Herzlich Willkommen. Dies ist das erste Video der Woche 13.
Die Woche 13 ist die letzte Woche,
die noch neue Inhalte aus dem Skript vermittelt,
wie sie vielleicht gesehen haben,
haben wir nur noch etwa eine Seite im Skript zu besprechen.
Und wir waren letztes Mal stehen geblieben bei dem Satz 6,22,
wo ich eine Sache noch vergessen hatte, zu beweisen.
Also der Satz lautet ganz ausführlich hingeschrieben wie folgt.
Wir haben eine beliebige, euklidische Ebene, EG-Kongruent.
Dann gilt, wenn wir zwei Graden haben,
die parallel sind,
geh und ha
Dann ist die Hintereinanderausführung, geh Schlange, Kringel, Haarschlange,
eine Translation. Da fehlt aber noch was in Richtung orthogonal.
Zugeh. Also die Translation hat ja eine Richtung und dass
diese ist hier orthogonal zugeh. Und das muss ich noch
beweisen und das erkläre ich auch noch mal kurz an der Skizze,
was hier zu beweisen ist,
dass das bedeutet,
also dazu möchte ich jetzt noch
was sagen
Und ich skizziere nochmal, wie wir vorgegangen sind,
G und Haar sind parallel,
wir hatten eine gerade genommen L,
die orthogonal steht auf G und haben da nachgewiesen,
dass eine Translation in Richtung L vorliegt, das heißt Folgendes,
und das bedeutet dann eben orthogonal zu G,
dieses hatten wir Tau genannt, Tau ist Translation Richtung hell.
Und was heißt das? Und das erkläre ich auch gleich
noch mal, warum das gilt. Das heißt,
für jedes pegen.p aus E ist die Verbindungsgrade P.Tau von P. eine Parallele zu L. Ja,
wenn wir das hier noch mal einzeichnen,
wenn wir einen Punkt P erst an Haar spiegeln und hinterher an G spiegeln,
dann landen wir ungefähr hier drauf von P.
Und dann ist die Verbindungsgrade Parallel zu L. Und das könnte
man auch anders formulieren, nämlich L in eckigen Klammern,
der Fernpunkt von Ellen, ist das Zentrum von Tauschlange.
Das ist nochmal wieder eine Umformulierung. Und das haben wir
letztes Mal gezeigt. Das haben wir letztes Mal gezeigt.
Wir hatten gezeigt, Gehschlange und Haarschlange haben beide L in
eckigen Klammern als Zentrum,
den Fernpunkt von
Und dann haben wir gezeigt, oder ich habe erklärt,
dass das allgemeingültig ist, dass man hintereinander Ausführungen,
zweier Zentralkoordination mit gleichem Zentrum,
ist auch eine Zentralkoordination und hat auch dieses Zentrum.
Und das gilt dann für Tau beziehungsweise Tau Stern,
die Fortsetzung von Tau. Genau, das heißt,
implizit hatten wir diese Sache bei uns letztes Mal schon dabei,
nur, ich habe vergessen, das hinzuschreiben und dann nochmal das zu betonen.
Ich möchte hier noch ein bisschen bleiben und ein paar Sachen aufzeichnen,
die jetzt nicht im Skript stehen,
sozusagen um die Anschauung nochmal ein bisschen hier ins Spiel kommen zu lassen.
Ich mache eine Skizze von der genau unserer Situation nochmal in
der Anschauungsebene
Also in AG, CR, Kongruent und wenn sie wollen,
können sie statt C auch den R hoch 2 sich vorstellen,
genau wie eben. Die geben zwei Parallele geraden,
die und H. Und wie möchte ich mal anfangen?
Ich möchte erstmal noch gar nicht Vektoren hier aufmalen,
das mache ich auch gleich noch,
aber ich fange vielleicht erstmal so wie eben in meiner Skizze
auch hier nochmal an,
indem ich gucke,
wohin wird ein Punkt P abgebildet
Wenn ich mir hier einen Punkt P rauswähle,
dann ist ja die Verbindungsgrade von P und Haarschlange von P,
ist ja dann orthogonal zu Haar.
Ha, ist die Mittelsenkrechte, kann man auch sagen,
von P und Haarschlange von P.
Das ist der erste Schritt. Und hintergeschaltet wird dann Gehschlange,
also auf diesen Punkt hier wird jetzt Gehschlange angewendet.
Das heißt, hier sind wir jetzt bei G-Schlange,
Kringel,
Haarschlange von
Und wenn Sie jetzt genau hinschauen, haben wir ja jeweils Bewegungen.
Und das heißt, diese Strecke und diese Strecke,
die beiden roten Teilstrecken sind gleich lang und analog sind auch
diese grüne Strecke und diese grüne Teilstrecke jeweils gleich lang hier in der Mitte,
wo die beiden Teilstrecken zusammenstoßen, haben wir den Schnittpunkt.
Das ist der Mittelpunkt zwischen Punkt und Bildpunkt. Im Reellen existiert der,
weil die orthogonale gerade auf jeden Fall nicht parallel zur gerade
G bzw. H ist und wir deshalb den Mittelpunkt haben.
Und wir könnten den auch ausrechnen. Und wir sehen jetzt also,
dass unser Tau in Richtung L, jetzt in diese Richtung, anschaulich gesprochen,
wirkt und zwar haben wir hier als Abstand zwischen P und Tau von P,
haben wir hier zweimal den Abstand zwischen dem roten und dem grünen Punkt,
also dem Abstand zwischen den beiden Graden.
Das ist ja, wenn ich das hier nochmal neu einzeichnen würde,
hier auch orthogonal zeichne, ist das das,
was man den Abstand zwar ja geraden nennt,
weil man da ja auch das orthogonal misst und der Gesamtabstand
von P und 2 Tauf von P ist eben zweimal dieser Abstand.
Das ist völlig analog zu dem, was wir neulich gehabt haben,
wo wir zwei schneidende Graden gehen und teilnehmen.
Und dann haben wir eine Drehung, um zweimal den Winkel.
Hier haben wir eine Translation, um zweimal diesen Abstand oder
diesen Abstandswektor genauer gesagt auch.
Ich würde das jetzt noch mal mit Vektoren hier mit ein paar Buchstaben belegen.
Wenn wir hier vielleicht G als A plus B
uns vorstellen und hier könnte dann A sein.
Und hier ist vielleicht der Richtungswektor B. Und H hat dann
den gleichen Richtungswektor
Wäre C plus BR. Und als C möchte ich gerne
diesen hier nehmen. Also den Lotfußpunkt,
wenn ich hier das Lot aus A fälle, auf Haar.
Ich könnte natürlich auch einen anderen nehmen, aber ich möchte
das gerne so machen, dass dann der Differenzwektor.
Hier haben wir die gerade L. Oder eine mögliche orthomonale Grade L,
dass dann der Differenzwektor gerade als Richtungswektor für L genommen werden kann.
Also ich könnte L jetzt schreiben als C plus D mal
R, wo D eben dieser Vektor hier ist
Das wäre D, also von D wäre gleich arminus C.
Und der steht senkrecht auf B. Also so möchte ich das gerne machen,
so kann man es auch machen. Und dann ist Tau,
wie wir gerade uns überlegt haben und wie man auch rechnerisch nochmal
sich ausrechnen kann, aber wie ich anhand der Skizze,
denke ich, klar ist.
Tau ist dann die Abbildung X, geht über nach X
plus D. Also der Vektor D, Entschuldigung,
plus 2D. Das Doppelte vom Vektor D wird an jeden
Punkt drangehängt
Genau, so könnte man das schreiben und wir erhalten also die Translation mit dem Verschiebungsvektor 2D,
wenn die ein Vektor ist,
dessen Länge genau der Abstand von G und H angibt und der eben auch orthogonal zu dem Richtungsvektor von H beziehungsweise G verläuft,
zu dem jetzt hier gewählten B,
aber das ist ja unabhängig davon, welches B ich nehme.
Und zwei Sachen möchte ich jetzt hier dazu noch sagen.
Erstmal möchte ich sagen, Das hier,
das kann man auch allgemein sagen oder ich sage noch mal,
was das bedeutet, überhaupt zwei Vektoren stehen orthogonal. Also hier gilt für beliebige Viktoren,
zieh und D und B in Hoch 2,
die orthogonal zu B, genau dann,
wenn das Skalarprodukt null ist,
also wenn die ein B1 plus D2 B2 gleich null und das können wir auch mit unserer Terminologie,
wenn wir jetzt den R hoch 2 wieder identifizieren,
ziehe, wenn wir alles lieber als komplexe Zahlen aufschreiben,
könnte man das auch schreiben als DB quer plus die Querbi gleich null.
Wer möge, wer macht, kann sich das überlegen.
Und das ist das Gleiche, was weiter vorne im Skript
BQ von D, Komma B gleich null beschrieben wurde.
BQ, die Billinearform, die zur quadratischen Form Kuh gehört.
Also das steht in 6, 3,
2. Das hatte ich damals auch in dem Video hergeleitet,
dass dieses BQ von D, Komma B,
damals habe ich es wahrscheinlich X und Y genannt,
genau zweimal das gewöhnliche Skalarprodukt ist
Und genau, das heißt, Orthogonalität von Vektoren und damit auch Orthogonalität von Graden.
Zwei Graden sind dann orthogonal, wenn ihre Richtungsvektoren orthogonal sind,
können wir mit diesem BQ beschreiben, BQ von den beiden Vektoren ist null.
Und das gilt auch allgemein. Gilt auch in AGIK, Komma-Konkurrent. Also wenn wir statt komplexere Elle zahlen,
eine beliebige, separable quadratische Körpererweiterung nehmen,
dann haben wir auch die orthogonals oder ich schreibe es vielleicht lieber mit Graden,
A plus BK, orthogonal zu C plus DK,
genau, Orthogonalität von Graden haben wir ja definiert,
genau dann, wenn für die Richtungsvektoren B und D,
das sind dann Elemente aus E ohne Null,
wenn für die BQ von B und D gleich Null ist.
Das könnte man beweisen, das ist sehr aufwendig,
also relativ aufwendig zu rechnen,
einen kleinen Teil davon habe ich aufs nächste Übungsblatt mitgestellt.
Also das war einmal so ein kleiner Exkurs hier zur Orthogonalität und
Beschreibung mit diesem BQ in allen hyklidischen Ebenen über separat einen quadratischen Körpererweiterung.
Jetzt komme ich aber nochmal zurück zu unserem Satz und möchte schon mal ankündigen,
dass ich, dass auch eine Umkehrung gilt von diesem Satz.
Es gilt auch eine Umkehrung. Dieses Satzes,
jede Translation ist darstellbar
Als Gehschlangekringel, Haarschlange für zwei Parallele geraten, die und Haar.
Also im Moment wissen wir nur, wenn wir zwei Parallele
geraden haben, dann ist die Hintereinanderausführung mit Translation.
Es wird sich im nächsten Satz 6,23 zeigen,
es steht da nicht so ganz explizit drin,
aber ich werde dann nochmal wieder drauf liegen,
das zu betonen,
dass sich jede Translation in einer beliebigen eukletischen Ebene als Hintereinanderausführung
von zwei solchen Geradenspiegelungen an Parallelen graden ergibt
Und sogar noch mehr. Es existieren alle solchen Translationen.
Also jeden Punkt kann ich auf jeden anderen mit einer Translation abbilden.
Das heißt, unsere Ebene ist eine Translationsebene. Ich möchte das hier
noch mal kurz für die Reelle-Ebene schon mal plausibel machen,
dass jede Translation sich so darstellen lässt,
also sozusagen dieses Bild umzukehren, dass das möglich ist,
dann nehmen wir die Translation tau,
X geht über nach X plus A,
schreibe ich jetzt mal mit für irgendeinen War aus C. Wir sind jetzt wieder hier in unserer Anschauungsebene.
Und wie kann ich jetzt die beiden Graden konstruieren?
Also ich male hier nochmal hin, meine Ebene.
Und A ist eine komplexe Zahl. Also sie wollen auch
ein Vektor. A. Nicht der Nullvektor, sonst wäre es
langweilig und uninteressant. Dann nehme ich einfach irgendeine Grade,
geh zweimal, geh Schlange, kriegen wir Gehschlange.
Das wäre dann die Identität. Und wie wir hier oben gesehen haben,
bei unserer Konstruktion kam ja die Translation 2D raus.
Das heißt, es muss jetzt irgendwie A,
muss ich schreiben lassen, als zweit, als 2D,
also die Hälfte von A, wird irgendwie eine Rolle spielen.
Und mein Vorschlag, wie man jetzt vorzugehen hat,
ist, man fällt jetzt hier wieder das Lot.
So A, ist ja dann die Translationsrichtung. Das,
was hier L war, wenn ich plus A immer rechne.
Und das heißt, ich fehle jetzt hier das Lot,
vielleicht am einfachsten hier im Nullpunkt.
Also die geraden G und H, die man dann findet,
mit denen man die Translation darstellt, die sind nicht eindeutig.
Da gibt es viele Möglichkeiten. Ich würde jetzt als gerade,
jetzt mal kurz auf meinen Spickzettel gucken,
damit ich sehe, wie ich das am besten mache.
Diese gerade würde ich haar nennen. Und dann
würde ich jetzt hier in die Mitte bei A halbe,
hier ist A halbe, da würde ich gehen liegen,
parallel zu haben.
Beide eben senkrecht, zu dem schwarzen Vektor.
Und jetzt machen wir uns einmal kurz klar, warum ist das jetzt Behauptung?
Tau ist gleich die Schlange, Kringel, Haarschlange.
Wir wissen schon, geh Schlange, Kringel,
Haarschlange ist eine Translation
Chao ist auch eine Translation. Das heißt, wir müssen eigentlich
nur noch gucken, dass ein Punkt richtig abgebildet wird.
Wir müssen das gar nicht mehr für alle Punkte machen und wir nehmen mal den Nullpunkt.
Das ist das Einfachste, wenn ich den mit Haarschlange abbilde,
bleibt er fest, weil er auf Haar drauf liegt.
Und wenn ich ihn dann mit Gehschlange abbilde und gehe hier durch den Mittelpunkt dieser Strecke,
dann ist klar, dass hier die Schlange,
Kringelhaarschlange von Null liegt und das ist das Gleiche wie Tau von Null.
Denn Tau von Null ist auch A. Und damit sind sie gleich,
eine Translation oder jede Zentralkoordination, Zentrum und Achse festgegeben,
ist durch einen einzigen Punkt und seinen Bildpunkt bestimmt,
und das ist ja auch der Fall,
und deshalb müssen diese beiden Abbildungen gleich sein.
Und das wird dann im nächsten Video und im nächsten Satz
in dem Beweis dieser Umkehrung verwendet.
Genau, und damit ende ich hier erstmal für heute
und danke für die Aufmerksamkeit