Herzlich willkommen, in diesem Video möchte ich den Satz beweisen,
den ich im letzten Video schon angekündigt hatte.
6, 22, der besagt, bin ich zwei Gradenspiegelungen
an Parallelengraden hintereinander ausführe, kommt eine Translation raus.
Geh parallel H in einer beliebigen äutledischen Ebene,
dann folgt die Schlange, Kringel,
Haarschlange,
ist Translation
Vielleicht sage ich, bevor ich mit dem Beweis anfange,
nochmal, was wir eigentlich genau unter einer Translation verstehen.
Meistens kennen wir Translationen in Ebenen über Körpern.
Dann ist das die Abbildung X,
geht über nach X plus A für ein Vektor A,
aber wir haben Translationen auch in beliebigen, affinen Ebenen definiert.
Man könnte es definieren als eine Delatation,
die entweder die Identität ist oder fixpunktfrei ist.
Man könnte es auch definieren, indem wir sagen,
die Fortsetzung aufs Projektive ist eine Elation mit Achse
gleich fern gerade
So, das nochmal zur Erinnerung. Ich schreibe auch gleich hin,
welche Art und Weise ich jetzt, was ich hier genau beweisen möchte.
Also auch mit welcher Definition von Translation ich sozusagen arbeite.
Und ich führe als Mann Buchstaben ein, ich nenne die Abbildung Tau.
Das ist ja der Buchstabe, den wir oft für Translationen verwendet haben.
Und ich möchte jetzt also zeigen, dass dieses Tau tatsächlich eine Translation ist.
Im ersten Fall, dass G gleich Haar ist,
dann sind wir fertig, dann ist Tau die Identität.
Und das ist eine Translation. Im zweiten Fall,
das G ungleich Haar ist, Gucken wir erstmal als Kleine vorab.
Informationen, was wir da rauskriegen können.
Wir haben ja G, es parallel zu nah als Voraussetzung.
Jetzt ist G auch gleichzeitig ungleich rar.
Das bedeutet also, G geschnitten Haar ist die leere Menge.
Ist nicht die leere. G geschnitten Haar ist die leere
Menge. Sie sind ja parallel, aber nicht gleich.
Da ist die Schnittmenge leer. Und dann hatten wir den
Satz 6, 9, 1 über Fixpunkte von Bewegungen.
Und wenn dieses Tau eine Bewegung, es ist ja eine Bewegung,
Wenn dieses Tau, Geh, Schlange, Kringel,
Haarschlange einen Fixpunkt hätte, hat diese Aussage gesagt,
dass dann entweder Geh gleich Haar ist.
Das ist ja nicht der Fall oder das ist genau
einen Fixpunkt gibt und es wäre der Schnittpunkt.
Den gibt es hier nicht. Das heißt, mit 6,
19, 1 folgt das Tau hat keine Fixpunkte.
Es bleibt also zu zeigen, Tau ist die Latation
Denn eine fixpunktfreie Delatation ist eine Translation. Eine Translation ist eine Delatation,
die entweder die Identität ist, den Fall haben wir hier oben schon,
oder eine Delatation, die keine Fixpunkte hat.
Also das muss sich zeigen, und das möchte ich jetzt
aber doch mit dem Umweg oder dem Hilfsmittel des Projektiven Abschlusses zeigen,
das kann ich nämlich auch umformulieren, zu tauschstern, hat AXEF.
Und dazu möchte ich bemerken,
dass im Moment überhaupt nicht klar ist,
dass Tauschstern überhaupt eine Zentralkollination ist,
dass die TITA-Sterne überhaupt
eine Achse hat
Sie eine Achse hat, dann muss es natürlich F sein,
weil Punkte im Affinen sind ja keine Fixpunkte,
aber wir wissen überhaupt noch nicht, dass eine Zentralkollination vorliegt.
Vielleicht hätte ich ja besser schreiben sollen Tauschstern,
schreibe ich hier vielleicht nochmal zu.
Ist zentral kolliniation mit Achse F. Das wollen wir zeigen,
Tauschstern ist zentral kollination mit Achse F. Wir zeigen eigentlich nur,
dass sie Zentralkollination ist, dass die Achse dann F ist,
ist dann klar, wie ich gerade eben schon gesagt habe.
Andere Garten kommen als Achse nicht in Frage,
weil im Affinen
keine Fixpunkte vorliegen
Ja. Also, zeige, tauschstern ist zentral Koordination,
dann muss F die Achse sein, die Ferngrade muss die Achse sein.
Und das werden wir aber nicht direkt zeigen,
sondern die zeigen stattdessen, dass tauschstern ein Zentrum hat.
Und dann ist sie ja auch Zentralkoordination. So,
wir zeigen, dass tauschstern Ein Zentrum, die sitzt.
Und ich mache jetzt mal an dieser Stelle eine Skizze.
Hier haben wir unsere beiden Graden G und H,
die verschieden und parallel sind. Und wir wählen jetzt ein Lot,
also keine orthogonale Grade L, orthogonal zu G. Wie gibt es?
Man kann das Lot fällen aus Punkten außerhalb von G,
also eine solche Grade L gibt es,
die hier orthogonal ist zu G. Und dann haben wir
zwei Sachen im letzten Video
Erkannt, die ich jetzt beide im Folgenden brauchen werde,
und zwar erstens, dass die Parallelklasse von L ist das Zentrum von Gehschlangestern.
Geh Schlange, Stern ist die Fortsetzung von Gehschlange,
die hat G bzw. G vereinigt mit ihrem Fernpunkt als Achse,
muss also ein Zentrum haben,
das Zentrum muss ein Fernpunkt sein und das haben wir erkannt
letztes Mal als Fernpunkt von Diese orthogonalen Grade L.
Außerdem haben wir dieses Lämmer 6,20 gehabt.
Das war sozusagen im Vorgeplänkel vor 26 habe ich das bewiesen.
Im Lämmer 6,20 haben wir gehabt, dass zwei Möglichkeiten dann bestehen können,
wie H und L zueinander liegen.
Nämlich H ist auch orthogonal zu L oder H ist gleich L.
Das können wir im Moment nicht ausschließen. So,
und ich möchte jetzt herleiten, was im Skript sozusagen direkt
Dass L in eckigen Klammern auch Zentrum von Haarschlange ist.
Das möchte ich von Haarschlange sterben ist. Das möchte ich
gerne herleiten. In diesem Fall ist das klar.
In diesem Fall ist das klar, das scheide ich hier
schon mal hin. Elschlange, El in eckigen Klammern.
Ich schreibe es nochmal sauber. El in eckigen Klammern ist
Zentrum von Haarschlangestern. Also in dem ersten Fall ist das
völlig analog hier
G und El Orthogonalsien, dann ist El in eckigen Klammern Schlange
Zentrum von G-Schlange Sternen. Wenn H und L orthogonal ist,
dann ist El in eckigen Klammern von Zentrum von Haarschlange Sternen.
Das ist also richtig. Ich möchte jetzt aber begründen,
warum das auch in diesem Fall geht. Und das mache
ich vielleicht auf dem, warten Sie mal, kurz überlegen,
wie ich das am besten hier noch aufs Blatt raufkriege,
damit Sie alles sehen, was ich habe.
Ich benutze mal eine andere Farbe und möchte gerne zwei Sachen hier nochmal bemerken,
nämlich wegen der Symmetrie, von der Ofthogonalitätsrelation,
gilt völlig analog, auch das G in eckigen Klammern.
Zentrum von El-Schlange-Stern ist. Ja. Und jetzt gucken wir uns
den Fall H gleich El an. Im Fall H gleich
El ist El-Schlange-Stern dasselbe wie Haarschlange-Stern. Also in diesem Fall
könnte ich hier, ich mache das mal in Grün,
in diesem Fall könnte ich hier El-Schlange sterben.
Nee, das brauche ich gar nicht, sorry.
Aber hier dieses El-Schlange-Stern wäre in diesem Fall dasselbe wie Haarschlange sterben und gehe in eckigen Klammern,
ist aber in diesem Fall, diesem Fall ist G im eckigen Klammern.
Nur in diesem Fall, nicht allgemein. Also falls H gleich L gilt,
weil ja G nach Generalvoraussetzung parallel zu Haar ist,
wenn jetzt Haar gleich L ist,
dann ist G also parallel zu L,
dann ist also G in eckigen Klammern dasselbe wie L in eckigen Klammern.
Und wir haben in diesem Fall das L in eckigen Klammern,
Zentrum von El Schlange Stern,
gleich Haar Schlange Stern ist,
wenn L gleich Haar ist
Das heißt, auch in diesem Fall gilt diese Aussage.
In beiden Fällen ist El in eckigen Klammern Zentrum von Haarschlangesternen.
Ich schreibe das jetzt nochmal raus, was wir jetzt wissen.
Auf jeden Fall, stets gilt El in eckigen Klammern,
ist stets, also in der Situation,
wo wir sind, das gehe ungleich haar ist.
Zentrum von Gehschlangesternen und Haarschlangesternen. Ganz egal, ob ich
hier in der Situation H orthogonal El bin oder in der Situation H Gleichel.
In beiden Fällen ist L in eckigen Klammern Zentrum von diesen
beiden Abbildungen. Und jetzt gilt eine allgemeine Sache,
die möchte ich hier nochmal in so einem Kästchen schreiben.
Das nämlich für beliebige Zentralkollinationen. Folgendes gilt,
wenn Z, Zentrum von Alpha und Better ist,
für irgendwelche Kollinationen, Alpha und Better,
dann ist Z auch Zentrum
Von Alpha Kringelwetter. Das gilt für beliebige Koordinationen,
projektiver Ebenen. AlphabetterInnen, Outpee. So, warum ist
das so? Zentrum heißt, jede gerade durch diesen Punkt
Z ist fix gerade. Wir nehmen also eine gerade,
die, oder nennen wir sie mal, ja,
ich nenne sie trotzdem jetzt G,
hat nichts mit dem Geh von oben zu tun.
Wir nehmen eine Garde G durch Z,
die ist nach Voraussetzung fix gerade von Wetter,
wird also, wenn ich Better anwende,
Also auf sich selbst abgebildet, wenn ich dann hinterher Alpha anwende,
nach Voraussetzung ist sie auch fix gerade von Alpha,
wird sie also weiterhin festgelassen.
Das heißt, sie wird auch von Alpha Kringelbetter festgelassen.
Und das gilt für jede gerade, die durch Z geht
und dementsprechend ist Z, also Zentrum von der Hintereinanderausführung.
Und das gilt jetzt auch in unserer Situation von hier oben,
statt Z haben wir L in der Gegenklammern.
Und der ist sowohl von dieser als auch von dieser Koordination das Zentrum.
Dann gilt also nach dieser Bemerkung auch L in eckigen Klammern ist Zentrum von
Die Schlange, Stern, Kringel, Haarschlange, Stern.
Das ist jetzt aber dasselbe, wie G-Schlange, Kringel,
Haarschlange, Stern. Im Skript wird da die Aussage 514 erwähnt,
die besagt, das Sternchen ist ein Gruppenhomoorfismus,
also kann ich mit Kringeln sozusagen vertauschen.
Ist egal, ob ich erst die Abbildung verkette und
dann fortsetze oder umgekehrt. Und dies ist aber Tauschstern.
Weil Gehschlange kriegen, Haarstange war ja taub.
Das heißt, wir haben jetzt L ineckigen Klammern,
ist Zentrum von Tauschstern
Und das wollten wir zeigen. Wir wollten zeigen, das
tauscht dann ein Zentrum besitzt. Das haben wir jetzt,
nämlich dieses L in eckigen Klammern. Das heißt,
tausch deren ist Zentralkoordination, hat ein Zentrum, ist Zentralkoordination und als Achse,
wie schon mehrfach gesagt, muss sie die Ferngrade haben.
Und damit ist Tauschstern eine Elation und damit Tau eine Delatation.
Und das war das, was wir zeigen wollten.
Und sogar eine Translation, also eine Dilatation, deren Fortsetzung ist,
ist automatisch eine Translation. Also das liegt daran,
ist das Zentrum hier ein Fernpunkt ist, das musste ja aber so sein,
weil Tau selber auf der affinen Ebene keine Fixpunkte hat.
Und damit ist der Beweis abgeschlossen. Wir haben also,
dass eine Translation vorliegt. Und damit beende ich
auch dieses Video und diese Woche und danke für die Aufmerksamkeit