Ja. Und sie sehen hier noch einmal die Definition von Kointegration,
die ich am Ende der letzten Stunde besprochen habe.
Da sind wir ausgegangen, dass wir zwei instationäre Prozesse haben.
Also zwei Prozesse sind die I1 sind, also eine Einheitswurzel haben.
Und die nehmen wir Y1 und Y2. Und dann sagen wir,
die beiden Prozesse heißen Ko integriert,
wenn es eine Linearkombination dieser beiden Prozesse gibt,
die ich als Z bezeichne.
So, dass das Z, keine eine 22 mehr hat,
dass die Einheitsburzel also verschwindet ist.
Das Z ist stationär, ist ein stationärer Prozess,
ist also
Während die beiden Prozesse Y1 und Y2 i1 waren.
Und die Linealkombination kann zum Beispiel die Form annehmen,
dass Y2 und Y2 T minus Alpha Y1 T berechnet wird.
Dann wäre die Linealkombination also sozusagen die Multiplikation von Y2
mit 1 und T-Multiplikation von Y1 mit minus Alpha.
Das heißt, der Co-Integrierende Vektor wäre einst minus Alpha.
Und ich habe, also eins in der ersten Komponente,
minus Alpha in der zweiten Komponente, nicht etwa 1 minus Alpha,
ist ein Ausdruck.
Und ich habe ihnen gesagt,
dass man dieses statistische Konzept ökonomisch sehr gut interpretieren kann als
eine langfristige Gleichgewichtsbeziehung
Nun, ein solcher Co-Integrierender Vektor im Allgemeinen k-dimensionalen Falle,
das wäre ein Vektor,
der für einen K-dimensionalen Prozess YT mit mindestens einer I1-Komponente die Eigenschaft hat,
dass Beta-Strich, YT, INOL ist.
Das ist also die naheliegende Verallgemeinerung dessen,
was auf der vorigen Folie stand.
Und das habe ich letzte Stunde auch schon erwähnt.
Ich will Ihnen jetzt ein ökonomisches Beispiel geben,
was ganz berühmt ist,
nämlich die sogenannte permanente Einkommenshypothese nach Milton Breatman
Hier haben Sie möglicherweise in Makro 2 auch schon kennengelernt.
Das ist im Grunde genommen die Bars für die gesamte moderne Konsumtheorie.
Heutzutage baut man eigentlich nur Modelle, die diese Art von
permanenter Einkommenshypothese in der einen oder anderen Form in sich haben.
Und es ist wichtig, vielleicht zu wissen,
dass mit dem Freedman diese Theorie entwickelt hat, 1957,
also zu einer Zeit, als man über Kontegration noch gar nicht sprach.
Da gab es das Konzept noch nicht, das war einfach noch nicht entdeckt.
Diese ganzen Kollegationsgeschichten sind erst in den 80er Jahren entwickelt worden und es nachträglich hat sich herausgestellt,
dass das, was Freedman entwickelt hat,
um sich sehr schön in Form von Kointigation darstellen lässt,
als eine langfristige Gleichgewichtsziehung.
Oder das Preatman, eine langfristige Gleichgewichtsbeziehung postuliert,
die sich sehr schön in Form von Kointegrationen nachweisen lassen müsste und tatsächlich empirisch auch nachweisen lässt.
Also, was besagt in aller Kürze die Freed-Mensche perharannente Einkommenshypothese? Nun nehmen wir mal an,
dass das Einkommen in einer Volkswirtschaft, also das freundswirtschaftliche Einkommen im Sinne,
sagen wir mal, das elektrische Zertprodukt zu Faktorkosten,
zerlegt werden kann, in eine permanente Komponente,
die wir als I1 auffassen und dann in eine vorübergehende,
also transitorische Komponente,
die stationär sein soll
Also wir müssen uns das so vorstellen,
es gibt für das volkswirtschaftliche Einkommen eine Art stochassischen Trend.
Das wird normalerweise wachsen ja, die Einkommen in einer Volkswirtschaft.
Es gibt also so eine Art stochestischen Wachstumstrend, der eben,
wann es sich um einen stochestischen Trend handelt,
dann natürlich trivialerweise I1 ist.
Und um diesen stochestischen Wachstumstrend herum gibt es irgendwelche vorübergehenden,
also transitorischen Fluktuationen, die bezeichnen wir als YT für transitorisch,
während das andere YP für permanent ist.
Und dann zerlegen wir eben einfach definitorisch,
YT, im YP und YT jeweils in der Periode Kleinthemen
Und das zunächst mal rein, definitorisch, weder das permanente Einkommen können wir beobachten,
noch das transitorische Einkommen können wir. Beobachten,
aber wir können uns vorstellen, dass sich das tatsächliche Einkommen,
also zerlegen lässt, in sozusagen einer Art brechenbaren,
irgendwie voraussehbaren Einkommenstrennt, sodass Menschen damit rechnen können,
dass das Einkommen wächst in der langen Frist,
vielleicht jeweils um zweitprozentige Real,
pro Jahr.
Und dann gibt es eben Einkommensfrukturationen,
die vielleicht mehr von dem Fudellar Art sind oder
sogar andere und kurzfristigere Schrankungen noch beinhalten
Wenn das so ist, dass das permanente Einkommen,
I1 ist und das transitorische Einkommen I0 ist,
dann ist das beobachtete tatsächliche volkswirtschaftliche Einkommen YT natürlich i1.
Das hat man in der letzten Stunde besprochen,
die Summe aus einer I1-Variablen und einer I0-Variablen ist immer I1.
Also die I1-Eigenschaft setzt sich dort durch. Jetzt hat Friedmann
dann postuliert und andere Autoren wie Hall und Campbell und
Maink You und ein Flaven, sehr viel später,
haben das nur noch modifiziert in verschiedenen Art und Weisen,
die es nicht sonderlich interessieren.
Man hat postuliert, dass der Konsum sich am
permanenten Einkommen orientiert
Und zusätzlich eventuell auch am Transitorischen einkommen. Und zwar dir gestellt,
stalt das die Konsumenten, sagen, sie konsumieren das als Einkommen, was ihnen permanent sicher erscheint.
Und sie konsumieren einen Teil des transitorischen Einkommens,
aber einen anderen Teil des transitorischen Einkommens, den, wofür,
so wie sie nicht, sondern den sparen sie vielleicht,
um dann später Reserven zu haben,
wenn mal das transitorische Einkommen nicht so hoch ausgeht.
Also gibt es eine gewisse Konsumneigung, Beta,
die niedriger ist, als eins,
während aus dem permanenten Einkommen heraus alles kontinuiert wird
Und das kann man auch durch Maximierungskalkül unterlegen,
wann eben sozusagen aus dem permanenten Einkommen mit einer marginalen Konsumneigung von eins konsumiert wird.
Das ist nicht ganz unrealistisch. So,
also nehmen wir also an, der Konsumverhalte sich so,
dass das permanente Einkommen konsumiert wird und einen Teil des transitorischen Einkommens ebenfalls.
Wenn wir jetzt die Differenz bilden zwischen dieser Konsumfunktion und dergleichung 59 hier,
die Zerlegung des tatsächlichen Einkommens in seine Permanente und seine transitorische Komponente wiedergibt,
dann erhalten wir als neue Gleichung 51 und die sagt mir,
YT-CT,
ist gerade gleich 1 Minusmeter,
mal das transitorische Einkommen
Und jetzt sehen Sie, was passiert hier mit Y-C-C-C-T,
habe ich eine Linearkombination gebildet,
aus beobachtetem Einkommen und beobachtbarem Konsum mit einem Vektor 1 minus 1,
also Y-T wird mit 1 multipliziert,
C-T wird mit minus 1 multipliziert.
Diese Linearkombination hier ist stationär. Denn Y-T,
das Transitorische Einkommen, war ja annahmegemäß eine I0-Variabl.
Und Multiplikation mit 1 minus Better ändert daran nichts,
weil das einfach
eine Konstante ist
Aber wir wissen aber, dass YT eine I1-Variable war.
Und wenn wir hier auch gleich so richtig um 60 gucken,
dann können wir schnell feststellen, dass der Konsum ebenfalls eine I1-Variable ist.
Denn der Konsum ist ja eine I1-Variable,
plus Better mal eine I0-Variable, also ebenfalls I1. Das heißt,
YT hat einen stochestischen Trend, CT hat einen stochestischen Trend,
beides sind nur Variable mit einer Einheitswurzel.
Aber hier haben wir eine lineare Kombination gefunden,
nämlich einfach die Differenz in diesem Fall zwischen uns und Theonetik,
die stationär ist.
Das heißt, offenbar sind Konsum- und Einkommen miteinander kointegriert.
Ja, und der kontegrierende Revektor wäre eben eins
minus eins transponiert
Daraus würde also folgen, wenn das Modell hier richtig ist,
dass YT und CT denselben stochastischen Pent haben.
Dass die denselben stochastischen Trend folgen und dass sie
in der langfristigen Entwicklung nicht groß voneinander abweichen,
sondern nur im Bereich von transitorischen Einkommensschwankungen, multipliziert mit 1 minus Wetter.
Das gucken wir auf das Gleiche pirisch an. Zunächst aber ist hier wichtig,
dass derselbe stochastische Trend ist und daraus erkennen sie nämlich bereits,
dass das Prinzip der Kointegration,
wenn YT einen stochastischen Trend besitzt und CT besitzt denselben johastischen Trend,
dann kann es natürlich sein,
dass durch die Bildung der Differenz hier der stochastische Trend
gerade rausfällt
Dass der sich also aushebt, aufhebt.
Der steht hier drin und der steht da drin und
die Differenz ist dann frei von einem stochastischen Trend.
Und das ist eben das Phänomen der Prodigation. Jetzt gucken wir uns die Daten an,
ob YT und zieht die denn tatsächlich so aussehen, als ob sie kontigriert seien.
Und hier sehen Sie also diese Daten von irgendwie 1905 gerechnet bis 2007,
wie hier meine Daten immer gehen,
habe ich in Grün das Bruttoinlandsprodukt dargestellt und so indiziert mit irgendwie einer bestimmten Periode sind die gerade 100,
hier vielleicht 1990 oder sowas,
das habe ich nicht mehr genau im Kopf,
ist auch egal.
Da sind sie also sozusagen weiter auf 100 gesetzt
Wo du Inlandsprodukt grün und der Konsum gestrichet hält blau.
Und sie sehen, dass die sehr, sehr ähnlich im
Zeitablauf verlaufen. Nicht gleich. Es gibt durchaus Situationen,
da wird weniger konsumiert als das Einkommen,
das gemessene Einkommen, sich in diesem Zeitraum realisiert.
Das wäre also wohl ein Fall, wo Friedman sagen würde,
naja, es gibt ein permanentes Einkommen und das permanente Einkommen,
das wird auch konsumiert.
Aber hier ist offenbar transitorisch vorübergehend zusätzliches Einkommen hinzugekommen.
Und da brauchst du weniger konsumiert aus diesen transitorischen Einkommen
als das volle Einkommen.
Da werden also
Erschwangste gebildet
Und umgekehrt, in bestimmten Wirtschaftskrisen sehen Sie,
da ist das dann eingebrochen, das reale Einkommen, GDP.
Und der Konsum ist nicht ganz so stark eingebrochen,
weil dort offenbar wieder das permanente Einkommen konsumiert wird.
Und nicht das Transitorische, was für diesen Einbruch hier verantwortlich ist.
Insgesamt sind die Abweichungen zwischen Konsum und Einkommen in dieser Grafik
sehr klein und man kann es auch ästen, die sind stationär,
während Einheitswurzeltests, die wir jetzt nicht machen werden,
aus Zeitgründen für GDP und Konsum zeigen würden,
dass diese Zeitreihen beide für sich genommen instationär sind und nur die Linearkombination stationär ist.
Das heißt,
das liegt für Integration vor
Ja, finden Sie die Literatur,
die ich angegeben habe, hier eine kleine Übung dazu.
Setzen Sie jetzt mal in unserem ersten Beispiel,
das war gleich schon, 55,
setzen die da mal die verzögerte Variable Y-T-1 auf ZT.
Also ich gehe noch mal vielleicht zurück zugleich um 55,
macht sicher dann doch besser. Das war das hier.
Ein eindimensionaler Random Walk, ja, Y-T,
das ist gleich, gibt es so einen T minus eins plus U-T.
Das kennt sie als Random Walk. Sehen Sie das jetzt
mal als Ko-Integrationsbeziehung. Das heißt,
setzen Sie mal für Y-T-minus eins,
einfach eine neue Variable an diese ZP
Sehen Sie das dann als Kointegrationsbeziehung? Denn das UT ist ja stationär.
Dann haben wir hier was Instationäres, was Instationäres und was Stationäres.
Das heißt, die Differenz zwischen den beiden instationären Größen ist stationär.
Und das sollen sich hier in dieser Übung machen. Setzen Sie also einfach mal,
ZT ist definiert als YT minus eins und stellen Sie dann
YT und ZT als einen zweidimensionalen VR eins dar,
von dem Sie zeigen sollen,
dass dort ein kointegrierender Vektor existiert und überlegen Sie sich,
wie dieser kointegrierende Vektor lautet.
Und der sollte Ihnen dann
bekannt vorkommen
Einige Bemerkungen dazu, in dem ersten multidimensionalen Beispiel,
also nicht diesem Random Walk, den ich gerade gemacht habe,
sondern in diesem Beispiel hier, Gleichhock 56,
da hatten wir einen zweidimensionalen Wahl 1 betrachtet,
wo also YT,
besteht aus den Komponenten Y1T und gibt es so einen 2T und das ist jetzt so ein 1D-minus 1 und dürfte.
2T minus 1 als ein Vektor und er wird mit so einer Armatrix hier multipliziert,
die im Beispiel einfach die Eigenschaft hatte,
dass die 1-0 und Alpha0 ist.
Und das hatten wir uns angeguckt und hatten auch gesehen,
dass da Kointegration drin vorkommt
Hier sehen wir jetzt, was der kointegrierte Direktor ist.
Nämlich, der kointegrierende Vektor, den ich als Beta definiere,
ist Minus-Alpha 1. Mantwegen noch transponiert. Das ist der kointegrierende Vektor,
denn Bremen-Multiplikation dieser Gleichung 56, die ich Ihnen gerade gezeigt habe,
mit Betterstrich, ergibt jetzt, nun ja,
Betterstrich mal YT, das bedeutet also,
Betterstrich ist minus Alpha mal.
Eins, also Minus-Alpha und eins in den beiden Komponenten,
mal dieser Arbeit.
Matrix hier, mal so ein Themenplus 1,
plus derselbe Kointegrierende Viktor mal UT
Nur was passiert, wenn wir das so machen? Schauen Sie sich das mal an,
wenn Sie minus Alpha 1 als Zeilen wegdrum multiplizieren mit der ersten Schwalte hier,
dann kriegen Sie minus Alpha,
mal eins ist minus Alpha, plus eins mal einfach,
plus einfach, das heißt, das Ergebnis ist null.
Und diese Zeile hier multipliziert,
mit der Spalte ist ebenfalls null, das heißt,
da steht einfach ein Zeilenvektor 00 vor dem us-on-t minus eins,
das heißt, die ganze übliche T-minus eins Komponente verschwindet.
Es bleibt nur übrig,
dieser kontinuierende vektor-inus-alpha 1 mal UT, das heißt,
es bleibt nur übrig
gut zwei T-minus
einfach mal
Und da die Stirntherren stationär sind, U2T und U1T,
stationär plus stationär, bleibt stationär,
ist also diese Linearkombination, Peter Strich YT, stationär.
Und Beta ist demzufolge der kontegrierende Vektor,
denn wir hatten uns ja ausgerechnet, sowohl über so einen 1T,
also so einen 2T sind I1,
haben also einen Einheitswurzel, aber Beta Strich führt dazu,
dass die sich gerade raushebt.
Wie wir gleich auch nochmal explizit sehen werden in einer weiteren Bemerkung,
die folgt. Bemerkung 2. Wenn Beta ein kointegrierender Vektor ist,
so wie der, den wir gerade definiert haben,
dann ist auch jeder von Beta linear abhängig geweckt,
nur ebenfalls ein kontegrierender Vektor
In unserem Fall, den wir jetzt gerade hier als Beispiel betrachtet haben, ist das trivial.
Wenn ich den Vektor Better nehme und dich multipliziere,
den mit irgendeinem konstanten Faktor, um einen Vektor Better Till daraus zu machen,
diesen neuen Vektor in Better Till,
dann ist das natürlich ebenfalls ein kontegrierender Fektor.
Beispielsweise multipliziere ich hier mit dem Faktor minus eins durch Alpha.
Ich habe ja Alpha-Hopinus eins geschrieben, ja,
aber das ist einzige Alter natürlich.
Minus eins durch Alpha, mal Better,
das würde mir dem Vektor ergeben eins und dann
minus eins
durch Alpha
Transponiert. Das Ding ist ebenfalls ein co-integrierender Vektor,
wie wir schnell sehen können,
indem wir die Gleichung 656 jetzt mit diesem neuen Vektor,
Peter Thüre, Strich remultiplizieren, dann kriegen wir nämlich raus,
dass Peter Thüre, Strich mal X-Bond,
eh gerade eins und minus eins durcheifert,
mal die armer Tricks ist, mal Xantinius 1,
plus natürlich der kontigrierende Direktor mal das UT,
aber der entscheidende Punkt ist wieder, wenn ich diesen Zeilen wecke durch hier,
mit der ersten Spalte multipliziere, naja, dann kriege ich raus,
eins, mal eins ist eins und minus eins durcheifer,
mein Alpha ist minus eins, das heißt,
die erste Spalte wird wieder zu 0.
Und die zweite Spalte ist sowieso natürlich null,
wenn ich den kultivierten Dektor mit den beiden Nullern multipliziere.
Also steht da wieder 0-0 bei Y-Team 01.
Das heißt, alle Y-Premius 1-Werte verschwinden einfach.
Und wir bleiben nur übrig mit UTs, die stationär sind.
Und folglich ist das ebenfalls ein Ko-Debrierungserlektor. Das heißt,
es gibt nicht einen eindeutigen, konigrierenden Vektor,
sondern ku-integrierende Vektoren sind immer nur eindeutig in Bezug auf
eine bestimmte Form von Normierung oder im allgemeineren Kontext
jede beliebige Linear-Kombination von ko-integrierenden Fektoren ist wiederum ko-integriert
Wie kommt das nun? Nun, die Kointegration liegt dann vor,
wenn sich durch die Linear-Kombination gleiche stochastische Trends gegenseitig auflegen.
Im Beispiel 1 hatten wir ermittelt,
dass Y1T sich darstellen lässt als irgendein Startwert,
Y10, plus die Kumulation des weißen Rauschens hier.
Also sie stört Thermewert von Periode. Null starten bis
hin zu Periode 1 Superjude T werden die einfach obsummiert.
Okay, Y2T hatten wir errechnet,
als Alpha mal Y1T
minus 1 plus
Daraus konnten wir ja ableiten, dass eins und ein Minuseifer
ein Ko-integrierender Viktor ist. Nun sitzen wir für Y1 t-1,
einfach mal diese Gleichung hier um eine Periode verzögert ein.
Dann würden wir also jetzt herauskriegen, das ist Alpha mal
Y1-0 plus Alpha mal diese rote Summe hier,
nur um eine Periode in der Zeit zurückverschoben.
Plus dann dieses U2-T, was wir jetzt hier haben.
Wenn ich jetzt diese Darstellung für Y1-T und diese Darstellung für
Y2 Team mir anschaue, dann sehe ich,
dass zweimal fast der gleiche stohastische Trend entsteht
Ein klein bisschen ist die Summe hier noch anders geschrieben,
aber das macht eigentlich überhaupt nichts. Denn wenn ich jetzt die kointegrierende Kombination bilde,
also zum Beispiel eins, Value 1T,
minus eins durch Alpha, mal Y2 Theberechne,
so wie ich das hier getan habe,
dann muss ich eben auch auf der rechten Seite diesen Therm hier minus eins durch Alpha mal in diesen Therm hier nehmen.
Dann verschwinden hier die Alphas wieder und das Vorzeichen kehrt sich um.
Und ich halte, rechnen Sie es zu Hause genau nach,
die erste rote Summe,
minus die zweite rote Summe,
minus eins durch Alpha
Und die erste rote Sohle bleibt hier unverändert. Die zweite
rote Summe kann ich natürlich noch ein bisschen anders schreien,
indem ich ja einfach den Lauf,
einen Index nicht bei Null beginnen lasse und bis Team minus zwei laufen lasse,
sondern bei eins beginnen lasse und bis Team minus eins laufen lasse.
Und stattdessen entfällt dir dieses eine Minus eins in dem Index von HU.
Dann ist das genau dasselbe. Dann hebt sich die Summe
hier weg gegen die Summe da und es bleibt gerade übrig,
das ist U1-T, minus eins durch Eifer. U2T,
weil in dieser Summe das Tauber null zu laufen beginnt,
während es in der Summe erst bei eins zu laufen beginnt,
beginnt hier also gerade das Tau gleich null Gliedglied, das bleibt stehen,
das ist dein U1-T minus null, also es ist U1-T.
Und das Minus eins durch Eifer U2T ist dieses Ding
hier, nun,
das ist stationär
Stationär, stationär ist zusammenstationär. Sie sehen die Random-Wark-Komponente hat sich
gerade durch die kointegrierende Linearkombination rausgekürzt. Und deshalb ist das,
was hier auf der linken Seite steht, stationär.
Ja, wie ich ihm eben schon sagte, wenn wir
nur zwei Variablen haben, dann gibt es nur eine kointegrierende Linearkombination.
Beta und eben die vielfachende Vielfache. Das heißt also,
dass der Kointegrierende Vektor bis auf eine Normierung
eindeutig ist
Aber wenn wir K-Variablen haben, also wenn der YT-Vektor K dimensional ist,
dann verallgemeinert sich das so, dass wir höchstens K minus 1,
linear, unabhängig, kointegrierende Vektoren haben.
Das ist immer ein kultigrierender Vektor weniger, maximal ein weniger.
Nein, also nochmal, das Maximum an pointegrierenden Vektoren
ist immer eins weniger als die Dimension des Systems.
Für K gleich 2 kann es höchstens einen kontegrierenden Vektor geben,
einen linear, unabhängigen,
kultigrierenden Vektor geben und für K-Variablen kann es höchstens K minus 1 linear,
unabhängige,
kointegrierende Vektoren geben
Das kann man alles beweisen, das werde ich nicht tun,
ich gebe Ihnen hier nur die allgemeinen Resultate an.
Es sei a von L mal YT, gleich UT,
jetzt ein Cardimensionaler, Vektorauto regressiver Prozess, Bieterauto.
Also das ist jetzt das Resultat für den allgemeinen Fall.
Bislang habe ich ja nur über Beispiele argumentiert. Dann gilt Folgendes,
wenn der Rang von A von 1 gleich null ist,
also ich unterscheide drei Fälle,
die sich alle auf den Rang von A von 1 beziehen,
der Rang ist gleich null, der Rang ist irgendein Wert R,
echt zwischen null und K liegend
Und der Rang ist exakt gleich K. Diese drei Fälle gibt es grundsätzlich nur. Und denken Sie dran,
A von 1 ist sozusagen einfach dieses Lake-Polynom hier ausgewertet für L gleich 1. Das heißt,
im Falle eines Wahreins hatten wir ja immer YYT-alpha-L,
mal YT, oder mal in das A mal L,
YT,
dann ist das A von L gerade Einheitsmatrix minus die Matrix A,
die vor dem Verzögerten YT-Therm steht.
Also die i-A wäre A von 1. Und
im allgemeinen Fall wäre das i-A1, minus A3,
so weiter bis jetzt so minus API
Okay, also um diese Matrix geht es hier um den Rang von A1 letzten Endes
um die Summe aller koeffizienten Matrizen, in denen VP.
Wenn der Rang von dieser Matrix gleich null ist, dann gilt,
es gibt genau K, unabhängige stochastische Trends und keine Kohlentivation.
Die ersten Differenzen der Vektors YT, also DTYT,
wir haben dann eine Darstellung als ein stationärer Var der Ordnung
P minus 1. Ausgangspunkt war ja, war der Ordnung P,
in den ersten Differenzen reduziert sich die Ordnung um eins,
logischerweise,
weil wir
die Differenzen wählen
Also, dann kann man Data YT als einen stationären,
war erster Ordnung. P-Ester Ordnung schreiben. Wenn
der Rang von A von 1 aber gleich R ist,
dann gibt es genau Kaminus-R, unabhängige stochastische Trends,
also nicht K, sondern weniger unabhängig stochastische Trends als zuvor.
Und das bedeutet, dass es R linear-unabhängige Vektoren gibt.
Das heißt, wir haben Erko integrierende Vektoren,
wenn der Rang der Matrix A von 1
gleich R ist
In diesem Fall hat Data YT keine Wahldarstellung. Das werde
ich ihm gleich noch zeigen. Das können Sie im Augenblick
noch nicht verstehen. Aber glauben Sie erstmal als Resultat,
aber Data YT hat dann keine Vektorautoroidgressive Darstellung.
Daher will ich jetzt letzten Endes darauf lossteuern,
denn ich will gleich wieder über Gali und über Fischer reden,
die einfach so davon ausgegangen sind, dass es eine Vektorautoroidgressive Darstellung gibt.
Dritter Fall, der Rang von A von 1 ist gleich K.
In diesem Fall kann man zeigen, gibt es überhaupt
keinen charistischen Trends. Es gibt überhaupt keinen Einhandswurzel also.
Und das bedeutet, dass Y eine Darstellung als stationärer
war P hat
Nicht Data Y, sondern Y hat jetzt eine Darstellung als Stationärat wahr. P. Ja,
hier komme ich jetzt also wieder zu unserer empirischen Konjunkturanalyse zurück,
denn sie erinnern sich,
wir hatten uns Gali angeschaut und wir hatten uns Fischer angeschaut und der Fischer auch nicht einverstanden mit dem,
was der Gali gemacht hat und haben dann noch ein anderes Ergebnis und sagte,
es sind gar nicht diese Nicht-Technologie-Shops,
die eine Rolle spielen, sind sehr wohl Technologie-Shops,
sondern Technologie-Shops sind aber investitionsspezifische Technologie-Shops und nicht allgemeine Technologie-Shots,
das war Fischers Innovation.
Und jetzt gucken wir uns nochmal an,
ob das eigentlich Hand und Fuß hat,
was Gali und war und
Fischer gemacht haben
Sie erinnern sich, der Gali hat in seinem Wahl gearbeitet mit
einem Vektor YP, der definiert war, in ersten Differenzen.
Also die erste Differenz der Arbeitsproduktivität und die erste Differenz der Arbeitsstunden,
weil er davon ausging, dass die Arbeitsstunden stationär sind.
Das haben ja dann andere Leute, Cristiano Eichenbaut zum Beispiel,
die haben das dann kritisiert und haben gesagt, nee,
das stimmt vielleicht gar nicht und die Arbeitsstunden sind wahrscheinlich eher stationär,
aber ja, die gingen davon aus, dass die instationär sind.
Schon hatte ich mich eben versprochen, also instationär.
Ihr ging davon aus, dass HT eine Einheitswurzel hat,
das heißt HT ist instationär, das heißt,
man stationalisiert indem man die erste Differenz bildet
So. Dieser Prozess im ersten Differenzen ist nur dann Korrekt spezifiziert,
wenn Y und wenn die Arbeitsproduktivität YL und die Arbeitsstunden-H nicht kontegriert sind.
Das ist jetzt also eine andere Kritik als die,
die von den RBC-Leuten kamen. Die RBC-Leute haben gesagt,
Gardis war, ist viel spezifiziert,
wart ihr davon ausgegangen, ist,
dass HT-Instationär ist,
dass HT eine Einheitsurzelung hat und dass sie deshalb hier
einen wahrnehmen kann in den ersten Differenzen
Das ist eine valide Kritik und ich hatte Ihnen ja gezeigt,
die empirische Evidenz deutet darauf hin,
dass in der Tat HT eine stationäre Zeitreihe ist und nicht egal,
wie das angenommen hat, eine instationäre Zeitreihe ist.
Aber selbst wenn wir das akzeptieren würden,
dass HT eine instationäre Zeitreihe ist,
dann käme jetzt die zusätzliche Kritik, dass man sagt,
naja, Ehemann sich jetzt einen wahr in den ersten Differenzen von YL und HT anguckt,
müsste man aber auch sicherstellen, dass YL und H nicht kontegriert sind.
Denn nur dann gibt es eine Wahrdarstellung für die ersten Differenzen
Wenn aber Y und L und HT co-integriert wären,
dann gäbe es keine Wardarstellung. Das ist dieses Ergebnis hier
. Bäter YT hat keinem A-Darstellung, wenn Kointegration vorliegt.
Wenn es also eine bestimmte Anzahl an kointegrierenden Lektoren gibt. Das heißt,
hier kommt der zweite Angriff auf Galice-Ergebnis, wo man sagt,
Junge, du bist mit dem Zeitreih nicht richtig umgegangen.
Also der erste Angriff hat das schon gesagt, indem man gesagt hat,
Ha, ist vielleicht gar nicht instationär, sondern ist stationär.
Der zweite Angriff sagt das jetzt nochmal und sagt,
selbst wenn Ha stationär wäre,
könnte es hier sein,
dass die Dinger
cool integriert sind
Dasselbe kann man übrigens auch für Fischers zwar machen. Ihr Fischer,
der hat einfach gesagt,
die erste Differenz von seinem Investitionspreis-Index dort, der Lindner,
investitionsspezifischen technischen Fortschritt messen soll und die erste Differenz der Arbeitsproduktivität,
die den neutralen technischen Fortschritt messen soll,
die sind beide I1, haben beide eine Einheits-,
also schon die ersten Differenzen zum Stationär,
weil die Niveau ist eine Einheitswurzel haben und dann tut man das zusammen mit dem Harti,
was nach Fischers Auffassung stationär ist,
dann hätte man hier drei stationäre Größen drin und Fischer hat
es dann einfach als Wahl geschätzt
Aber jetzt könnte man sagen, huch,
das ist gar nicht sicher, dass das möglich ist.
Denn was wäre denn, wenn der Investitionsspezifische
technische Fortschritt und der neutrale technische Fortschritt kointegriert sind?
Dann gäbe es gar keinen wahr, allein schon diesen beiden Variablen und
erst recht nicht, wenn man noch das Haar dazu tut.
Das heißt, Fisherswar funktioniert auch nur dann,
wenn der Investitionspreis-Index und die Arbeitsproduktivität nicht kontripointegriert sind.
Aber wenn Sie kointegriert sind, dann wäre Fisherswar leider viel spezifiziert.
Und dann müssen wir wieder neu anfangen zu analysieren und
empirische Konjunkturanalyse betreiben
Haben Sie hierzu Fragen? Bin ja,
dann heben Sie bitte kurz die Hand. Ich weiß,
dass das Komplizierte Materie ist,
aber das ist auf der anderen Seite unerlässliches Rüstzeug für jeden,
der heutzutage Konjunkturanalyse machen will,
denn da arbeitet man eine Zeit reinen Modellen und diese Zeitreihenmodelle ist ein absoluter Standard seit Ende der 80er Jahre.
Also das müssen Sie früher oder später lernen,
wenn Sie sich für sowas interessieren
Ich stehe da jetzt ein bisschen im Schweiz-Galop durch, das weiß ich wohl.
Ich werde sie auch in der Prüfung nicht nach der Zeit reintheorieen,
der zugrunde liegenden Prache, also jedenfalls nicht im Sinne von,
dass sie irgendwas beweisen müssen davon,
aber sie müssen die grundsätzliche Intuition haben.
Sie müssen verstehen, worum es hierbei geht und mir das
gegebenenfalls erklären können. Wir kommen jetzt zu sogenannten Fehler-Korrekturmodellen,
denn ich habe keine Wortbildung gesehen, was Fragen betrifft.
Und in diesen Fehlern Korrekturmodell kann ich ihnen dann überhaupt erst begründen,
warum in bestimmten Situationen eine Wahl in ersten Differenzen nicht existiert.
Das heißt, erst in diesen Fehler-kulturmodellen kann ich ihnen begründen,
warum das Data YT hier keine Wahlarstellung hat,
wenn Kultigration vorliegt
Also gucken wir uns jetzt einen allgemeinen VARP an.
Den haben wir ja immer geschrieben als YT,
ist konstante Plus und dann A1, Y,
Team Nuss 1, plus A2 zu Team Nuss 2,
plus Plus Plus bis hin zu AP.
Gibt es über einen Team minus P plus UT.
Den kann man mit Lack-Operatoren natürlich auch schreiben als A von L mal YT.
Bis gleich nü plus UT. Das heißt,
ich habe dann hier alle verzögert,
endogenen Thermo auf die andere Seite gebracht und das als Backpolinum geschrieben,
A von L., jetzt nichts anderes als Einheitswurzel,
Quatsch, Einheitsmatrix,
minus die Summe über diese Koeffizientenmatrizen,
AI mal Lack-Operator hoch
Und wenn sie für den Lake-Operator hoch i einfach eine 1 schreiben,
das heißt, wenn sie den einfach missachten hier,
dann haben sie i-minus die Summe über die koeffizienten Matrix-Matritzen.
Das ist diese Matrix A von 1, die wir jetzt
öfter sprechen werden. Das ist also eigentlich ganz einfach.
Das sieht kompliziert aus, ist aber sehr, sehr einfach.
Die Frage, die ich jetzt stellen möchte, ist,
wenn das hier ein allgemeiner VAP ist, woran kann ich sehen,
ob dieser VAP kointegriert ist oder nicht koettegriert ist?
Das ist ja offenbar im augenblicksten eine relevante Fragestellung, weil davon abhängt,
ob bestimmte Modelle fehlt spezifiziert sind oder nicht spezifiziert sind.
Das heißt, woran äußert es sich jetzt
Ob dieser war, hier Kointegration aufweist oder keine Kointikation aufweist.
Das muss ja irgendwie von diesen koeffizienten Matrizen, A1,
A2 bis AP abhängen, das Fahrrad die Inschule.
Das Müll spielt ja keine Rolle. Also es hängt
nur von diesen Koeffizienten an. Das sind hier ab.
Und da müssen wir eben die Bedingung formulieren,
die uns das charakterisieren, ob hier Kointigration vorliegt oder nicht.
Dafür machen wir diese hässliche Sache. Und das will ich
Ihnen gar nicht im Einzelnen erklären,
sondern ich will Sie nur darauf hinweisen,
was ich hier mache
An mit dem YT. Und dann weiß ich,
das ist gleich konstante, plus A, 1 Option Team minus 1,
plus A, 2 zu 1 Team genutzt.
2, plus plus plus. Und hier am Ende fange ich an,
naja, so eine erste Differenz daraus zu machen.
Und dann summieren sich hier irgendwie die Niveaus auf.
Und das mache ich dann für jede dieser verzögerten Differenzen. Und letzten Endes,
also sie vollziehe das Blick zu Hause nach,
dass das alles stimmt, komme ich dazu,
dass YT gleich die Konstante ist,
plus I minus A von 1,
also die Summe über alle Koeffizienten,
Die ja dich hier schon gezeigt haben,
ist i minus a von 1 mal die verzögerte Variablös und Teminus 1,
plus irgendwelche neuen Betritten, die uns nicht sonderlich interessieren,
die nenne ich hier A1 Bogen, bis hin zu AP-1 Bogen,
die werden jeweils multipliziert mit den ersten Differenzen,
älter yt-1, data yp syntheminus 2,
bis hin zu Data yt-p plus 1. Plus Stück.
Das, glauben Sie mir bitte jetzt für diese Vorlesung,
dass ich das richtig gerechnet habe und Sie rechnen es bitte auch zu Hause nach.
Was ich Ihnen nur zeigen will, ist,
dass wir es alles schon kennen und deshalb gehe ich hier
eben auch ein bisschen schnell darüber hinweg,
denn wir blättern mal zurück zu Folien
Im, also eindimensionalen Falle, da erinnern sie sich vielleicht daran, dass wir da etwas ganz Ähnliches gemacht hatten. Da hatten wir einen eindimensionalen Prozess,
also keinen Vektor,
sondern einen Skalar YT und das war ein normaler ARP und da hatten wir uns,
als wir über den Augmented Dicky Fuller Test gesprochen haben,
überlegt, dass wir diesen Prozess YT umparametrisieren können,
indem wir hier so langsam verzögerte Differenzen aufbauen,
das haben wir dann über verschiedene Gleichungen hinweg gemacht und am Ende kamen wir dazu,
dass wir sagten, YT ist gleich Konstante,
plus die Summe über alle Koeffizienten dieses Prozesses,
nämlich die Summe über Alpha 1, Alpha 2,
bis hin zu Alpha P, mal das verzögerte Niveau Ytemius 1,
plus dann so koeffizienten Alpha 1 Bogen, Alpha 2 Bogen,
Alpha P minus 1 Bogen, mal die verzögerten Differenzen,
älter Übs und Teamius 1 bis hin zum Geldhöchst und P,
minus P,
Besatz.
Das heißt, hier haben wir im eindimensionalen Fall schon genau und im Extenso ausgerechnet,
was wir jetzt hier genauso auch im mehrdimensionalen Fall machen können.
Das heißt, diese Formel hier,
die ich eben gerade besprochen hatte, Da kommt er wieder,
diese Formel, hier ist das exakte, analog und zu dem,
was wir in Folien 1 bereits gemacht haben.
Und die Rechenschritte sind exakt dieselbe nur,
dass es jetzt halt um Matrizen geht und nicht ums Verlag.
Aber es passiert eben wieder genau dasselbe. Hier ist die
koeffizienten Summe über alle Matrizen, die verzögert endogene Therme bedienen.
Und die können wir schreiben als I-Minus-A von 1. Naja,
weil A von 1 ja nichts anderes ist,
als I-Minus diese Koeffizientensumme.
Also das ist I-A von 1,
was wir hier haben
Nun erinnern Sie sich auch im ADF-Test, ging das darum,
dass wir gern wissen wollten, da stand ja eins,
minus die Summe über alle AlphaIs.
Wir wollten wissen, ob die Summe aller AlphaIs gleich eins ist.
Das heißt, wir wollten wissen, ob die Differenz eins,
minus die Summe aller AlphaIs, ob die gleich null ist.
Da haben wir dann so einen T-Test aufgebaut und getestet,
ob dieser koeffizient, um einigen sydivensionalen Fall, eins,
minus Summe über aller AlphaIs, ob das gleich null ist,
wenn das gleich null wäre,
dann wäre also die Einheitsfort zur Hypothese akzeptiert, die Nullhypothese,
auch die Einheitsforthypothese, wenn das signifikant von null verschieden ist,
dann ist die Summe über alle koeffizienten offenbart.
Kleiner als eins und dementsprechend liegt keine Eiheitsfortze vor
Ja, genau das machen wir jetzt hier auch. Wir ziehen,
also auf beiden Seiten,
einmal noch üb so themenlos eins ab,
dann erhalten wir die erste Differenz von YT,
also des Vektors YT, ist gleich Konstante,
minus die Summe über diese A von 1 mal yt minus 1 hier,
plus eben verzögerte Differenzen, ja,
mit irgendwelchen einfach AI-Bogen-Matrizen, die uns nicht weiter interessieren.
Die sollen nur die Autokorrelation auffangen
Was uns interessiert, ist dieses A von Eins hier.
Und das ist ja gerade I-Minus, die Summe der Koeffizienten, Matrizien.
Das heißt, wir wollen wissen, ob dieses A von Eins,
ich spreche jetzt mal etwas salopp, ob das null ist.
Dieses Minus A von 1 ist genau das Analogon zu dem Beta im ADF-Test,
wo wir Summe über die AlphaIs minus Eins hatten.
Vergleichen Sie da bitte wirklich nochmal die Formeln in den
ersten Foliensatz und hier im dritten Foliensatz,
das ist vollständig analog, was ich hier sage,
nur mache ich jetzt eben für Matrize
Nun, in der ADF-Testgleichung,
die wir im ersten Foliensatz hatten, also diese Gleichung 21,
da wollten wir wissen, ob dieses Beta hier,
ob das null ist oder ob das ungleich null ist.
Diese beiden Fälle gab es ja nur. Jetzt fassen sie das bitter,
was ja eigentlich nur eine eindimensionale Zahl ist,
mal als eine Matrix auf, als eine Einmal-1-Matrix.
Dann bedeutet doch im Wesentlichen die Frage,
ob Beta gleich null ist oder ob Beta ungleich null ist,
das bedeutet, ob der Rang dieser Matrix-Better,
ob der gleich null ist oder ob der Rang dieser Matrix
gleich eins ist
Entsprechend interessieren wir uns jetzt im Meer dimensionalen Fall für den Rang
dieser Matrix-A von 1. Also auf das Minus kommt es ehrlich gesagt nicht an,
das ist ja selber ran, aber um die Analogie zu dem Wetter klarzumachen,
bis das Minus-A von 1 sein.
Wir wollen wissen, was der Rang hiervon ist.
Und ganz analog zum eindimensionalen Fall wäre das so,
wenn der Rang von A von 1-0 ist,
dann wäre es so, dass wir lauter 120-Prozesse dort enden.
Das heißt, so wie wenn Better gleich Null ist,
dann haben wir eine Einheitswurzel,
dann haben wir hier K1-1-Wurzelprozesse von ihm,
die nicht kontegriert sind
Aber dann haben wir eben nicht nur den Fall,
dass der Rang von minus A von 1 gleich 1 sein kann,
sondern er kann auch 2 sein oder 3 sein oder er kann K sein.
Das heißt, wir haben viele Fälle für diesen Rang von Affen 1.
Da ist also jetzt der mehrdimensionale Fall komplizierter strukturiert als der eindimensionale Fall,
weil es für den Rang von A von 1 viele verschiedene Möglichkeiten gibt.
Einfach ist der Fall, wenn der Rang von A von 1
gleich 0 ist, das entspricht später gleich 0 hier.
Aber wenn der Rang von A von 1 von 0 verschieden ist,
dann gibt es unterschiedliche Möglichkeiten, Nämlich,
es gibt die Möglichkeit, dass der Rang von dieser,
ja, wir nennen diesen Matrix Pi, ich glaube,
das habe ich hier irgendwo geschrieben, genau,
Pi ist also minus A von 1. Diese Matrix Pi,
ob deren Rang nun genau zwischen nun und K liegt.
Also K wäre ja voller Rang, null wäre,
die Matrix ist null Matrix und jetzt gibt es noch Zwischenfälle,
wo der Rang zwischen null und K ist.
Und das sind die interessanten Fälle,
denn da sind die Fälle Buko-Integrationen vorliebt.
Denn denter YT ist ja stationär
Also ist auch, gleich um 63, die rechte Seite stationär.
Also wir wissen im gleichen 63, Delta YT ist stationär,
das ist klar, weil das ja alles maximal Einheitswurzelprozesse sind.
Und wenn ihr einmal differenziert werden, dann sind die stationär.
Also links ist die Leichung stationär,
also wo es rechts die Gleichung auch stationär sei.
Nun, UT ist stationär, keine Frage.
Delta YT-I ist ebenfalls stationär, auch keine Frage.
Nü ist eine Konstante, spielt für die Frage der Stationalität
keine Rolle
Aber Y t-1 ist nicht stationär. Gibt es so ein teminus eins,
ist möglicherweise jedenfalls instationär. Da sind die Niveaus drin,
da können die Einheitswurzelprozesse drin sein. Das heißt,
wenn wir jetzt sagen, dass die rechte Seite von 63
zwangsläufig stationär ist, dann muss es gelten,
dass minus A von 1 mal YT minus 1 stationär ist.
Oder in der Matrix und in der Notation mit Key,
dass die PIMA, kriegst mal das YT minus 1,
dass das stationär sein muss.
Das bedeutet aber, dass die Zeilen dieser PiMatrix
hier kointegrierende Vektoren sein müssen.
Denn YT minus 1
ist ja instationär
Also muss jede einzelne Zeit in dieser Pima, trägst du mir
eine Kuh integrierende Kombination von den Elementen in diesen Y-T-Minus-1-Fektor hier definieren.
Alle Zeilen von Peas sind demzufolge kuintegrierende Vektoren. Für den Fall,
dass der Rang von Pea 0 war, war das uninteressant.
Denn wenn der Rang von Pea 0 ist, dann ist die Matrix eine Nullmarktricks.
Das heißt, naja, da steht hier 0-0-
0. Also das ist natürlich trivial, dass dann der Y-T-Minus-1-Sektor verschwindet,
aber das ist keine integrierende Kombination,
sondern dann verschwindet wird, so teamminus ein,
zwei Mal was mit Nullbricht bringt
Aber wenn die Pi-Matrix keine Null-Matrix ist, dann enthält sie
offenbar Zeilen, die kointegrierende Vektoren für das YT selbst.
Diese konigrierende Lektoren sind aber nicht linear unabhängig,
denn Pi ist in diesem Fall hier singulär.
Ja, wenn der Rang von Pi kleiner ist als K,
dann muss Pi offenbar singulär sein.
Und für singuläre Matrizen des Typs Karma Karna gilt jetzt
folgender Satz. Nehmen wir mal an,
wir haben eine Karma K-Matrix Pi, die nicht höchsteren hat,
sondern der Rang von Pi
ist Apple,
ist positiv
Aber eben ungleich kam. Denn die Matrix ist singulär,
wenn der Rang gleich K wäre, wäre die Matrix sehr regulär.
Hätte sie höchst dran. Also die ist ran effizient,
diese Pi-Matrix, da fehlt was am vollen Rang.
Der Rang ist nur R, aber er ist wiederum auch positiv.
Dann gilt also für jede singuläre Karma-Karma-Karma-Kama-Trix-P mit an R,
lässt sich diese Matrix-P als ein Produkt von zwei Matrizen K
mal R, also Typs K mal R schreiben.
Die nennen wir einfach Alpha und Bitter.
Alpha und Bitter sind jetzt nicht irgendwelche Skalare,
sondern das sind Matrix
Und der Rang von Alpha ist R und der Rang von Better,
ist R. Man kann dann lieber Trix P schreiben,
als das Produkt zwar ja sozusagen kleinerer, aber Tritzen,
nämlich nicht Karma, Karmatritzen, sondern nur Karma R.,
Atritzen, sodass Pi sich ergibt als Alpha,
mal Better Strich.
Klar, Alpha ist Karma. R, Better Strich wäre rmAK,
das heißt, das Produkt Alpha bei Better Strich ist wieder Karma Cut.
Aber dass Produkte, der Rang von Pi ist dann
höchstens R oder in diesem Fall sehr genau erner,
denn eine Matrix des Typs Karma R,
wobei R kleiner SK ist,
kann höchstens daran
R haben
In diesem Fall können wir bei Tritzen suchen,
Alpha und Wetter, die genau ran haben. Das heißt,
die haben dann Höchstrang, ja, und dann gilt eben,
dass dieses Produkt einfach mal bitter Strich, Ran R hat,
und das ist gerade der Rang der Klimatrix.
Das heißt, man kann die Klimatrix in dieser Form zerlegen.
Auch das ist mir bewusst, ist schwierig. Und ich erwarte nicht,
dass sie jetzt da die Lineare Algebra so gut im Kopf hatten,
dass sie das hier noch wussten.
Sie nehmen das bitte einfach hin. Eine Pi-Matrix,
die nicht vollen Rang hat, kann man zerlegen,
in zwei Teilmatritzen Alpha und wieder Strich.
Und das tun wir jetzt
Data YT können wir also jetzt schreiben, als Mü,
plus Alphabitter, Strich mal Y-Tinius 1, plus diese Summe hier,
die einfach mit diesem AI-Bogenmatrizen, die verzögerten Differenzen noch mit einbezieht.
Das hier war ja stationär und das interessiert nicht besonders,
was dieser AI-Bogen für Matrizen sind, was uns interessiert,
ist Alphabitter-Strich weit Y-Tinius 1. Denn jetzt wären in dieser Matrix
ein Bitterstrich hier genau Erlen, linear, unabhängige Zeile,
weil er der Rang von Bitter gleich er ist.
Also Better Strich hätte er linear unabhängige Zeilen und das
sind genau die R-linear unabhängigen,
gut integrierenden Viktoren von
Während also in P, auch noch kointegrierende Lektoren drin standen,
die linear abhängig waren, von anderen kointegrierenden Lektoren,
haben wir in der Beta-Strich-Matrix hier nur noch diejenigen,
linear unabhängigen,
habe ich nur noch die linear unabhängige integriert und den Vecto.
Man sagt manchmal auch, dieses Better hier spannt den Kointegrationsraum auf,
das ist eine Basis für den Raum aller kointegrierenden Lektoren.
Das heißt, Betterstrich hier,
die Matrix, sammelt sämtliche interessanten,
linear unabhängige Kundegriesenden Vecto
Okay, das würde also bedeuten,
Better Strich YT minus 1 ist eine kointegrierende Kombination.
Und damit ist durch jede Zeile von Better Strich
mal YT minus 1 die Abweichung vom langfristigen Gleichgewicht definiert.
Das heißt, Better Strich YT minus 1 müssen Sie jetzt
lesen als einen Vektor von Gleichgewichtsabweichungen.
Habe ich das in der nächsten Pulli? Nee, ich
erkläre es lieber hier. Jetzt müsst ihr erlesen als einen
Vektor von Gleichgewichtsabweichungen. Nur das Better Strich YT minus 1.
Damit kriegt man jetzt folgende ökonomische Interpretation
Die Veränderung von irgendwelchen Varianten und YT, die wir beobachten,
hängt ab von den Abweichungen vom langfristigen Gleichgäbig,
die wir in der Fupperiode gehabt haben.
Oder wenn wir mehrere Gleichgewichte haben, sprich mehrere kointegrierende Rektoren haben,
dann hängt sie ab von sämtlichen Gleichgewichtsabweichungen in der Vorperiode.
Diese Gleichgewichtsabweichung oder diese Abweichungen vom Gleichgewicht per se sind stationäre Kombinationen,
weil das ist ja, also stationären Größen,
weil sie ja auf kontegrierende Linearkombinationen zurückgehen.
Ja, die sind irgendwie stationär, aber jetzt würde uns also ökonomisch sagen,
die Veränderung im YT, hängt davon ab,
wie sehr wir vom Gleichgewicht abgewichen sind in der Vorperiode.
Und vermutlich wird es irgendwie korrigiert, eine Gleichgewichtsabweichung,
weil ein System normalerweise immer zum Gleichgewicht Team konvergieren sollte.
Jedenfalls im stabilen System. Oder in der Marktwirtschaft geht man davon aus,
letzten Endes sind alle Prozesse immer hin, Richtung Gleichgewicht gerichtet.
Also wenn wir eine Gleichgewichtsabweichung eines bestimmten Vorzeichens in der vorherigen Periode
gehabt haben, dann wird die in der Folgeperiode korrigiert.
Das Delta YD korrigiert also eine Gleichgewichtsabweichung.
Deshalb heißt das Modell Fehler Korrekturmodell
Fehler im Sinne von Abweichungen, vom Langfristigen Gleichgewicht,
werden in der nächsten Periode korrigiert. Und wie stark
diese Korrektur ausfällt, dass bestimmt diese Matrix Alpha hier.
Die wird ja mit diesen ganzen Gleichgewichtsfehlern multipliziert,
wie nennt man manchmal deshalb auch die Matrix der Ladungskoeffizienten.
Da wird also angegeben, ob die Fehlerkorrektur gleich vollständig erfolgt
oder ob die sich über mehrere Perioden hinzieht,
weil in jeder Periode irgendwie nur ein Teil des Fehlers code gegeben wird.
Alphas also die Matrix der Nadungskoeffizienten,
die die Stärke der Gleichgewichtsanpassung an,
bitter Strich ist der Vektor,
der langfristigen Gleichgewichtsbeziehungen und bitterstrich YT minus 1,
ist die Abweichung vom langfristigen Gleichgewicht
Es gibt ökonomische Interpretationen einer solchen Fehlerkorrekturdarstellung, die wir hier haben.
Die ökonomische Interpretation eines statistischen Modells nutzen jetzt. Das statistische
Modell hat ja zunächst mal überhaupt nichts mit Ökonomie zu tun.
Aber angewandt auf ökonomische Daten lässt es sich sehr schön als Abweichung vom Gleichgewicht herrstellen.
Und Konjunktur ist nun letzten Endes nichts anderes als Abweichungen vom Gleichgewicht.
Darüber, deshalb spricht man über solche Modelle in der
empirischen Konjunkturanalyse
Ausgleich um 64, aus dieser Fehlerkorrekturdarstellung wird ihnen zugleich auch noch klar,
warum man denn, warum man kein war,
in den ersten Differenzen hat, wenn Kommunikation vorliegt.
Ich hatte Ihnen das ja hier gesagt, Jups,
Delta Ypsonotier hat keine Wahrdarstellung, im Fall von Kointegration.
Also wenn der Rang von A von 1 gleich R ist und R ist,
irgendwie zwischen Null und Kang, dann gibt es keine Wahrdarstellung.
Das habe ich da noch nicht begründet,
aber hier sehen Sie das jetzt, warum das der Fall ist.
Nun, die Wahrdarstellung hätten wir,
wenn Delta Y T abhängen würde,
von Delta YT-I mit irgendwelchen Matrizen A,
Sozusagen, das hier wäre die Wahrdarstellung.
Aber so lautet die Gleichung nicht. Die Gleichung sagt mir,
da muss auch eine Niveaubeziehung noch drin sein.
Es reicht nicht, die Verzögerten Datas reinzustecken in die Gleichung,
wie man das bei einem Wahrtun würde.
Sondern wir müssen auf die verzögerten Niveaus, die YT minus 1 reingehen.
Und die geben uns dann in anderer Form stationäre Größen,
nämlich über die kointegrierenden Beziehungen, also über die Gleichgewichtsabweichung.
Das heißt, der kointegrierte war in den Niveaus,
besitzt keine Darstellung als wahr in den Differenzen
Sondern de facto ist das Ding hier eigentlich immer noch
eine Wahrdarstellung in den Niveaus. Nämlich das ist nichts anderes
als das Umgeschriebene Ding, was wir hier gehabt haben.
Das war ja ein wahr in den, noch besser,
noch weiter zurück. Es ist nichts anderes als das Team
gehen. Sie können das alles auflösen,
dann kriegen sie wieder die Wahrdarstellung in den Niveaus.
Der ko-integrierte Wahr hat eine Wahrdarstellung, in dem die Bus,
aber er hat keine Wahrdarstellung in den ersten Differenzen,
weil hier immer eine Niveaudarstellung noch übrig bleibt.
Und deshalb wäre also für ko-integrierte Niveau-Variablen eine Wahrdarstellung in den
ersten Differenzen viel spezifiziert.
Das ist die neue Kritik, wie Sie
jetzt verstanden haben
Jetzt wird die Sache noch ein bisschen komplizierter,
da will ich mich aber nicht so lange mit aufhalten.
Es ist nämlich leider so, dass diese Zerlegung Pi gleich Alphabetterstrich
auch nicht eindeutig ist. Sie können Pi in Alphabetterstrich zerlegen,
aber sie können das dann auch weiter zerlegen oder umschreiben als Alphabetterstrich,
ist gleich Alpha mal irgendeine invertierbare Matrix H. Einfach mal H-Inverse hier,
multipliziert mit H. Mal bitte.
H-Inverse mal H würde sich rauskürzen. Also es bleibt einfach
bitter Strich. Aber Sie können jetzt natürlich sagen,
Alpha mal H-Inverse ist irgendeine Vektoralphatilde und H mal
Betterstrich ist irgendein Vektor Bettertilde Strich
Also ist es gleich Alphatilde, mal Wettertilde, Strich.
Und da hätten sie andere kointegrierende Kombinationen hier ausgerechnet.
Letzten Endes einfach eine Linearkombination von den kointegrierenden Vektoren,
die hier in dem Better drin waren.
Aber es gibt nicht ein richtiges Wetter und ein falsches Wetter.
Es sind beides kultigrierende, lineare Kombinationen.
Oder es sind Kombinationen von irgendwelchen kointegrierenden Vektoren.
Und es gibt da keine eindeutige Darstellung. Das heißt,
Better ist immer nur die Basis eines Raums aller integrierenden Vektoren
und sie können sich auch irgendeine andere Basis aus dem Raum
aller kultivieren
Vektoren nehmen und speziell gilt, dass jede Linie,
Linearkombinationen der Vektoren in irgendeiner Wettermatrix immer ebenfalls ein kointegrierender Vektor von Yps Values.
Jane Multi macht sich das zum Beispiel dadurch zu nutzen,
dass da eine besondere Normierung durchgeführt wird für das Wetter.
Jane Multi rechnet das Wetter oder das Wetterstrich
in diesem Fall hier immer so aus,
dass der Ärzteblock einfach eine Einheitsmatrix ist und dann kommen hier
irgendwelche Koalitäten
Das kann man immer machen. Also hier wäre das jetzt für ein Beispiel,
wo Kal gleich fünf ist und wir haben drei kointegrierende Vektoren,
dann wäre die Beta-Strich-Matrix eine 3x5-Matrix.
Und Jane Multi gibt es per Konvention dann so aus,
dass zunächst mal ein Block da ist,
der eine Einheitsmatrix ist und dann kommen sechs Koeffizienten.
Und da gibt es auch verschiedene andere Arten und Weisen machen.
Leider ist das so, dass es keine Gewehre gibt,
dass das jetzt hier eine besonders naheliegende Interpretation als langfristiges Gleichgewicht eröffnet.
Wenn wir ökonomisch analysieren wollen,
also Jane Multi weiß ja letzten Endes nichts über die ökonomische Vorstellung,
die wir mit der statistischen Analyse verbinden,
wenn wir ökonomisch analysieren wollen,
dann müssen wir selbst uns überlegen,
welche konintegrierenden wegbohren,
kann man denn
Gewinnen, aus beispielsweise dieser Basis hier, sodass man daraus
eine vernünftige Interpretation als langfristige Gleichgiftsbedingung auch ökonomischer Art machen kann.
Ist es oft nicht einfach, das sich zu überlegen, was dann die langfristige Gleichgewichtsbeziehung ist.
Und wir werden das hier der Vorlesung auch nicht machen,
sie müssen da jetzt nicht Sorge haben,
sondern wir nutzen die Kointegration in anderer Art und Weise zur Identifikation von strukturellen Jobs,
so wie wir das schon,
wie wir das schon in den anderen was gemacht haben.
Okay, ist hier jetzt noch was Wichtiges?
Ich lasse nämlich
gerade mal
drüber gehen
Nein, das habe ich alles schon gesagt. Gut.
Die Matrix A habe ich dann ihm ja auch schon erklärt,
heißt Ladungssmatrix oder auf Englisch Matrix, of Loading Calificians,
weil die eben angeboten hat,
die Gleichgewichtsabweichung dann zu einer Korrektur in der Gegenwärtigen Periode führen.
Und deshalb heißt das ganze Modell eben Vector,
Fehlerkorrekturmodell oder oft verkneift man sich das Vektor davor,
aber wenn es multidimensional ist, logischerweise handelt es sich um.
Ektoren, eindimensionale Fehlerkorrekturmodelle würden keinen Sinn ergeben, ja,
da kann es keine Kommunikation geben.
Also es ist immer natürlich ein viktorielles Modell und deshalb
spricht man normalerweise einfach von einem Fehlerkorrekturmodell
Die Abkürzung ist dann Veg-M, also Vector Arrow-Correction-Model.
Und wie ich ihn schon sagte, Peter Strich Y-Timius 1 heißt Fehler Korrektur-Therm.
Jetzt sind wir fast durch die Theorie durch. Es kommt jetzt
noch das berühmte Granger Representation Theoring. Für dieses Theorien,
was ich ihnen jetzt auch nur wiedergeben kann,
und auch da erwarte ich nicht,
dass sie durch die Mathematik durchsteigen, also insbesondere nicht,
dass sie dieses schreckliche Ding sich hier genau überlegen,
wie das zustande kommt.
Für dieses Granger Representation-Theorium hat Granger
den Nobelpreis für Wirtschaftssicherheiten bekommen
Das ist im Grunde genommen nur ein statistisches Theorien.
Es hat reine Mathematik, was der gemacht hat.
Aber er hat eben die Bedeutung dieser statistischen Theorie,
die er auch mitentwickelt hat und maßgeblich entwickelt hat,
gemeinsam mit Engeln, der dann auch den Nobelpreis dafür gekriegt hat.
Aber Greater hat dieses Theorium, dieses Theorium aufgestellt, Granger und Engel haben erkannt,
dass diese statistische Theorie eine ganz naheliegende ökonomische Anwendung hat, nämlich Arzt
Langfristige Gleichgewichtsbeziehung mit Fehlerkorrekturmechanismen. Und sie haben das auf die
ersten Datensätze angewandt und letzten Endes für diese Leistung das mathematische Resultat auch,
also erstens mathematische Resultat natürlich herzuleiten, zweitens es aber auch anzuwenden,
sinnvoll auch ökonomische Zusammenhänge, haben die beiden den Lobbypreis gekriegt.
Und Kern davon ist, das sogenannte Granger Representation Theorem,
das ist eine etwas eigentümliche Sache,
denn das ist publiziert worden in einem Aufsatz von Engel und Granger,
Robert Engel und Clive Granger, haben gemeinsam publiziert.
Normalerweise würde man dann sagen, wenn es in einem gemeinsamen
Aufsatz drinsteht, dann ist das auch ein gemeinsames Theorie.
Aber sie scheinen sich einig darin gewesen zu sein,
dass Granger dieses Theorium entwickelt hat, denn in dem Aufsatz zeichnen sie,
dass Theorien als Granger Representation Theorem und nicht als enger Granger oder Presentation Theore.
Also augenscheinlich ist der Granger darauf gekommen und war offenbar
sehr stolz und es war ihm auch wichtig,
da sein Name draufsteht und nicht der seines Co-Autors, obwohl der Engel,
also auch ein sehr pfiffiger Mensch war und oder ist.
Und da großen Anteil dran hat an der Publikation insgesamt,
aber das Theorien geht nur auf Granger zurück.
Dieses Granger Representation Theorin sagt jetzt, dass jeder Co-Integrierte war,
der gesteigt 62, also das war jetzt allgemeiner Bahn 62,
aber wenn er eben kortegriert ist, dann hat der eine VEGM-Darstellung wie in 64.
Gehen wir mal kurz zurück, kann ich das jetzt sehen?
Das hier war der ganz harmlose, war,
mit dem wir begonnen haben,
jeder war in dieser Form,
der kointegriert ist
Kann geschrieben werden in dieser Fehlerkorrekturdarstellung hier. Das ist ja
einfach nur ein Umschreiben. Also in vieler Korrekturdarstellung.
Jeder Co-Integrierte war, hat eine Weg-M-Darstellung. Diese Weg-M-Darstellung kann
man auch noch lösen. Und das machen wir jetzt hier
nicht. Da gebe ich Ihnen nur das Ergebnis an.
Die Lösung ist dann die sogenannte Common Trends-Darstellung. Nämlich YT
kann dann nur geschrieben werden in Spürthermen wie Moving Average,
plus einen Anfangswert
Also irgendeinen Startwert. Und ansonsten stehen jetzt hier aber nur noch Störtherme.
Und jetzt müssen sie gucken, was für Störtherme stehen wird.
Nun, am interessantesten ist der erste hier,
dass es einfach eine Summe, überweistes Raschen.
Über Lektoren, die meistens raschen sind. Kumuliertes weißes Rauschen,
das ist immer ein Random Walk, wie sie wissen.
Das heißt, das hier ist die Random Walk-Komponente,
die hier steht. Hier stehen die Einheitswurzel. Oder der
stochestische Trend, der steht hier. Plus was Stationäres,
UT, plus eine unendliche Summe über diese UTs,
die gewichtet werden mit irgendwelchen Matrizen, Xi, Sternen,
die uns weiter nicht interessieren,
die dazu führen,
dass das ganze Ding hier stationär ist
Also das ist stationär, das ist stationär, interessiert uns weiter nicht,
was uns interessiert, sind die gemeinsamen stochestischen Trends.
Deshalb heißt das Ding, Common Transdarstellung, die stehen in dieser Summe hier drin.
Und diese gemeinsamen stochestischen Trends, die hier stehen,
die werden also eingespeist in die Komponenten von dem YT über irgendwie so eine Matrice,
die ich hier als Xi bilde, zeichnet.
Aber dieses Xitil ist ganz hässlich definiert,
wie Sie hier sehen, das habe ich Ihnen gesagt,
da müssen wir uns nicht weiter mit passen.
Wichtig ist, dass der Rang von Zitilde
wieder dieser berühmte Rang kam,
minus Erbe ist
Gesehen, hat keinen Höchstrang, sondern Xi hat den Rang,
der mit der Koalifikation zusammenhängt. Insofern, als hier die
Dimension des Systems minus die Anzahl der Koalifiziere, Viktoren seinen Rang konstituiert.
Auch das müssen sie nicht verstehen, wenn ich sie nicht
drüber prüfen, aber der Vollständigkeit teilweise hat das erwähnt.
Das ist der berühmte Artikel von England und Branger in der Ikonometrika von
19087. Übrigens ist das so, dass dieses Papier,
was dann später einen Nobelpreis gekriegt hat,
wo von Engel und Granger vielen Zeit lang angeboten wurden zur Publikation
und die haben das alle nicht richtig verstanden und haben bei Paper zurückgewiesen,
wollten es nicht publizieren.
Man kriegt ja oft, wenn man publiziert,
irgendwie Ablehnungen von Zeitschriften, ja,
und oft genug ärgert man sich und denkt, ja,
das haben die wirklich verstanden,
wo es dann da ging
Das passiert, wie Sie sehen, auch Nobelpreisträger.
Ich höre mal auf eine Tagung, wo Engel und Branger
das berichtet haben, was die für Mühe hatten,
dieses Ding unterzubringen, bis schließlich Ikonometrika jetzt publiziert hat.
Ich glaube, es waren fünf Jahre oder sowas.
EE das Papier schließlich erschienen, was dann später als Nobelpreiswürdig angesehen worden ist.
Wie kommt Trendstar stehen und finden Sie hergeleitet, auch in
dem Buch von Johansen, falls Sie das nachlesen wollen?
Wie gesagt, machen wir aber hier nicht in der Vorlesung. So,
ein ko-integrierter VAP, da muss man jetzt noch darauf achten,
hat, wie Sie wissen, immer eine Weg-M-Darstellung,
aber die Lags sind dann um eine Periode verzögert,
Der VGM hat Ordnung P minus 1,
während der P, der der war, Orthopie hat.
Das heißt, der war enthält P-verzögerte Therme,
während der VGM nur P minus 1 verzögerte Differenzen enthält.
Klar, weil durch das Bilden von Differenzen wieder eine Periode verloren gegangen ist.
Warum ist dieses Granger Representation Theore nun bedeutend?
Ich möchte da im Grunde genommen zwei Dinge hervorheben,
nämlich einmal die Fehlerkorrektur-Darstellung und dann Äquivalent dazu,
die Comic-Trends-Darstellung
Über die Fehlerkorrekturdarstellung, das ist jetzt hier auf dieser Folie,
habe ich schon vieles gesagt.
Nämlich erstens, ein Veg-M definiert mir immer eine Beziehung zwischen
den gegenwärtigen Veränderungen der Variablen, also den ersten Differenzen.
Und den verzögerten ersten Differenzen und den verzögerten Niveaus YT minus 1.
Deshalb wissen wir also, dass Fehlerkorrekturmechanismen gibt,
wenn Alphabeter Strich von null verschieden ist.
Wenn es keine Kointegrationen gäbe, dann wäre Alphabeter Strich
gleich null
Und dann hätten wir also eine Wahrdarstellung in den verzögerten,
in den Differenzen, in den ersten Differenzen.
Dann wäre das hier normaler war in den ersten Differenzen.
Aber wenn wir Kointegration haben,
dann ist Alphabetterstrich von null verschieden und dann spielen da eben
auch die Niveaus mit rein und dementsprechend ist keine Wahrestellung in den ersten Differenzen.
Und deshalb ist das viel spezifiziert, wie ich Ihnen schon
gesagt habe und wie es hier auf dieser Folie nochmal steht.
Zweitens, jetzt zur Comit-Trans-Darstellung, die brauchen wir,
wenn wir jetzt strukturelle Shops identifizieren wollen
Die Vector Moving Average-Darstellung eines stationären Vars entspricht, nämlich der Common-Trends-Darstellung bei einem Weg-M.
Und deshalb kriegen wir auch hier eine strukturelle Interpretation einfach dadurch,
dass wir sagen, die Schocks-UT,
die wir bislang da drin haben,
die fassen wir auf als irgendwelche Shocks-EpsilonTee, strukturelle Shops,
also neutraler Technologieschock, investitionsspezifischer Technologieschock,
nicht Technologie-Shock,
vielleicht ein Geldmengen-Shock oder was auch immer,
das sind diese EpsilonTees,
die mit irgendeiner Matrix B
kombiniert werden und dann einfließen in unsere Variablen
Das heißt, wir können die Kompentrenzdarstellung so nehmen,
wie sie eben in dem Granger Representation Theorie bestand und können dann oder Außennutzung
dieser strukturellen Schreibweise sagen, YT ist Citille mal B,
also mal die Summe über B, YTau.
Hier stand früher einfach das UT, ja,
jetzt haben wir statt das UT,
statt UTau haben wir jetzt B, YTau dorthin geschrieben.
Cool, die hat das weißes Rauschen nach wie vor,
aber jetzt eben geschrieben in Form von strukturellen Shops
unter einem Bezug der unsertrauten B-Matrix.
Das ist de facto, die Matrix,
die die Serie Funktion hat,
wie die B-Matrix in den strukturellen
war es auch
Ja, und hier sitzen wir auch,
BYT ein und hier sind zwar auch B-Y-Themen, das Taufju,
U-T-Minus Tau ein, plus irgendwie ein Stab jetzt.
Und jetzt kann ich das natürlich so machen, dass ich sage,
dieses B, das hängt ja nicht von Tau ab,
das ziehe ich hier raus aus der Matrix,
aber aus der Summe, raus aus der Summe und sage,
Xi Tilde, mal B ist irgendwie einer Matrix Xi.
Multipliziert mit kumulierten, strukturellen Shops. Plus,
die kurzfristigen Effekte, B mal EpsilonT,
also das ist ja gerade
das Allerjüngste
Und das, was gerade zeitgleich mit YT passiert, zeitgleicher Schock.
Hier sind all die Shocks der vorherigen Perioden kumuliert worden,
denn das geht nur bis T-minus eins, wie Sie sehen.
Fängt in Periode eins an, geht bis zur Periode T-minus eins.
Das ist also die Vergangenheit hier, Shocks in der Vergangenheit,
die irgendwie zu einem stochastischen Trend sich kumulieren.
Das ist sozusagen das, was die langfristigen Wirkungsurzahlen geben wird,
während das hier die kurzfristige Wirkung ist.
In diesem Term hier spielt sich alles ab,
was irgendwie sich in der Zwischenzeit abspielt
Damit werden wir nicht viel machen, das nutzen wir nicht zur Identifikation,
das könnte man theoretisch auch zur Identifikation nutzen, ist aber schwierig.
Vergessen wir einfach und beachten mal weiter nicht,
ich muss noch mitschätzen, das macht nachher der Computer,
dann brauchen wir uns nicht viel mit zu befassen. Das,
was wir machen werden, jetzt um die Epsyloties zu identifizieren,
denn wir kennen diesen strukturellen Strops ja nicht,
ist wieder,
dass wir entweder dieser B-Matrix hier Restriktionen auferliegen oder dass wir der Xi-Matrix Restriktionen auferliegen,
so wie wir das bei der Blanche qua Identifikation getan
haben,
wenn wir
langfristig identifiziert haben
Oder dass wir beides tun. Und ehrlich gesagt,
wir werden beides tun, weil wir jetzt auch etwas größere Systeme betrachten.
Da wird Kointegration auftauchen und da werden wir eine ganze Reihe von zu integrierenden Beziehungen finden.
Und wir werden eine ganze Reihe von identifizierenden Restriktionen brauchen,
um das Epstortee hier zu identifizieren. Und da reicht dann typischerweise
die Kurzfristmatrix allein nicht aus und die Langfristmatrix SXI alleine auch nicht,
sondern wir werden manche Restriktionen hier auf die kurze Frist
setzen und manche Restriktionen hier auf die Langefrist setzen.
Und damit kriegen wir dann gerade so eine Identifikation hin,
die Aufschlüsse erlauben wird
Also eigentlich wird hier kombiniert, was wir schon vorher gemacht haben,
kurzfristig die Identifikation, Leihfrist-Identifikation, sollten Sie in dieser Formel hier?
Wiedererkennen, aber jetzt wird eben auch noch berücksichtigt, dass die Varianten kontegriert sein können. Dafür müssen wir dann auch testen. Gut,
ja, das habe ich, glaube ich,
im Wesentlichen hier gesagt, dass das Data YT ja stationär dann,
oder ich kann es noch mal kurz hier holen,
weil ich nicht in dieser Form gesagt habe,
dass Data YT kann man als einen Vector-Moving Average beschreiben,
der ist nicht notwendigerweise imlatierbar,
aber schreiben kann man das in dieser Form,
C von L mal UT und dann ist eben die Summe dieser Koeffizienten,
Matrizen hier, von dem Elektrolynom Ziel von L,
das wäre Ziel von 1, das ist gerade erst Ziehtwille.
Ja, das ist so der Zusammenhang da. Daraus können
Sie eben sehen, dass das der langfristige Effekt ist,
weil das die Addition aller Impulsantworten wäre,
die sich über die Zeit ergeben haben für das DLR-Y-Team.
So, das war jetzt erstmal die Theorie. Wir haben noch
ein bisschen Zeit. Ich will Ihnen mal gerade zeigen,
wie so etwas jetzt konkret abläuft in einem einfachen ZEGM,
den ich mal schätze.
Im Augenblick nicht ganz für die Variablen,
die wir später betrachten werden,
sondern für ein
bisschen mehr Standardvariablen
Y, also, oder Elite-Produkt, Konsum, Investitionen und
ich nehme noch ein Mars für totaler Faktor Produktivität hinzu.
Ich fand das deshalb, weil ich hier jetzt dann auch
integrierende Beziehungen relativ leicht finden kann und die auch so von
der Landschaftsbeziehung her vielleicht ganz plausibel sind.
Also, wir schätzen einen vierdimensionalen Weg-M mit der Abini-Variablen Data YT,
das sind also die Zuwächse in Bruttoinlandsproduktkonsum, Investitionen, Faktorproduktiv.
Nehmen wir mal an, es gibt nur einen,
du hast diesen Trend, zum Beispiel nur neutrale Technologie,
zum Beispiel nur das,
was in der totalen Faktorproduktivität
drin ist
Dann müssten wir in diesem vierdimensionalen System jetzt drei kointegrierende Ektober finden.
Dann wäre also die Alphamatrix vom Typ 4 mal 3
und die Beta Strichmatrix vom Typ 3 mal 4.
Ich habe jetzt noch nicht getestet, wie viele kointegrierende Rektoren es gibt.
Ich arbeite jetzt einfach mal auf Basis, die er anhabe,
dass es drei gibt, sozusagen, unterstellen,
dass es nur einen Technologieprozess gibt, der das hier irgendwie treibt.
Der Fischer, der springt jetzt auf und sagt,
stimmt überhaupt nicht und er hat vielleicht auch recht mit.
Aber sozusagen, um nur mal zu sehen, was passiert,
wenn man davon ausgibt, dass es nur einen journastischen Trend gibt,
dann muss es drei ko-integrierende Lektoren geben,
dann muss einfach vom Typ 4 mal 3 und bitter Strich vom Typ mal 4 sein.
Und dann kann ich das schätzen, in Jay Multi,
da gibt es also extra ein Menü für VGM-Analyse.
Ich habe das jetzt hier gemacht für einen Zample 1995,
drittes Quartal bis 2007, 2020 Quartal. Drittes Quartal,
weil ich ja einen Lake berücksichtige und Differenzen baue,
hatte ich verlierlich zwei Beobachtungen, deshalb kann ich erst im dritten Verfahren anfangen.
Und jetzt sehen Sie hier den Weg N,
den ich einfach mal geschätzt habe unter der Setzung,
drei kontegrierende Vektoren da sind.
Also habe ich noch nicht, wie gesagt, getestet.
Aber tue einfach mal so, als wüsste ich das.
Dann habe ich hier die vier Wachstumsraten, diese Des,
die ersten Differenzen sind immer Wachstumsraten, weil ich logaritmierte.
Variablen benutze, die vier Wachstumsraten variabel erbreiten für Bruttoinlandsprodukt,
Konsum, Investitionen und totale Faktorproduktivität. Die jetzt,
ich fange vielleicht hinten an, abhängen von einem Stütter.
Von einer Konstanten geschenkt. Von verzögernden Wachstumsraten,
DGDP-T minus 1, DC e-1, D-Impf-T minus 1,
DTFP-T minus 1, die gehen hier über diese Matrix,
die uns weiterhin nicht interessiert,
auch irgendwie damit ein
Alles das, hier ist mehr oder weniger Standard und ziemlich uninteressant.
Das, was interessant ist, ist jetzt Alphabeter Strich.
Diese Matrix, hier sehen Sie, ist nicht quadratisch, das ist Alpha.
Das ist Anne Matrix mit vier Zeilen und drei Spalten.
Die wird multipliziert mit einer Matrix, mit drei Zeilen und vier Spalten.
Deshalb heißt das Produkt aus Alpha und Peter Strich
ist wieder 4x4. Ja, wenn man das ausmultipliziert.
Aber der Rang dieser 4x4-Marktricks hier,
wenn man Alphabeter Strich ausmultipliziert,
ist nur drei
Denn hier sind nur drei Spalten drin. Also die Matrix hat
Maximal Rang 3 und die Matrix hat auch Maximal Rang 3.
Und wenn zwei Matritzen miteinander multipliziert werden, dann kann der Rang
des Produkts nicht größer sein als das Maximum des Rats der beiden Faktoren.
Diese Matrix hier ist Better Strich und die würde uns jetzt sagen,
wir haben eine Koelligationsbeziehung, so informiert das eben Jake Multi,
das hatte ich ja erklärt,
zwischen dem Bruttoinnentsprodukt und der totalen Faktor Produktivität,
mit Koeffizienten 1 und minus 1,6. Die wären also integriert
Ronau kann man die Nase rüpfen und kann sagen,
warum ist das in den Logarithmen ein Unterschied, die Steigerung war?
Ist das nicht eins und minus eins? Aber egal,
so kommt das nun mal raus. Außerdem gibt es eine
Kointegrationsbeziehung zwischen Konsum und, also konsumieren. Zweite Komponente,
Konsum und totaler Faktor Produktivität mit koeffizient 1 und minus 1,8.
Und dann noch eine Kointegrationsbeziehung zwischen Investitionen und totaler Faktor Produktivität,
mit kointegrierendem Vektor 1 und minus 3 im Wesentlichen.
Insbesondere der hier ist, also mir nicht Kuscher,
die Seitenkoeffizient, das müsste man sich nochmal genauer angucken
Aber das spielt im Augenblick keine Rolle. Sie sollen nur
sehen, wo sie hier die langfristigen Gleichgewichtsbeziehungen drin haben.
Sie könnten sich jetzt dafür interessieren,
gibt es denn eine Kointegrationsbeziehung zwischen, oder Inlandsprodukt und Konsum?
Das können Sie natürlich aus dieser Matrix hier ablesen.
Sie können zum Beispiel sagen, dass Sie, naja,
diese zweite Spalte mal multiplizieren mit eins durch,
minus 1,777777.
Dann wird hier
eine Eins draus
Und die erste Zeile, hatte ich keinen Spalte gesagt,
ich meinte natürlich Zeile, die erste Zeile multiplizieren sie,
also dividieren sie durch minus 1,561. Dann würden sie
hier irgendwie was kriegen und da irgendwie was kriegen.
Und dann ziehen sie mal die erste,
ziehen sie mal die zweite Zeile von der ersten Zeile ab,
dann würden sich natürlich die beiden minus einser,
die hier stehen, gerade wegheben.
Und hier würde dann ein Koeffizient stehen, der ist eins durch 1,561.
Und hier steht ein Koeffizient, der ist 1 durch 1,7777.
Also das ist im Wesentlichen 1 durch 1,66, das ist 1 durch
1,8. Die sind also gar nicht so weit von 1,
minus 1 entfernt.
Da wurde man ungefähr das rausgekriegen,
was wir vorhin schon hatten
Kann man dann auch gucken, ob der signifikant ist.
Aber das wäre also sozusagen hier eine integrierende Kombination,
die auch möglich ist, die ein bisschen schwieriger zu interpretieren ist,
weil der Multi das eben so normalisiert.
Und hier stimmen jetzt die Ladungskoeffizienten drin. Das heißt,
das sind die Ladungskoeffizienten der ersten Gleichung, also für
die Wachstumsrate des Bruttoinlands-Produkts. Die würde mir jetzt sagen,
die erste Gleichgewichtsabweichung geht mit einem Koeffizienten von minus 0,084 da ein.
Die zweite mit einem Koeffizienten von 0,094. Und die dritte mit
einem Koeffizienten von minus 0,014. Bezogen auf die drei Gleichgewichtsabweichungen,
die hier berechnet werden durch die koligrierenden Ektoren
Wichtig ist immer, dass die Koeffizienten für die eigene Gleichung
hier mit einem negativen Vorzeichen da stehen.
Also sozusagen dieser Kointegrierende Vektor ist ja wesentlich in der Kointegrierende
Vektor für eine Gleichgewichtsabbrechung des Bruttoinlands-Produkts von der brutalen Faktorproduktivität.
Wenn da jetzt eine positive Gleichgewichtsabweichung steht,
also wenn sozusagen das Bruttoinlandsprodukt größer ist,
eins bei dieser totalen Faktorproduktivität eigentlich sein sollte,
dann müsste man erwarten,
dass nach unten hin korrigiert wird,
dass also der Koeffizient negativ ist
Und sehen Sie in der Tat, das ist der Fall.
Ja, der Koeffizient ist negativ. Und dasselbe gilt hier für den Konsum,
ja, der glatuskoeffizient für den Konsum ist auch negativ,
das heißt, es spricht dafür, dass in die richtige Richtung die Gleichgewichtskorrektur erfolgt.
Und für die Investitionen gilt das hier auch.
Für die totale Faktorproduktivität gibt es nicht so eine Beziehung,
die die Gleichgewichtsabweichung kennzeichnet,
weil wir ja nur drei Quo integrierende Beziehungen haben,
die setzt sich wie immer aus diesen Dingen hier zusammen,
da kann man das also nicht so uneitress interpretieren,
aber dass diese drei koeffizienten negativ sind,
ist grundsätzlich erstmal
ein gutes Zeichen
Das ist nicht immer der Fall bei vielen Protegrationsanalysen,
findet man da auch mal einen positiven Ladungskoeffizienten und dann sollte man
drüber nachdenken, ob sie nicht eine gute Spielspezifikation ist.
Ich bin nicht davon überzeugt, dass das eine gute Spezifikation ist,
aber an der Stelle stimmt sie jedenfalls.
Man kann das jetzt bei Jay Multi auch umformulieren in die entsprechende Waredarstellung.
Also, was ich Ihnen eben hier gezeigt hatte, war die WM-Darstellung.
In Matrizen-Schreibweise. Wenn Sie so ein WM schätzen in Jay Multi,
dann könnte das Ding hier anklicken und dann kommt die WM-Darstellung und diese geschätzt haben.
Das ist ja
das Schätzergebnis
Wenn Sie das in wahrer Form sehen wollen, dann kriegen Sie
auch diesen Reiter hier und dann kriegen Sie das Ding raus.
Hier ist jetzt das Wegerm aufgelöst worden, denn wie ich ihm schon sagte,
ist, dass Weg-M ja immer ein Wahr in den Niveaus.
Also hier stehen jetzt nicht mehr die Wachstumsraten,
sondern hier stehen die Niveaus und die werden erklärt durch die
verzögerten Niveaus der ersten Periode und durch die verzögerten Niveaus der zweiten Angel.
Das ist sozusagen die Art von Transformation,
die wir eben in der Einrichtung gemacht hatten, wieder rückwärts gerechnet,
sodass wir wieder bei der Ausgangsgleichung für diesen Vorlesungsabschnitt sind,
nämlich da, wo das normale war rapi, wo dann geschrieben worden ist.
Hier haben wir das also in VP-Form, das wäre ein kointegrierter Bar,
dem sieht man das in dieser Darstellung nicht an.
Man sieht es ihm nur in der Weg-Darstellung an.
Wie sieht das jetzt aus mit den Residon in diesem Fall?
Nun, die haben zum Teil eine hohe kontemporäre Korrelation.
Das heißt, wir können davon ausgehen,
dass es sich nicht um strukturelle Residon handelt,
denn die strukturellen Residon Epsilon,
die sollten ja untereinander unkorrigiert sein
Ich habe Ihnen hier, das ist Orngy Multi-Output,
die Co-Variance-Matrix, Teresidon und die Korrelationssong an Matrix,
Teresidon ausgedruckt. Interessant, dass man die Korrelationsmatrix,
weil das halt auf eins dann normiert ist in der Hauptdiagonalen.
Nun, da sehen Sie hier,
da stehen jetzt schon Werte von 0,7 de facto.
Also 0,68 steht da, 0,60 im Wesentlichen hier, 0,544
im Wesentlichen. Hier, das sind schon hohe Korrelationen,
die wir in den Nebendiagonalelementen haben. Das heißt,
ganz offensichtlich ist, dass diese Korrelationsmatrix hier keine diagonale Matrix,
so wie man das bei strukturellen Resionen
eigentlich erwarten würde
Gut, soweit für den Fall, wo ich jetzt einfach mal autokratisch,
hups ups ups ups, wo war es?
Hier, gesagt habe, Alpha und Better sind vom Typ
4 mal 3, beziehungsweise 3 mal 4. Das heißt,
ich habe einfach unterstellt, dass es drei kolintegrierende Wegbogen gibt.
In Jaime Multi muss man das mal angeben,
wie viele koordigrierende Lektoren man unterstellt für ein bestimmtes Weg.
Das muss man vorher spezifizieren und dann wird es weg geschätzt.
Und man kann das natürlich auch testen und das sollte man tun.
Also man soll das nicht einfach so aus der Luft greifen,
wie ich das gerade gemacht habe, sondern man sollte testen,
wie viele kontegrierende Vektoren es gibt.
Und das bespreche ich im nächsten Vorlesungsabschnitt Johannste Tests
Ich würde da mich jetzt ganz gerne noch anfangen wollen,
es sei denn, sie haben noch Fragen und möchten in die Interaktion gehen.
Falls das der Fall ist, dann bitte zögern Sie nicht
Ihre Hand zu heben und mir zuzuwinken, um mir zu sagen,
ob Sie jetzt erst mal Fragen stellen wollen zu dieser,
da war ja schon eine ziemliche Ladung an Theorie,
die ich ihm jetzt hier präsentiert habe.
Ob da irgendwas unklar ist,
ob ich das nochmal erklären soll,
ob sie jetzt in das Interactive-Meeting gehen wollten,
dann machen wir das und machen Johanns und Teste ist das nächste Mal.
Aber wenn keine Fragen sind und bei den letzten Malen waren da ja dann keine,
dann würde ich die letzten Minuten noch für die Johans und Teste nutzen wollen.
Bitte, winken Sie mir zu,
falls Sie Fragen haben oder in die Interaktion gehen wollen
Scheint nicht der Fall zu werden. Okay, also jetzt,
wie testet man auf Kollegation? Diese Kollegationstests sind später entwickelt worden,
beziehungsweise Engel und Granger hatten auch schon was entwickelt,
aber das, hat sich herausgestellt, war nicht das allerbeste Verfahren.
Und dann kam Sören Johansen, ein Däne,
Venture Professor von der University of Kopenhagen,
der hat viel Aufsehen erregt mit diesem Artikel.
Hier ist Statistical Understes of Collectivation Vectors,
da hat er ein anderes sehr viel besseres Verfahren entwickelt,
um auf Kooperation
zu schätzen
Und seine Idee ist einfach folgende. Wir nehmen einen wahr
und schätzen den erst einmal ganz unrestrinkiert. Also aus einem
ganz normalen Bauch schätzen wir den. Mit irgendwelchen Leckpolynomen hier,
so wie uns die Informationskriterien das vorgeben,
so viele Lecks nehmen wir da rein und schätzen die normalen unrestrinkierten Bar gleichen Vergleichung.
Und dann gucken wir uns mal an, welchen Rang
die Matrix A von 1 hat mit diesen geschätzten Koeffizienten.
Also ich nehme die Schätzung dafür. Bist du eigentlich Adach von 1
sein? Wir bestimmen also den Rang von A von 1,
in dem wir testen,
auf die Anzahl von Eigenwerten von A von 1,
die ungleich null sind
Tests kann man ja immer so gestalten, dass man
irgendwie als null Hypothese testet, dass irgendwas null ist.
Und hier, wo es jetzt darauf ankommt,
welchen Rang die Matrix A von 1 hat,
war es Johanssons Idee zu sagen, eine Matrix,
die Rang R hat, hat R von null verschiedene Eigenwerte.
Und K-R-Eigenwerte sind gleich null. Das heißt,
wir testen zunächst einmal, dass diese Matrix A von 1
Rang null hat,
es alle Eigenwerte
gleich null sind
Dann würde es bedeuten, dass es keine Kointegration gibt,
sondern dass wir die Einheitswurzel-Hypothese akzeptieren würden in der Form,
dass alle Variablen in dem Wahr einem eigenen, unabhängigen Rennum Walk folgen würden.
Gut, das wäre also sozusagen der Test, das aller Eigenwerte
gleich null sind. Diesen Test macht man natürlich sinnvollerweise dadurch,
dass man sagt, wir testen erstmal den größten Eigenwert,
also den absolut gesehen größten Eigenwert daraufhin, ob der von null verschieden ist.
Und da gibt es leider kein sterner Testverfahren vor,
das hat er führt, das hat der Johansen dann entwickelt.
Aber die Grundidee ist, glaube ich, einfach,
zu sagen, wenn wir wissen wollen,
ob alle eigenwertig gar nicht null sind,
dann nehmen wir uns halt den Eigenwert raus,
der am weitesten von null entfernt ist,
im absoluten Sinne,
und testen den darauf,
ob der von null
Und das ist jetzt das Vorgehen beim sogenannten Trace-Test von Johansen.
Wir testen zunächst die Hypothese H von null,
dass der Rang der A von 1 Matrix gleich null ist.
Das heißt, dass die Variablen nicht integriert sind.
Also jetzt habe ich gerade ein bisschen falsch gesagt, ja.
Denn hier erkläre ich ihm gerade einen anderen Test.
Also Entschuldigung, es gibt zwei Johansen-Tests. Der eine Johansen-Test
ist der, dass man immer den maximalen Eigenwert nimmt.
Und der andere Johansen-Test ist der,
dass man die Summe aller Eigenwerte nimmt und testet,
ob die gleich null ist
Und das ist der sogenannte Trace-Test, also Trace,
wie die Spur einer Matrix oder die Spur der Matrix,
die eben die Eigenwerte enthält. Deshalb heißt der Trace-Test,
der wird auf die Summe der Eigenwerte getestet. Das heißt,
das ist das andere Johansen-Verfahren, wo man die Eigenwerte erstmal alle summiert.
Und dann sagt, ist die Summe eigentlich von null verschieben. Sprich,
das Vorgehen bei diesem sogenannten Trace-Test ist denn das,
dass man sagt, wir testen zunächst einmal die Hypothesen,
dass der Rang, der A von 1-Matrix gleich null ist,
das heißt,
dass alle Eigenwerte null sind und damit die Summe der Eigenwerte
auch null ist
Wenn das verworfen wird, dann testen wir,
also wenn diese Hypothese Haar von null verworfen wird,
dann testen wir die Hypothese Haar von 1. Das heißt,
die Hypothese, dass die Anzahl der von null verschiedenen Eigenwerten nicht größer ist als 1. Und wenn auch diese Hypothese,
also wenn diese Hypothese akzeptiert wird, dann würden wir sagen, es gibt ein Potiklehrer, Hector.
Wenn diese Hypothese verworfen wird, dann würden wir Haar von 2 testen,
dass die Anzahl der von null verschiedenen Eigenwerte nicht größer ist als 2. Das heißt,
es würde bedeuten, der Rang der Matrix A von 1 ist kleiner gleich 2,
da war die andere Hypothese schon abgelehnt haben,
also sie haben ja schon abgelehnt haben,
das ist keine Ko-Integration gibt und da wir schon abgelehnt haben,
Nur höchstens einen kontegrierten Fektor gibt, würde man hier dann,
wenn wir die Hypothese ablehnen, schließen,
es gibt genau zwei.
Wo integrierende Fektoren? Und das macht man genau so,
bis man die Hypothese H von Carminus 1 testet, nämlich,
dass der Rang von A von 1 kleiner gleich kam,
minus 1 ist, sodass es also höchstens Carminus 1 korrigierende Fektoren gibt.
Sollte das akzeptiert werden, dann weiß man,
es gibt Carminus 1 kointegrierende Fektoren, mehr kann es nicht geben,
sollte Hafen Cameos 1 auch verworfen werden,
dann müssen wir akzeptieren, die verbleibende,
einzig verbleibende Möglichkeit,
dass der Rang von A von 1
gleich K ist
Und das würde bedeuten, dass der war stationär.
Ist, dass es also überhaupt keine Reheitsgruppen gibt. Ja,
und da gibt es eben dann eine sogenannte Statistik,
eine sogenannte Lightyoupratio-Test-Statistik für diesen sogenannten Test-Trace-Test.
Lamda LR von Ermul und R1. Das ist also die Lightly-Hood-Ratio-Statistik,
die man da ableiten kann. Und die besteht darin,
dass man aufsummiert den Logarithmus von 1-minus die geschätzten eigenen Werte
Über diejenigen Vektoren, diejenigen Eigenwerte,
die man jetzt noch als Kandidaten für null ansieht.
Also je nachdem, wo man eben gerade ist,
hat man ja entweder schon festgestellt, dass es einen Eigenwert gibt,
der von null verschieden ist, den lässt man halt raus.
Man nimmt hier nur noch diejenigen Eigenwerte, die möglicherweise alle zusammen null sitzen.
Das hatte Johansm hergeleitet, das ist kompliziert,
das machen wir hier nicht. Sie sollten nur wissen,
es gibt eben diese Likely Houberation-Teststatistik,
die ist andere aus dem Maximum-League-Prinzip hergeleitet worden und nach der
kann man dann eben diese Art von Tests machen,
bei denen wir letzten Endes die Spur der A1-Matrix testet
Wichtige Bemerkung dazu ist noch, dass das Johansen-Verfahren auch dann funktioniert,
wenn YT sowohl I1 als auch I0-Komponenten enthält.
Es muss also nicht so sein,
dass der ganze Übs und Tee-Lektor aus I1-Komponenten besteht,
sondern er kann auch einzelne Komponenten oder sogar alle Komponenten als I0 enthalten,
das wird das Johansen-Verfahren, also im Tod ist jedenfalls auch korrekt identifizieren.
Ja, die Verteilung ist dann keine Standardverteilung,
wie das bei Einheitsfrüsselprozessen üblich ist,
die ist dann tabuiert worden, ist in der Software drin,
das wertet uns die Software dann automatisch aus,
wie das funktioniert
Ich werde jetzt an dieser Stelle erstmal die Vorlesung beenden.
Damit haben wir das grobe Wissen über den Johansen-Test gemacht,
bis auf die Frage der Trenddarstellung. Das muss ich jetzt
in der nächsten Vorlesung noch machen und das ist ein bisschen schade,
dass wir da erstmal noch ein bisschen Theorie machen müssen,
aber dann werden wir uns eben auch mal angucken,
wie das bei Johansen tatsächlich empirisch aussieht und welche Art von Resultaten wir dann kriegen,
bevor wir letzten Endes zurückkehren zu S-Preg-M-Impuls,
Antworten,
so wie sie das aus den vorherigen Vorlesungsvorlesungen kennen
Müssen wir uns ein bisschen ranhalten, damit wir das
jetzt in den Heil verbleibenden zwei Vorlesungsabschnitten noch schaffen.
Aber vielleicht kriegen wir das ja hin. Seien Sie bitte
so nett und gucken sich das gründlich an, was ich heute gemacht habe.
Wie gesagt, es kommt mir nicht darauf an,
dass Sie das in den Details der mathematischen Theorie nachvollziehen können,
aber Sie sollten suchen zu verstehen,
was die grundsätzliche Intuition dabei ist und was in diesen Verfahren,
also Koordination, Engel, Granger, Commentrends und Johangen-Verfahren, abgebildet werden sollen.
Soviel für dieses Malfragen gab es ja nicht.