Herzlich willkommen. In diesem Video möchte ich
einiges wiederholen und vielleicht nochmal anders erklären zum Thema separable,
quadratische Körpererweiterung, wie wir sie in Kapitel 6 benutzen.
Wir studieren ja in Kapitel 6 euklidische Ebenen und das
sind zunächst mal affine Ebenen und diese separablen,
quadratischen Körpererweiterungen kommen ins Spiel,
wenn wir affine Ebenen AG2K studieren.
Also die Punktmenge wäre K-Quadrat
So wie er aufgemalt. Und ich möchte jetzt aber gerne aus Gründen,
die dann später klar werden, die Punktmenge jetzt nicht als K-Quadrat,
sondern als ein anderer, anderen zweidimensionalen K-Vektorraum auffassen.
Das klammere ich also ein und möchte stattdessen Punktmenge
gleich Oberkörper von K, mit Dimension,
von E über K
gleich zwei nehmen
Und vielleicht sage ich hier nochmal,
sowohl K als auch eh sollen in diesem Kapitel,
Kapitel 6 komutativ sein, komutative Körper.
Also Körpererweiterung für nichtkomutative Körper sind zu kompliziert und spielen
auch im Zusammenhang mit öklidischen Ebenen keine Rolle.
So, das ist also der Ausgangspunkt, weshalb wir das machen.
Wir möchten gerne die Punktmenge einer affinen Ebene oder der affinen
Ebene über dem Komutativen Körper K. jetzt nicht mehr als K.O.2,
also als Vektoren die Elemente hinschreiben,
sondern als Elemente eines Oberkörpers,
so wie eben in unserem klassischen Standardbeispiel
Kar gleich. R und E gleich komplexe Zahlen.
Da malt man ja auch gerne den R hoch 2 oder
die Ebene als Ebene mit 1 und I eben als komplexe Zahlen.
Die Viktoren identifiziert man mit komplexen Zahlen. Und das bietet uns den Vorteil,
dass wir nachher die Elemente,
die Punkte auch zum Beispiel multiplizieren können und Sachen machen können,
die man mit Vektoren nicht machen kann, aber in Körpern ihm machen kann.
Und eine solche Struktur, Oberkörper, Körper K und ein Oberkörper,
der die Dimension 2 über K hat, das nennt man eigentlich,
oder fast immer in der Literatur, auch quadratische Körpererweiterung.
Quadratische Körpererweiterung. Also zwei Körper, der eine Oberkörper vom anderen,
und zwar so, dass er zweidimensional über dem Kleineren ist.
Es gäbe auch Körpererweiterung vom höheren Grat,
würde man das nennen, aber die betrachten wir nicht.
Quadratische sind genau die richtigen,
weil wir ja eine Ebene haben wollen,
also ein zweidimensionalen K-Wegtuch haben
So, das ist aber nicht der Zugang im Skript,
im Zugang vom Skript führen wir ja ein, den Begriff separable quadratische Körpererweiterung.
Das ist eine quadratische Körpererweiterung noch mit einer Zusatzeigenschaft und nicht immer,
aber oft, wenn ich eine solche quadratische Körpererweiterung in dieser,
in diesem Sinne habe, oft, aber nicht immer,
gilt dann, dass das EK auch eine separable,
quadratische Körpererweiterung ist.
Und das kann man
auf verschiedene Weisen definieren
Standard-Definition ist nicht ganz so wie im Skript.
Ich möchte aber mich auf die Definition vom Skript jetzt hier
konzentrieren und sie auch nur ganz kurz nochmal andeuten,
damit eine Sache noch eingeführt wird,
die wir auf jeden Fall brauchen können.
Oft aber nicht immer. Also es gibt sogenannte Insiparable,
quadratische Körpererweiterungen. Die sind aber so kompliziert.
Die spielen bei uns eben keine Rolle,
weil für die euklidischen Ebenen brauchen wir das separable.
Und die würden auch hier zu weit führen.
Ich sage nur, die konstruiert man für unendliche Körper
der Charakteristik 2.
Kann man
da Beispiele finden
So, es gilt aber, das steht in unserem Skript tatsächlich drin.
Wenn ich jetzt hier unten gleich separable quadratische Körpererweiterung nochmal definieren werde,
dass die dann stets quadratische Körpererweiterung im Sinne von da oben sind,
also diese Sache mit der Dimension,
die wird in meiner Definition nicht mit drin stehen,
die kann man aber beweisen.
Das war ein Satz aus unserem Skript.
Oft, aber nicht immer schreibe ich hier mal.
Und das sind eben die Körpererweiterungen,
die wir studieren werden und die wir brauchen für
das Kapitel 6 und wie ist das definiert jetzt
Es ist wieder eh ein kommutativer Körper, K,
ein Unterkörper, das schreibe ich jetzt gar nicht mehr hin,
Körper und Unterkörper oder Oberkörper und Körper,
beide kommutativ weiterhin, und zwar so, das gilt,
es existiert ein Kappa im Automorphis, in der Automorphismengruppe von E,
des großen Körpers, Kappa schreiben wir als X,
wird abgebildet auf X quer mit zwei Eigenschaften,
Körper involutorisch, das heißt Kappa,
Kringel,
Kappa ist die Identität,
aber Körper selber ist nicht
die Identität
Und zweitens, K ist der fix, Körper von Kappa,
also die Menge aller X aus E, sodass X gleich X quer X gleich Kappa von X könnte ich auch schreiben.
Wenn man das hat, dann haben wir eine separable quadratisches,
nennen wir separable quadratische Körpererweiterung, das sind die Bausteine,
die wir brauchen und wir brauchen auch das, was man dann zeigen kann,
nach einem Satz des Skriptes von Kapitel 6, relativ am Anfang,
dass unter diesen Voraussetzungen das Pa-E-K immer so ist,
dass eh ein zweidimensionaler K-Vektorraum ist, dass wir also,
wenn wir eh als Punktmenge nehmen, dass wir dann eine affine Ebene,
die affine Ebene über K erhalten.
Und hier im Fall der reellen und komplexen Zahlen haben wir
natürlich sowas, da haben wir das übliche Komplexe Quer,
das komplexe Konjugieren, hat genau die Eigenschaften.
Also dieses Kappa-Tringel-Kappa, gleich It, könnte man ja auch nochmal schreiben,
als X quer quer, gleich X gilt für alle X.
Und das gilt auch bei den komplexen Zahlen. So,
das ist also erstmal die Einführung und jetzt möchte ich diese Sachen,
die hier unten stehen, nochmal rausschreiben,
damit sie sozusagen kurz zusammengefasst nochmal haben,
was sind die wichtigen Punkte,
die wir im Skript im Kapitel 6
immer wieder brauchen werden
Das sind diese Eigenschaften von diesem Kappa,
was ich jetzt gar nicht mehr Körper nenne oder was jetzt
nicht mehr vorkommt, der Buchstabe, sondern ich schreibe,
arbeite jetzt hier nur noch mit quer.
Also sei IK, separable, quadratische Körpererweiterung,
so wie im Kapitel 6 die ganze Zeit und dann gelten insbesondere folgende Sachen.
Ganz besondere folgende Aussagen, die ich hier nochmal zusammengestellt habe,
die vielleicht sozusagen, wenn man sagen will,
ich möchte jetzt das nicht alles auswendig lernen,
aber das sind die wichtigsten Punkte,
die mir vielleicht wichtig erscheinen und die vielleicht man brauchen kann
Erstens, K ist der Fixkörper von Kappa.
Das kommt auch nochmal Kappa. Und das heißt also,
X ist aus K, genau dann, wenn X gleich X quer ist.
Wenn ich für irgendein Element mal zeigen muss,
es ist in K, dann reicht es zu prüfen,
es ist gleich seinem Bild unter Cover, seinem Kickwerten.
Zweitens, Kappa ist ein Automofismus von E.
Das heißen ein paar Rechenregeln gelten, die üblichen,
die sie fürs komplexe Konjugieren kennen,
nämlich X plus X quer,
X plus Y quer
Ist X quer plus Y quer, x-mal, Y quer,
ist X quermal, Y quer. Das gilt auch für die Inversen,
also bei Minus ist es vielleicht klar,
minus Y quer ist minus Y quer,
bei den multiplikativen Inversen finde ich es ein bisschen weniger trivial,
Y hoch minus 1, Quer und Y gleiche Null ist.
Quer ist dasselbe wie Y und quer, hoch minus 1.
Also das sind so die Regeln,
die für das Kapa gelten
Und außerdem haben wir noch zwei Sachen,
die ich auch noch ganz wichtig finde,
nämlich für alle X gilt X plus X quer,
ist stets in K und X mal X quer,
ist stets in K.
Auch wenn X nicht in K ist, also wenn X in E ist,
denn das prüft man ja mit diesem hier oben nach.
Also X plus X quer, quer ist X quer plus X quer quer,
ist X quer plus X, gleich X plus X quer.
Und analog Für x-mal x quer. Und hier habe ich,
fällt mir auf, dass ich oben noch eine Sache vergessen habe,
die ich vielleicht relativ am Anfang vielleicht hier nochmal dazwischen schreibe,
Kappa involutorisch.
Das heißt, x quer quer ist gleich
x. Das ist auch eine ganz wichtige Regel,
die wir hier schon gebraucht haben, die immer gilt.
Und das sind so die wichtigsten Sachen, die für separable quadratische Körpererweiterungen gelten.
Neben der Sache, dass eh immer zweidimensional über K ist.
Die habe ich jetzt hier nicht nochmal hingeschrieben.
Vielleicht schreibe ich sie hier auch nochmal hin
K-E gleich 2. Ist auch noch eine Sache, die immer gilt.
Und auf eine Sache weise ich jetzt nur noch hin.
Das würde ich jetzt nicht hier nochmal zur Wiederholung genauer vertiefen.
Aber wir können dann dieses Kuh von X definieren.
Das ist einfach x-mal X quer, was wir hier
oben schon betrachtet haben. Also wenn X-Element E ist,
dann definieren wir Kuh von X als diesen Wert.
Das ist immer in K. Und das Kuh ist dann
eine quadratische Form. Wenn sie möchten,
lesen sie im Skript die Eigenschaften einer quadratischen Form nach
Also insbesondere eben, das Bild ist immer in K und
diese quadratische Form Q benutzen wir, um in unserer Ebene,
über EK jetzt sozusagen in der affinen Ebene, wo die Punktmenge E ist.
Und hier würde mich, würden wir vielleicht K hinmalen,
als die Verbindungsgrade von 0 und 1. Würden wir das benutzen,
um die Konkurrenz zu definieren? A, B,
Konguent, CD, genau dann, wenn,
könnte man als Definition nehmen oder ist dann im Skript,
glaube ich, als Klein war kurz danach als Charakterisierung,
dass diese Sache hier gilt.
Damit kann man manchmal nützlich arbeiten. Und eine Sache wollte ich noch erwähnen,
dass nämlich, ich muss kurz denken, war mir was in den Kopf gekommen,
was ich noch erwähnen wollte, nämlich, dass...
Ja, dass wir dieses E auch immer schreiben können,
wie bei den komplexen Zahlen, weil die Dimension zwei ist,
können wir das eh dann immer schreiben als K plus AlphaK,
heißt das im Skript sehr oft.
Das Alpha ist sozusagen das Pendant zum i bei den komplexen Zahlen.
Also wir haben hier die Basis 1 und Alpha.
Leider hat man aber nicht immer das Alpha Quadrat gleich minus 1 ist.
Oftmals ist Alpha Quadrat in K, aber auch nicht immer.
Also Alpha Quadrat gleich, Punkt, Punkt, Punkt,
das ist verschiedene Formeln, möglich.
Also gucken Sie vielleicht die ersten Beispiele im Skript nochmal an mit endlichen Körpern.
Das würde ich gegebenenfalls in der Klausur dazuschreiben,
dass für die gerade betrachtete Körpererweiterung Alpha Quadrat gleich minus eins oder
wir hatten auch mal Alpha Quadrat gleich zwei oder ähnliches vorkommt.
Also das müssen Sie jetzt nicht irgendwie sich herleiten können,
sondern das wird dann mit angegeben. Genau,
damit ende ich, beende ich dieses Video zu den wichtigsten Punkten,
zu separablen quadratischen Körpererweiterungen, wie wir sie benutzen.
Danke für die Aufmerksamkeit