Liebe Studierende, wir kommen zurück zur Vorlesung Methoden 2, quantitative Analyseverfahren.
Ich bin Kai Wischnapp und wir befinden uns in der dritten Vorlesungswoche.
In dieser Woche beginnen wir mit dem Thema Regressionsanalyse und zwar mit
dem Teil 1. Wir haben eine ganze Reihe von Themen,
die wir im Detail besprechen möchten.
Zunächst will ich Ihnen ganz kurz an Beispielen zeigen,
was wir eigentlich mit der Regression machen und Sie dabei
ein wenig in das Thema einführen und vielleicht auch motivieren,
sich mit dem Thema auseinanderzusetzen.
Zunächst werde ich Ihnen dann das Prinzip der Korrelation erklären,
also was bedeutet dieser Begriff,
was hat das mit Regression zu tun,
aus dem Begriff der Korrelation entwickeln wir das Prinzip der Regression
und berechnen dann die sogenannte Regressionsgrade
Im nächsten Schritt Schritt befassen wir uns mit der Frage,
was ist denn eigentlich die Vorhersagekraft oder die Erklärungskraft eines Regressionsmodells
und müssen uns dann recht ausführlich mit der Frage auseinandersetzen,
welche Eigenschaften müssen unsere Daten denn eigentlich erfüllen,
damit wir überhaupt eine Regressionsanalyse durchführen können,
beziehungsweise damit wir mit der Analyse, die wir durchführen,
auch verlässliche Ergebnisse bekommen.
Und zum Schluss werden wir nochmal so eine vollständige Analyse mit
allen ihren Teilen durchsprechen und von einem Modell,
in dem es eine erklärende Variable gibt,
zu einem Modell kommen,
in dem es mehrere erklärende Variablen gibt
Zunächst jetzt aber zwei Beispiele. Ein Beispiel für die Politologinnen
unter Ihnen, ein Beispiel für die Soziologinnen unter Ihnen,
aber natürlich beide Beispiele sind für alle interessant.
Sie alle kennen es, wenn am nächsten Sonntag Bundestagswahl wäre,
die Frage, die immer gestellt wird und die regelmäßig in
den Medien über die regelmäßig in den Medien auch berichtet wird.
Kollegen, Thomas Quent und Helmut Norport haben schon vor längerer Zeit
ein Vorhersagemodell für Bundestagswahlen entwickelt und in dieses Modell gehen erklärende Variablen ein und natürlich eine zuerklärende Variable in diesem Fall,
aber nicht die Frage, was ist das Wahlergebnis einzelner Parteien,
sondern die beiden wollten vorhersagen,
wie hoch wird im Wahlergebnis der Anteil der Regierungsparteien sein.
Und sie erklären dieses Wahlergebnis mit drei Größen,
nämlich mit einer langfristigen Größe.
Sie messen, wie die Unterstützung der Regierungsparteien über die letzten
drei Wahlen
gewesen ist
Mit einer kurzfristigen Größe, nämlich der Einschätzung des Bundeskanzlers,
der Bundeskanzlerin in der Bevölkerung direkt vor der Wahl.
Und mit einer Größe, die darauf zielt zu erfassen,
wie er müdet die Wählerinnen und Wähler denn von diesem Kanzler oder dieser Kanzlerin schon sind,
in dem gesagt wird, okay,
wie viele Wahlperioden ist die Kanzlerin denn schon im Amt und hat das einen Einfluss auf die Wahlergebnisse.
Also der Versuch, vorherzusagen, was bei einer nächsten Bundestagswahl herauskommt,
der Anteil der Regierungsparteien am Wahlergebnis, basierend auf drei Variablen.
All diese Variablen bedürfen meines Erachtens keiner großen Erläuterung.
Das versteht sich relativ von selbst, was da passiert.
Und ich will ihnen zunächst tatsächlich zeigen, wie das bei
den einzelnen Variablen aussieht. Wenn wir Unten auf der X-Achse,
also da, wo die erklärende Variable steht,
wenn wir da den langfristigen Wählerrückhalt abtragen und auf der Y-Achse,
das wird bei den nächsten Grafiken jetzt auch so bleiben.
Den Stimmenanteil der Regierung abtragen, dann sehen wir tatsächlich,
es gibt hier einen relativ klaren positiven Zusammenhang.
Je größer die langfristige Unterstützung, desto höher ist am Ende
auch das Wahlergebnis der jeweiligen Regierungsparteien.
Je geringer die langfristige Unterstützung, desto niedriger ist das Wahlergebnis
oder desto geringer ist der Stimmenanteil der Regierungsparteien.
Wir sehen also Wählerinnen springen nicht komplett von Wahl zu Wahl hin und her,
sondern da ist ein gewisser langfristiger Trend drin und mit
diesem Trend können wir im Sinne eines Vorhersagemodells dann natürlich auch
etwas anfangen
Wir haben eine weitere Folie. Hier haben wir jetzt
die Unterstützung, die aktuelle Unterstützung der Kanzlerin abgetragen.
Also wie steht die Kanzlerin in Umfragen vor der Wahl da?
Wie wird sie von den Wählerinnen und WLAN wahrgenommen?
Und wieder erklären wir den Stimmenanteil der Regierung in der Wahl.
Und auch hier sehen wir einen sehr eindeutigen, positiven Trend.
Je höher die Unterstützung der Kanzlerin in der Meinung der Bevölkerung,
desto besser dann auch wieder das Wahlergebnis für die Regierenden Parteien.
Und sie sehen an den einzelnen Datenpunkten,
damit sie sich ja auch orientieren können, die jeweiligen Jahreszahlen der Bundestagswahlen,
können sich das also auch nochmal im Detail anschauen,
vielleicht auch nochmal mit historischen Informationen überprüfen,
wer ist denn seinerzeit eigentlich Kanzler oder Kanzlerin gewesen und
so weiter und so fort.
Und wir haben die dritte erklärende Variable
Die Anzahl, die der amtierende Kanzler oder die Anzahl der Amtsperioden,
die der amtierende Kanzler oder die amtierende Kanzlerin bereits im Amt ist.
Und hier haben wir einen klaren negativen Trend. Also je länger jemand amtiert,
desto geringer werden offensichtlich die Chancen der eigenen Partei oder der Regierungskoalition auf ein besonders gutes Wahlergebnis.
Offensichtlich gibt es tatsächlich so etwas wie einen Ermüdungseffekt.
Sie werden sich nicht mehr wirklich an Helmut Kohle erinnern,
die meiste Zeit, die sie politisch das Leben wahrgenommen haben,
ist Angela Merkel, Kanzlerin gewesen,
aber Helmut Kohl war eben auch so jemand, der viele,
viele Jahre, viele, viele Amtsperioden regiert hat.
Und das Wahlergebnis ist immer schlechter geworden, bis dann 98,
1998 die Rot Grüne Koalition Helmut Kohl abgelöst hat.
Jetzt haben wir seit Jahren eine Kanzlerin Merkel, allerdings nicht in
so stabilen Koalitionskonstellationen, wie das seinerzeit bei Kohl gewesen ist.
Was machen wir jetzt aus diesen Beobachtungen, aus diesen drei Beobachtungen,
dass die langfristige Unterstützung einen positiven Effekt hat, dass die Unterstützung,
die kurzfristige Unterstützung der Kanzlerin einen kurzfristigen positiven Effekt hat und dass die Zahl der Amtsperioden einen negativen Effekt hat?
Wir werfen das in ein Regressionsmodell und bei diesem Regressionsmodell kommt jetzt diese Tabelle heraus,
ein Ziel der Vorlesung ist es,
ihnen mehr im Detail zu erklären,
wie diese Tabelle zustande kommt und vor allem aber eben auch zu erklären,
wie diese Zahlen zu interpretieren sind.
Ich lese ihnen trotzdem einmal vor oder berichte ihnen einmal kurz,
was diese Zahlen denn jetzt eigentlich für uns bedeuten.
Wir sehen hier langfristige Stärke, koeffizient 0,71. Dieser Koeffizient,
0,71 sagt uns, dass wenn die langfristige Stärke einer Regierungskoalition,
also gemessen über die Stimmenanteile in den zurückliegenden Wahlen,
wenn diese um ein Prozent höher liegt als in einer anderen Wahl,
dann gewinnt diese Regierungskoalition plus 0,71 Prozent mehr Stimmen.
Also langfristige Stärke wirkt sich positiv auf das Wahlergebnis aus.
Und zwar in dem Sinne, dass ein Prozentpunkt mehr
langfristige Unterstützung zu 0,71 Prozentpunkten besseren Wahlergebnis führt.
Die Kanzlerinnen-Unterstützung wirkt nicht ganz so kräftig,
aber ein Prozentpunkt mehr Kanzlerinnen-Unterstützung führt zu 0,4 Prozentpunkten näher im Wahlergebnis.
Also auch hier der positive Effekt. Und jetzt haben wir
eine Zahl mit einem Minus davor
Minus 1. Und diese Zahl besagt uns, dass jede zusätzliche Amtsperiode,
die ein Kanzler oder eine Kanzlerin amtiert hat,
die Regierungskoalition ein Prozent an Stimmen in dieser Wahl kostet. Die weiteren Angaben R-Quadrat,
Root, MSI, erkläre ich jetzt im Moment nicht,
die habe ich einfach der Vollständigkeit halber da,
damit sie, wenn wir mit der Vorlesung durch sind,
nochmal zurückgucken können und sagen, ach ja,
da sind sie und sie sehen an dem N,
dass hier insgesamt 18 Wahlen in dieses Modell eingegangen sind.
Also hier ein relativ einfaches,
vor allem wenn man sich hier diese Grafiken anschaut,
relativ klar verständliches Modell, wo man sagt, okay,
und mit diesem Modell können wir tatsächlich etwas verstehen,
nämlich wie Wahlen funktionieren, welche Kräfte Wahlen treiben,
beziehungsweise in diesem Falle sogar auch Wahlen vorhersagen.
Also diese konkreten Zahlen wurden von Quent und Norpod genutzt,
um das Wahlergebnis bei der Bundestagswahl 2020 vorherzusagen.
Und sie sind mit diesen Modellen,
seit sie das Modell entwickelt haben,
immer sehr erfolgreich gewesen,
also sehr nah an den tatsächlichen Wahlergebnissen
dran gewesen
Damit zu einem etwas soziologischeren Beispiel. Ich möchte erklären,
welchen Effekt Alter und Bildung auf die Gesundheit einer Person haben.
Wir wissen, dass die Bildung und die Gesundheit von Personen zusammenhängen.
Je höher gebildet Personen sind, desto gesünder leben sie in der Regel,
weil sie mehr wissen, weil sie im Zweifel auch über bessere Ressourcen verfügen.
Und die Frage, die hier jetzt im Besonderen interessiert ist,
was passiert eigentlich mit diesem Bildungseffekt auf die Gesundheit, wenn Menschen älter werden?
Und wenn man das Ganze etwas formaler hinschreibt, dann würde man sagen,
also Gesundheit ist gleich oder ist eine Funktion der Bildung,
höher gebildete, haben eine bessere Gesundheit als geringer gebildete.
Und wir wollen jetzt eben wissen, okay, was passiert mit diesem Zusammenhang,
Gesundheit hochgebildet, Gesundheit gering gebildet, wenn Personenalter werden.
In dem Text, auf den diese Daten,
die jetzt gleich kommen, zurückgehen, steht folgender Satz,
um die Veränderung der Gesundheit im Alter in Abhängigkeit von der Bildung zu analysieren,
wird in Anlehnung an Ross & Who, folgendes OLS-Regressionsmodell geschätzt.
Und da geht es schon los. Was ist denn ein
OLS-Regressionsmodell und dann kommt diese Formel und es wird schwierig.
Zunächst OLS steht für nichts weiter als Ordner Released Squares, die Methode der kleinsten Fehlerquadrate.
Das ist das, was ich Ihnen im Folgenden erläutern will.
Und was Sie hier in dieser Formel sehen,
Kann man auch ganz einfach in normale Sprache übersetzen.
Vor dem Gleichheitszeichen Gesundheit 2007 minus Gesundheit 2004 steht nichts weiter
als die Veränderung des Gesundheitszustandes einer Person in dieser Zeit zwischen 2004 und 2007.
Und dahinter stehen die sogenannten erklärenden Variablen. Also die Variablen,
mit denen wir erklären wollen, warum sich der Gesundheitszustand wie verändert hat.
Nämlich das Alter im Jahr 2004, also die Ausgangsgröße, die Bildung der Person.
Und dann kommen eine Reihe von die Gesundheit messenden Größen.
Und das gucken wir uns jetzt mal etwas mehr im Detail an.
Gesundheit wird hier auf sehr vielen unterschiedlichen Dimensionen gemessen,
Gesundheit ja auch tatsächlich ein mehrdimensionales Konzept ist.
Und ich berichte ihnen einfach mal, was in dieser Tabelle drinsteht.
Wir haben als erstes das Mars ADL,
Activities of Daily Living, also hier wird gefragt,
ob bei Basisaktivitäten des täglichen Lebens wie aufstehen und anziehen,
Einschränkungen bestehen oder nicht.
Dann haben wir die IADL, die Instrumental Activities of Daily Living.
Hier geht es um die Frage,
ob bei höherwertigen Tätigkeiten einkaufen gehen, Medikamente einnehmen,
kochen und so weiter, ob da Einschränkungen bestehen.
Mobilitätseinschränkungen, ist es anstrengend, mehr als 100 Meter zu
laufen oder länger als zwei Stunden zu sitzen, Anzahl chronischer Krankheiten.
Subjektive Gesundheit, gemessen auf einer Skala von 1 bis 5
, physische Kraft wird hier durch die Greifkraft gemessen.
Dann gibt es einen Index für die Anzahl depressiver Symptome,
die eine Person haben kann. Es gibt eine Frage nach der zeitlichen Orientierung,
also ob jemand einen Tag, Monat,
Jahr zum Beispiel Wochentag des Interviews ohne weiteres berichten kann oder nicht als Messung der geistigen Gesundheit.
Es werden kleine numerische Rechenaufgaben geprüft zur Messung der geistigen Gesundheit
und es wird das Gedächtnis geprüft,
in dem zehn Worte gelesen werden sollen und die sollen
dann ohne Referenz auf den Text wiederholt werden
Das sind also die Maße für die physische Gesundheit und was sie hier sehen,
ist wieder eine Regressionstabelle, also die gleiche Tabelle,
die ich ihnen eben für das Wahlbeispiel gezeigt hatte,
nur weil wir jetzt unterschiedliche Gesundheitsaspekte erklären,
stehen hier so viele Spalten nebeneinander und damit das Ganze einmal etwas sichtbarer wird,
was da eigentlich steht.
Kurz diese Tabelle, also ich habe jetzt M3 die Mobilität herausgegriffen und sie sehen auf der,
in der Tabelle als erklärende Variable für das Ausmaß der Mobilitätsgesundheit im Jahre 2007 wird also geschaut,
ist die Person männlich oder weiblich was hat das für einen Effekt?
Wie alt ist die Person und wir sehen hier wieder eine negative Zahl?
Also je älter die Personen werden, desto geringer wird die Gesundheit. Wir sehen den Regressionskoffizienten dahinter,
der Bildung steht, der ist positiv, also Bildung,
wie vorhin schon gesagt hat,
einen positiven Effekt und dann wird vor allem auch gefragt,
wie wirken denn Alter und Bildung zusammen,
dass es diese Zeile Altermalbildung und dann haben sie unten wieder die Anzahl der Fälle und dieses R-Quadrat,
über das wir später sprechen werden.
Damit das Ganze etwas eingängiger wird, will ich aber jetzt
gar nicht über diese Tabellen mit ihnen reden. Die Tabelle habe ich ihnen eben nur gezeigt,
damit sie einmal sehen,
was da im Detail in dieser etwas unlesbaren großen Tabelle steht und wir schauen einmal,
hier auf diese Grafiken,
denn die erzählen uns eigentlich die ganze Story und zielt dieser Vorlesung ist es sozusagen,
ihnen genau auch diese Story sozusagen näher zu bringen oder ihnen für die Zukunft das Instrument an die Hand zu geben,
um auf so eine Grafik zu schauen und sofort zu sagen,
ach ja, habe ich verstanden.
Also wir haben die Activities of Daily Living. Wir haben hier
zwei Linien oder zwei relativ breite Balken in diesem Diagramm.
Die eine Linie steht für die höher gebildeten.
Das ist in der Regel in allen Diagrammen die obere Linie
und die andere Linie steht für die geringer gebildeten.
Und was wir hier also sehen, unten auf der X-Achse
sehen sie Alter, das Alter verläuft von links nach rechts.
Also je älter die Personen werden, desto mehr passiert irgendwo.
Und wir sehen, die Gesundheit geht natürlich im Alter herunter.
Beide geraden sind vom geringeren Alter zum höheren Alter nach unten geneigt.
Aber das Wichtige ist, dass wir jetzt hier sehen,
dass die Gesundheit der höher gebildeten,
die beim Alter 50 in etwa auf dem gleichen Ausgangsniveau liegt,
wie bei den geringer gebildeten,
dass die Gesundheit der höher gebildeten bei diesen Activities of Daily Living viel langsamer abnimmt,
als bei den geringer gebildeten.
Also wir haben hier tatsächlich,
ich will nicht gleich sagen ein Problem,
aber wir haben ja einen starken Effekt der Bildung,
die Gesundheit bei geringer gebildeten nimmt im Alter deutlich schneller,
deutlich stärker ab
Als bei höher gebildeten, das ist im Zweifelsfalle natürlich auch etwas mit,
dass ich dann einem ein politisches System,
das ich auch als Sozialstaat versteht, auseinandersetzen muss.
Aber das war genau die Frage,
die bei dieser Studie eben auch interessiert hat.
Haben wir einfach diesen Unterschied, den wir kennen?
Oder verändert sich dieser Unterschied im Alter? Und ja,
wir sehen bei Activities of Daily Living Staaten hoch und gering gebildete,
auf fast gleichem Niveau und bewegen sich dann sehr unterschiedlich schnell nach unten.
Wenn wir auf die Instrumental Activities gehen, also zur Erinnerung,
dass wir einkaufen, Medikamente einnehmen und so weiter,
dann haben wir ein sehr ähnliches Bild,
sind ja auch
beides Aktivitäten
Geringer gebildeten Staaten hier sogar leicht höher als die höher gebildeten,
aber dann wieder eine starke negative Tendenz und im Alter von 80 Jahren
gibt es dann schon eine erheblichen Gesundheitsunterschied zwischen höher und geringer Gebildeten.
Ähnlich bei der Mobilität, gleiches Ausgangsniveau und dann geht es gleichmäßig nach unten.
Bei den chronischen Krankheiten haben wir ein etwas anderes Bild,
die beiden unterschiedlichen Gruppen, die höher und die geringer gebildeten,
Staaten auf unterschiedlichem Niveau, aber es gibt einen negativen Trend bei beiden,
also die Anzahl der chronischen Krankheiten nimmt sozusagen zu im höheren Alter,
aber die höher und geringer gebildeten entfernen sich nicht voneinander,
sondern der Abstand bleibt relativ gleich.
Gleichwohl, die geringer gebildeten Habe ein etwas geringeres Niveau an Gesundheit von Anfang an,
aber zumindest haben wir hier keinen Trend,
der die beiden Gruppen auch noch auseinanderspreizt.
Das Gleiche gilt für die subjektive Gesundheit, größerer Unterschied von Anfang an,
negative Tendenz, wenn die Menschen älter werden,
aber der Unterschied zwischen den beiden Bildungsgruppen wird nicht größer.
Und bei der Greifkraft wieder das Bild,
wie wir es von der oberen Zeile kennen,
relativ gleiches Ausgangsniveau und dann etwas stärkerer Verlust an Greifkraft,
also etwas stärkerer Verlust an Gesundheit bei den bei denen geringer gebildeten.
Also hier ein Beispiel, das uns sehr deutlich zeigt,
was welche Art von Fragen man möglicherweise mit diesen Regressionsanalysen beantworten kann.
Beide Beispiele zeigen, denke ich, auch,
dass es durchaus Dinge von täglicher Relevanz, auch von gesellschaftlicher Relevant sind.
Also gerade in diesem Beispiel die Frage, wie entwickelt sich Gesundheit,
von welchen Faktoren hängt die Entwicklung dieser Gesundheit ab.
Und damit natürlich auch dann zusammenhängt die Frage, was kann ich
als Gesellschaft daran tun, wenn ich solche Erkenntnisse habe?
Und das sind Dinge, die uns nicht nur die Regressionsanalyse vermitteln kann. Es gibt andere Studienformen,
andere empirische Methoden, sicherlich auch zum Beispiel qualitative Interviews,
die gerade in dem Thema auch eine Rolle spielen können,
aber es ist ein wesentlicher Bestandteil oder es kann ein wesentlicher Bestandteil unseres Wissens über bestimmte Phänomene sein.
Und deswegen ist es aus meiner Sicht wichtig,
dass sie zumindest verstehen, was so eine Regressionstabelle von ihnen will,
was so ein Diagramm von ihnen will,
was die Aussage ist, die dahinter steht.
Und im Weiteren wird es natürlich auch noch darum gehen,
ihnen zu erklären,
wie man so eine Regressionsanalyse ordentlich durchführt,
damit sie beim Lesen dann auch noch beurteilen können,
ob jemand ihnen einen Bären aufbinden möchte oder ob das wirklich
auch alles den Regeln der Kunst entsprechend gemacht wurde
Soweit zur kurzen Einführung. Und jetzt komme ich dazu,
Ihnen das Grundprinzip, das hinter all diesen Analysen steckt,
nämlich das Prinzip der Korrelation zu erklären.
Was meinen wir, wenn wir von Korrelation sprechen?
Wir haben in der letzten Sitzung davon gesprochen, dass Variablen eine Streuung haben.
Also sie haben ein Minimale und einen Maximalwert und zwischen
diesem Minimal- und dem Maximalwert verteilen sich die Variablen irgendwie.
Wir haben dann in der letzten Woche Boxplot gemalt.
Wir haben uns in der Quartilabstände angeschaut. Wir haben Verteilungsdiagramme,
also die Säulendiagramme angeschaut und so weiter, um uns diese Streuung einer einzelnen Variablen anzuschauen.
Jetzt haben wir ja den Schritt gemacht,
dass wir nicht nur auf eine Variable schauen,
also den haben wir schon gerade gemacht,
sondern wir schauen auf mindestens zwei oder manchmal sogar noch viel mehr Variablen.
Und wenn wir von Korrelation sprechen, dann stellen wir uns genau die Frage, hat diese Streuung der Variablen etwas miteinander zu tun? Also zunächst einmal sprachlich formuliert,
ist es so, dass wenn bei zwei Variablen,
die sich ja auf das gleiche Untersuchungsobjekt beziehen,
also wenn wir das Beispiel Gesundheit und Alter nehmen,
auf die gleiche Person, ist es dann so,
dass wenn eine Person in der einen Variablen nach oben vom Durchschnitt abweicht,
also es gibt eine gewisse durchschnittliche Gesundheit im Alter von 50,
die eine Person war echt von diesem Durchschnitt nach oben ab,
die andere weicht von diesem Gesunddurchschnitt nach unten ab,
wie entwickelt sich das dann in einer anderen Variablen,
also zum Beispiel
dem Alter
Diese Korrelation messen wir mit dem sogenannten Piercension Korrelationskoeffizienten.
Ich werde Ihnen das Gleiche einmal an der Tafel zeigen.
Und dieser Korrelationskoeffizient ist zwischen minus eins und eins gebunden.
Dabei bedeutet minus eins, dass wir einen klaren negativen Zusammenhang haben,
plus eins bedeutet, wir haben einen klaren positiven Zusammenhang,
null bedeutet, wir haben gar keinen Zusammenhang.
Ich gehe immer in die Tafel,
um Ihnen das nochmal kurz zu verdeutlichen.
Aus den Beispielen eben kennen Sie das schon,
wir haben eine X-Achse und wir haben eine Y-Achse,
also zum Beispiel Alter und Gesundheit oder Zahl
der Wahlperioden
Wahlergebnis der Regierungsparteien in einer Wahl. Wenn ich jetzt sage,
ich habe einen positiven Zusammenhang zwischen diesen beiden Variablen,
dann habe ich Punkte, die in meinem Datenraum so liegen,
also der Durchschnitt der einen Variable,
der Durchschnitt der anderen Variable und dann haben wir sozusagen Datenpunkte,
die weichen in X nach unten vom Durchschnitt ab, Datenpunkte,
die weichen in Y nach unten vom Durchschnitt ab, wir haben Datenpunkte,
die sind ziemlich genau an den Durchschnitten und wir haben Datenpunkte,
die weichen in X nach oben vom Durchschnitt ab und die weichen in Y nach oben vom Durchschnitt ab und da ich jetzt hier ja auch eine fast gerade Linie gezeigt habe,
würden wir hier jetzt wahrscheinlich sagen,
dass er In diesem Beispiel ist rund eins,
also wir haben einen sehr klaren positiven Zusammenhang zwischen den Daten,
die wir hier sehen.
Zweites Beispiel, die Durchschnitte, nehme ich jetzt mal weg.
Unsere Daten sehen so aus. Also, trag die Durchschnitte
doch noch mal ein. Wir haben einen Datenpunkt,
der weicht auf der X-Variablen nach unten vom Durchschnitt ab,
aber auf der Y-Variablen war ich dann nach oben vom Durchschnitt ab.
Also jetzt nicht niedrig, niedrig, hoch, hoch,
sondern niedrig und hochgeht zusammen und hoch in X und niedrig in Y gehen zusammen.
Also hier ein sehr eindeutiger negativer Zusammenhang und wir würden hier dann dementsprechend sagen,
dass unser R minus eins ist und das Minus drückt dann eben genau aus,
dass unsere gerade nicht so geht,
sondern dass unsere gerade so geht.
Also je älter ich werde, desto geringer wird meine Gesundheit.
Je mehr Wahlperioden ich im Amt bin,
desto geringer werden meine Aussichten bei der nächsten Wahl
auch wieder ein gutes Ergebnis zu erzielen.
Und dann haben wir noch
den dritten Fall
Und im dritten Fall sieht es vielleicht so aus.
Also, wir haben wieder einen X-Durchschnitt.
Wir haben einen Y-Durchschnitt und hier sind irgendwie Punkte.
Während ich in den vorherigen beiden Beispielen ziemlich eindeutig so
eine gerade durch die Punktwolke legen konnte oder so eine
gerade durch die Punktwolke legen konnte und dann dementsprechend einen Zusammenhang
von minus eins beziehungsweise einen Zusammenhang von Plus eins
Ist es jetzt so, dass ich hier eigentlich
überhaupt nichts mit einer Tendenz durch die Punkte legen kann,
sondern es gibt zwischen den beiden Variablen keinen Zusammenhang.
Es gibt ein paar Variablen, die weichen,
nach unten vom X-Durchschnitt ab und die weichen auch nach unten vom Y-Durchschnitt ab.
Genauso gibt es viele, gibt es aber, die nach unten
von X abweichen, aber nach oben von Y abweichen.
Und auf der anderen Seite genauso. Wir haben hier Fälle,
da weicht, da weichen die Fälle nach oben,
von X-Durchschnitt ab, aber nach unten vom Y-Durchschnitt.
Wir haben hier Fälle, die weichen nach oben vom X-Durchschnitt
ab und nach oben vom Öbchen und Durchschnitt.
Also hier haben wir ein R von null.
Es gibt zwischen diesen beiden Variablen offensichtlich keinen Zusammenhang oder anders.
Es gibt zwischen diesen beiden Variablen keinen offensichtlichen Zusammenhang
Das ist also das Grundprinzip der Korrelation,
über das ich jetzt noch im Weiteren mit Ihnen sprechen will.
Wir haben also gesehen, positive Zusammenhänge von links, unten nach rechts oben,
negative Zusammenhänge von links oben nach rechts unten, kein Zusammenhang.
Das sieht hier ungefähr so aus und dafür stehen dann eben
die Zahlen minus 1, 0 und plus 1 bei diesen Korrelationskoffizienten.
Ich würde jetzt mit Ihnen einmal ein Beispiel ausrechnen,
in dem man als einen ersten Schritt sehen kann, wie diese Berechnung funktioniert.
Denn wir wollen ja nicht einfach nur so über den Daumen peilen,
das geht hier in Richtung 1,
das geht in Richtung minus 1, das geht in Richtung 0,
sondern wir wollen möglichst exakt, möglichst exakt die Sachen berechnen,
so wie wir letzte Woche auch exakt einen Mittelwert ausgerechnet haben,
exakt die Streuung ausgerechnet haben, den Interquartillabstand und so weiter und so fort.
Also hier kleines Zahlenbeispiel, eine Punktwolke,
die sich in unserem Koordinatensystem befindet, wenn wir Eine,
gerade durch die Punkte legen, dann sehen wir,
die meisten Punkte sind genau auf der Linie,
aber einer ist nicht so ganz auf der Linie.
Also wir haben definitiv keinen eindeutig positiven Zusammenhang,
den wir dann mit eins beziffern würden, sondern einen,
der nicht ganz an dieser Stelle liegt und dann ist jetzt die Frage,
okay, wie rechnen wir das Ganze aus?
Dazu zunächst zwei Formeln. Sie sehen hier die Formel für die Varianz,
die wir in der letzten Woche schon kennengelernt haben,
also die Summe der Quadrate der Abstände aller einzelnen Fälle auf ihren Mittelwert
und dann geteilt durch die Zahl der Fälle und wir brauchen Jetzt aber eine zweite Formel.
Und das ist die Formel für die Co-Varianz, also die gemeinsame Streuung der beiden Variablen,
die wir zu der Varianz in den einzelnen Variablen ins Verhältnis setzen wollen.
Und das sehen Sie in dieser zweiten Formel,
aber bevor ich versuche,
Ihnen diese Formel anhand ihrer selbst zu erklären,
gehe ich einmal an die Tafel und beschreibe an der Tafel,
was diese Formeln eigentlich meinen,
um das dann nochmal zusammenzufassen und dann das Konzept von Varianz
und Coviance im Verhältnis zueinander besser erklärt zu haben
Also, an die Tafel. Sie sehen,
ich habe hier schon mal was aufgeschrieben, wir haben zwei Variablen,
die Variable X und die Variable Y, wir haben hier wieder unseren Laufindexi,
also die Identifikationsnummer der einzelnen Fälle von 1 bis 6,
die Variablen, Variable X, 4, 5,
6, 7, 8, 9, die Variable Y,
3, 4, 5, 6, 7,
9, das sind genau die Zahlen,
die sie eben auch in der Grafik gesehen haben.
Der Durchschnitt der X-Variablen ist 6,5, der Durchschnitt
der Y-Variable ist
So, jetzt hatte ich eben in der Formel gezeigt,
dass wir zunächst die Varianzen der beiden einzelnen Variablen brauchen.
Da wissen wir also seit der letzten Woche, um die Varianz auszurechnen,
müssen wir erstmal für jeden Einzelnen der Werte rechnen.
1, 2, die Differenz des einzelnen Wertes auf den Mittelwert.
Also 4, minus 6,5 ist minus 2,5.
Dann haben wir hier minus 1,5 minus
0,5, 1,5. Und 2,5. Und das Ganze müssen wir jetzt noch quadrieren.
Und wir werden gleich sehen oder gleich einen Grund sehen,
warum wir hier quadrieren und nicht andere Verfahren verwenden,
nach denen man möglicherweise auch fragen könnte.
Also wir haben wieder die Differenz, aber wir quadrieren
diese Differenz jetzt. Und wenn wir die Differenz quadrieren,
dann kommen wir hier auf 6,3. Auf 2,3 auf 0,3 wieder
0,3 2,3.
Und wieder
Entschuldigung, 6,3. So, das wäre,
wären die Varianz-Komponenten oder die Variationskomponenten zunächst für die X-Variable,
damit wir hier etwas Platz sparen,
wische ich die Zeile jetzt einmal kurz weg und schiebe die Zeile kurz hier rüber.
So, etwas aufgeräumt an der Tafel,
wir können das Ganze gleich noch einmal aufsummieren,
die Summe hier ist 17,5 und dann machen wir mit der Y-Variable weiter,
wieder erst die Differenzen aller Einzelwerte auf den Mittelwert.
Diese Differenzen sind jetzt minus
Minus 1,7 minus 0,7 plus 0,3 plus 1,3 und plus 3,3
und auch hier ist wieder die Frage Y-Y und das Ganze zum Quadrat.
Und wenn wir das quadrieren, dann haben wir 7,1 2,8 0,4,
sie sehen, ich schaue mal auf einen kleinen Spickzettel,
0,1 1,8 und 11,1 So,
und auch hier wische ich diese Spalte jetzt einmal schnell weg und schiebe die Quadratspalte einmal nach links rüber.
So, die Spalte ist rübergeschoben, einmal aufsummieren,
dann haben wir hier unten 23,4 stehen und jetzt kommt der entscheidende Schritt.
Also hier sind wir erstmal bei den Varianzen unserer beiden einzelnen Variablen,
also nichts, was wir nicht aus der letzten Woche schon kennen.
Jetzt kommt die Co-Varianz,
also die gemeinsame Streuung von X und Y und die rechnen wir aus,
wie es die Formel eben schon gezeigt hat,
aber jetzt mache ich es hier nochmal für sie detailliert.
Die rechnen wir aus, indem wir sagen, okay,
Wir wollen die einzelnen Differenzen der X-Werte auf ihren Mittelwert haben.
Wir wollen die einzelnen Differenzen der Y-Werte auf ihren Mittelwert
haben und wir wollen die beiden miteinander multiplizieren.
Und das ist dann die Co-Varianz. Und die Co-Varianz ist das,
was ich vorhin in der Grafik eben auch schon kurz erläutert hatte,
dass wir uns letztlich die Frage stellen,
wenn das hier der Y-Mittelwert ist und das ist der X-Mittelwert,
Wie verhalten sich eigentlich die Abweichungen der einzelnen Datenpunkte von ihrem Mittelwert zueinander?
Und wir würden eben bei diesem Datenpunkt sagen, okay,
Y-Mittelwert ist hier, der ist kleiner als der Y-Mittelwert.
X-Mittelwert ist hier, der ist kleiner als der X-Mittelwert.
Die sind ziemlich genau am Mittelwert und hier weichen beide nach oben vom Mittelwert ab.
Das ist genau das, was wir jetzt hier in dieser Multiplikation finden.
Und dieser Faktor sorgt dafür, dass gemeinsame oder Gleichgerichtete
Abweichungen sozusagen sich wechselseitig verstärken und entgegengesetzte Abweichungen sich aufheben.
Und ich multipliziere das jetzt gleich mal aus.
Leider fehlen jetzt hier die beiden Spalten,
das finden sie dann nachher in ihren Unterlagen in der Tafel.
Also die das schon abgewischte Differenz, die erste ist 6,7.
Die zweite oder die multiplizierte Differenz, die zweite ist 2,5,
dann haben wir 0,3, dann haben wir 0,3,
dann haben wir 2,0 und zu guter Letzt haben wir 8,3 und das Ganze summiert sich auf auf 20 und diese 20,
hier diese Zahlen sind ja noch nicht die Varianzen,
dazu müssten wir jetzt entsprechend der Formel von letzter Woche noch durch End teilen.
Das ist die Variation,
das ist auch die Variation und hier entsprechend ist das die Co-Variation,
die, um zur Co-Varianz zu werden,
jetzt auch durch die Zahl der Fälle geteilt werden müsste,
aber ewi hier weitermachen,
zeige ich Ihnen jetzt noch einmal kurz Formeln,
weil wir uns dann nämlich,
wie Sie gleich sehen werden,
das durch Endteilen
sogar sparen können
Hier eben nochmal die Formel für die Co-Varianz zwischen X und Y,
also Koff XY,
nämlich die Summe dieser Abstände der einzelnen Fälle auf den jeweiligen Mittelwert der Variable,
diese Werte miteinander multipliziert, das Ganze aufsummiert und durch N geteilt.
Das ist die Co-Varianz zwischen zwei Variablen. Und diese Co-Varianz
brauchen wir jetzt, um diesen Relationskoeffizienten auszurechnen. Was da jetzt steht in der Formel,
ist oben die Co-Varianz, also die Kurzform dessen,
was wir da mit dem Summenzeichen aufgeschrieben haben und unten steht,
dass wir das Ganze durch das Produkt der Varianz der X-Variable und der Varianz der Y-Variable teilen wollen.
Wenn wir also die Formel oben einmal runterholen und die hier auf den Bruchstrich stellen und dann die Formeln für die Varianzen unten hinschreiben,
dann haben wir unten nochmal zweimal diese Summe,
die genau in diesen Spalten drinsteckt, also x minus x,
quer zum Quadrat, einmal aufsummiert, 17,5, y-y-y quer zum Quadrat, einmal aufsummiert, 23,4.
Das ist das, was in diesen beiden Summenzeichen unter der Klammer steckt. Und jetzt kommt die Stelle,
wo ich gesagt habe, wir können uns das durch Endteilen sparen,
denn über dem Bruchstrich steht, Ko-Varianz entsteht nur,
wenn wir die Summe durch Endteilen unten steht,
das Produkt der Varianzen entsteht nur, wenn wir durch Endteilen,
da das eins durch N oben und unten steht,
können wir das Ganze herausstreichen und landen dann bei einer Formel,
in der am Ende nicht die Varianzen stehen,
sondern in der genau diese Werte stehen, die Variationen,
also die noch nicht durch eng geteilte Variationen.
Und dazu gehe ich jetzt noch einmal kurz zurück an die Tafel,
um in einem letzten Schritt zu zeigen,
was denn hier jetzt eigentlich passiert oder passieren soll.
Also wir haben die Formel von eben, dieses R,
das wir suchen,
ist gleich Co-Variation
Durch das Produkt der beiden Varianten,
beziehungsweise Co-Variation durch die Wurzel aus dem Produkt der Variation von X,
multipliziert mit der Variation von Y. Diese Werte haben wir jetzt genau hier stehen.
Die Co-Variante steht da, die Variation von X steht da,
die Variation von Y steht da.
Wir haben also letzten Endes hier stehen 20 geteilt durch Wurzel
aus 17,5 mal
Und dieser Ausdruck 17,5 mal 23,4 und dann auch noch
die Wurzel daraus gezogen, kommt am Ende raus als 20,2.
Das können Sie einmal nachrechnen, aber im Moment bin ich
Ihnen dankbar, wenn Sie es mir einfach glauben.
Wir haben also ein, am Ende hier stehen,
20 geteilt durch 20,2 und kriegen dann einen Korrelationskoeffizienten von 0,9 an dieser Stelle.
Also, wir haben zwei Variablen, die sich sehr ähnlich
verhalten mit einer kleinen Abweichung hier vor allem in dem letzten Fall.
Wir haben die Variation der X-Variable ausgerechnet. Wir haben die
Variation der Y-Variable ausgerechnet. Wir haben die Co-Variation ausgerechnet,
jeweils hier unten die aufsummierten Werte.
Wir setzen das in diese Formel rein.
Er ist gleich Co-Variationen geteilt durch das Produkt oder Co-Varianz geteilt
Durch die Varianzen setzen das einmal in diese Formel ein und kommen hier
auf einen Korrelationskoeffizienten von 0,99. Und genau das ist das,
was sie jetzt hier unten noch mal wieder in der Formel sehen.
Also genau dieser Ausdruck, erkov SXY ist letzten Endes das,
was wir hier gemacht und getan haben und was uns zu unserer 0,09 gebracht hat.
Wie geht es jetzt weiter? Hier haben Sie noch mal
quasi fürs Protokoll die gesamten Zahlen und Auch die Berechnungen,
das finden Sie in Ihren Unterlagen auf OpenOLAT und wir gucken
uns jetzt noch kurz ein Beispiel an,
in dem ein schwacher Zusammenhang dargestellt wird.
Hier sehen Sie wieder eine Punktwolke, aber die Punkte liegen jetzt
nicht so schön auf einer Linie oder fast auf einer Linie,
sondern sie verteilen sich einigermaßen gleichmäßig durch den Raum.
Wenn wir das in die Tabelle übertragen,
die wir eben gerade gesehen haben,
dann sieht die letzten Endes so aus wie diese hier mit dem einzelnen einzigen Unterschied.
Hier sehen Sie, dass die Y-Werte genauso wie die X-Werte
langsam nach oben steigen und in dieser neuen Form habe ich die einfach durcheinander gewürfelt.
Also es sind in der Y-Spalte die gleichen Zahlen wie vorher.
Sie sind nur anders sortiert. Deswegen bleibt auch ganz vieles in dieser Tabelle gleich,
nämlich die Variationen in der X-Variable bleibt gleich,
die Variation in der Y-Variable bleibt gleich. Aber,
und das ist jetzt die rote Drei unten in der letzten Spalte,
hier haben wir nicht mehr die 20 stehen, weil diese Werte jetzt ganz anders aussehen.
Das sind die roten Werte, die sie dort in der Tabelle sehen.
Und die stehen jetzt sozusagen für die neue Co-Variation und dann
auch Co-Varianz in diesen Variablen. Warum ist dieser Wert so viel kleiner,
wenn sie sich die rote Spalte anschauen, dann sehen sie,
da tauchen Zahlen mit positiven Vorzeichen auf und da tauchen Zahlen mit negativen Vorzeichen auf.
Und das ist genau dieser Effekt
In denen, von dem ich schon gesprochen habe, in dem Beispiel vorher,
waren negative Abweichungen vom Mittelwert in der einen Variable immer verbunden mit negativen Abweichungen in der anderen Variable,
minus mal minus gibt plus, positive Abweichungen gingen zusammen mit positiven Abweichungen,
plus mal plus gibt auch plus.
Hier gehen jetzt negative Abweichungen, zum Teil mit positiven Abweichungen zusammen,
also wenn sie in die zweite Spalte zum Beispiel gehen,
der X-Wert weicht um minus 1, in die zweite Zeile, Entschuldigung,
der X-Wert weicht um minus 1,5 vom Durchschnitt ab der Y-Wert weicht aber um plus 1,3 vom Durchschnitt ab.
Minus 1,5 mal 1,3 ist ein Minuswert. Und das ist genau das,
was wir hier haben wollen,
dass sozusagen diese mehr zufällige Streuung dazu führt, dass manchmal überdurchschnittliche,
mit überdurchschnittlichen Abweichungen einhergehen, manchmal unterdurchschnittliche, mit unterdurchschnittlichen,
aber es geht eben auch über Kreuz,
überdurchschnittliche und unterdurchschnittliche und unterdurchschnittliche und überdurchschnittliche gehen einher.
Und wenn das ganz ausgeglichen ist,
dann summiert sich die Spalte hinten sogar auf null,
weil es dann nämlich überhaupt keinen Zusammenhang zwischen den Variablen gibt.
Und das ist genau das, was sich Ihnen mit dieser Tabelle
zeigen möchte. Schauen Sie sich das nochmal in Ruhe,
vielleicht auch im Tutorium an,
damit Sie ein Gefühl dafür kriegen,
was hier eigentlich an dieser Stelle passiert
Genau, also hier einfach nochmal der Hinweis darauf,
welche zahlen wir uns genau angucken, also dass sie auch beim Nachholen,
beim Wiederholen da nochmal drauf gesteuert werden.
Und dann würde ich sagen, sind wir an einer Stelle angekommen,
wo sie sich auf alle Fälle eine kurze Pause verdient haben.
Dieses Video endet technisch an dieser Stelle. Ich möchte sie bitten,
wenn sie dann aus der Pause zurückkommen mit dem gleichen Teil der Vorlesung,
aber dem neuen Video fortzusetzen,
dass sie wie immer auf Lecture Dogo finden.
Bis gleich