Ja, also willkommen zurück aus der Pause, wie Sie unschwer erkennen können,
war die bei mir etwas länger, ein langer Gremiennachmittag,
einen Schreibtischabend und jetzt ist der nächste Morgen und ich setze sofort,
was bei Ihnen wahrscheinlich sehr viel schneller geht.
Wir hatten eben über Hypothesentesten gesprochen, wir hatten über
ein- und zweiseitige Tests über gerichtete und ungerichtete Hypothesen gesprochen.
Ich möchte jetzt nochmal etwas ausführlicher auf diese Idee des Fehlers,
des Schätzfehlers eingehen und das Ganze ein bisschen systematisieren,
wie sie auf der Tabelle jetzt schon erkennen.
Wir haben ja im Prinzip,
wenn wir über diesen Schluss von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit reden,
haben wir vier grundsätzliche Konstellationen, in denen wir uns befinden können,
auch wenn wir natürlich nie genau wissen, welche das ist,
aber es ist wichtig, sich das einmal vor Augen zu halten.
Also es kann sein, dass für die Grundgesamtheit hinter dem Vorhang
die null Hypothese richtig ist und es kann sein,
dass für die Grundgesamtheit die Alternativhypothese richtig ist. Und es kann sein,
dass in unserer Stichprobeevidenz da ist, die dafür spricht,
dass die null Hypothese richtig ist und es kann sein,
dass Evidenz da ist, die dafür spricht, dass die Alternativhypothese richtig ist.
Jetzt sind erstmal zwei richtig, richtig Kombinationen sozusagen denkbar,
nämlich in unserer Stichprobe beobachten wir Evidenz für die Nullhypothese,
für die Grundgesamtheit gilt, Klammer auf,
was wir nicht wissen, denn die Grundgesamtheit ist uns unbekannt,
Klammer zu, dass die Nullhypothese richtig ist, das heißt,
in dieser Konstellation passt unser Stichprobenergebnis zu dem,
was in der Grundgesamtheit passiert und das gilt genauso, wenn in der Stichprobe die Alternativhypothesebestätigung findet und in der Grundgesamtheit Alternative Hypothese richtig ist.
Nochmal, wir wissen nicht, in welchem Kästchen dieser Tabelle
wir uns befinden. Wir reden über theoretische Möglichkeiten. Und
dann gibt es zwei Fehler, die wir machen können.
Und die heißen unterschiedlich und haben auch etwas unterschiedliche Konsequenzen.
Es kann sein, dass in der Grundgesamtheit die Nullhypothese richtig ist.
Unsere Stichprobe aber trotzdem Evidenz für die Richtigkeit der Alternativhypothese hervorbringt,
weil wir eine von den wenigen weiter außen liegenden Stichproben gezogen haben.
Das ist der sogenannte Alphafehler, über den wir eben auch
gerade schon gesprochen haben
Es gibt einen zweiten Fehler, der auftreten kann,
nämlich, dass in der Grundgesamtheit die Alternativhypothese richtig ist.
Wir mit unserer Stichprobe aber, Evidenz gegen die Alternativhypothese,
also Unterstützung für die Nullhypothese finden, dann begehen wir den sogenannten Beta-Fehler.
Beide Fehler können passieren, weil wir eben mit diesen Stichproben in einer Wahrscheinlichkeitswelt sind,
wo die Wahrscheinlichkeit groß ist, eine Stichprobe nah an der Grundgesamtheit zu ziehen.
Es gibt aber eben eine Restwahrscheinlichkeit, dass wir eine Stichprobe weiter entfernt von der Grundgesamtheit ziehen und das kommt sozusagen in diesen beiden Fehlern zum Ausdruck. Das Unangenehme ist,
eben schon gerade gesagt, wir wissen nicht,
in welcher Zelle der Tabelle wir uns befinden,
sondern wir können eben nur Wahrscheinlichkeiten dafür angeben,
dass wir uns hier oder da oder dort befinden,
sodass wir den Prozess in die Richtung optimieren,
dass wir sagen, okay,
wir können einigermaßen die Wahrscheinlichkeit bestimmen dafür,
dass wir in einer von den grünen Zellen sind,
aber es bleibt eben eine Restwahrscheinlichkeit,
dass wir in der Zelle Alpha-Fehler oder in der Zelle Beta-Fehler landen und mehr als diese Wahrscheinlichkeiten zu berechnen,
können wir nicht tun.
Um den Alpha-Fehler und den Beta-Fehler vielleicht noch etwas greifbarer zu machen,
der Alpha-Fehler ist im Prinzip das, was der Richter minimieren möchte,
wenn er ein Urteil gegen jemanden fällt.
Das heißt, der Richter möchte sich ganz sicher sein,
wenn er die Nullhypothese ablehnt,
dass jemand unschuldig ist und die Alternativhypothese annimmt,
dass jemand schuldig ist, dann möchte der Richter oder die Richterin sehr,
sehr sicher sein, dass das auch wirklich stimmt.
Das heißt, er minimiert sozusagen diesen, der Richter minimiert
den Fehler, fälschlich die Nullhypothese der Unschuld abzulehnen.
Der Mediziner hingegen, bei dem ist die Nullhypothese dass die Person
nicht krank ist und die Alternativhypothese ist, dass die Person krank ist.
Der Mediziner möchte diesen Beta-Fehler minimieren. Also er möchte,
wenn eine Krankheit vorliegt,
in jedem Falle behandeln und behandelt also im Zweifelsfalle lieber auch dann,
wenn die Evidenz für die Krankheit noch nicht ganz sicher ist,
als dass er eine vorhandene Krankheit nicht behandelt.
Also das ist, wenn man so will, die etwas gegenläufige,
oder das ist die gegenläufige Logik von Alpha-Fehler und Beta-Fehler und es sind zwei lebensweltliche Bereiche,
in denen sie diese Logik auch finden.
Also einmal der Versuch so sicher wie möglich zu sein,
Wenn ich sage, die Alternativhypothese gilt beim Richter oder der Richterin und auf der anderen Seite die Aussage,
also ehe ich eine Krankheit, die da ist, nicht behandle,
weil ich hier Angst hatte, einen Alphafehler zu gehen,
begehen, mache ich lieber einen Beta-Fehler.
Und das Ganze möchte ich jetzt nochmal aus einer etwas anderen Perspektive,
also ich werde gleich verschwinden, mit ihnen auf einer anderen Folie nochmal betrachten.
Sie sehen hier zwei Verteilungen und ich will zunächst nochmal diesen Alphafehler und
den Beta-Fehler und den Zusammenhang zwischen beiden in diese Folie eintragen.
In der linken Kurve Das ist sozusagen die Kurve,
die zur Nullhypothese gehört,
können wir einmal die Idee der Signifikanz der Aussagesicherheit eintragen,
wie wir sie vor der Pause besprochen hatten.
Also das große Intervall in der Mitte. Und wir haben dann
den Alpha-Fehler, der natürlich diese beiden braunen Gebiete umfasst und
der hier im Beispiel unten als zehn Prozent angegeben ist.
Und wie vorhin schon erläutert, Signifikanz plus Alpha-Fehler,
also Niveau der Aussagesicherheit plus Fehlerwahrscheinlichkeit ergeben gemeinsam 100 Prozent.
Und das Gleiche können wir uns jetzt
auch für den Beta-Fehler angucken
Hier eine blaue Kurve und da habe ich den Begriff der Power eingetragen.
Und der Begriff der Power ist der Begriff ja von Statistikerinnen verwendet wird,
um über dieses Prinzip zu sprechen,
das sich so sicher wie möglich sein möchte, dass sich eine Evidenz,
die in der Grundgesamtheit da ist oder dass ich die Tatsache,
dass die Alternativhypothese in der Grundgesamtheit gilt,
dass ich die auch entdecke.
Also wir sind jetzt sozusagen in der Perspektive des Mediziners.
Und so wie diese Kurve im Moment gerade liegt,
aber ich werde ihnen zeigen, wie sich das dann entwickelt,
haben wir tatsächlich gar keinen Beta-Fehler.
Also wir haben hier eine Konstellation mit maximaler Power.
Also wenn die Person krank ist, mit anderen Worten,
würden wir es auch herausfinden.
Aber wir würden möglicherweise eben trotzdem Alpha-Fehler begehen.
Und auch bei der Power haben wir das gleiche Prinzip,
Power plus Beta-Fehler ist gleich 100 Prozent so wie auf
der anderen Seite
Signifikanz plus Alpha-Fehler
100 Prozent ist
So, dann sind wir also auf der Webseite direkt,
die ich Ihnen eben gezeigt habe,
weil ich Ihnen mit der Webseite so ein bisschen dynamisch zeigen kann,
wie diese beiden Fehler eigentlich zusammenhängen und worüber die Art und Weise,
wie die Fehler zusammenhängen, auch noch vermittelt wird, in dem Falle insbesondere über die Fallzahlen.
Bevor wir aber in diesen Vergleich einsteigen,
möchte ich Ihnen als erstes,
weil das hier so schön dynamisch zu sehen ist,
nochmal den Unterschied zeigen zwischen einer ungerichteten Hypothese beziehungsweise nicht den Unterschied zwischen einer ungerichteten Hypothese und einer gerichteten Hypothese,
sondern den Unterschied in der Konstruktion der Ablehnungsregionen bei einer ungerichteten und bei einer gerichteten Hypothese oder hier ist es als Two-Tale und One-Tale bezeichnet.
Also wir haben hier den die Normalverteilung, von der
vermutet wird, dass sie der null Hypothese zugrunde liegt.
Wir haben hier im Moment einen zweiseitigen Test eingetragen,
also gehen davon aus, dass wir eine ungerichtete Hypothese,
ungerichtete Hypothese haben und sie sehen jetzt ganz schön,
wenn ich hier auf One-Till klicke,
wie also das kritische Z sich sozusagen in Richtung null verschiebt,
wenn ich die gesamte Ablehnungsfläche für die H0 auf eine Seite packe.
Ich mache das zwei-, dreimal hin und her, ungerichtete Hypothese,
Ablehnungsregionen auf beiden Seiten, gerichtete Hypothese, Ablehnungsregionen nur auf einer Seite.
Das kritische Z wird kleiner. In gewisser Weise könnte man also sagen,
mit so einer gerichteten Hypothese wird es leichter,
diese sogenannte Signifikanzschwelle oder die Schwelle des kritischen Z bei einem konstanten Niveau zu überschreiten.
Die sehen ja oben hier unser Alpha, ändert sich nicht,
egal ob ich jetzt Two-Taled oder One-Tale mache,
das gesamte Fehlerniveau bleibt gleich groß, 0,1, also 90 Prozent Aussagesicherheit,
aber je nachdem, ob wir diese zehn Prozent,
die dann außerhalb des 90 Prozent Intervalls liegen,
auf eine Seite verteilen oder auf zwei, ändert sich der Z-Wert.
Wir lassen jetzt mal hier eine zweiseitige Hypothese stehen,
denn was ich Ihnen jetzt eigentlich zeigen möchte,
ist der Effekt der Stichprobengröße in Zusammenarbeit mit dem Signifikanzniveau,
das wir nutzen wollen, auf den Zusammenhang von Alpha und Beta-Fehler.
So, jetzt haben wir das Ganze schön eingerichtet,
also wir haben ein sehr hohes Signifikanzniveau,
wir möchten ein sehr hohes Niveau der Aussagesicherheit haben,
wir wollen nur mit einem Prozent Wahrscheinlichkeit oder mit einem Anteilswert von 0,01 etwas falsch machen,
wenn wir glauben, dass die Null Hypothese,
nicht richtig ist oder wenn wir sagen,
unsere Daten unterstützen die Alternativhypothese.
Wir haben eine Sample-Größe von 50 Fällen und wir gucken uns jetzt zunächst mal an,
was passiert, wenn ich an dem Signifikanzniveau herumspiele.
Also wir sehen hier die Normalverteilung, die gelten würde,
wenn die null Hypothese richtig wäre. Wir sehen hier die Normalverteilung,
die gelten würde, wenn die Alternativhypothese richtig wäre.
Und wir haben jetzt hier links und rechts unsere kleinen Bereiche Unsere Ablehnungsbereiche.
Und wir sehen, dass hier jetzt ein einigermaßen großer Type-Two-Error-Beta-Fehler da ist.
Also wir haben 95 Prozent Power. Das heißt,
in 95 Prozent der Fälle, in denen wir tatsächlich eine Grundgesamtheit
entsprechend der Alternativhypothese haben, würden wir das auch tatsächlich feststellen.
Und in 5 Prozent der Fälle würden wir es nicht feststellen,
sondern würden fälschlich glauben, dass die Alternative nicht richtig ist.
Also würden, um noch mal mit dem Arzt zu sprechen,
würden fälschlich glauben, dass die Person nicht krank ist.
Was passiert jetzt, wenn wir am Signifikanzniveau herumschieben? Also wir sagen,
okay, das mit der Power gefällt uns nicht,
die Power ist ein bisschen zu gering oder die Wahrscheinlichkeit,
einen Kranken nicht zu entdecken, ist uns zu gering.
Können wir denn hier was machen? Und ja,
wir können was machen, wir schieben hier mal das Signifikanzniveau auf 0,5,
also 5 Prozent Aussagesicherheit oder eben 95,
in einem 95 Prozent Aussagesicherheit 5 Prozent Wählerwahrscheinlichkeit und sie sehen,
dass Z-Krit wandert nach innen Logisch,
weil wir ja das Intervall in der Mitte verkleinern von 99 Prozent auf 5 Prozent und ich weiß nicht, ob sie es beobachtet haben.
Die Power ist jetzt von 95 auf 99 Prozent hochgestiegen,
weil jetzt ja nur noch hier dieses kleine Gebiet der Beta-Fehler ist.
Also rechts von Setkrit ist der Alpha-Fehler links von Setkrit, ist der Beta vielleicht.
Ich gehe nochmal zurück auf 0,01. Sehr kleiner Alpha-Fehler,
das ist das, was wir immer hauptsächlich im Fokus haben.
Relativ großer Beta-Fehler. Wir gehen auf 0,5. Der Beta-Fehler wird
deutlich kleiner und wir gehen mal auf 0,1, also 90 Prozent Aussagesicherheit.
Und dann haben wir hier zwar noch eine minimale Fläche,
annähernd sind wir bei der Power jetzt schon bei 100 Prozent angekommen.
Also da sehen Sie, die beiden hängen zusammen,
je kleiner der Alpha-Fehler, desto größer der Beta-Fehler und umgekehrt.
Ich gehe jetzt mal auf einen Alpha-Fehler von 0,5 und
wir gucken mal, woran wir eigentlich noch spielen können.
Also bei einem, oder vielleicht gehen wir sogar noch weiter runter.
Wir gehen auf einen Alpha-Fehler von 0,1. Also wir wollen wirklich
ziemlich sicher sein. Und eine Größe, an der wir
auf alle Fälle am besten spielen können, ist die Fallzahl.
Denn wir können einfach sagen, okay,
ich brauche mehr Bums, mehr Power in meiner Analyse.
Warum frage ich nur 50 Leute? Warum frage ich nicht
zum Beispiel 60 Leute? Das ist ja gar nicht so viel mehr.
Und sie sehen, das wird schon deutlich kleiner.
Gehen wir mal auf 70. Dann sind wir bei 99 Prozent Power
inzwischen. 80 Befragte, wir sind bei 100 Prozent Power.
Ich rücke das Ganze mal wieder gerade. Wenn wir auf
100 Befragte gehen, dann sehen wir,
überschneiden sich die Kurven hier unten überhaupt nicht mehr
Nochmal wieder gerade rücken. Und wenn wir auf 200 Fälle gehen,
dann können wir sicher mit dem höchsten Signifikanzniveau arbeiten,
also mit einem sehr kleinen Alpha-Fehler und haben trotzdem eine sehr geringe Wahrscheinlichkeit,
einen Beta-Fehler zu begehen. Also das,
was Sie jetzt hier sehen, ist im Prinzip die Aussage,
wenn ihr ein vernünftiges statistisches Modell wollt und wenn ihr die Chance haben wollt,
beide Fehler relativ klein zu haben,
dann müsst ihr auf jeden Fall zusehen,
dass ihr mit der Fallzahl arbeitet.
Für viele Daten, mit denen wir als Sozialwissenschaftlerin unterwegs sind,
Albus zum Beispiel,
sozioökonomisches Panel,
mit 2.000,
3.000 Befragten
Da haben wir natürlich, das sieht man dann hier,
häufig überhaupt kein Problem, zumindest solange wir wirklich mit dem gesamten Datensatz arbeiten,
wenn wir dann mit Subdaten setzen, arbeiten wird, schon schwieriger.
Experimentelle Forschung, sowohl experimentelle Wirtschaftsforschung, aber auch experimentelle Forschung in der Biologie zum Beispiel,
ist häufig eher so bei Fallzahlen von 30 unterwegs.
Und da sehen wir dann,
da müssen wir schon sehr genau darauf achten,
mit welchem Signifikanzniveau wir arbeiten wollen,
weil das Signifikanzniveau dann doch eben erheblich beeinflusst,
wie groß unser Beta-Fehler ist, also wie groß die Power unserer Daten ist,
Kraft eine Alternativhypothese tatsächlich auch zu finden.
Nochmal wieder die Aussage, wir wissen natürlich nie,
was in der Grundgesamtheit jetzt wirklich stimmt.
Stimmt die Nullhypothese oder stimmt die Alternativhypothese? Wir bleiben in der Welt,
wo wir sagen, wir machen Richtigkeitsaussagen mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit.
Aber wir haben hier eben bestimmte Parameter, mit denen wir nicht sicherstellen können,
aber in die Richtung arbeiten können, dass wir uns dessen,
was wir insgesamt herausbekommen, sicherer sind.
Und das eine ist eben hier an dem Signifikanzniveau hin und her zu drehen,
wenn wir eben sagen, okay,
wir haben eine sehr kleine Stichprobe mit einem Niveau der Aussagesicherheit
von 99 Prozent haben wir einen sehr großen Beta-Fehler,
das wollen wir nicht.
Deswegen drehen wir hier dieses Niveau der Aussagesicherheit ein bisschen zurück.
Dann ist unser positiver Ergebnis etwas stärker gefährdet,
aber wir haben eine größere Chance,
tatsächlich eine alternative Hypothese als angemessen zu bestätigen,
wenn das auch der Fall ist.
Und das zweite, woran wir eben drehen können und das
ist gerade für Umfrageforscherinnen letzten Endes immer das Mittel der Wahl
Ist einfach die Fallzahl und dann sind wir sehr schnell in Größenordnung.
Das wird uns bei den Kreuztabellen nochmal sehr deutlich begegnen,
wo wir uns eigentlich um die Power gar keine Gedanken machen müssen,
weil wir so eine hohe Fallzahl haben,
dass wir allein durch die Fallzahl immer eine sehr geringe Wahrscheinlichkeit haben,
einen Beta-Fehler zu begehen.
Also wenn wir die Alternativhypothese als richtig bestätigen oder wenn wir Evidenz finden,
die die Alternative Pypothese unterstützt,
dann sind wir da auch relativ auf der sicheren Seite,
nein, muss ich anders formulieren,
nicht muss ich nicht anders formulieren, die Formulierung eben war falsch.
Wir können uns bei den großen Fallzahlen einigermaßen sicher sein,
dass wir wenn die alternative Hypothese richtig ist, das auch rausfinden werden.
Wir haben trotzdem immer noch eine Grundwahrscheinlichkeit, das sieht man
eben an diesen beiden Dingen hier, einen Alphafehler zu begehen.
Und deswegen würden wir in dieser Konstellation dann natürlich sagen,
komm, hoch mit dem Niveau der Aussagesicherheit,
tut hier am Betafehler überhaupt nichts,
weil die beiden Kurven sich an dieser Stelle ja nicht mal überlappen.
Soweit vielleicht hier direkt im Internet und dann gehen wir wieder
zurück auf unsere normale Brille
There and back again würde der Herr der Ringe oder der Hobbit-Fan sagen.
Da bin ich also auch wieder mit meinem Bild,
weil ich nicht mehr am Rechner sitzen muss, um auf der Internetseite rumzuspielen.
Was haben wir eben gemacht? Insbesondere habe ich Ihnen gezeigt,
dass dieser Alpha-Fehler, über den wir die ganze Zeit gesprochen haben und der Beta-Fehler,
über den wir jetzt nicht weitersprechen werden, sehr eng miteinander zusammenhängen.
Und wie gesagt, der Beta-Fehler, die Wahrscheinlichkeit,
die Nullhypothese für richtig zu halten, wenn die Alternativhypothese richtig ist.
Und das wollen wir natürlich auch möglichst vermeiden. Ich habe Ihnen eben gezeigt,
wie die beiden zusammenhängen, wie die vor allem vermittelt über
die Fallzahl zusammenhängen und dass uns größere Fallzahlen in eine Situation bringen,
wo wir uns um diesen Zusammenhang von Alpha und Peter gar nicht mehr so viele Gedanken und Sorgen machen müssen.
Für die etwas stärker interessierten, da ist ja noch ein dritter Schieberegler,
Effectsize, Coens D, den habe ich ganz bewusst,
einfach auf einen bestimmten Wert gestellt und in Ruhe gelassen,
weil es für MM2 wirklich viel zu weit gehen würde,
das jetzt auch noch zu erläutern,
wenn sie auf die Seite dort gehen,
werden sie einige Aussagen zu Coens, die finden oder googeln sie Coens,
die ansonsten soll es damit für Coens, die erstmal gut sein,
das würde den Rahmen von MM2 tatsächlich springen,
sodass ich jetzt die Frage stellen kann,
wie geht es weiter
Es geht so weiter, dass wir alle Probleme,
also alle Statistiken, die uns interessieren, so transformieren,
dass die inhaltlich interessante Differenz oder der inhaltlich interessante Wert vor
dem Hintergrund einer Z-Verteilung interpretiert werden kann.
Also wir standardisieren unsere Werte so,
dass wir dann kritische Z-Werte nehmen können, um zu sagen,
okay, der Wert spricht jetzt eher für die Alternativhypothese oder
der Wert spricht eher für die null Hypothese.
Und dazu brauchen wir natürlich die Z-Standardisierung. Da steht noch in der Klammer oder einer Verwandtenverteilung.
Das ist ein wichtiger Punkt. Nicht immer arbeiten wir mit der Z-Verteilung. Die Z-Verteilung hat eine ganze Menge Schwestern,
die nicht voll ständige Normalverteilungen sind, sondern etwas steiler oder etwas flacher,
zum Beispiel die Tee-Verteilung und auch die Tee-Verteilung werden wir manchmal nutzen zur Standardisierung,
aber das sehen sie dann und der Klammerausdruck steht hier nur,
damit sie später dann nicht sagen oder sagen müssen,
Herr Schnapp, Sie haben gesagt,
wir machen alles vor dem Hintergrund einer Z-Verteilung.
Im Prinzip stimmt das, nur manchmal brauchen wir
auch Verwandte der Z-Verteilung
Wir werden die Differenzen oder die interessanten Statistiken vor dem Hintergrund
vorab festgelegter Z-Werte unserer kritischen Z-Werte beurteilen,
die kritischen Z-Werte legen wir fest in Abhängigkeit davon,
welches Niveau der Aussagesicherheit wir erreichen wollen.
Und ob wir mit einer einseitigen oder zweiseitigen Hypothese arbeiten und
kriegen dann eine Aussage darüber, ob wir sagen,
unsere Daten unterstützen eigentlich eher die H0 oder unsere Daten unterstützen eigentlich eher die alternative Hypothese.
Was wir also lernen müssen, ist, jede beliebige Statistik so zu standardisieren,
dass wir sie vor dem Hintergrund eine Z-Verteilung interpretieren können oder einer Verwandtenverteilung.
Bevor wir da noch einen Schritt weiter gehen können,
nochmal Zusammenfassung und weitere Konzepte. Also wir brauchen diese Z-Transformation,
damit wir unsere empirischen Werte, unsere beobachteten Werte,
Differenzen, Regressionskoffizienten, Mittelwerte etc., in Z-Werte transformieren können.
Dann brauchen wir diese kritischen Z-Werte, die wir einfach aus
Tabellen ablesen oder die wir aus den Diagrammen ablesen,
die ich ihnen auch gegeben habe.
Wir brauchen das Konzept des Einseitigen und zweiseitigen Hypothesentestes,
weil davon abhängt, wo wir die Ablehnungs- bzw. die Bestätigungsflächen hinlegen.
Wir brauchen das Konzept,
die Idee der Aussagesicherheit oder des Vertrauensintervalls CI im Englischen Confidence Interview
häufig abgekürzt oder eben der Fehlerwahrscheinlichkeit und wir brauchen jetzt etwas,
das ich ihnen gleich an der Tafel erläutern werde.
Das ist der Standardfehler, also nicht die Standardabweichung,
sondern der Standardfehler,
warum der so heißt und warum er trotzdem eigentlich eine Standardabweichung ist dazu gleich,
weil wir mit diesem Standardfehler genau diese Z-Transformationen vornehmen werden,
die uns eigentlich interessiert.
Noch ein bisschen Notation. Sie wissen, wir haben hier immer die Idee der Grundgesamtheit
Meistens ist sie verdeckt und wir haben die Idee der Stichprobe.
Wenn wir über die Grundgesamtheit sprechen oder über Werte in der Grundgesamtheit,
wiederum, Klammer auf, die wir nicht kennen,
Klammer zu, nutzen wir griechische Buchstaben.
Also zum Beispiel den griechischen Buchstaben Müh,
um zu sagen, das ist der Mittelwert der Grundgesamtheit.
Oder den griechischen Buchstaben Sigma, um zu sagen,
das ist die Standardabweichung der Grundgesamtheit.
Wenn wir über unsere Stichprobe sprechen, nutzen wir lateinische Buchstaben.
X quer, um zu sagen, das ist der Mittelwert der Stichprobe.
Es, um zu sagen, das ist die Standardabweichung der Stichprobe.
Die Notation werden wir gleich brauchen,
wenn nicht an die Tafel gehe
Und noch ein letzter Punkt, wenn wir Parameter aus der Grundgesamtheit schätzen,
auf der Basis von Stichprobenparametern, dann setzen wir denen ein Dach obendrauf.
Das Dach bedeutet dann, dass es nicht wirklich der wahre Bevölkerungsparameter,
weil wir den ja immer noch nicht kennen, sondern es ist der wahre Bevölkerungsparameter,
wie wir ihn auf der Basis unserer Stichprobe geschätzt haben.
Also wenn da jetzt zum Beispiel steht, Sigmar Dach,
dann schätzen wir die Standardabweichung der Grundgesamtheit auf der Basis der Standardabweichung der Stichprobe und nennen das ganze Sigmar Dach. Jetzt gehe ich aber erstmal an die Tafel,
um ihnen einmal dieses Konzept des Standard fehlen Fehlers zu erklären,
um ihnen zu sagen, wie die alle drei zusammenhängen,
damit wir am Ende unsere beobachteten Statistiken, also unsere innen,
denen Stichproben beobachteten Statistiken oder in der Stichprobe beobachteten Statistiken,
so Z standardsieren zu können,
damit wir sie vor dem Hintergrund dieser kritischen Z-Werte interpretieren,
jetzt also einmal an die Tafel, eine Warnung,
das wird nochmal ein bisschen kompliziert, wenn sie sagen,
das ist mir zu viel,
dann spuren sie einfach ein Stückchen vor und sagen sich,
ich kriege Rechenregeln an die Hand, mit denen kann ich auch arbeiten,
wenn ich es nicht ganz verstanden habe,
wenn sie ein bisschen verstehen wollen, was passiert,
dann sind jetzt die nächsten Minuten nochmal sehr spannend und danach geht die Anspannung dann noch deutlich runter,
weil wir dann wirklich einfach ein paar Formeln haben,
in die wir Zahlen einsetzen, am Ende haben wir einen empirischen Z-Wert,
den wir gegen unsere kritischen Z-Werte vergleichen und sind dann ganz schnell an dem Punkt,
wo wir sagen,
Evidenz spricht für die Alternative,
Evidenz spricht für die Null.
Hier ist unser statistisches Ergebnis. So, und jetzt kommt
nochmal wirklich ein schwieriger Teil. Also wir haben gerade
die Folie gehabt mit den wahren Parametern und den Stichprobenparametern.
Ich hatte vorher gesagt, wir brauchen irgendwie einen Standardfehler zum Standardisieren.
Und jetzt wollen wir nochmal genau angucken, was eigentlich jetzt unser Problem ist.
Also wir haben unsere Stichprobe. Wir haben in der Stichprobe
zum Beispiel einen Mittelwert berechnet. Und jetzt habe ich gesagt,
all das, was wir empirisch ermitteln, wollen wir standardisieren.
Also diesen Mittelwert wollen wir standardisieren,
um irgendwie mit diesem Mittelwert oder auch einer Differenz,
wenn es eine Differenz wäre oder irgendwas,
und mit diesem Wert also in den Test zu gehen und zu sagen,
okay, das Ding standardisiert ist kleiner als unser kritischer Z-Wert oder größer als unser kritischer Z wird.
Aber womit standardisieren wir denn jetzt eigentlich dieses X-Quer? Und der Punkt ist,
wir reden, wenn wir über dieses X-Quer reden,
über eines von vielen, über einen von vielen X-Mittelwerten,
aus unterschiedlichen Stichproben, die in dieser Stichprobenverteilung drinstecken, in der Sampling Distribution.
Also, wenn wir dieses X, das wir in unserer Stichprobe gemessen haben,
standardisieren wollen, müssen wir eigentlich wissen, erstens also,
was ist der Mittelwert dieser Sampling Distribution?
Und vor allem müssen wir wissen, was ist hier die Standardabweichung?
Was ist die Standardabweichung dieser Sampling Distribution? Denn das ist der Standardwert,
durch den wir dieses X, der Schwert für die Standardabweichung,
durch den wir dieses X teilen müssen, damit wir diese Z-Standardisierung hinkriegen.
Also irgendwie müssen wir an diesen Wert drankommen. Und der
heißt jetzt hier für diese Verteilung auch nicht mehr Standardabweichung,
sondern der heißt Standard Error. Also die Standardabweichung in der Sampling Distribution,
damit man sie unterscheiden kann, von der Standardabweichung,
wird genannt Standard Error.
Das ist dieses S von X Quer. So,
das Problem ist jetzt natürlich, das ist ja das,
was ich ihnen die ganze Zeit erzähle.
Wir haben eine Stichprobe. Wir haben nicht all diese Stichproben
. Wo kriegen wir also dieses blöde SX her
Irgendwo muss es herkommen. Es gibt einen Zusammenhang zwischen
diesem SX und der tatsächlichen Standardabweichung in der Grundgesamtheit.
Von der Standardabweichung in der Grundgesamtheit hatte ich eben gesagt,
die bezeichnen wir mit dem griechischen Buchstaben Sigmar.
Also hier müsst ihr jetzt ja auch gar nicht mehr nach dem,
was wir eben gerade gemacht haben, x quer stehen,
sondern hier würde jetzt Mühe stehen.
Also wir haben Mühe, den tatsächlichen Mittelwert in der Grundgesamtheit.
Wir haben Sigmar, die tatsächliche Standardabweichung in der Grundgesamtheit
und die tatsächliche Standardabweichung in der Grundgesamtheit hängt jetzt mit dem
Standard Error durch folgende Formel zusammen
Und sie kriegen das dann auch noch mal in die Folie geschrieben.
Sigmar, die Standardabweichung in der Grundgesamtheit, geteilt.
Durch die Wurzel aus der Fallzahl in unserer Analyse,
also in unserer Stichprobe, ist gleich der Standardfehler.
So, also hier haben wir jetzt unser X quer.
Also noch mal zurück, wir wollen zum Beispiel diesen Mittelwert standardisieren und
die Logik entspricht dann genauso regressionskoeffizienten Differenzen und so weiter.
Wir wollen den Wert aus unserer Stichprobe standardisieren
Müssen ihn standardisieren vor dem Hintergrund der Standardabweichung aus der Verteilung aller Stichproben.
Also aus der Sampling-Distribution, die wir natürlich gar nicht haben,
weil wir nicht alle Stichproben ziehen, sondern nur die eine.
Was machen wir also? Wir lernen, dass es einen Zusammenhang gibt
zwischen Sigmar der Standardabweichung in der Grundgesamtheit und diesem Standard Error.
Und zwar sind die verbunden über diese Formel Sigmar geteilt durch die Wurzel aus der Stichprobengröße,
die wir unten gezogen haben, ist dieser Standard Error.
So, soweit so gut, das N haben wir,
aber wir haben dieses Sigmar natürlich immer noch nicht.
Und da kommt jetzt der letzte Trick rein,
den sich die Statistik dann irgendwann mal ausgedacht hat.
Statistiker haben gesagt, also wir haben ja hier
auch ein es eine Standardabweichung für unsere Stichprobe.
Und aus diesem S können wir jetzt einen Schätzwert für Sigma errechnen.
Wir hatten ja eben gerade gesagt, Schätzwerte bezeichnen wir dann
mit dem kleinen Dach. Also unser Y,
das wir in der Stichprobe beobachten, ist quasi unser Mühdach.
Also das ist unser Schätzwert für Müh. Mühdach entspricht sozusagen
x quer. Und wir können aus dem S hier unten
einen Schätzwert für diese Sigma berechnen. Und dieser Schätzwert hier unten,
also Sigma Dach, ist gleich Die Variation aus unserer,
aus unserer Stichprobe multipliziert mit der Fallzahl und einmal einen
aus dieser Fallzahl rausgezogen oder anders formuliert.
Es ist die Quadratsumme von X, also der,
die Quadratsumme der Differenzen der einzelnen X-Werte auf den X-Querwert,
geteilt durch N minus 1. Das ist das Gleiche. Und
diesen Wert benutzen wir jetzt als Schätzwert für dieses Sigma.
Also so ein bisschen ist es schon Münchhausen,
der sich an seinem eigenen Schopf aus dem Sumpf zieht.
Wir schätzen mit Hilfe unserer Stichprobe die Standarderweichung der Grundgesamtheit,
weil wir die Standardabweichung der Grundgesamtheit brauchen, um zu wissen,
wie die Standardabweichung spricht, der Standardfehler in der Sampling-Dystribution ist,
weil wir diesen Standardfehler brauchen,
um unser X so zu standardisieren bzw. unseren X-Querwert so zu standardisieren,
dass wir dann sagen kann, so,
jetzt können wir das Ding Z transformieren,
Und jetzt gehen wir mit dieser Z transformierten Größe dann in all diese Vergleiche mit Z-Kritt und so weiter.
Also einmal diese Grundlogik erläutert, wenn sie jetzt sagen,
das geht mir ein bisschen zu weit,
dann würde ich sagen, okay,
dann lassen sie es einfach an dem Punkt auf sich beruhen,
wenn ihnen diese ganzen Zusammenhänge ein bisschen zu kompliziert sind.
Das ist für diejenigen, die sagen, ich möchte es
ein bisschen genauer verstehen, das ist das, was hier eigentlich passiert.
Sie können sich aber im Prinzip auch an diesen Formeln festhalten,
die werde ich Ihnen gleich noch ein bisschen stärker Detail zeigen.
Aber dann wissen sie einmal, was die Grundidee hinter den Formeln ist.
Und die Grundidee, Grundidee hinter allen Formeln, die jetzt kommen,
ist immer wieder zu sagen, wir haben einen Stichprobenparameter,
einen Mittelwert, einen Regressionskoeffizienten, eine Differenz, whatever.
Diesen Stichprobenparameter müssen wir standardisieren, damit wir ihn vor dem Hintergrund unserer kritischen Z-Werte beurteilen können.
Wenn nach der Standardisierung ist aus dem Wert ein Z-Wert geworden.
Und hier ist einmal die Logik, wie das sozusagen funktioniert,
wenn wir Werte brauchen, die wir eigentlich gar nicht haben,
aber Wege haben, diese Werte zu schätzen.
Und wie gesagt, wenn ihnen das jetzt alles zu kompliziert erscheint,
dann Streichen Sie einfach die letzten paar Minuten und sagen sich,
okay, der Schnapp gibt mir gleich eine Formel,
mit der Formel kann ich arbeiten.
Ich habe nicht so ganz verstanden, wie es funktioniert,
aber offensichtlich funktioniert es so. Schnapp sagt es,
die Statistikbücher sagen es, die Statistik,
Statistiksoftware arbeitet nach diesem Prinzip und vielleicht kennen sie eines Tages nochmal hierher zurück und sagen dann,
jetzt habe ich das Prinzip auch ein bisschen verstanden,
aber das ist im Prinzip nicht ganz so schön aufgeräumt,
wie in meinem Bild die ganze Inferenz in fünf Sekunden.
Am Ende der Folienreihe ist diese Folie auch nochmal eingebaut,
damit sie da nochmal draufschauen können und damit können wir jetzt dann doch wieder ins konkretere Doing zurückkehren,
das dann auch weniger kompliziert aussieht als das hier.
Das sind ein paar klare Formeln. Da kann man sagen,
hier kommt das rein, da kommt das rein,
da kommt das rein, wie so ein kleiner Ersetzkasten.
Und wenn die Zahlen erstmal alle drinne stehen,
dann ist nur noch der Taschenrechner gefragt,
um ein bisschen zu addieren und ein bisschen Quotienten zu bilden.
Und fertig. Aber dieses verquere Denken in gewisser Weise verquere Denken steckt dahinter,
Münchhausen zieht sich am eigenen Schopf aus dem Sumpf des ausschließlichen Vorhandenseins einer Stichprobe und zieht,
also das sind sozusagen die beiden Komponenten,
die Interaktion von diesen beiden Komponenten ist das aus dem Sumpfziehen.
Wir machen also letzten Endes aus unserer einen Stichprobe,
die wir gezogen haben, holen wir sowohl Aussagen über die Grundgesamtheit,
die wir brauchen, um die Samply Distribution zu verstehen,
als auch, wir ziehen quasi eine Vorstellung über diese Sampling Distribution daraus.
Aber ich jetzt wieder einsteige hier, das nochmal zu erklären,
halte ich an der Stelle an. Ich hoffe,
der eine oder die andere von ihnen hat ein bisschen was verstanden,
schauen sich noch zwei, dreimal an,
dann wird peu a peu mehr verstanden und für alle,
die sagen, das geht mir über die Hutschnur,
kommen jetzt ganz einfache,
anwendbare Rechenregeln
Ey, das war nochmal ein bisschen schwindelerregend. Ich bin auch selbst immer ganz aufgeregt,
wenn ich das Thema besprechen soll,
weil es einerseits wirklich kompliziert ist,
weil ich es ihnen so nahe bringen möchte,
dass ich es verstehen und weil die Wahrscheinlichkeit sehr groß ist,
dass man trotzdem irgendwo Quatsch erzählt.
Ich hoffe, ich habe keinen Quatsch erzählt.
Und jetzt kommen wir wirklich in die gerade versprochene Anwendung.
Und zwar schauen wir uns als erstes jetzt einen Hypothesentest für
einen Mittelwert oder einen Mittelwertvergleich an. Also,
die Idee ist, alles, was uns an Statistiken begegnet,
wollen wir vor dem Hintergrund einer Z-Verteilung standardisieren.
Also wir wollen standardisierte Werte bilden. ZI ist gleich
irgendein X verglichen mit dem X-Mittelwert geteilt durch die Standardabweichung.
Aber was ist jetzt das XI,
was ist X quer und wo kommt die Standardabweichung her?
Das Ganze transformieren wir jetzt erstmal in eine Formel,
die darauf hinweist, dass wir nicht über ein kritisches Set reden,
sondern wir reden über ein empirisches Set. Das heißt,
wir wollen das empirische Z ausrechnen für den Unterschied von einer,
einem beobachteten Stichprobenmittelwert vom nicht beobachteten Bevölkerungs Grundgesamtheitsmittelwert und das Ganze muss irgendwie standardisiert werden.
Und da sehen Sie jetzt schon, da unten steht jetzt
dieses Siegmar-Dach, über das wir eben gesprochen haben.
Da steht dieses geteilt durch die Wurzel aus N. Also was ich
Ihnen im Tier erläutert habe, wo kriegen wir eigentlich diese Standardabweichung her?
Das sehen Sie jetzt hier direkt in der Formel.
Und hier ist noch einmal aufgedröselt, was die einzelnen Buchstaben bedeuten.
Also Z ist eine Z verteilte Teststatistik, X quer ist der Stichprobenmittelwert,
Müh ist der Populationsmittelwert, entsprechend der Nullhypothese,
N ist die Fallzahl, Sigmar-Dach X quer ist der Standardfehler,
der Stichprobenverteilung oder auch der Standard Error, den wir brauchen,
um für diesen Mittelwert eine Standardisierung berechnen zu können.
Da hinten ist jetzt aufgeschrieben, was sich auch an der Tafel eben gezeigt hatte, wo kriegen wir dieses Siegman-Dach jetzt eigentlich her? Das kriegen wir daher,
dass wir die Standardabweichung der Stichprobe uns anschauen und diese Standardabweichung mit N durch N-minus 1 multiplizieren,
Statistiker haben bewiesen,
dass das ein plausibler Schätzparameter für Sigma ist oder man kann SD mal N durch N-minus 1 auch anders formulieren,
indem man sagt, die Quadratsumme der Fehlerabweichung geteilt durch N-minus 1 und daraus die Wurzel gezogen,
das ist unser Sigma-Dach, also das ist der Wert,
den wir da brauchen, um Standardabweichung zu ermitteln,
die wir brauchen,
um unseren Beobachter, unsere beobachtete Teststatistik tatsächlich zu standardisieren.
Und hier unten jetzt nochmal SD-Standardabweichung in der Stichprobe, meistens mit S symbolisiert.
Und SS Some of Squares und da unten ist auch nochmal geschrieben,
welche Some of Squares das eigentlich ist.
Jetzt ist die Frage, warum muss denn da überhaupt dieses Müh stehen?
Das Mühe haben wir doch gar nicht beobachtet und wie können
wir das denn überhaupt in eine empirische Formel reinbringen?
Naja, das Müh ist derjenige Wert, den wir in
unserer Nullhypothese drinstehen haben. Das heißt, wir bilden hier
die Differenz zwischen dem Beobachter und dem Wert aus der Nullhypothese,
wenn der Wert in der Nullhypothese Null ist.
Also zum Beispiel, wir haben keine Differenz oder der Mittelwert ist gleich Null,
dann brauchen wir das da oben natürlich nicht ausrechnen,
aber es gibt auch andere Konstellationen, wie sie gleich noch in dem Beispiel sehen werden.
Insofern brauchen wir da oben tatsächlich die vollständige Formel mit der Differenz.
Aber unter Umständen müssen wir die Differenz nicht ausrechnen,
wenn die Nullhypothese tatsächlich den Wert Null beinhaltet.
Und hier habe ich jetzt noch mal gezeigt,
wo sozusagen diese Standardabweichung herkommt, die wir in der ZM-Formel drin haben,
nämlich aus dem Schätzwert für Standardabweichung in der Grundgesamtheit, die wir da unten eintragen.
Und das wird unser Standardfehler, den wir brauchen,
um unsere beobachtete Statistik zu standardisieren, damit wir ein empirisches Z aus diesem Ding bauen können.
So, das Ganze jetzt mal an einem Beispiel.
Wir hatten vorhin schon gesprochen über diese Idee,
Studiengangsverbesserung durch zum Beispiel Einführung eines Studienbüros.
Der alte Wert ist gewesen, durchschnittlich sieben Semester.
Der neue Wert ist 6,5 Semester. Das ist das,
was sie in der ersten Formel sehen.
Also nochmal die Allgemeine Formel für ZM x quer minus,
der wert aus der Nullhypothese unten die Standardisierung.
Jetzt eingefüllt die tatsächlichen Werte aus unserem Beispiel 6,5 für den
Stichprobenmittelwert 7 für den Wert aus der Nullhypothese unten die Standardisierung.
Hier nochmal aufgeschrieben, wie wir zu der Standardisierung kommen.
Wir haben eine Standardabweichung von eins in unserem Beispiel gehabt.
Das multiplizieren wir mit 100 durch 99,
nehme ich Fallzahl durch Fallzahl minus 1, kommt 1,1 raus.
Das packen wir dann da drüben in unsere Formel rein und
haben sozusagen das, was wir zum Standardisieren brauchen.
Also rot eingekreist jetzt das, was standardisiert werden soll
Jetzt rot eingekreist, das, was zur Standardisierung benutzt wird,
wenn wir das Ganze ausrechnen, kommt am Ende 4,95 raus,
sie gucken sich in den Folien nochmal genau an, ob ich richtig gerechnet habe.
Also so schnell kommen wir zu unserem empirischen Z-Wert und jetzt ist die Frage,
die alte Frage von vorhin,
hat diese organisatorische Reform im Studiengang etwas gebracht, ja oder nein,
was uns im Moment ja noch fehlt, ist ein kritischer Z-Wert.
Ich habe jetzt mal gesagt, okay, wir haben hier eine gerichtete Hypothese,
wir nehmen den kritischen Z-Wert minus 1,66. Unser empirischer Z-Wert ist minus 4,95,
wäre es deutlich kleiner als ist der kritische Z-Wert bei negativen Setwerten,
wollen wir genau das sehen,
dass der empirische Z-Wert kleiner ist als der kritische Z-Wert und dementsprechend würden wir jetzt sagen,
vor dem Hintergrund dieser Evidenz, die wir gefunden haben,
vor dem Hintergrund des konkreten Vergleiches von empirischem und kritischen Z-Wert,
wird Hanno verworfen und die Alternativhypothese wird akzeptiert oder etwas vorsichtiger formuliert.
Wir finden empirische Evidenz, die dafür spricht,
die alternative Hypothese für richtig zu halten.
Ein letzter Punkt für heute und dann lasse ich sie auch erst mal wieder in Ruhe.
Ich möchte ihn noch ganz kurz jetzt hier am konkreten Rechenbeispiel den Effekt der Stichprobengröße zeigen.
Wir haben es vorhin beim Vergleich der Fehler gesehen,
die Stichprobengröße hat eben erheblichen Einfluss darauf, wie eng oder weit unsere Standard-Normalverteilung aussieht.
Und genau das sieht man hier jetzt auch noch mal zwischen den beiden Strichen,
sehen sie einfach nur die Formeln,
die sie eben gerade schon gesehen haben mit den gleichen Werten da drin,
der einzige Unterschied ist, dass wir mit zwei unterschiedlichen Fallzahlen arbeiten,
in der linken Spalte in gleich 100,
das Beispiel von eben mit dem kritischen Z-Wert von minus 4,95.
Und hier sehen sie jetzt auch noch mal,
und das hat auch noch mal mit diesem Power-Ding zu tun, hier sehen sie,
was passiert, wenn wir einfach die Stichprobe deutlich größer machen.
Wir messen nicht mehr 100 Leute, sondern wir messen 1000 Leute,
alles andere bleibt gleich, unsere null Hypothese bleibt gleich.
Die Standardabweichung in der Stichprobe bleibt gleich, der Stichprobenmittelwert bleibt gleich, 6,5. Und trotzdem wird unser Z-Wert,
der empirische Z-Wert im Betrag deutlich größer und das ist einfach ein Effekt der Fallzahl,
das heißt, hohe Fallzahlen sind bei dieser Art von statistischer Argumentation immer etwas Gutes,
weil sie uns sehr viel Aussage, Sicherheit geben und wir wissen jetzt auch,
sie geben uns nicht nur Aussage, Sicherheit gegen die H0,
sondern sie geben uns auch noch die Sicherheit mit großer Wahrscheinlichkeit eine Alternativhypothese,
wenn sie richtig ist, tatsächlich auch als richtig zu bestätigen,
also keinen Beta-Fehler zu begehen.
Das ist der Sinn dieser Folie,
also wir haben einmal in 100 mit einem empirischen Zwert von minus 4,95 in 1000 empirischer Zwert von 15,64,
also sehr starke Evidenz dafür zu sagen,
mit aller allergrößter Wahrscheinlichkeit, kommt unsere Stichprobe aus einer Kongesamtheit,
für die die die alternativhypothese richtig ist und nicht die jupothese.
Und das soll dann auch der letzte Satz für heute
gewesen sein, Herzlich zu best durchhalten.
Das ist. Ich weiß, dass das ist das jetzt nicht,
passt, dass das ist ein bisschen schwerer Truck.
Dass, das dran ist, das ist de.
Ich de, ist, ist mon monst, weder wehm,
möcht, minde. Ihr, m, d,
m,
mö,
d. Ihr
Wird dann unser Standardfehler, den wir brauchen, um,
Entschuldigung, jetzt habe ich hier in die falsche Richtung geklickt,
das wird unser Standardfehler,
den wir brauchen,
meine Folie ist kaputt