Herzlich Willkommen zur Grundbildung Geometrie. Das ist das dritte Video in der 11. Vorlesungswoche.
Beschäftigen uns jetzt zum Abschluss des Kapitels mit Symmetrie.
Wir wollen also den Begriff der Symmetrie mathematisch fassen,
erst mal klären, was ist überhaupt eine Symmetrie,
was bedeutet das und wie kann man das mathematisch verstehen.
Und dazu habe ich hier ein kleines Beispiel gemacht.
Also wir machen hier Beispiele erst mal,
einfach so eine Figur aufgeteilt, das ist ein gleichschenkliches Dreieck.
Und ich denke, die meisten von ihnen werden erkennen,
dass dieses Dreieck symmetrisch ist zu dieser Höhe im Dreieck durch
die Spitze
Des gleichschenklichen Viechs. Also wenn ich hier so eine Höhe einzeichne,
dann erkennt man, und ich mache da vielleicht wirklich eine Grate draus,
dass man das deutlicher sieht, dass diese,
dass das so klein symmetrisch ist zu dieser Graden,
und das heißt das jetzt genauer, das bedeutet,
dass wenn ich eine Spiegelung ausführe an dieser Graden,
dass dann das Dreieck auf sich abgebildet wird.
Es geht nämlich diese Ecke auf die Ecke und zurück,
also bin ich jetzt mit A und B bezeiten,
die oben eine C, dann bedeutet Spiegel an der Graden,
und wenn jetzt mit Gelenden,
also Gehschlange von A heißt gleich B,
Und so weiter, die anderen wollen nicht alle aufschreiben.
Also, Symmetrie bedeutet hier,
dass sozusagen diese Figur unter dieser Spiegelung an dieser Geraden festbleibt.
Wir gucken ein weiteres Beispiel an. Jetzt machen wir das
ein bisschen noch symmetrischer sozusagen. Und zwar möchte ich jetzt
ein Gleichseitiges Dreieck zeichnen
Und gleichzeitiges Dreieck ist natürlich auch gleich schenklich,
das heißt, ich kann weder hier so eine Höhe einzeichnen
und dann ist es natürlich hier Spiegelsymmetrisch in dieser Höhe,
aber ich kann das natürlich mit jeder anderen Höhe auch machen.
Das ist jetzt nicht mehr eine einzige Höhe,
an der das funktioniert, sondern es gibt hier insgesamt drei solche Symmetrien,
die man da gerne auch sagt,
man nennt nämlich diese geraden Spiegelungen dann Symmetrien,
die vierte brauche ich nicht eins sein,
das können Sie gerne selber
Ihr Beispiel machen
Meine Frage an sie ist, sonst halten sie rück, das Video kurz an.
Gibt es noch weitere Symmetrien? Finden Sie an diesem drei noch weitere Symmetrien, außer diesen Spiegelsymmetrien, also diesen Spiegelachsen? Ja,
und ich denke, man findet weiter, indem er nämlich Drehungen betrachtet,
also auch nicht nur Spiegeln an diesen drei geraten,
das zweite Mal doch die dritte auch noch ein,
wenn wir alle beisammen haben,
also nicht nur Spiegel an diesen drei Geraden,
sondern auch Drehen des Dreiecks,
hier um 102 20 Grad beziehungsweise 240 Grad,
da gibt es noch eine weitere Drehung hier so rum,
240 Grad.
Diese beiden sind auch Bewegungen,
die das Dreieck festhalten und in diesem Sinne auch Symmetrien.
Und natürlich ist auch die Identität eine Symmetrie, weil sie einfach gar nichts tut.
Die gibt es hier oben natürlich auch, die hat mir nun nicht erwähnt gehabt.
Also in der Mathematik beschreibt man Symmetrien, zumindest in der Geometrie,
dadurch, dass man sozusagen Bewegungen betrachtet, die so eine gemittliche Figur festhalten.
Und das wollen wir jetzt mal in einer Definition präzise fassen,
geben, sei es eine gemittrische Figur, das ist einfach eine Menge von Punkten,
in denen da in der Ebene kann man natürlich auch im Raum betrachten.
Und eine Bewegung Better, die nennen wir Symmetrie von F,
wenn Better von F gleich Ephesus bedeutet, das Better,
diese Abbildung,
die Punkte von F wieder auf Punkte von F abbildet,
so wie das vorher etwa bei einem gleichschenkeligen Dreieck der Fall war oder eben auch bei dem gleichseitigen Dreieck,
zum Beispiel die Eckpunkte irgendwie aufeinander abgebildet wurden.
Ja, und dann gibt es einen wichtigen Satz in diesem Kontext,
nämlich Die Menge aller Symmetrien einer geometrischen Figur,
die bilden immer eine Untergruppe der Gruppe aller Bewegungen.
Das heißt, wir... Und diese Gruppe ist sozusagen im
gewissen Sinne ein Maß für die Symmetrie.
Also wir können hier keine Zahlen oder sowas angehen,
sondern eine Gruppe beschreibt, im gewissen Sinne die Symmetrien.
Ja, das wollen wir auch kurz beweisen.
Warum kommt da eine Gruppe heraus? Ja, Beweis der
Aussage. Ja, was müssen wir uns überlegen?
Zunächst mal brauchen wir zwei Symmetrien, Better und Gamma,
also Better Gamma,
seien Symmetrien
Symmetrien von F, von der Figur F. Das bedeutet ja,
dass Better von F gleich Ephes und Gamma von F
ebenfalls gleich Ephes und jetzt verketten wir diese beiden Abbildungen.
Den müssen die hintereinander schalten und wir wollen prüfen,
ob das auch weder eine Symmetrie ist.
Und das ist, denke ich, nicht so schwer zu sehen.
Better von FSR F und Gamma von FS auch F. Das heißt,
in diesem gewissermaßen diese zwei Schritte zeigen,
F bleibt auch unter der verketteten Abbildung fest.
Und genauso können wir für die Inverse arbeiten,
also Blätter von F gleich F, ist natürlich gleichwertig dazu nehmen,
einfach Bett auf minus eins auf beiden Seiten,
dass dann Bett auf minus eins von F auch wieder F ist.
Das heißt, sowohl die Verkettung von zwei Symmetrien ist eine
neue Symmetrie und auch die Inverse einer Symmetrie ist wieder eine Symmetrie und das genügt.
Und natürlich ist Identität immer eine Symmetrier, die Menge ist nicht leer.
Und deswegen haben wir insgesamt eine Untergruppe in der Gruppe aller Bewegungen.
Wir können das hier nochmal ganz kurz angucken,
wenn ich zum Beispiel zwei solche Gradenspiegel und hintereinander schalte,
das wissen wir schon, dann kommt genauso eine Drehung heraus.
In dem Fall um den Zwischenwinkel der beiden Graden,
der ja hier 60 Grad beträgt, wenn sie hier gucken, an dieser Stelle.
Und so ergibt sich der Winkel 120 Grad und zwischen den
beiden Graden ist es 120 Grad, dann kommt die Drehung von 240 Grad raus.
Also auch hier ist es so, dass die Verkettung der Symmetrie eine neue Symmetrie ergibt. Zum Abschluss des Videos noch eine kleine Bemerkung. Wir werden jetzt sozusagen uns auch solche beschränkten Figuren beschränken,
aber natürlich kann man das auch mit ganz anderen Gebilden machen,
zum Beispiel, also hier kommt dann immer endliche Symmetriegruppen heraus,
diese Gruppen nennt man dann auch Symmetriegruppen, aber es gibt einfache Beispiele,
ich meine, also was sind so eine Bordüre,
das könnte man zum Beispiel sich vorstellen, ans Bad,
nimmt man irgendwie an einem Fliesen, als Berandung,
das geht jetzt immer so weiter in beide Richtungen,
dann kann man das verschieben, nicht wahr,
von hier, nach hier hat es sogar eine Translation,
die das ganze Gebäre festhält,
indem man es einfach weiterschiebt und dann sieht man,
dass es unendlich viele solche Translationen gibt,
weil sie können nicht um dieses Stück sein,
sie können um das und das und so weiter schieben und sie können sogar hier eine Gleitspiegelung entdecken,
wenn sie genau hingucken,
sie können nämlich das nur den Halben Vektor schieben und einmal spiegeln,
dann bleibt die Figur auch erhalten und so kann man sozusagen zum Beispiel solche Bordüren,
ich nenne das mal ein paar Dürre,
Da kann man die studieren und untersuchen, welche Symmetrien da auftreten,
welche Gruppen überhaupt vorkommt, dass es natürlich jetzt außerhalb dessen,
was wir hier noch machen können in der Geometrie,
ein zweites interessantes Beispiel ist der Kreis,
machen einfach einen auf,
so machen wir einen Mittelpunkt und zahlen einen einfachen Kreis.
Der hat natürlich auch Symmetrien und diese Symmetrien,
die kennen wir schon,
diese Gruppe haben wir
schon mal gesehen
Also zunächst mal oder bestimmt nicht ganzeren Teil der Gruppe haben
wir schon gesehen. So ein Kreis kann ich nämlich,
wenn ihn auf sich abbilden blickt, ich kann jede beliebige Drehung,
ob den Mittelpunkt machen, dann bleibt der Kreis fest.
Und das ist genau diese Gruppe der Drehungen,
um einen festen Punkt, den hatten wir schon mal betrachtet.
Tatsächlich kommen hier natürlich noch Grabenspiegelungen dazu. Sie können ja
jede Beliebige gerade durch den Mittelpunkt nehmen und daran spiegeln,
bleibt der Kreis auch fest.
Also auch hier gibt es eine relativ große Symmetriegruppe,
ähnlich wie bei Terportüre hier