Herzlich Willkommen. Ich möchte jetzt mit dem Satz 6,23
beginnen und in diesem Video den Teil 1 beweisen,
dass es die Existenz von Mittelloten.
Wir hatten bisher nur die Eindeutigkeit von Mittelloten und die Existenz unter gewissen Zusatzvoraussetzungen.
Hier kommt jetzt die schon vorher mal angekündigte Existenz im Allgemeinen.
Also dazu sein A und B, zwei Punkte einer beliebigen euklidischen Ebene
. Dann gelten drei Aussagen. Hier gucken wir uns jetzt
nur die Aussage 1 an. Die Aussagen zwei und drei
kommen dann später im nächsten oder vielleicht auch übernächsten Video.
Aussage 1 sagt A, B, haben Genau ein Mittellot,
Mittellot, also eine gerade, dass derart,
dass die Grabenspiegelung an dieser Grade die Punkte A und B vertauscht.
Und Beweis, wie schon gesagt, die Eindeutigkeit ist schon gezeigt,
das war 6, 17, 2,
das ist stets höchstens ein Mittellot gibt.
Und jetzt gucken wir uns die Existenz an.
Und dazu mache ich
eine Skizze
Hier ist A, hier ist B,
ich zeichne auch die Verbindungsrate von A und B
rein und wir wissen schon, dass zu jeder Grade,
für aus einem Punkt außerhalb ich das Lot auf die Grade fällen kann.
Das heißt, es gibt auf jeden Fall eine Grade G,
die orthogonal ist zu A und B,
aber möglicherweise oder höchstwahrscheinlich ist die jetzt noch nicht zufällig das Mittellot.
So anschaulich müsste das Mittellot ja durch den Mittelpunkt gehen,
A plus wie halbe in der rechnerischen,
durch koordinatengegebenen Ebene, aber sowas haben wir hier nicht.
Wir nehmen erstmal nur irgendeine Grade,
die orthogonal
auf A und
Auf der geraden AB steht und auf dieser Grade nehmen wir einen beliebigen Punkt C,
der jetzt nicht auf Abi liegt, den wählen wir.
Und jetzt den nächsten Schritt, den schreibe ich hier erst mal auf,
weil der ein bisschen schwieriger oder ein bisschen umständlicher umzusetzen ist.
Wir setzen jetzt den Punkt D als den Schnittpunkt der Verbindungsgraden,
der zwei Raden, nämlich der geraden A, parallel C,
die Schlange von B und der Graden Bezi.
Das machen wir jetzt mal hier,
dann nehme ich eine andere Farbe, ziehe die Schlange von B.
Hier ist G, dann ist G Schlange von B
ungefähr hier
Die Schlange von B, dann ist hier die gerade C,
die Schlange von B. Mich interessiert aber nicht diese gerade,
sondern die Parallele durch A.
Und die möchte ich mit BC schneiden. Hier ist BC.
Dann kriege ich hier den Schnittpunkt, das ist der Punkt D. So.
Jetzt können wir aus dem Punkt D wieder das Lot auf die
gerade A B fällen. Was ist der nächste Schritt?
Sätze M gleich die orthogonal AB. Das können wir immer machen,
solange wir einen Punkt außerhalb der geraden AB haben,
können wir das Lot fällen. Der Punkt,
die ist garantiert nicht auf der geraden AB,
weil der Punkt D liegt ja auf BC und wenn die auch auf AB lege,
dann wäre auch C auf AB, was ja nicht der Fall ist.
Das heißt, dieses M kann ich konstruieren und das ist dieses Lot hier durch D,
das nennen wir M, und das habe ich schon M genannt,
weil ich behaupte, dass das jetzt das Mittellot ist,
Behauptung M ist Mittellot von A.B.
Das heißt im Schlange von B gleich A. Ich könnte
auch im Schlange von A gleich B schreiben.
Das ist beides gleichbedeutend. Dies werden wir nachher zeigen.
Und es kommt jetzt das ins Spiel, was im letzten
Video gezeigt wurde. Nämlich, wir gucken uns an,
die Hintereinanderausführung im Schlange von M. Schlange verkettet mit Gehschlange.
Und ich mache erst
kleine Vorüberlegungen
Wir haben G und M, sind beide orthogonal zu AB.
Dann müssen diese beiden graben, die beide zurselben geraden orthogonal sind,
die müssen dann parallel sein. Das ist Teil von 6,20
, gehe parallel zu M. Und dann kommt nach dem,
was wir letztes Mal hatten, 6,22, das dann M-Schlange,
Kringe, Gehschlange, eine Translation ist.
Die Verkettung von zwei Hintereinanderausführungen von zwei Spiegelungen an parallelen Graden
ist stets
eine Translation
Und eine Translation ist insbesondere eine Delatation und hat die Eigenschaft,
dass sie jede gerade auf eine Parallele gerade abbildet.
Das heißt, insbesondere wird die gerade CB oder BC,
also hier diese rote Grade, auf eine gerade abgebildet,
die zu ihr parallel ist.
M-Schlange-Kringel-G-Schlange von CB, weil das hier eine Translation ist.
Jetzt wende ich auf diese beiden Parallelen Graden die Spiegelung im
Schlange an und für jede Koordination gilt,
wenn zwei Graden parallel sind, dann sind auch die Bilder parallel.
Das heißt, hier haben wir parallel,
dann ist auch eben Schlange von CB parallel zu M-Schlange,
Kringel, M-Schlange, Tringel-G-Schlange, also Gehschlange von CB.
Und das Gehschlange von CB können wir aber noch anders schreiben,
gucken wir immer eben hin, hier ist CB,
wir wollen an G-Spiegeln, der Punkt C liegt auf G.
Das heißt, C ist bei G-Schlange fest,
das ist also die Verbindungsgrade von C, Mitgehschlange, von B.
Die haben wir ja auch schon. Das ist diese gerade
. Das ist auch anschaulich klar, dass das die Spiegel
gerade von der geraden CB an der geraden G ist.
So, jetzt sind wir fast fertig. Oder jedenfalls haben
wir einen Zwischenschritt erreicht. Es gilt jetzt nämlich Folgendes.
Ich schreibe es auf ein neues Papier,
weil das jetzt ein bisschen mehr Einsichten erfordert.
Aus dem, was wir eben gerade hergeleitet haben,
können wir jetzt Folgendes schließen. Das nämlich Diese gerade hier
, die möchte ich noch mal neu anders beschreiben.
Die ist parallel zu dieser Garden. Und kennen wir einen
Punkt auf dieser Graden? Ja, das kennen wir.
Nämlich den Punkt D. D liegt auf CB. Ja,
sieh mal, die liegt auf CB, war dedefiniert.
D liegt aber auch auf M, so war M definiert.
Also D liegt auf CB und D
liegt auf
Und wenn D auf CB liegt,
dann liegt D auch auf dieser Graden,
schreibe ich hier alles noch da drunter,
die dann liegt, hieraus folgt,
dass im Schlange von D auf im Schlange von CB und weil aber D-Element M liegt,
ist das hier gleich D. Das heißt, D liegt auf dieser Graden,
Das ist die eindeutige Parallele zu durch den Punkt D,
die parallel ist zu dieser Garten.
MCB, im Schlange von CB,
ist parallel zur Graden C, die Schlange von B.
Und diese, also diese Grade ist parallel zu dieser.
Und zweitens auf dieser Graden legte Punkt D drauf. Das heißt,
diese Grade ist die eindeutige Parallele zur Graden C,
die Schlange von B, die durch den Punkt D geht.
Das kann ich also hier so hinschreiben.
Die eindeutige Parallele durch den Punkt D zur Graden C,
die Schlange von
Und jetzt gucken wir nochmal auf unser Bild, welche gerade das ist.
Die eindeutige Parallele durch die zur geraden zähige Schlange von W.
Das war aber tatsächlich den Versuch konstruiert.
Das ist die gerade AD. Die war so konstruiert.
Das ist also die gerade AD. Guck mir
nochmal hier. Behauptung ist jetzt im Schlange von CB
ist gleich AD
Wenn ich also diese rote gerade an M spiegele,
dann komme ich auch an bei dieser roten Graden.
Das ist jetzt die Behauptung, oder der Zwischenschritt,
den wir gezeigt haben, diese beiden Graben sind identisch.
Und jetzt sind wir fast fertig. Daraus können wir jetzt,
wir wollten ja zeigen,
im Schlange von B ist gleich A. Wir können jetzt auf jeden Fall erstmal sagen,
im Schlange von B, der liegt ja auf dieser Graden,
weil B, reingesteckt wird, im Stange von CB,
CB and Held B, also es enthält diese gerade hier im Schlange von B.
Und diese Grade ist aber AD, das heißt im Schlange
von B ist auf jeden Fall schon mal auf AD.
Das merken wir uns. Außerdem ist wegen M,
orthogonal zur geraden AB, M war orthogonal zur Graden AB konstruiert,
ist auch im Schlange von B Ist auch wieder auf AB.
Damit die gerade AB wird unter einem Schlange in sich selbst überführt.
Also wird der Punkt B auf jeden Fall auf einen Punkt
abgebildet, der wieder auf AB liegt.
Und wenn wir dies beides jetzt zusammenführen,
dann haben wir eben Schlange von B,
ist der eindeutig bestimmte Schnittpunkt von AD und AB.
Und das ist A. Wir haben Schlange von B ist A.
Das ist das, was wir haben wollten.
Und wir sind fertig. Also diese Konstruktion,
wie ich sie hier durchgeführt habe,
liefert uns das Mittellot oder die Mittelsenkrechte,
könnten wir auch sagen
Und der Beweis ist abgeschlossen und ich beende auch dieses Video
und im nächsten Video kommen die nächsten Teilaussagen von dem Satz.
Genau, das mache ich aber jetzt hier nicht,
sondern schließe ich ihr mit diesem einen Teilbeweis und danke für
die Aufmerksamkeit