Zum Abschluss möchte ich noch ein etwas komplizierteres Beispiel zum Satz von Stokes machen,
nämlich dem ein Beispiel zum Auftrieb von Unterwasser eingetauchten Gegenständen.
Also haben wir mal hier so unsere Wasseroberfläche und dann
ist hier unten vielleicht so ein Schwimmring untergetaucht.
So, hier ist mein Schwimmring.
Und nun hat man vielleicht schon mal gehört,
dass Archämines sich auch
schon mal überlegt hatte
Was jetzt hier passiert, also der Schwimmring würde natürlich
nach oben schwimmen, aber wir binden ihn fest.
Hier binden wir ihn fest. Und in der Tat binden wir
ihn an so einer kleinen Waage hier fest und die Waage
selber ist hier unten auf dem Boden unseres Sees hier irgendwie mit einem groß genugen Gewicht hier unten festgemacht.
Und dann haben wir hier unten ist der Boden.
Da wachsen so ein paar Alben hoch.
So sieht das aus
Hier auf der Waage ist jetzt so ein Zeiger und die wiegt jetzt hier
das negative Gewicht des Schwimmrings und zeigt dann irgendwas an,
was weiß ich, minus 15,3 Kilogramm, zeigt die jetzt an.
Und das bedeutet, dass das sozusagen ein Auftrieb hat von
15,3 Kilogramm und die Physiker schreien jetzt und wir so,
Kilogramm, das ist doch keine Kraft,
Kraft misst man in Newton,
aber ihre Waage zu Hause sagt auch Kilogramm und meine Waage
hier sagt das auch
Und diesen Auftrieb, das hatte sich, Herr Chemie,
das ist ja schon einmal überlegt. Und der sagt,
wir schauen uns einfach die Masse an von dem verdrängten Wasser.
Verdrängtes Wasser. Und das ist genau der Auftrieb.
Und dann, was es aber nach unten drückt,
ist halt die Masse des Schwimmrings selber
Und das bloß das ist genau das hier angezeigte Gewicht.
Und jetzt kann man sich fragen, wie kommt man denn da drauf,
dass der Auftrieb hier genau gleich der Masse des von dem Volumen,
also genau gleich der Masse ist, die dieses Volumen hier hätte,
wenn ich es mit Wasser füllen würde.
Ja, das ist ja nicht so klar,
ist ja auch überraschend,
dass der Wasserdruck zum Beispiel nimmt ja zu,
wenn ich weiter runtergehe und warum wird dann der Auftrieb nicht mehr,
wenn doch der Wasserdruck jetzt größer geworden ist,
warum ist das unabhängig davon,
wie tief ich bin
Das kann man alles überraschend finden. Aber dann kann man
halt da auch mal drüber nachdenken hier. Und der Gedanke,
den man da haben könnte, ist,
dass das vielleicht eine gute Anwendung des Satzes von Stokes ist.
Und vielleicht kann der erklären, wo dieser Teil der Formel herkommt.
Und das wollen wir jetzt machen
Da müssen wir erst mal die Situation hier modellieren,
damit aus diesem Bild ein Mathe-Problem wird und wenn das Mathe-Problem
da ist, dann können wir da was rechnen.
Also erst mal brauchen wir den Wasserdruck. Der Wasserdruck nimmt zu,
tiefer ich gehe, wir legen hier mal so ein Koordinatensystem rein.
XXYZ. Später werde ich das stattdessen lieber X1 X2 X3
nennen,
glaube ich
Aber der Wasserdruck erstmal nimmt zu, je tiefer ich gehe und
mit meinem Koordinatensystem nimmt er halt sozusagen ein Minuszept zu.
Und ich sag einfach mal, der Wasserdruck, Roh von Z
ist minus Z oder Roh vom Punkt, wo ich bin.
So, ich sollte es einfach sagen, P. ist minus Z,
nur die Z-Kommponente. P, gleich XYZ. So,
nun müssten hier noch irgendwie Materialkonstanten und was nicht alles hin,
die setzen wir alle zu eins,
dann Dann kann man sich in seiner Freizeit überlegen,
wie das jetzt mit Dichten und Dichte von Wasser und bla
bla bla weiter funktionieren würde. Wir machen das mal so. Und wie,
was hat jetzt der Wasserdruck zu tun mit der Kraft,
die wirkt und die Kraft auf ein Flächenstück?
Wie beschafft man sich die? Also was ist da das
Bild? Da haben wir vielleicht so ein Stück Fläche,
da stellen wir uns jetzt vor wie so ein einziges Stück von dem Schwimmwing hier ein bisschen aufgebläht,
dann ist auf einer Seite davon das Wasser, hier.
Weißt du? Und auf der anderen Seite ist kein Wasser.
Und das Wasser hat jetzt seinen Druck roh und wenn
der Druck vor dieses Flächenstück vordrückt,
dann wirkt er halt eine Kraft in Richtung des nach innen
zeigenden normalen Vektors aus,
nenne ich mal,
in Hut
Und nicht je nachdem, also wenn die Fläche,
wo waagerecht ist, dann drückt es noch da,
wenn unten kein Wasser ist und oben Wasser ist,
drückt es nach unten und so weiter.
Und wenn oben kein Wasser ist, unten Wasser ist, drückt es nach oben.
Also der Druck geht hier in Richtung des normalen Vektors
von dem Flächenstück und die ausgeübte Kraft insgesamt ist roh.
Also hier, wenn das mein Punkt P auf dem Rand ist,
ist roh an der Stelle P,
mal Dem normalen Vektor zur Fläche an der Stelle Pi.
So, und das ist die Kraft an einem Punkt.
Und die muss ich jetzt integrieren über die gesamte Oberfläche.
Okay, also das ist unsere Kraft F.
Und das ist ein Vektor, ja? Die Kraft ist
ein Weg, nur im R hoch 3. Die sagt,
in welche Richtung drückt es denn? Und die Gesamtkraft,
die auf den Körper G nun wirkt, ist das Integral
über die Oberfläche von der Kraft und dann DS, unser Oberflächenintegral.
Aber das Oberflächenintegral hatten wir eigentlich nur für Funktionen, auf Flächen definiert.
Und wenn wir jetzt einen Vektuellen setzen, ist das Komponentenweise gemeint.
Also hier kommt jetzt was in R3 raus.
Okay. Über die Oberfläche von G,
also vielleicht sollte man das hier nochmal sagen,
das ist G, ist unser Schwimmring und die Oberfläche
haben wir dann Digi
Und die Vermutung, die wir jetzt haben, die Behauptung,
die wir zeigen wollen, ist, dass es unser Modell,
jetzt können wir eine mathematische Behauptung aufstellen.
Gerade FDS, das Invektor MR hoch 3. Und was erwarten wir denn?
Was soll die Gesamtkraft sein? Und dieses Bild sagt uns,
die Gesamtkraft soll zwei Eigenschaften, haben erstmal, zeigt sie nur senkrecht nach oben.
Der treibt hier nichts zur Seite oder aus seiner eigenen Auftriebskraft,
erwarten wir, das geht nur strikt nach oben keine Kraft zur Seite.
Und zweitens erwarten wir, dass die Kraft,
die nach oben geht gerade, das Volumen ist.
Ja, alle Konstanten haben wir zu eins gesetzt. Also erwarten wir,
dass hier rauskommt,
dass es ein Vektor in mir 3 und der Vektor soll sein,
0, 0 und die Kraft,
die Auftriebskraft zeigt nach oben und tut das mit dem Volumen,
also dem Lebeckmaß im R-Hoch 3 von,
dieser glattberandeten Menge G,
da unserem Schwimmring
Das ist unsere Behauptung. Okay, und jetzt ist es eine Aussage,
jetzt können wir einfach versuchen, das zu beweisen.
Das mache ich jetzt und das. Dazu beschaffen wir uns
immer so einzelne Zutaten. Erstmal die Zutat, dieses Oberflächenintegral,
da erinnern wir uns nochmal dran, wie das war,
wenn jetzt einfach nur eine Funktion steht, anstatt eine wecktbewertige Funktion.
Also ich schreibe das Matthias in den Rand,
Integral FDS, wie war das noch definiert?
Da gucken wir uns mal so die Situation an.
Hier ist unser Schwimmring, dann haben wir hier,
ich möchte das mal so in einer in der Spur
einer Kartenumgebung hier in der Spur einer Einbettung ansehen.
Wie mich ein Gamma, das geht vielleicht in einem Omega los.
Das Omega lebt in R2. Und bildet Omega hier in den
Rand ab. Und dann bildet Omega auf W ab.
Und dann das Integral über die Spur der Einbettung,
wenn hier irgendeine Funktion F drauf definiert habe,
die nach R geht,
Die S war ja definiert, als,
das sind Degral über Omega, dann er vergettet mit Gamma
und dann hatten wir diese gramische Determinant G-Gamma.
Und die gramische Determinante, wiederum wahrgegeben, als Wurzel aus,
determinante, von die Gamma transponiert, dicker Mann.
So, und das möchte ich jetzt
ein bisschen umschreiben
Und zwar möchte ich die beiden, also die Gamma,
an irgendeinem Punkt P aus Omega,
das ist ja so eine,
zweimal drei Matrix und den ersten Eintrag möchte ich U nennen und den zweiten V.
Also ich sage U von P
ist gleich die Gamma von P I1 und V von
Ist der Degama von P. E2. Und dann hatten wir nämlich
mal ausgerechnet, was dieses Wurzeldett und so weiter ist.
Das war Beispiel. 13, 3, 1. Da
hatten wir ausgerechnet Wurzel gegen Gama für diesen speziellen Fall,
dass wir zwei nach drei Dimensionen machen.
Ist der Betrag von U-Kreuz V. Der Betrag des Kreuzproduktes.
Ja, das ist dieses Wurzel-Gegama ist der Betrag des Kreuzproduktes
von Vektoren im
Gut, haben wir uns da nochmal dran erinnert.
Als nächste Zutat, um hier ein bisschen in dem Problem
selber weiterzumachen, brauchen wir diesen normalen Vektor.
In Head. Äh, Ennenhut. Und im R3 kann man
sich normalen Vektoren auf eine Fläche eben auch mit dem Kreuzprodukt beschaffen.
Also U-Kreuz V. Das bildete jeweils in den Tangentialraum ab. Also nochmal,
wenn wir hier unseren Ringe haben, dann haben wir hier einen Punkt X,
dann lebt hier, können wir so einen Tangenzialraum dranlegen,
okay, den müssen wir durch null schieben,
das wissen sie alles.
Und dann die einzelnen,
das Bild von D. Gamma ist ja genauer per Definition der Tangenzialraum,
also wird der eben aufgespannt durch die beiden Vektoren und...
So, und U-Kreuzfahren ist nun senkrecht auf U und senkrecht
auf V. Das senkrecht zu U. Das senkrecht zu V
und dann zeigt das ja gerade in die normalen Richtungen
Aber dummerweise zeigt es in die falsche normalen Richtung.
Also ich hätte jetzt sagen können, also Enne zeigt in normalen Richtungen,
U-Kreuz V, das ist noch nicht von länger eins,
aber das kriegen wir auch schnell korrigiert,
indem wir durch den Betrag von U-Kreuz V teilen.
Das ist jedenfalls mal eine normale zu dem Tangenzialraum.
Aber die zeigt nach außen, nicht nach innen,
wie wir uns mal in einem Beispiel schnell hier verdeutlichen,
nehmen wir mal
den drei
XY, Z oder vielmehr X1, X2,
X3. Und dann würden wir ja hier sagen,
das ist die H3, dann ist der Halbraum hier drüben.
Und hier wäre sozusagen das Innere von G. Und hier wäre das Wasser,
da ist das Innere vom Schwimmring, hier ist das Wasser.
Und wenn ich jetzt mal den Vektor E2 und den Vektor
E 3 nehme und E2-Kreuz E3 ausrechne.
Und warum mache ich E2-Kreuz E3? Das muss man sich
mit den Orientierungen überlegen, gleich im Satz von Stokes.
Da ist der R3 standardorientiert und dann ist das hier,
der weckt dort zuerst dann der Vektor, nicht wahr?
Das wäre der Orient Gordon Basis Vektor 1, das wäre Vektor 2.
Das ist die induzierte Orientierung auf dem Rand von H3.
Und ich werde gleich sagen, dass das Gamma,
was ich hier aussuche, was mir hier sozusagen stückchenweise den Rand überdeckt,
das will ich natürlich orientierungstreu
Wenn ich das orientierungstreu wähle, bin ich in der Situation,
wo das sozusagen dem Uhr entspricht und das dem Foulen spricht.
Und E2, Kreuz, E3, ist E1.
Und die Eins zeigt nach außen. Okay,
und das ist also die Nach außen zeigen normal.
Aber die Kraft geht halt nach innen.
Und deswegen musste ein Minuszeichen vor. So. Das ist unsere
Normale. Und damit haben wir unsere Kraft.
F,
gleich Romal
Ausgerechnet. Das U-Kreuz V, das müssen wir jetzt ja komponentenweise machen.
Hier dieses Integral, wenn wir nochmal zu unserer Behauptung zurückgehen,
sagen wir, das verhält sich so. Und das heißt,
wenn ich das F, als ich gerade ausgerechnet habe,
in die erste, zweite und dritte Komponente aufspalte und diese integrale Ausrechnung muss das erste integrale Null sein,
das zweite integral muss Null,
sondern das dritte muss das Volumen von G geben.
Also müssen wir uns die Komponenten von F ansehen.
Die Komponenten von F sind Den musst du durch den Betrag
hier teilen, aber ansonsten sind sie durch U-Kreuz V gegeben.
Dieses Minuszeichen hier. Ich schreibe jedenfalls mal U-Kreuz V hin.
Das ist U2 V3, minus 3. V2, äh,
U3 V1, minus U1 Frau 3 und dann noch U1 V2, minus U2.
Vor eins gucken wir mal, ob wir das hier
drin wiederfinden
E2 ist, das ist nur die U2-Komponente,
eins und der Rest ist null und wenn VE3 ist,
ist nur die V3-Komponente eins und der Rest ist null.
Und dann steht hier gerade eine Eins und der Rest
ist immer alles null und dann kriegen wir genau E1,
also gut, das passt zumindest zu dem.
Okay. Jetzt haben wir den normalen Vektor hier einigermaßen gut
unter Kontrolle. Und jetzt können wir mal anfangen,
das Integral
DEG versuchen, ein bisschen besser zu verstehen.
Dazu machen wir das wieder in diesen Karten, ja.
Also sagen wir wieder, wir sind in dieser Situation hier oben.
Copy. Priest. Und jetzt haben wir statt F eine von
den Komponenten von F. Ja, und das Gammer hier ist Orientierungstreu.
Und dann schauen wir mal,
was zumindest für das Integral über Diese Spur passiert und dann,
verstehen wir damit was mit dem Integral über den ganzen Rand ist.
Also, integral weh. FDS ist gleich integral über Omega. So,
dann habe ich das hier auszurechnen, das ist ja immer eine Kraft,
also habe ich erst mal roh, Gringel, Gamma,
Rom ist die Dichte und Gamma ist meine Einbettung. Mal in normale,
aber das hier passiert ja immer alles an einem Punkt,
ja, und V sind ja, werden ja ausgewertet,
immer an einem Punkt,
was also auch schon in sich genommen wieder eine Funktion,
aber dies parametrisiert in Omega, nicht da drüben,
mal Wurzel aus Gigama und das Setzen wir mal weiter ein,
rova minus Z, also steht hier einfach minus Gamma 3,
die dritte Koordinate von Gamma, mit dem Minuszeichen.
Mal, dann das N-Minus, U-Kreuz V durch Betrag,
U-Kreuz V. Mal Wurzel Gigamma, hatten wir auch ausgerechnet,
Betrag U-Kreuz V.
Und das Ganze wird bezüglich das zweidimensionales,
zweidimensionale Backmases integriert
Dann vereinfacht sich das ein bisschen. Die grammische Determinante kürzt sich einfach raus,
hurra, diese zwei Minusse, während einem Plus.
Kenn ich. Soweit, so gut. Und jetzt wollen
wir das noch ein bisschen umschreiben,
sodass es durch ein Formintegral hier auf dem Rand gegeben ist.
Und das machen wir jetzt Komponente für Komponente.
Wir fangen mal mit der ersten Komponente an.
Also, ich möchte sagen, was ist integral über wie
FDS und davon die erste Komponente. Und wenn unsere Behauptung
stimmt, soll da doch bitte null rauskommen gleich.
Aber versuchen wir erst mal ein bisschen das hinzuschreiben.
Das sind wir gerade. Omega, wie hier gerade ausgerechnet
. Wir haben mal dreimal. Und was ist die erste
Komponente von U-Kreuz-V? Wie steht der hier? U2-V-3,
minus U3-V-2. Die Lamda 2. So, und das hier
Das baue ich jetzt wieder ein bisschen zurück, Gamma 3 ist X3,
die Projektion auf die dritte Koordinate, verkettet mit Gamma, mal.
Und warum baue ich das zurück? Sehen wir jetzt?
Die X2 Dach D X3, diese zwei Formen,
angewendet auf unsere beiden Vektoren U und V.
Warum ist das richtig? Also U hat ja Komponenten U1 und
2 U3 und V, Komponenten V1, V2, V3.
Und diese Formel war ja erst in das hier ein Sätzen gibt,
U2 und V in das hier ein Sätzen gibt V3 und
dann wegen dieser Permutation mit dem Vorzeichen Uhi einsetzen und V hier einsetzen.
Das gibt einen zweiten Term. Aber U und V,
wiederum, die X2, 8D X3,
U und V, hatten wir hier oben definiert,
als die Ableitung von Gamma und die Standardbasis eingesetzt.
Okay. Die Gamma immer an der entsprechenden Stelle,
wo wir hier gerade sind, dann, also vielleicht,
ja, ist das verwirrend.
Also das schaffen wir schon. Also das ist an einer
Stelle P ausgewertet. Und dann eben auf EE1 angewendet.
Vielleicht redest du auch im Handygamer von P, wie eins,
und das liegt jetzt alles an der Stelle P,
das wird auch an P ausgewertet und so weiter und so weiter.
Dadurch das auch an P auswerten müssen.
Ich schreibe mal so weiter. Die Gamma von P,
die zwei
So, aber das erkennen wir jetzt ja wieder als eine zurückgezogene Zweiform.
Ja. Irgendwas verkettet, dann die Ableitungen. Das ist,
diese zwei vor mir im R3 zurückgezogen mit Gamma.
Das ist einfach Gamma-Stern, das lasse ich den Punkt P wieder weg.
Vielleicht sollte ich das ja so mit Besseres. Das ist
P wird abgebildet da drauf. Jetzt ist es zumindest mal
nicht falsch. Und das ist einfach die zurückgezogene Form,
die X X, 3 mal, die X 2,
Dach, die X 3. Das ist das, was hier steht.
Und dann ausgewertet. An diesen beiden Vektoren E1. Und E2. Aber was das macht,
wenn ich diese zwei Formen auf E1, E2 auswerte,
das fischt ja einfach nur den koeffizienten raus,
der vor der Standardbasis DX1,
Dach,
BX2 stehen würde
Ja, das heißt, dieses ganze Integral hier, nö.
Dieses ganze Integral ist jetzt ein Integral über eine Zwei-Form geworden,
nämlich das Integral über die Zwei-Form Gamma-Stern.
X3, die X2-Dach, nee, X. 3. Ja,
das E1 E2 kann ich weglassen, dass die Lander 2 auch,
denn das bedeutet ja, das bedeutet genau das.
Per Definition von dem, was wir mit dem Integral
überformen meinen
So, und das nenne ich mal Omega 1 hier. Das ist,
nenne ich mal, die Form, die zwei Formen,
die ich bekomme, wenn ich mir die erste Komponente ansehe.
Jetzt will ich hier keine vektorwertigen Formen definieren,
ich nenne das einfach mal so.
Ja, dann habe ich ja also insgesamt raus,
gleich integral, Omega, Gamma Stern, Omega 1.
Und was passiert jetzt in den anderen Komponenten?
Da geht das genauso, ja,
also integral wie FDS,
Wird Integral, Omega, Gammastern, Omega-I, Y gleich 1, 2, 3.
Und Omega 1 habe ich hier oben schon hingeschrieben.
Und was wird Omega 2 und Omega 3?
Dieses X3 bleibt ja immer gleich. Das kommt von dieser,
von diesem Minus, von diesem Z oder X3,
was wir hier uns durch das Roh reingeholt haben.
Dieses Gamma 3, das ist egal, welche Komponente ich anschaue.
Das steht immer da. X3. X3 und diese Form Diese Form hier,
das waren gerade die Komponenten hier vorne in dem Kreuzprodukt.
Zwei, drei gab uns dieses 2,
3. Und davon war das Kreuzprodukt, was Dachfetchprodukt auswerten,
auf Vektoren hieß, kam dieser Minustherm immer noch dazu.
Die zweite Komponente des Kreuzproduktes gibt also, die X3-Dach-DX-1,
und die hier gibt die X1-Dach-DX-2.
Die X3-Dach-DX-1 und die X1-Dach,
Okay. So, jetzt habe ich es geschafft. Die Komponenten der Auftriebskraft auszudrücken,
als ein Integral von einer zwei Form über dieses Omega.
Aber die Omega 1, 2 und 3 sind Elemente in A2 von ganz Erdreiher.
Die sind überall definiert und die habe ich dann nur eingeschränkt
auf den Rand und weil bezüglich jeder orientierungstreuen Karte,
mit der ich das teste, das hier herauskommt,
kann ich jetzt das W auch über ganz G integrieren und
dann integriere ich entsprechend diese Formen über ganz G. Ja,
das hier ist ja das Gleiche.
Jeweils wie das Integral über W. Von der Form,
davon nach Definitionen, was das heißt.
Und das stimmt für jedes W. Und damit stimmt es dann
auch für ganz die, die, also damit folgt.
Integral mit dem Rand von meiner Teilmenge hier, meinem Schwimmbringen. FDS,
das ist ein Vektor immer 3, davon die ite Komponente,
ist gleich dem Integral über DG von meiner Zwei-Form.
Oh mega i. Und jetzt habe ich gewonnen.
Jetzt kann ich Stokes anwenden. Also, kriegt noch so
ein bisschen Glitzer drumherum
So. Dann wird daraus Integral gehen. D, Omega-I,
wie jedes I. Und jetzt beginnt der Spaß. Jetzt rechnen
wir die D-Omega-Is aus. Die Omega-Is gleich. X3,
X, 2, X3. Da wird daraus ein D,
X3, Dach, die X2, Dach,
die X3. Das ist richtig gemacht.
3, 2, 3,
3,
2,
Aha. Das ist aber null. Och, das war ja
einfach. In der ersten Komponente kriege ich automatisch null aus
dem dummen Grund, dass das D die Form platt macht.
Die Omega 2 ist die X3. Dachte X3. Dachte die X1.
Auch nun. In der zweiten Komponente kriege ich in
dem Integral einfach null aus dem dummen Grund,
dass das D die Form zu null macht
Die Omega 3. Dafür ist nicht auch null sein.
Sonst, sonst war es schlecht. Die X3,
Dach, die X1, Dach,
die X2. Und das kann ich noch in die Standardform bringen.
Hier, da tausche ich das an den beiden vorbei hier.
Dann kriege ich ein Minuszeichen. Noch ein Minuszeichen.
Das ist also die X1, Dach, die X2,
Dach, die X3. Und es ist nicht null.
Und es ist die Standardvolumenform. Und wie integrieren wir jetzt
diese drei Formen hier über irgendein Gebiet im R3,
das haben wir gemacht,
drei Formen integrieren
Da fischen wir uns den koeffizient hier raus.
Der ist eins und machen das Libbeck-Integraten. Ja, und
schon da geht es weiter. Gleich integral über G,
wir fischen uns den koeffizient raus und integrieren das bezügliche des Dreidimensionalen Backmases.
Aber das ist ja gerade Lamda 3 von G. Und da
haben wir unsere Vermutung gezeigt, haben wir also insgesamt heraus.
Integral Diggi
FDS. Gleich null, null Lampen da reihe von G.
Das ist doch nett. Haben wir nachgerechnet, dass die Auftriebskraft
gleich dem Verdrängten, gleich der Masse des Verdrängten Volumens ist.
Gut, das war noch eine schöne Anwendung, zum Beispiel von Stokes.
Wir hatten noch viele andere Anwendungen, aber ich glaube,
selbst mit dieser Anwendung bin ich schon über die Zeit hinaus und ich hoffe,
sie hatten Freude an der Vorlesung und danke,
dass sie dabei waren