Herzlich willkommen. In diesem Video möchte ich ein bisschen was zum Thema Schließungssätze,
also Kapitel 4 des Skripts wiederholen und möchte erst mal sagen,
betonen nochmal das Schließungssätze, in dem Sinne keine Sätze sind,
sondern Axiome, die in einer gegebenen,
affinen oder projektiven Ebene gelten können oder auch nicht.
Und wir gucken jetzt,
wie hängen diese Axiome miteinander zusammen, welche logischen Konsequenzen,
also Beziehungen gibt es zwischen denen und gibt es Beispiele von Ebenen,
wo sie gelten und andere Ebenen, wo sie möglicherweise nicht gelten.
Und wir haben erst mal,
ich möchte anfangen mit den Schließungssätzen,
die wir gehabt haben,
für affine Ebenen
Das Sinn, der Schließungssatz, großartig, der große Desarg,
ich zeige Ihnen gleich ein Bild und wir wissen aus dem großen Desarg folgt der kleine Desarg,
die Umkehrung des Desarg und auch der Scherensatz, das ist sozusagen der erste Teampunkt,
den wir gehabt haben, dann gibt es noch den großen Pappus,
Großen affinen Pappus, das Arsch steht immer für affin, aus dem folgt als Spezialfall der kleine affine Pappus.
Und dann haben wir noch den wichtigen Satzsatz von Hessenberg, aus Pappus folgt Desak. Das sind so grob die Sachen,
die in den Sätzen drinstehen, dann steht sogar noch mehr,
dass nämlich, also gucken Sie vielleicht am besten in vier,
sechs, dass dort steht unter anderem Sachen,
die wir teilweise nicht bewiesen haben, dass der Scherensatz,
die Umkehrung des Desak und der affine Desak untereinander jeweils Äquivalent sind,
also diese drei, die ich jetzt hier unterstreiche,
die sind paarweise äquivalent und dann haben wir noch gehabt,
dass aus dem kleinen, affinen Desag, auch der kleine affine Pappusvolk,
das ist eine Bemerkung, die hier drinsteht,
gehabt in dem Sinne, dass wir einen Beweis gesehen haben,
haben wir es nicht und dann gibt es noch,
vielleicht schreibe ich es doch nochmal sauber hin,
aber das mache ich vielleicht,
nachdem ich ihnen die Sätze hier einmal gezeigt habe nochmal,
also dies ist der Große affine Desak.
Man startet mit drei oder die Ersatz oder dieses Axiom sagt,
wann immer ich die Situation habe,
wie sie hier in blau vorgegeben ist,
drei Co-Punktale graden und zwei Dreiecke, deren Ecken jeweils auf den Graben draufliegen,
so wie hier in der Skizze angedeutet.
Und diese beiden Dreiecksseiten sind parallel und diese beiden Dreiecksseiten sind parallel.
Dann sind auch hier die rot markierten Dreiecksseiten parallel.
Das ist der große Affine Desak. Der Kleine ist analog,
nur dass diese drei hier ko-Punktalen sogenannten Träger graden hier Paralleleträger
graden werden
Dann haben wir hier die Umkehrung des Desark, AD Strich,
die besagt, wenn ich zwei, drei Ecke habe,
deren Ecken jeweils auf entsprechenden Graden drauf liegen,
sodass alle drei entsprechenden Dreiecksseiten jeweils parallel sind,
was hier die Schlussfolgerung war, dass dann das gilt,
was hier die Voraussetzung war, dass nämlich die drei Träger graten,
entweder Co-Punktal oder Parallel sind,
das konnte ich hier in meiner Skizze nicht mit rein,
skizzieren, aber ich sage es ihnen mündlich,
sozusagen aus dieser Schlussfolgerung gilt,
dass die drei Träger graden entweder so liegen wie hier,
also parallel oder so wie hier,
also mit einem Schnittpunkt
Genau, dann haben wir den Scherensatz,
den gehe ich jetzt nicht im Detail durch,
ähnlich wie die anderen Sätze hier oben,
dass die hier dann vierte Paar von geraden ebenfalls parallel sind,
wenn das für die anderen gilt.
Und hier haben wir den affinen Pappus,
wo die Träger geraden parallel oder auch schneidend sein können,
hier ein bisschen ungeschickt gemalt, aber auch so,
dass,
wenn diese beiden geraden parallel vorausgesetzt sind,
diese beiden geraden parallel vorausgesetzt sind,
dass dann
auch diese beiden hier rot markierten Graden parallel sind
Und den kleinen, affinen Papris habe ich hier gar nicht
mehr wirklich hingemalt. Der ist wie der Große,
nur dass die Träger geraden dort,
also dass wir nur fordern für Trägergraden, die parallel sind.
Das sind die ganzen affinen Schließungssätze. Und ich möchte nochmal,
wie das in 4,6 auch steht, das nochmal anders,
zum Teil anders hier aufskizzieren.
Nämlich, es gilt, folgende Inklusion, Implikationenkette.
Aus AP folgt AD, aus AD,
folgt Klein-AD und aus Klein-AD
folgt Klein-AP
Und AD, Strich und S sind jetzt hier
nicht mit drin, die sind da oben schon verarbeitet.
Aber man kann jetzt hier noch zusätzliche Informationen geben,
die auch in 4, 6 mit genannt werden,
ohne dass wir sie jemals bewiesen haben,
dass nämlich diese Umkehrung nicht geht, da sage ich gleich noch was zu.
Diese Umkehrung auch nicht gilt. Und diese Umkehrung,
das nicht bekannt ist, ob die vielleicht doch gilt.
Also das noch als Information, was man dazu sagen kann.
Und hierzu kommt jetzt sozusagen, was hier unten noch steht,
was ich ja unten jetzt noch hinschreiben werde,
nämlich für welche affinen Ebenen gelten unsere Sätze, also AD,
Gilt in einer affinen Ebene A. Genau dann, wenn A,
Isomorph ist, zu einem AG2K für K,
ein Körper.
In unserem Sinne, also entweder kommutativ oder auch nicht.
Die eine Richtung ist relativ am Anfang dieses Kapitels,
wenn wir ein AG2K vorliegen haben,
dann gilt AD.
Kann man dann
rechnerisch beweisen
Und die Umkehrung gilt aber auch, die ist im Skript,
nimmt die einen sehr großen Raum ein,
das ist die Koordinatisierung und schließlich der Darstellungssatz für desaccheaffine Ebenen,
wenn der Desag gilt, dann gibt es einen Körper,
sodass A Isomorph ist zu AG2K.
Die Koordinatisierung selbst wird in der Klausur nicht thematisiert,
nur das Faktum, das hier Äquivalenz herrscht,
finde ich, sollten sie sich merken.
Und AP für AP gilt ein entsprechender Satz,
nämlich auch dasselbe nur, wo K dann ein Kommutative Körper sein muss.
Und die Rückrichtung hier aus AD kann ich eben nicht AAP schließen.
Das würde in dieser Sprache bedeuten, wenn ich einen Körper habe,
dann muss der nicht unbedingt kommentativ sein.
Also wenn ich ja einen nicht kommunitativen Körper nehme,
zum Beispiel die Quartionen, dann gilt AD, aber nicht API.
Weil für AAP muss der Körper kommutativ sein.
Also das ist ganz schnell auf die Schnelle zusammengefasst,
alles über Schließungssätze für affine Ebenen.
Dann haben wir noch entsprechende Sätze für projektive Ebenen
Nämlich, da haben wir PD, der projektive, große Desak,
der Crew-Projektive, große Pappus und der projektive kleine Desak,
die drei, haben wir behandelt, kommen im Skript vor.
Hier gilt aus Pappus folgte Sarg, genau wie auch hier,
gehst auch fürs Projektive, das beweist man,
oder haben wir bewiesen, mit dem Umweg übers Affine.
Hier, folgt auch aus großem Desak,
folgt der kleine Desak, weil im Projektiven der Kleine,
der sagt, ein Spezialfall des großen Desak ist,
wir gucken uns vielleicht kurz die Bilder dazu an.
Der projektive Desak ist sozusagen auch in gewissem Sinne eine Zusammenfassung dieser beiden,
weil wenn ich in einen projektiven Abschluss gehe,
würde hier aus den drei Parallelen geraden ja auch drei Co-Punktale graben werden,
nämlich Go-Punktal auf der Ferngrade.
Und ich habe jetzt hier versucht, den projektiven Desak ungefähr
zu skizzieren. Man hat drei Co-Punktale Träger graden.
Dann hat man jeweils Dreiecke
Sodass die Eckpunkte auf den entsprechenden Trägergraden liegen. Und das,
was jetzt hier vorher parallel war, heißt jetzt nichts weiter,
außer, dass die sich jeweils natürlich schneiden, die entsprechenden Dreiecksseiten.
Die ersten beiden Dreiecksseiten schneiden sich hier. Die zweiten beiden Dreiecksseiten,
diese beiden hier, schneiden sie hier. Und die Aussage ist jetzt,
dann schneiden sich auch die dritten beiden Dreiecksseiten,
die schneiden sich natürlich stets,
aber die schneiden sich dann in einem Punkt,
der mit den ersten beiden Punkten koordinär sind
Ist. Also das ist hier der entscheidende Punkt,
dass hier die Figur sich schließt,
dass also die beiden Dreiecksseiten sich schneiden in einem Punkt,
der mit den anderen beiden Dreiecksseiten Schnittpunkten, P1P2,
P3 hießen die, glaube ich,
im Skript gemeinsam auf einer Graben liegen.
Und wenn das die Fernen gerade ist, dann wird das zu dem Bild.
Und wenn jetzt noch dieses sogenannte Zentrum hier auch auf dieser türkisfarbenen Grade draufliegt,
das kann ja passieren,
das ist in dem Bild nicht ausgeschlossen,
aber auch nicht zwingend,
aber wenn das der Fall ist,
dann haben wir
den Kleinen
Projektiven Desak, das korrespondiert hier zu diesem, weil dann eben
auch der Schnittpunkt der drei Graden auf der Ferngrade drauf liegt.
Also das ist der Versuch, den großen projektiven Desak zu zeichnen.
Und hier habe ich noch einen Versuch gemacht, den projektiven Pappus zu zeichnen.
Da gibt es jetzt keine Unterscheidung zwischen groß und klein,
weil die Unterscheidung, die es im Affinen gibt, zwischen Trägergraden,
co-punktal und Trägergraden parallel, die gibt es im Projektiven nicht mehr.
Ich habe sie jetzt hier parallel gezeichnet,
dass wir es natürlich im Prinzip falsch,
weil die sich ja auch dann irgendwo im Projektiven schneiden.
Und das ist jetzt so ähnlich wie oben,
so ähnlich wie hier
Dass jetzt die Graden, die hier in dem affinen Variante
parallel waren, die sind jetzt natürlich nicht mehr parallel.
Diese beiden schneiden sich hier, sind diese beiden Parallelen,
die beiden Parallelen, das sind diese, und diese,
die schneiden sich hier. Und die Aussage ist,
dass dann auch der Schnittpunkt der beiden Verbleibenden hier rot skizzierten
Graben sich schneiden, und zwar in einem Punkt,
der mit den anderen beiden Punkten auf einer Graben draufliegt.
Das ist der große, projektive Pappus. So könnte man
ihn skizzieren. Sie finden im Internet massenweise andere Skizzen,
die vielleicht ein bisschen schöner sind
Und ich möchte jetzt, hier habe ich die Zusammenhänge schon aufgeschrieben,
ich möchte noch zwei Sachen dazu aufschreiben,
nämlich analog zu dem hier, gilt dasselbe auch für im Projektiven,
PD, Guild in P. Genau dann, wenn P,
Isomorph ist zu PG2K, für einen Körperkar und Pini.
Die eine Richtung ist der Darstellungssatz im Projektiv in die andere Richtung,
haben wir unter anderem auch mal in der Übung behandelt,
dass in PG2K tatsächlich der PD gilt,
das kann man sozusagen nachrechnen und PP gilt in P,
genau dann Van P.,
Isomorph ist zu PG2K für einen konfutativen Körper.
K. Also genau wie im Affinen gilt dasselbe
auch im Projektiven
Und das Allerletzte, was ich jetzt noch zu den Schließungssätzen hiermit auf das Blatt schreiben möchte,
ist jetzt die Beziehung zwischen affin und projektiv.
Das habe ich ja eben schon so ein bisschen angedeutet,
auch bei meinen Skizzen, dass die projektiven Varianten in natürlicher Weise aus den affinen entstehen.
Und ich möchte das jetzt umgekehrt formulieren, so steht es auch im Skript.
Wenn wir eine projektive Ebene PEG haben und L eine beliebige Grade der projektiven Ebene und A,
die entstehende affine Ebene, A, PL,
wo ich L, also auszeichne als Ferngrade,
dann gilt, Der projektive Desert gilt in P.
Genau dann, wenn der affine große Desert in A gilt und entsprechend mit dem Projektiven und affinen Pappus.
AP. Groß-AP gilt in A. Gilt habe ich hier vergessen. Gilt. Gilt in A. So,
das kann man sich überlegen, haben wir zum Teil auch überlegt,
eine Sache, auf die ich hier hinweisen möchte,
ist sozusagen von hier nach hier, dass also Es reicht tatsächlich,
dass für dieses eine A zu fordern,
dann gilt das schon in ganz Pi.
Kurz wird im Skript erwähnt, dass das für das Klein-AD und Klein-PD nicht in diesem Sinne gilt,
für die Ebenen mit Klein-PD hatten wir das Wort Mofang-Ebenen,
kurz einmal genannt, das wird in der Klausur nicht vorkommen.
Ich sage es hier nur einmal nochmal,
also für Klein-PD und Klein-AD wird eine entsprechende Aussage nicht gelten,
weil es da nicht reicht, nur ein solches affines A anzugucken,
sondern es muss dann für alle solchen A angucken,
er gelten, diese rechte Seite würde man fordern müssen,
nicht nur für dieses A, sondern für alle A,
die so entstehen,
wenn nicht alle geraden jede für sich jeweils rausnehme.
So, das kurz zusammengefasst das wichtigste Überschließungssätze in affinen und
projektiven Ebenen.
Danke für die Aufmerksamkeit