Herzlich willkommen zu diesem nächsten Video. Wir gucken uns jetzt
die noch fehlenden Teilaufsagen 1 und 2 von dem Lämmer 6,19 an.
Da geht es um die Hintereinanderausführung von Gradenspiegelungen.
Und die erste Aussage sagt, wenn a. ein Fixpunkt ist,
der hintereinander Ausführung geh, Schlange, Kringel, Haarschlange,
dann gibt es nur zwei Möglichkeiten.
Entweder ist a. der Schnittpunkt von G und H. Und wenn ich das hinschreibe,
dann meine ich damit implizit G und Hasien 2 nicht parallele Graden,
die dann ja einen eindeutigen Schnittpunkt haben.
Oder SSG gleicher
Andere Möglichkeiten gibt es nicht. Also generell geht natürlich,
wenn A, der Schnittpunkt von G und H ist,
dann bleibt A, ja bei Anwänden von Haarschlange fest.
Und wenn ich dann hinter HG-Schlange anwende,
bleibt es auch fest, wenn er auch auf G liegt.
Das heißt, für A, leicht geh geschnitten Haar gilt
diese Aussage immer. Und wenn G gleich Haar ist,
dann ist die Abbildung ja die Identität,
dann lässt sie sogar jedes A fest.
Das heißt, für G gleicher gilt die Aussage auch immer.
Ich könnte ja hier also eigentlich genau dann,
wenn schreiben, mache ich jetzt aber nicht,
sondern ich gehe direkt zum Beweis,
habe ich hier schon angefangen,
was inzuschreiben
Also sei jetzt diese Voraussetzung gegeben, Gehschlange, Kringel,
Haarschlange von A, ist gleich A,
dann bringen wir das Gehschlange auf die andere Seite und haben das Haarschlange von A.
Das Gleiche ist WG-Schlange von A. Beide geraden Spiegel nur und bilden
den Punkt A gleich ab auf den gleichen Punkt und den nenne ich A-Strich.
Und wir starten mit dem Fall, dass A ungleich A-Strich ist. Das heißt,
geh Schlange von A ist A-Strich, die beiden sollen verschieden sein,
dann kann A nicht auf G liegen und wir haben diese Situation.
Und haarmalig hier gar nicht rein,
das ist mir zu kompliziert,
das jetzt
auch noch reinzumalen
Wir können aber aus dieser Situation schon sehen,
nach unserer Definition und den Aussagen vom letzten Mal,
dass aus dieser Situation jetzt folgt,
geh ist Mittellot von A und A-Strich.
Weil geh die Punkte A und A-Strich vertauscht und das war
mehr oder weniger die Definition von Mittellot.
Andererseits vertauscht aber auch Haarschlange die Punkte A und A-Strich,
das heißt analog ist auch Haarmittellot.
Haarmittellot von A und A-Strich
Wir hatten aber die Aussage, es existiert,
wenn überhaupt, dann höchstens ein Mittellot, also sechs,
17. Zwei war das, die Eindeutigkeit des Mittellots.
Es folgt geh gleich harm. Und das war eine der
Möglichkeiten. In dem Fall haben wir geh gleich harm.
So, und jetzt kommt der zweite Fall,
dass nämlich doch Astrich gleich a ist.
Dann haben wir hier, wenn hier A Strich gleich a ist,
dann ist also a ein Fixpunkt von Gehschlange
Und es folgt das A auf G liegt.
Und A ist aber auch ein Fixpunkt von Haarschlange,
das heißt, dass A auch auf Haar liegt.
Und damit haben wir in dem Fall diese Situation und sind
auch fertig. Und wir haben diesen Unterpunkt 1 bewiesen.
Bevor ich zu Unterpunkt 2 komme, möchte ich dazu
eine Skizze machen oder ein Beispiel an einer Skizze erklären.
Das nehme ich sozusagen in der Anschauungsebene, das eigentlich bekannt ist.
Ach so, nein, Entschuldigung, ich habe noch
was vergessen, bevor ich zu der Skizze komme.
Ich möchte hier noch eine Bezeichnung einführen
Dann kann ich erst das sagen, was ich eigentlich jetzt
gerade schon im Begriff war, zu sagen.
Wir führen eine Bezeichnung ein. Eine Bewegung wie oben.
Eine Bewegung, die Schlange, Kringeln, Haarschlange, wie oben.
Also mit Fixpunkt. Ah, mindestens ein Fixpunkt,
wenn G gleich heißt, dann haben wir ja die Identität,
nennen wir Drehung.
Wenn wir Drehung
Das ist unsere Definition für Drehung. Und es gibt zwei Möglichkeiten,
wie eben schon gesagt. Wenn wir die Abbildung jetzt mal Delta nennen,
in dem Fall das G gleich Haar ist hier oben,
Data gleich It,
für das es die Situation G gleicher und ansonsten haben wir genau,
Data hat genau einen Fixpunkt,
Genau einen Fixpunkt, nämlich A und wir sprechen dann auch von einer Drehung mit Drehzentrum A.
Obwohl es kein Zentrum im Sinne unserer vorherigen Begriffsbildung ist,
aber diese Sache wollte ich jetzt nochmal sozusagen in der Anschauungsebene aufzeichnen,
dass es ihnen vielleicht wohl bekannt,
dass nämlich, wenn diese untere Situation hier,
wenn wir an zwei verschiedenen Graben spiegeln,
hintereinander, für die gilt,
dass sie sich in einem Punkt A schneiden,
dass wir dann eine Drehung um diesen Punkt
A haben
In der Anschauungsebene, mein Bild in der Anschauungsebene,
GSA, hier ist Haar, hier ist G und ich
nehme jetzt einen Punkt, X und den spiegel ich.
Zunächst an Haar, ich mache das jetzt mal nur schematisch und aus dem Handgelenk.
Hier ist Haarschlange von X und den spiegel ich jetzt an G,
das heißt, ich muss hier sozusagen das Lot fällen und hier rüber gehen.
Ungefähr hier ist je Schlange von Haarschlange Von X,
also G-Kringel, Gehschlange, Kringel, Haarschlange von X.
Und ich behaupte jetzt, es liegt eine Drehung vor.
Es gilt nämlich, wenn sie hier ein bisschen unsauber bezeichnet,
wenn sie hier scharf hingucken, ist dieser Winkel stets gleich diesem Winkel.
Und analog dieser Winkel jetzt hier stets gleich diesem Winkel. Und wir sehen,
wir haben hier zwei rote und zwei blaue und zwei grüne Winkel, um von X zu dem Bildpunkt zu gelangen. Das heißt,
der Gesamtwinkel, um den hier gedreht wird, Geh Schlange,
Kringel, Haarschlange, ist Drehung, um den Punkt A,
mit Winkel, zwei rote plus zwei Grüne,
könnte ich sagen, ich könnte aber auch sagen,
wenn Sie hier noch mal gucken, ein roter plus ein,
grüner, ist der Winkel,
die nenne ich hier mal Alpha,
um mit Winkel zwei Alpha und Alpha ist der Winkel,
der eingeschlossen wird von H und G.
Dann bin ich hier von H nach G verschiebe oder drehe,
habe ich den Winkel Alpha
Hinkelt, wo hier an dem Punkt A angesetzt wird,
dass der Schnittpunkt der beiden Graden von H nach Gedes der Linke Alpha.
Also in dem Sinne liegt in der Anschauungsebene eine Drehung tatsächlich vor.
Das kann man natürlich auch nachrechnen, aber es ist,
denke ich, anhand so eines Bildes einigermaßen anschaulich klar.
Und deshalb ist das plausibel,
auch in der allgemeinen Situation hier von Drehung zu sprechen,
obwohl wir in der abstrakten neuklinischen Ebene keinen Winkelbegriff zunächst haben.
Genau. Dennoch machen wir das so. Und
Winkelbegriff werden wir auch nicht mehr einführen in der Vorlesung.
Das könnte man machen, aber das ist nicht
so einfach
Genau. Und ich komme zu der nächsten Teilaussage,
die möchte ich auch noch behandeln von dem Lämmer
1,19. Die Teilaussage 2. Da geht es jetzt darum,
dass ich drei Graden habe, GH&L. Und dann gilt die
Schlange Kringel-Harschlange, Kringel-L-Schlange, ist niemals gleich der Identität.
Also wenn ich drei Gradenspiegelungen hintereinander ausführe, was dann rauskommt,
wissen wir nicht, aber es wird niemals die Identität rauskommen.
Das ist hier
die Aussage
Und das beweise ich auch. Und da muss ich Nummer eins verwenden.
Also deshalb kommt das jetzt hier danach. Wir machen eine Annahme,
das sei doch die Identität und führen das zum Widerspruch.
Dann ist Gehschlange, Kringeln, Haarschlange. Gleich Elschlange.
Ich habe mich das Elschlange auf die andere Seite bringe.
Und jetzt haben wir gehe ich schon lange,
kriegen eine Haarschlange, also eine solche Abbildung,
wie sie im Lämmer eben vorkam.
Eine Drehung,
könnte ich sagen
Also zu sagen, wir weisen jetzt eine Drehung,
ist niemals gleich einer Gartenspiegelung, auch im abstrakten Sinne,
also in der Anschauungsebene dürfte das klar sein,
aber auch hier ist das klar, ich schreibe nochmal in Worten hin,
daraus folgt, weil El Schlange ja eine Gartenspiegelung ist,
die Spiegelung an der Garten L,
alle Punkte A aus El sind Fixbunte,
von Gehschlange, Kringel, Haarschlange.
Und jetzt hatten wir in dem Teilaussage 1 eben genau charakterisiert,
wie die Fixpunkte aussehen, als Fixpunkte kommen nur Infrage,
entweder es gehe gleicher oder es kommt nur ein einziger Fixpunkt in Frage, nämlich der Schnittpunkt von Geh und H.
Wenn Geh ungleich haar ist, dann gibt es nur einen Fixpunkt,
nämlich den Schnittpunkt. Oder die Graden schneiden sich nicht,
dann gibt es gar keinen Fixpunkt, aber sozusagen,
wenn man mehr als einen Fixpunkt hat und das hat man Jäger,
sehr viele, alle auf einer Graden, also es sind mindestens drei Stück,
dann kann also dieser erste Fall A, gleich G,
geschnitten,
Haar nicht vorliegen,
dann folgt also also aus Teilaussage 1,
dass dann G gleich haar
sein muss
Und dann ist natürlich Gehschlange, Kringel-Harschlange, die Identität,
das ist dann Gehschlange, Kringel-G-Schlange.
Und das ist ein Widerspruch zu unserer Voraussetzung, Gehschlange,
Kringel-Harschlange, ist eine Grabenspiegelung. Grabenspiegelung ist nicht gleich der Identität.
Und wir haben das zum Widerspruch geführt und nochmal bewiesen,
dass tatsächlich die Hintereinanderausführung von drei Gradenspiegelungen niemals die Identität sein
kann oder anders ausgedruckt die Hintereinanderausführung von zwei Gradenspiegelungen,
kann niemals selbst wieder eine Grabenspiegelung sein.
Genau, und damit habe ich das Slammer abgeschlossen und schließe
damit auch dieses Video.
Vielen Dank für die Aufmerksamkeit