Herzlich willkommen. Wir studieren jetzt wieder euklidische Ebenen und benutzen das,
was wir letztes Mal hatten, das Konzept des Unterraums und diese Unterraumeigenschaft.
EEG-Kongruenz sei eine beliebige euklidische Ebene jetzt. Und dann ist
ja EEG, ist ja dann eine affine Ebene.
Und die erfüllt dann das Unterraumaxium oder Unterraumeigenschaft,
weil sie eine affine Ebene mit i3 ist und Lämmer 6.11
hat gesagt,
eine affine Ebene mit i3
erfüllt immer
Und das U lautet wie folgt, diese Eigenschaft,
oh, das ist nämlich jeder Unterraum.
Hat die Form leere Menge, ein einzelner Punkt,
eine einzelne Grade oder ganz eh.
Also einer von diesen Formen und ein Unterraum ist eine Teilmenge der Punktmenge,
sodass wenn zwei verschiedene Punkte in dieser Teilmenge drin sind,
dass dann auch die ganze Verbindungsgrade drin ist
Und dies möchte ich jetzt benutzen. Wir kommen jetzt eben,
wie gesagt, wieder zur euklidischen Ebene und das Ziel,
was ich auch letztes Mal schon gesagt habe,
ist Konstruktion von Grabenspiegelung oder die Existenz von Datenspiegelungen zu beweisen.
Und dazu müssen wir graden auf eine gewisse Art und Weise beschreiben.
Das ist jetzt 6,12 Lämmer, mein erstes Lämmer.
Dazu sein A, B, X aus E,
nicht kollinär. Und X, Strich, auch aus E
, aber ungleich
Mit ABX-Kongruent, A, B, X-Strich. Nach W3
existiert ein solches X-Strich und ist sogar eindeutig und man kann auch noch zeigen,
dass auch A, B, X-Strich nicht kollinär sind.
Ich mache hier eine Skizze,
hier sind A und B und X-Strich,
ist eben nicht auf der Verbindungsgrad und auch X nicht und
dann auch X-Strich nicht und das existiert und zwar so,
dass diese Dreiecke hier kongruent sind
So, das existiert sogar eindeutig,
aber das ist hier für Dislemma erstmal noch nicht wichtig,
aber wenn man diese Situation hat,
dann ist diese gerade AB,
die lässt sich dann schreiben als die Menge aller Punkte C,
für die gilt XC ist kongruent zu X-Strich C.
Also die gerade AB ist genau die Menge aller Punkte,
hier male ich mal C hin, sodass X-C und X-Strich-C Kongruent sind.
Das gilt für A und für B nach Voraussetzung,
aber auch für alle anderen Punkte auf der geraden AB
und für Punkte außerhalb der Graden abbiegelt das nicht.
Und der Beweis geht jetzt mit der Unterraumeigenschaft Nämlich,
ich nenne diese Menge hier jetzt erstmal Uh.
Diese Menge. Und man muss also zeigen, oh,
ist gleich A, B. Und dazu zeige ich zunächst, wo ist Unterraum.
Das mache ich gleich und erkläre dann auch nochmal,
was Unterraum genau bedeutet. Und wenn wir das gezeigt haben,
dann, wenn wir das haben, dann gilt,
dann muss Uh ja einer von diesen vier Typen sein.
Wegen A und B
sind ja in
Für A und Wie gilt diese Konkurrenz nach Voraussetzung?
X selber ist aber nicht in O. XXX ist nicht
kongruent zu X-Strich X, weil X-Ungleich X-Strich ist.
Deshalb muss U die beiden Punkte A und B enthalten.
Entschuldigung, Sie sehen nichts mehr. Ist aber nicht die gesamte Punktmenge,
weil es mindestens einen Punkt gibt, der nicht drin liegt.
Dann muss es die Verbindungsgrade von A und B sein.
Also nach der Regel, U hier oben,
Mustern, U gleich der Verbindungsgrade A,
B sein
So, und jetzt muss ich das hier noch zeigen,
dass ein Unterraum vorliegt. Dazu ist Folgendes zu zeigen,
die Eigenschaft unter Raum, die ich jetzt mehrfach auch schon gesagt habe,
die lautet für alle S und Tee aus U.
Es ist Ungleich-Tee, gilt, wenn Klein-U in der
Verbindungsgrade ST ist, dann ist Klein-U auch in U-Book.
Das ist die Definition von Unterraum. Und jetzt sei also,
sei jetzt, seien jetzt ST-Element U ist ungleich Tee und Klein-U in der Verbindungsgrade Esti.
Und wir möchten zeigen, Klein-U ist in U. So,
S-T-N-U bedeutet, oder impliziert, bedeutet ja,
für C gleich S und für C gleich T, gelten diese Konkurrenzen.
Das kann ich auch zusammenfassend schreiben, als S-T-X ist Konkurrent zu S-T-N-I-X-Strich.
Das gilt schon mal. Das kästle ich ebenfalls ein.
Und außerdem gilt, Trivialerweise S-T-U ist kongruent zu S-T-U.
So, wir haben jetzt zwei solche Kongruententriebel.
Bei der ersten Situation sind die hier nicht koordinär.
Das erkläre ich gleich noch, warum das so ist.
Und diese sind koordinär, weil ja U in der Verbindungsgrade S-T
drin liegt. Und wenn ich das jetzt beides habe,
ich erkläre gleich noch, warum das hier nicht koordinär ist,
dann haben wir hier die Situation wie in W2,
folgt aus diesem Volk mit
Da haben wir genau dieselbe Situation oder ein bisschen allgemeiner,
aber im Prinzip so wie hier, wo aus dieser Konstellation
dann folgt, dass XU kongruent ist zu X-Strich-U. Strich-U.
Und das bedeutet ja, wenn Sie hier nochmal gucken,
das Klein-U in Groß-U liegt, was zu zeigen war.
Dann sind wir fertig. Ich muss nur um die zwei anwenden zu können,
hier nochmal prüfen, das S-X-S-T und X wirklich nicht koordinär sind.
Das mache ich vielleicht hier noch in die Ecke
Annahme, S-T-X-Kolinea. Dann sind, das war die Aussage 6,
4, 4, dann sind auch S-T-X-Strich-Kolinea, weil sie kongruent sind.
Dann habe ich also x und x Strich,
sind dann beides Punkte auf der Verbindungsgraden S-T. Und zwar so,
dass die beiden Triebel kongruent sind.
Es gibt aber nur nach W1, gibt es aber nur einen Punkt,
sodass S-T-X Kongruent zu, allgemein, Essstrich, T-Strich. Ess-X-Strich ist,
aber weil hier ST gleich hier dasselbe ST steht,
folgt nach W1, wegen dieser Kongruenz, dass der Eindeutigkeitsaussage von W1,
dass X gleich X-Strich gewesen sein muss und das ist ein Widerspruch,
weil hier oben in unserer Voraussetzung strebt drin,
dass X eben X-Strich nicht gleich X ist.
Das heißt, die Punkte sind nicht kollinär,
wir können wie zwei anwenden, haben erreicht,
dass dieses U ein Unterraum ist und wie oben schon erklärt,
muss U dann gleich der Verbindungsgrade von AB sein
Das heißt, wir haben, dass diese Menge U,
eine Menge von dieser Gestalt, immer eine Grade ist.
Das haben wir hier gesehen. Eine Menge,
die ich auf diese Art und Weise kriege und man könnte sagen,
wenn wir hier in der Anschauungsebene wären,
die gerade AB ist die Mittelsenkrechte von X und X-Strichen.
Hier gibt es ja dann auch noch einen Mittelpunkt,
nenne ich ihn mal,
der liegt auch drauf,
der hat natürlich auch von X und X strich den gleichen Abstand,
wenn wir in der Anschauungsebene wären und dann können Sie sich überlegen,
in der Anschauungsebene wäre das
die Mittelsenkrechte
Oder das Mittellot, wie wir dann nachher sagen werden,
das kommt bei uns auch noch vor.
Und jetzt kommt so eine Art Umkehrung, nämlich zu zeigen,
dass jede Grade sich in dieser Art und Weise schreiben lässt.
Hier haben wir gesehen, dass diese Menge eine Grade ist.
Jetzt kommt, dass jede Grade sich in dieser Art und
Weise schreiben lässt und ich mache da eine Vorüberlegung,
bevor ich das Lämmer hinschreibe,
sei ell irgendeine beliebige Grade und darauf nehmen wir zwei Punkte A und B.
Also L ist gleich A,
B. Ich schreibe es nochmal hin
Ist, nach dem Lämmer, das wir eben gerade hatten,
6, 12, ist das die Menge aller Zieh,
sodass XC-Kongruent X-Strich Z für X-Element E ohne L X-Strich,
der, das schreibe ich hier mal dazu,
eindeutig bestimmte Punkt mit Ungleich X mit Abi,
X-Kongruent A, Nix Strich.
Und eindeutig bestimmt ist er und existiert. Nach W3,
das schreibe ich ja nicht nochmal hin. So,
jetzt stellen wir uns vor, unser L sei gleichzeitig auch
A-Strich-B-Strich für irgendwelche möglicherweise von A und B verschiedenen Punkte.
Und wir nehmen mal dasselbe X, dann ist das,
dann können wir natürlich auch hier rauf 6, 12 anwenden,
dann ist das die Menge aller C-Element E mit XC,
Kongruent X2-Strich nenne ich es mal, zieh.
X2-Strich der, eindeutig bestimmte Punkt, Ungleich X,
mit A-Strich-B-Strich, X-Kongruent-A-Strich, wie Strich X2-Strich.
Nix 2-Strich. So, und meine erste kleine Behauptung ist jetzt,
X2-Strich ist gleich X, denn auch wieder nach 612 Gilt.
Weil ja A, Strich und B-Strich in A-B drin liegen.
Sind also A, Strich und B-Strich solche Punkte der Form
C, wie wir sie hier haben.
Das heißt, es gilt A-Strich. X-A-Strich, kongruent,
X-Strich. A-Strich und X-B-Strich, kongruent X-Strich, B-Strich.
Das heißt, es gilt A-Strich-B-Strich-X-Kongruent-A-Strich-B-Strich
Und wegen der Eindeutigkeit muss x Strich das sein,
was ich hier kurzzeitig x2-Strich genannt habe. Das heißt,
diese beiden Mengen sind identisch, das muss sowieso so sein,
weil es ja beides hier gerade L ist.
Aber ich kann tatsächlich auch hier ein eindeutig bestimmtes
dem x und der Graben sozusagen zugeordnetes x-Strich hinschreiben.
Und das ist jetzt die Aussage von dem nächsten Lämmer.
Schreibe ich hier noch unten drunter,
dass ich also jede gerade so schreiben lässt von dieser
Gestalt hier
Das ist Lämmer, 6, 13. Für L-Element G,
X, ein beliebiger Punkt, der nicht auf L liegt,
existiert ein eindeutiger, das haben wir hier oben gerade gesehen,
existiert und ist Eindeutiges, X-Strich in I,
ohne X, mit der Eigenschaft,
dass L sich so schreiben lässt wie da oben.
Schreib's nochmal hin, die Menge aller C aus E,
mit X-C-Kongruent X-Strich
Genau. Das heißt, jede Grade lässt sich in dieser Form darstellen,
locker gesagt als Mittelsenkrechte, zwei ja geeigneter Punkte, x und x Strich.
Und diese Darstellung oder diese Tatsache hier in der Darstellung oder in dem Lämmer,
bewiesen ist es jetzt schon, das war sozusagen das,
was ich da vorhin geschrieben habe,
der erste Teil hier ist für uns jetzt gleich besonders wichtig,
dass nämlich, wenn ich x hier beliebig wähle,
außerhalb von L,
dass dann ein eindeutig zugeordnetes x Strich existiert mit dieser Eigenschaft.
Und diese Zuordnung, gegeben
In jedem X außerhalb L dieses eindeutig bestimmte X-Strich zu,
was dann auch außerhalb L liegt,
wie wir ja uns schon vorhin überlegt haben.
Und ordne jedes X-Auf-L sich selbst zu, also fixiere jedes
X-Auf-L und jedes X nicht auf Bilder ab auf X-Strich.
Das ist dann eine wohl definierte Abbildung,
die wir die geraden Spiegelungen an Ellen nennen und von der wir zeigen,
dass sie eine Bewegung ist und auch zweimal angewendete Identität.
Das kommt dann im nächsten Video.
Hier schließe ich erstmal mit dem Beweis dieses zweiten Lämmers.
Vielen Dank