauensintervall an und haben hier wieder eine Formel,
die von der Struktur her uns eigentlich schon bekannt ist,
vorne steht sie, also Confidence Intervall des Vertrauensintervall für den Anteilswert und des Vertrauensintervall berechnen wir,
wie eigentlich schon bekannt,
hier ist unsere Stichprobenstatistik um die herum wir einen Vertrauensintervall aufspannen wollen,
dann kommt plus minus,
weil das Vertrauensintervall nach links und nach rechts geht und dann kommt hier ein Produkt,
nämlich einmal aus einem bestimmten Zwert und einmal aus dem Standardfehler der Sampling Distribution,
das Z berechnen wir für 1 minus Alpha Halbe,
wobei Alpha Halbe eben 1 minus unser angezieltes Niveau der Aussagesicherheit ist.
Also, wenn wir sagen, wir möchten 95 Prozent Aussagesicherheit haben,
dann haben wir ein Alpha von 5 Prozent und hier steht Alpha Halbe,
warum aus dem ganz einfachen Grund, dass wir ja sagen,
wir möchten ein Vertrauensintervall nach links und rechts aufspannen.
Das heißt,
zur einen Seite geht die Hälfte von Alpha zur anderen Seite,
geht die andere Hälfte von Alpha,
also dieser Index sagt uns eigentlich nur,
welches konkrete Z wir denn an dieser Stelle brauchen und dann
brauchen wir wie immer natürlich noch den Standardfehler der Sampling Distribution für einen Anteilswert.
Also Vertrauensintervall ist leicht beobachtete Statistik plus minus das Produkt aus
dem für unsere Aufgabenstellung passenden Z-Wert und dem Standardfehler.
Wir können das Ganze auch wieder von vornherein als Intervall ausdrücken.
Dann sagen wir, das Intervall spannt sich links und rechts um Väter,
wobei Väter jetzt für den wahren Bevölkerungsparameter des Anteilswertes steht.
Also das, was wir hier tatsächlich schätzen wollen.
Und dann sagen wir eben, okay, Väter geht,
unser geschätzter Bevölkerungsparameter geht vom Anteilswert minus das zu unserem Niveau
der Aussage Sicherheit passende Z multipliziert mit dem Standardfehler und dann
geht es auf der anderen Seite bis beobachteter Parameter plus wiederum dieser Produktausdruck.
Also die beiden Sachen gehen ja direkt ineinander über,
wie wir das auch schon beim Mittelwert gesehen haben.
Hier steht plus minus, hier steht minus,
hier steht plus, also das ist das Ganze nur aufgedröselt.
Bleibt die Frage, wo kriegen wir hier unseren Standardfehler her?
Bei Anteilswerten wird der Standardfehler nicht empirisch aus den Daten ermittelt.
Er nimmt nur Bezug auf die Daten, indem wir sagen,
also der Standardfehler ergibt sich für Anteilswerte und das hat damit zu tun,
dass unsere Verteilung hier links und rechts gebunden ist,
Anteilswerte können eben nur von 0 bis 1 bzw. Prozentwerte nur
von 0 bis 100 gehen und deswegen haben wir hier keine empirisch zu ermittelnden Standardfehler,
sondern die ergeben sich aus den Eigenschaften der Verteilung.
Und wir haben dann für jeden konkreten Anteilswert, den wir berechnen wollen,
aber trotzdem einen eigenen Standardfehler und der ergibt sich,
indem wir sagen, okay, hier ist unser Anteilswert,
den multiplizieren wir mit 1 minus diesem Anteilswert.
Das Ganze wird durch die Größe der Stichprobe geteilt,
daraus wird die Wurzel gezogen und dann haben wir unseren Standardfehler der Sampling Distribution,
also genau das, was wir hier oben einsetzen wollen. Wichtig,
alle diese Formeln arbeiten mit dem Anteilswert nicht mit dem Prozentwert,
also wenn sie hier den Prozentwert einsetzen,
Dann landen sie auf dem Mond mit ihren Ergebnissen,
sie müssen hier unbedingt daran denken, den Anteilswert einzusetzen,
also auch wenn in ihre Aufgabenstellung dann irgendwann mal 35 Prozent steht,
ist wichtig, hier muss 0,35 eingetragen werden.
So, und dann ist natürlich noch die Frage,
wie können wir unseren empirischen Zwert berechnen,
den wir mit unserem Z-Kritt vergleichen können,
das sieht jetzt auch wieder im ersten Moment etwas dramatisch aus,
aber fangen wir mit dem Teil an, den wir schon kennen.
ZM, also das ist das, was wir ausrechnen wollen,
jetzt steht hier oben einfach nur die Differenz der beiden Anteilswerte,
die uns interessiert,
P1 und P2,
also in unserem Beispiel Anteilswert der Männer beim SPD wählen Anteilswert
der Frauen
Und hier, wie vorher auch schon, das Väter.
Und das ist sozusagen der Repräsentant der Nullhypothese.
Wenn wir also sagen, unsere Nullhypothese geht davon aus,
dass es keinen Unterschied gibt, dann steht hier nur die Null.
Und dann ist das, was hier oben eigentlich steht, die Anteilswertdifferenzen.
Jetzt kommt hier unten ein etwas aufwendiger, aussehender Ausdruck,
der sich letztlich aber auch relativ leicht auflösen lässt.
Das ist die etwas aufwendigere Form, dieses Standardfehlers,
denn wir haben jetzt ja zwei Anteilswerte, das heißt,
wir müssen irgendwie einen gemeinsamen Standardfehler dieser beiden Anteilswerte berechnen.
Deswegen steht hier Peep poolt, Peep für den gemeinsamen Standardfehler
oder Peepoolt für den gemeinsamen Standardfehler der beiden Anteilswerte.
Also wir haben hier Peepoolt mal 1-Peepoolt.
Das ist genau der Ausdruck, den sie hier oben haben.
Und das Ganze wird dann multipliziert mit dem Kehrwert von 1
durch N-1 plus 1 durch N von 1 durch N1 und plus 1 durch N2,
was auf das Gleiche hinausläuft, als wenn man sagt, wir teilen das dadurch.
Das ist einfach nur eine Form der Darstellung und das N1 und
das N2 sind dann jeweils die Fallzahlen, aus denen diese beiden Stichproben bestehen.
Jetzt ist natürlich noch die Frage, okay,
und wo kommt dieses Peepoolt jetzt her?
Das löst sich hier unten auf
Pipult ist dann der Anteilswert der Männer, multipliziert mit der Fallzahl in der Männerstichprobe,
geteilt durch die Fallzahlen beider Stichproben, plus der Anteilswert der Frauenstichprobe, Fallzahl der Frauenstichprobe geteilt wiederum durch die Gesamtfallzahl.
Also das sind ein paar Stellen, die man rechnen muss,
aber letzten Endes haben wir eigentlich nur vier Größen,
die wir hier berücksichtigen müssen, nämlich einen Anteilswert für die Männer,
einen Anteilswert für die Frauen, eine Stichprobengröße für die Männerstichprobe,
eine Stichprobengröße für die Frauenstichprobe,
wenn man das Ganze von hier unten beginnt,
langsam einsetzt,
dann ist man dann auch relativ schnell bei diesem empirischen Zwert und das Ganze gucken wir uns jetzt nochmal im Starterbeispiel an,
wo wir natürlich diese ganzen Rechnungen gar nicht durchführen müssen,
sondern da werden uns die Ergebnisse ja schon direkt
vom Programm präsentiert
Ja, wieder eine Tabelle, die Starter so ausspuckt.
Sie sehen die Grundfigur ist eigentlich relativ ähnlich, variable XY.
Hier habe ich jetzt nicht die Männer und Frauen drin stehen.
Das liegt einfach nur daran, wie ich mit meinem Starterdatensatz gearbeitet habe.
Da tauchen wieder Konfidenzintervalle auf. Da taucht der Standard Fehler
auf. Hier taucht jetzt keine Standardabweichung auf,
weil wir die Standardabweichung in diesem Fall nicht brauchen.
Und wir haben eben zwei Mittelwerte, nämlich einmal die 35 Prozent
der Männer ausgedrückt als Anteilswert und die 35 Prozent der Frauen ausgedrückt als Anteilswert.
Das ist nochmal ganz wichtig in der Formel eben,
rechnen wir mit Anteilswerten nicht mit Prozentwerten,
wenn sie für P-Prozentwerte eintragen, landen sie auf dem Mond.
Sie müssen unbedingt Anteilswerte eintragen, damit das Ganze funktioniert.
Also, Anteilswert der Männer, 0,35,
entsprechend 35 Prozent, Anteilswert der Frauen 43.
Das sind die Standardfehler der Stichprobenverteilung, die dazu gehören.
Und jetzt haben wir hier hinten die Vertrauensintervalle des Vertrauensintervall.
Der Männer geht von 0,32 bis 0 oder 0,32,3 bis 37
rund 17 des Vertrauensintervall der Frauen geht von 40,2 gerundet
bis 45,8 gerundet
Gleich jetzt den Schritt gemacht, den wir eben etwas länger hergeleitet haben.
Die beiden Vertrauensintervalle überlappen sich nicht. 37,7 ist deutlich kleiner als 40,1.
Also die Obergrenze des einen ist deutlich kleiner als die Untergrenze des anderen Intervalls. Das heißt,
wir würden auf der Basis der Konfidenzintervalle sagen, okay,
Männer und Frauen unterscheiden sich in ihrer Einstellung zur SPD oder auf der Basis unserer Stichprobe,
in der wir eine Differenz zwischen dem Abstimmungsverhalten von Männern und Frauen beobachten,
können wir uns ziemlich sicher sein,
dass diese Differenz auch in der Grundgesamtheit vorhanden ist.
Hier haben wir jetzt wieder einen Setwert.
Ich hatte eben auf der Folie davor gesagt,
ungefähr vier,
das ist
genau diese ungefähr vier
Das,
was mithilfe der Formel aus den Anteilswerten und so weiter berechnet werden kann,
ist jetzt ein empirisches Z von 4. Sie wissen selber,
wie ihre kritischen Z-Werte gegebenenfalls aussehen auf dem Niveau von 90,
95, 99 Prozent.
Für alle Z-Werte, die wir je als kritisch bezeichnet haben,
würden wir sagen, hier ist ein kritischer Z-Wert,
der im Betrag größer ist als diese kritischen Z-Werte.
Und auch hier können wir uns jetzt wieder unterschiedliche Hypothesen anschauen.
Ich hatte eben nur formuliert, Männer und Frauen unterscheiden sich.
Deshalb schauen wir uns hier jetzt auch nur die Differenz des ungleich null Alternativhypothese an.
Da oben links haben sie neben dem Z-Wert auch noch wieder
die Die genaue Formel, wie die Differenz gebildet wurde,
nämlich von den Männern auf die Frauen.
Und hier jetzt also die gleiche Aussage für die Alternativhypothese,
dass die Differenz ungleich null ist. Oder wenn wir glauben,
dass die Alternativhypothese, dass die Differenz ungleich null ist,
zutrifft, dann machen wir mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,0001 einen Fehler.
Das korrespondiert auch ganz gut mit dem Z-Wert von minus 4.
Also Z minus 4 ist ja noch nicht so weit von
den üblichen Werten, die wir kennen, weg.
Da sind noch Flächen unter der Normalverteilungskurve zu sehen,
wenn auch minimale Flächen während bei der anderen Aufgabe
eben oder bei der anderen Problemstellung mit einem T-Wert von
Da ist überhaupt nichts mehr von Fläche irgendwie unter der Kurve zu sehen. Also zurück hierher,
wenn wir auf der Basis dieser Daten denken, dass die Alternativhypothese,
das ist eine Differenz, zwischen Männern und Frauen gibt,
richtig ist, dann machen wir mit einer Restwahrscheinlichkeit von 0,001 Prozent einen Fehler.
Das heißt, wir können mit einiger Sicherheit davon ausgehen,
dass diese Stichprobe aus einer Grundgesandtheit kommt, in der es eine Differenz zwischen Männern und Frauen gibt.
Und dann würden wir wieder zurückgehen und würden sagen,
der Punktschätzer für diese Differenz ist 35 Prozent bei den Männern,
43 Prozent bei den Frauen,
das Vertrauensintervall der Männer geht von 32 bis 37 oder von von 32 bis rund 38 Prozent ist der Frauen von 40 bis rund 46,
die überlappen sich nicht und dann würden wir aber sagen,
so, also wir gehen davon aus,
dass der wahre Wert für die Männer irgendwo in diesem Intervall liegt und der wahre Wert für die Frauen liegt irgendwo in dem anderen Intervall.
Also sie sehen, die Logik ähnelt sich immer wieder
sehr stark. Manchmal haben wir ein Set,
manchmal haben wir einen Tee,
das erfüllt aber komplett
die gleiche Funktion
Die Art und Weise, wie wir den Standard Arrah berechnen, unterscheidet sich von Fall zu Fall.
Manchmal wird auf der Basis einer empirischen Standardabweichung vermittelt über die geschätzte Standardabweichung der Grundgesamtheit gerechnet,
im Falle von Anteilswerten gibt es eben so einen synthetischen Wert,
der sich aus bestimmten Parametern der Stichprobe ergibt,
aber nicht mehr direkt aus einer gemessenen Standardabweichung,
was eben mit der Begrenztheit der Z-Werte zu tun hat.
Und dann können sie, wenn sie davon zwei,
drei Dinge begriffen haben, eigentlich alle anderen äquivalenten Dinge auch relativ schnell verstehen,
weil das muss da immer wieder das Gleiche ist. Punktschätzer, Aufschreiben,
Konfidenzintervalle hinsetzen, Z- und T-Werte ausrechnen, diese Fehlerwahrscheinlichkeiten,
Pangdang sozusagen zu den Set-Werten ausrechnen und dann ist die Routine immer die gleiche,
gucken, was ist jetzt eigentlich meine Null,
was ist meine Alternativhypothese, wie groß ist die Fehlerwahrscheinlichkeit,
dass ich eben etwas falsch mache,
wenn ich die Alternativhypothese für richtig halte,
Satz bin und zurückgehend zum Punktschätzer und sagen so,
das ist das Ergebnis.
Also das ist das, was wir dann in der Inferenzstatistik
die ganze Zeit machen, egal was der konkrete Schätzer,
mit dem wir arbeiten wollen gerade ist.
Bei den Anteilswerten gibt es jetzt noch einen wichtigen Hinweis,
der ist aber vor allem auch für den Alltag wichtig
Von dem Hintergrund der Frage, warum schreiben Umfrageinstitute unter Umfragen in der Regel Folgendes?
Bei tausend Befragten gelten bei folgenden Prozentwerten folgende 95 Prozent Vertrauensintervalle.
50 Prozent plus minus 3, 10 Prozent plus minus 1,9,
1 Prozent plus 0,6. Das schreiben Sie dahin,
weil Sie der geneigten Leserinnen schafft,
vermitteln wollen, wie sicher die Aussagen sind,
die wir an den einzelnen Stellen jeweils treffen können.
Und wir haben eben schon gelernt, ich muss hier keine
konkreten Standardabweichungen messen, sondern ich habe eben dieses fixe Verhältnis,
deswegen kann man das auch so aufschreiben.
Das einzige, was ja diesen Standard-Error bestimmt, ist einerseits der Prozentwert,
der Anteilswert, bei dem wir uns gerade befinden, 50, 10, 1 Prozent.
Das zweite ist die Stichprobengröße 1000 Befragter und dann kann ich sozusagen immer fix diese Werte angeben und das Ziel ist,
das Publikum auf die Reise mitzunehmen und zu sagen,
so kommen hier unsere Ergebnisse zustande und das sind eben unsere Vertrauensintervalle,
also das, worüber wir die ganze Zeit besprochen haben.
Jetzt noch ein Hinweis für diejenigen von Ihnen,
die sich ein bisschen mehr für Statistik interessieren und einige werden das vielleicht fast schon an,
wenn wir sagen, wir haben hier begrenzte Verteilungen.
Natürlich haben wir unsere Z-Verteilung, unsere Wahrscheinlichkeitsverteilung ist nur über
der Mitte dieser Skala tatsächlich komplett symmetrisch. Die muss ja
immer schiefer werden, je dichter wir an die Ränder herankommen.
Das heißt, die Aussage, die da oben steht,
50 Prozent plus minus, stimmt eigentlich nur für die 50 Prozent.
Bei 10 Prozent und erst recht bei 1 Prozent ist es ganz so einfach nicht.
Man kann kann das grob so annähern und die haben ja auch aufgepasst,
dass sie nicht plötzlich bei der Eins mit dem Minus in den Minusbereich reinrutschen.
Aber die Intervalle sind links und rechts der 50 keine
symmetrischen Intervalle, sondern sie sind asymmetrische Intervalle.
Das will ich mit ihnen noch einmal hier ganz kurz anschauen.
Wir haben die drei Prozentwerte von der Folie eben hier einmal
abgetragen und ich habe dann jeweils für die entsprechenden Stichprobengrößen,
Vertrauensintervalle berechnet und den Plus-Minus-Wert.
Und da sehen sie jetzt also hier Mittelwert 0,5, also anteilswert 50 Prozent.
Da haben wir tatsächlich ein Plus-Minus von 0,031,
also entsprechend den 3 Prozent, die da eben standen.
Aber wenn wir jetzt einen Schritt weiter gehen bei 10 Prozent,
dann sehen sie, da steht nicht mehr Plus-Minus und dann einen Wert,
sondern da steht minus 0,018 und plus 0,02.
Also sie sehen, das Intervall, das zur Mitte hingeht,
ist ein kleines Stück länger als das Intervall,
das zum Rand der Skala hingeht.
Und das deutet genau auf diese schiefe Verteilung hin,
von der ich gerade gesprochen hatte.
Und hier wird es
noch deutlicher
Bei einem Prozent, da sind es nach unten,
dann nur noch 0,052-Skalenpunkte und nach oben 0,008.
Also etwa das 1,8-fache. Also ganz klar, die Aussage,
die sie da häufig an den Texten finden, ist so nicht ganz richtig.
Man kann sie näherungsweise so machen. Also da wird dann
jeweils hier einfach der Mittelwert von den beiden genommen.
Aber sie wissen jetzt, insbesondere dann,
wenn sie sich noch etwas mehr für Statistik interessieren.
Auch da muss man nochmal genauer hingucken.
Und es schadet nie, wenn man nochmal darüber nachdenkt,
was für eine Datenmechanik liegt dem Ganzen eigentlich zugrunde.
Hier liegt eben eine Datenmechanik zugrunde,
wo wir nur in der Mitte wirklich eine schöne Normalverteilung haben und zu den Rändern hin,
wird die Verteilung eben immer schiefer und das kommt hier in den Zeilen nochmal sehr schön zum Ausdruck.
Damit sind wir mit dem Thema Inferenzstatistik, soweit jetzt eigentlich durch.
Was jetzt noch kommt, ist die Rückübertragung des Inferenzthemas auf
die Regressionsanalyse und dann können wir uns für heute auch zur
Ruhe setzen.
Also Inferenzstatistik und Regressionsanalyse
Ein paar Sachen wiederholen wir einfach so, weil es so schön ist,
aber ich weise dann immer noch mal darauf hin,
wenn wir speziell bei Inferenzpunkten landen.
Also wir haben hier eine Regressionsanalyse, das Beispiel,
kennen Sie noch aus den Regressionssitzungen?
Wir haben die Fallzahl, die untersucht wurde, 736 Fälle.
Wir haben Nährquadrat von 0,0358, also rund 0,036. Wir haben berichtigt
das Erdquadrat von 0,0358. Wir haben da hinten die Variante-Zerlegung,
E1E2, das müssen wir jetzt nicht im Detail nochmal durchgehen.
Wir haben dann der einfache Teil war auch gleich nochmal E1 minus E2,
also die Gesamtfeierns, die erklärt werden soll, die Restvarianz,
die übrig bleibt und die Varianz, die erklärt wurde durch das Modell.
Und wir haben hier noch die mittlere quadratische, die Wurzel der mittleren quadratischen Abweichung,
also quasi die durchschnittliche Größe der Residuen in unserem Regressionsmittel.
Und jetzt kommen wir mit dem F zu einem ersten Punkt,
wo wir uns die Inferenzstatistik anschauen.
Das F ist jetzt nochmal wieder ein Verwandter der Z-Verteilung
Die EF-Verteilung sieht insofern ein bisschen anders aus und
das werden wir dann noch ein zweites Mal kennenlernen,
als sie nicht von minus und endlich bis plus und endlich geht,
sondern sie geht nur von null bis plus unendlich und ist massiv mit Freiheitsgraden im Zusammenspiel.
Das sieht man hier jetzt auch. Also wir haben F mit 3 und 7032.
Drei sind die drei erklärenden Variablen, also Dreifreiheitsgrade gehen verloren.
Es bleiben trotzdem 7032 nur übrig. Jetzt wundern wir uns kurz,
736 minus 3 ist doch nicht 32, sondern 33.
Aber es sind eben nicht nur die Dreifreiheitsgrade,
die verloren gehen für die drei erklärenden Variablen,
sondern es ist der eine zusätzliche, der verloren geht durch den Achsenabschnitt.
Das ist das, was da drin steckt. Also die
F-Verteilung ist auch eine Verteilung, die auf Freiheitsgrade reagiert.
Die F-Verteilung geht sehr nahe an die Normalverteilung dran,
wenn die Anzahl der übrig gebliebenen Freiheitsgrade gegen unendlich geht.
Also dann rutscht natürlich der Modalwert dieser Kategorie sehr weit in
den positiven Bereich rein. Der liegt nicht auf der Null,
aber gleichwohl also auch die F-Verteilung sieht irgendwann wie eine Normalverteilung aus.
Also in dem Sinne lange Vorrede, kurzer Schluss.
F ist ein enger Verwandter von T und Z.
Auch hier können wir kritische Werte ausrechnen.
Die sind in ähnlichen Größenordnungen wie die kritischen Werte für Z.
Auch für F gibt es Tabellen, in die man die Werte,
in denen man die Werte ablesen kann.
Aber auch für F werden diese Fehlerwahrscheinlichkeiten direkt ausgegeben und das
gucken wir uns jetzt an. Also wir haben einen F-Wert.
Dieser F-Wert sagt uns oder macht eine Aussage über das gesamte Regressionsmodell.
Und zwar ist die Idee, die hinter dem F-Wert steckt,
zu sagen, also dein Regressionsmodell insgesamt, sagt etwas aus,
das mit einiger Wahrscheinlichkeit von der Stichprobe oder mit angegebener Wahrscheinlichkeit von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit übertragen werden kann.
Dabei ist da noch keine Aussage drin, über die einzelnen Regressionskoeffizienten,
sondern es ist nur eine Aussage darüber,
insgesamt passiert in deinem Modell etwas, das so stark ist,
dass wir davon ausgehen können, dass du das in der Stichprobe gemessen auf die Grundgesamtheit übertragen kannst.
Und hier ist dieser F-Wert jetzt eben 9,06 und wenn ich gerade gesagt habe,
sie können das Pi mal Daumen mit den üblichen Z-kritischen Werten vergleichen,
dann sehen sie auch, okay, wir sehen hier weit,
ihrenseits der üblichen kritischen Z-Werte und wir haben eben da drunter jetzt dieses Pop-F,
also den P-Wert und da ist die Interpretation genauso wie eben auch schon vorgestellt,
also die Wahrscheinlichkeit, etwas falsch zu machen, wenn wir glauben,
dass wir aus unserem Modell mit den Regressionskoeffizienten hier irgendwie von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit schließen können,
diese Wahrscheinlichkeit ist sehr, sehr nahe null,
also wir haben einen relativ großen Erfährt,
weit weg vom Mittelpunkt der Verteilung oder weit weg vom relevanten Bezugspunkt der Verteilung,
dementsprechend also ein hoch signifikantes,
statistisches Modell
Und jetzt gucken wir uns das Ganze nochmal für die einzelnen Regressionskoeffizienten an,
denn in der Regressionsanalyse haben wir eben einmal dieses F hier oben,
das führt das ganze Modell spricht.
Und dann haben wir noch einzelne Signifikanzstatistiken für die einzelnen Regressoren,
also für die einzelnen erklärenden Variablen. Und die Komponenten stehen jetzt
in diesem Block. Also wir haben wieder den Standard Error,
also die Standardabweichung unserer Stichprobenverteilung,
der sollte nach Möglichkeit kleiner sein als der Koeffizient, so als grober Richtwert,
idealerweise höchstens halb so groß wie der und groß wie der Koeffizient,
dann kommen wir auf alle Fälle in Richtung Signifikanz.
Dann haben wir hier Eine Reihe von Teewerten,
minus 3,92 für das Wirtschaftswachstum minus 1,152 für die Exporte minus 3,09 für den Anteil konservativer Parteien an der Regierung.
Auch hier wieder der Vergleich zu kritischen Werten, die wir,
wenn wir sie genau wissen wollen, aus Tabellen herausnehmen,
aber die grobe Daumenregel, alles, was größer zwei ist,
geht schon mal in eine gute Richtung, also was in Betrag größer zwei ist, geht schon mal in eine gute Richtung.
Und die weitere Interpretation hängt hier dann natürlich von den Hypothesen ab. Und auch hier direkt verkoppelt die Fehlerwahrscheinlichkeiten,
also minus 3,92 mit einer nicht sichtbaren Fehlerwahrscheinlichkeit,
also wenn wir auf der Basis dieser Daten annehmen, dass wir,
dass, wenn wir auf der Basis dieser Stichprobendaten annehmen,
dass in der Grundgesamtheit das Brutto-Sozialprodukt mit der Arbeitslosigkeit negativ verknüpft ist,
also mehr Wachstum für zu wenige Arbeitslosigkeit und der koeffizient ist minus 0,23,
wie vorne berechnet, dann begehen wir mit sehr geringer Wahrscheinlichkeit einen Fehler,
wenn wir glauben,
dass das richtig ist und die gleiche Interpretation gilt dann auch für die Exporte und für die Regierungsbeteiligung,
allerdings bei den Exporten sehen wir eben jetzt zum ersten Mal in den Beispielen,
die ich Ihnen gezeigt habe, einen Wahrscheinlichkeitswert von 0,21. Das heißt,
wir sind hier eins minus diese Fehlerwahrscheinlichkeit bei einem Niveau der Aussagesicherheit von nur noch 79 Prozent.
Wir hatten bisher immer von 90, 95, 99 gesprochen.
Hier würden wir jetzt also sagen, okay, dieser Parameter ist nicht signifikant.
Also auf der Basis dieser Stichprobe und der mit der Stichprobe
verbundenen weiteren Werte würden wir für die Exporte nicht davon ausgehen,
dass wir tatsächlich von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit schließen können,
weil wir diesen Exportwert auch beobachtet,
auch mit einiger Wahrscheinlichkeit hätten beobachten können,
wenn in der Grundgesamtheit die null Hypothese richtig ist.
Und wir haben eben trotzdem so einen beobachteten Exportwert.
Deswegen würden wir sagen, den glauben wir nicht.
Bei dem Anteil konservativer Regierung sehen wir immerhin da hinten eine kleine Zahl stehen.
Aber wenn wir das jetzt nochmal in die Prozentwerte übertragen,
dann stellen wir fest, okay,
wir sind hier bei 99,8 Prozent Aussagesicherheit.
Also oberhalb aller Niveaus, 99,95,90, über die wir bisher gesprochen haben.
Hier würden wir dann immer noch sagen, das ist signifikant,
das glauben wir. Aber bei den Exporten würden wir
da anders drüber nachdenken. Und dann haben wir jetzt
auch Vertrauensintervalle
Und da sehen wir, dass 95 Prozent Vertrauensintervall,
das ist das Maß, das Staat da immer erst mal nimmt,
wenn man ihm nichts anderes sagt,
das 95 Prozent Vertrauensintervall geht von minus 0,343 bis minus 1,2 bis minus 0,114.
Der Nullwert ist nicht darin enthalten,
dass es jetzt hier die spannende Größe wäre,
die der Nullwert enthalten, dann würden wir sagen,
okay, ein Regressionskoeffizient von Null, also kein Zusammenhang,
ist im Vertrauensintervall drin.
Das gibt uns also nicht ausreichende Sicherheit, die Nullhypothese abzulehnen.
Jetzt ist der Nullwert nicht im Vertrauensintervall drin,
also würden wir sagen, Nullhypothese abgelehnt. Es gibt also
einen Zusammenhang zwischen Wachstum des Bruttosozialprodukts oder Wirtschaftswachstum und Arbeitslosigkeit.
Dagegen bei den Exporten. Wir hatten einen relativ kleinen Tee-Wert.
Wir hatten eine Fehlerwahrscheinlichkeit von 0,21 und das schlägt sich jetzt auch im Vertrauensintervall nieder.
Das Vertrauensintervall geht von minus 0,025 bis 0,0056, 0,55. Das heißt,
ein Regressionskoeffizient von null ist jetzt Teil des Vertrauensintervalls.
Das würde dann bedeuten, dass wir auf dem Niveau,
auf dem 95-Prozent-Niveau der Aussagesicherheit auf jeden Fall sagen können,
okay, Wir sind uns nicht ausreichend sicher,
auf dem 95-Prozent-Niveau ist ein Regressionskoeffizient von null Teil des Vertrauensintervalls.
Das heißt, hier gehen wir davon aus,
dass wir eher die Nullhypothese glauben sollten und dass wir nicht ausreichend Evidenz haben,
um davon auszugehen, dass die Alternativhypothese richtig ist.
Bei dem Anteil konservativer Regierung ist es dann wieder anders. Zwei negative Werte,
auch wenn der obere negative Wert relativ dicht an die Null rankommt,
aber auch hier würden wir dann auf einen 95-Prozent-Niveau sagen,
Das geht in Ordnung.
Wir sehen das als Evidenz für die Alternativhypothese an.
Und gegen die Nullhypothese. Aber auch hier sieht man nochmal ganz schön,
wir haben bei der Fehlerwahrscheinlichkeit hier zumindest einen kleinen Wert gesehen,
nicht alles Nullen,
die sich dann in einem relativ großen Abstand von der Null niederschlagen,
wie beim Wirtschaftswachstum.
Hier steht da hinten was und dementsprechend rutscht auch
unser Intervall jetzt dich da an die Null ran.
Also sie sehen, die Dinge hängen alle direkt miteinander zusammen.
Das eine geht jeweils immer aus dem anderen hervor,
aber das haben sie ja an den Formeln auch schon gesehen.
Es tauchen immer die gleichen Zs und Tees auf.
Es tauchen immer die gleichen Standardfehler auf, die in die Berechnungen reingehen.
Und es ist immer nur ein bisschen unterschiedlich, was wir
mit denen jeweils machen. Das ist im Prinzip alles,
was man jetzt ergänzend zur Regressionsanalyse nochmal sagen muss,
also die Teile, die wir in der jüngeren Vergangenheit ausgeblendet haben.
Alles, was mit Signifikant zu tun hat,
die inhaltlichen Interpretationen der Regressionsanalyse ändern sich dadurch aber nicht.
Bleibt noch ein Punkt nachzutragen. Warum brauchen wir denn jetzt eigentlich diese Normalverteilungsannahme? Die Normalverteilungsannahme brauchen wir genau,
damit wir diese Inferenzschlüsse, die wir eben gezogen haben,
ziehen können und die Normalverteilungsannahme trägt eben dazu bei oder die,
so kann man es nicht sagen, die Normalverteilungsannahme,
die Erfüllung der Normalverteilungsannahme, ist die Voraussetzung dafür,
dass wir uns hier auf diese Sampling Distribution und auf den Sampling Arror berufen können,
dass wir davon ausgehen, dass die fixen Flächen unter den Verteilungskurven, von denen wir ausgehen, auch tatsächlich zutreffen.
Und in dem Sinne ist also die Erfüllung der Normalverteilungsannahme die Voraussetzung dafür,
dass wir diese ganze Inferenzstatistik überhaupt machen können.
Das konnte ich, als wir über Regressionen gesprochen haben,
so noch nicht erklären, weil wir über die Inferenzen noch nicht gesprochen hatten.
Jetzt ist also klar, es geht darum,
dass wir mit dieser Normalverteilungsannahme prüfen,
ob diese Sampling Distribution tatsächlich normal verteilt ist oder anders verteilt ist und nur,
wenn sie normal verteilt ist, dann funktioniert eben dieses ganze Rechenwerk.
Und da steckt implizit jetzt auch nochmal die Antwort auf die Frage drin,
warum die Analysedaten, also unsere Stichprobe irgendwie verteilt sein dürfen,
aber eben nicht die Sampling Distribution,
weil es hier letzten Endes um die Frage geht,
sind die Residuen, das ist das,
was hier quasi in die Sampling Distribution eingeht,
sind die Residuen normal verteilt, wo unsere tatsächlichen Werte liegen, das ist für diese Frage völlig egal.
Also das nochmal an der Stelle, wenn die Frage ist,
damit sie Inferenzstatistik machen können, muss irgendetwas normal verteilt sein.
Dann lassen sie sich nicht ins Boxhorn jagen und glauben,
ihre Messwerte, ihre Einkommenswerte, ihre arbeitslosen Arbeitslosigkeitswerte,
was immer sie in ihre Analyse schmeißen, das müsse normal verteilt sein.
Nein, das muss nicht normal verteilt sein,
sondern es muss im Rahmen dieses Denkmodells das,
was hier in der Sampling Distribution stattfindet.
Das muss normal verteilt sein. Also die Verteilung der Mittelwerte
aller um die Verteilung der Regressionskoeffizienten aus allen Stichpuppen.
Die Verteilung der Residuren, da brauchen wir die Normalverteilungsannahme und die
kann man dementsprechend auch immer nur über diese Denkmodelle prüfen.
Die kann man gar nicht direkt an den Beobachteten Verteilungen prüfen,
weil da, wie gesagt,
alle möglichen Verteilungen von einer Gleichverteilung über so eine schiefe Verteilung
bis zu mehr modalen Verteilungen und so weiter, das ist alles denkbar.
Und das ist auch unproblematisch, solange die Annahme hier an der Stelle stimmt.
Und damit bin ich jetzt mit dem Thema wirklich fertig. Das heißt,
für alle jetzt Zeit kurz durchzuatmen und zu sagen,
Inferenz ist abgeschlossen, ich kann ihn,
vielleicht soll ich es nicht ganz versprechen,
aber ich kann ihn in Aussicht stellen, dass das,
was jetzt kommt, dann doch einfacher zu verstehen sein wird und auch wieder direkter umsetzbar sein wird.
In dem Sinne herzlichen Dank für die Aufmerksamkeit. Ich freue mich,
Sie dann bald wieder in unserer synchronen Zoom-Session zu treffen und
dann sprechen wir über alle Fragen,
die noch übrig geblieben sind und gegebenenfalls werde ich auch noch die eine oder andere Korrektur nachtragen.
Bis dahin, alles Gute, passen Sie auf sich auf
Ihr Kai Wishen ab