Herzlich willkommen zu einem Video,
in dem ich einen Aspekt der Vorlesung wiederholen möchte,
nämlich aus Woche 9, einige Affinitäten, wie Translation,
Streckung, Scherung und so weiter.
Nochmal ein ganz klein bisschen anders erklären. Das war,
wie gesagt, in Woche 9 der Vorlesung,
in den dortigen Videos finden sie das und wir studieren hierbei
Automorphismen einer affinen Ebene.
Alpha heißt dieser Automofismus bei mir
jetzt immer
Und im Skript wird dort für diesen Automafismus das Wort Affinität verwendet,
dass es nichts anderes als Automafismus einer affinen Ebene.
Also nur ein neues Wort,
das ich jetzt hier aber auch gar nicht weiter benutzen möchte.
Und ich möchte jetzt mal anders starten,
als dort gestartet wird, nämlich mit der Definition,
direkt mit einer Definition des Begriffs Stilatation.
Also wann heißt ein Automorphismus einer affinen Ebene Dilatation?
Das könnte man als Definition nehmen. Im Skript ist das
nicht die Definition, sondern eine Aussage,
die als zur Definition äquivalent genommen wird
Schreibe ich ja jetzt auch keinen Doppelpunkt. Also man könnte
es als Definition nehmen, man könnte es auch als Charakterisierung nehmen.
Ich möchte es jetzt mal so beschreiben,
nämlich Dilatation ist ein Automorfismus, eine Kollination,
die jede gerade auf eine Parallele gerade abbildet oder in Formeln hingeschrieben für alle Graden,
geschwungen geh, sei die Gradenmenge von A, gilt,
Alpha von G ist parallel zu gehen.
So, das könnte, das wird in sehr vieler Literatur
als Definition von Dilatation genommen und man kann dann zeigen,
direkt aus der Definition Wenn Alpha eine Dilatation ist, dann gilt,
entweder Alpha ist die Identität oder Alpha hat genau einen Fixpunkt oder Alpha hat keine Fixpunkte.
Also einer dieser drei Fälle tritt dann ein,
also insbesondere wenn Alpha zwei Fixpunkte hat,
dann ist Alpha schon
die Identität
Das kann man direkt mit dieser Definition sich überlegen,
also zum Beispiel diese Sache nehmen wir an,
wir haben zwei Fixpunkte,
wenn man dann hier diese Eigenschaft benutzt,
weht man irgendeinen Punkt als Schnittpunkt,
zwei ja geraden durch die zwei Fixpunkte und sieht dann schon sehr schnell,
dass dieser Punkt dann auch ein Fixpunkt sein muss und kann so Schritt für Schritt zeigen,
dass die Identität vorliegt.
Bei uns wird das gleich auch mit rauskommen,
wir wenden jetzt aber doch den Weg an,
der im Skript auch beschritten wird,
nämlich wir benutzen jetzt die Fortsetzung,
Alpha Stern von Alpha
auf den projektiven Abschluss
Und stellen fest, diese Sache hier, die können wir auch umschreiben.
Das ist nämlich auch äquivalent zu für alle,
die aus G gilt,
Alpha Stern von dem Fernpunkt von G,
also der Parallelklasse von G ist wieder G. Eupha Stern bildet die eine Parallelklasse von Graden,
normalerweise ab auf die Parallelklasse des Bildes in diesem Fall von G.
Das Bild von G ist aber zu G parallel,
das heißt,
es ist wieder
die Parallelklasse von
Und das könnte ich auch noch kürzer schreiben, die Ferngrade F ist Achse von Alpha Stern.
Jeder Punkt auf der Ferngrade bleibt fest,
das würden wir auch Achse von Alpha Stern nennen,
also gilt für jede Dilatation, Alpha Stern ist Zentralkoordination,
hat eine Achse und ist deshalb zentralkoordination und jetzt gibt es drei Fälle,
so wie hier auch drei Fälle, wie die Zentralkoordination aussehen kann,
sei Das Zentrum der Zentralkoordination gleicht Z.
Die Achse ist F, die Ferngrade, das Zentrum.
Wir wissen, ein Zentrum existiert,
aber wir wissen noch nicht genau, wo es liegt.
Da gibt es drei Fälle. Also eigentlich zwei Fälle,
Elation und Homologie. Ich möchte aber in den Hinblick hier
rauf sozusagen die Identität als Spezialfall abspalten.
Also der erste Fall wäre, Alpha Stern ist die Identität.
Das ist natürlich gleichbedeutend damit,
dass Alpha die Identität ist und das also gleichbedeutend auch mit
diesem Fall hier
Es wird nicht näher betrachtet. Zweiter Fall,
Alpha Stern, Ungleich-It, Alpha Stern-Homologie.
Das heißt, das Zentrum liegt nicht auf der Achse.
Und drittens, Alpha Stern, Ungleich-It, Alpha Stern-Elation.
Das heißt, das Zentrum liegt auf der Achse.
Und diese beiden Fälle studieren wir jetzt genauer und stellen fest,
dass die hier diesen beiden Fällen genau einen Fixpunkt und keinem Fixpunkt entsprechen.
Nämlich, wenn Alpha Stern-Homologie ist, dann heißt es,
dass das Zentrum Im Fall ungleich ird ist das Zentrum eindeutig.
Und Homologie heißt das Zentrum, ist nicht auf der Achse.
Es ist also nicht auf F. Das heißt,
das Zentrum ist ein Punkt von A,
nenne ich das mal, der Punktmenge der Affinen Ebene.
Das ist ja das Gleiche, wie zu sagen, es ist kein Fernpunkt.
Dann muss es ein Punkt von A sein. Und dieser
Punkt ist dann ein Fixpunkt. Z ist Fixpunkt von Alpha
. Das vielleicht, klammere ich vielleicht mal ein,
ich möchte hier sozusagen das kurz anders formulieren.
Alpha hat Genau einen Fixpunkt. Das ist das, was,
könnte man auch sagen, was... Also das würde vielleicht
mal hier so an der Seite eher dazukommen, als Bemerkung.
Alpha hat genau einen Fixpunkt, denn Alpha hat diesen Fixpunkt Z, das Zentrum.
Alpha kann keinen weiteren Fixpunkt haben. Unser Satz,
den wir schon ganz oft hatten für Zentralkoordination,
wenn Alpha einen weiteren Fixpunkt hätte, dass wir einen Punkt von A,
der nicht Z ist und nicht auf der Achse liegt,
die Punkte von A liegen ja gar nicht auf der Achse,
weil die Achse die Ferngarde ist,
dann wäre einfach schon die Identität.
Und das haben wir
ja ausgeschlossen
Und ich kann auch das genau einklammern,
denn wenn wir einen Fixpunkt haben, dann wissen wir schon,
dass der Fixpunkt ein Zentrum ist.
Das war auch eine kleine Aussage, die wir mal hatten.
Wenn wir wissen, wir haben eine Zentralkoordination und wir haben
einen Fixpunkt außerhalb der Achse, dann ist dieser Fixpunkt ein Zentrum.
Das schreibe ich hier mal auf die Seite vielleicht in einer anderen Farbe,
also von unten nach oben, Fixpunkt,
Nicht-Element,
Achse ist automatisch Zentrum
Genau, das heißt, diese beiden Sachen sind gleichbedeutend und
sozusagen hier oben wäre die Beschreibung mittels Alpha Stern.
Hier unten wäre die Beschreibung mittels Alpha, ohne Bezugnahme auf Alpha Stern.
Das ist genau das, was hier steht. Genau ein Fixpunkt.
Und dieses Alpha würde man dann nennen, eine Streckung.
Streng genommen ist eine Streckung entweder dieses Hier oder die Identität,
also Identität, würden wir auch als Streckung
noch mit zulassen
So, soviel erstmal zu dem Begriff Strecke. Und jetzt
kommen wir noch zu den verbleibenden Fall, Alpha Stern-Elation, einfach
Stern-Elation heißt ja, dass das Zentrum auf der Achse liegt. Die Achse ist hier F,
das Zentrum ist also F, auf F, ein Fernpunkt,
dann wissen wir, nach dem, was hier steht,
wenn wir auch noch einen affinen Fixpunkt hätten,
dann wäre das das Zentrum, das kann aber nicht sein,
einfach Stern-ungleiche Identität,
kann nicht noch ein zweites Zentrum haben.
Das heißt, es folgt,
Alpha hat keine Fixpunkte
Wir sind also in dem Fall, der hier noch genannt wurde.
Man sagt auch manchmal, Alpha ist fixpunktfrei. Und wenn einfach keine Fixpunkte hat,
dann gilt natürlich auch die Umkehrung, weil die Zentralkoordination hat ja ein Zentrum,
das muss denn ein Punkt auf der Achse sein.
Und in dem Fall nennt man Alpha eine Translation. Und genau wie eben ist auch hier,
dass auch die Identität sozusagen auch noch als Translation mit dazu zählt,
aber sobald Alpha nicht die Identität ist,
ist eine Translation eben eine Abbildung, keine Fick,
eine Dilatation, die keine Fixpunkte hat.
Also bei allen drei Fällen oder jedenfalls bei dem zweiten und dritten Fall
müssen wir hier natürlich mitfordern. Eine Streckung ist eine Dilatation,
die genau einen Fixpunkt hat und eine Kanzler oder die Identität ist.
Man kann auch sagen, eine Dilatation,
die Fixpunkte hat, hier ein, hier alle.
Und eine Translation ist eine Dilatation,
die entweder die Identität ist oder keine Fixpunkte hat.
Und hier möchte ich noch eine Sache ergänzen bei der Translation.
Wir könnten das Zentrum ja jetzt als konkreten Fernpunkt schreiben.
Ich nehme den Fernpunkt einer geraden Haar,
die wir nicht näher kennen
Und dann gilt, dann, wenn das hier das Zentrum ist,
dann sagt man auch, Alpha hat Richtung Haar,
das ist eine Translation in Richtung Haar,
in eckigen Klammern oder auch einfach Haar,
die Notation ist da verschieden.
Das heißt, für alle A gilt dann,
die Verbindungsgrade von A und Alpha von A,
die sind ja verschieden die beiden Punkte,
weil einfach kein Fixpunkt hat,
ist stets parallel zu Haar
Ja, Punkt, Bild,
Punkt und Zentrum sind ja stets koordinar und das heißt,
diese Verbindungsgrade muss koordinar sein, also muss den Fernpunkt Haar enthalten,
weil das das Zentrum ist,
ist also parallel zu Haar und es reicht sogar hier,
es existiert, ein einzelnes A, für ein A,
das gezeigt werden kann.
Und wir wussten schon vorher, es ist eine Translation,
dann können wir auf diese Weise die Richtung bestimmen,
weil durch einen einzigen Punkt und seinen Bildpunkt außerhalb der Achse das Zentrum schon festgelegt ist bei Illationen.
Vielleicht mache ich das mal hier. Oben,
wo gerade noch so ein bisschen Platz ist,
hieß die Axel L, in unserem Fall F,
aber allgemein L. Wenn wir jetzt einen einzelnen Punkt haben,
A und sein Bild, und wir wissen schon,
es liegt eine Elation vor, dann können wir das Zentrum bestimmen,
eindeutig bestimmen, indem wir Punkt, Bild,
Punkt verbinden und die Verbindungsgrade mit der Achse schneiden.
Das heißt, durch einen einzigen Punkt und sein Bildpunkt
ist der Fernpunkt gleich Zentrum hier schon bestimmt,
nämlich die Parallelklasse von dieser Graben
So, soviel zu Dilatationen. Und jetzt kommt noch ein zweiter Typ von Affinitäten,
der im Skript unter demselben Aspekt behandelt wird,
also unter demselben Unterpunkt,
weil das nämlich auch Kollinationen von A sind,
die deren Fortsetzung eine Zentralkollination ist.
Aber jetzt eben nicht mehr mit Achse gleich fern gerade.
Das sind die sogenannten Achsenaffinitäten. Ralpha Achsenaffinität. Einfach weiterhin,
also eine Kollination von A,
definieren wir als,
es existiert ein
Sodass geh Axel. Also von Alpha, also Fixpunkt gerade.
Aus lauter Fixpunkten besteht. Und das kann man auch umschreiben
zu G-Achse von Alpha, das ist gleichbedeutend mit G-Strich.
Das ist die projektive Fortsetzung, also gehvereinigt mit ihrem Fernpunkt Achse von Alpha Stern.
Das ist klar. Das ist dann natürlich der Fernpunkt
auch mit Festneid und wir haben also auch wieder,
auch in diesem Fall, also auch hier gilt Alpha Stern,
Zentralkoordination, so wie eben.
Nur jetzt haben wir als Achse eben eine affine gerade mit
ihrem Fernpunkt. Hier haben wir die Ferngrade. F,
die ist eben ungleich F und auch die Striche ist ungleich F.
Und was ist mit dem Zentrum? Das Zentrum muss jetzt
auf der Ferngrade liegen. Denn es ist Alpha von Alpha Stern von F
gleich F. Stets für diese Alpha Stern wird die Ferngrade in sich bewegt
Und das heißt, die Ferngrade ist eine fix gerade und gerade
kann nur fix gerade sein, wenn sie gleich der Achse ist.
Das ist sie aber nicht, das F. Oder wenn das
Zentrum drauf liegt. Und deshalb muss jetzt jeder Fall eintreten,
das Zentrum liegt drauf. Und wieder haben wir drei Fälle,
ich möchte das jetzt ein bisschen kürzer machen,
aber im Prinzip können wir wieder die drei Fälle wie eben unterscheiden.
Alpha, Stern, gleich Identität. Gleich bedeuten mit Allvergleich Identität,
dann ist also nicht nur G-Achse, sondern jede Grade ist Achse.
Jeder Punkt bleibt fest. Das ist vielleicht nicht unbedingt das,
was man sich unter einer Achsenaffinität vorstellt
Die Achse ist nicht eindeutig bestimmt. Zweiter Fall haben wir
Alphastern. Homologie. Zentrum, nicht auf der Achse,
heißt das ja. Zentrum ist ein Fernpunkt.
Zentrum ist ungleich dem Fernpunkt, die in eckigen Klammern.
Irgendein anderer Fernpunkt. Also hier zum Beispiel könnte das Z
liegen. Den Fall möchte ich aber nicht weiter behandeln.
Das sind die Fälle, die im Skript erstmal keinen Namen haben.
Da gibt es den Unterfall der Achsenspiegelung,
der Affinspiegelung
Den ich aber jetzt hier nicht weiter ausführe. Der ist
für mich nicht so wichtig. Wichtiger ist der dritte Fall,
nämlich der Fall, dass Alpha Stern eine Elation ist.
Das heißt, das Zentrum ist auf Gehstrich,
dann muss das Zentrum der Fernpunkt von Gehsein,
der ja auf G-Strich draufliegt und das Zentrum ist ja ein Fernpunkt.
Also haben wir bei einer solchen Abbildung das Zentrum gleich G
ineckigen Klammern. Und eine solche Abbildung, Alpha nennen wir
dann Scherung
Also auch wieder, wie vorher, Alphagleich It ist auch zulassen,
zugelassen. Auch Alphagleich It, also weil Alphagleich It,
die Identität können wir auch als Illation auffassen und ja,
würde trotz auch da drunter passen und machen wir einfach so,
das ist üblich, dass man das so macht.
Und jetzt möchte ich das nochmal präzisieren, was also eine Scherung ist,
das habe ich ja in Moodle in der Woche 9, habe ich noch so einen kleinen Text da reingeschrieben. Es gilt jetzt hier all so eine Scherung,
ist, das sage ich vielleicht nur mündlich, ist eine Achsenaffinität,
das ist sozusagen vorausgesetzt, man eine Scherung hat,
also eine Koordination mit einer Achse, die,
die aus lauter Fixpunkten besteht, und es könnte die Identität sein,
aber wenn es nicht die Identität ist,
dann hat sie die Eigenschaft, wenn ich einen Punkt nehme,
a, nenne ich ihn mal wieder, dort in dem Text,
in Moodle heißt er P und auch im Skript heißt er P,
dann ist a und Alpha von a, sind dann verschieden,
weil G, die einzigen Fixpunkte sind,
die Punkte außerhalb von G sind dann keine Fixpunkte,
wenn es nicht die Identität ist, eine Punkte außerhalb der Achse könnte höchstens dann noch ein Fixpunkt sein, wenn sie gleich im Zentrum sind, affine Punkte sind aber nicht gleich dem Zentrum
Und der Fernpunkt von G sozusagen. Hier ging Klarmann im
Unendlichen. Ist unser Zentrum. Das heißt,
auch die Verbindungsgrade, Punkt, Bild, Punkt,
muss durch diesen Punkt gehen, durch das Zentrum.
Das heißt, mit anderen Worten, diese beiden Graden sind stets parallel.
Also für jeden Punkt A ist die Verbindungsgrade von A mit ihrem Bild
parallel zu gehen. Für jeden Punkt A außerhalb G,
sonst wenn A auf G lege, wäre es ein Fixpunkt,
dann könnten wir gar nicht die Verbindungsgrade hinschreiben.
Und genau wie eben bei der Translation können wir hier auch sagen,
Es gilt zwar für alle A,
aber es reicht es für ein A zu fordern,
weil dann können wir schon direkt schließen,
dass eine solche Abbildung, wie wir dann Scherungen nennen würden,
vorliegt und dass das dann für alle A geht.
Genau, damit beende ich dieses Video,
was hoffentlich die Begriffe dieser speziellen Affinitäten,
die zu Zentralkoordinationen Alpha Stern gehören,
nochmal etwas klarer gemacht hat