Liebe Studierende, willkommen zurück zu Methoden 2, quantitative Analyseverfahren.
Ich bin Kai Wischnapp und wir befinden uns jetzt in der vierten Vorlesungswoche.
Wir sind immer noch beim Thema Regressionsanalyse und befassen uns heute mit des Themas zweiten Teilen.
Haben wir in der letzten Woche gesprochen. Ich habe zunächst
kurz versucht zu motivieren aus zwei inhaltlichen Beispielen heraus, einem politikwissenschaftlichen, einem soziologischen,
warum Regressionsanalyse überhaupt sinnvoll ist oder warum es um eine Abstraktionsstufe höher zu gehen,
sinnvoll ist, sich mit dem Prinzip der Korrelationen auseinanderzusetzen.
Und nachdem wir das getan hatten, habe ich zunächst versucht,
ihnen das Prinzip der Korrelation zu erklären, nämlich als die Idee,
dass Variablen gemeinsame Streuung haben können. Also,
dass eine systematische Veränderung in einer Variablen einhergeht mit einer systematischen Veränderung,
in einer anderen Variablen, Vorgriffe auf das Ende der letzten Sitzung,
diese Tatsache, dass Variablen sich statistisch ähnlich verhalten,
bedeutet natürlich in keiner Weise automatisch,
dass hier Kausalität am Werke ist,
sondern zunächst bedeutet es erst mal nur zwei Variablen bewegen sich in die gleiche Richtung.
Aber Korrelation, Regressionsanalyse kann auch nicht mehr als diese Datenmuster
finden. Alles andere macht die Theorie. Also,
gemeinsame Streuung zweier Variablen oder die Frage ist,
gibt es eine solche gemeinsame Streuung und wir haben gelernt,
dass es mindestens drei Grundzustände gibt.
Es kann gemeinsame Streuung in dem Sinne geben,
dass die eine Variable wächst. Wenn die andere Variable wächst,
es kann gemeinsame Streuung in dem Sinne geben,
dass die eine Variable schrumpft,
wenn die andere Variable wächst und es kann auch sein,
dass die Variablen überhaupt nicht gemeinsam streuen,
sondern dass jede für sich sich in irgendeiner Weise verhält
Und wenn wir so eine gemeinsame Streuung metrischer Variablen haben, dann können wir unter anderem Piercens Korrelationskoeffizienten ausrechnen.
Und der funktioniert jetzt genau nach den drei Grundprinzipien,
die ich eben genannt habe,
wenn die Variablen sich in die gleiche Richtung bewegen und das ohne jede Abweichung tun,
dann ist dieser Korrelationskoeffizient 1 oder eben irgendwo zwischen 0 und 1,
wenn die Variablen überhaupt keinen Zusammenhang haben,
dann ist dieser Korrelationskoeffizient bei 0. Und wenn die Variablen einen negativen Zusammenhang haben,
also die eine wächst,
die andere schrumpft,
dann ist dieser Korrelationskoeffizient negativ und ein perfekter,
negativer Zusammenhang wird dann durch eine 1 ausgedrückt
Von da sind wir weitergegangen zu Co-Varianz und Korrelation,
also Co-Varianz als das Produkt der Streuung,
der einen Variable oder der Streuungskomponenten der einen Variable mit dem Produkt der Streuung,
der Steuerungskomponenten, der anderen Variable,
im Unterschied zur letzten Woche habe ich jetzt hier noch in der zweiten Zeile eine weitere Formel eingefügt,
weil in der Diskussion am Montag zurecht angemerkt wurde,
fehlt da nicht ein Schritt, ja, es fehlte ein Schritt,
wir teilen die Co-Varianz durch die Standardabweichungen,
die Standardabweichungen sind die Wurzeln aus den Varianten und wir kommen dann in der letzten Formel in der zweiten Zeile dazu,
dass wir eigentlich direkt,
nachdem wir die Eins durch N gekürzt haben,
direkt die Co-Variation durch die Variationen durch das Produkt der Variationen der beiden Variablen teilen.
Und dann kommen wir zu der Formel für R,
die sie in der untersten Zeile sehen.
Und am Ende sehen sie auch die Komponenten sind alle relativ einfach.
Es werden jeweils Differenzen gebildet von den einzelnen Werten der einzelnen Variablen auf ihre Mittelwerte.
Und die werden in unterschiedlicher Weise miteinander motifiziert oder auch noch
eine Wurzel rausgezogen. Aber es ist alles kein Hexenwerk.
Und dass das alles kein Hexenwerk ist,
hatte ich ihnen dann letzte Woche in dieser Tabelle gezeigt,
mit der wir all die Dinge ausrechnen können, die uns interessieren.
Also die Variationen und so weiter und dann eben unten Korrelationen
gleich 0,99,
also auch die Korrelation ausrechnen
Von da sind wir weitergegangen in Richtung Regressionsanalyse. Ich habe ihnen zunächst diesen deterministischen Zusammenhang gezeigt,
um ihnen einmal am Beispiel der Grade,
die hier sehr sauber durch die Wechselkurse oder durch das Verhältnis von britischem Pfund zu Euro geht,
über den Wechselkurs und habe eben gesagt, also das,
was uns eigentlich bei dieser Regressionsanalyse jetzt interessiert,
wenn wir Korrelationen damit bestimmen wollen, ist der Anstieg dieser Graden.
Und wenn wir Punktwolken hätten,
in denen die Punkte alle schön auf einer Linie liegen,
dann würden wir einfach sagen, wir malen das da dran,
wir nehmen ein Linealmessen, okay, das Pfund,
wenn es sich um einen Wert verändert,
dann verändert sich parallel oder um eine Einheit verändert,
dann verändert sich der Euro parallel um 1,13 Einheiten.
Das ist dann auch
genau der Wechselkurs
Am 11. November diesen Jahres gewesen. Und das ist das,
was wir in der Regressionsanalyse dann als den Regressionskoeffizienten oder als B1
bezeichnen oder eben als den Quotienten aus der Differenz in Y durch die dazugehörige Differenz in X.
Das sah soweit erst mal ganz schön aus,
aber dann haben wir uns Daten angeschaut,
wie sie in unserem Leben als Sozialwissenschaftlerin mit viel größerer Wahrscheinlichkeit vorkommen,
nämlich Daten, die nicht so schön wie auf einer Perlenkette liegen,
sondern Daten, die sich etwas gleichmäßig im Raum verteilen.
Und die Frage war, ja,
was machen wir denn jetzt mit solchen Daten
Wie kommen wir mit diesen Daten weiter? Wie finden wir heraus,
was genau die Differenz auf der X-Achse ist,
in diesem Falle also zum Beispiel ein zusätzliches Jahr an Bildung,
dass zu welcher Änderung auf der Y-Achse führt,
nämlich zu einer Erhöhung im Einkommen um 461 Euro,
was wir dann in der Regressionsformel so ausdrücken können,
dass wir sagen, also Einkommen ist gleich minus 2440 Euro,
was das ist, dazu kommen wir jetzt tatsächlich gleich,
plus 461 Euro mal Bildungsdauer und dann kann ich eben feststellen,
okay, jemand,
der zehn Jahre länger im Bildungssystem verharrte,
wird dann offensichtlich 46010 Euro mehr verdienen im Durchschnitt als andere Personen,
auch auf diese Durchschnitte,
werden wir gleich nochmal zu sprechen kommen
Damit sind wir eigentlich am Ende der letzten Sitzung
und steigen jetzt tatsächlich in das aktuelle Thema ein.
Und widmen uns tatsächlich diesen Punkt Berechnung der Regressionsgraden.
Also wie kommen wir denn jetzt zu dieser Graden,
wenn wir eine Punktwolke haben, die sich munter durch den Raum verteilt?
Schauen wir uns das zunächst einmal als Formel an
Die Regressionsgleichung lautet YI ist gleich B0 plus B1XI plus EI.
Was bedeuten jetzt diese einzelnen Komponenten? Das,
was uns am meisten interessiert, ist dieses B1. B1 ist der Regressionskoeffizient,
den wir eben im Bildungsbeispiel schon gesehen hatten,
also diese 401 Euro und XI ist dann jeweils die Anzahl an Jahren,
die eine Person im Bildungssystem zugebracht hat.
B0 ist diese fixe Komponente vorneweg, wir nennen sie auch Achsenabschnitt,
weil das derjenige Punkt ist, an dem die Regressionsgrade, die Y-Achse schneidet.
Häufig hat in Sozialwissenschaftlichen Daten dieser Achsenabschnitt gar keine inhaltliche Interpretation,
sondern ist eher eine technisch notwendige Komponente, was einfach daran liegt,
dass in vielen Konzepten die Null Keine substanzielle, keine substanzielle Bedeutung hat.
Also wenn wir jetzt nochmal diesen Zusammenhang zwischen Bildung und Einkommen nehmen,
natürlich gibt es Leute, die über keinerlei Bildung verfügen,
weil sie zum Beispiel gar nicht bildungsfähig sind.
Bei diesen Menschen ist es dann aber nicht so,
dass das Einkommen, das sie beziehen,
überhaupt in irgendeiner Form mit der Bildung zusammenhängt,
sondern die werden dann natürlich von Transferleistungen und so weiter finanziert,
sodass also in bestimmten Bereichen die Bildung keine Rolle spielt.
Technisch brauchen wir diesen Achsenabschnitt aber trotzdem,
um unsere Regressionsgrade sicher in unserem Koordinatensystem verankern zu können.
Und wenn wir hier über Einkommen sprechen,
dann sprechen wir auch über Erwerbseinkommen, nicht über Transfereinkommen,
Transfereinkommen sind natürlich nicht von der Bildung abhängig.
Also dieser Achsenabschnitt ist eine technisch notwendige Komponente,
was uns aber vor allem interessiert in der Regel,
ist eben dieser Anstieg, also der eigentliche Zusammenhang zwischen den Variablen.
Und dann gibt es da hinten noch so ein EI,
das E kommt von Error
Was bedeutet das? Sie haben das in der letzten Grafik,
im letzten Diagramm gesehen. Die Punkte liegen nicht genau auf einer Linie,
sondern die Punkte streuen ja um die Linie herum.
Und in diesem E steckt quasi die Abweichung und wir werden
uns dem eh noch ausführlicher zuwenden nachher,
in dem E steckt die Abweichung zwischen dem Punkt, den wir beobachtet haben.
Und den Punkt auf der Regressionsgraden, an dem er eigentlich liegen müsste,
wenn wir hier einen ganz sauberen, fehlerlosen Zusammenhang hätten,
den wir natürlich in der Realität nicht haben.
Und hinter dem letzten Gleichheitszeichen steht jetzt Y-Dach-I plus EI,
das Y-Dach steht für unser abhängige Variable,
aber eben den Wert, der sich aus unserer Regressionsgleichung ergibt,
also aus den beiden Komponenten B0 und B1. Und EI ist dann wieder der Fehler,
den wir hatten.
Also die Vorhersagegleichung für das eigentliche Y-Dach ist B0 plus
B1 mal XI
Da fehlt noch ein I sehe ich gerade,
das werde ich für die hochgeladenen Folien dann noch nachtragen.
Soweit die Regressionsgleichung. Das ist ja das,
was wir bisher auch zur Interpretation der Zahlen benutzt hatten.
Jetzt ist die Frage, wie kommen wir denn jetzt eigentlich
an dieses B1 und an dieses B0 ran?
Und da landen wir jetzt wieder bei unseren Varianzen und Co-Varianzen aus der letzten Woche,
mit denen wir jetzt nur etwas anders rechnen als in der letzten Woche.
Wir haben also B1 ist sozusagen die Co-Varianz geteilt durch
die Varianz nur in der X-Variable.
Also wir haben jetzt nicht Co-Varianz durch das Produkt
Der Standardabweichung oder durch das Produkt der Wurzel aus den Varianzen,
sondern wir teilen die Co-Varianz nur durch die Variante in X.
Dadurch berechnen wir den Regressionskooeffizienten B1. Und das führt dann,
wenn wir Co-Varianz und Varianz ausschreiben,
zu der zweiten Formel, in der wir XI-X-Quer Y,
i-Y quer über den Bruchstrich haben, das wieder aufsummieren.
Und durch Entteilen unter dem Bruchstrich nur die Variance von X.
Und wenn wir diese beiden Komponenten wegnehmen, also das eins durch Entkürzen,
wie wir das in der letzten Woche auch getan haben,
dann kommen wir auf diese Formel,
wo wir also sagen,
okay,
also B1,
der Regressionskooffizient für eine Variable
ergibt sich aus der Variation
Das ist ja jetzt die Formel, die hier steht, geteilt.
Also aus der Ko-Variation von X und Y geteilt durch die Variation von X.
Ich zeige ihn gleich noch in einer Tabelle, wie das funktioniert.
Und wenn wir das B1 einmal haben,
dann ist es ganz einfach, das B0 auszurechnen.
Wir brauchen dann lediglich den Mittelwert der Y-Variablen, den Mittelwert der X-Variablen.
Letzteren multiplizieren wir mit B1. Und das ist dann genau der Achsenabschnitt.
Also Y-Mittelwert, minus B1 mal X-Mittelwert, ist der Achsenabschnitt.
Da haben wir dann die beiden Zahlen, die uns interessieren.
Das Ganze schauen wir uns jetzt einmal als Rechentabelle an
Also wir fangen an mit unseren drei Ausgangsgrößen I,
unserem Laufindex 1 bis 8. X, die erklärende Variable,
die Anzahl der Jahre,
die ich im Bildungssystem verbracht habe von 8 bis 15,
Mittelwehr 10,1. Y, die abhängige Variable,
mein Starteinkommen nach dem Studium oder nach der Ausbildung von 900 Euro bis 5.000 Euro Mittelwehr 2.194.
Und jetzt geht es los. Zuerst bilden wir
die Differenzen aller X-Werte auf den X-Mittelwert.
Das sehen Sie dann in der Spalte im Einzelnen.
Wir bilden die Differenzen der Y-Werte
auf den Y-Mittelwert
In der nächsten Runde werden dann diese Differenzen jeweils quadriert.
Und da sind wir dann ja auch schon bei den Variationen der beiden Variablen,
weshalb wir das unten schon mal als Summe auch aufschreiben.
Und letzter vorbereitender Schritt an dieser Stelle,
wir bilden das Produkt der Differenz,
der XI auf X quer mit der Differenz der YI auf Y quer,
dass hier die I nicht drinne stehen, liegt einfach daran,
dass in Excel die Möglichkeit nicht mehr bestand,
hier noch die Is einzufügen.
Also denken Sie sich, die Is jedenfalls jeweils dazu.
Soweit jetzt erstmal das Differenz bilden,
quadrieren und Produkte bilden.
Wie geht es jetzt weiter
Um B1 auszurechnen, habe ich gesagt, brauchen wir die Co-Variation geteilt durch
die Variation von die Co-Variation beider Variablen geteilt durch die Variation von X.
Also sie sehen einmal die 22.240 die Co-Variation,
sprich die Summe der Produkte der Differenzen und so weiter. Und einmal die Variation aus X und dann haben wir für dieses Beispiel unseren Regressionskoeffizienten von 570. Dann wollen wir auch den Achsenabschnitt,
also den koeffizienten B0 bilden, da hatte ich gesagt,
dass es einfach X-Mittelwert, Y-Mittelwert, minus X-Mittelwert,
multipliziert mit dem Regressionskoeffizienten, also 2194,
der Mittelwert von Y minus 570, dem Regressionskoeffizienten,
multipliziert mit dem Mittelwert von X und dann kommen wir auf einen Achsenabschnitt von 35079 und wenn wir jetzt entsprechend den Regeln der letzten Woche auch noch den Korrelationskoeffizienten berechnen wollen,
dann haben wir hier einmal über den Bruchstrich wieder die Co-Variation und dann einmal die Variation aus X und die Variation aus Y miteinander multipliziert,
Wurzel draus gezogen und kommen zu einem Korrelationskoeffizienten von 0,95 und sind dann jetzt eben an der Stelle,
wo wir sagen können, okay,
einerseits inhaltlich besteht unser Zusammenhang in dieser 570,
die quasi 570 Euro pro Bildungsjahr entsprechen und dass er von 0,95 sagt uns,
dass unsere Daten einen sehr starken Zusammenhang haben,
also dass wir quasi sehr viel von dieser Streuung in der
Y-Variable mit diesem Zusammenhang erklären können,
aber zu dieser Frage Streuung und Erklären kommen wir gleich nochmal
etwas ausführlicher
Das war eigentlich schon die ganze Kunst der Berechnung der Regressionsgeraden,
zumindest für den Fall,
dass wir eine erklärende und eine zu erklärende Variable haben.
Aber bei diesem Fall bleiben wir auch noch einen kleinen Moment.
Und im nächsten Schritt möchte ich jetzt Ihnen zeigen,
wie wir jetzt eigentlich die Güte dieses Regressionskoeffizienten beschreiben oder berechnen können.
Also wie wir diesen Korrelationskoeffizienten nochmal anders benutzen können,
um am Ende zu wissen,
wie gut der Regressionskoeffizient den Datenzusammenhang tatsächlich beschreibt oder wie gut
wir verstanden haben auf der Basis unserer erklärenden Variablen,
was in der zu erklärenden Variablen
eigentlich passiert
Und dazu möchte ich nochmal etwas weiter zurückgehen,
um zu erklären, was wir jetzt hier eigentlich machen.
Hier habe ich zunächst nochmal dargestellt,
einfach nur die Streuung unserer Y-Variablen, also der Variable,
die wir erklären wollen, über einen gewissen Datenraum.
Es sind genau die gleichen Variablen, wie in dem vorherigen Beispiel,
allerdings mit ein paar mehr Datenpunkten, weil das Ganze dadurch etwas anschaulicher wird.
Also wir haben Eine Variable, eine Y-Variable, Einkommen,
nachdem ich eine gewisse Weile im Bildungssystem geblieben bin.
Und diese Variable hat eine gewisse Streuung hiervon
ungefähr 6.000 Dollar bis etwas über 20.000 Dollar.
Und wir wollen wissen, wie kommt diese Streuung denn jetzt zustande?
Ist die einfach zufällig oder hat die einen systematischen Zusammenhang?
Und wir denken uns, dass diese Einkommensstreuung vielleicht was mit
dem Verbleib im Bildungssystem zu tun hat.
Also rollen wir mal unsere Daten. Diese Einkommensdaten innerhalb des
Bildungssystems ein wenig aus. Also rollen sozusagen die Daten auf
das Spektrum der Bildungsjahre aus. Also nochmal zurück.
Wir haben hier einfach die Streuung in der Y-Variable und jetzt gucken wir mal,
welcher Teil der Streuung in der Y-Variable denn eigentlich in welchem Teil der Streuung der der X-Variablen liegt.
Und wir hatten ja in der Wiederholungssitzung, hatten wir gesagt,
am Beispiel von Peter und seiner Körpergröße, wenn du schätzen willst,
wie groß jemand ist und du weißt nichts über diese Person,
außer dass sie zu einer Gruppe gehört,
bei der der Mittelwert der Variable, die dich interessiert,
die Körpergröße, einen bestimmten Wert hat,
dann schätzt du diesen Wert.
Und genauso würden wir natürlich hier auch vorgehen,
wenn wir nichts weiter wissen als das durchschnittliche Einkommen,
das jemanden verdient, nachdem er aus dem Bildungssystem raus ist,
dann würden wir sagen, 13.476 Dollar.
Ich weiß nichts über die Person, also eine x-beliebige Person,
würde ich sagen, okay, ich schätze mal, dass die 13.476 Dollar verdient.
Aber wenn wir uns das jetzt hier angucken,
dann sehen wir, dass wir eigentlich mehr wissen können.
Und was ich jetzt als nächsten Schritt einzeichne,
bevor wir dann wieder in Richtung Regressionsgrade kommen,
sind die Mittelwerte, also hier die Roten Kreuzchen,
der Einkommen, die mit den einzelnen Bildungsdauern erzielt werden.
Also das erste rote Kreuzchen, vier Jahre im Bildungssystem,
das letzte rote Kreuzchen, 20 Jahre im Bildungssystem und die Kreuzchen dazwischen entsprechend.
Also Wir könnten zumindest, wenn wir die Bildungsinformationen haben,
Mittelwerte nicht mehr über die gesamte Gruppe bilden,
sondern wir bilden Mittelwerte für die einzelnen Bildungsjahre und könnten dann sagen,
okay, das ist dann vielleicht unser Schätzwert.
Wenn wir die einzelnen Punkte jetzt mal miteinander verbinden,
also diese Mittelwerte, dann stellen wir fest,
dass es immer noch nicht das, wo wir mit der Regressionsgleichung eigentlich hinwollen,
denn wir wollen ja auf so einen Regressionsgraden.
Und was diese Regressionsgrade macht, ist im Prinzip das,
was sie in dieser Kurve sehen,
die also doch noch ganz schön hin und her schwankt zwischen den einzelnen Variablen,
aber sie berechnet eben nicht Mittelwerte innerhalb der einzelnen Gruppen,
sondern sie berechnet quasi als Regressionsgrade einen Mittelwert aus all diesen Gruppen zusammen.
Und was diese Regressionsgrade uns dann ermöglicht, ist,
dass wir die Vorhersage, die wir auf der Basis des Mittelwertes getroffen hätten,
jetzt deutlich verbessern durch die Vorhersage,
die wir auf der Basis des Verbleibs im Bildungssystem treffen.
Und diese beiden Es, die jetzt hier drinnen stehen,
die werden in der nächsten Folie gleich nochmal dann auch als Formel auftauchen.
Und diese beiden Es, sie haben das eh vorhin in
der Regressionsformel ja schon kennengelernt, diese beiden Es stehen wieder für Arran.
Und zwar steht das rote E für den Fehler,
den ich bezogen auf den einzelnen Fall mache,
wenn ich ihn auf der Basis des Mittelwerts vorhersage.
Und dann haben wir natürlich Fälle, Die sind relativ dicht am Mittelwert dran.
Also dieser hier zum Beispiel, aber wir haben eben auch Fälle,
die sind weiter vom Mittelwert weg, wie der und der,
also bezogen auf einzelne Werte, machen wir mit der Mittelwertvorhersage einen Fehler.
Wenn wir jetzt anstelle des Mittelwerts unsere erklärende Variable hinzuziehen,
machen wir immer noch einen gewissen Fehler, wenn wir jetzt sagen,
okay, unser Vorhersagewert liegt nicht mehr auf dem Mittelwert von Y,
sondern er liegt auf der Regressionsgraden, aber der Fehler,
das ist der grüne Pfeil mit dem E2,
der Fehler ist natürlich wesentlich kleiner,
weil die Regressionsgrade der Ausrichtung der Punktwolke im Raum folgt,
während der Mittelwert von Y dieser Ausrichtung der Punktwolke im Raum natürlich nicht folgt.
Und diese beiden ES, die benutzen wir jetzt,
etwas stärker formalisiert, das will ich Ihnen leicht zeigen,
um auszurechnen, wie gut unsere erklärende Variable denn jetzt eigentlich die zu erklärende Variable,
also wie gut XY,
wie gut die Bildung das Einkommen erklärt
Und wir wollen das im Prinzip so ausdrücken,
dass wir sagen, wie stark ist der Zusammenhang,
also wie gut ist der Zusammenhang und starker Zusammenhang soll dann eben heißen,
also die Punkte liegen quasi alle ganz dicht an der Regressionsgraden,
schwacher Zusammenhang, sie liegen relativ weit von der Regressionsgraden entfernt,
kein Zusammenhang,
es gibt im Prinzip keine ernsthaft von null verschiedene Regressionsgrade.
Und das Maß, das wir dazu benutzen wollen,
ist ein sogenanntes PRE-Maß,
das wird uns im Laufe dieses Semesters
noch öfter begegnen
Bei anderen Konstrukten und PAE steht für Proportional
Reduction in Error oder proportionale Fehlerreduktion. Und die Idee,
und jetzt sehen sie E1 und E2 schon wieder auftauchen,
die Idee ist eben zu sagen, okay, wir haben eine Varianz in Y.
Wenn wir den Y-Mittelwert als Vorhersagewert benutzen,
dann führt diese Varianz in Y zu einem Vorhersagefehler bezogen auf die einzelnen Fälle,
entsprechend dem roten Pfeil in der Grafik, die wir eben gesehen haben.
Und dann haben wir ein Erklärungsmodell durch unsere X-Variable und da bleibt ein Erklärungsfehler übrig,
nämlich der Abstand von der Regressionsgraden auf unseren Datenpunkt.
Das bezeichnen wir als den zweiten Fehler. Und das,
was erklärt wird, und ich gehe jetzt gleich nochmal an die Tafel,
um das dort nochmal aufzuzeichnen, das, was erklärt wird.
Also die Differenz zwischen der Länge des roten Pfeils und des
grünen Pfeils, die bezeichnen wir als erklärte Varianz.
Nämlich das von dem ersten Fehler, was durch das Erklärungsmodell
tatsächlich aufgefangen wird, wo dann nur noch der E2-Fehler übrig bleibt.
Und das Ganze drücken wir dann aus,
oder können wir dann ausdrücken, als wie viel Prozent von
diesem E1 wird denn eigentlich durch Die erklärende Variable erklärt.
Und dazu gehe ich jetzt noch einmal kurz an die Tafel.
Also, wir suchen nach E1, E2 und dem Verhältnis von den beiden.
Ich habe ja einmal schon ein Koordinatensystem aufgezeichnet.
Sie sehen hier die Datenpunkte. Etwa hier würde die Regressionslinie
liegen. Etwa hier würde der Mittelwert von Y liegen.
Und dann haben wir, wenn wir zum Beispiel diesen Datenpunkt
herausgreifen,
dann hätten wir einmal
Die Varianzkomponente oder Variationskomponente, die zu unserer Y-Variablen und ihrem Durchschnitt gehört.
Und wir hätten E2, das, was an nicht verstandener Streuung
in Y übrig bleibt, nachdem wir unser Erklärungsmodell herangezogen haben. Also Ausgangsidee,
Durchschnitt der Variable, aus dem heraus kann ich eine bestimmte Streuung berechnen,
dann Erklärungsmodell, ich habe zwar immer noch eine Reststreuung,
mein Erklärungsmodell erklärt nicht perfekt, was passiert,
aber mein Erklärungsmodell erklärt eine ganze Menge.
Und jetzt wollen wir sozusagen aus diesen beiden Größen berechnen,
wie viel Prozent, das ist quasi die Idee,
wie viel Prozent der gesamten Streuung in Y,
also wenn wir jetzt sozusagen auf alle Mittelwerte diese Pfeile eintragen,
Und das Aufsummieren, also das, was wir dann eben
als Variation kennen, hier passiert relativ wenig.
Hier passiert noch etwas mehr. Also die Summe all dieser Pfeile,
beziehungsweise die Summe der Quadrate dieser Pfeile, ist unser E-Eint.
Und wir wollen ausdrücken, wie viel Prozent von diesem E-Eins
wir erklären können, indem wir dann die grünen Pfeile bilden.
Und dann kommen wir zu dieser generischen Formel für das PAE-Mass,
die da heißt, also okay, wir haben eh eins,
den Fehler, den wir erklären wollen.
Wir haben E2, das, was wir immer noch nicht
erklären können
Diesen kleinen Rest, aber das hier unten, das hätten wir quasi erklärt.
Also diesen Anteil der Varianz haben wir erklärt,
den grünen Anteil der Varianz haben wir immer noch nicht erklärt.
Und wenn wir jetzt ausdrücken wollen, wie viel Prozent der Varianz
verstehen wir denn jetzt eigentlich auf der Basis dieses Modells,
dann sagen wir natürlich, okay, e1 minus e2.
Also das, was erklärt wurde, in Prozent von E1.
Also wir drücken quasi die Summe dieser blauen Pfeile relativ zur Summe
dieser roten Pfeile aus und für die einzelnen Verfahren ist dann jeweils unterschiedlich,
wie E1 und E2 genau bestimmt werden.
In unserem Falle wird E1 dann eben über die Variation von
Y bestimmt
Und das schauen wir uns dann jetzt gleich nochmal wieder in
den Folien und in entsprechenden Rechentabellen an. Wir alle wissen,
Wiederholung ist die Mutter der Weisheit und deshalb nach der Tafel zunächst nochmal
das Ganze einmal auf der Folie und dann zur Rechentabelle.
Wir wollen also die Streuung, die unsere Y-Variable grundsätzlich hat,
erklären. Und wir gucken uns an diesem roten Datenpunkt jetzt
noch einmal an, was damit eigentlich genau gemeint ist.
Also die Streuung, die eine Variable hat,
besteht aus der Differenz der einzelnen Werte auf ihren Mittelwert,
dem schwarzen Pfeil, den wir hier sehen.
Diese Streuung wollen wir zum Beispiel mit einem Regressionsmodell erklären und haben dann
in diesem Regressionsmodell einen erklärten Streuungsanteil, eine erklärte Varianz.
Und das ist der kleine, gestrichelte schwarze Pfeil, den sie jetzt sehen.
Also die Differenz zwischen dem Y-Mittelwert und dem Wert auf der Regressionsgraden.
Denn das ist der Teil der Streuung in Y,
die wir begreifen, die wir erklären
Erklären können durch unser Regressionsmodell und es bleibt eine Reststreuung übrig. E2,
nach dem, was ich hier eben auch dran geschrieben hatte,
wo wir immer noch nicht wissen, wo diese Reststreuung herkommt.
Das Ganze nochmal an einem anderen Datenpunkt,
damit sie sehen, dass es nach unten auch funktioniert.
Also Streuung in Y-Differenz zwischen dem einzelnen Datenpunkt und seinem Mittelwert
erklärte Varianzdifferenz zwischen der Regressionsgraden und dem Mittelwert und nicht erklärte Streuung,
Reststreuung, das,
was zwischen der Regressionsgraden und dem Datenpunkt
immer noch übrig bleibt
Die langen grünen Pfeile E1, die kurzen,
gepunkteten Pfeile E2 und damit kommen wir dann also genau zu
dieser Streuungszerlegung, wie wir es nennen.
Also wir zerlegen die ursprüngliche Streuung in Y, in zwei Komponenten,
nämlich in die erklärte und in die nicht erklärte Streuung.
Die erklärte Streuung E1 minus E2, also auch entsprechend dem,
was ich hier gezeigt hatte und die nicht erklärte Streuung dementsprechend, also E2.
Und das sehen Sie hier in der Formel,
die generische Formel für das PRE-Mars,
E1 minus E2 durch E1,
ist gleich
Die erklärte Varianz, R-Quadrat, Piercens Air-Quadrat,
also der R-Wert, den wir ausgerechnet haben,
kann einfach quadriert werden oder den wir gelernt haben,
auszurechnen, kann einfach quadriert werden, hierher zu kommen.
Ich habe einen anderen Weg, als das Quadrieren von R gewählt,
weil auf diesem anderen Weg deutlich wird, was dieser Koeffizient,
diese erklärte Varianz, was das R-Quadrat denn eigentlich bedeutet.
Und unten sehen sie jetzt nochmal in der Formel,
wie das R-Quadrat eben auf diesem Wege zustande kommt,
nämlich als die Summe der quadrierten Abweichungen der einzelnen Y-Werte
auf ihren Mittelwert geteilt durch
Und das ist die Gesamtvarianz. Und diese Gesamtvariante zerlegen wir
in die erklärte Variante, also E1 minus E2. Das,
was zwischen Regressionsgrade und Mittelwert liegt, die Differenz,
die zwischen Regressionsgrade und Mittelwert liegt.
Deswegen YDAC, der Vorhersagewert, der Wert auf der Regressionsgrade minus Y quer.
Und dann bleibt etwas übrig, die sogenannte Resitualvarianz.
Und das ist dieser E2-File. Also das,
was als Differenz jetzt noch zwischen unserem Vorhersagewert auf der Regressionsgraden
und dem tatsächlich beobachteten Y-Wert liegt.
Und dieses E2, das entspricht auch dem EI,
das sie vorhin in der Regressionsgleichung gesehen haben.
Also für jeden einzelnen Fall ist E2 diese EI-Komponente aus der Regressionsgleichung,
die sich zum Gesamtfehler,
der in unserem Erklärungsmodell drinsteckt,
Und hier zeige ich Ihnen jetzt mit der Rechentabelle,
die Sie bereits kennen, wie wir dieses R-Quadrat ausrechnen.
Das tun wir nämlich ganz einfach, indem wir die einzelnen Varianzkomponenten hernehmen,
also dieser rote Pfeil verbindet jetzt eine dieser Varianzkomponenten mit der entsprechenden Spalte,
YI, durch Y quer zum Quadrat.
Das ist also unser E1 und das Gesamte1,
wie Sie dort in Rot sehen, ist dann,
jetzt muss ich genau aufpassen, 13 Millionen 900,
22.10088, das ist ein dimensionsloses Maß,
das überhaupt erst Sinn bekommt,
wenn wir es in Relation zu den anderen Fehlern stellen
Haben wir sozusagen die erklärte Komponente, also das,
was wir durch unser Regressionsmodell begriffen haben.
Und wir haben die Restvarianz, nämlich den Abstand zwischen
unserem Regressionswert und dem tatsächlich beobachteten Wert.
Und aus diesen Komponenten ergibt sich dann e1-E2 durch
Die erklärte Varianz, also die Streuung in Y,
die wir durch unser Regressionsmodell erklären wollten.
Und natürlich idealerweise erklären wir die gesamte Streuung in dem Modell
mit dem britischen Pfund, würde genau das passieren.
Wir würden die gesamte Streuung in der einen oder der anderen Währung erklären können.
In unseren üblichen Erklärungsmodellen ist die erklärte Varianz natürlich in der Regel geringer,
manchmal deutlich geringer. Wenn die erklärte Varianz null beträgt,
dann können wir damit natürlich nichts anfangen. Und bei den
anderen Größen müssen wir jetzt im Laufe dieser Vorlesung und im Laufe der Vorlesungsreihe dann noch lernen,
welche R-Quadratwerte oder welche Werte eines PHI-Maßes uns vielleicht schon ein Stück
weit zufriedenstellen und bei welchen Werten wir dann vielleicht auch sagen,
okay,
also mit diesem Zusammenhang können wir soweit erstmal gar nichts anfangen
Ja, und dann kann ich zur nächsten Zwischenzusammenfassung kommen.
Also was haben wir bis jetzt besprochen? Wir haben über Korrelation gesprochen,
wir haben über den Regressionskoeffizienten gesprochen, wir haben über R-Quadrat gesprochen.
Und ich fasse einfach nochmal zusammen, was die einzelnen Werte denn jetzt hier eigentlich ausdrücken.
Korrelation ist der nomierte Ausdruck für den Zusammenhang zwischen zwei Variablen
als stark und schwach normiert in dem Sinne,
dass der Korrelationswert minimal minus eins sein kann,
perfekter negativer Zusammenhang, maximal plus eins,
perfekter positiver Zusammenhang oder eben null, es gibt keinen Zusammenhang.
Dieses Maß ist dimensionslos, drückt einfach aus minus eins und plus eins,
ob es einen Zusammenhang gibt und ob es ein recht eindeutiger oder ein weniger eindeutiger Zusammenhang ist.
Dann haben wir den Regressionskoeffizienten als das inhaltlich mathematische Maß oder den inhaltlich mathematischen Ausdruck für unseren Zusammenhang im Sinne von auf eine Änderung in X von so und so viel Einheiten,
folgt eine Änderung in Y von so und so viel Einheiten,
also B1 der Regressionskoeffizient ist Delta Y, die Änderung in Y,
die zu einer bestimmten Änderung in X, Delta X gehört,
also der Quotient aus diesen beiden Veränderungen,
so wie wir das grafisch bei dem Pfund-Dollar-Modell dargestellt haben und wie wir dann gelernt haben,
auszurechnen, wenn unsere Daten nicht so schön auf einem Punkt liegen.
Und dann haben wir gesagt, gesagt,
wir wollen noch ein weiteres Maß haben,
nämlich ein Maß für die Stärke des Zusammenhangs,
dass in gewisser Weise, nein, nicht in gewisser Weise,
dass in sehr engem Zusammenhang mit diesem Korrelationsmaß oben steht,
aber dass dadurch, dass wir dieses Korrelationsmaß quadrieren,
definitiv nur noch von 0 bis 1 geht, wobei dann 0 heißt,
wiederum es gibt keinen Zusammenhang und eins würde eben heißen,
die Streuung und Y wird komplett vollständig erklärt durch unsere erklärende Variable,
Währungsbeispiel oder wir landen irgendwo anders und die Streuung wird
sozusagen zu einem geringeren Prozentsatz erklärt
Damit haben wir Punkt 5, die Ermittlung der Vorhersagekraft des Regressionsmodells
auch schon abgeschlossen und können uns jetzt einen Punkt zuwenden,
der gerade bei Regressionsanalysen wirklich sehr wichtig ist,
nämlich der Frage der Anwendungsvoraussetzungen der sogenannten Diagnostik.
Denn damit wir zuverlässig Regressionsanalysen rechnen können,
müssen die Daten eine ganze Menge Eigenschaften erfüllen.
Bevor wir über diese Eigenschaften aber sprechen, schlage ich vor,
machen Sie und ich eine kurze Pause und ich möchte Sie bitten,
nach der Pause dann mit dem zweiten Video für den
heutigen Termin weiterzumachen.
Bis gleich