Herzlich willkommen zurück zum dritten Teil der Vorlesung für diese Woche.
Wir haben uns in den ersten beiden Teilen mit unseren Rohdaten und einer
etwas zusammenfassenden Darstellung dieser Rohdaten beschäftigt. Wir haben dann gesagt,
wir möchten die gesamten Rohdaten in einer Zahl zusammenfassen,
dem Lagemaß, dem Mittelwert, dem Maß der zentralen Tendenz.
Und jetzt ist vielleicht so etwas wie der Mittelweg zwischen beiden
dran, ein Maß für die Streuung.
Warum wollen wir dieses Maß für die Streuung haben?
Wenn Sie nochmal auf das Diagramm schauen,
dann haben Sie die ausführliche Darstellung quasi aller Datenpunkte.
Wir haben im zweiten Schritt gesagt, das fassen wir in dem einen Maß zusammen.
Aber jetzt verlieren wir ja sehr viel. Jetzt wissen wir wirklich nur,
okay, wo ist die Mitte von der ganzen Verteilung?
Und was wir mit Streuungsmaßen erreichen wollen, ist genau das,
was wir hier in der Grafik sehen als ausführliche Darstellung in weniger Werten oder dichter zusammenzufassen,
also möglicherweise dann noch eine Zahl zu haben dafür,
wie unsere Daten sich denn eigentlich im Raum verteilen.
Und dafür gibt es eine ganze Reihe unterschiedlicher Möglichkeiten,
das zu tun. Und wir fangen an mit der Spannweite.
Die Spannweite ist das einfachste Streuungsmaß für metrisch skalierte Daten,
weil sie uns einfach nur sagt, deine Daten haben einen Minimalwert,
hier in unserem Beispiel der Haushalteinkommen 76,
also das Kleinste offenbar in der Umfrage gemessene Aushalteinkommen im Monat
war 76 Euro.
Und wir haben einen Maximalwert 25.70700 Euro
Der große Vorteil von minimal und maximal Wert ist,
dass sie sehr einfach und schnell zu ermitteln sind,
dass sie natürlich auch schnell und einfach zu verstehen sind.
Jedermann, jede Frau weiß, was ein Minimum und ein Maximum ist,
aber sie enthalten natürlich sehr wenig Informationen, insbesondere dann,
wenn wir in unserem Beispiel so ein extremer Wert,
so ein Ausreißer, das Bild verzerrt.
Also wenn wir jetzt hier sagen, 76 bis 25.700,
dann denken wir, aha, da sind eine ganze Menge Leute dabei,
die irgendwo in den hohen Zehntausender oder in den 20.000ern sind,
aus der Grafik vorher wissen wir, nein,
die Verteilung endet viel früher.
Und die 25.000, 700 sind wirklich eine große Ausnahme.
Deswegen ist das nur ein erster Zugriff,
aber vielleicht noch nicht das, wo wir wirklich hinwollen.
Gehen wir
einen Schritt weiter
Wir haben vorhin schon über das Prinzip gesprochen, den Inhalt einer Variable,
die einzelnen Ausprägungen einer Variable nach Größe zu sortieren und dann den Medianwert zu ermitteln,
die Hälfte der Werte ist kleiner,
die andere Hälfte der Werte ist größer.
Dieses Prinzip differenzieren wir jetzt noch etwas weiter aus in die
sogenannten Perzentile oder quartiele. Auch hier werden die Werte einer Variable
wieder der Größe nachsortiert und dann unterteilen perzentile oder quartiele,
die sortierten Wert in einen Wert oder in die Werte kleiner
als das jeweilige Perzentil oder der Perzentilwert und in den Rest
Also in die Werte, die größer sind als der Perzentilwert.
Um das etwas weniger abstrakt am Beispiel des Albusses nochmal zu zeigen.
Wir haben also die Perzentile, das heißt,
wir teilen das in Prozentbröckchen ein, 10 Prozent,
20 Prozent, 30 Prozent, 40 Prozent der Befragten,
wir haben die Perzentilwerte und wir haben eine Aussage dazu.
Also wenn wir jetzt zum Beispiel das 1 Prozent perzentil berechnen,
dann würden wir sagen, von der Größe nach sortiert,
der Größe nach sortiert, möchten wir wissen,
bei welchem Wert des Einkommens habe ich,
wenn ich von unten komme, 1 Prozent der Befragten erreicht.
Und der Perzentilwert von 1 Prozent der Befragten im Albus ist 345,
das bedeutet ein Prozent aller Befragten in dieser Umfrage,
haben ein Einkommen von 345 Euro und kleiner.
Das können wir jetzt fortsetzen. Das fünfte Perzentil,
der Wert dieser Person, dieser befragten Person,
die genau die fünf Prozent der befragten Vollmacht,
ist 628 und wieder die Aussage ist,
fünf Prozent aller Einkommen in dieser Albus-Befragung sind kleiner gleich, 628 Euro.
Und da sind natürlich die Personen aus diesem ersten Prozent,
aus dem ersten, aus dem Einzelperzentil mit dabei.
Und das kann man jetzt fortsetzen. Zehner perzentil,
der Perzentil wert ist 850, also die Aussage wieder,
zehn Prozent aller Einkommen sind kleiner oder gleich 850 Euro und die Personen,
die genau die zehn Prozent vollmacht, ist die,
hat diese 850 Euro Einkommen.
25 Prozent, das wird manchmal dann auch als erstes Quartil bezeichnet,
aber dazu kommen wir gleich. Perzentil wert 1300 mit der Aussage,
25 Prozent aller Einkommen, die in dieser Umfrage gemessen wurden,
haben ein Einkommen von 1300 Euro oder weniger.
Und wieder sind das Zehner perzentil, das Fünfer perzentil und das Einzelperzentil hier natürlich enthalten,
die kommen nicht obendrauf, sondern alle Werte unterhalb dieses Wertes sind in dem Wert mit drin.
50 Prozent perzentil, das kennen wir jetzt schon,
das ist der Median, der Wert ist genau 2000,
also die Hälfte der Menschen, die hier befragt wurden,
haben ein Einkommen von 2000 Euro und kleiner,
heißt automatisch natürlich auch die andere Hälfte,
hat ein Einkommen von 2000 Euro und größer.
75 Prozent perzentil, perzentil wäre 2.875,
jetzt muss ich das nicht mehr ausbuchstabieren, 95,
95 Prozent perzentil, da sind wir dann bei 5.000,
das sagt uns also auch nur ein sehr kleiner Teil der Befragten,
nämlich 5 Prozent, hat ein Einkommen,
ein monatliches Haushalteinkommen von größer als 5000 Euro.
Soweit,
75 prozentil, per
Gehen wir einen Schritt weiter und bauen aus dem,
was wir jetzt als Idee entwickelt haben, einen Streuungsmaß.
Ich habe jetzt hier den Begriff der Quartille stehen.
Der Oberbegriff sind die Perzentile, weil man damit sehr fein abstufen kann.
Und der Begriff der Quartille bezieht sich jetzt darauf, dass ich sage,
okay, ich teile meine Verteilung in insgesamt vier Gruppen,
quart, die lateinische Zahl für vier.
Deswegen Quartille, also das erste Quartil 0 bis 25 Prozent,
das zweite Quartil 25 bis 50 Prozent und so weiter.
Es gibt so ein paar Quantile,
werden sie dann genannt, die sehr häufig verwendet werden,
Terziele, also drei gleich große Intervalle,
quartile vier gleich große Intervalle, Quintile,
fünf gleich große Intervalle,
D-Ziele,
zehngleich große Intervalle
Benutzen jetzt die Idee der Quartile, um dann das Konzept des IQA,
des Interquartillabstandes oder auch des Interquartile-Range zu berechnen.
Wir gucken uns zunächst die Quartile am Beispiel des Albus an,
also das 25 Prozent Perzentil ist das erste Quartil und den Wert haben wir eben gerade kennengelernt,
1300 Euro, soll also zur Erinnerung nochmal heißen,
1000 300 Euro ist der Betrag unter dem 25 Prozent der befragten Personen mit ihrem Einkommen liegen.
Das zweite Perzentil, das jetzt hier relevant wird,
das 50 Prozent zentil, ist gleichzeitig zeitig das zweite Quartil,
ist gleichzeitig der Median 2000 Euro,
die Hälfte aller Leute in dieser Umfrage verdient,
weniger als 2000 Euro, dementsprechend die andere Hälfte mehr als 2000 Euro.
Dann kommt das 75 Prozent perzentil,
also das dritte Quartil 2875 Euro und das vierte Quartil habe ich hier in Klammern gesetzt,
weil dieser letzte Wert natürlich dann einfach nur sagt, okay,
da ist die Verteilung zu Ende, das ist der Maximalwert.
Was ist jetzt der Interquartilabstand und warum ist das ein sinnvolles Streuungsmaß? Beim Interquartilabstand sagen wir,
wir möchten die Streuung dieser Verteilung in eine Zahl zusammenfassen,
indem wir sagen, wie groß ist denn eigentlich der Abstand zwischen dem dritten Quartil und dem ersten Quartil.
Also der Bereich, in dem die mittleren 50 Prozent aller Fälle liegen,
unterhalb des ersten Quartils liegen 25 Prozent,
oberhalb des dritten Quartils liegen 25 Prozent der Befragten immer mit der Idee,
die sind der Größe nach sortiert. Das heißt also,
wenn unterhalb dessen und oberhalb dessen jeweils 25 Prozent liegen,
liegen 50 Prozent genau in diesem Quartil und das ist die Mitte der Gesellschaft,
wenn man so will,
die also zwischen Q1 und Q3 liegt
Und das ist der Wert, über den wir jetzt sprechen. Was hat dieser Wert,
der Interquartilabstand für einen Vorteil gegenüber der Spannweite,
ganz klar Ausreißer spielen keine Rolle,
sowohl sehr kleine Werte als auch sehr große Werte sind ja in diesem Interquartilabstand nicht drin,
weil die kleinsten 25 Prozent und die größten 25 Prozent ja gar nicht beachtet werden.
Und wenn wir das jetzt am Beispiel ausrechnen,
dann ist der Interquartilabstand für das Einkommen in dieser Albus-Umfrage 1.575 Euro,
indem wir nämlich sagen, okay,
der Q3-Wert ist 2.875,
der Q1 wäre 1.300,
ergibt als Differenz
1.575 Euro
Diese Idee der Quartile und des Interquartilabstandes und auch des Medians
nehmen wir jetzt mit in eine andere Form der grafischen Darstellung,
die letztlich auch wieder die Möglichkeit gibt, alle Datenpunkte darzustellen,
die aber jetzt bestimmte Werte, über die wir auch gerade gesprochen haben,
in unsere Darstellung mit einzieht und die Darstellung,
die wir hier benutzen, ist der sogenannte Box- und Whisker-Plot.
Der heißt nicht Box-Whisker-Plot, weil die beiden Personen,
die ihn erfunden haben, Box und Whisker hießen,
sondern er heißt so, weil es in der Mitte eine Box gibt,
Und weil es dann die Whisker, die Barthaare gibt.
Also wir haben hier sozusagen eine sehr stark stilisierte Katze,
den Kopf, die Box in der Mitte, die Barthaare am Rand.
Und deswegen heißt das ganze Box Whisker-Plot.
Und auf dieser Folie will ich ihnen jetzt kurz erklären,
was denn der Box Whisker-Plot eigentlich für Informationen für uns bereithält.
Der Strich in der Mitte der Box ist der Median,
der Wert, den wir schon kennen. Also wenn wir den Box Whisker-Plot sehen und sehen diesen Strich in der Mitte,
den Median, dann wissen wir, aha, 50 Prozent der Untersuchungsobjekte,
die in diesem Plot dargestellt wurden, liegen unterhalb dieses Objekt ist,
auch wenn das ein sehr kleiner Wertebereich ist hier,
aber da sind ganz viele Untersuchungsobjekte drin, in unserem Fall der Befragte,
50 Prozent liegen oberhalb und offensichtlich ist die Streuung oberhalb sehr deutlich auseinandergezogen gegenüber der Streuung unten.
Jetzt kommen wir zurück zu den beiden Werten, die wir vom Interquartillabstand kennengelernt haben,
die untere Kante der Box ist das erste Quartil,
also unterhalb dieser Linie liegen 25 Prozent der Befragten und die untere Kante liegt also beim Wert von 1300, darüber haben wir jetzt ja schon mehrfach gesprochen.
Sie werden sich es jetzt schon denken können,
die Oberkante der Box liegt beim dritten Quartil,
also was innerhalb der Box liegt, ist genau dieser Bereich,
der dann auch den Interquartillabstand ergibt, also Den Wert,
über den wir gerade gesprochen hatten,
von 1.555 Euro und innerhalb dieses Bereiches um den Median,
liegen dann eben 55 Prozent aller 50 Prozent aller Fälle in dieser Verteilung.
Es geht noch ein bisschen weiter. Wir haben die Whisker,
wie werden die Whisker berechnet, indem wir sagen,
nimm den Q3-Wert und schlage auf den Q3-Wert, die anderthalbfache Länge der Box obendrauf.
Also wir messen quasi den Interquartillabstand,
multifizieren den mit 1,5 und schlagen diesen Wert auf den Q3-Wert drauf und das ist dann der Whisker,
der nach oben geht, nach unten würde der Whisker entsprechend berechnet werden,
beziehungsweise wenn der Wertebereich eben nach unten endet,
dann schneidet man natürlich den Whisker nach unten auch entsprechend ab, denn es macht keinen Sinn von negativen Einkommen zu reden.
Also die Whisker haben eine bestimmte formale Definition,
anderthalbfache Länge der Box, wenn der Wertebereich aus technischen Gründen beendet ist,
werden die Whisker entsprechend kürzer dargestellt und hier steckt jetzt die Idee drin zu sagen,
okay, wir haben 50 Prozent der Fälle in einem bestimmten konzentrierten Bereich in der Mitte,
wir definieren jetzt einen ersten Streuungsbereich nach außen, der einem festen Abstand zu dieser Box in der Mitte liegt.
Und dann kommen die sogenannten Ausreißer, also Werte,
die sehr weit aus dieser Verteilung rausstreuen, die also außerhalb dieser Whisker sogar liegen.
Und das sind dann in unserem Falle jetzt die deutlich überdurchschnittlich oder weit überdurchschnittlich reichen Personen,
also alles, was außerhalb dieses Wertes Q3 plus Interquartillabstand mal 1,5 liegt.
Das ist die Gestaltungsidee des Box-Whisker-Plots und sie sehen also eine sehr einfache Grafik,
die aber eine ganze Menge Informationen für uns enthält
Und dann gibt es noch einen weiteren Bereich, wo wir dann sagen,
also wir haben die Ausreißerwerte und dann haben wir noch Extremwerte,
die liegen mehr als den dreifachen Interquartillabstand oberhalb des Q3-Wertes.
Und in dieser Grafik sieht man dann auch einen solchen Extremwert.
Aber nochmal kurz zu anderen Bestandteilen. Also wir haben hier
den Minimalwert der Verteilung. Jetzt ist die Frage,
Was ist denn eigentlich der Maximalwert der Verteilung?
Ist der Maximalwert der Verteilung die obere Kante des Whiskers?
Nein, natürlich nicht, sondern das Maximum ist dieser Ausreißerwert,
den wir dort ganz oben haben bei der Interpretation von Box-Whisker-Plots,
immer ganz wichtig. Wenn die Frage lautet,
was ist der Maximalwert? Lassen Sie sich da nicht von
den beiden Whiskern ins Boxhorn jagen, sondern achten Sie darauf,
dass es eben auch Datenpunkte weit oberhalb oder weit unterhalb der Whisker geben kann,
die dann auch relevant und wichtig sind und die beachtet werden müssen.
Und der Maximalwert ist immer der alleroberste Punkt,
der Minimalwert ist der allerunterste Punkt
Nur, weil wir in dieser Darstellung unten den Minimum oder weil in dieser Darstellung
der Minimalwert quasi mit dem unteren Rand des Whiskers zusammenfällt,
heißt es noch lange nicht,
dass das am oberen Ende auch so ist,
sondern wir haben einen Maximalwert, der ganz wo an anderer Stelle liegt.
In dieser Grafik sehen Sie auch schon eine schöne Eigenschaft von Box-Whisker-Plots,
wenn nicht mehrere Variablen oder auch unterschiedliche Bereiche aus einer Variablen in diesen Plots darstelle.
Ich habe hier einmal die Haushalteinkommen der alten Bundesländer im Jahre 2008 dargestellt,
einmal die Haushalteinkommen der neuen Bundesländer dargestellt und wir sehen,
also die Ankommensstreuung oder die gesamte Streuung ist im Osten in
den östlichen Bundesländern niedriger oder schmaler als in den westlichen Bundesländern.
Der höchste Wert ist weit geringer. Die Box ist schmaler und
auch weiter unten. Also insgesamt ist die Einkommensstreuung in den
östlichen Bundesländern kleiner als in den westlichen Bundesländern und das gesamte Einkommensniveau liegt unter dem der westlichen Bundesländer. Nicht,
dass das vom Inhalt her jetzt unbekannt wäre,
aber man sieht hier,
wie also mit diesen Box-Whisker-Plots relativ einfach dann auch erste Vergleiche angestellt werden können,
die sogar an einigen Stellen durchaus ins Detail gehen,
weil ich maximal und Extremwerte vergleichen kann,
weil ich die Mediane vergleichen kann,
weil ich sehe,
ob die Verteilung dichter oder breiter sind und so weiter
Wir haben in dieser Darstellung den Maximalwert, das verhindert natürlich,
dass wir ein bisschen mehr Detail sehen unten,
wir können das natürlich immer auch so darstellen,
dass wir sagen, komm, wir schmeißen den Maximalwert raus,
das ist ohnehin nur dieser eine,
das merken wir uns und dann sehen sie auch,
dass es hier unten noch ein bisschen mehr passiert,
aber in dieser Darstellung wird jetzt auch nochmal viel deutlicher,
wo die Unterschiede zwischen Ost- und West liegen,
die tiefere Lage der Box für die östlichen Bundesländer ist,
hier deutlich zu erkennen,
dass insgesamt geringer streuende Spektrum ist deutlich zu erkennen und wir sehen dann auch,
dass ein paar weniger Leute in den reicheren Gegenden der Grafik
aufgehoben sind
Eine letzte Grafik möchte ich Ihnen noch zeigen, einfach nur,
weil das in den Klausuren dann gerne mal relevant wird,
dass ich nämlich dann auch sage, so,
hier haben Sie einen Box-Whisker-Plot und dazu eine Frage und schauen Sie doch mal,
was Sie auf der Basis dieser Darstellung jetzt über die beiden Verteilungen,
die Sie vergleichen sollen, sagen können.
Üblicherweise werden an Box-Whisker-Plots keine Zahlenwerte angetragen, weil Box-Whisker-Plots den Zweck erfüllen sollen,
erstmal einen grafischen ersten Eindruck zu erzeugen und keine exakten Daten.
Damit sie dann aber in der Klausur nicht ewig herumraten müssen,
wo genau liegt denn dieser Wert und dann vielleicht auch denken,
habe ich das jetzt mit 74 oder 75 richtig geschätzt,
werde ich in der Klausur in der Regel dann solche Zahlenwerte dranschreiben,
sodass sie da auch genau wissen, was der Zahlenwert ist.
Ich gehe davon aus, dass ohne eine Kenntnis dessen,
was die Box insgesamt bedeutet,
sie auch mit den Zahlen nichts anfangen können und dass es dann eine kleine Hilfestellung,
damit sie nicht über den Daumen peilen müssen,
sondern dann auch einen genauen Wert dafür haben,
wo diese Striche jeweils im Detail liegen.
Bis hier haben wir über Dinge gesprochen,
die sie eigentlich schon kennen, weil soweit ich informiert bin,
sie auch in den Startdatkursen schon über Boxplots gesprochen haben und so weiter.
Jetzt verlassen wir das bekannte Terrain und kommen zu Dingen,
die da heißen, Variante und Standardabweichung. Das heißt,
gerade für metrische Daten wollen wir jetzt zu den Mittelwerten,
über die wir schon gesprochen hatten,
bei metrischen Daten dann natürlich insbesondere zum arithmetischen Mittel.
Einen weiteren Wert hinzufügen, der in einer Zahl die Streuung ausdrückt,
die insgesamt in unseren Daten ist. Und um das machen zu können,
wechsle ich jetzt wieder einmal kurz an die Tafel.
Also, Streuung. Ich habe hier eine Variable X dran geschrieben mit den Ausprägungen 2,
4, 6, 8, 10,
12 und 14 und wie immer unsere Identifikationsnummer, unser Laufindex I
Und der läuft von 1 bis 7. Wir wollen also wissen,
wie streut unsere Variable. Und Unterstreuung wollen wir dann verstehen,
okay, wie weichen denn die einzelnen Werte eigentlich und wie weich dann die Summe aller Werte von dem Mittelwert ab?
Wenn wir also sagen, wir wollen vom Mittelwert ausgehen,
um die Streuung zu berechnen, müssen wir überhaupt erst mal den Mittelwert herausfinden,
der Mittelwert, wie sie ganz schnell mit dem Taschenrechner prüfen können, ist in diesem Falle 8.
Wenn also Streuung heißt, durchschnittliche Abweichung vom Mittelwert,
dann sagen wir doch einfach, für jede Ausprägung in dieser Variable X,
berechnen wir die Differenz zwischen dieser Ausprägung und dem Mittelwert,
dann kriegen wir Wert 2, minus 8,
eine Differenz von minus 6, wert 4, minus 8,
eine Differenz von minus 4, minus 2, 0,
2, 4 und 6. Wunderbar.
Jetzt wollten wir eine Zahl haben, also summieren wir das Ganze auf.
Und stellen entsetzt fest, dass die Summe dessen,
was wir hier gemacht haben, genau null ist.
Warum ist die Summe genau null? Weil es einfach die Eigenschaft des Mittelwertes ist,
genau da zu liegen,
wo die Abstände die summierten Abstände zu allen einzelnen Werten nach
oben genauso groß sind wie die summierten Abstände nach unten,
denn nur dann erzeugt dieser Mittelwert diese Eigenschaft,
Lagemastersmaß der zentralen Tendenz zu sein.
Also mit den einfachen Differenzen kommen wir nicht weiter.
Deswegen hat sich in der Statistik eingebürgert zu sagen,
na gut, dann machen wir eine kleine Operation,
die dazu führt, dass die Minuszeichen verschwinden.
Wir quadrieren die Abstände einfach. Wir kommen also von minus sechs,
sechs mal, minus sechs mal, minus sechs auf sechs und 30.
Wir kommen hier minus vier mal,
minus vier auf 16 auf vier auf null und dann hier
entsprechend wieder
Und wenn wir das Ganze jetzt aufsummieren, dann kommen wir
nicht mehr auf den Wert null, sondern wir kommen auf 112.
Und das ist die sogenannte Variation. Also die Grundstreuung,
die in diesen Daten drinsteckt. Diese Grundstreuung ist jetzt noch nicht besonders leistungsfähig,
weil sie uns kein gutes Gefühl dafür gibt,
wie stark jetzt in den Maßeinheiten des Mittelwertes die Werte tatsächlich um den Mittelwert schwanken.
Es ist auch keine Zahl, die wir sehr gut über unterschiedliche Verteilungen miteinander vergleichen können.
Denn wenn wir jetzt statt der 714-Fälle hätten mit den gleichen Werten,
dann wäre diese Variation gleich mal doppelt so groß.
Also müssen wir hier noch ein bisschen weiter dran arbeiten.
Dazu will ich Ihnen aber zunächst ein Performance zeigen und dann können wir nochmal hierher zurückgehen,
um zu schauen, was denn daraus eigentlich wird.
Also, Systematisierung dessen, was ich Ihnen eben berichtet habe,
zunächst über ein paar Formeln. Ich habe eben dargestellt,
wie wir die Variation berechnen und das,
was hier an der Tafel passiert ist,
sehen Sie jetzt nochmal als Formel.
Wir haben die Differenz aller XI, jetzt brauchen wir natürlich
den Laufindex oder die Differenz zwischen allen XI und dem jeweiligen Mittelwert.
Wir quadrieren das Ganze und wir bilden die Summe,
also genau das,
was wir hier gemacht haben.
Minus x quer, quadriert für alle einzelnen Werte aufsummiert,
dann kommt die 112 dabei raus. Und das ist das,
was hier in der Folie dann als SS wie Some of Squares,
also die Summe der quadrierten Abweichungen, aufgeschrieben ist.
Und ich habe eben gesagt, diese Some of Squares,
die Variation ist kein besonders leistungsfähiges Maß, weil abhängig davon,
wie viele Fälle ich anschaue, abhängig davon,
wie groß die Differenzen sind, die Variationen sehr,
sehr unterschiedliche Werte annehmen kann.
Und wir müssen die irgendwie standardisieren, so wie wir
auch bei Mittelwert nicht einfach aufsummieren und sagen, aha,
sondern wir teilen den Mittelwert durch die Anzahl der Fälle.
Und genau das machen wir hier jetzt auch. Also wir
nehmen diese Variation standardisieren sie gegen die Anzahl der Fälle,
die in unserer Analyse drin sind.
Also wir teilen diesen Wert durch die Anzahl der Fälle,
die hier drüben rausgekommen ist. Und diesen Wert nennen wir
dann Varianz. In dieser Varianz steckt jetzt leider immer noch das Quadrat drin,
dass wir hier ja zum Annullieren der negativen Vorzeichen reingenommen haben.
Das heißt, jetzt müssten wir im Prinzip, um wirklich sagen zu können,
jetzt habe ich so etwas wie die durchschnittliche Abweichung mit diesen quadrierten Werten noch etwas tun.
Und das ist, wir ziehen aus diesen quadrierten Werten
die Wurzel. Und dann wird aus dem,
was zunächst die Variation war und was dann die Varianz geworden ist,
indem wir sie durch die Zahl der Fälle geteilt haben,
wird jetzt die sogenannte Standardabweichung.
Die Standardabweichung ist nicht exakt, aber in etwa
die mittlere Abweichung aller Fälle von dem Mittelwert der Verteilung.
Das ist nicht exakt die mittlere Abweichung ist, liegt daran,
durch das Quadrieren und Wurzelziehen nicht wirklich genau diese mittlere Abweichung herauskommt,
sondern ein etwas anderer Wert, aber das Verständnis dessen ist,
das ist die mittlere Abweichung.
Und jetzt haben wir neben dem Mittelwert eine weitere Zahl,
mit der wir beschreiben können,
wie sehr unsere Daten um diesen Mittelwert streuen
Dann gibt es noch einen weiteren Wert, den wir heranziehen können,
um, und das will ich gleich dann auch noch an einem Beispiel zeigen,
um diese Standardabweichung nochmal weiter so umzurechnen,
dass die Streuung auch zwischen unterschiedlichen Verteilungen vergleichbar wird.
Und dazu würden wir die Standardabweichung dann nochmal durch den Mittelwert teilen,
auf den sie sich bezieht, um sozusagen auf die Größe des Mittelwertes zu skalieren.
Wir haben also, wie Sie es jetzt hier sehen,
ausgehend von diesem Wert der Variation, zunächst eine Varianz gebildet,
die die Anzahl der Fälle berücksichtigt,
haben das Quadrat hier wieder aus den Zahlen rausgenommen durch das Ziehen der Wurzel und haben dann gesagt,
und warum das sinnvoll sein kann, zeige ich Ihnen,
wie gesagt, jetzt gleich in einem Beispiel.
Eventuell kann es sinnvoll sein, das Ganze auch noch auf
den Mittelwert zu standardisieren, damit unterschiedliche Verteilungen vergleichbar werden.
Sie haben hier das Ganze auch nochmal als Rechenbeispiel,
also mit genau den Zahlen,
die ich hier auch an der Tafel habe,
einfach für ihre Dokumentation, weil das dann auch in den Folien,
die sie runterladen können, auftaucht.
Und hier das Beispiel mit dem deutlich gezeigt werden kann,
warum es sinnvoll ist, diesen Variationskoeffizienten unter Umständen zu berechnen.
Ich habe hier zwei tatsächlich vorhandene Länder mit fiktiven Einkommenszahlen,
Bookina Faso, eines der ärmsten Länder der Welt,
Deutschland, eines der eher reichen Länder der Welt.
Und ich habe jetzt wieder mal schön symmetrische Einkommensverteilungen erzeugt,
die aber in etwa dementsprechend, was die Durchschnittseinkommen in den Ländern sind.
Wir haben also für Burkina Faso insgesamt 13 Fälle Haushaltseinkommen von 190 bis 310 Euro.
Wir haben daneben Deutschland mit 17.580 bis 17.700 Euro.
Jetzt können wir all die Schritte machen, die ich hier
eben auch gemacht habe. Wir rechnen die Mittelwerte aus,
dann kommen wir auf 250 und 17.640 für Burkina-Phase und Deutschland.
Wir haben da eine Variation von 18.200 in beiden Verteilungen.
Also das Problem, was ich eben für die Variation
angesprochen habe, taucht hier gerade nicht auf.
Die Streuung sieht sehr ähnlich aus. Wir rechnen
die Varianz aus für beide
Länder, indem wir die Variation durch die Zahl der Fälle teilen,
kommen jeweils auf 1.400 Euro. Wir ermitteln die Standardabweichung,
37,42 Euro. Aber jetzt kommt der spannende Moment,
wo die Wichtigkeit oder die Aussagekraft des Variationskoeffizienten nochmal deutlich wird,
wenn das, was ich jetzt hier als ausgedachte Zahlen hingeschrieben habe.
Tatsächlich die Einkommensverteilung in Deutschland wäre. Dann hätten wir vor
dem Hintergrund einer Standardabweichung von 37,42 Prozent eine mittlere Abweichung aller Einkommen vom mittleren Einkommen,
die etwa 0,21 Prozent dieses mittleren Einkommens entsprechen.
Und wenn wir jetzt mit Burkina Faso vergleichen, dann sehen wir,
okay, hier ist die mittlere Abweichung 15 Prozent vom durchschnittlichen Einkommen.
Nochmal langsam, warum ist das wichtig? Wir haben zwei Verteilungen,
gleich viele Fälle, Mittelwert, unterscheidet sich deutlich voneinander.
Variation ist gleich, Varianz ist gleich, Standardabweichung ist gleich.
Also würde man sagen, naja, die Einkommensspreizung in Burkina
Faso ist eigentlich genauso wie in Deutschland, wenn nicht die Standardabweichung als Maß nehme.
Wenn ich mir dann aber angucke,
wie viel Prozent von dem mittleren Einkommensniveau tatsächlich diese Standardabweichung ausmacht,
nämlich 15 Prozent in Burkina Faso, 0,21 Prozent in Deutschland.
Dann würde man sagen, okay,
eigentlich ist die Einkommensspreizung in Deutschland viel geringer,
weil gemessen an dem, was als Mittelwert da ist,
die Kleinen, die Differenzen eigentlich fast gar nicht ins Gewicht fallen,
während natürlich die Differenz von 190 auf 250 in Burkina Faso oder von 310 auf 250 schon wesentlich mehr ins Gewicht fällt.
Und das ist genau die Idee des Variationskoeffizienten,
solche Dinge dann auch noch messbar zu machen,
die in der Standardabweichung erstmal völlig untergehen,
weil der Standardabweichung völlig egal ist,
ob sie da unten im Keller stattfindet oder ob sie da
oben unterm Dachboden stattfindet
Die berechnet dann einfach erst mal die Streuung,
die in den Daten drin ist und der Variationskoeffizient standardisiert
das Ganze dann nochmal auf den Mittelwert,
um das sinnvoll in das Gesamtspektrum einzuordnen.
Damit sind wir am Ende der Vorlesung für diese Woche.
Teil 3 ist abgeschlossen. Wir haben einen ersten Blick auf
die Verteilung unserer Daten geworfen. Wir haben Maße der zentralen
Tendenz bestimmt. Wir haben die Streuung bestimmt und können jetzt
ausgestattet mit diesen Werkzeugen in die nächsten Runden gehen.
Ganz vieles von dem, was wir heute gesehen haben,
wird immer wieder auftauchen.
Und damit danke ich
fast für ihre Aufmerksamkeit
Zwei Folien für sie, eine erste. Sie werden mitunter feststellen,
dass in Diasbohne die Notationen nicht komplett identisch ist mit der, die ich verwende.
Manchmal, ja, manchmal weniger. Das soll auch so sein,
denn im wirklichen Leben, also wenn sie Texte lesen und so weiter,
werden sie immer wieder feststellen, die Grundzüge sind leicht,
die Idee ist immer identisch,
aber die Leute schreiben es einfach ein bisschen anders auf.
Sie benutzen manchmal griechische Buchstaben, sie benutzen lateinische Buchstaben,
sie benutzen X und Y oder M&N und damit sie da schon ein bisschen reinkommen,
habe ich gesagt, ich werde nicht hochnotpeinlich darauf achten,
dass ich genauso schreibe wie Diasbohne oder exakt genauso schreibe,
sondern dass ich natürlich die gleichen Ideen skizziere,
aber dass ich geringe Differenzen auftauchen lasse in dem Sinne wundern sie sich also nicht,
wenn dort Unterschiede auftauchen.
Und wenn wir schon bei solchen Dingen sind,
eine erste Antwort auf die Frage, wie viel Nachkommastellen soll ich
denn eigentlich jetzt aufschreiben, wenn ich irgendwelche Zahlen berechne?
Wie sollen sie also Nachkommastellen in Zahlen darstellen?
Die Frage kommt immer wieder bei mir an und auf
die Frage, gibt es eine zweigespaltene Antwort?
Der erste Teil der Antwort ist zu sagen, überlegen Sie immer,
wie genau sie gemessen haben und wie genau sie sinnvollerweise ihre Werte denn auch wirklich angeben sollten.
Wenn Sie wissen, ich habe auf der dritten Nachkommastelle genau gemessen,
weil ich eine super feine Waage zum Beispiel habe,
können sie natürlich auch gerne die dritte Nachkommastelle angeben,
wenn sie wissen,
ihre Waage hat sowieso einen Messfehler von ungefähr einem halben Kilogramm,
dann ist es natürlich überhaupt nicht sinnvoll in den Bereich von einzelnen Gramm zu gehen.
Also das eine Kriterium ist die Genauigkeit der Messung.
Das zweite Kriterium ist dann aber auch die Frage,
was ist überhaupt sinnvoll im Sinne einer Interpretation,
also welche Größenordnung machen denn überhaupt noch einen Unterschied und vor
dem Hintergrund habe ich jetzt hier eine Empfehlung aufgeschrieben.
Sie sehen immer die gleiche Zahlenfolge. 1, 2,
3, 4, 6, 7, 8, 9.
Also im ersten Fall eine Million 234.6688,9. Und die Frage ist,
wie würde ich an dieser Stelle runden?
Ich würde bei so einer großen Zahl überhaupt keine Nachkommastellen angeben,
sondern dann einfach die Nachkommastellen weglassen und alles vor dem Komma stehen lassen.
Das gilt noch eine ganze Weile, also zumindest auch bei Tausendern
würde ich die ganzen Nachkommastellen immer noch weglassen. Und dann komme ich so langsam in die Regel,
die ich eigentlich formuliere, wenn sie eine lange Zahl haben,
nehmen sie, ich nenne das vier signifikante Stellen,
also nehmen sie von der ersten echten Zahl,
die kommt an maximal vier Stellen, die sie darstellen,
dann sind sie für fast alle Fälle des Lebens sozusagen einigermaßen ausgewogen zwischen der scheinbaren Genauigkeit,
die ihre Zahlen herstellen und dem,
was sie wahrscheinlich ausdrücken können und messen.
Also bei 12,34, 6, 7, 8, 9,
würde ich sagen, mit 12,3 sind wir einigermaßen gut,
lassen sie den Rest auf jeden Fall weg.
Wenn wir dann bei 0,1,23 und so weiter sind,
würde ich auch maximal 0,01,23 schreiben und so weiter.
Sie sehen das bis dort unten. Vielleicht noch ein Wort zu Prozent sein,
wenn sie Prozentzahlen angeben, dann denken sie immer auch mal darüber nach,
ob die Nachkommastellen, die sie angeben, denn überhaupt noch ganze Menschen sind.
Angenommen ihre Stichprobe ist 100 Leute groß und sie sagen,
eine bestimmte große, sagen wir 102 Leute, große,
eine bestimmte Größe ist 2,1 Prozent,
dann haben sie also zwei Leute und einen Arm oder zwei Leute und ein Bein,
das ergibt nicht besonders viel Sinn.
Wenn sie tausend Leute haben, ist die erste Nachkommastelle natürlich sinnvoll,
weil die erste Nachkommastelle immer noch ganze Personen unterscheidet.
Also in dem Sinne lassen sie sich nicht von der Präzision des Rechners ins Boxhorn jagen,
sondern bleiben sie bei dem, was plausibel ist,
bleiben sie bei einer begrenzten Anzahl an Stellen,
das macht auch das Rechnen,
wenn sie mit Handrechnen im Zweifelsfalle einfacher und es macht jede Tabelle viel schöner,
wenn sie sparsam mit Zahlen umgehen,
anstatt die Menschen mit solchen Dingen zu erschlagen,
die dann ohnehin niemand mehr erfassen kann.
In dem Sinne, herzlichen Dank fürs Zuhören. Wir sehen uns dann
am Montag in der Synchronrunde und dann im Laufe der Woche
wieder bei weiteren Elementen der Vorlesung Methoden 1 quantitative Analyseverfahren.
Jetzt wünsche ich Ihnen erstmal einen schönen weiteren Tag
Dass hier quadriert wird, hat Gründe, die wir,
von denen wir dann später noch sehen werden.
Fuck. Mann. Das lassen wir einfach erstmal
nur gehen. Okay, once more again