Herzlich willkommen zur Woche 11 der Vorlesung. Ich möchte Ihnen heute
einen Satz beweisen, und zwar haben wir letztens kennengelernt,
das Konzept der euklidischen Ebene, eine affine Ebene,
die i3 erfüllt und die eine Kongruenzrelation hat,
die die Aktione W1 W2 W3 erfüllt.
Und jetzt kommt hier, dass die Beispiele,
die wir vorher hatten, tatsächlich eine euklidische Ebene in diesem Sinne bilden.
Und der Satz sagt also, die affine Ebene AG EK,
ich schreibe nicht dazu, ich sage es aber dazu,
über einer separablen, quadratischen Körpererweiterung mit der zugehörigen Kongruenzrelation,
die schreibe ich auch dann gleich im Beweis nochmal hin,
wie die aussah.
Und mit dem Spezialfall, das kam nicht der Körper
mit zwei Elementen ist, ist euklegische Ebene.
Das ist der Satz, und der Beweis, wir müssen gucken,
dass die Aktion mit einer eukletischen Ebene erfüllt sind,
das ist auf jeden Fall
hier eine
Affine Ebene, weil der Körper nicht Z2 ist,
ist auch, dass Axium i3 erfüllt,
auf jeder Graben liegt mindestens 3 Punkte.
Die Relation kongruent erfüllt die Axiome einer Konkurrenzrelation, K1,
K2, K3, das wissen wir auch schon.
Es bleibt also nur noch zu zeigen, dass W1,
W2 und W3 erfüllt sind.
Und ich zeige Ihnen hier nochmal das Axiom W1,
mit dem ich anfangen möchte.
Das war dieses hier. ABC,
verschieden und koordinär
Und noch zwei weitere Punkte A-Strich-B-Strich, sodass A,
B, Kongruent zu A-Strich-B-Strich ist,
dann existiert genau ein C-Strich auf der Verbindungsgraden von A-Strich- und B-Strich,
sodass A, B, C von Goent zu A-Strich-B-Strich-C-Strich ist,
also Existenz, dieses C-Strich, soll gezeigt werden,
Existenz und Eindeutigkeit und ich möchte das jetzt fruhig fühlen und als erstes auch noch mal erinnern,
wie Kongruenz überhaupt definiert war.
Also, wir starten mit V1 und ich mache vielleicht noch mal die Skizze Ah,
B, hier haben wir Arsch,
Strich B-Strich und hier haben wir noch ein Zieh und gesucht ist das eindeutige C-Strich und eine Voraussetzung ist eben A,
B, kongruent zu A-Strich B-Strich und das war,
daran möchte ich hier nochmal erinnern,
gegeben mit Hilfe der Abbildung quer,
also Kappa,
A,
B,
quer ist A-Strich-B-Strich mal
A-Strich-B-Strich quer
Das war die Definition sozusagen von Kongruent. Und diese Eigenschaft ist vorausgesetzt in W1,
und die nenne ich jetzt Sternchen mit, der muss ich nachher arbeiten.
Und wir haben ein C hier auf der Verbindungsgraden AB,
und das Ziel lässt sich also schreiben als A plus B-A,
mal Lamda, für ein Lamda, ungleich Null und Ungleich 1,
und sonst wie es A, beziehungsweise B,
aber das ist für uns jetzt erstmal gar nicht wichtig.
Und wir nehmen einen Punkt C-Strich erstmal irgendeinen hier,
Und gucken, es gibt genau von den vielen,
die möglichen C-Strich auf dieser Verbindungsgrade, gibt es genau einen,
der die Voraussetzung oder die Behauptung erfüllt, dass A,
B, C, Konguent A-Strich-B-Strich-C-Strich.
Also sei C-Strich-Element A-Strich-B-Strich zunächst beliebig. Lieb ich,
dann ist C-Strich gleich A-Strich plus B-Strich-A-Strich-Manü für ein Mü aus Kar.
Und wir suchen jetzt Behauptung, Es existiert genau einen C-Strich,
sodass A, B, C, Konguent A-B-C-Strich.
Und genauer behaupten wir sogar, also genauere Behauptung, wir zeigen.
Diese Sache hier gilt, gilt genau dann,
wenn gleich lang da ist
Also gibt es genau ein Zehstrich, nämlich das,
wenn ich hier Lamda setze, was diese Behauptung hier erfüllt.
Diese Wunschforderung zur Konkurrenzeigenschaft. So, und um das
jetzt zu zeigen, machen wir zunächst eine Vorüberlegung.
Vielleicht mache ich das auf einem nächsten Blatt Papier.
Also hier können wir nachher zurückkommen, dass wir das zeigen wollen.
Und vor Überlegung. Also Ziel ist ja,
zu gucken, wann gilt diese Kongruenz
Und die Konkurrenz A, B, Kongruent A-B-Strich, die gilt ja.
Das ist eine Voraussetzung. Die anderen beiden A,
C, Kongruent A-Strich-C-Strich und B-C, Kongruent B-Strich-C-Strich,
die brauchen wir zusätzlich und die gucken wir jetzt getrennt voneinander zunächst mal an.
Es gilt, A,
C ist kongruent zu A-C-C-Strich für dieses C mit dem Müh,
wie oben hingeschrieben,
genau dann,
wenn Lamda Quadrat gleich Mühquadrat
Und zweitens, iii, beezi, ist kongruent zu bestrich c-strich. Genau dann,
wenn eins minus Lamda, Quadrat gleich eins minus müh,
Quadrat und das möchte ich auch nochmal umschreiben,
weil wir das später benutzen werden als eins plus Lamda-Quadrat minus zwei Müh,
gleich eins plus müh,
Quadrat minus zwei Lamda,
also nach der benomischen Formel hier vielleicht ein bisschen unorthodox hingeschrieben,
aber so steht es auch im Skript.
So,
und das müsste ich jetzt beweisen
Wer weiß, von I, führe ich mal vor,
der Beweis von I, I geht dann analog, den überspringe ich.
Also, hier, diese Äquivalenz, AC, Kongruent,
A-C-Strich, ist ja nach unserer Definition,
die wir oben schon verwendet haben, jetzt mit C-Stadt B,
so wie hierhin zu schreiben.
Und, ja, ich schreibe es nochmal,
das hätte ich gar nicht entscheiden brauchen,
aber ich schreibe es hier nochmal
So, und jetzt rechnen wir die beiden Seiten getrennt voneinander aus und zeigen,
sie sind genau dann gleich, wenn Lambda-Quadrat gleich Müh-Quadrat ist.
A minus c mal a minus c quer. Das ist
, weil zieh zur Erinnerung war a plus b-armer Lamda.
Das heißt, wenn ich das hier einsetze,
habe ich a, minus a, minus b-armer Lamda.
Das heißt, es bleibt übrig a minus b, Malamda.
Das ist dieser erste Teil. Wenn Sie von diesem
hier Wenn Sie dieses von A abziehen,
dann hebt sich das A weg und dieses ändert das Vorzeichner,
wird also A-B, Malanda raus.
Und der hintere Teil ist, das konjugierte davon,
also A-B, quer, Malanda quer, das ist aber gleich Lamda.
Lamda ist gleich Lamda quer, war das ein Element des Körpers K,
ist er der Fixkörper von diesem konjugierten, quer ist.
Das ist also A-B, mal A-B, quer,
mal Lamda Quadrat und analog für die Gestrichenen.
Das schreibe ich jetzt nicht hin
Bietet a-c, a-c, quer, mal Mühquadrat.
Und das heißt, unsere Behauptung folgt wegen Sternchen.
Diese beiden Sachen sind gleich nach Voraussetzung, das war Sternchen.
Dieses hier ist gleich diesem wegen Sternchen. Das heißt,
diese beiden sind gleich, das ist das, was wir wollen.
Genau dann, wenn Lamda Quadrat gleich Mühquadrat ist.
Also ich mache den Kasten, der Beweis von I
ist damit abgeschlossen.
Also folgt aus Sternchen
Die folgt mit Sternchen. Also mit der Aussage,
dass A, B, Kongruent A-B-Strich ist.
Und analog, wie gesagt, kann ich auch E-I beweisen.
Ein bisschen mehr Rechenaufwand, aber im Prinzip analog.
So, jetzt kommen wir zum eigentlichen Beweis.
Zum eigentlichen Beweis. Also wir wollten ja zeigen,
diese Gesamtkonkurrenz der beiden Triebel gilt genau dann,
wenn Müh gleich Lamda ist.
Dazu müssen wir
zwei Richtungen zeigen
Die erste Richtung ist einfach,
sei lamm da gleich Müh, nahm da gleich Müh,
dann folgt natürlich auch das Lamda-Quadrat gleich Mühquadrat ist.
Dann ist also, sind diese beiden kongruent und dann folgt natürlich auch,
dass diese beiden Ausdrücke gleich sind und dann sind auch die beiden kongruent.
Das heißt, wenn wir I und I benutzen,
folgt insgesamt das A, B, C, kongruent zu A-Strich-W-Strich-Sziehstrichen.
Alle drei, drei Ex-Seiten sozusagen oder drei Strecken sind hier
keine echten Dreiecke, also alle drei Strecken,
A,
Arsch-W-Strich sind Konkurrenten, sowieso nach Voraussetzung,
aber jetzt nach I und E.I. dann auch AC,
Arsch-Strich-C, Strich-B-C, B-Strich-C-Strich.
Also die Richtung ist einfach. Und wir kommen zur
nicht ganz so einfachen Rückrichtung.
Also sei, sei A-B-C-Konkurrent-A-Strich-B-C-Strich. Dann folgt wieder
nach I und
Dass dann Lamda-Quadrat gleich ein Quadrat ist und das zweite hier,
eins plus Lamda-Quadrat minus zwei Lamda,
gleich eins plus Mühquadrat minus zwei Müh.
So, jetzt müssen wir zwei Fälle angucken.
Also hieraus kann ich auf jeden Fall Folgendes schließen,
wenn ich hier unten gegleichert von Lamda und Müh,
Quadrateinsätze, kriege ich raus,
dass zwei Lamda
gleich zwei Müh ist
Und damit folgt Lamda gleich Müh, aber nur in
dem Fall, dass ich durch zwei dividieren kann.
Also in dem Fall, dass zwei ungleich Null ist,
oder ich könnte auch sagen, die Charakteristik von K ist ungleich zwei.
Aber es könnte ja auch die Charakteristik gleich zwei sein.
Den Fall muss ich jetzt noch getrennt behandeln. Also das
mache ich mal in einer anderen Farbe hier in die Ecke.
Also wir sind jetzt fertig sozusagen im Fall Charakteristik und gleich zwei.
Und jetzt sei also Charakteristiker gleich zwei.
Der ist eigentlich nicht schwieriger
Da gucken wir nämlich dieses hier jetzt nochmal an und kriegen
null ist gleich müh quadrat-lamda Quadrat, ist gleich nach der
dritten binomischen Formel plus Lamda, mal minus Lamda.
Und jetzt ist aber in Charakteristik 2 ist plus dasselbe wie Minus.
Ich kann hier also auch schreiben müh minus Lamda,
mal müh minus Lamda. Und da gibt es nur eine
Lösung, nämlich müh gleich Lamda
So hier raus würden sie eigentlich so im üblichen Krieg zwei Lösungen,
mühgleich Lamder und mühgleich Minuslander,
da aber plus gleich Minus ist, gibt es nur eine Möglichkeit,
mühgleich Lamder und das ist das, was wir haben wollten.
Und das heißt auch im Fall Charakteristik. Zwei sind wir
fertig. Wir haben also rausgekriegt, das zeige ich nochmal,
wir haben rausgekriegt. Dieses Triebel ist genau dann kongruent,
wenn Mühe gleich Lamder ist. Das heißt,
der eindeutig gesuchte Punkt, C-Strich, sodass die Konkurrenz hier gilt,
ist derjenige Punkt auf der Verbindungsgraden, den wir kriegen,
indem wir als Parameter Mühe hier das durch zielgegebene Lamda einsetzen.
Und damit haben wir wie eins gezeigt und es folgen jetzt
noch wie 2 und W3. W2 werde ich überspringen, den Beweis.
Ich werde direkt, B2 ist ein bisschen rechenaufwendig, der Beweis ist im Skript ausgeführt.
Ich möchte lieber den Beweis von W3 bringen,
weil der in dem Sinne wichtiger ist,
das hatte ich ja damals auch schon gesagt, dass W3,
was ich ihm hier gerade nochmal zeige, Das liefert dann die Existenz von Gradenspiegelungen.
Und um in die Richtung zu kommen,
ist es gar nicht schlecht, sich jetzt den Beweis hier schon anzugucken.
Also gesagt wird hier, wenn A, B,
X nicht koordinär sind, dann existiert genau dann ein.
Genau ein X-Strich, was nicht X ist, sodass A,
B, X-Kongruent A, B, X-Strich ist.
Das wollen wir jetzt beweisen. W3. Und wir,
ich mache hier noch mal eine Skizze A,
X und Gesucht ist X Strich,
ich male es hier schon mal hin und wir gehen OBDA davon aus,
dass A gleich null ist.
Dann tun wir uns mit dem Rechnen einfacher. Wir sind ja
hier in einer affinen Ebene über dieser quadratischen Körpererweiterung, EK.
Und wir wissen schon, dass in diesen Geometrien,
in diesen Inzidenzstrukturen, da haben wir ja unsere Konkurrenzstrenlation,
die wir eben benutzt haben und da haben wir gesagt,
die Translation, die sind Translationsinvariant.
Das heißt, wenn ich eine Translation anwende,
dann sind Punktepaare konkruent zu ihren Wildpaaren und insbesondere,
wenn ich auf diese Situation jetzt eine Translation anwende,
die A nach Null transportiert und das kann ich ja machen
Abbildung, C geht über nach 10 minus A. Die würde das machen.
Die würde die ganze Situation in ein kongruentes Bild überführen.
Und die Aussagen, die wir hier beweisen wollen, bleiben unangetastet.
So, das können wir also machen. Und dann ist
unsere Verbindungsgrade A, B, ist dann die gerade BK.
0 plus BK, also BK. Und wir haben also
, dass unser X nicht in BK liegt.
Anders ausgedrückt, X und B sind linear, unabhängig.
Wenn hier dann null Vektor wäre, dann wäre das offensichtlich
der Fall
So, und gesucht ist jetzt ein eindeutiges X-Strich,
gesucht, eindeutiges X-Strich, ungleich X mit A,
B, X, Kongruent, A, B,
X-Strich und A ist jeweils gleich null.
Und da muss also jetzt 0x,
Kongruent 0x-Strich sein und B,
X-Kongruent zu B-X-Strich
Und das rechnen wir wieder um mit unserer Beschreibung der Kongruenz,
0x Kongruent 0x Strich, bedeutet x mal x quer,
x minus null, mal x minus null quer,
ist gleich x-strich, x-strich quer und entsprechend für x und b,
x-b, mal x-b.
Quer ist x-strich-b, mal x-strich-b quer.
Die beiden Sachen müssen gelten, damit dieses hier,
diese Kongruenz vorliegt
Und jetzt müssen wir natürlich, wie üblich, Existenz- und Eindeutigkeit zeigen.
Existenz beweise ich, indem ich Ihnen einfach ein X angebe.
Nix Strich, gleich B, wie querhochminus 1, X quer.
Erfüllt dieses Hier, das nenne ich jetzt hier wieder Sternchen,
und es ist X-Strich ungleich X. So, das beweise ich mal zuerst.
Das mache ich hierhin. Wenn X gleich X Strich wäre,
also gleich B, B, querhochminus 1 X quer.
Dann hätten wir, dann wird das auf die andere Seite,
bringen das B, querhoch, B, quer, bequer multiplizieren.
Dann hätten wir X-Beak quer, ist gleich X quer B,
ist gleich X-Beak quer quer, also X-Beak quer,
wer in Variante unter Kappa,
das heißt X-B quer wäre in K und Da hatten wir einen Satz,
mal am Anfang 6-2-2-2-2,
der besagt, dass dann X und B linear abhängig sind.
Und das ist ein Widerspruch zu dem,
was wir da oben gesagt haben,
dass X und B in unserer Situation linear, unabhängig sein müssen.
Also kann X und X quer nicht gleich sein.
So, jetzt möchte ich das hier zeigen,
dass das X-Strich das Sternchen erfüllt.
Da sind zwei Sachen zu zeigen, ich zeige mal nur die obere,
die untere geht genauso natürlich ein bisschen lächelaufwendiger.
Das ist jetzt auch wirklich einfach
nur nach Rechnen
X-Strich, X-Strich quer ist gleich, wenn das X-Strich ist,
Baby, querhoch, minus 1, X-Quer, mal,
und jetzt das Konjunktierte hiervon, da muss ich jeden einzelnen konjugieren,
B, quer mal, das hier nochmal quer mit zu B,
hoch, minus 1, X,
und jetzt gucken wir dieses B mit B hoch,
minus 1, hebt sich weg, dieses Weg quer mit B,
querhoch, minus 1, lebt sich weg,
es bleibt x-mal X quer übrig.
Wir sind ja zum Glück im Kommutativen,
also brauchen wir uns da keine Sorgen drum zu machen.
Und die Aussage gilt, und die zweite genauso.
Diese zweite Aussage
So, und jetzt folgt jetzt noch die Eindeutigkeit.
Da schildere ich erst mal kurz mündlich die Idee, bevor ich das ausführe.
Und zwar die Idee ist, also sei Y ungleich X mit Sternchen.
Und die zu zeigen ist, Sternchen, also für Y,
das schreibe ich jetzt nicht noch mal hin, dieselben Gleichungen,
wenn ich antestelle von X Strich, jeweils Y schreibe.
Zu zeigen, Y gleich,
X Strich
Das ist die Eindeutigkeit. Also wenn es neben X-Strich noch
ein weiteres Element gebe, was ich jetzt hier Y nenne,
dass es dann doch gleich X-Strich gewesen sein muss.
Und die Idee ist jetzt, finde eine quadratische Gleichung.
Die X und X-Strich als Lösungen hat. Und die aber
auch Y als Lösung hat und weil eine quadratische Gleichung ja
immer höchstens zwei Lösungen hat und Y ungleich X ist,
muss Y dann gleich X-Strich sein.
Das ist die Idee. Und genau,
jetzt schreibe ich das Sternchen für Y
doch nochmal hin
Damit ich weiterkommen kann. Und meine quadratische Gleichung finden kann.
Und das schreibe ich hier auf ein neues Blatt.
Sternchen für Y, hingeschrieben. Das ist X,
X quer gleich Y, Y quer und x-minus-b,
mal x-minus-b, quer, ist gleich y-b, y-b, quer.
So, und jetzt schreibe ich das hier um,
multipliziere das aus
Und schreibt das um. Genau. XXXX quer-bx-quer-x-bquer plus Baby
quer ist gleich Y, Y quer minus B,
Y quer, Quer Y plus B. Wie quer?
Und erfolgt dann, weil das hier gilt,
können die ersten beiden Terne weggelassen werden und die letzten beiden natürlich auch.
Und dann bringe ich das noch alles auf eine Seite
Und zwar wie folgt. Da fange ich mit diesem Ausdruck
an. Big quer Y, minu plus wie Y quer,
das bringe ich auf die Seite,
minus wie x-quer minus x-b quer gleich null.
Das kommt hier raus und stimmt das
Ja, vermutlich stimmt das so. Und jetzt multipliziere ich
mit Y. Das habe ich wahrscheinlich nicht dazu gesagt.
Y ist natürlich ungleich null. Entschuldigung. Y ist natürlich
ungleich null. Denn wenn hier Y gleich null wäre,
dann wäre wegen unserer Kongurrenzeigenschaften,
dann hätten wir hier
null Null
Dann müsste auch x gleich null sein, x ist aber nicht
gleich null, weil er nicht auf der Verbindungsgrade liegt.
Und wir hatten allgemein auch gesehen, dass das x-Strich oder
ein jedes solche Element der Art, dass hier die Konkurrenz gilt,
auch nicht auf der Verbindungsgrade von A und B fliegen kann.
Also Y ist ungleich null und ja,
das hätte ich gar nicht gebraucht,
aber weil ich ja eigentlich genau dann Wenn haben möchte,
ist das günstig,
wenn es ungleich null ist und ich multipliziere mit Y und
ich kriege eine neue Gleiche und eine quadratische Gleichung in Y,
nämlich B-Quavier Y-Quadrat
Plus B Y quer,
Y, minus WX Quer plus wie Quer X,
Y gleich null und dieses hier kann ich auch schreiben als XX quer wieder,
das heißt Y ist Lösung der quadratischen Gleichung,
da nenne ich jetzt die Unbekannte, um sie jetzt nicht Y zu nennen,
nicht vielleicht einmal kurz wie quer Teequadrat, minus WX
Quer Plus B, Quer X mal Tee,
plus B, XXX quer, gleich Null. Hier,
das sind alles dieses,
dieses und dieses sind von Tee unabhängige,
feste Werte aus dem Körper I und diese Gleichung ist eine quadratische Gleichung,
die hat nur zwei Lösungen oder höchstens zwei Lösungen,
hat höchstens zwei Lösungen
Aber es gilt auch X und X Strich sind Lösungen. X Strich ist klar,
dass X Strich eine Lösung ist,
denn X Strich erfüllt genau dieselben Bedingungen wie Y,
erfüllt ja auch Sternchen, also mit genau denselben Rechnungen,
könnte ich zeigen,
dass X Strich eine Lösung ist und dass X eine Lösung ist,
ist sogar noch einfacher,
wenn sie hier X einsetzen,
dann stellen sie das sehr schnell sofort fest,
dass hier
tatsächlich null rauskommt
Und da jetzt aber Y ungleich X war, muss dann Y
gleich X Strich gewesen sein. Und das war das,
was wir zeigen wollten. Und wir haben insgesamt gezeigt,
dass auch W3 gilt und dass also unsere affine Ebene über IK,
im Falka und gleichzeitig zwei, mit dieser hier benutzten Konkurrenzstrelation,
stets eine öklidische Ebene ist.
Und damit bedanke ich mich für die Aufmerksamkeit in diesem doch
recht voll gewordenen Video