Herzlich willkommen. Ich mache weiter mit dem Lämmer 6,16. Da
hatte ich ja bis jetzt nur den ersten Teil bewiesen.
Die lese ich Ihnen auch nochmal vor,
den brauchen wir für den zweiten Teil und ich möchte ihn
kurz noch an einem Beispiel nochmal erläutern.
Nämlich gegeben ist, wir sind in einer abstrakten äutlidischen Ebene.
Gegeben ist eine Bewegung Vieh, eine gerade G.
Und wir betrachten diese Bewegung, die entsteht,
indem ich Vieh, Kringel der geraden Spiegelung Geh,
Schlange,
Kringel 4
hoch minus 1 rechne
Und Behauptung ist, das ist auch eine Gabenspiegelung,
und zwar die Gabenspiegelung an der geraden Vieh von G.
Das ist also die Bewegung Vieh von die Schlange.
Und da möchte ich nochmal anhand einer kleinen Skizze,
an einem Beispiel, das erläutern, in der Anschauungsebene,
dass wir das im Prinzip auch schon verwendet haben.
In den Übungen kam schon so was vor und
vielleicht haben sie das dort verwendet. Leicht,
wenn wir, denn die Frage ist,
bestimmen Sie die Geradenspiegelung an dieser Graden G,
wenn wir hier im R hoch 2 oder sowas
sind in AG CR
Ja, und wenn das die gerade G ist,
dann ist die Gardenspiegelung G, Schlange leicht zu berechnen durch,
je nachdem, in der Winkel, der nicht so kompliziert ist,
durch eine Spiegelungsmatrix M, eine orthogonale Matrix,
die ich dann also leicht berechnen kann, also hier bei der,
wenn das jetzt die Spiegelung an der Hauptdiagonalen wäre,
wäre das ganz leicht.
Sobald aber die Grade jetzt nicht mehr durch den Nullpunkt geht,
ist das ja dann gar keine lineare Abbildung mehr,
die geraden Spiegelung. Wenn ich jetzt hier eine,
ich nehme jetzt mal für meine Skizze hier eine Parallele gerade,
und frage jetzt,
was ist Haarschlange
Dann ist das zunächst mal komplizierter. Wir wissen,
dass sie auch die Gestalt Matrix mal x plus Vektor hat.
Aber welche Matrix, welcher Vektor, das haben wir zumindest nicht systematisch behandelt.
Und das kann man aber mit dieser Methode ganz leicht oder
mit dieser Aussage hier ganz leicht sich klar machen,
dass Folgendes gilt, was man intuitiv möglicherweise sowieso so machen würde.
Wir nehmen nämlich eine Translation, die den Nullpunkt,
der auf der GMG liegt, zum Beispiel in diesem Punkt,
man könnte auch eine andere nehmen, In diesem Punkt A,
diesen Aufpunkt von H transportiert, dann,
wenn ich auf jeden Punkt von gehe, diese selbe Translation anwende,
ist also Tau von G ist H. Tau,
wenn das die Translation Tau ist, Tau von G,
Istar.
Und dann ist also unser gesuchtes Haarschlange.
Haarschlange ist dann ja Tau von G. Schlange.
Und das ist jetzt genau so was wie hier.
Hier heißt es zwar nicht Taus, sondern Vieh,
aber vom Prinzip her ist es genau das Gleiche.
Diese Abbildung ist dann nämlich Tau, Kringel-G-Schlange, Tau
hoch minus eins. Also die kriege ich durch Tau,
weil ich jetzt ganz einfach ist. X geht über nach
X plus A. Die Schlange, welches auch einfach ist.
X geht über nach M mal X. Also Tauch minus eins,
wer dann X geht über nach X minus A und so weiter.
Also in diesem Fall, auf diesem Wege erhalte ich die
Spiegelung an der geraden Haar. Dass das wirklich stimmt,
das ist sozusagen ein Spezialfall von dieser Aussage hier oben.
Das ist also, um an Haar zu spiegeln,
geschickt ist wie folgt vorzugehen, transportiere den Punkt,
den ich spiegeln will,
zunächst mit tauguchminus eins
Sozusagen hier woanders hin, an die entsprechende Stelle,
verschiebe sozusagen die ganze Situation um minus A,
um minus A,
spiegel dann den Bildpunkt den erhaltenen Punkt an G und transportiere wieder
um plus A zurück und ich habe insgesamt die Spiegelung an der Garten H erhalten.
Also dieses Prinzip ist sozusagen das, was hier dahinter steckt.
Und jetzt kann ich die Aussage 2,
jetzt komme ich zur Aussage 2,
von dem Lämmer und dafür brauche ich auch für den Beweis,
benutze ich die Aussage 1 dann
gleich nochmal
Die Aussage zwei, die besteht aus verschiedenen Bestandteilen.
Da sei zunächst wieder Vieh in B und geh und Vieh
in B bomben wir gar nicht mehr.
Die und HNG einfach. Dann gilt. Die Schlange von
Haar gleich Haar ist gleichbedeutend zu die Schlange,
Kringel-Harschlange ist gleich Haarschlange, Kringel, Gehschlange.
Das heißt, die beiden Abbildung kommentieren
Vertauschen miteinander und das ist wieder gleichbedeutend zur Haarschlange von G gleichhaar,
äh gleich G. Das ist die erste Teilaussage von dieser zweiten,
von dieser Teilaussage 2 und dann geht es noch weiter,
im Fall die Ungleichhaar ist außerdem Folgendes,
diese Sachen sind nach wie vor äquivalent, natürlich,
aber ich kann noch eine vierte Äquivalenz hinschreiben,
Dann ist nämlich außerdem das Ganze noch Äquivalent zu G-Schlange,
Kringel, Haarschlange, ist involutorisch.
Was hieß nochmal involutorisch? Das heißt, Gehschlange, Kringel,
Haarschlange, Kringel-G-Schlange, Kringel, Haarschlange ist die Identität,
aber geh Schlange, Kringel, Haarschlange selber ist nicht die Identität.
So, das ist die Teilaussage 2 dieses Lämmers,
die ich jetzt beweisen möchte. Und bevor ich sie beweise,
gucken wir nochmal ganz kurz an, diese Aussage,
Gehschlange von Haar gleich Haar, da gehe ich hier in meine Skizze zurück.
Das ist hier jetzt nicht der Fall, wenn ich Haar angehe,
spiegele, dann werde ich irgendwo hier landen.
Aber wenn ich ein anderes Haar nehme,
nämlich hier zum Beispiel, ein paar Strich,
sage ich mal, wenn ich das an die spiegele,
dann ist die Schlange von Haarstrich gleich Haarstrich.
Weil hier ein rechter Winkel besteht und dann die Grade
eben bei Spiegelung an G in sich selbst übergeführt wird.
Das heißt, in der Anschauungsebene kommt sowas tatsächlich vor
Und zwar genau dann kann man sich überlegen,
wenn entweder Haar gleich G ist, dann geht das natürlich auch.
Oder eben, wenn Haar, oder hier heißt es Haarschlange,
orthogonal zu G ist und in der abstrakten Situation werden wir
das später dann sogar als Definition von orthogonal nehmen.
Aber zunächst mal möchte ich diese Charakterisierung oder diese Äquivalenz hier beweisen.
Also ich will jetzt Nummer zwei beweisen und ich beweise zunächst Sternchen.
Sternchen soll diese Äquivalenz
hier sein
Und genau, wenn ich Sternchen gezeigt habe,
dann gilt völlig analog auch diese erste Äquivalenz,
weil die sich ja nur durch Unbezeichnung G und H auseinander ergeben und
die Aussage in der Mitte ist ja symmetrisch in G und H,
sodass es klar ist, wenn die Sternchen bewiesen habe,
dass ich dann auch diese Äquivalenz habe.
Und Sternchen beweise ich jetzt mit Nummer 1. Deshalb habe ich
das alles hier versucht, gemeinsam auf meinem Blatt drauf zu kriegen.
Und dafür fange ich mal hier an, die Schlange,
Kringel, Haarschlange, gleich Haarschlange,
Kringel,
Das löse ich auf nach Gehschlange. Ich bringe also diese Haarschlange
hier auf die andere Seite. Die Schlange ist dann gleich Haarschlange,
Kringel, Gehschlange, Kringel, Haarschlange hoch minus eins.
Das Hoch minus eins könnte ich ja eigentlich weglassen,
weil Haarschlange ja zu sich selbst invers ist.
Ich schreibe es jetzt hier aber extra mal mit hin,
damit wir genauer sehen. Wir haben genau dasselbe wie hier
oben, für Vieh gleich Haarschlange. Und das heißt,
hier könnte ich weiterschreiben, das ist eher so Äquivalent zu nach eins,
die Schlange ist gleich für Vieh gleich Haarschlange, Haarschlange von Geh Schlange.
Das ist nach eins. Und jetzt ist klar,
zwei Gradenspiegelungen sind dann und nur dann identisch,
wenn die beiden Graden identisch sind.
Also zwei Spiegelungen an verschiedenen Graden können nicht gleich sein,
weil die gerade durch die Spiegelung eindeutig festgelegt ist als ihre Fixpunktmenge.
Das heißt, das hier ist äquivalent zu G, ist gleich Haarschlange von G.
Und das wollten wir ja und damit habe ich Sternchen bewiesen und
damit habe ich alles bewiesen, was hier oben steht.
Und ich komme noch in den Fall, ungleich haar.
Also zu der Sache hier unten. Geh ungleich haar,
dann ist auf jeden Fall schon mal, geh Schlange ungleich Haarschlange,
genau wie ich es eben gesagt habe.
Und dann ist auch Gehschlange Kringelhaarschlange. Gleich geh Schlange kriegen,
Haarschlange hoch, minus eins. Ist dann ungleich der Identität
. Das heißt, das hier ist schon mal erfüllt.
Und jetzt muss ich zeigen, wenn eine dieser Äquivalenten Aussagen hier gilt,
dann gilt auch, dass diese Hintereinanderausführung hier die Identität ist.
Und das ist aber auch klar, wenn ich das hier nochmal hinschreibe,
Geh Schlange, Kringel, Haarschlange, Kringen.
Gleich Haarschlange, Tringeln. Geh Schlange, das ist Äquivalent,
zu, genauso wie ich das hier gemacht habe, kriege ich im ersten Schritt das hier.
Und dann mache ich noch einen zweiten Schritt,
dass ich dann kriege, wenn ich hier jetzt noch gehe,
Schlange, auch auf die andere Seite bringen würde,
würde ich kriegen die Identität, ist Haarschlange, Kringel,
Geh Schlange, Kringel, ich schreibe jetzt hier einfach Haarschlange, Kringel, Geh Schlange.
Und das ist das, was wir haben wollten.
Hier steht es jetzt andersrum, wenn ich andersrum angefangen hätte,
wäre das auch andersrum herausgekommen.
Also, ich habe die Aussage, schafft. Ich habe hier also jetzt eigentlich gezeigt,
Haarschlange, Kringel, Gehschlange ist involoporisch,
aber da ja sämtliche Aussagen hier symmetrisch in G und H sind,
ist das, was ich eigentlich behauptet hatte, auch gezeigt.
So, damit habe ich den gesamten Beweis von dem Lämmer 6,
16 abgeschlossen und möchte jetzt noch, wie schon angekündigt,
den Begriff Orthogonalität definieren. Also wie schon gesagt,
wenn in der Anschauungsebene eine gerade auf einer anderen Orthogonal ist,
dann wird die eine von der anderen bei Spiegelung an der
einen wird die andere auf sich selbst abgebildet.
Und das nehme ich jetzt in der abstrakten Situation als Definition.
Zwei Graden heißen orthogonal. Ich schreibe das so und schreibe jetzt hier gar nicht hin,
aber ich benutze die übliche Sprechweise georthogonal zu Haar oder auch
gesenkrecht zu Haar oder bei uns wird auch manchmal vorkommen,
geh ist ein Lot auf Haar, die Definition lautet,
geh ungleichhaar und geh Schlange,
Kringel,
Haarschlange involutorisch
Das war ja diese vierte Sache,
die hier in dem Fall geh ungleich haar noch dazukam,
involutorisch, dass das auch äquivalent zu diesem, zu diesem und zu diesem ist.
Und die nehmen wir jetzt. Man könnte auch diese oder diese oder diese nehmen als Bedingung,
die sind ja dann alle gleichbedeutend, schreibe ich auch gleich nochmal hin,
aber die Bedingungen, geh Schlange, kriege eine Haarschlange involutorisch.
Ja, die haben wir jetzt hier als unsere Definition genommen,
das ist wahrscheinlich traditionell oder historisch bedingt, weil es gibt Leute,
die sich mit solchen Ebenen aus der Gruppentheoretischen Perspektive beschäftigen und hier jetzt Orthomonalität rein in der Bewegungsgruppe Also in diesem erzeugenden System,
wie man dann sogar zeigen kann,
der Bewegungsgruppe aller Rabenspiegelungen erklärt ist,
nämlich, dass die Hintereinanderausführung der entsprechenden Spiegelungen involutorisch ist.
Also das ist so in den Gruppentheorien ein wichtiges Konzept.
Und deshalb wird das hier wahrscheinlich genommen. Aber nach dem,
was wir eben gerade gezeigt haben, ist dann auch georthogonal zu haar,
wenn geh ungleich haar und zum Beispiel die Schlange von haar
gleich haar geht.
Oder irgendeine andere diese oder diese Aussage hätte ich
genauso nehmen können
Wichtig ist, dass die SG ungleich haar hier immer mit vorkommt,
damit wir nicht den Fall haben, dass eine gerade auf sich selbst orthogonal sein kann.
Also wenn man das ja vergessen hätte, hätte man das ja nicht ausgeschlossen,
dass eine gerade auch auf sich selbst orthogonal ist und das will man aber ausschließen.
Und insgesamt haben wir jetzt damit dann eine Relation auf der geraden Menge gewonnen,
die Anti-Reflexiv ist, das heißt,
keine Gratis auf sich selbst orthogonal, die aber symmetrisch ist,
ich schreibe es nochmal hin, sieht man am besten,
wenn man diese Eigenschaft nehmen würde, Schlange, Kringel,
Haarschlange, ist gleich Haarschlange.
Kringel, Gehschlange. Das sieht man ja hier,
dass diese Aussage jetzt symmetrisch ist,
wenn ich gehe und haar vertausche, dann analog genauso gilt.
Und das heißt, wenn gehortogonal zu haar ist,
ist auch haarorthogonal zu g. Das heißt, die Relation ist symmetrisch.
Genau, und mit Einführung dieser Orthogonalität,
die dann die Orthogonalität in der Anschauungsebene verallgemeinert,
schließe ich hier und die werden wir dann im Folgenden benutzen.
Danke für die Aufmerksamkeit