Ja, und da wären wir wieder nach der Pause oder
was man so Pause nennt. Ich habe in der Zwischenzeit
mit den Erstsemestern die Gesprächsrunde zur Einführung in die Politikwissenschaft gemacht.
Sie haben hoffentlich ihren Kopf kurz ausgelüftet oder anderweitig beschäftigt.
Also machen wir weiter. Und was sich Ihnen
eben in einer Excel-Grafik und ein bisschen handgemacht gezeigt habe,
habe ich jetzt nochmal schön mit Starter als die schöne Standard-Normalverteilung an die Wand geworfen,
falls die Berlinerin sind und Radio 1 ein bisschen kennen,
der schöne Morgen und so weiter.
Also manchmal schaut das alte Leben auch noch in Folientiteln durch die schöne Normalverteilung.
Und ich will Ihnen jetzt kurz nochmal sagen,
was diese Normalverteilung denn nun eigentlich ausmacht,
also die Verteilung, die entsteht,
wenn wir immer wieder 2 Millionen,
300.000 Mal
in unsere Kugelkiste greifen
Und Kugeln herausziehen und zählen und dann das Zielergebnis auftragen,
dann entsteht diese normale Verteilung. Was sind ihre Eigenschaften?
Also diese Verteilung ist absolut symmetrisch von ihrer Mitte weg,
sind beide Seiten komplett identisch und sie ist eingepflegt,
sie hat ein Maximum.
Dieses Maximum liegt genau da, wo der Mittelwert liegt,
also x quer. Der Mittelwert, das Arithmetische Mittel x quer,
der medialen x Tilde und der Modus, also diejenige Ausprägung,
die am häufigsten auftaucht, sind identisch.
Sie liegen alle auf dem gleichen Punkt,
das ergibt sich aus der Symmetrie der Verteilung.
Die Kurve nähert sich gegen Plus und Minus
unendlich asymptotisch der X-Achse an
Da können noch ganz kleine Fallzahlen auftauchen. Wir haben das
ja auch gesehen, aber es wird extrem wenig wahrscheinlich.
Es wird nicht komplett unwahrscheinlich, aber sehr wenig wahrscheinlich.
Aus der Symmetrie der Kurve ergibt sich 50 Prozent der Fläche
der Kurve liegen. Links vom Mittelwert, X-Quer,
50 Prozent der Kurve liegen liegen rechts vermittelt wert.
Die Wahrscheinlichkeit also, dass eine spezifische Beobachtung kleiner ist
als der Gesamtmittelwert,
Klammer auf 50 Prozent. Das Gleiche gilt für eine Beobachtung
größer als der Mittelwert. Und die Fläche unter dieser Kurve
ist jetzt wieder auf eins normiert, womit wir aussagen,
wenn wir eine Erziehung machen, wird mit Sicherheit irgendein Ergebnis rauskommen.
Also irgendwo unter der Kurve liegt es. Und dann ist eben
die Frage, welche Art von Ergebnissen taucht häufiger auf.
Dass also die Eigenschaften dieser Normalverteilungskurve. Und jetzt gibt es so
ein paar Standardflächen, die wir brauchen. Da werden wir
später immer wieder drauf zurückkommen, die unter dieser Kurve liegen. Wenn wir uns also fragen,
wie groß ist die Fläche, wenn ich vom Mittelwert her gehe,
innerhalb von minus bis plus einen Standardabweichungen liegt,
dann ist diese Fläche, vorhin waren es 68,4,
also das lag an meinem konkreten Beispiel,
wenn man das jetzt noch weiter ausdehnt,
dann stellt man fest, diese Fläche ist 68,
oder diese Fläche umfasst 68,26 Prozent oder einen Anteilswert von 0,6,8,26 von der Gesamtfläche.
Rückübersetzung in unser Kugelbeispiel heißt das, wenn ich immer wieder Kugeln ziehe,
dann liegen 68,26 Prozent aller Beobachtungen in diesem Intervall,
also weichen um minus bis plus eine Standardabweichung.
Wir hatten vorhin gesehen, die Standardabweichung war vier,
weichen um minus bis plus eine Standarderweichung von diesem Ergebnis ab.
Also im Kugelbeispiel 68,26 Prozent aller Beobachtungen müssten erwartungsgemäß in diesem
Intervall 32, minus 4 bis 32 plus 4 liegen.
Wenn mir das Intervall größer machen, wird natürlich die Fläche größer.
Also innerhalb von zwei Standardabweichungen plus minus liegen 95,44 Prozent aller Beobachtungen.
Auch da habe ich die Zahl vorhin etwas ab. Und wenn wir,
das sieht man jetzt kaum noch,
dass da an den Enden der Kurve was Graues ist,
wenn wir schauen, die Fläche von minus 3 bis plus 3 Standardabweichungen,
dann sind 99,72 Prozent der Fläche unter der Kurve,
minus bis plus 3 Standardabweichungen vom Mittelpunkt entfernt.
Ins Kugelbeispiel nochmal rückübersetzt, heißt es also,
wenn wir da ziehen, dann sind 99,72 aller Beobachtungen.
32, minus 4 mal 3, also 3 Standardabweichungen,
also 32, minus 12, 20 und 32 plus 12,44,
also 99,72 Prozent aller Beobachtungen müssen in diesem Intervall von 20 bis 44 liegen.
Und wir werden in Kürze dazu kommen,
was wir mit dieser Angabe
jetzt machen
Aber das also nochmal hinzugefügt zur Beschreibung der Standard-Normalverteilung, diese Standardflächen,
die darunter liegen und die man mit Integralen ausrechnen kann,
das müssen wir aber hier nicht machen. Erstens haben wir Computer,
die uns diese Sachen ausrechnen und wir müssen uns um die Integrale nicht kümmern,
das machen die oder haben die gemacht,
die Starter programmiert haben zum Beispiel und es gibt auch Tabellen,
in denen man Dinge nachgucken kann,
wenn man bestimmte Zahlen unten auf diese Achse weiß,
aber auch dazu kommen wir gleich.
Nochmal kurz zu begriffen. Ich habe jetzt
schon mehrfach den Begriff wahrer Parameter oder auch Populationsparameter verwendet,
das ist der Parameter, der in der Grundgesamtheit Also hier gilt,
das ist im Prinzip dieser rote Parameter, der hier eingetragen ist.
Dieses rote X-Quer, aber das ist der Parameter,
den wir nicht kennen. Wir kennen den wahren Bevölkerungsparameter nicht
. Was wir mit unserer Statistik machen, ist einen Schätzwert
zu erzeugen für diesen wahren Bevölkerungsparameter. Und dann auszusagen,
wie sicher wir uns sind, dass dieser Schätzwert zutrifft.
Was wir kennen, ist der Stichprobenparameter. Also das ist derjenige Wert,
den wir in unserer Stichprobe gemessen haben oder den wir in unserer Stichprobe messen.
Und jetzt gehen wir schon wieder zurück hierher.
Die Stichprobenparameter sind normal verteilt. Also nicht die Werte,
die wir tatsächlich analysieren. Also hier unsere Einkommensverteilung zum Beispiel.
Nicht die ist normal verteilt, die ist irgendwie verteilt.
Schief, gleich, B-Modal, spielt keine Rolle.
Aber wenn wir aus aus dieser Verteilung viele solcher Stichproben ziehen und
immer den Mittelwert ausrechnen, dann sind diese Stichprobenparameter normal verteilt.
Und der Mittelwert aller denkbaren Stichproben, der ist dann am Ende
tatsächlich wieder der wahre Parameter oder nähert sich quasi unendlich diesen wahren Parameter an.
Jetzt nochmal wacher Parameter und Wahrscheinlichkeit der Abweichung im Rückgriff auf die
drei Diagramme mit den grauen Flächen, die ich Ihnen gezeigt habe.
Also 68,3 Prozent aller Stichproben liegen erwartungsgemäß innerhalb von plus minus
einer Standardabweichung, um den wahren Parameter herum.
95,4 Prozent aller Stichproben liegen dementsprechend im Intervall plus minus zwei Standardabweichungen,
99,7 Prozent aller Stichproben liegen in einem Intervall von plus minus drei Standardabweichungen.
Also wir könnten im Prinzip auf der Basis dieser Sätze jetzt schon die Aussage treffen,
x Prozent aller Stichproben fallen in das Intervall plus minus eins,
zwei, drei Standardabweichungen und wir sehen, je größer die Wahrscheinlichkeit,
dass eine Stichprobe in ein bestimmtes Intervall fällt,
desto größer ist natürlich auch das Intervall selbst.
Also wenn wir die Größe des Intervalles als Genauigkeit betrachten und die Wahrscheinlichkeit als Sicherheit,
dass unsere Aussage stimmt, also eine Stichprobe fällt da rein,
dann stellen wir fest, die Genauigkeit, nämlich ein schmaleres Intervall,
geht zu Lasten der Breite der Gültigkeit der Aussage und umgekehrt.
Je genauer ich bin, plus minus eine Standardabweichung,
desto geringer ist die Wahrscheinlichkeit, mit der ich davon ausgehen kann,
dass meine Stichprobe wirklich in diesem Bereich ist.
Je ungenauer ich bin, desto größer ist die Wahrscheinlichkeit und
dann muss ich mich an der entsprechenden Stelle fragen,
okay, was ist mir denn jetzt eigentlich wichtiger?
Genauigkeit oder eine möglichst allgemeingültige Aussage. Aber wie gesagt,
auch das sind Punkte, die wir später nochmal anschauen müssen.
Jetzt will ich Ihnen erst nochmal wirklich im Detail diesen Prozess
zeigen, aus dem dieses ganze Modell resultiert.
Also wie aus dieser Grundgesamtheit und unendlich vielen Stichproben diese Idee entsteht,
sodass wir dann mit dieser Idee nachher arbeiten können.
Und das machen wir auf der Basis eines halbächten und halb fiktiven Datensatzes.
Also ich habe den Albus 2008 hergenommen und habe den Albus 2008 etwas aufgeblasen.
Also da sind ja etwas über 3000 Personen drinne und ich
habe diese Person also vervielfacht,
sodass ich am Ende mit einem Datensatz dastehe mit 300.000 Personen
Die Variable, die mich jetzt interessiert,
ist das Einkommen, das durchschnittliche Einkommen der Männer.
Und was ich jetzt im Folgenden mache,
ist aus diesen 300.000 Menschen, die quasi meine Grundgesamtheit darstellen.
Und in diesem Fall kenne ich sie jetzt,
einfach um dieses ganze Prinzip zu erläutern,
ziehe ich immer wieder Stichproben und zwar 10.000 Stück im Maximum mit einer Größe von 500.
Was ich dann mache, ist, für jede einzelne Stichprobe aufschreiben,
wie ist eigentlich der Stichprobenmittelwert für das Einkommen der Männer in dieser Stichprobe.
Und es wird sichtbar,
wie hier die Normalverteilung entsteht und am Ende des Ganzen
werde ich dann nochmal das zusammenfassen in dem sogenannten zentralen Grenzwertsatz
Also, mit dem hier werde ich jetzt die Einkommensvertwerdig, den Stichprobenziehungsprozess simulieren.
Also das sind meine 22278.700 Menschen, die in diesem oder Untersuchungsobjekte,
die in diesem Datensatz drin sind und deren Einkommen verteilt sich so,
wie sie das hier auf dem Histogramm sehen.
Also das ist jetzt tatsächlich die Grundgesamtheit. Klammer auf,
im Normalfall kennen wir die nicht, aber um erläutern zu können,
wie diese Denke funktioniert, wir einmal eine Grundgesamtheit,
die wir kennen und simulieren diese unendlich vielen Stichprobenziehungsprozesse,
die wir in der Realität nie durchführen,
in der Realität haben wir eine Stichprobe,
aber vor dem Hintergrund der Idee, dass man,
was passiert, wenn man simuliert,
können wir auf der Basis dieser einen Stichprobe dann was mit diesen Intervallen und diesen Aussagesicherheiten machen.
Okay, in dieser Stichprobe ist der Mittelwert also 1660 und
wenn man sozusagen eine geglättete Funktion da drauf packt,
dann sieht das ungefähr so aus. Jetzt also Stichprobenziehungsprozess aus einer Grundgesamtheit,
von der wir wissen, dass ihr Mittelwert 1660 beträgt.
Wir fangen mal mit einer Tabelle an, zehn Stichproben in gleich 500,
also aus diesen 278.000. Irgendwas ziehen wir 500 Leute und dann ziehen wir wieder 500 Leute und wieder 500 Leute.
Und wir sehen, die erste Stichprobe hat, Entschuldigung,
die erste Stichprobe aus dieser Grundgesamtheit,
die ich oben noch mal in die Ecke gesetzt habe,
hat einen Mittelwert von 16074,
also ziemlich dicht dran an dem realen Mittelwert,
aber klar, es ist eine Stichprobe,
sie trifft den Wert in der Regel nicht ganz genau.
Die zweite 1490 ist weiter weg, 1.5586,
1.724 und so weiter, bis unten 1.713.
Wir sehen die Stichproben-Mittelwerte sind nie genau 1.660, der am dichtesten drankommt.
Wenn ich jetzt einmal schaue, ist 1.660 in der fünften Datenzeile,
aber sie sind auch nicht so unendlich weit weg davon.
Wir haben ja auch schon auch eine ziemlich große Stichprobe gezogen.
Also die Stichproben, die wir ziehen,
bilden einigermaßen unsere Grundgesamtheit ab, aber eben nicht exakt.
Jetzt dehnen wir dieses Beispiel noch ein bisschen aus.
Also wir ziehen sehr viele Stichproben und stapeln die Mittelwerte
Das sind sozusagen die unterschiedlichen Stichproben, die wir aus unserer Grundgesamtheit ziehen oder
das sollen die unterschiedlichen Stichproben sein, die wir aus unserer Grundgesamtheit ziehen.
Und dann stapeln wir diese Mittelwerte so,
wie wir das beim Histogramm anhand des New Musical Express beschrieben haben,
stapeln wir die Mittelwerte einfach aufeinander, um zu sehen,
was sich für eine Verteilung hergibt.
Und das sieht dann ungefähr so aus.
Also wir haben ein erstes Ziehungsergebnis jetzt, genau,
also zehn Ziehungen aus 500, was sie eben auch schon gesehen haben,
1.674.490 und so weiter
Hier unsere einzelnen Ziehungsergebnisse, erste Stichprobe 1.6, 7,
4, 1.674. Und dieses Ergebnis stapeln wir jetzt in unser Histogramm rein.
Dann ziehen wir die nächste Stichprobe 1.490 und stapeln dieses Ergebnis in unser Histogramm ein.
1.586 und ins Histogramm rein 1.7024 und so weiter.
Also wir bauen aus den Mittelwerten der einzelnen Stichproben unser Histogramm,
in dem wir einfach die einzelnen Werte aufeinanderstapeln und kriegen dann eine Verteilung der Stichprobenmittelwerte.
Also wir kriegen nicht Diese Verteilung, sondern was wir jetzt gebaut haben,
ist eine Verteilung der unterschiedlichen X-Mittelwerte,
die wir aus den einzelnen Stichproben gezogen haben.
Nämlich genau aus den Stichproben, die sie hier oben sehen.
Erste Stichprobe gezogen, zweite Stichprobe gezogen. Dritte und so weiter
bis zur zehnten. In jeder Stichprobe den Mittelwert bestimmt.
Und jetzt sehen wir aus einer relativ schiefen Verteilung,
aus der wir ziehen, wird in erster Ernährung so eine Normalverteilung,
weil wir ja auch gar nicht mehr die Verteilung abbilden,
sondern die Mittelwert abbilden
So, das Ganze setzen wir jetzt mal fort mit 25 Ziehungen.
Also hier sind die zehn Ziehungen, die sie schon kennen.
Und jetzt packen wir noch ein paar weitere Ziehungen dazu.
Also immer wieder wird eine Stichprobe gezogen.
Immer wieder wird der Mittelwert aus dieser Stichprobe ins Diagramm reingepackt.
Und wir nähern uns weiter der Normalverteilung an.
Im Weiteren werde ich jetzt nicht mehr einzeln packen.
Im Weiteren werde ich jetzt einfach nur noch abbilden,
wie die Histogramme aussehen, wenn wir immer mehr Stichproben ziehen.
Also wir sind immer noch bei einer Stichprobengröße von 500.
Wir haben eben Nochmal näher zurück. Wir haben eben zehn
Stichproben gezogen. Jetzt haben wir hier 25 Stichproben gezogen.
Ich lasse das noch einmal hochwachsen. Und jetzt machen wir
weiter. So sieht die Verteilung aus,
wenn wir 50 Stichproben ziehen und wieder das Histogramm bilden und
immer noch rechts oben jetzt, ist die Grundgesamtheit das,
was wir uns anfangs angeschaut haben.
Und der Prozess, den wir weiter durchführen,
ist das Stapeln dieser Musikzeitschriften nur eben als Einkommensmittelwerte.
Wir haben immer noch Ende gleich 500,
also unsere Stichproben sind immer noch 500 Fälle groß.
Wir haben 100 Ziehungen gemacht. Jetzt sind hier 250 Ziehungen
in dieses Diagramm eingegangen. Es gehen 500 Erziehungen in das Diagramm
ein. Es gehen 1000 Ziehungen in das Diagramm ein.
Es gehen 5000 Ziehungen in das Diagramm ein und es gehen 10.000 Ziehungen in das, die halt am Ende. Jetzt sehen Sie,
wir nähern uns ganz stark der Form,
die wir vorhin eben bei den zwei Millionen 300.000 Beziehungen beim Kugelbeispiel gesehen haben,
wir nähern uns, also mit 10.000,
was schon eine Menge ist,
natürlich nähern wir uns schon dieser Normalverteilung an,
aber auch mit 5.000 und 1.000 Ziehungen waren wir eigentlich schon relativ dicht,
an dieser Normalverteilung,
selbst bei 500 Ziehungen von einigen kleinen Löchern und dem einen der einen Antenne dort abgesehen,
haben wir also uns schon sehr stark der Normalverteilung angenähert.
Also was ist die Message von dem Ganzen,
wenn ich tatsächlich diesen Prozess durchführen würde aus der unbekannten Grundgesamtheit,
ganz viele Stichproben zu ziehen und dann
irgendeinen Parameter aus der Stichprobe
zu berechnen
Arathmetischen, arathmetisches Mittel, median, Modus, Standardabweichung,
Regressionskoeffizienten, was immer ihnen einfällt, dann wird dieser Stichprobenparameter normal verteilt sein.
Und nochmal, weil das häufig ein Missverständnis darstellt.
Auch zurück nochmal zur Regression. Wenn wir darüber reden,
dass hier irgendetwas normal verteilt ist, reden wir nicht darüber,
dass unsere Grundgesamtheit normal verteilt sein soll und auch nicht darüber,
dass die eigentlichen Werte in unserer Stichprobe normal verteilt sein sollen,
sondern was normal verteilt ist,
ist der Parameter,
das statistische Maß,
das sich auf der Basis meiner Stichprobe berechne
Das ist das Einzige, was normal verteilt sein soll.
Und in dem Sinne reden wir dann auch über Normalverteilung von
Residuen in der Regressionsanalyse. Also wenn wir sagen,
wir müssen die Normalverteilungsannahme prüfen, dann müssen wir nicht prüfen,
ob unsere X- und Y-Werte als solche normal verteilt sind.
Sondern wir müssen prüfen, ob die Residuen normal verteilt sind.
Denn das sind wiederum die Stichprobenparameter, die wir hier berechnen.
Und nur da brauchen wir diese Normalverteilungsannahme als erfüllte Annahme.
Also was passiert? Der gesamte Prozess ist also der,
wir haben eine Grundgesamtheit, wir ziehen aus der Grundgesamtheit eine Reihe von Stichproben.
Wir basteln auf der Basis dieser Stichprobenergebnisse,
die wir zunächst tabellarisch aufgeschrieben haben,
ein Instagram
Und je nachdem, wie viele Stichproben wir dann ziehen,
nähern wir uns mit den Histogrammen, das dann entsteht, immer mehr dieser Normalverteilung an.
Also wenn wir eine große Anzahl an Stichproben ziehen würden,
dann wäre die Verteilung dieser Stichprobenparameter sehr oder geht die Verteilung dieser Stichprobenparameter sehr nah an eine Normalverteilung ran.
Und für die Verteilung dieser Stichprobenparameter gilt dann, was ich vorhin gesagt habe,
die Mitte dieser Verteilung oder in der Mitte dieser Verteilung liegen,
X-Quer, X-Tilde und ha, links von diesem Mittelwert sind 50 Prozent rechts,
sind 50 Prozent innerhalb von einer Standardabweichung,
sind 68,3 Prozent aller Stichproben und so weiter.
Also all das gilt sozusagen für das, was wir hier
durchgeführt haben. Und damit sind wir beim zentralen Grenzwertsatz,
der nämlich lautet, ziehe ich aus einer beliebigen Grundgesamtheit,
hier hinter dem Vorhang, ziehe ich aus einer beliebenen,
beliebigen Grundgesamtheit, eine ausreichend große Menge ausreichend großer Stichproben,
also zwei Einschränkungen, Menge der Stichproben muss hinreichend groß sein.
Und das haben sie ja eben in dem Beispiel auch gesehen,
erst mit hinreichend vielen Stichproben nähern wir uns wirklich dieser Normalverteilung an.
Bei zehn Stichproben sieht das noch ganz schön komisch aus.
Und die Stichproben müssen ausreichend groß sein. Also ziehe ich
aus einer beliebigen Grundgesamtheit eine ausreichend große Menge ausreichend großer Stichproben
zur Bestimmung eines Parameters, Mittelwert, Regressionskoeffizient, whatever.
Dann ist dieser Parameter über die Stichprobe hinweg normal verteilt.
Dieser Parameter ist normal verteilt. Nicht die Ausgangsdaten der Parameter
ist nun mal verteilt. Und das sehen Sie hier
unten da nochmal
In einem Würfelbeispiel. Also wenn ich jeweils nur einen Wurf mache,
dann ist das natürlich überhaupt nicht normal verteilt. Klar,
bei einem Wurf kann eine 1 rauskommen, eine 2,
eine 3, eine 4, eine 5 oder eine 6,
aber nicht alles, sondern nur das eine.
Aber schon mit nur zwei Würfeln sehen sie,
wie die Verteilung der Summe sozusagen dann sich rapide in Richtung Normalverteilung bewegt.
Also klar, es kann auch nicht rund sein,
weil zwei Werte noch überhaupt keine Rundung ergeben,
aber schon mit zwei Würfen, also einer minimalen Stichprobe,
gehen wir relativ klar über viele Stichproben hinweg in Richtung
sowas wie einer Normalverteilung und bei drei Würfen haben wir dann schon eine richtig sanfte Kurve.
Also hier sieht man schon eine relativ kleine Stichprobe erzeugt,
sehr deutlich den Effekt über die Menge aller Stichproben hinweg auf so eine Normalverteilung zuzugehen.
Und auch das werden wir uns gleich nochmal ausführlich anschauen.
Wenn Sie die letzten zehn Minuten nicht so richtig gut verstanden haben,
dann schauen Sie nochmal, was dieser Typ,
er nennt sich Stats Guy, was dieser Typ ihnen zu erzählen hat.
Wenn Sie es verstanden haben, schauen Sie es auch an,
der Typ ist unheimlich witzig, also finde ich zumindest,
sofern man Statistik witzig finden kann,
aber der erklärt das gleiche Prinzip nochmal etwas lebhafter,
als ich das getan habe,
aber der hat auch ein Vollbart und eine coole Mütze,
ich stehe hier mit Kopfhörern
Also, das gleiche Prinzip zentraler Grenzwertsatz und wie aus
irgendeiner Verteilung Parameter entstehen oder gezogen werden können,
die da normal verteilt sind, wird hier nochmal erklärt.
Und in dieser Grafik, die sie sich bei Bedarf in Ruhe anschauen sollten,
erkläre ich sozusagen die ganze Inferenz in fünf Sekunden.
Und auch da haben sie links oben die Normalverteilung,
sie haben links unten, nein, Entschuldigung,
links oben die Grundgesamtheit links unten, unsere Stichprobe,
hier drüben rechts dann eben diese Normalverteilung und wie das
alles zusammenhängt
Mit einigen Begriffen, die da auftauchen oder mit einigen Symbolen, die auftauchen, die im weiteren Verlauf noch erklärt werden.
Das wird hier sozusagen zusammengefasst. Also vielleicht ist das dann auch ihre Zusammenfassungsfolie ganz am Ende. Falls Sie sich wundern,
warum die ganze Inferenz in fünf Sekunden,
wenn wir jetzt in einem Präsenzessemester wären,
würde es immer in der Mitte der 45 der 90 Minuten oder irgendwo in der Mitte der 90 Minuten,
manchmal ist die Mitte bei mir auch erst bei 63 Minuten erreicht,
ein kleines Pausenrätsel durchgeführt und das Pausenrätsel und daher kommen die ganze Inferenz in fünf Sekunden,
das Pausenrätsel basiert auf einem Buch,
der ganze Film in fünf Sekunden und nur damit sie das einmal verstehen,
die Idee ist sozusagen, dass jemand sich überlegt,
Welche wichtigen Dinge muss ich über einen Film aufmalen,
damit die gesamte Story in kürzester Zeit sichtbar wird und diese Bilder zeige ich dann und sage,
rate doch mal, was für ein Film das ist.
Bei dem Film werden die meisten von Ihnen wahrscheinlich
relativ schnell raten. Das ist der König der Löwen,
Links Simmer und sein Papa, dann ist der Papa tot.
Dann wird Simba langsam größer und am Ende ist er selber der Löwenkönig.
Und daher also die ganze Inferenz in fünf Sekunden,
weil normalerweise die Studierenden in dieser Vorlesung mit dem in fünf Sekunden schon ganz gut was anfangen können,
denn wenn wir hier ankommen, haben sie schon einige Filmrätsel gelöst.
Macht in diesem Corona-Semester nicht so richtig viel Sinn,
weil ich ihnen die Auflösung nicht in angemessener Weise präsentieren kann,
aber jetzt wissen sie wenigstens, was ihnen entgangen ist,
weil sie nicht schon früher in dieser Vorlesung gesessen haben.
Okay, wir haben noch mehr Arbeit zu erledigen und wollen uns jetzt anschauen,
nachdem wir geschaut haben,
wie über unterschiedliche Stichproben sozusagen immer wieder unterschiedliche Mittelwerte zustande kommen,
aber wir haben die Stichprobengröße immer gleichgehalten, wollen wir uns jetzt anschauen,
wie die Stichprobengröße die Genauigkeit der Schätzung beeinflusst.
Die Datenbasis ist weiterhin die gleiche, Bevölkerung der Bundesrepublik simuliert
auf der Base des Albums mit über 300.000 fiktiven Personen.
Die Variable ist Einkommen. Die Vorgehensweise ändert sich jetzt insofern,
als sich 50 Stichproben jeweils ziehe, unterschiedlicher Größe.
Die erste Stichprobe oder die ersten 50 Stichproben haben 25 Fälle,
dann gehen wir auf 50 auf 100,
auf 500 und auf 1000 und wir zeichnen in gleicher Art und Weise wie eben auf,
was denn jetzt eigentlich da für Mittelwert Sammelprozesse entstehen.
Also was für eine Verteilung der Stichprobenmittelwerte entsteht. Endgleich 25, 50 Ziehungen. Wir sehen,
dass der kleinste Wert, den wir gezogen haben,
ist etwa bei 900 der größte Wert, den wir gezogen haben,
ist etwa bei 2600, also eine relativ große Spannbreite.
Vielleicht in Anlehnung auch an unser Kugelbeispiel. Was passiert jetzt mit diesen,
also vor allem mit der Spannweite dieser Verteilung,
wenn wir die Ziehung nicht die Zahl der Ziehungen vergrößern,
sondern die Stichprobe vergrößern.
Wir gehen auf 50 Ziehungen mit einer Stichprobengröße von 50.
Und sie sehen, also eben sind wir bei 900 bis
2600. Wir haben nichts weiter geändert als die Stichprobengröße und wir
sind nicht mal so riesengroß geworden. Wir sind von 25
auf 50 Fälle in der Stichprobe hochgegangen. Und wir sehen,
der Bereich, in dem überhaupt noch beobachtete Werte liegen,
also in der Stichprobe beobachtete Werte, schrumpft massiv zusammen,
also auf etwas über 1200, bis auf irgendwas in der Gegend von 2200.
Wir machen das Ganze jetzt mit einer noch größeren Stichprobe,
nämlich von 100 Fällen, also 50 Ziehungen, 100 Fälle.
Wir haben immer noch einen Fall in der Gegend von 2100,
aber am unteren Rand rutschen wir noch weiter zusammen.
Jetzt muss ich Einmal die Skala ein bisschen verändern,
weil man sonst die Unterschiede nicht mehr sieht. Also sie sehen,
im Moment gehen wir von 600 bis 3000 unten auf der Skala.
Jetzt gehen wir nur noch von 1.200 bis 2.400. Und wieder
ist das Intervall, in dem wir überhaupt noch Stichprobenmaße haben,
deutlich geschrumpft jetzt von ungefähr 1.500 bis etwas über 1.800.
Wir vergrößern unsere Stichprobe nochmal und sehen, das Ganze schrumpft nochmal weiter zusammen.
Was ist die Moral von der Geschichte oder was ist die Botschaft an dieser Stelle?
Die Stichprobengröße hat einen entscheidenden Einfluss darauf, wie genau ich
messe oder wie zuverlässig ich mit meiner Stichprobe den wahren Bevölkerungsparameter treffe.
Wohlgemerkt, ich weiß natürlich, Immer noch nicht faktisch,
ob ich mit meiner konkreten Stichprobe den wahren Bevölkerungsparameter getroffen habe
oder ob ich ihn nicht getroffen habe.
Aber ich weiß, dass bei einer Stichprobengröße von tausend die Wahrscheinlichkeit,
dass ich sehr weit daneben liege, extrem gering ist.
Ich bin normalerweise einigermaßen in der Nähe des wahren Parameters.
Wir wissen, der ist bei 1660. Also hier im Beispiel
weiche ich vielleicht noch um 100 davon ab,
aber eben nicht um 500 und schon gar nicht um
1000. Und das passiert durch die Größe der Stichprobe.
Also hier haben wir einen ganz klaren Effekt der Stichprobengröße
und hier ist das Ganze nochmal aggregiert zusammengetragen
Also als Zusammenfassung der Mittelwert vieler Stichproben entspricht dem wahren Bevölkerungsparameter der Grundgesamtheit.
Diese Aussage ist sogar unabhängig von der Größe der einzelnen Stichproben.
Wenn ich kleine Stichproben habe, ist die Streubreite größer,
aber der Mittelwert aller Stichproben entspricht trotzdem dem wahren Bevölkerungsparameter.
Der Großteil meiner Stichproben ist nahe an diesem wahren Bevölkerungsparameter.
Ich weiß es für die einzelne Stichprobe nicht, aber ich weiß,
dass sie diese Grundeigenschaft hat, in der Nähe des wahren Bevölkerungsparameters zu sein.
Und so komme ich dann eben zu diesen Aussagen,
wo ich sage, okay,
also ich habe jetzt diesen Wert und weil ich diese ganze Geschichte kenne,
kann ich euch sagen,
also mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 Prozent kommt dieser Wert aus einer Grundgesamtheit,
für die das der wahre Bevölkerungsparameter ist, falsch formuliert,
würde man sagen, die Wahrscheinlichkeit,
dass der Wert stimmt, ist 95 Prozent.
Das geht innerhalb des statistischen Modells, das wir hier besprechen, nicht.
Da gibt es ein anderes statistisches Modell, mit dem würde die Aussage so funktionieren. Hier ist die Aussage,
so wie ich sie eben formuliert habe,
also wenn wir den Stichprobenparameter vorliegen haben, dann können wir sagen,
okay, mit der Wahrscheinlichkeit von 95 Prozent,
90 Prozent, 99 Prozent, wie wir das definieren,
dazu kommen wir gleich, kommt dieser Parameter aus einer Grundgesamtheit,
für die genau dieser Parameter gilt und mit einer Restwahrscheinlichkeit stimmt das nicht.
Und dann können wir noch einen Intervallern geben und dann sind wir
so genau, wie wir mit der Statistik werden können.
Und das gilt für jede Wahlumfrage, das gilt für alles,
was wir mit Stichproben, mit Zufallsstichproben,
das ist an der Stelle noch wichtig dazu zu sagen,
wo wir mit Zufallsstichproben arbeiten.
Und ganz wichtig zu wissen, der Schätzfehler wird umso kleiner,
je größer die Stichprobe ist und sie haben gesehen,
Gerade am Anfang, also bei ganz kleinen Stichproben,
zu etwas weniger ganz kleinen Stichproben, da machen wir große Fortschritte.
Nachher, ob ich 1.000 oder 1.500 Leute befrage,
das hat jetzt nicht mehr so viel Einfluss.
Da muss ich schon die Stichprobe deutlich vergrößern,
verdoppeln nochmal oder sogar auf 4.000 gehen,
um dann auch wieder deutliche Erfolge zu erzielen.
Aber grundsätzlich gilt, der Schätzfehler ist umso kleiner,
je größer die Stichprobe ist. Das heißt also,
eine große Stichprobe ist an sich etwas Gutes,
wenn ich ein möglichst genaues Ergebnis erzielen will,
weil einfach mit der Größe der Stichprobe
die Wahrscheinlichkeit
extrem gering wird
Komplett schräge Stichproben zusammenzusammeln. Also wenn ich aus meinen Kugeln,
um dahin noch einmal zurückzuspringen, aus meinem Kugelbehälter,
500 Kugeln ziehe, dann ist die Wahrscheinlichkeit,
ein Ergebnis zu kriegen,
in dem nur zehn rote Kugeln drin sind.
Also die ist dann eigentlich nicht mehr nur theoretisch null,
die ist praktisch null. Und das gilt sogar für 100
Kugeln. Also je größer die Stichprobe,
desto mehr ist der Stichprobenparameter auch wirklich eben in der Nähe
des wahren Bevölkerungsparameters
Damit haben wir den Punkt Normalverteilung und zentraler Grenzwertsatz abgeschlossen.
Jetzt wissen Sie auch, was ich meinte, mit Stichproben ziehen, wieder und wieder und wieder.
Sie haben es gesehen, ich habe Ihnen vorgeführt, diesen Stichprobenziehungsprozess. An der Stelle ist nochmal wichtig,
das habe ich nicht gemacht, weil das die wissenschaftliche Arbeitsweise ist,
sondern weil es erklärt, wie die wissenschaftliche Arbeitsweise funktioniert,
die sagt, auf der Basis einer Stichprobe kann ich eine Aussage,
und jetzt lasse ich den Vorhang mal unten,
kann ich eine Aussage über die Grundgesamtheit machen.
Die Idee, die dahinter steckt, ist die Idee,
die ich Ihnen eben demonstriert habe,
wir ziehen immer wieder Stichproben,
wir kriegen diese Stichprobenverteilung und auf der Basis der Stichprobenverteilung oder mit Hilfe der Stichprobenverteilung kommen wir dann von hier über diese Stichprobenverteilung nach da.
Auch wenn wir die Stichprobenverteilung für unseren konkreten Anwendungsfall da nicht vorliegen haben,
sondern dafür nur einen mathematischen, mathematisches Modell haben.
Aber wir wissen, dass dieses mathematische Modell gilt.
Und das ermöglicht uns auf der Basis der Stichprobe etwas über die Grundgesamtheit zu sagen.
Damit kommen wir jetzt also einen Schritt weiter.
Punkt 3 dieser Vorlesungskonzepte für den Hypothesen-Test. Und zunächst muss
ich Ihnen da aber noch einige Dinge ein bisschen erläutern.
Also, zurück zum Anfang
Um zu erläutern, was machen wir eigentlich bei diesem Hypothesentest?
Am Anfang war die Frage, Politikerbewertungen schwanken zwischen Umfragen,
Parteianteile ändern sich zwischen Umfragen,
Männer und Frauen unterscheiden sich im Durchschnittseinkommen und wir wollen wissen,
ob diese Differenz relevant ist und so weiter.
Also lauter Ergebnisse aus Stichproben, bei denen wir uns fragen,
was sie eigentlich genau bedeuten, wenn man ja zunächst davon ausgehen muss,
dass eine Stichprobe nicht genau die Grundgesamtheit trifft,
sondern verschoben sein kann.
Wir gucken uns das jetzt mal am Beispiel der Einkommensdifferenz zwischen
Männern und Frauen genauer an.
Also die Frage ist, unterscheiden sich Männer und Frauen
in ihrem durchschnittlichen Einkommen
Und wir haben aus unserem Albus ermittelt,
das mittlere Einkommen der Männer liegt bei 1.6606.59 Euro,
das mittlere Einkommen der Frauen liegt bei 1031 Euro,
also zwei Stichprobenparameter.
Grundgesamtheit, 60 Millionen Erwachsene, Deutsche, Stichprobe 3.000,
etwas über 3.000 Menschen im Albus auf der Basis.
Dieser Stichprobe haben wir ermittelt, die Männer verdienen im Durchschnitt
1.659,
die Frauen verdienen im Durchschnitt
Kann ich auf der Basis dieses Ergebnisses jetzt davon ausgehen,
dass es tatsächlich in der Grundgesamtheit einen Unterschied zwischen Männern und Frauen gibt?
Oder ist das dem Stichprobenziehungsprozess geschuldet? Also, was machen
wir? Nochmal die Fiktion, wir ziehen mehrere Stichproben.
Und aus diesen Stichproben bilden wir jetzt wieder diese Verteilung.
Diesmal ist die Verteilung allerdings nicht eine Verteilung der Mittelwerte,
sondern sie ist eine Verteilung der Differenzen.
Also des Einkommensunterschiedes zwischen Männern und Frauen.
Und sie sehen hier in den unterschiedlichen Bildern,
dass der immer so
ein kleines bisschen verändert
Also ganz oben links ist der Unterschied relativ groß,
ganz unten rechts ist ja etwas kleiner und da entsteht wieder diese Verteilung
und auf der Basis dieser Verteilung versuchen wir jetzt die Frage zu beantworten.
Und das geht so. Wir übersetzen das Ganze zunächst in Hypothesen,
nämlich in die sogenannte Nullhypothese, die in aller Regel heißt,
es gibt keinen Unterschied zwischen Männern und Frauen und in die Alternativhypothese.
Es gibt einen solchen Unterschied. Und wenn man das jetzt hier konkret am Beispiel macht,
dann könnte man eben sagen, okay, keine,
also H0 bedeutet keine Ankommensdifferenz zwischen Männern und Frauen.
Das heißt, die Grundgesamtheit müsste eigentlich eine Stichprobe ergeben,
in der keine Differenz zwischen Männern und Frauen vorliegt.
Und bei der Alternativhypothese, es gibt einen Unterschied,
ist die Aussage eben, es gibt eine Einkommensdifferenz zwischen Männern und Frauen.
Also wir ziehen eine Stichprobe aus der Grundgesamtheit, in der es eine Differenz gibt.
Und was wir jetzt prüfen wollen, ist,
welche Hypothese wahr ist, ob die null Hypothese war,
dass es keine Differenz gibt oder keinen bedeutsamen Parameter,
um es noch allgemeiner zu formulieren oder die Alternativhypothese,
das ist einen Unterschied gibt,
von dem wir davon ausgehen können,
dass er nicht nur in der Stichprobe auftritt,
sondern auch in der Grundgesamtheit
Wie machen wir das? Wir zeichnen das Ganze einmal auf.
Unsere Nullhypothese packen wir auf den Nullpunkt. Keine Differenz,
Differenz von Null. Wir haben eine relativ große Differenz beobachtet
und jetzt ist immer noch die offene Frage, ja,
können wir das denn jetzt glauben oder können wir das nicht glauben?
Wenn wir jetzt diesen Stichprobenverteilung da drauf packen,
also die Verteilung aller Differenzen aus allen Stichproben,
dann fangen wir schon
an zu ahnen
Diese beobachtete Differenz liegt so weit von dieser Verteilung weg.
Das ist schon ziemlich unwahrscheinlich, dass wir diese Differenz beobachten würden.
Und jetzt kommen wir wieder in die Sprache rein,
die dieses statistische Modell auch braucht. Es ist schon sehr unwahrscheinlich,
dass wir diese Differenz beobachten in unserer Stichprobe,
wenn für die Grundgesamtheit gelten würde, dass es keine Differenz gibt.
Und jetzt tragen wir mal diese Intervalle ab. Also plus minus
drei Standardabweichungen, 97,7 Prozent aller Stichproben müssen in diesem Intervall liegen.
Wir haben eine Stichprobe, die weit außerhalb dieses Intervalls liegt. Das heißt,
die Wahrscheinlichkeit, dass wir diese Differenz beobachten, wenn für die Grundgesamtheit gilt,
dass es keine Differenz im Einkommen zwischen Männern und Frauen gibt,
ist kleiner als 2,7 Muss ich aufpassen, kleiner als 2,3 Prozent.
Wahrscheinlich ist sie sogar noch kleiner, weil wir sind ja
deutlich mehr als drei Standardabweichungen voneinander entfernt.
Und jetzt sind wir genau an der Stelle,
wo wir solche an der Stelle,
wo wir aussagen können, wie wir solche Schlüsse,
solche Inferenzschlüsse von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit tatsächlich ziehen,
indem wir nämlich genau diesen Vergleich anstellen.
Wir bilden die Differenz,
wir tragen das hypothetische Modell der Gesamtverteilung dieser Differenzen über unserer Differenz
ab und vergleichen dann die Nulldifferenz entsprechend der H0,
mit der beobachteten Differenz und fragen uns,
was gilt die Nullhypothese oder die Alternativhothese
Hier würden wir sagen, okay,
mit einer Wahrscheinlichkeit von knapp 98 Prozent kommt unsere Stichprobe nicht aus einer Grundgesamtheit,
für die die null Hypothese gilt,
sondern sie kommt aus einer Grundgesamtheit, für die etwas anderes gilt,
nämlich, dass es einen Unterschied gibt.
Jetzt ist die nächste Frage noch, okay,
und wie können wir den Unterschied jetzt genau benennen?
Das wird dann noch wieder der nächste Schritt.
Hier ist erstmal nur der Schritt, was stimmt eher?
Die Nullhypothese oder die Unterschiedshypothese und hier können wir ganz klar sagen,
also die Wahrscheinlichkeit, dass die Unterschiedshypothese gilt, ist sehr, sehr,
sehr viel größer als die, dass die Nullhypothese gilt.
Also wir würden auf der Basis unserer Daten davon ausgehen,
dass der Unterschied zwischen Männern und Frauen,
denen wir in der Stichprobe gefunden haben,
auch in der Grundgesamtheit gilt also,
dass wir ein Ergebnis in der Stichprobe gefunden haben,
dass wir auf die Grundgesamtheit anwenden können.
Das Ganze müssen wir jetzt noch ein kleines bisschen
mit dem Konzept der sogenannten Set-Transformationen standardisieren. Unter anderem,
damit wir aus der Notwendigkeit herauskommen, jedes Mal über Integralrechnung
und so weiter, diese Flächen berechnen zu müssen.
Dazu führen wir diese Z-Standardisierung durch und im Anschluss werde ich
dann mit Ihnen nochmal diskutieren, was eigentlich ein Ein- und ein zweiseitiger Hypothesentest ist.
Also Sie sehen ja hier, die Differenz geht deutlich in
die eine Richtung
Könnte natürlich auch in die andere Richtung gehen. Da haben sie schon die beiden Seiten,
über die wir beim einen oder zweiseitigen Hypothesen-Test reden und dann kommen wir
zu Konzepten wie Aussagesicherheit und Fehlerwahrscheinlichkeit und zum Standard Fehler,
also nicht zur Standardabweichung, sondern zum Standard Fehler oder auch auf Englisch Standard Error,
aber alles der Reihe nach.
Also wir sind wieder an dem Punkt,
dass wir die Glaubwürdigkeit einer beobachteten Differenz beurteilen wollen und
wir machen das jetzt mit Hilfe der Standardisierung
Vorwegzunehmen, warum machen wir diese Standardisierung?
Naja, unsere Verteilungen haben zunächst alle möglichen Eigenschaften.
Der Mittelwert liegt irgendwo, die Standardabweichung liegt irgendwo.
Und wir transformieren alle diese Verteilungen so, dass sie der Standard-Normalverteilung entsprechen.
Also der Mittelwert ist null. Und die Standardabweichung ist tatsächlich bei
1. Zunächst würden unsere Stichprobenparameter ja entsprechend der Welt ausfallen, aus der sie kommen.
Also sie würden die Einkommensdifferenz liegt eben nicht bei null,
sondern sie liegt bei, jetzt habe ich es schon wieder vergessen,
Irgendwas mit 600 zwischen Männern und Frauen, der Mittelwert,
der Einkommen der Männer liegt nicht bei null, sondern bei 1600.
Aber damit wir das sozusagen vor dem Hintergrund dieser Flächen unter
der Standard-Normalverteilung, die ich Ihnen vorhin gezeigt habe,
beurteilen können, standardisieren wir das Ganze.
Das ändert ja an der Substanz nichts, es schiebt einfach
nur die Daten so ein bisschen rum und macht uns das Nachdenken darüber leichter.
Was bedeutet also Z-Standardisierung? Stellen Sie sich vor,
wir haben eine Verteilung, was immer das hier ist,
deren Mittelwert ist vier und die Standardabweichung
Ja, es ist irgendwas in der Gegend von 1.
Diese Verteilung wollen wir jetzt standardisieren oder Z standardisieren.
Das heißt, wir wollen erreichen, dass aus einer Verteilung,
die so aussieht wie diese hier aussieht,
Mittelwert 4 und irgendeine Standardabweichung, eine Standard-Normalverteilung wird.
Für die gilt der Mittelwert ist null und die Standardabweichung ist eins.
Das heißt also,
zunächst ziehen wir von jedem einzelnen Wert in dieser Verteilung,
also in diesen Stäbchen stecken jetzt ja wieder entsprechend dem Stapelbeispiel vorhin einzelne Werte.
Wir ziehen von jedem einzelnen Wert den Mittelwert ab und schieben
auf diese Art und Weise die Kurve von dem Ort,
an dem
sie war
Zum Nullpunkt. Klar, wenn wir von jedem einzelnen Wert
den Mittelwert abziehen, dann rutschen wir genau an diesen Punkt.
Damit es jetzt weiter gut betrachtbar bleibt,
schiebe ich das Ganze einmal zurück in die Mitte,
damit wir sozusagen nach rechts und links wieder gleich viel Platz haben.
Also der erste Schritt der Standardisierung ist immer das Abziehen
des Mittelwertes einer Verteilung von jedem einzelnen Wert,
damit die Verteilung nicht mehr um irgendeinen Punkt zentriert ist,
sondern um den Nullpunkt zentriert ist.
Denn wir wollen ja in Richtung Normalverteilung und die Normalverteilung
ist um den Nullpunkt zentriert.
So, dann haben wir natürlich noch einen zweiten Schritt
Dass wir, jetzt habe ich kurz die Koordinanten vervollständigt,
dass wir nicht nur um den Nullpunkt zentriert sein wollen,
sondern wir wollen eben auch eine Standardnormalverteilung haben.
Also die Standardabweichung in dieser Verteilung ist eins. Das heißt,
gegebenenfalls müssen wir unsere Werte ein bisschen auseinanderziehen oder stauchen.
Und das erreichen wir, indem wir jeden Einzelnen der Werte,
die jetzt noch übrig sind, durch die Standardabweichung der Verteilung teilen,
aus der die Werte kommen.
Und das ist dann sozusagen der zweite Schritt der Standardisierung,
der führt in diesem Falle dazu,
dass das Ganze ein bisschen auseinandergezogen wird.
Und das sehen sie jetzt. Und jetzt haben sie auch
ungefähr den Eindruck zwischen minus eins und plus eins,
das könnten ungefähr 68 Prozent der Fälle sein zwischen minus zwei und plus zwei.
Das könnten ungefähr 95 Prozent der Fälle sein und
so weiter.
Also nochmal zurück
Um mit jedem x-beliebigen Wert, den wir empirisch beobachten,
irgendwelche Mittelwerte, irgendwelche Regressionskoeffizienten,
um mit denen diese Überlegungen anstellen zu können,
die ich eben mit der Differenz zwischen den Einkommen der Männer und der Frauen angestellt habe.
Und um das auf möglichst einfache Art und Weise tun zu können,
arbeiten wir nicht mit den Normalverteilungen, die diese Daten jeweils ergeben,
sondern wir arbeiten mit der Standardnormalverteilung und Standardnormalverteilung heißt eben nicht irgendein Mittelwert und irgendeine Standardabweichung,
aber diese Glockenkurve, sondern diese Glockenkurve und es kommt hinzu,
Mittelwert null Standardabweichung gleich eins.
Und um das zu erreichen, ziehen wir also von all
den Stichprobenparametern den gemeinsamen Mittelwert ab.
Das heißt, wir schieben die Kurve einmal
Auf den Nullpunkt, dann schieben wir das Ganze wieder zurück in die Mitte, vervollständigen.
Einmal unsere Skala und jetzt teilen wir jeden einzelnen Wert nochmal
durch die Standardabweichung dieser Verteilung aller Stichproben.
Und denen das in diesem Fall ein bisschen aussieht,
haben jetzt aus unserer ursprünglichen Verteilung der Stichprobenwerte eine Standard-Normalverteilung der Stichprobenwerte gemacht.
Wichtig an dieser Transformation ist die relative Lage aller Punkte
zueinander und das ist ja das, was uns interessiert.
Die relative Lage aller Punkte zueinander Verändert sich überhaupt nicht.
Was sich verändert, ist einfach die Skala, auf der das Ganze stattfindet.
Und wir haben es auf die Skala gebracht,
die uns ermöglicht, ganz schnell zu sehen,
wo sind 68 Prozent aller Fälle, 95,
99 und so weiter, weil wir in der Standard-Normalverteilung wissen,
für die gilt minus eine Standardabweichung bis plus eine Standard,
da war ich um 68 Prozent aller Fälle und so weiter.
Also da hatten wir begonnen, hier sind wir gelandet und
jetzt sind wir im Prinzip fast vollständig mit dem Instrumentarium ausgestattet,
um Diese Inferenzschlüsse machen zu können.
Hier haben Sie jetzt noch mal die Formel.
Z-I ist sozusagen der standardisierte Wert für jeden einzelnen Wert.
Der ergibt sich aus x-i-x quer. Und dabei ist x
quer jetzt nicht dieser Durchschnitt, sondern der Durchschnitt aller Stichproben.
Also die standardisierten Werte sind x-i-x quer durch S. Und ich
zeige Ihnen das Ganze noch mal kurz an einem Rechenbeispiel,
wie das aussehen würde. Also oben noch mal die Formel.
Z-I ist gleich x-i durch x-quer gesamt durch die Standardabweichung gesamt.
Wir haben also hier Eine Reihe von Stichprobendifferenzen zwischen Männern und Frauen 250,
300, 350 und so weiter. Und wenn wir das Ganze standardisieren,
also für jeden einzelnen Wert, xi minus x quer,
xquer sehen Sie da unten, 500,
geteilt durch die Standardabweichung 185, dann kommen diese Werte hier drüben raus,
minus 1,6 bis plus 1,6. Und da sehen Sie jetzt genau das,
was Sie eben auch bei meinem Hin- und Hergeschiebe der Glockenkurve gesehen haben.
Wir kommen von einem Wertespektrum von 250 bis 750,
also weit weg von der Null und auch einem relativ breit ausgestreckten Wertespektrum hin zu dem Spektrum,
das wir eben brauchen für die Standard-Normalverteilung.
Wir sind in der Mitte bei Null und streuen mit den Werten,
die wir beobachten, jetzt irgendwie bis in die Gegend von zwei,
wenn wir ein paar mehr Stichproben gezogen hätten,
wäre vielleicht auch noch ein Wert von minus 3 oder plus 4,5 dabei und dann wird es eben auch wieder selten.
Also das Ganze hier im Bild und das ist das,
was denen zugrunde liegt, also diese Differenzen werden so zu standardisierten Differenzen.
Wir hatten auch über standardisierte Residuren gesprochen,
das passiert auf die gleiche Art und Weise,
die Residuren werden durch ihren Mittelwert und durch die Standardabweichung der Residuren geteilt,
genau das ist das, was hier passiert,
um aus ursprünglichen Rohwerten sozusagen Z standardisierte Werte zu machen,
wie wir vor dem Hintergrund der Interpretationsfolie Standard-Normalverteilung sehr leicht interpretieren können.
Genau, hier nochmal, wie die Werte genau zustande kommen.
250 minus 500 durch 158. Und das gilt dann eben für
die ganze Reihe runter, bis zu den letzten Werten.
Und nochmal, die Relation zwischen den Punkten, Reihenfolge,
Abstände, Mittelpunkt bleiben komplett erhalten. Das Einzige,
was wir verschieben, ist, wo der Haufen liegt.
Aber nicht wie der Haufen an sich aussieht. So,
Diese Z-Werte beurteilen wir jetzt anhand oder die Z-Werte,
der Z-Wert, den wir jetzt für eine konkrete Stichprobe berechnen.
Den beurteilen wir anhand sogenannter kritischer Z-Werte und die kritischen Z-Werte
haben jetzt wieder eine feste Bindung an die Flächen unter der Normalverteilung.
Auf der Basis machen wir dann auch eine Aussage darüber,
ob unser H0 richtig ist oder ob unsere Alternativhypothese richtig ist.
Dafür legen wir zunächst fest, wie sicher unsere Aussage sein sollen.
In den Sozialwissenschaften hat sich etabliert zu sagen, naja,
ich möchte gerne eine Aussagesicherheit von 90,
95 oder 99 Prozent,
wo sie dann landen,
hängt unter anderem davon ab
Ob sie kleine oder große Stichproben haben,
also sie machen ländervergleichende Studien,
da haben sie ohnehin nicht so viele Länder,
da würden sie dann wahrscheinlich eher 90 Prozent Aussagesicherheit erreichen wollen,
weil sie aufgrund der kleinen Stichprobe ohnehin relativ breite Intervalle haben,
wenn sie Bevölkerungsstichproben haben mit 1.000, 2.000, 3.000 Fällen,
dann haben sie in der Regel überhaupt kein Problem mit dem 99-Prozent-Niveau der Aussagesicherheit zu arbeiten,
weil sie aufgrund der großen Stichprobe trotzdem relativ enge Streuintervall haben.
Also wir legen fest, wie weit eine Beobachtung,
die wir tatsächlich machen, von der Nullhypothese entfernt sein darf oder soll,
damit wir Wir glauben,
dass die Alternativhypothese für die Grundgesamtheit gilt oder dass die Alternativhypothese nicht für die Grundgesamtheit gilt.
Und dazu werden eben die zu diesen Prozentwerten passenden Z-Werte,
also die Werte auf der Normalverteilungsachse berechnet.
Und dann können wir einfach ganz direkt an diesen Z-Werten ablegen.
Stimmt jetzt ablesen. Stimmt jetzt meine Nullhypothese. Oder stimmt,
meine Alternativhypothese. Formulierung, die Sie bitte nicht verwenden sollten,
verwenden Sie bitte Formulierungen wie, wir haben empirische Evidenz,
die für die Nullhypothese spricht oder die gegen die Nullhypothese spricht,
sagen Sie nicht,
ich habe die Hypothese bestätigt
Sagen sie nicht, ich habe die null Hypothese abgelehnt,
sondern formulieren sie vorsichtiger, weil wir ja immer noch eine Unsicherheit
da drin haben und die Unsicherheit kommt am besten zum Ausdruck,
indem ich sage, meine empirische Evidenz spricht dafür,
dass für die Grundgesamtheit die null Hypothese gilt.
Meine Evidenz spricht dafür, dass für die Grundgesamtheit die Alternativhypothese gilt.
Dann sind sie faktisch richtig, aber auch sozusagen auf dem
abstrakteren Niveau der Logik dieser Statistik auf der richtigen Seite. So,
und wenn wir also eine statistisch bedeutsame Abweichung von diesem Nullpunkt haben,
also wenn wir einen dieser Grenzwerte überschreiten, dann sagen wir,
das ist Evidenz für die Alternativhypothese oder die empirische Evidenz unterstützt die Interpretation Komma das.
Und diese kritischen Werte habe ich jetzt hier nochmal eingetragen,
Sie sehen, die Intervalle sind jetzt etwas anders gebildet,
jetzt frage ich nicht, zwischen minus 1 und plus 1 als Standardabweichung,
wie viel Fläche liegt da drüber,
weil das so krumme Werte sind, sondern wir sagen jetzt,
okay, ich möchte eine Fläche von 90 Prozent,
welche Standardabweichungsgrenzen muss ich da denn eigentlich setzen?
Und da sehen wir jetzt hier an der Abbildung,
wenn ich 90 Prozent will,
dann geht mein Intervall von 1,645 von minus 1,645 Standardabweichungen bis plus 1,645 Standardabweichungen
Wenn ich mit meiner Aussage Sicherheit 95 Prozent erreichen will,
dann geht mein Intervall von minus 1,96 bis plus 1,96.
Wenn ich noch sicherer werden will mit meiner Aussage,
dann geht mein Intervall von minus 2,58 bis plus 2,58.
Und die Idee wäre jetzt eben,
wenn Sie noch mal kurz an die Grafik mit den Differenzen vorhin zurückdenken,
wenn ich also eine standardisierte Differenz beobachte,
die größer ist als 2,58 oder kleiner ist als minus 2,58.
Also die zum Beispiel bei 4 oder minus 4 liegt,
dann würde ich sagen, ach,
ich möchte eine Aussagesicherheit von 90 Prozent erreichen.
Ich habe eine standardisierte Differenz dem Wert 4 beobachtet. 99 Prozent Aussagesicherheit bedeutet,
alle Differenzen größer als 2,58 oder kleiner als minus 2,58,
haben eine Auftretenswahrscheinlichkeit von kleiner 1 Prozent.
Ich betrachte dieses Ergebnis so, dass ich sage,
meine empirische Evidenz spricht sehr viel stärker für die Alternativhypothese als für die Nullhypothese.
Das heißt, auf der Basis meiner Stichprobe würde ich sagen,
diese Stichprobe stammt mit sehr großer Wahrscheinlichkeit aus einer Grundgesamtheit,
für die die Alternativhypothese gilt und nicht die Grundgesamtheit.
Das Ganze nochmal kurz als Tabelle
In der letzten Spalte sehen sie, ob sie für die
jeweiligen Wertepaare ein Bild hatten oder nicht. Und sie sehen,
also dreimal hatten sie eins und einmal hatten sie keins,
aber die Idee ist genau die der Grafiken, welche Fläche,
die ich links von diesem entsprechenden kritischen Zwetwert,
welche liegt rechts davon, welche liegt dazwischen.
Das ist die letzte Folie für heute. Standardisierung bedeutet also,
dass wir unsere Werte so transformieren, dass sie der Standard-Normalverteilung entsprechen.
Wir haben dann empirische Z-Werte, also die Z-Werte,
die wir beobachtet haben, nachdem wir unsere Daten standardisiert haben,
wir haben die kritischen Setwerte, das sind die Z-Werte,
von denen wir sagen, wenn wir die über- oder unterschreiten,
dann macht das einen Unterschied mit Blick auf die Null- oder die Alternativhypothese.
Und damit will ich sie für heute wirklich erstmal in Ruhe lassen.
Wir sehen uns dann am Montag, um über diese Dinge zu sprechen,
um ein paar Quizfragen zu beantworten, wie immer.
Und in der nächsten Woche setzen wir an dieser Stelle
dann fort und schauen jetzt nochmal für ganz konkrete Statistiken,
wie sich diese ganze Z-Denke denn nun wirklich konkret übersetzen lässt für Differenzen, für Mittelwerte.
Und am Ende zum Beispiel auch für Regressionskoeffizienten,
um dann für all diese Dinge Aussagen zu treffen können,
wenn ich diesen Stichprobenparameter habe, dann ist es sehr wahrscheinlich oder sehr unwahrscheinlich,
dass in meiner Grundgesamtheit Folgendes gibt.
Jetzt erst mal passen Sie gut auf sich auf,
bleiben Sie gesund. Wir sehen uns demnächst wieder,
Ihr Kai Wischnapp