Hallo, ich mache ihn weiter mit dem Satz 6,23,
wo wir die Aussage 1 schon im letzten Video bewiesen haben,
in einer beliebigen eukledischen Ebene.
Wenn wir zwei verschiedene Punkte A und B haben,
dann gilt A und B haben genau ein Mittellot.
Also die Eindeutigkeit hatten wir schon vorher, die Existenz haben wir neulich gerade bewiesen.
Und jetzt kommt Aussage 2 und dann Aussage 3,
die beide auf diesen hier basieren. Und hier gucken wir
den jedenfalls in Aussage 2, gucken wir den Fall an,
dass dieses Mittellot M Nicht parallel ist zu Abi.
Bemerkung, Erinnerung, gucken Sie 6,21 an. Dort habe ich erklärt,
dass tatsächlich es vorkommen kann, dass eine gerade sowohl orthogonal auf AB ist,
was für das Mittellot M gilt, als auch,
dass sie gleichzeitig auch parallel zu Abi sein kann.
Und das wollen wir jetzt hier ausschließen.
Also wir fordern hier in diesem Aussage 2,
dass M nicht parallel zu AB ist.
In dem Fall gilt für alle C
aus AB
Existiert genau ein L-orthogonal zu AB mit C-Element L. Also das,
was ich schon mal früher genannt habe, wir können das Lot errichten.
Hier ist A, hier ist B,
hier ist also die gerade AB und wir haben jetzt irgendeinen Punkt C,
der auch auf der Grade draufliegt, könnte auch gleich A oder B sein,
dann kann ich hier das Lot errichten.
Dann gibt es hier also eine gerade L,
die orthogonal ist zu AB und die würde ich dann genauso,
wie wir das vorher schon gemacht haben,
für Punkte C, die außerhalb der geraden AB liegen,
Würde ich auch diese jetzt hier bezeichnen.
Mit L ist die gerade zie-orthogonal zu Abi,
weil wir gleich zeigen, die existiert und ist eindeutig,
kann ich diese Schreibweise wählen.
Die eindeutige orthogonale zu AB durch den Punkt ziehen.
Und das möchte ich jetzt beweisen, bevor ich Nummer
drei hinschreibe und Existenz und Eindeutigkeit starte mit der Existenz.
Ich behaupte, folgende Grade L erfüllt die Bedingungen.
L nehmen wir C parallel M. Wir haben das Mittellot von
A und B, ich male das hier mal ein,
das wissen wir nach eins,
dass das existiert
Was ist hier? Und ich nehme jetzt die Parallele zu
M durch C und behaupte, die erfüllt die Eigenschaften.
Erfüllt die Behauptung. Was sind das für Behauptungen, diese
gerade? Es steht irdogonal auf AB und enthält sie.
Also C-Element L ist klar, habe ich so gewählt.
Und warum steht L auch jetzt orthogonal zu AB?
L orthogonal zu AB, da erinnern wir uns.
Wir haben die Voraussetzung ist, dass Es gilt nach Voraussetzung,
oder nach Definition von M, das M-orthogonal zu AB ist.
Außerdem ist L parallel zu M. Dann haben wir die Aussage 6,20,
die sie bitte nochmal anschauen, die dann sagt,
dann ist auch L orthogonal zu AB,
also eine Parallele zu dieser orthogonalen M ist auch orthogonal.
Da müssen wir aber reinstecken, dass wir brauchen,
wenn L, Ungleich-AB ist. Das ist dieses Haar-Ungleich-L,
kam da in dem Lämmer vor. Und das gilt aber,
die Skillt, denn sonst hätten wir Folgendes,
wenn er gleich AB wäre, L, Gleich-AB,
L ist aber parallel zu M.
Das ist unsere Voraussetzung der Konstruktion,
dann hätten wir M parallel zu AB,
das ist ein Widerspruch zu unserer Voraussetzung,
dieser Aussage
Das geht hier ein. Und wir haben ein L gefunden,
was sowohl orthogonal auf AB steht, als auch durch C geht.
Und jetzt kommt noch die Eindeutigkeit.
Sei C-Element L-Strich, C- orthogonal L-Strich orthogonal zu AB.
Dann gilt ebenfalls nach diesen 620 die andere Richtung,
dass dann Strich parallel zu M ist,
weil wir weiterhin haben,
M ist orthogonal zu AB
Und dann muss wegen dem Parallelen Aktion Mustanel Strich
gleich die eindeutige Parallele durchzieh, zu M sein.
Das war aber L. So hatten wir L gewählt,
also ist diese orthogonale eindockig und damit ist diese Aussage Nummer 2 bewiesen.
So, wir haben jetzt also,
wir haben stets einen Mittellot und in diesem Fall ist das Mittellot
die gerade AB schneidet, könnte ich ja auch sagen,
also dass sie nicht parallel zu AB ist
Können wir aus jedem Punkt von AB das Lot errichten?
Sieh orthogonal zu AB, genannt. Und jetzt kommen wir
zum eigentlichen Kern dieses Satzes 6,23, das ist die dritte Aussage.
Die hatte ich auch schon mal vorher schon mal angekündigt.
Da geht es jetzt um Translation. Wir haben ja als Voraussetzung des Satzes,
dass wir zwei Punkte A ungleich B gegeben haben.
Und die Aussage sagt jetzt, es existiert genau eine Translation.
Tauf von A gleich B. Und als Bemerkung,
insbesondere gilt also unsere affine Ebene ist Translationsebene.
Das war ja die Definition einer Translationsebene. Und den Beweis,
es reicht jetzt hier die Existenz zu beweisen,
die Eindeutigkeit, das wissen wir schon generell.
Das ist nicht zwei Translationen mit. Gib die A
nach B bewegen. Also es reicht Existenz zu beweisen.
Und das zeigen wir mit Hilfe dessen, was wir neulich gerade hatten,
Das ist nämlich die Hintereinanderausführung von zwei Gradenspiegelungen an parallelen Graden,
eine Translation ist. Und dieses Tau, was wir suchen,
das stellen wir jetzt in dieser Form dar.
Also ich schreibe das mal hin, wir zeigen,
dass es geraden, G und H gibt, die parallel sind,
sodass Gehschlange, Kringel, Haarschlange von A gleich B ist.
Wenn wir das gezeigt haben, dann folgt mit 6,
22 die Behauptung, weil nämlich dann dieses Gehschlange-Kringel-Harschlange, eine Translation ist.
Und diese bildet A nach B ab. So,
und jetzt nehmen wir aber, die Granen sind jetzt nicht G und H,
sondern das sind schon Graden, die wir schon haben.
Nämlich, erster Fall, ich zeige dir nochmal unsere Situation hin,
wir haben hier A, B, und wir wissen schon, es existiert das Mittellot-Emp.
Das existiert ja nach Aussage 1 stets. So,
erster Fall ist der Fall, den wir in Aussage 2 eben hatten,
dass das M nicht parallel ist zu A,
Und dann haben wir nach Aussage 2, haben wir dann die gerade L,
das ist die eindeutig, das eindeutige Lob aus jedem Zeh,
aber jetzt nehmen wir das Lot aus A,
zu A, B, das können wir hier errichten,
nach der Aussage, die wir eben gerade hatten,
das ist unsere gerade L,
die wir in diesem Fall wählen.
Und wenn sie sich den Beweis von zwei nochmal in Erinnerung
rufen, ist das dasselbe wie A, parallel zu M.
Also insbesondere sind L und M parallel zueinander.
Im zweiten Fall existiert jetzt dieses L in dieser Form nicht,
aber wir können trotzdem natürlich A, parallel M hinschreiben,
Also wenn eben parallel zu AB ist, dann ist hell,
wieder setzen wir als L jetzt ab, einfach A,
parallel M und stellen fest, das ist natürlich Abi.
Also dann in mein Bild wird dann L, gleich A,
B, das möchte ich jetzt in das Bild nicht reinschreiben,
aber das kann auch vorkommen, dass sozusagen die gerade A,
B, gleich L, tatsächlich auch parallel ist zur orthogonalen M.
Das ist, ja, wie sie in dem einen Beispiel
gesehen haben, im Fall der Charakteristik 2 kann das auftreten
So, in beiden Fällen haben wir jetzt aber
eine gerade L gefunden, die parallel ist zu M.
Und durch A geht. Und jetzt machen wir,
nehmen wir eben nicht Geh-Schlange-Kringel-Haarschlange, sondern M-Schlange-Kringel-El-Schlange.
M-Schlange-Kringel-El-Schlange. Das ist Translation, weil im Parallelzuell.
Und das wende ich jetzt auf A. Und sie haben gesehen
, A liegt auf
In beiden Fällen. Das heißt, A bleibt fest,
hört mal auf L liegt, ist das M-Schlange von A.
Im Schlange von A ist aber B, weil M das Mittellot war.
Das war die Definition von Mittellot. Ist B, und
damit sind wir fertig. Genau das wollten wir zeigen.
Eine Translation, die A auf B abbildet. Und das ist
nicht irgendeine Translation, sondern das ist so eine Translation,
wie wir sie in dem Satz 6,22 schon hatten,
hintereinander Ausführung von zwei Spiegelungen an parallelen Graben.
Jede Translation lässt sich also so beschreiben und tatsächlich existiert auch
jede denkbare Translation
Für je zwei verschiedene Punkte existiert eine Translation,
die den ersten Punkt auf den zweiten abbildet.
Und wenn die Punkte nicht verschieden sind,
dann existiert die natürlich auch, nämlich die Identität.
Genau, und wir haben also eine Translationsebene,
was schon eine sehr wichtige Information ist. Jede äuthetische Ebene,
locker gesagt ist eine Translationsebene, etwas strenger gesagt,
die zugrunde liegende affine Ebene ist eine Translationsebene.
Genau, damit beende ich dieses Video und danke für
die Aufmerksamkeit