Herzlich willkommen. Ich erinnere hier nochmal an die Definition einer
euklidischen Ebene, die wir letztes Mal hatten.
Gebt dann noch ein paar Kommentare zu der Definition,
ein paar kleine Bemerkungen und das Ziel wird sein zu zeigen,
dass die Ebenen über separablen, quadratischen Körpererweiterungen tatsächlich die Aktionen wie 1W2,
wie 3 einer euklidischen Ebene erfüllen.
Also eine euklidische Ebene ist ein Paar oder so wie ich es hier geschrieben habe,
ein Triple, wo die ersten beiden Einträge E,
Komma G Eine affine Ebene bilden.menge e, geraden Menge G,
und zwar mit i3, also auf jeder Graden mindestens drei Punkte.
Deshalb werden wir nachher dann auch den Körper mit zwei Elementen ausschließen müssen.
Und auf e-kreuz-e, also auf der Menge der Punktepaare, ist eine Konkurrenzrelation gegeben.
Also die Axiome K1, K2, K3 gelten da.
Und wir sprechen von einer euklidischen Ebene, wenn jetzt die
neu hinzugekommenen Axiome W1, W2 und W3 auch noch gelten.
Die habe ich hier schon mal hingeschrieben und mache jeweils noch
eine kleine Skizze dazu
W1 sagt, wenn ich drei verschiedene Punkte habe,
die auch noch kolinear sein sollen, wie und sie,
sodass A, B, die Strecke A, B,
das Paar A, B, kongruent ist zu A-B-Strich,
das skizziere ich mal hier,
Kongruent skizziere ich immer so als gleich lang,
so war das ja in der Anschauungsebene,
dann sagt der Satz oder dieses Axiom,
es existiert genau ein Punkt C-Strich auf der Verbindungsgraden von A-Strich und B-Strich,
Der, der Art, dass A, B,
C, Kongruent zu A-Strich-B-Strich-C-Strich ist.
Das heißt, es gelten neben A, B, Kongruent A-Strich-B-Strich,
auch A, C, Kongruent A-Strich-C-Strich und B-C, Kongruent-B-Strich-C-Strich.
Das wäre wie eins. Dann haben wir wie zwei,
das ist ein bisschen komplizierter.
Da starten wir mit drei Nicht-Koordinären Punkten A,
B,
Ich mag schon mal die Verbindungsgrade AB hin, weil ich hier gleich noch brauchen werde.
Und wir haben drei weitere Punkte, A-Strich-B-Strich-X-Strich,
sodass das Dreieck AB-X, so dieses Triple-Kongruent ist zu A-Strich-B-Strich-X-Strich.
Ich skizziere es mal so, das schnalle ich ja vielleicht auch mit hin,
sollen jetzt gleich lang hier sein, die Strecken.
Außerdem haben wir noch Punkte C- und C-Strich, so wie oben,
auf den Verbindungsgraden, sodass auch diese beiden Triple,
AB-C- und A-Strich-B-C-Strich, Kongruent sind.
Und dann ist die Aussage von W2, dass dann auch CX-Kongruent,
nein, ja, CX-Kongruent zu C-Strich X-Strich ist oder X-C-Kongruent zu X-Strich-C-Strich.
Also die roten Strecken auch gleich lang sind. Und dann haben wir noch das Aktion W3,
das ist wieder ein bisschen einfacher zu formulieren,
gegeben wieder A, B, X, nicht koordinär,
dann gibt es genau einen X-Strich, was nicht X ist,
so dass A, B, X Kongruent zu A,
B, X-Strich ist.
Anschaulich würde man X-Strich als den Spiegelpunkt hier an dieser Graden
zeichnen, also in der Anschauungsebene wäre das so.
Und das wird uns später ermöglichen, allgemein auch Grabenspiegelungen in solchen eutritischen Ebenen zu konstruieren.
So, das war die Definition. Jetzt komme ich zu Bemerkung 6.4,
die so ein Fahrinhalte der Definition nochmal aufgreift und dazu ein bisschen was sagt, du ergänzt.
6,4 Bemerkungen. Und zwar der Punkt 1 von dieser Bemerkung,
den sage ich nur mündlich, den können Sie im Skript nachlesen.
Ich sage es aber kurz so in meinen Worten einmal mündlich,
dass nämlich dieser Begriff eklidische Ebene,
wie wir ihn hier jetzt definiert haben,
auch noch leicht verallgemeinert werden kann, indem man darauf verzichtet,
dass das EEG eine affine Ebene ist.
Und stattdessen nur ein Inzidenzraum fordert, weiterhin mit i3,
auch mit E3,
also was ja auch in einer affinen Ebene
der Fall ist
E3 sagt ja, es gibt mindestens drei nicht kollinäre Punkte.
Wenn E3 nicht gelten würde, dann wäre ja alles auf
einer Graden, dann könnte man nicht von Ebene sprechen.
Und wir wollen trotzdem weiterhin von Ebene sprechen.
Und es muss noch ein weiteres Aktionen erfüllt sein,
was ich hier nicht erwähne.
Aber wieder mit einer Kongruenzrelation und wieder mit den Aktionen W1 W2 W3.
Dann sprechen wir oder im Skript wird gesagt,
das nennt man dann eine Ebene mit Kongruenz.
Dann gibt es auch andere Autoren, die das vielleicht anders bezeichnen würden.
Also eine sowie äklidische Ebene,
nur dass die Eigenschaft affin nicht erfüllt sein muss,
insbesondere das Parallelen Aktionen nicht
erfüllt sein muss
Und ein wichtiges Standardbeispiel dazu ist die reelle hyperbolische Ebene,
die ganz vorne im Skript kurz vorkam,
als die Spurgeometrie auf dem Einheitskreis im R-Hoch 2,
wo eben das Parallelen Aktion nicht gilt.
Also hyperbolische Geometrie ist ein Stichwort. Und auf dieser Ebene
können wir eben auch eine Konkurrenzrelation einführen,
die W1 für 2 wie 3 erfüllt.
So eine typische, solche nicht-euklitische Geometrie,
die aber im gewissen Sinne doch nah an der äklitischen Ebene ist,
in dem Sinne,
dass diese ganzen Sachen da trotzdem gelten
Das ist die Bemerkung 4, 6, 4,
1, die Bemerkung 6, 4-2,
die scheide ich jetzt hin und das gucke ich auch,
gucken wir auch vorher nochmal kurz hier rein.
Also hier in W1 wird nirgends gesagt,
dass A-Strich und B-Strich verschieden sind und dass ich überhaupt die Verbindungsgrade deshalb sinnvoll hinschreiben kann,
das begründe ich gleich, warum A-Strich und B-Strich verschieden sein müssen.
Ich sage vielleicht auch bei W2,
da sind natürlich A und B verschieden,
das steht hier nicht, aber wenn nicht koordinär,
wenn die gleich wären A, Koma A, Koma X,
die werden ja koordinär,
das heißt,
die sind auch verschieden
Und wir können genauso, wie ich es gleich für W1 erkläre,
auch dann wieder beweisen, dass dann auch A-Strich-B-Strich verschieden sind
und dass wir deshalb auch die beiden Verbindungsgraden hinschreiben können.
Das ist jetzt,
das steht so oder weniger in der Bemerkung 2 unter Punkt 2 hier drin,
in W1 und ich schreibe hier mal dazu und W2,
in W2 wird im Skript nicht gesagt,
aber da ist es genauso, gilt A-Strich ungleich-b-Strich.
Daher existiert die Verbindungsgrade A-Strich-b-Strich.
Und warum ist das so
Denn das kommt jetzt zu die Begründung. A, Strich
B, Strich Solja. Kongruent zu A, B sein.
Das ist die Voraussetzung in beiden Axiomen und wäre A,
Strich Gleichb-Strich. Dann hätten wir, das ist unser A,
B, wäre dann ja kongruent zu A, Strich.
A, Strich. Und da hatten wir das Kongruenzrelationen,
Axiom K3, dass wir sagt,
wenn ein Punktepaar kongruent zu einem Punktepaar ist mit zwei gleichen Einträgen,
dann müssen auch hier die beiden Punkte
gleich sein
Und das ist ein Widerspruch, weil in beiden Situationen a, garantiert ungleich b ist.
Das also hierzu, das muss also nicht gefordert werden,
das Arschstrich-Ungleich-B-Strich ist, das kann man beweisen.
So, dann kommt die Aussage 3,
die lasse ich wieder weg. Das können sie sich durchlesen,
das ist das, was ich hier schon angedeutet habe,
dass die Zuordnung X wird abgebildet auf X-Strich,
dann später als Gradenspiegelung an der Graden Abi, interpretiert werden kann,
das kommt sowieso später in der Vorlesung noch vor.
Deshalb bin ich da jetzt nicht darauf eingehen,
dass es nur so ein kleiner Ausblick,
der unter Punkt 3 und ich komme zum Unterpunkt 4,
das ist die einzige Teilaussage, wo wirklich ein Beweis auch dabei steht.
Deshalb schreibe ich die immer ein bisschen ausführlicher auch hin,
diese Aussage. Wenn EG kongruent eine euklidische Ebene ist,
also sei und dann sei A, B, C,
Kongruent zu A-Strich-B-C-Strich, dann gilt Wenn A, B,
C koordinär sind, dann sind auch A-Strich-B-Strich-C-Strich-Kolinär.
Und natürlich gilt, wenn ich das gleich gezeigt habe,
gilt auch die Umkehrung. Weil Konkurrenz ist ja symmetrisch.
Also das ist klar, dass das dann auch gilt.
Und warum mache ich das hier? Das schreibe ich vielleicht
mal in Brot dazu. Daher gilt ihnen wie zwei A-Strich-B-Strich-B-Strich-Gefield-Kolinär
A-Strich-B-Strich, X-Strich, Nicht-Kolinär. Also hier irgendwie zwei hatten wir vorausgesetzt,
dass A, B,
X nicht koordinär sind und die beiden Triebel hier kongruent,
wenn jetzt diese drei koliniavien, artstrich-b-x-Strich,
dann würde nach der Aussage, die ich gleich beweisen will,
wären dann auch diese drei koordinär, die sind aber nicht koordinär.
Das heißt, ich kann hier schließen aus dem,
was ich jetzt gleich beweisen werde,
dass in W2 auch A-Strich-B,
X-Strich nicht koordinär sind,
so wie ich
es auch hingezeichnet habe
Und jetzt möchte ich das hier beweisen. Und, das führe ich hier mal aus.
So, also diese Richtung will ich beweisen, die andere geht dann analog. Die Aussage ist klar,
wenn zum Beispiel A gleich B ist und so weiter oder wenn A gleich C ist,
etc., denn wenn ich nur zwei Punkte habe,
die sind ja immer kollinär,
dann sind auch mit der Argumentation von oben,
müssen dann auch hier die entsprechenden Punkte A, Strich
B, Strich zusammenfallen und dann hätten wir hier
auch nur zwei Punkte und die sind auch immakulinär
Das heißt, sein jetzt, also A, B,
C, Paarweise verschieden. Ich schreibe kurz verschieden.
Keine zwei von denen identisch. Dann sehen, wie ich
gerade gesagt habe, dann sind auch Strich-B-C-Strich verschieden.
So. Und A, B, C seien koordinär.
Sein A, B, C koordinär.
Diese Richtung will ich zeigen. Wenn die koordinär sind,
das ist dann auch A-Strich-B,
Strich-C-Strich-koordinär sind
So, dann gilt, dann wende ich auf A,
Strich-B, Strich-C-Strich jetzt das Axiom W1 an,
auf A, B, C, das Aktion W1 an,
dann existiert ein eindeutiges, das hieß hier C-Strich auf der Verbindung.
Gerade C-Strich habe ich aber schon anderweitig, ich nenne es jetzt D-Strich,
ein eindeutiges D-Strich auf A, Strich-B-Strich, sodass A,
B, C, Kongruent, A, Strich-B, Strich-D-Strich.
Genau, und wenn jetzt unser C-Strich gleich D-Strich wäre,
Dann wären wir fertig, weil dann, Strich-B-Strich-C-Strich-Kolineia wären.
Ich mache eine Skizze. Ich habe hier A,
B, C, A, Strich, B-Strich, D-Strich.
Und ich mache jetzt die Annahme, dass C-Strich eben nicht
auf der Verbindungsgrade liegt und führe die zum Widerspruch.
Das mache ich mal hier in die Ecke.
C-Strich-Nicht-Element-A-Strich-B-Strich. Und ich male das irgendwo hier auf meinem Blatt Papier.
Das ist halbwegs plausibel aussieht in meiner Skizze vielleicht hierhin.
Ziehstrich. Sodass A-Strich-B-Strich-C-Strich soll ja kongruent sein, zu A,
B, C. So. Jetzt gucken wir. Ich möchte gleich
das Axiom W2 verwenden. Wir haben jetzt, also Wir
haben zwei Sachen. Wir haben jetzt für diese drei nicht
kolinearen Punkte, haben wir A-Strich-B-Strich-C-Strich-Kongruent zu ABC.
Und wir haben, nach diesem hier, A-Strich-B-Strich,
die Strich für die kolinearen Punkte, auch kongruent zu ABC.
Und jetzt sind wir in der Situation von dem Aktion W2.
Da haben wir auch drei Nicht-kolineare Punkte.
Das sind jetzt bei uns A-Strich-B-Strich-C-Strich,
hier hießen sie ABX
Drei andere Punkte, von der ist denen es nicht gesagt,
ob sie kollinär sind oder nicht, sodass die beiden Tripel konkruent sind.
Das ist jetzt das Triple A, B,
C. Dann haben wir auf den Verbindungsgraden der jeweils ersten beiden Punkte hier A,
B, A, Strich B, Strich, einen Punkt,
C bzw. C-Strich, das ist jetzt bei uns D-Strich-beziehungsweise.
C, sodass die Triple auch kongruent sind und die Aussage von W2 sagt jetzt,
dass dieser letzte Punkt hier verbunden mit,
also zu ein paar gemacht mit diesem Punkt, XC,
kongruent ist zu X-C-Sc-Sc-Strich.
Das ist das, was hier steht.
Und das wende ich jetzt auf meine Situation an,
da sind das diese Punkte. W2 sagt,
dass das Paar ziehstrich D-Strich kongruent ist zu dem Paar,
der bei den hinteren Triebeln gemeinsam auftretenden Punkte.
Das ist aber jeweils der Punkt C. Also C-Strich D-Strich-Kongruent zu
C-C-C. Und da haben wir wieder unser schon mehrfach verwendetes
Was uns sagt, ich meine,
hier zweimal der gleiche steht,
dass dann auch C-Strich gleich D-Strich sein muss und das ist ein Widerspruch,
weil unsere Annahme war C-Strich liegt nicht auf der Verbindungsgrade D-Strick,
lag aber auf der Verbindungsgrade,
also können Sie nicht identisch sein,
also war die Annahme falsch und wir haben die Behauptung bewiesen,
dass Zielstrich doch auf der Verbindungsgrade draufliegt und sogar genauer,
dass er
gleich D-Strich sein muss
Genau, ich glaube,
ich beende hier dieses Video und kündige nur schon mal an,
dass im nächsten Video dann der Satz gezeigt wird,
dass eine affine Ebene AG,
EK über einer separablen quadratischen Körpererweiterung,
solange der Körper K nicht der Körper mit zwei Elementen ist,
dass die dazugehörige Struktur mit der entsprechenden Kongurrenzrelation eine äuklidische Ebene ist,
also dass in dem Fall die Axiome wie eins wie zwei wie drei gelten.
Das werde ich im nächsten Video beweisen und mache hier aber
erstmal Schluss und danke für die Aufmerksamkeit