Liebe Studierende, willkommen zurück zu Methoden 2, quantitative Analyseverfahren.
Ich bin Kai Geschnapp und wir befinden uns inzwischen in der sechsten Vorlesungswoche
und kommen damit beim Thema Wahrscheinlichkeitsverteilung und schließende Statistik an und
wollen uns heute mit dem ersten Teil dieses Themas befassen.
Worum soll es gehen? Ich möchte Ihnen zunächst an kurzen Beispielen das Problem vorstellen,
dass wir in den nächsten drei Wochen grundsätzlich traktieren wollen.
Dann werden wir über die Normalverteilung sprechen.
Sie erinnern sich, ich hatte die am Ende der letzten
Vorlesung auf dem alten 10-Mark-Schein
Zeigt, also diese gausche Normalverteilung, diese gausische Glockenkurve und wir
werden über etwas sprechen, das nennt sich zentraler Grenzwertsatz.
Und im Kontext bei der Begriffe werden wir Stichproben ziehen und
nochmal Stichproben ziehen und nochmal Stichproben ziehen,
um zu lernen, wie die Logik dieser Inferenzstatistik funktioniert.
Danach sprechen wir über das Konzept des Hypothesentestens,
also über das statistische Konzept des Hypothesentestens,
werden dann konkret über Hypothesentests für Mittelwertunterschiede sprechen,
werden die Begriffe Punktschätzer und Vertrauensintervall
Dazu dann natürlich später mehr. Und wir enden in der
dritten Sitzung zum Thema Inferenzstatistik dann mit einem Rückblick auf die Regression.
Sie erinnern sich, da waren einige Punkte offen geblieben.
Da hatte ich immer so ein Kästchen drüber gedeckt und hat gesagt, das machen wir später.
Und dieses später wird dann am Ende dieser drei Sitzungen Inferenzstatistik sein,
weil wir dann die Voraussetzungen haben, um über das zu sprechen,
was in diesen Kästchen zu sehen ist.
Zunächst Was ist das Problem, über das wir hier sprechen wollen?
Oder was ist das Problem, über das wir sprechen,
wenn wir von Inferenzstatistik sprechen? Wir sehen zum Beispiel,
dass Politiker, Politikerinnen, Bewertungen schwanken zwischen Umfragen.
Aber sind diese Schwankungen, die wir da sehen? Und wenn wir von Umfragen sprechen,
dann meinen wir ja 1000, 2000 Leute,
sind diese Schwankungen, die wir sehen, dadurch bedingt,
dass die Stichprobe von einem zum nächsten Mal nicht komplett die
gleiche gewesen ist und dadurch sich einfach etwas verschoben hat oder sind die Schwankungen dadurch bedingt,
dass sich wirklich in der Bevölkerung, also in der Grundgesamtheit,
die dieser Stichprobe zugrunde liegt,
etwas geändert hat.
Wie können wir uns da sicher sein? Das ist genau die Frage,
die wir uns stellen und die wir wo wir in dieser Vorlesung
Mittel kennenlernen wollen, um die Frage einigermaßen solide zu beantworten.
Oder wir nehmen den Albus her und stellen fest,
das Durchschnittseinkommen der Frauen ist geringer als das Durchschnittseinkommen der Männer.
Liegt das jetzt an der Stichprobe oder ist das wirklich
auch etwas, das wir in der Grundgesamtheit so finden?
Und zurück zu den Umfragen. Der Klassiker ist ja immer
die Sonntagsfrage und dann bewegt sich die eine Partei ein kleines
bisschen nach oben und die andere ein kleines bisschen nach unten.
Und wieder ist die Frage,
ist diese Veränderung eigentlich der veränderten Stichprobe geschuldet oder ist es eine Veränderung,
von der wir sagen können, ja,
da ist tatsächlich in der Grundgesamtheit etwas passiert oder mit einiger Wahrscheinlichkeit.
Also wie dürfen wir diese Schwankungen interpretieren? Wir gucken uns
das Ganze nochmal am grafischen Beispiel an. Also hier,
Einkommen von Männern und Frauen auf der Basis des Albus.
Die Boxplot-Grafik kennen sie inzwischen
Wissen, wie sie zu lesen ist.
Und in dem Sinne sehen sie auch sofort, aha,
die Box der Männer ist ein ganzes Stückchen weiter oben als die Box der Frauen.
Also da ist offensichtlich ein Unterschied. Die unteren Whisker ändern,
enden an einer sehr ähnlichen Stelle. Also wahrscheinlich beide bei
Null. Der obere Whisker der Männer endet aber viel weiter
oben als der obere Whisker der Frauen und so weiter.
Also wir sehen hier in der Stichprobe offensichtlich Einkommensunterschiede und wieder die Frage,
okay, aber sind das Einkommensunterschiede nur in der Stichprobe?
Oder sind es Einkommensunterschiede, von denen wir sagen können,
ja, die gelten auch in der Grundgesamtheit.
Und dann wieder zurück zu den Parteien
Ist jetzt nicht die Wahlfrage, sondern die Fragung der Bewertung
der Parteien. Also wie schätzen Sie die Arbeit der Parteien
ein auf einer Skala von minus 5 bis plus 5?
Und dann haben wir hier zum Beispiel für die AfD einen
langen Trend von 2014 bis 2017, wo man sagen würde,
okay, hier hat sich so viel verändert.
Das ist bestimmt wirklich auch eine Änderung in der Bevölkerungsmeinung.
Aber eben, wir sagen bestimmt, wir sagen nicht, wir wissen das genau.
Also gibt es Mittel, um das genauer feststellen zu können?
Und wie ist es dann da oben,
wenn sich bei SPD und CDU die Einschätzung zwar immer mal so ein bisschen ändern,
dann sprechen sie mal nach oben, dann springen sie mal nach unten.
Aber gerade dieses Hin und Her Sieht ja schon so ein bisschen danach aus,
als hätte das vielleicht wirklich mit der Stichprobe zu tun.
Also wie können wir uns sicher sein, ob das,
was wir da als Änderung sehen, auch wirklich Änderungen sind,
hier ein ähnlicher Abschnitt bei den Grünen und hier ein ähnlicher Abschnitt bei der Linkspartei,
wo man also nicht so genau weiß.
Und nochmal eine andere Variable und dann ist es auch erstmal
gut mit den einführenden Beispielen.
Die Bundeskanzlerin Merkel macht ihre Arbeit eher gut oder eher schlecht gemessen seit
2005. Wir alle wissen, wie lange Angela Merkel inzwischen schon
im Amt ist. Und auch hier haben wir wieder Phasen,
wo die Einschätzung so ein bisschen nach oben und nach unten
Die Frage ist, sind das wirklich reflektiert,
dass wirklich Einstellungsänderungen in der Bevölkerung und dann haben wir hier einen kräftigen Einbruch der Einschätzung,
dann geht es wieder deutlich nach oben,
wo man wahrscheinlich sagen würde, ja,
da hat sich tatsächlich auch in der Grundgesamtheit was geändert und dann kommt wieder eine Phase der relativen Stabilität und nochmal eine Phase eines starken Trends und immer die Frage,
okay, wenn wir da eine Differenz sehen,
können wir uns eigentlich sicher sein,
dass es eine Differenz in der Grundgesamtheit ist oder ist das nicht.
Also, was suchen wir? Wir suchen die Möglichkeit einer begründeten Aussage über etwas,
das in der Grundgesamtheit oder in einer Grundgesamtheit passiert.
Wir haben aber nur eine Stichprobe, ist aus dieser Grundgesamtheit
gezogen, aber es ist eben nur eine Stichprobe.
Und wir wissen nicht so genau, passt diese Stichprobe jetzt oder passt die nicht.
Was wir auch haben, und das ist das,
was ich Ihnen insbesondere heute nahe bringen will, ist eine Vorstellung darüber,
was passiert, wenn wir immer Widerstichproben ziehen würden.
Das tun wir natürlich faktisch nicht. Wir ziehen eine Stichprobe,
aber wir können theoretisch modellieren, was passieren würde,
wenn wir immer wieder Stichproben ziehen.
Und genau das nutzen wir, um auf der Basis unserer einen Stichprobe,
die wir faktisch nur gezogen haben, eine Aussage über diese Grundgesamtheit zu ziehen.
Bevor wir weitergehen, will ich Ihnen die Idee,
die hier dahinter steckt, noch einmal kurz an der Tafel
näher bringen
So, was passiert? Im Prinzip ist die Idee folgende.
Wir haben eine Grundgesamtheit und irgendein Merkmal X, sagen wir das Einkommen.
Und in der Grundgesamtheit verteilt sich das Einkommen vielleicht irgendwie so.
Und über diese Grundgesamtheit wollen wir Aussagen treffen. Zum Beispiel,
ob sich in dieser Grundgesamtheit die Einkommen von Männern und Frauen unterscheiden.
Jetzt ist aber das große Problem. Wir wissen,
dass es eine Grundgesamtheit gibt, aber wir haben keine Messwerte
für die Grundgesamtheit.
Was wir haben
Sind Messwerte für eine Stichprobe? Also zum Beispiel der Albus.
Stichprobe. Ja. Ja. Ja. Ja. Ja
. Ja. Ja. Ja. Ja. Ja.
Ja. Ja. Ja. Ja. Ja. Ja
. Ja. Ja. Ja. Ja. Ja.
Ja. Ja. Ja. Ja. Ja. Ja
. Ja. Ja. Ja. Ja. Ja.
Ja. Ja. Ja. Ja. Ja. Ja.
Ja. Ja. Ja. Ja. Ja. Ja. Ja,
ja, ja, ja, ja, ja, ja,
ja. ... ... ... ... ... ... , , , ...
... , ... , ... , . ...?. .
.... . ...., . ... . . .
... .........?. ..... . . ...?.
.....?.?. ... ..?..............
Ist die Vorstellung darüber, was passiert, wenn wir
immer wieder Stichproben ziehen. Und diese Vorstellung darüber,
was passiert, wenn wir immer wieder Stichproben ziehen,
die hilft uns auf der Basis der Stichprobe,
eine Aussage über die Grundgesamtheit zu machen.
Allerdings mit der Einschränkung, dass wir nur noch von wahrscheinlichen Ergebnissen sprechen können,
dass wir nicht mehr sagen können, das ist das Ergebnis.
Wie funktioniert es? Sagen wir, in der Stichprobe,
die wir konkret vorliegen haben, Ist der Mittelwert des Einkommens,
das wir hier gemessen haben, ungefähr hier.
Wenn wir aus dieser Grundgesamtheit immer wieder Stichproben ziehen,
und das werde ich Ihnen heute in größerer Ausführlichkeit noch in unterschiedlichen Darstellungen erzählen.
Wenn wir aus dieser Grundgesamtheit immer wieder Stichproben ziehen würden,
passiert Folgendes. Wir kriegen hier eine Verteilung. Wir kriegen hier
eine Verteilung von Mittelwerten zum Beispiel. Also unsere erste Stichprobe,
wir haben hier einen Mittelwert und wir ziehen eine Stichprobe nach der anderen.
Und dann kriegen wir eine Verteilung, dieser Stichprobenmittelwerte und sie sehen schon,
diese Verteilung sieht so aus, weil es die echte Einkommensverteilung ist.
Dieses ist nicht mehr die Einkommensverteilung, sondern es ist die Verteilung der Mittelwerte,
die wir über unterschiedliche Stichproben gezogen haben oder wo wir uns zumindest überlegen können,
wie dieser Prozess funktionieren würde. Und die Idee ist,
dass wir also auf der Basis dieser Stichprobe vermittelt über das,
was hier als Modell passiert,
dann eine Wahrscheinlichkeitsbasierte Aussage über die Grundgesamtheit treffen können.
Das heißt, obwohl wir die Grundgesamtheit eigentlich nicht sehen oder nicht vollständig messen,
weil es zum Beispiel zu teuer ist,
obwohl wir nur eine Stichprobe gemessen haben, können wir vermittelt über dieses Wahrscheinlichkeitsmodell
Und das ist das, was ich Ihnen heute näher bringen möchte,
am Ende doch eine Aussage über die Grundgesamtheit treffen.
Und da steigen wir jetzt in weitere Details ein.
Also wie funktioniert das Ganze? Zunächst möchte ich Sie bitten mit mir
ein kleines Gedankenexperiment zu machen. Stellen Sie sich vor,
vor Ihnen steht ein Behälter mit sehr vielen roten und grünen Kugeln.
Die genaue Anzahl der Kugeln ist im Moment uninteressant.
Sie ziehen ohne zu schauen vier Kugeln, also eine Stichprobe.
Alle Kugeln sind grün. Und jetzt sage ich, okay,
Sie haben aus der aus dem Behälter mit sehr vielen Kugeln, vier Kugeln gezogen.
Sie haben vier grüne Kugeln rausgezogen, wenn jetzt die Frage ist,
wie ist das Verhältnis von roten zu grünen Kugeln in dem Behälter?
Was würden Sie sagen? Überlegen Sie einfach mal kurz
für sich, was Ihre Antwort wäre?
Das weiß ich nicht. Alle Kugeln in dem Behälter sind grün,
ich habe ja schließlich vier Grün rausgeholt.
Wahrscheinlich sind fast alle Kugeln in dem Behälter grün,
auf der Basis einer so kleinen Stichprobe kann man darüber nichts zuverlässiges sagen.
Oder es sind mit großer Wahrscheinlichkeit mehr Grüne als rote Kugeln enthalten.
Gehen Sie mal kurz in sich und überlegen, okay,
da ist ein großer Behälter,
da sind Kugeln drin
Ich ziehe hier, die sind alle grün,
was würde ich auf der Basis dieser Stichprobe von den Antworten,
die hier gegeben sind, sagen.
Ich hoffe, dass Sie sich einigermaßen festgelegt haben,
denn ich habe noch eine zweite Frage für Sie.
Vorhin steht immer noch der gleiche Behälter.
Jetzt ziehen Sie aber nicht nur vier Kugeln,
sondern sieht sie in 64 Kugeln aus dem Behälter.
Und davon sind 1.30 Uhr rot und 33 grün.
Und wieder ist die Frage,
wie ist das Verhältnis rot zu grün in dem Behälter
Was sagen Sie? Das weiß ich auch jetzt nicht.
Ich habe ja nur eine Stichprobe gezogen und eben nicht den ganzen Behälter ausgezählt.
Wahrscheinlich in etwa ausgewogen. Vielleicht sind ein bisschen mehr grüner
als rote Kugeln. Wahrscheinlich in etwa ausgewogen,
wahrscheinlich etwas mehr, eventuell etwas mehr roter als grüne Kugeln.
Oder es sind mit großer Wahrscheinlichkeit mehr grüner als rote Cookinghandhalten.
Also was ist jetzt an dieser Stelle
Ihre Intuition
Wenn ich nach dem gehe,
was, und das ist eine der Quizfragen,
die tatsächlich nur im Verlauf einer Vorlesung so richtig ihren Sinn entfalten kann,
wenn ich nach dem gehe,
was in den letzten Jahren an dieser Stelle immer passiert ist,
dann war bei dem Vierkugelbeispiel die überwiegende Antwort,
keine Ahnung, die Stichprobe ist viel zu klein.
Und bei diesem Beispiel war dann doch die Bereitschaft relativ groß zu sagen,
oh, das ist schon eine passable Stichprobe,
die sind 50-50 verteilt
Wahrscheinlich werden die ungefähr gleich verteilt sein. Warum mache ich
dieses Spiel mit ihm? Ich mache dieses Spiel mit ihnen,
weil es zeigt, dass viele von ihnen,
die meisten von ihnen in der Regel,
schon ein ganz gutes, intuitives Verständnis von dem haben,
was bei diesem Stichprobenziehen passiert, worauf es zum Beispiel auch ankommt,
nämlich auf die Größe von Stichproben.
Die müssen eine gewisse Größe erreichen, damit diese ganze Logik funktioniert.
Das heißt, alles, was ich ihm jetzt erläutere und
was vielleicht an manchen Stellen auch kompliziert erscheint,
ist eigentlich intuitiv in ihrem Denken durchaus schon enthalten.
Und was wir jetzt machen,
ist gar nicht etwas komplett Neues zu entwickeln,
sondern das Ganze vielleicht nur etwas formaler zu fassen oder etwas formaler auszudrücken auf der Basis dessen,
was sie hier als Intuition mit einiger Wahrscheinlichkeit jetzt eben auch
schon mitgebracht haben.
Also nochmal
An der Stelle etwas systematisiert rote und grüne Kugeln. Der Prof sagt,
vor Ihnen steht ein Behälter mit sehr vielen roten und grünen Kugeln,
Sie ziehen 64, eine Stichprobe, davon sind 31 roten und 33 grün.
Was ist das Verhältnis von Rot und Grün in dem Behälter, also in der Grundgesamtheit?
Unser Behälter ist in diesem Falle die Grundgesamtheit. Wichtig ist an der Stelle,
wenn Sie sich diese Frage anschauen,
die unterscheidet sich in der Struktur überhaupt nicht von der Frage nach der Einschätzung Merkels,
nach den Einkommensdifferenzen von Männern und Frauen,
nach den Parteianteilen und so weiter.
Es ist immer die Idee, wir haben eine Grundgesamtheit,
über die möchten wir etwas sagen,
wir haben eine Stichprobe über die können wir etwas sagen und
jetzt ist die Frage und da sind wir auch wieder bei diesem Bild hier.
Wie kommt die, wie kommt das beides zusammen oder wie
können wir auf der Basis der Stichprobe eben über diese Grundgesamtheit eine Aussage treffen?
Studi sagt, ja, weiß ich nicht. Sagt der
Professor nochmal, okay, ich habe vielleicht ein bisschen falsch formuliert.
Ich habe gesagt, wie ist das Verhältnis von Rot und Grün?
Das kann ich natürlich auf der Basis einer Stichprobe so definitiv wirklich nicht sagen.
Wie ist wahrscheinlich das Verhältnis von Rot und Grün in der Stichprobe?
Studi? Naja, ja, vielleicht so annähernd gleich
Ja, wahrscheinlich, Ausrufezeichen, annähernd, Ausrufezeichen, gleich.
Das ist genau die Grunddenke dieser Inferenzstatistik.
Die Denke des Schließens von einer Stichprobe auf die Grundgesamtheit,
dass wir mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit und in einem gewissen Streubereich
deswegen annähernd eine Aussage auf der Basis der Stichprobe über die Grundgesamtheit treffen können.
Nachdem der Prof das gesagt hat,
fragt der Studi und gibt es oder die Studine
Und gibt es eine Möglichkeit, diese Wahrscheinlichkeit genauer zu fassen?
Und die Antwort ist natürlich, wozu hätten wir sonst MM2?
Aber bevor wir jetzt weiter mit den Stichproben arbeiten können,
müssen wir uns ganz kurz einen Moment lang Wahrscheinlichkeit und Wahrscheinlichkeitsdichten anschauen.
Einige von Ihnen, viele von Ihnen, das weiß ich nicht genau,
werden in der Schule auch im Abi Mathe gemacht haben
und werden dort schon mit Wahrscheinlichkeitsrechnungen konfrontiert gewesen sein.
Das, was ich Ihnen jetzt zeige,
ist wirklich das Basisbasisniveau dessen,
was Sie da in der Schule gemacht haben
Und das reicht uns, um das besprechen zu können, was wir besprechen wollen.
Wir werden jetzt hier nicht in die Tiefen der Wahrscheinlichkeitsrechnung einsteigen,
sondern wirklich nur ein paar Grundprinzipien erläutern.
Zunächst zwei Definitionen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung wird in der Regel gesagt,
das sichere Ereignis markieren wir mit dem Wert eins.
Also wenn etwas in jedem Falle eintritt,
dann sagen wir, es hat die Wahrscheinlichkeit eins,
das unmögliche Ereignis markieren wir mit der Wahrscheinlichkeit null.
Also wenn etwas wirklich gar nicht passieren kann,
dann sagen wir, es hat eine Eintrittswahrscheinlichkeit von null.
Und alle anderen Wahrscheinlichkeiten bewegen sich dann Irgendwo dazwischen.
Also zwischen 0 und 1. Also wenn etwas mit 50 prozentiger Wahrscheinlichkeit in Anführungszeichen eintritt,
dann hat es einen Wahrscheinlichkeitswert von 0,5 und so weiter und so fort.
Und diese Wahrscheinlichkeiten stellen wir häufig in Diagrammen dar.
Und das ist ganz am Anfang, als wir über Histogramme gesprochen haben,
schon einmal kurz aufgetaucht. Jetzt kommt es also wieder,
um mit Diagrammen, also mit Flächen, Wahrscheinlichkeiten ausdrücken zu können,
sagen wir, oder legen wir fest,
dass diese 1 die Wahrscheinlichkeit des sicheren Ereignisses diese Fläche übertragen wird.
Das heißt, eine Darstellung eines Wahrscheinlichkeitsbezogenen Prozesses machen wir in einer Darstellung,
bei der wir sagen, in dem Diagramm ist die Gesamtfläche unter der Kurve,
die wir zeichnen, auf eins normiert, weil sicher ist,
dass irgendeines der möglichen Ereignisse passiert.
Also nehmen wir das Beispiel, das hier steht,
wir würfeln und wenn ich würfle, ist sicher,
dass irgendein Ergebnis rauskommt. Also wir unterstellen mal,
dass der Würfel nicht vom Tisch fällt und in ein Gulliloch
solche Möglichkeiten sind natürlich auch immer dabei, wir haben irgendwie eine sichere Würfelumgebung,
eine große Schüssel Wir werfen den Würfel da rein.
Dann wird mit Sicherheit der Würfel bei irgendeiner Zahl landen.
Das heißt, die Gesamtfläche unter dieser Kurve,
die ich da jetzt auch eingezeichnet habe,
die sechs möglichen Ergebnisse eines Würfelwurfes beschreibt, darstellen soll.
1, 2, 3, 4, 5 oder 6.
Die Gesamtfläche ist eins. Wenn ich den Würfel werfe,
wird ein Ergebnis herauskommen. Und dann können wir jetzt die
einzelnen Ereignisse innerhalb des sicheren Ereignisses irgendein Ergebnis kommt heraus abtragen.
Also die 1, die 2, die 3,
die 4, die 5 und die 6.
Und wenn es ein fairer Würfel ist, Dann sind die
Säulen ziemlich ungefähr gleich lang. Sie sehen wahrscheinlich,
dass sie ein kleines bisschen unterschiedlich lang sind,
denn es sind tatsächlich empirische Würfelwürfe,
die hier abgetragen wurden, also insgesamt 100.000 Mal gewürfelt.
Und wir nähern uns der Gleichverteilung, aber wir sind noch
nicht ganz da. Und die Fläche jeder einzelnen Teil sollte,
die wir jetzt haben, ist ein Sechsel,
weil sich sechs Sechsel, sechs durch sechs ist eins,
weil sich sechs Sechs Sechsel auf eins addieren.
Und das ist die Idee,
mit der wir jetzt in die weiteren Darstellungen reingehen,
dass wir also sagen,
okay,
wir haben ein Ereignis
Und damit bewegen wir uns jetzt eher in dieser Grafik
als in dieser Grafik, also das Ereignis,
über das wir sprechen, ist zum Beispiel das Ereignis,
eine Stichprobe zu ziehen und einen Mittelwert zu berechnen.
Und noch eine Stichprobe zu ziehen und einen Mittelwert zu berechnen und so weiter.
Und dann wollen wir wissen, wie bestimmte Eigenschaften sozusagen,
Verteilungseigenschaften dieser Verteilung sind. Also wir haben,
wenn wir diese unendlichen, diese unendliche Anzahl von Stichproben ziehen,
dann haben wir eine Gesamtverteilung der Parameter,
die wir auf der Basis der Stichprobe schätzen,
die verteilen sich in einer bestimmten Art und Weise.
Und natürlich Wenn wir eine Stichprobe ziehen, gibt es ein sicheres Ereignis,
es kommt irgendein Wert heraus und dann gibt es das unsichere Ereignis.
Wo liegt genau der Wert? Aber wir haben also hier auch wieder die Idee,
die Fläche unter dieser Kurve ist insgesamt eins und die teilen wir
jetzt in unterschiedliche Bereiche auf und machen mit diesen Bereichen etwas.
Und das sehen Sie hier schon mal an einer Grafik,
an die Sie sich erinnern werden,
aus der ersten inhaltlichen Sitzung, also Uni-Variat der Verteilung,
Histogramm,
jetzt aber nicht mit Prozentwerten an der Seite und auch nicht mit mit absoluten Fallzahlen an der Seite,
sondern mit Wahrscheinlichkeiten an der Seite.
Und deswegen heißt dieses Diagramm eben jetzt dichte Diagramm.
Und auch hier würden wir wieder sagen, okay,
also die Gesamtfläche unter diesem Diagramm normieren wir auf eins.
Und dann können wir Wahrscheinlichkeitswerte dafür angeben und die sind natürlich identisch am Ende mit Prozentwerten,
können wir Wahrscheinlichkeitswerte dafür angeben, dass die Leute sehr zufrieden sind.
Die Wahrscheinlichkeit ist 0,07, dass die Leute zufrieden sind.
Die Wahrscheinlichkeit ist 0,38 oder eben 38,5 rund 38,6 Prozent der Leute sind zufrieden gewesen und so weiter und so fort. Also diese Form des Histogramms,
das jetzt nicht Prozentwerte auf der Y-Achse abträgt und auch nicht absolute Häufigkeiten auf der Y-Achse abträgt,
sondern diese Wahrscheinlichkeiten abträgt, diese Form des Diagramms werden wir benutzen,
um diese Fiktion darstellbar zu machen,
dass wir unendlich viele Stichproben gezogen haben,
weil wir,
nachdem wir einmal diese Fiktion durchgerechnet haben,
auf der Basis bestimmter mathematischer Eigenschaften dieser Fiktion dann doch mit
unserer Stichprobe Aussagen über die Grundgesamtheit treffen können.
Warum reden wir also über Wahrscheinlichkeiten? Das fasst nochmal zusammen,
was ich eben gesagt habe,
weil wir uns mit Hilfe dieser Wahrscheinlichkeitsvorstellungen in die Lage versetzen wollen,
von unendlich vielen Stichproben, also der Verteilung aller Stichproben,
die wir faktisch da nicht gezogen haben,
aber wir kennen die Eigenschaften dieses Prozesses,
von mithilfe der Wahrscheinlichkeitsverteilung von unendlich vielen Stichproben,
letztlich den Schluss von der einen Stichprobe,
die wir tatsächlich haben, auf die Grundgesamtheit zu ermöglichen.
Was dabei herauskommt, sind zwar unsichere Ergebnisse,
aber Wir können eine Aussage über das Ausmaß der Unsicherheit treffen und können mit
dieser in ihrer Unsicherheit bestimmten Aussage dann etwas über die Gesamtheit,
über die Grundgesamtheit sagen, dass zumindest sehr genau spezifiziert,
wie sicher wir uns unseres Ergebnisses jetzt sind.
Also die schlechte Botschaft ist,
wir werden auch mit diesem Trick hier nicht dazu kommen,
dass wir auf der Basis einer Stichprobe sagen können,
hundertprozentig ist es in der Grundgesamtheit so.
Aber wir werden zu einer Struktur kommen, wo wir sagen können,
mit einer Wahrscheinlichkeit so und so viel Prozent oder mit einem Wahrscheinlichkeitswert von 0,99,
ist die Einkommensdifferenz in der Grundgesamtheit zwischen Männern und Frauen in einem bestimmten Bereich.
Dahin werden wir kommen und das ist auch wie sozusagen alle Statistikanwendungen,
die auf Stichproben basiert, in der Realität funktioniert.
Führen wir das Kugel-Experiment jetzt also ein Stück weiter,
um uns so langsam den Details dieses Modells anzunähern.
Ein Behälter enthält sehr viele rote und grüne Kugeln, das hat sich nicht geändert.
Die Kugeln beider Farben sind genau gleich häufig in dem Behälter verteilt,
also wir haben eine Grundgesamtheit mit gleich vielen roten und grünen Kugeln.
Und jetzt ziehen wir nicht nur eine Stichprobe von 64 Kugeln,
sondern wir ziehen immer wieder Stichproben von 64 Kugeln.
Und natürlich würden wir erwarten, dass das eigentlich in jeder Ziehung,
nein, das würden wir nicht erwarten. Also doch,
wenn wir eine Erwartung formulieren, so wie mit Elifs Körpergröße zum Beispiel,
wenn wir eine Erwartung formulieren, dann würden wir sagen,
okay, wenn die da drinnen gleich verteilt sind und ich ziehe,
dann ist das Wahrscheinlichste, was rauskommt, eine genaue Teilung 50-50, 32 rote Kugeln, 32 Kunden gucken.
Wir wissen auch genau, dass das nicht jedes Mal passiert,
aber so, wir kommen in die Gegend
Und wenn wir uns, wenn wir das Ganze jetzt ganz oft wiederholen,
dann kommen wir am Ende zu dieser Art der Darstellung.
Das heißt, wir stellen fest, wir haben immer wieder Stichproben gezogen.
Und wir haben tatsächlich, also wir sind jetzt wieder beim Histogramm
und haben die einzelnen Ereignisse hier in diesem Histogramm abgetragen.
Und wir sind tatsächlich relativ häufig,
häufig in der Gegend von 32 gelandet, ein bisschen rechts,
dann eben ein bisschen links daneben und etwas extremere Ereignisse,
wie zum Beispiel 43 rote Kugeln und 21 grüne Kugeln.
Das taucht relativ häufig auf. Das heißt also,
wenn wir auf der Basis unserer vielen Stichproben,
den Mittelwert dieser Anzahl roter Kugeln in den Stichproben berechnen.
Das sind jetzt hier reale Zahlen, also nicht mathematisch modellierte Zahlen, sondern tatsächlich gezogene Zahlen.
Dann kommen wir in meinem Ziehungsbeispiel auf 31,99 rote Kugeln in der Stichprobe.
Und wir haben da eine Standardabweichung in der Stichprobe oder in der Menge der Stichproben von 16 und nein,
eine Varianz von 16 und eine Standardabweichung von 4. Und diese Varianz von 16 beziehungsweise genauer Standarderweichung von vier,
die benutzen wir jetzt,
um die Eigenschaften dieser Kurve etwas genauer zu beschreiben.
Aber was Sie hier nochmal sehen, also wir haben,
das sieht man einfach an der Form des Diagramms.
Wir haben eine sehr große Wahrscheinlichkeit, Ziehungsergebnisse zu erzielen,
die bei 32 oder dicht, rechts und links von 32 liegen,
also 32 immer als die Zahl der gezogenen roten Kugeln.
Und wir haben, wenn wir ganz genau auf das Diagramm gucken, würden wir sagen,
wahrscheinlich sind in diesen Randbereichen überhaupt keine Ziehungsergebnisse zu sehen,
aber das müssen wir uns vielleicht nochmal detaillierter angucken.
Das machen wir nachher in einer Tabelle,
weil die Grafik das nicht ganz so gut,
das machen wir jetzt in einer Tabelle,
weil die Grafik das nicht ganz so gut erfassen kann.
Also ich habe insgesamt dieses Experiment 2 Millionen 300.000 Mal gemacht,
weil ich irgendwann dann einfach keine Lust mehr hatte und nein,
ich habe nicht mit Handkugeln aus einer Urne gezogen,
2 Millionen 300.000 Mal, das war ein Computerprogramm,
das das für mich gemacht hat.
Und um jetzt nochmal kurz die Frage zu stellen,
wie ist das denn eigentlich mit den extremen Werten
Stellen wir fest, die Anzahl von ein bis zwölf roten
Kugeln ist in diesen zwei Millionen 300.000 Ziehungen nicht ein einziges Mal aufgetaucht.
Also, es gibt so gut wie unmögliche Ereignisse dabei offensichtlich.
Die Anzahl von nur zwei roten Kugeln bei einer Gesamtzahl von 64 gezogenen Kugeln und einer Grundgesamtheit von 32 roten Kugeln,
also zwei rote Kugeln, einer einer Stichprobe von 64 Kugeln und einer Grundgesamtheit,
wo die Kugeln 50, 50 verteilt sind,
also nur zwei rote Kugeln, habe ich Nein,
13 rote Kugeln, Entschuldigung.
1 bis 12 nie, 13 rote Kugeln, nur 13 rote Kugeln,
genau zweimal von 2 Millionen, 300.000. 14 rote Kugeln,
sechsmal 15 rote Kugeln, 24 mal 16 rote Kugeln,
63 mal 17 rote Kugeln, 168 mal.
Also so langsam kommen wir dann auch in Bereiche,
wo wir was sehen, springen ans andere Ende.
48 rote Kugeln, 61 mal 49, 18 mal,
60, 8 mal 51 und 52 je einmal und die Ereignisse
53 bis 64 rote Kugeln sind auch nie aufgetaucht.
Also was wir hier sehen, ist,
dass wir den tatsächlich in der Bevölkerung vorliegenden Wert.
Die Kugeln sind 50-50 verteilt. Eigentlich relativ häufig
treffend mit unseren Stichproben. Dann gibt es Werte,
die sind da ein Stückchen von weg, die tauchen schon auch noch auf.
Und dann gibt es aber auch extreme Werte,
die wir mit unserer Stichprobe nie treffen werden.
Und wenn wir diese Stichprobe jetzt größer machen würden,
also statt 64.000 Kugeln ziehen, dann würde der Bereich,
der überhaupt nicht gezogen wird, auch noch deutlich größer werden.
Also dann würden wir wahrscheinlich locker 1 bis 20 niemals finden.
Und dann genauso also 44 bis 64 war die Größe der Stichprobe
dann das Ganze auch nochmal beeinflusst. Genau die Denke,
die sie vorhin hatten auf der Basis von 4,
kann ich nicht sagen. Auf der Basis von 64 schon.
Und auf der Basis an der Stichprobe von 1000
kann ich eben dann noch mehr sagen.
Was ist die Moral des Kugelspiels
Stichprobenwerte, die den waren,
aber in der Forschungspraxis unbekannten Populationsparameter zeigen treten am häufigsten auf.
Also um das jetzt auch noch mal hierher zu übersetzen,
der wahre Populationsparameter ist der Mittelwert der Einkommen,
die wir hier oben in der Grundgesamtheit haben.
Also das wäre der wahre Parameter
Und deswegen eben auch der Populationsparameter, aber den kennen wir nicht.
Das ist ja das Problem vor der Grundgesamtheit hängt ein Vorhang.
Aber was wir aus diesem Experiment jetzt sehen,
und da sind wir wieder bei dieser Grafik,
also wenn wir immer wieder Stichproben ziehen würden,
dann würde dieser wahre Parameter am häufigsten auftauchen, Werte,
die etwas links und rechts neben diesem wahren Parameter auftauchen,
sind sehr häufig.
Und je weiter wir uns von dem wahren Parameter entfernen,
desto geringer ist die Wahrscheinlichkeit, dass so eine Stichprobe auftaucht.
Also mit anderen Worten, wenn wir eine Stichprobe ziehen,
haben wir eine relativ gute Chance, die Grundgesamtheit einigermaßen genau zu treffen.
Wir haben eine geringe Chance, bisschen neben der Grundgesamtheit zu liegen
und komplett daneben zu liegen, zumindest bei einer hinreichenden Stichprobengröße,
die Wahrscheinlichkeit ist extrem gering, bis gar nicht vorhanden.
Das ist die Moral dieser Grafik, die wir hier sehen.
Und das möchte ich Ihnen jetzt,
oder das möchten wir jetzt im nächsten Schritt sozusagen genauer spezifizieren.
Ich hatte bei der vorvorigen Grafik gesagt,
also wir haben hier oben eine Standardabweichung von vier,
also soll heißen, im Mittelwert aller Stichproben haben wir festgestellt,
dass ziemlich genau 32 rote Kugeln im Mittelwert in allen Stichproben gewesen sind.
Wir haben eine Standardabweichung von vier. Das heißt also,
Also diese Standardabweichung umfasst einen Bereich plus minus 4
um die 32 von 28 bis zu 36 Kugeln.
Und jetzt können wir einerseits experimentell das, was ich hier gemacht habe,
aber auch mathematisch über Integralrechnung ausrechnen, wie viel Prozent der Stichproben,
die wir ziehen, wo in welchem Bereich sozusagen liegen müssen.
Und hier die Zahlen 68,48 Prozent,
die oben in der Überschrift steht,
ist die tatsächlich ermittelte und relativ dicht an dem auch berechenbaren Parameter liegende Zahl,
die uns also sagt, okay,
in diesem Stichprobenexperiment mit 2 Millionen 300.000 Ziehungen aus einer Urne mit
unendlich vielen grünen und roten Kugeln oder mit sehr vielen grünen und roten Kugeln,
die genau gleich verteilt sind.
In diesem Bereich von einer Standardabweichung, um den Mittelwert all dieser gezogenen Stichproben,
liegen 68,48, also rund 68,5 Prozent all unserer Stichproben.
Also wir sind jetzt an dem Punkt,
wo wir versuchen rauszukriegen, was würde denn passieren,
wenn wir aus dieser Grundgesamtheit immer wieder Stichproben ziehen und wir stellen fest,
okay, also wenn der wahre Parameter,
wenn der wahre Bevölkerungsparameter zum Beispiel die Einkommensdifferenz zwischen Männern und Frauen irgendwo liegt und die Verteilung hat eine Standardabweichung,
dann wissen wir, dass circa 68,5 Prozent unserer gezogenen Stichproben.
Das lehrt uns jetzt einfach die Erfahrung in einem Bereich von
plus minus einer Standardabweichung um diesen wahren Bevölkerungsparameter liegen werden.
Und das habe ich hier unten dann nochmal dargestellt und
das überträgt sich dann sozusagen hier in dieses Intervall.
Und jetzt können wir den nächsten Schritt gehen und können sagen,
okay, und wenn wir jetzt schon mal dabei sind,
dass so in Standardabweichungen abzutragen,
wie ist es denn mit zwei Standardabweichungen und da stellen wir fest,
wow, da kommen wir also jetzt schon wirklich in hohe Bereiche,
innerhalb von zwei Standardabweichungen,
um den Mittelwert um den wahren Parameter liegen,
95 Prozent aller Stichproben.
Und wenn wir drei Standardabweichungen weit gehen,
Dann liegen um diesen Parameter 99,6 Prozent aller Stichpumpen.
Also fast schon alle Stichproben. Und sie ahnen jetzt schon,
in welche Richtung wir gehen. Wir versuchen nämlich genau mit
dieser Idee der Standardabweichung dann sozusagen Aussagen zu treffen darüber,
was denn jetzt eigentlich ein wahrscheinliches Ergebnis ist und was ein unwahrscheinliches Ergebnis ist.
Also diese Standardabweichung zusammen mit der Prozentzahl da oben wird am Ende
dazu führen, dass wir Aussagen treffen können etwa der Art.
Der wahre Bevölkerungsparameter, diese Formulierung bitte nicht merken,
weil sie streng genommen nicht korrekt ist.
Der wahre Bevölkerungsparameter liegt mit einer Wahrscheinlichkeit von 99,6 Prozent
in folgendem Intervall
Die richtige Aussage wäre eigentlich,
zu sagen, mit einer Wahrscheinlichkeit von 99,6 Prozent,
kommt die Stichprobe aus einer Grundgesamtheit, für die gilt,
dass deren Warraparameter, in dem Intervall liegt,
warum man das so kompliziert formulieren soll.
Dazu kommen wir dann noch etwas später. Also nochmal kurz
zurück. Als Konsequenz aus dem Kugelspiel und als Idee darüber,
warum uns diese theoretische Verteilung hilft für unsere Stichprobe mit unserer Stichprobe,
etwas über die Grundgesamtheit sagen zu können
Stich, nein, diese Gesamtheit aller möglichen Stichproben,
die hat bestimmte Eigenschaften und diese Eigenschaften sehen sie eben hier,
wenn es hier einen Mittelwert gibt zum Beispiel,
aber es kann auch andere sein,
es können Differenzen sein,
es können Prozentwerte sein etc.,
etc. Wenn es hier ein Bevölkerungsparameter gibt und der Bevölkerungsparameter hat eine bestimmte Standardabweichung,
dann können wir auf der Basis dieser Standardabweichung die Aussage treffen,
okay,
innerhalb von plus minus einer Standardabweichung um diesen wahren Bevölkerungsparameter
werden 68,5 Prozent aller gezogenen Stichproben liegen
Innerhalb von 94,5 Prozent, nein, nein, innerhalb von
plus minus zwei Standardabweichungen werden 94,5 Prozent aller Stichproben liegen.
Innerhalb von drei Standardabweichungen plus minus werden 99,6 Prozent aller Stichproben
liegen. Also da lernen wir etwas darüber,
wo überhaupt Ergebnisse erwartet werden können und genau mit dieser Kenntnis
gefasst in dieser Grafik wollen wir dann weitermachen.
Aber jetzt gehen wir erstmal in die Pause