Herzlich willkommen in diesem Video. Ich erinnere noch mal an
den wichtigen Begriff, den wir zuletzt hatten.
Im Begriff der Bewegung, viel Bewegung, Abbildung auf einer äuklidischen Ebene.
Ich schreibe mal viel Bieaktiv, es hat gereicht,
sujektiv zu fordern, aber vielleicht schon ins Biektiv ein bisschen intuitiver,
wenn ich das hiermit hinschreibe.
Und es gilt für alle XY,
das XY-Kongruent ist zu Vieh von X. Vieh von
Deshalb nennt man Bewegung auch eine Kongruenzabbildung. Und das heißt also,
jede Anschauer, in der Anschauungsebene oder anschaulich gesprochen,
jede Strecke wird abgebildet oder jedes Paar von Punkten
wird abgebildet auf ein möglicherweise anderes Paar von Punkten,
was aber anschaulich gesehen gleich lang ist.
Also Strecken werden auf gleich lange Strecken abgebildet oder kongruente Strecken
, könnte man auch sagen.
Und wir hatten schon verschiedene Beispiele, Beispiele,
nämlich Translationen, Geradenspiegelungen
Ich kürze das mal ab. Und Drehung in outletischen Ebenen
der Gestalt AGIK, insbesondere in der Anschauungsebene,
das werden wir auch in der Übung noch vertiefen.
Und heute gucken wir uns Folgendes an. Also ich möchte
eine Sache als Ziel formulieren, die wird dann erst im nächsten Video kommen.
Es ist einer der Sätze, Satz 6,
9 im Skript, der die Anschauungsebene dann behandelt.
Wir werden vorher sozusagen in das etwas abstraktere Situation noch reingehen,
aber für die Anschauungsebene möchte ich das hier schon mal als Ziel formulieren,
damit sie wissen, wohin wir wollen in dem Kontext,
eine Abbildung Vieh ist eine Bewegung,
und das schreibe ich hier nochmal um diese Schreibweise auch nochmal wieder einzuführen.
Eine Bewegung von AGCR mit Kongruent, das ist also die Anschauungsebene,
mit ihrer üblichen Streckengleichheit, Längengleichheit von Strecken als Kongruenz.
Also Phieh ist eine Bewegung, genau dann Ich schreibe es mal hierhin,
wenn Fi die Gestalt hat, X wird abgebildet auf MX plus A,
also Matrix mal X plus Verschiebungsvektor A,
für ein A aus Airhook 2 oder aus C. Sie ist vielleicht besser zu schreiben,
welches ich dann mit A hoch 2 identifiziere.
Und eine Matrix M aus GL2R. Und zwar eine orthogonale Matrix, das ist der Knackpunkt. Also,
wenn einem eine beliebige GR2R-Matrix ist, haben wir hier eine Kollination,
und wenn wir eine Bewegung vorliegen haben,
dann ist das Ganze eine Kollination, und zwar eine solche,
die sich mit einer Matrix beschreiben lässt, plus eine Verschiebung,
und die Matrix, damit es eine Bewegung ist,
muss das eine orthogonale Matrix sein,
und orthogonal heißt M mal M transponiert,
oder wie habe ich sie geschrieben, M transponiert,
mal M, ist die Die zwei habe ich sie hier genannt,
die 2 Kreuz 2 Einheitsmatrix.
Also mit anderen Worten, die Bewegungen der Anschauungsebene sind genau
die Hintereinanderausführung von solchen orthogonalen, linearen Abbildungen und Translationen.
Und das kommt nachher als Satz 6,9 im nächsten Video.
Heute geht es jetzt erstmal um Satz 6,8,
der die etwas allgemeinere Situation mit E und K behandelt.
Und ja, gucken wir mal,
wie ich das da für den Fall ihn hier erläutern kann.
Und zwar für den Fall, dass und K. eine separate
quadratische Körpererweiterung ist, aber mit Charakteristik undgleich zwei.
Und da wäre dann C und R ein Beispiel.
Also es geht mir jetzt um Bewegungen von AGIK, Komma-Konguent,
separable quadratische Körpererweiterung, wie üblich diese Ebene nenne ich auch.
Arme, Doppelstrich und zwar mit Charakteristik von K ist ungleich zwei. Und wenn man das hat,
dann können wir die separable quadratische Körpererweiterung so schreiben,
wie wir es in einigen der Beispiele am Anfang des Kapitels 6 hatten,
nämlich E ist gleich K plus Alphaka mit Ralfa Quadrat in K. Alpha wäre im reell komplexen Fall üblicherweise E,
E-Quadrat ist minus eins, also in K,
eins und E oder hier eins und Alpha bilden eine Basis und das Kappa,
das Konjugieren wäre X1 plus Alpha X2,
wird abgebildet auf X1 minus Alpha X2.
Das können wir in Charakteristik 2 immer so machen,
wenn Sie sich erinnern an den Körper mit zwei Elementen,
denen wir quadratisch erweitert haben zum Körper mit vier Elementen,
da war das anders.
Da wäre das hier ja die Identität,
wenn wir Charakteristik 2 haben,
weil dann minus gleich plus ist
So. Und wir wohnen ja jetzt Bewegungen studieren. Viel Bewegung
. Dann wissen wir, Vieh ist ein Automaufismus von A.
Eine Koordination. Das haben wir letztes Mal gehabt. Und
dann wissen wir aus dem Darstellungssatz für Koordinationen von affinen Ebenen überkörpern,
dass Vieh dann die Gestalt hat,
wie von X es sich dann schreiben,
als Sigma X plus A. Und Sigma ist Semiliniare Bijektion
Und A ist ein Verschiebungsvektor. Und wir studieren jetzt hier mal
nur den linearen Fall. Das machen wir unter anderem deshalb,
weil wir ja das Ziel haben, die Anschauungsebene.
Und die reellen Zahlen, wie ich schon mal irgendwo erwähnt habe,
wir sitzen ja keine nicht trivialen Automaufismen.
Das heißt, dort ist jede seemilinäre Bieaktion automatisch schon linear.
Hinsichtlich reell komplexer Fall ist das hier
keine Einschränkung
Genau, und wenn Sieg mal Linear ist,
dann kann ich Sigmar durch eine Matrix beschreiben.
Stelle, Sigmar durch Matrix, Him,
da bezüglich der jetzt festgewählten Basis Eins und Alpha.
Eins und Alpha bildet eine Basis des zweidimensionalen Vektorraums E,
den ich dann in dem Sinne mit K-Hoch-2 identifiziere.
Und die Frage ist,
welche M sind möglich
Hatte jetzt sozusagen ja oben schon angedeutet,
im reellen Fall, wenn dann die orthogonalen ermöglicht seien.
Und jetzt gucken wir uns diesen allgemeinen Fall jetzt an.
Und da fange ich am besten noch wieder ein neues Glatt an,
weil ich da so ein kleines Diagramm wieder malen möchte.
Also wir haben den Erweiterungskörper eh, den identifizieren wir mit Khoch 2,
das schreibe ich hier mal so hin,
indem wir ein Element X, gleich X1 plus Alpha X2,
auch wieder identifizieren,
mit X1 X2,
also der Koordinatenvektor bezüglich der gewählten Basis 1 Alpha
Und jetzt möchte ich angucken, die quadratische Form Kuh,
an die sie sich vielleicht erinnern,
die man auch benutzen kann, um die Konkurrenz zu beschreiben.
Puh. Huf X wird abgebildet auf Kuh von X,
das ist x-mal X quer.
Und das rechnen wir mal eben aus,
das wäre dann hier X1 plus Alpha X 2 mal X1 minus Alpha X2.
Und wenn sie das ausmultiplizieren, vielleicht einen kleinen Zwischenschritt,
erhalten sie
X1 Quadrat
Minus Alpha-Quadrat X2-Quadrat. Also im reell komplexen Fall wäre Alpha-Quadrat,
also i-quadratgleich minus 1, dann hätten wir X1 Quadrat plus X2 Quadrat.
Das Quadrat der Norm, wie wir das auch schon,
wie ich das auch vorher schon mal gesagt habe.
Und das möchte ich jetzt gerne auch beschreiben, indem ich
von hier losgehe. Also wie kann ich dieselbe Zahl,
das ist ja ein Element aus K,
eine Kuh bildet eh ab nach K,
wie kann ich diese Zahl mit Hilfe von diesem Vektor
beschreiben?
Und das mache ich so
X-1, X-2, jetzt als Zeilenwecktor, mal eine Matrix,
nämlich die Matrix 1.0, 0 minus.
Alpha-Quadrat, mal X-1, X-2. Das ist dasselbe,
wenn Sie das hier mal ausrechnen, das wird ein Eins-Kreuz-1-Matrix,
also dieser Scalar.
Und ich könnte das auch ein bisschen kürzer schreiben als X transponiert,
wenn ich diesen Vektor auch wieder X nenne.
X transponiert mal die Matrix, nenne ich F,
weil die gleich nochmal wieder vorkommen wird.
Muss eben einen Namen haben, bei mir heißt sie
F mal
So, also wir haben jetzt herausgefunden,
wenn wir diese Identifikation hier oben vornehmen,
dass dann Kuh von X dasselbe ist, wie dieser Wert.
Und das ist auch generell, lässt sich jede quadratische Form
auf K hoch 2 durch eine symmetrische Matrix beschreiben.
Und in diesem Fall haben wir halt diese Matrix F. So,
und jetzt kann ich den Satz formulieren und den es mir
hier heute geht.
Das ist Satz 6,
Situationen wie eben dargestellt, E- und K,
separable quantratische Körpererweiterung, Charakteristik und gleich zwei,
Bewegung der euklidischen Ebene, die dazugehört, möchte ich betrachten.
Und ich sage, eine Abbildung Vieh, X wird abgebildet auf MX plus A.
Das ist ja eine Kollination und die ist genau dann eine Bewegung.
Wenn die Matrix M eine gewisse Eigenschaft hat,
das war ja eben meine Frage, welche M sind möglich,
also es charakterisiert durch eine Eigenschaft von M,
nämlich M transponiert F im gleich
Durch diese Eigenschaft. Und wenn wir noch einmal kurz den reellen und komplexen
Fall angucken, dann hätten wir ja Alpha-Quadrat gleich minus eins.
Das heißt, hier steht die Einheitsmatrix. Und dann steht
hier M- transponiert, mal M ist die Einheitsmatrix.
Also genau die Eigenschaft M ist orthogonale Matrix. Würden wir
im reell komplexen Fall rauskriegen. So, den Satz möchte
ich beweisen. Vieh ist Bewegung, dieses Obige Vieh.
Genau dann, wenn X geht über nach MX.
Bewegung ist
Weil das plus A, das ist ja eine Translation,
von der wissen wir sowieso, das ist eine Bewegung.
Und jetzt benutzen wir die Definition von Bewegung. Das heißt,
für alle X und Y ist XY Kongruent zu MX MY.
Das ist die Definition von Bewegung. Das wiederum ist gleichbedeutend
zu für alle X und Y ist Kuh von X-Y gleich
Kuh von MX-MY
So war eine Möglichkeit, das hier zu charakterisieren.
Also meistens haben wir letztens benutzt, dann die Darstellung,
x-y mal x-y quer, ist das entsprechende hier,
aber das ist ja gerade das Co.
So ist Co ja gerade definiert. Das ist ein Wert,
ein Element von E mit seinem Konjunktkomplexen sozusagen multipliziert.
Der Wert, der da rauskommt, das ist das Co von x.
Also ich kann das so hochschreiben,
jetzt ist M linear oder eben eine Matrix. Das heißt,
ich kann das hier auch schreiben als Co von M. x-y.
Und jetzt gucken wir uns nur noch das an.
Die beiden müssen gleich sein für alle x und
Jetzt kann ich aber statt dieser Differenzvektor x-y,
das könnte ich auch Z nennen, oder ich nenne es weiterhin x,
damit ich dem Skript folge, für alle X,
gilt Kuh von X, ist gleich Kuh von MX.
Das ist gleichbedeutend. Da müssen Sie vielleicht kurz drüber nachdenken.
Es ist aber tatsächlich so. Und jetzt benutzen wir unsere Darstellung von oben,
Kuh von X können wir als das hier schreiben.
Vielleicht fange ich weiter an, noch auf einem nächsten Blatt
weiter. Das ist gleichbedeutend mit für alle X ist,
hier, das ist Kuh von X, X transponiert,
F-X ist gleich Kuh von MX, also MX, transponiert F-M-X.
Das rechnen wir um, das ist die Regel fürs Transponieren,
X transponiert M transponiert F-M-X, Assoziativgesetz kann ich benutzen,
ich kann hier das in Klammern setzen und jetzt sehen Sie schon,
hier und hier, die beiden Matrizen, die hier stehen,
das sind die beiden, die laut Behauptung gleich sein sollen.
Und wenn, das muss man sich jetzt überlegen,
das überspringe ich hier, sozusagen, wenn für alle X gilt,
das X transponiert mal Matrix mal X, dasselbe ist,
als wenn ich statt der Matrix F hier diese Matrix nehme,
dass dann tatsächlich schon die beiden Matrizen gleich sind.
Man muss also mehrere X einsetzen, um wirklich rauszukriegen,
die Matrizen können nicht verschieden sein. Das möchte ich nicht näher begründen,
aber das kann man sich überlegen, dass das so ist.
Und dann sind wir schon am Ende und haben unseren Satz bewiesen,
überall genau dann, wenn Umformung und wir sind hier angekommen.
Wir haben die Bewegungen, Äh, von der okklitischen Ebene über EK korrekterisiert,
sofern wir uns auf lineare linearen Anteil hier beschränken und
nicht das echt seemilinare noch ins Spiel bringen.
Genau, damit beende ich dieses Video und nächsten Video
komme ich da nochmal auf den eigentlich anvisierten Satz für
die Anschauungsebene
zu sprechen