Herzlich willkommen. Ich mache weiter, knüpfe an an den Begriff der Drehung,
der letztes Mal vorkam. Drehung ist eine Hintereinanderausführung von zwei Gradenspiegelungen,
die einen Fixpunkt hat, könnte ich sagen,
oder auch, das war unser Lämmer vom letzten Mal,
wenn gilt, geh,
ist gleich haar oder geh und haben einen eindeutigen Schnittpunkt,
also geh ist nicht
parallel zu haben
Jetzt möchte ich den Fall studieren, dass geh
parallel ist zu haben. In dem Fall geh gleicher,
bin ich im Fall einer Drehung,
dann hätten wir aber die Identität, das ist der uninteressante Fall.
Generell gilt, wenn geh parallel zu haar ist,
dann ist die Hintereinanderausführung der beiden Gradenspiegelungen eine Translation.
Das ist unser Ziel, das ist 6, 22.
Das wird im nächsten Video bewiesen werden und um
das zu beweisen, müssen wir ein paar Vorüberlegungen anstellen
Und zwar geht die Vorüberlegung jetzt in die Richtung,
dass wir den projektiven Abschluss benutzen und diese Begriffe wie Zentralkoordinationszentrum und Achse und Ähnliches.
Und genau, dazu gucken wir eine geraden Spiegelung an und
ich nenne sie jetzt L-Schlange.
Dann kommt das mit dem nächsten Lämmer, passt es besser hin.
Im Skript ist das mit anderen Bezeichnungen, mit Gehschlange formuliert.
Ich möchte jetzt trotzdem L-Schlange schreiben, also eine geraden Spiegelung
an der geraden L. Das ist natürlich eine Bewegung und deshalb
ist das auch eine Koordination der affinen Ebene
Die affine Ebene ist eh Komma G. Die unserer äukledischen Ebene
zugrunde liegt. Und diese Koordination von der affinen Ebene kann ich
auch fortsetzen auf die projektive Ebene, auf den projektiven Abschluss,
El Schlange, Stern, ist dann ein Automaufismus von Pi.
Venpi, der projektive Abschluss von A ist,
und den schreibe ich nochmal hin,
als E vereinigt F, also affine Punkte vereinigt,
Fernpunkte und die geraden Menge nenne ich G-Strich
Und es gilt jetzt, das gilt für jede Bewegung,
würde das gelten, aber wir gucken uns speziell den Fall an,
dass wir eine Grabenspiegelung haben.
Dieses El Schlange ist eine Achsenaffinität im Sinne des Kapitels 5.
Also eine Koordination der affinen Ebene mit einer Achse,
nämlich eine Achse L. Weil Elblatt punktweise fest ist, eine Fixpunktgrade.
Und dann, wenn ich das dann projektiv fortsetze,
El Schlange Stern hat dann auch eine Achse,
nämlich El Strich würde ich das nennen,
und ist in dem Sinne eine Zentralkoordination.
Mit Achse Ein Strich, das ist elf vereinigt mit ihrem
Fernpunkt. Und was wissen wir jetzt über das Zentrum?
Von dieser Zentralkoordination, das Zentrum Set von Schlangestern liegt auf F.
Auf der Ferngraben F, denn ich begründe das nochmal,
das war so ein allgemeiner Satz, den wir damals auch schon mal hatten.
Ich schreibe hier die Begründung nochmal hin,
weil wir die gleich dann nochmal anwenden werden.
Es gilt, F ist verschieden von der Axel-Strich,
aber F ist natürlich fest, wenn ich die Abwehrung anwende.
Das ist eine Fixgrade. Weil Elchlange, Stern eh permutiert,
muss F auf F gehen. Andere Möglichkeit gibt es nicht. Das heißt,
wir haben eine Grade der projektiven Ebene,
die nicht die Achse ist, aber eine Fixgrade,
unsere Zentralkoordination, dann folgt es, das Zentrum auf dieser Grade liegt.
Das ist immer so, weil fix gerade ist entweder
die Achse oder geht durchs Zentrum.
Genau, und jetzt gucke ich, was eine andere
Sache an
Und zwar sei jetzt G eine Grade meiner affinen Ebene,
meiner euklidischen Ebene, die orthogonal issuell.
Dann erinnere ich nochmal an die Definition von Orthogonal,
dann ist nämlich elf verschieden von G.
Das war die Definition oder eine der möglichen Definitionen und Elf
Schlange von G gleich G. Und das könnte ich jetzt auch schreiben,
dass dann auch die Strich, die Fortsetzung Gehe vereinigt mit ihrem Fernpunkt,
verschieden ist von Elstrich und Elstlange Stern.
Von G-Strich gleich gleich die Strich. Das heißt,
für G-Strich gilt genau dasselbe, was hier oben für F gegolten hat.
Und das heißt, wie oben kann ich schließen,
dass das Zentrum auch auf G-Strich liegt.
Und jetzt wissen wir, das Zentrum ist ein Fernpunkt und
das Zentrum liegt auf G-Strich für diese nach Voraussetzung,
zu Elorthogonale gerade.
Und wir kriegen raus, das Zentrum muss dann sein
F, geschnitten, gehstrich, und das ist der Fernpunkt von G. Und das gilt jetzt für jede,
gerade die orthogonal ist zu L. Das heißt, insbesondere,
gilt Folgendes,
wenn erstens georthogonal zu L und zweitens auch noch haarorthogonal zu L,
dann muss, dann ist G in eckigen Klammern das Zentrum,
aber völlig analog ist auch Haar in eckigen Klammern das Zentrum,
dann muss also G in eckigen Klammern gleich Haar in eckigen Klammern sein,
Also, geh parallel zu haben.
Das merken wir uns mal kurz. Geh orthogonal zu L,
H orthogonal zu L, dann folgt geh parallel zu Haar.
Das ist nämlich schon eine der beiden Richtungen des nun folgenden Lämmers.
Dilemma 6,20. Muss das sein, zunächst mal geh Haar und L
beliebige Graben und georthogonal zu L sei Voraussetzung. Dann gilt,
Wenn Haar orthogonal zu Ellis ist, ich schreibe es erstmal so,
das ist gleich eine genau dann, wenn auch sage,
ich schreibe erstmal die eine Richtung hin,
wenn Haar orthogonal zu Ell ist,
dann hatten wir eben gerade gesehen,
dass dann Haar parallel sein muss zu gehen und aus Ort Definition von Orthogonalität folgt auch noch das Haar auch ungleich Ellis.
So, also das haben wir schon bewiesen.
Die Slammer gesagt jetzt aber,
es gilt auch die Umkehrung und diese Richtung von rechts nach links,
die werde ich gleich noch beweisen.
Ich mache nochmal
eine Skizze
Generalvoraussetzungen, geh orthogonal zu L. Dann gilt haarorthogonal zu L.
Dann ist auch Haar parallel zu gehen. Und nach Definition von orthogonal,
auch Haar ungleich L. Das heißt, wie eben schon gesagt,
diese Richtung gilt und die ist auch anschaulich plausibel und wir gucken
uns jetzt die Rückrichtung an, bevor wir das tun,
möchte ich noch eine Bemerkung hier mit einer anderen Farbe mal hinschreiben.
Also ein Hinweis, bevor ich die Rückrichtung beweise,
möchte ich einen Hinweis geben. Man denkt vielleicht, Wir
haben hier folgendes. Hier ist ja Haar, Parallel G vorausgesetzt.
In die Zeichnung suggeriert das dann trivialerweise Haarungleich L ist.
Aber das ist nur ein Druckschluss aus dem Bild.
Also aus Haar, Parallel G folgt nicht automatisch,
wie man vielleicht denken könnte und wie ich auch immer wieder reinfalle und denke,
folgt nicht automatisch Haarungleich L. Ausrufezeichen. Es kommt vor,
und das werde ich Ihnen auf den nächsten Zettel gleich noch erläutern,
Das, so wie bei uns, Haargleichel ist, und nach Voraussetzung,
geh orthogonal zu ell gleich Haar ist und gleichzeitig Paar par parallel zu geh ist.
Also geh orthogonal zu Haar,
das ist ja mein Bild jetzt nicht drin,
und geh parallel, und geh parallel zu Haar,
dass das beides vorkommen kann.
Das ist möglich. Und das werden wir gleich in
einem Beispiel sehen. Also geh orthogonal zu Haar und gleichzeitig
gehe parallel zu Haar,
dass das möglich ist
Und sozusagen deshalb ist dieses Haar ungleich ell hier eine zwingende Voraussetzung.
Die ist nicht unter unseren Generalvoraussetzungen hier impliziert aus,
also wenn geortogonal zu ell ist,
dann ist das nicht impliziert, aus Haarparallel zu gehen.
Das suggeriert zwar das Bild, aber das ist nicht wirklich
der Fall. Das kommt auf den nächsten Zettel,
den ich gleich Ihnen noch erläutern werde,
also auf einen weiteren Bestandteil dieses Videos.
Ich muss jetzt aber diese Rückrichtung noch beweisen.
Die geht eigentlich genauso wie die Hinrichtung,
die ich vor dem Lämmer eben Ihnen gerade bewiesen habe.
Also sei jetzt
diese Seite erfüllt
Haar, Parallelgie. Und ungleich älter, sei erfüllt.
Außerdem natürlich nach Voraussetzung, die orthogonal zu ell, dann folgt.
Nein, es ist zu zeigen, zu zeigen, Haar orthogonal zu ell.
Das besteht aus zwei Bestandteilen. Erster Bestandteil ist H-Ungleich-L,
das ist nach Voraussetzung gültig und zweiter Bestandteil ist,
dass Schlange von Haar Gleich Haar ist.
Und warum ist das so? Da machen wir jetzt nochmal
Bezug auf das, was wir eben gemacht haben.
Wegen georthogonal zu L ist G in eckigen Klammern das Zentrum von El Schlangescheren.
Das haben wir eben hier geleitet. Und weil jetzt nach
unserer Voraussetzung hier Haar parallel G ist, ist das auch Haar ineckigen Klammern.
Also Haar in, ich schreibe es hier nochmal hin,
Haar in eckigen Klammern, gleich Zentrum Hellschlange, Stern. Daraus folgt,
dass diese gerade H-Strich geht durch das Zentrum, Haarstrich,
gleich Haar vereinigt, Haar in eckigen Klammern,
geht durch das Zentrum, ist also fix gerade,
von Hellschlange, Stern, also El Schlange,
Stern angewendet auf diese gerade, ist wieder diese gerade und da muss insbesondere,
wenn ich nur den affinen Teil angucke oder die Einschränkung aufs Affine,
ist dann El Schlange von H gleich Haar
Und das ist das, was wir haben wollten.
Und damit ist dieser Beweis abgeschlossen. Und jetzt komme ich auf dem nächsten Zettel,
den ich Ihnen jetzt hier noch präsentiere, auf diese Sache zurück.
Dass es also Graden gibt oder geben kann,
die sowohl orthogonal zueinander sind als auch parallel zueinander.
Also das war sechs, 21, Bemerkung wird es
wahrscheinlich im Skript heißen.
Es kann folgendes vorkommen
Geh ist orthogonal, zu haar und gleichzeitig, die ist
parallel zu haar. Und zwar in einer affinen Ebene.
Ich mache ein konkretes Beispiel, AG, EK,
Komma, Kongruent. Und zwar klappt das nur,
wenn die Charakteristik von K gleich zwei ist.
Also generell in der Geometrie, wenn sie irgendwelche außergewöhnlichen Phänomene haben,
wird das meistens in Charakteristik 2 passieren.
Ich male dir mal die Skizze von unserem E, unserer Punktmenge.
Da habe ich hier null, hier habe ich eins,
die Verbindungsgrade von 0 und 1
ist der kleine Körper
Hier habe ich vielleicht eins, das hieß oftmals Alpha.
Und hier habe ich irgendeinen Punkt. Und ich möchte jetzt sagen,
diese gerade nehme ich als die, an der ich spiegele.
K-Schlange von X ist X quer, behaupte ich.
Hier X ist es hier X quer. Ich mache hier
so eine Skizze, denn es ist stets 0-1
X Kongruent zu 0-1 X quer. Und dann Wenn das gilt,
für alle Punkte X, dann ist das die Abbildung,
Karschlange, weil der ist eindeutig bestimmte X,
wenn X nicht in Karl liegt, dass diese Eigenschaft hat,
das hieß früher X Strich und das ist das Spiegelbild an der Verbindungsgrad von 0-1,
also hier an K,
X Quer und X und wie begründet man das?
Da muss man diese Kuhwerte ausrechnen,
Kuh von X minus 0,
also Kuh von X
ist gleich Kuh von X Quer
Das ist klar, das ist x-mal x quer,
das ist x-quer, mal x quer quer und entsprechend kuh
von 1 minus x ist kuh von 1 minus x quer,
das kann man sich entsprechend ebenso leicht überlegen.
Also deshalb gilt das, die Spiegelung an K ist das Konjugieren,
genau wie im reellen Fall, da ist das ja auch so,
die Grabenspiegelung an der reellen Achse ist das komplexe Konjugieren.
Und warum machen wir das? Wir sehen dann die Punkte,
die nenne ich jetzt mal um und nenne die hier B
und B quer, weil die im Skript so heißen.
Ich zeichne auch noch hier die Verbindungsgrade von B und B
quer ein
Die nenne ich mal G, dann gilt Karschlange von G,
ist, also G ist die Verbindungswahl, Baby quer,
wie ist nicht auf K, das heißt bequest von K verschieden.
Ich kannte die Verbindungsgrade bilden, die,
wenn ich jetzt an Karschlange an K spiegele,
geht B, B, quer über in B,
quer B, also wieder in G,
das heißt G ist orthogonal zu K und ich möchte jetzt zeigen,
dass außerdem G parallel zu K ist.
Aber auch parallel zu kam. Und bis hierhin gilt alles,
unabhängig von der Charakteristik, das gehe aber auch parallel
zu K ist, das gilt nur in Charakteristik 2.
Was ist nämlich G? Gehe ist die Verbindungsgrade von B und B quer,
die könnte ich also schreiben als B plus B-quer, mal K.
Und jetzt sind wir in Charakteristik 2. Das heißt,
Minus ist dasselbe wie Plus wie Plus B quer,
mal K, B plus B plus B
quer mal
Und B plus B quer, das ist stets ein Körperelement
vom kleinen Körper. Das ist ein Fix-Element unter quer.
Das heißt, ich habe hier B plus K.
Ich kann dieses B plus B quer in K reinziehen.
Ich habe hier B plus K, was natürlich parallel zu K ist.
Das heißt, meine Skizze ist eigentlich falsch.
Diese gerade G, die läuft parallel zu K durch B.
Und das B quer muss ich auch irgendwo hier oben hinmalen.
Vielleicht. Also je nach welche Vorstellung man lieber durch
das Bild in den Vordergrund rücken wählt. Also sozusagen anschaulich
kaum vorstellbar. Aber hier haben wir zwei Graden,
die sowohl rottogonal als auch parallel zueinander sind.
Und damit beende ich dieses Video und danke für die Aufmerksamkeit