Willkommen zurück aus der Pause, liebe Studierende und willkommen
beim zweiten Teil der Vorlesung für diese Woche.
Wir haben im ersten Teil auf die Rohdaten und ihre Verteilung geschaut.
Also haben uns eine einzelne Variable angeschaut und haben sowohl grafisch
als auch tabellarisch dargestellt, was wir in dieser Variable finden.
Im zweiten Teil wollen wir über Lagemaße oder Mittelwerte oder
auch Maße der zentralen Tendenz sprechen.
Denn eine der zentralen Aufgaben der Statistik ist es ja,
Zahlen oder Daten nicht nur darzustellen, sondern auch möglichst kompakt zusammenzufassen.
Und Mittelwerte sind dann eine sehr kompakte Form der Zusammenfassung einer
größeren Menge von Daten
Darüber wollen wir jetzt also sprechen. Warum heißen die Lagemaße oder Maße der zentralen Tendenz,
wenn sie sich eine Wippe vorstellen,
auf der auf den beiden Seiten unterschiedlich große und kleine,
schwere und leichte Menschen sitzen, dann wissen sie,
dass bei der üblichen Wippe, wo der Stempel in der Mitte steht,
natürlich auf beiden Seiten gleich viele Gewichte sein müssen,
wenn wir uns das jetzt als Mittel zur Mittelwertbildung vorstellen,
dann könnte man natürlich auch,
anstatt die beiden Seiten gleichmäßig zu besetzen, einfach dafür sorgen,
dass der Stempel hin und her geschoben wird,
sodass er genau an der Stelle, der wird besteht,
wo die Wippe dann in der Waage ist.
Und das ist quasi die Idee des Mittelwertes,
deshalb auch Lagemaß, wo muss denn eigentlich der Stempel liegen,
damit das Ganze sich im Gleichbewicht Gleichgewicht befindet.
Und insofern auch Maß der zentralen Tendenz,
dieses Maß sagt also aus,
wohin, auf welchem Punkt sozusagen eine bestimmte Verteilung strebt
Und wir haben drei zentrale Mittelwerte, mit denen wir uns auseinandersetzen müssen oder
die wir brauchen, um Daten angemessen beschreiben zu können.
Der erste ist der Modus, abgekürzt mit H. Als Modus
bezeichnen wir den Wert in einer Verteilung, der am häufigsten vorkommt.
Das ist der Mittelwert, den wir vor allem brauchen,
wenn wir nominal skalierte Daten bearbeiten wollen,
weil wir da gar keine andere Möglichkeit haben,
Mittelwerte zu bilden, wie wir gleich auch nochmal sehen werden.
Der zweite Mittelwert, mit dem wir uns dann auseinandersetzen,
ist der sogenannte Median, der Median,
beschreibt oder benennt denjenigen Wert einer Verteilung,
der genau in der Mitte dieser Verteilung liegt,
wenn wir alle Werte vom Kleinsten zum Größten oder vom Größten zum Kleinsten sortieren.
Und dann ist ein Wert genau in der Mitte.
Manchmal sind es auch zwei Werte, dazu kommen wir gleich.
Und diese Werte bilden sozusagen den Median, also den mittleren Wert der Verteilung.
Und als drittes gibt es den Mittelwert, der ihnen allen
wahrscheinlich am meisten vertraut ist, alleine aus dem Berechnen von Notendurchschnitten.
Das arathmetische Mittel, ein X mit einem Strich obendrauf.
Also der Wert, der im Sinne des Bildes,
das ich eben auch beschrieben habe von der Waage, der quasi sagt,
wo genau der Massenmittelpunkt einer Verteilung ist und alle drei Werte werden wir uns jetzt nochmal etwas genauer anschauen.
Schauen wir zunächst auf den Modus. Ich habe ihn hier
eine kleine Variable quasi figürlich aufgemalt. Wir haben drei Gruppen von Leuten,
wir haben Leute mit roten Köpfen,
wir haben Leute mit braunen Köpfen und wir haben Leute mit grünen Köpfen,
fünf rote, zwei braune, drei grüne.
Wenn ich jetzt gesagt habe, der Modus ist derjenige,
wert einer Verteilung, der am häufigsten vorkommt,
dann ist der Modus dieser Verteilung, die Person mit den roten Köpfen,
weil das die häufigste Kategorie ist, wenn sie nochmal zurückdenken an vorhin,
da war der Modus die Kategorie mit der zweithöchsten Zufriedenheit dann da waren,
die allermeisten Menschen drin.
Vielmehr kann man zum Modus eigentlich nicht sagen
Wenn wir eine nominal skalierte Variable haben, wie hier in diesem Fall rote,
braune und grüne oder eine ordinal skalierte Variable,
wie vorhin die Zufriedenheit, dann ist der Modus das einzige,
oder zumindest ein sehr probates Mittel, so eine Art Mittelwert anzugeben.
Wenn die Idee ist, zu sagen, okay,
ich möchte genau einen Wert wissen, der die Verteilung am besten repräsentiert,
dann würde man hier eben sagen, okay,
der wird ja am ehesten etwas über die gesamte Verteilung sagt,
ist eben genau dieser Modalwert,
weil es die am häufigsten besetzte Kategorie ist.
Und wenn ich überhaupt auf einer Kategorie zusammenfassen möchte,
dann ist es am ehesten die Kategorie, die am häufigsten besetzt ist.
Selbst wenn die Besetzung unterhalb von 50 Prozent der Fälle liegt.
Also der Modalwert, die am häufigsten vorhandene Kategorie so viel wie ihr bildlich auch dargestellt.
Der Medianwert mit den gleichen Menschen jetzt ohne Farbe im Kopf,
aber die Menschen der Reihe nach vom Kleinsten zum Größten sortiert.
Und der Medianwert ist jetzt eben der Mensch oder die Person,
die genau in der Mitte dieser Größenordnung steht,
drei Personen sind kleiner, drei Personen sind größer,
der medialen Wert ist dann genau die Körperhöhe der Personen,
die wir dort stehen haben.
Wir gucken uns das aber jetzt noch ein bisschen in anderen Formen an.
Also zunächst nochmal in der Form des Histogramms,
die sie ja von eben auch schon kennen, nochmal eine Einkommensverteilung als Eingepflegeverteilung.
Und hier ist ganz klar, diejenige Kategorie,
also die Einkommensspanne von 4.000 bis 5.000 Euro,
die meisten Werte hat in dieser Verteilung, ist sozusagen der Modal wert.
Wenn ich also über den Modalwert diese Einkommensverteilung zusammenfassen wollte,
würde ich sagen, die größte Gruppe innerhalb der Einkommensverteilung ist die Gruppe der Menschen, die zwischen 4 und 5.000 Euro verdienen.
Unten haben wir eine Zweigepflegeverteilung, um einfach auch nochmal klarzumachen, wie über den Modalwert nachzudenken ist. Zweigepflegeverteilung heißt,
wir haben einen ersten Gipfel grün,
wir haben meinen zweiten Gipfel rot,
der erste Gipfel grün ist deutlich kleiner als die blaue Säule und da die Definition ja war,
die am häufigsten am häufigsten auftauchende Kategorie ist der Modalwert,
ist ganz klar die Grüne Kategorie ist zwar,
um in Mathematikersprache zu sprechen, ein lokales Maximum,
aber sie ist nicht das globale Maximum dieser Verteilung,
das ist die blaue Kategorie,
also der Modalwert wäre in diesem unteren Bild dann eindeutig die blaue Säule.
Es gibt in jeder Verteilung nur einen Modalwert,
es sei denn, wir haben jetzt zwei exakt gleiche höchste Säulen,
das wäre dann die einzige Ausnahme,
wo es dann etwas schwierig ist,
den Modalwert zu bestimmen,
aber ansonsten,
auch wenn es unterschiedliche lokale maximal gibt,
nur das globale Maximum würde als Modalwert erzählen
Wir gucken uns das nochmal an einem Zahlenbeispiel an,
das jetzt schon etwas stärker aus dem Leben vielleicht auch gegriffen ist,
um nochmal so die Idee dieses Modalwertes deutlich zu machen.
Es hat eine Gemeinderatswahl stattgefunden. Insgesamt haben 457 Menschen ihre Stimme abgegeben,
150 für die CDU, 120 für die SPD.
Sie können sich die Zahlen selber anschauen bis nach unten,
bis wir dann bei AfD 5 und andere zwölf Stimmen gelandet sind.
Und wenn ich jetzt nochmal sage,
okay, was ist denn die Idee hinter diesem Modalwert,
dann wäre das die Idee zu sagen, okay,
was ist denn jetzt die politische Farbe dieses Dorfes?
Naja gut, die Grundfarbe dieses Dorfes ist natürlich bunt,
aber wenn dann jemand sagt, okay, mag ja sein,
dass das Dorf bunt ist, wir haben die unterschiedlichsten Parteien,
aber was beschreibt denn am ehesten die politische Tendenz dieses Dorfes?
Und dann würde man eben sagen, okay, am ehesten,
weil das die größte Gruppe ist, ist es die Gruppe der CDU-Wählerinnen,
also am ehesten ist es ein Unionsdorf.
Es ist natürlich insgesamt kein Unionsdorf,
weil auch die CDU hier in diesem Beispiel deutlich von 50 Prozent der Stimmen entfernt ist,
aber nochmal, die Idee des Modalwertes ist es eben,
eine solche Aussage zu ermöglichen, die irgendwie zusammenfasst, was denn diese Verteilung eigentlich ausmacht.
Und in dem Sinne würde man hier sagen, okay,
der Modalwert, der Mittelwert bei dieser nominal skalierten Variable der Parteientscheidung,
der Bürgerinnen und Bürger bei der Gemeinderatswahl, dieser Mittelwert ist der Modalwert.
Das ist die CDU mit ihren 150 Stimmen. Jetzt zu
Median. In dieser Vorlesung kann ich Ihnen Formeln nicht komplett ersparen,
auch wenn ich sage, es geht mir vor allem darum,
Ihnen zu erklären, was man auszahlen für sozialwissenschaftliche Informationen herauslesen kann,
in dem Sinne jetzt die ersten Formeln.
Sie werden aber gleich sehen, dass diese Formeln weit weniger
schlimm sind, als man im ersten Moment denkt
Diese erste Formel sagt nichts weiter, als wo finde ich
denn eigentlich den medialen Wert. Und was da steht,
ist, der medialen Wert ist derjenige wert,
der an folgender Stelle steht, N,
die Zahl der Fälle in dieser Verteilung plus eins geteilt durch zwei.
Und wenn du jetzt die Werte von klein nach groß sortierst,
dann findest du genau an dieser Stelle N plus eins
geteilt durch zwei, den mit der Medianwert.
Ich zeige Ihnen das gleich an der Tafel. Vorher will ich aber
auf den Fall eingehen, dass wir keine ungerade Fallzahl haben.
Das ist die erste Formel, sondern eine gerade Fallzahl.
Bei einer geraden Fallzahl gibt es keinen Wert genau in der Mitte,
sondern in der Mitte ist nichts,
was diese Formel jetzt macht, ist einfach zu bestimmen,
welcher Wert steht dann links von der Mitte.
Das ist der Wert Fallzahl geteilt durch zwei.
Welcher Wert steht recht von der Mitte?
Das ist der Wert Fallzahl geteilt durch zwei plus eins.
Diese beiden Werte werden addiert und durch zweigeteilt,
um in einer gradzahligen Verteilung den Medianwert zu bestimmen.
Und ich zeige ihnen einmal kurz an der Tafel,
wie das funktioniert
Also, wir haben fünf Personen, deren Körpergröße,
die erste Person ist 1,60 Meter, die zweite Person ist 1,70 Meter,
die dritte Person ist 1,71 Meter, die vierte 1,83,
die fünfte 1,95.
Und jetzt ist die Frage, was ist denn hier der Medianwert?
Und wie eben dargestellt, wir brauchen die Fallzahl,
1, 2, 3, 4, 5,
es sind fünf Fälle,
wir addieren eins zu der Fallzahl hinzu.
N plus 1
ist gleich
Wir teilen diese sechs durch zwei und kriegen dann raus drei.
Und jetzt zählen wir mal eins, zwei, drei.
Das wäre also der Medianwert dieser Verteilung. Und wenn sie
einmal auf die Tafel schauen, dann sehen sie,
okay, der ist tatsächlich genau in der Mitte.
Zwei sind kleiner, zwei sind größer. Offensichtlich hat das
mit der Formel ganz gut funktioniert. Zweiter Versuch. Wir
haben eine sechste Person hinzubekommen. Das heißt, unsere Formel
die wir eben genutzt haben, funktioniert nicht so ganz richtig.
Wir haben keinen genauen Mittelwert. Die Mitte liegt ja zwischen
diesen beiden Werten, die eben für die Formel auch beschrieben.
Also müssen wir die andere Formel verwenden. Die Frage ist
wieder, wie viele Fälle haben wir denn eigentlich?
Jetzt sind es sechs Fälle, N ist gleich sechs.
Und ich hatte gesagt, der linke Wert oder der Wert
kurz unterhalb der Mitte ist dann der an der Stelle eng geteilt durch zwei.
Wäre also sechs durch zwei, wäre also drei.
Also der erste Wert, ist dieser hier. Und der zweite Wert,
den wir suchen, ist eng geteilt durch 2 plus 1,
also sechs geteilt durch 2 plus 1 ist gleich 4,
1, 2, 3, 4, das ist dieser Wert.
Jetzt sehen wir zunächst,
diese beiden Werte haben im Prinzip die gleiche Position wie der medialen Wert vorher,
genauso viele Fälle sind kleiner wie Fälle größer sind und jetzt müssen wir hier nur noch den Mittelwert ausrechnen,
der Mittelwert aus 1,73 und 1,83, das soll nur 3 sein,
ist 1,78 und das wäre dann entsprechend der medialen Wert, den wir für diese Verteilung angeben würden.
Also so setzen sich die beiden Formeln,
die ich ihnen eben gezeigt habe, um,
ich denke, das ist nicht über die Massen kompliziert
Soweit der kurze Exkurs an die Tafel, soweit zum Median.
Für ihre Unterlagen habe ich das hier sozusagen noch einmal als Folie auch dargestellt,
also hier sehen sie letzten Endes den gleichen Prozess,
den ich ihnen eben an der Tafel gezeigt habe,
mit den markierten mittleren Fällen und einmal der Variante,
wir haben genau einen Medianwert im oberen Beispiel, die 16,
einmal der Variante, wir haben einen medialen Wert,
der aus zwei Werten besteht,
im Beispiel hier unten die 19 und die 20
und dann ergibt sich,
ergibt sich entsprechend der medialen Wert
Vielleicht noch kurz zur Nomenklatur, bevor wir dann zum arithmetischen Mittel weiterschreiten,
wo ich ihn noch mal ganz kurz erzähle,
wie wir Dinge eigentlich beschreiben.
Und das ist auch etwas, das dann für den ganzen Kurs weiterhin gilt.
Dazu gehe ich noch mal kurz an die Tafel.
Also wie bezeichnen wir denn jetzt eigentlich unsere Daten?
Ich nehme das hier alles mal weg.
Und habe da schon mal ein bisschen was vorbereitet,
wie Alfred Biolek das auch immer gemacht hat.
Wir haben einen Mini-Datensatz, bestehend aus zwei Variablen,
der ID.
Und der Variable
Wenn wir zum Beispiel jetzt hierfür den Mittelwert bilden wollten,
dann würden wir sagen, wir brauchen um die Mittelwertbildung vornehmen zu können,
zunächst die Summe dieser fünf Werte.
Also für die erste Person eine drei, für die zweite
eine eins und so weiter, bis zur fünften Person eine vier.
Wenn wir eine Summe bilden, das werden sie aus der Schule kennen,
benutzen wir das griechische Sigma, um zu sagen,
okay, bilde die Summe von irgendetwas.
Jetzt ist ja die Frage, wovon bilden wir die Summe?
Variablen bezeichnen wir häufig
entweder als
Oder als Y, als X bezeichnen wir alle die Variablen,
von denen wir denken, dass sie etwas erklären,
dass zum Beispiel, wie zum Beispiel beim Geschlecht,
wenn wir Einkommensunterschiede zwischen Männern und Frauen uns anschauen und davon ausgehen,
dass das Geschlecht sozusagen Einfluss auf das Einkommen hat, dann würden wir sagen,
die X-Variable, die Variable, die das Einkommen erklärt,
ist das Geschlecht und das Einkommen selbst wäre die Y-Variable,
die sogenannte abhängige Variable, dazu später auch noch mehr,
die wir erklären wollen.
Also wir haben in der Regel Variablen, die X und Y heißen,
manchmal heißen die Variablen dann auch X1, X2 und so weiter,
bis zu irgendeiner Zahl, die dann hier hinten kommt,
aber zunächst haben wir also X und Y. Jetzt wollen wir eine Summe bilden.
Summe bilden geht natürlich auf der einen Seite so,
3 plus 1 plus 5 plus 2 plus 4,
aber Summe bilden geht eben auch, indem ich sage,
V1 soll jetzt mal hier die zu summierende Variable sein.
Und jetzt schreiben wir an diese 1 ein kleines I mit einem Punkt dran.
Dieses I mit dem Punkt steht quasi für diese ID-Nummer hier vorne.
Und jetzt muss in die Summenformel natürlich noch eingebaut werden,
dass da irgendwas mit einem I ist.
Deswegen sagen wir hier, I ist gleich 1 in
unserem Falle
N gleich 5. In unserem Falle bis 5. Und so drücken wir
jetzt in einer kurzen Formel aus, dass wir hier eine Summe bilden wollen.
Also wir sagen, wir haben fünf Fälle mit der ID.1 bis 5.
Diese ID steht hier quasi als Index an unserer Formel dran.
Und was dieses Zeichen jetzt sagt, heißt,
bilde bitte die Summe über die Variable 1,
über alle einzelnen Fälle und die einzelnen Fälle laufen von I gleich 1 bis 5.
Und was diese Formel ausdrückt, ist letzten Endes zu sagen,
okay, wenn ich es noch einmal ausführlich schreibe,
V11 plus V12 plus V1 5 oder eben,
das ist entsprechend wieder gleich 3 plus 1 plus 5 plus 2 plus 4.
Das ist im Wesentlichen das, was sie an Notationskenntnissen hier wissen müssen.
Wir haben diese Zeichen, mit denen wir andeuten,
dass etwas zusammengefasst werden soll. Wir haben I,
manchmal auch J, um zu sagen,
hier läuft etwas von 1 bis zur größten Zahl.
Und hinter dem Summenzeichen steht dann nochmal,
was da passieren soll,
das ganz kurz zur Notation
Und sie haben das jetzt hier auch nochmal auf der Folie,
Variablen XY und so weiter.
Objektbezogene Ausprägungen, also Personen oder andere Untersuchungsobjekte XI,
wobei ihr dann eben dieser Laufindex ist.
Und ich kann darüber dann natürlich auch konkrete einzelne Objekte bezeichnen,
wie zum Beispiel das Objekt X15,
also die 15. Person im Datensatz und wie das Summenzeichen verwendet wird.
Das habe ich ihnen eben gezeigt. Damit kommen wir noch zum klassischen Mittelwert.
Das arithmetische Mittel, das sie aus der Schule sicherlich kennen.
Und da kommt das Summenzeichen gleich zum Einsatz.
Also wir haben über dem Bruchstrich das Summenzeichen,
mit dem wir, wie wir jetzt gerade besprochen haben,
einmal anzeigen, dass wir alle Werte,
die in einer Variable stehen,
XI, dabei geht I hier von 1 bis N,
entsteht für die gesamte Fallzahl. Und natürlich,
wie wir es gelernt haben, teilen wir dann die Summe,
die wir oben gebildet haben durch die Anzahl der Fälle und dann kommt eben genau das Arrathmetische Mittel raus und das arrathmetische Mittel,
ist der prototypische Mittelwert, den wir verwenden,
wenn wir metrisch skalierte Variablen vorliegen haben.
Man kann das etwas verkomplizieren, würden die einen sagen,
etwas vereinfachen, würden die anderen sagen für den Fall,
dass sich sehr viele gleiche Ausprägung in einer Variable habe.
Also denken wir nochmal zurück an die Demokratiezufriedenheit vorhin.
Ich habe ganz viele Leute, die eins gesagt haben,
noch mehr Leute, die zwei gesagt haben und so weiter und so fort.
Dann muss ich nicht unbedingt alle einzelnen Werte aufaddieren,
sondern dann kann ich wie in der Formel hier unten dargestellt sagen,
okay, ich habe die Werte, das sind die Dinge,
die hier mit X bezeichnet sind.
Das sind aber eine sehr begrenzte Zahl, die in mehreren Gruppen stehen.
Und das F bezeichnet jetzt die Anzahl der Fälle in den einzelnen Gruppen. Also ich muss dann nicht wie eben gemacht 1 plus 2 plus 3 plus 4 sagen,
sondern ich kann sagen, der Wert 1 taucht 273 mal auf,
1 mal 273 plus und jetzt kommt der zweite Wert und die Häufigkeit,
die Fallzahl, die Zahl der Fälle,
in denen dieser Wert auftaucht und so weiter,
dass es die Formel, die sie unten finden,
die also für gruppierte oder gruppierbare Werte den Rechenprozess etwas vereinfacht,
weil ich einfach durch Multiplikationen schneller an die Summe komme,
als eine unendlich große Zahl an Pluszeichen setzen zu müssen.
Wir haben also drei Mittelwerte, Modus, Median und das Arrithmetische Mittel.
Der Modalwert ist derjenige Wert, den wir verwenden,
wenn wir nominal skalierte Variablen vorliegen haben,
denn eine andere Zusammenfassung als den Modalwert zu bestimmen,
Können wir bei nominal skalierten Variablen gar nicht anwenden?
Haben wir ordinal skalierte Variablen? Sie erinnern sich an die Vorlesung Methoden 1,
ordinal skalierte Variablen, sind Variablen,
die wir zwar der Größe nach oder bei denen wir die Werte der Größe nachordnen können,
wo aber nicht ganz klar ist, wie die Abstände der einzelnen Werte sind,
dann ist der idealtypische Mittelwert, der zu verwenden ist,
der medial wert.
Das arithmetische Mittel ist mit Schwierigkeiten behaftet. Modalwert können Sie natürlich auf jeden Fall bilden,
aber Sie können mehr Informationen rausholen aus den Daten,
indem Sie den medialen Wert bilden, also sagen,
was steht eigentlich genau in der Mitte der Verteilung?
Und wenn wir metroskalierte Variablen haben, dann können wir
auf alle Fälle das arithmetische Mittel berechnen.
Wir können auch den medialen Wert bestimmen. Wir können in
der Regel einen Modalwert bestimmen, wenn denn bestimmte Werte häufiger vorkommen.
Mitunter haben sie metrisch skalierte Variablen,
wo wirklich jeder einzelne Messwert nur genau einmal vorkommt,
weil wir sehr genau gemessen haben, sehr feine Unterschiede haben.
Aber grundsätzlich runterwärts geht alles, metrische,
metrisch skalierte Variablen können immer einen medialen Wert bilden,
können immer auch einen Modalwert bilden. Hochwärts geht es nicht,
wenn ich nominal skalierte Variablen habe, ist das einzige,
was ich machen kann, den Modalwert zu bilden.
Was aber noch wichtig ist zu wissen,
dass bei metrisch skalierten Variablen, wenn wir alle drei Mittelwerte bilden können,
diese in einem bestimmten Verhältnis zueinander stehen.
Fangen wir zunächst an mit einer komplett symmetrischen Verteilung
Wenn, wie im Bild unserer Verteilung komplett symmetrisch ist,
dann ist der Modalwert vielleicht im Medianwert, gleich den arathmetischen Mittel.
Also alle drei Werte liegen auf genau dem gleichen Punkt,
wenn sie sich das mal mit Beispielzahlen angucken, werden sie das auch feststellen.
Achten Sie bei den Beispielzahlen darauf, dass Sie wirklich eine
symmetrische Verteilung haben. Wenn wir eine schiefe Verteilung haben,
dann verzerrt sich das etwas. Im Falle einer linksschiefen Verteilung,
also wir kommen auf einer schwachen Steigung von links nach oben und fallen dann steil nach unten,
ist der Modalwert der größte Wert,
wie sie hier auch in der Grafik erkennen können,
dann als nächstgrößer oder als kleinerer Wert,
der median und der das arithmetische Mittel ist in dieser Konstellation dann der kleinste von den drei Werten.
Also nur in der symmetrischen Verteilung fallen die Werte zusammen,
in schiefen Verteilungen fallen die Werte auseinander. Das ist wichtig zu wissen,
wenn man mit diesen Werten arbeiten will und das Ganze ist natürlich umgekehrt dann mit einer rechtsschiefen Verteilung,
also wir gehen Stein nach oben,
von links kommt und fallen dann langsam wieder runter.
In dem Falle ist der Modalwert der kleinste Wert,
der medialen folgt dann und das arithmetische Mittel ist derjenige Wert,
der dann auf der X-Skala sozusagen der größte Wert ist
Damit ist das Thema Lagermaße auch schon wieder beendet.
Das nächste Thema werden die Streuungsmasse sein.
Damit gehen wir dann auch aus dem Bereich dessen,
was systematisch schon bislang gesprochen wurde, heraus.
Aber bevor wir dahin wechseln,
gibt es noch wieder eine kleine Pause und ich melde mich
gleich mit dem dritten Video für diese Woche