Guten Tag, meine Damen und Herren. Ich begrüße Sie zur Vorlesung empirische Konjunkturanalyse.
Wir waren stehen geblieben in der letzten Stunde bei der Besprechung der Nelson Plosser,
Resultate, die im Wesentlichen besagten,
dass makroökonomische Zeitreihen durch eine Random-Walk-Komponente kennzeichnet sind genau genommen,
dass der Trend, der sich in makroökonomischen Zeitreihen normalerweise findet,
also ein aufwärtsgerichteter Zeitrennt,
dass der ihr auf einen random
Walk mitdrift,
zurückzuführen ist
Als auf einen linearen, deterministischen Trend, so wie das
bis in die frühen 80er Jahre hinein die gängige Sichtweise der Microökonomen gewesen ist.
Nächsten und Ploser haben in ihrem Papier erstmals mit großer Deutlichkeit darauf hingewiesen,
dass diese Sichtweise, diese traditionelle Sichtweise vermutlich falsch ist.
Und dass es sinnvoller wäre, den Trend,
den man in einer Reihe hat,
nicht zumindest gedankenlos von dem Zyklus einer Zeitreihe zu trennen,
weil beide vermutlich auf ähnliche oder sogar die gleichen Arten von Schocks zurückgehen.
Das heißt, makroökonomische Schocks verändern, sowohl den Zyklus einer
makroökonomischen Zeitreihe als auch deren Trend. Das bedeutet also,
dass Schwankungen,
die wir beispielsweise im Bruttoinhaltsprodukt sehen oder in irgendeinem anderen Maß für die aggregierte Aktivität,
nicht notwendigerweise im traditionellen Sinne zyklische Schwankungen sein müssen,
sondern es können auch längerfristige Schwankungen sein,
die sich um den Wachstumstrend herum ergeben oder die inhärenter Teil
des Wachstumstrends sind
Deshalb wäre es falsch, das war unser Erkenntnisstand,
am Ende der letzten Stunde,
alle Schwankungen des Outputs einfach nur als zyklische Phänomene zu sehen.
Denn das würde zu einer Überschätzung der Bedeutung des Zyklus führen.
Das ist nun vielleicht ein bisschen schwierig, vorstellbar,
wenn man nur die Schätzergebnisse und Testergebnisse von Nelson und Bosser
sich vor Augen führt.
Deshalb hatte ich Ihnen noch ein illustratives Beispiel dazu versprochen.
Und das kommt jetzt hier auf der nächsten Pool hier.
Das Beispiel habe ich übertitelt Scheinzyklizität
Das Beispiel soll illustrieren, dass in einem Prozess,
in einer Zeitreihe, die wir in diesem Fall künstlich erzeugen werden,
keinerlei Zyklizität drin ist, dass man aber,
wenn man die falschen Methoden verwendet, die Auffassung gewinnt als beinhaltet,
die Zeitreihe einen Zyklus als gäbe,
ist also etwas ähnliches wie,
sagen wir mal,
Konjunkturschwankungen,
obwohl tatsächlich solche Konjunkturschwankungen gar nicht in der Zeitreihe angelegt sind
Das meisten ist auch eigentlich sehr einfach. Nämlich wir zeugen uns
einfach im Computer einen Renom Walk mit trifft, gemäß Vergleichung.
Ziehen. Ich zeige gleich um zehn nochmal, damit es
sich wirklich überzeugen können, dass da kein Trend drin ist.
Enjoy und kein Zyklus drin ist. Hier ist gleich um zehn
. Das heißt, wir erzeugen uns einen autoregressiven Prozess,
dessen RR-koeffizient gleich eins ist. YT ist ein Konstantinu plus
YT minus eins, plus weißes Rauschen UT.
Einer solchen Zeitreise sollte ihnen inzwischen klar sein,
ist nichts zyklisch
Jeder Periode wird einfach der alte Wert,
die Basis sein für den neuen Wert.
Das heißt, der wird der Vorperiode YT minus 1,
ist Ausgangspunkt für den Wert der jetzigen Periode.
Und zwar wird der Wert der Vorperiode Nuris zwei Einflüsse verändert.
Nämlich zum einen wird immer eine bestimmte Konzernte hinzuaddiert.
Das hat also offensichtlich nichts zyklisches Ansicht. Und zum anderen
wird ein Schock erzeugt, der weißes Rauschen ist und weißes Rauschen hat.
Ex-Definitione ebenfalls nichts zyklisches. Und daraus ergibt sich dann bereits
der Wert der neuen Periode YT.
Und so setzt sich das hier
immer weiter fort
Also dies ist, wie wir wissen, ein Random Walker mit trifft.
Und wir erzeugen uns jetzt einfach einen Random Walk mittrifft im Computer.
Also eine Zeitreihe YT, die keine zyklische Komponente hat, konstruktionsbedingt.
Das heißt, was man macht, ist einfach,
man zeugt sich im Computer 100 Artifizielle Beobachtungen.
Ich habe ihnen diese Beobachtung, diesen Random Walk,
auch in Stine abgelegt, als variable Random Walk Nummer 1.
Das wird hier erzeugt mit einer konstanten My von
Und dann mit weißem Rauschen UT, was einfach normal verteilt ist,
mit Erwartungswert null und einer Varianz, Sigmar Quadrat U,
die Standardabweichung ist 0,01,
die Varianz ist erst besprechend kleiner, das Quadrat davon.
Und so wird dieser Renno Walk 1 erzeugt, da die schocksweißes Rauschen sind,
sind sie voneinander stochastisch unabhängig und insbesondere nicht autokorreliert.
Das heißt, ganz offensichtlich ist es so, dass hier
keine Zyklizität vorliegt. Nun, hier ist die Zeitreihe,
die ich erzeugt habe. Ich habe jetzt mal so getan,
als hätte ich die auch von 1870 bis 19170 erzeugt,
also über 100 Jahre hinweg,
so wie die Netzen und Plosserdaten
ungefähr strukturiert sind
Und dann sehen wir hier eine Zeitreihe, die einen künstlich erzeugt ist,
nur ein Random Walk, mit trifft ist.
Und das erste, was wir noch machen können, ist,
dass man den optischen Eindruck vergleicht, mit dem einer realen makroökonomischen Zeitreihe.
Und dafür nehme ich jetzt mal die Reihe des Bruttoinlandsprodukts,
die wir immer betrachten. Die haben sie schon gesehen.
Die sieht so aus. Und das war jetzt hier ein
anderer Zeitraum, wie sie wissen. Und wir arbeiten mit Quartalsradaten,
48, 1 bis 20, 20 zu.
Aber wenn sie sich einfach nur diese Zeitreihe anguckt,
gucken und das vergleichen mit der Zeitreihe hier, dann sehen sie,
klar, es ist zwar nicht die selbe Zeitreihe,
aber so ein richtig,
ganz offensichtlicher Unterschied zwischen den beiden Zeitreihen ist eigentlich auch nicht
zu erkennen,
denke ich
Nun, stellen wir uns mal vor, wir hätten also diese künstlich erzeugte Zeitreihe.
Hier den Renne Walk mittrifft. Und wir würden jetzt das tun,
was Konjunkturanalytiker bis zum Anfang der 80er Jahre praktisch immer gemacht haben.
Nämlich, wir sagen, diese Zeitreihe ist Trendstationär.
Das hier, so haben das Konjunkturanalytiker oft gesagt,
ist eine Zeitreihe. Da liegt irgendwie ein linearer Trend zugrunde.
Und dann gibt es Schwankungen um diesen linearen Trend.
Und die Konjunkturanalytiker interessierten sich nur für die Konjunktur und nicht für den Trend,
denn der war ja langweilig. Das ist einfach gerade,
die hat eine gewisse Steigung und sowas, da lernt man nichts draus.
Das heißt, was sie gemacht haben, ist,
dass sie linearen entschätzt haben und abgezogen haben von der Gleichung und das nannten sie dann eine Trendbereinigung.
Das heißt, sie haben den rausgerechnet aus den Daten,
um sich nur noch dem Zyklus zuwenden zu können.
Und nehmen wir also mal an,
wir würden jetzt gedankenlos, habe ich hier extra geschrieben,
weil es eben nicht das richtige Vorgehen ist.
Wir würden das gedankenlos genauso machen, wie das
die Konjunkturanalytiker früher gemacht haben.
Wir unterstellen Trennstationalität
Und um jetzt Trend und Zyklus trennen zu können,
die nach dieser Vorstellung hier trennbar wären,
wird eine Trendbereinigung durchgeführt,
indem man zunächst mal eine Preisquadrateschätzung durchführt,
bei der unsere abhängige Variable auf eine konstante und auf einen Trend-Term regressiert wird.
Hier ist die abhängige Variable, hier ist die Konstante,
hier ist der Trend-Term, hier sind die geschätzten Koeffizienten dafür.
Wir sehen der Wert für die Konstante, naja,
der ist fach negativ, ist auch nicht so ganz signifikant.
Ein Seewert von minus 1,28. Interessiert uns im Augenblick nicht weiter,
wir nehmen einfach mal diesen Wert, so wie er geschätzt worden ist.
Und da wird ja auch ein Steigerungskoeffizient für den Trend errechnet
Setzt. Das ist zufälligerweise bis auf drei Stellen genau derselbe Koeffizient,
wie für die Konstante, aber das spielt keine Rolle.
Das ist in der Tat einfach nur ein Zufall.
Und dieser Trend koeffizient ist hoch signifikant, wie Sie sehen,
mit einem Teewert von 79. Also gar keinen Zweifel.
Natürlich ist in diesen Daten ein Trend drin. Und jetzt machen wir Folgendes,
wir ziehen mal von der beobachteten Variablen Rando Walk 1.
Davon ziehen wir mal den Wert der Konstanten ab und dann ziehen wir den linearen Trend ab,
den wir hier berechnet haben,
damit wir nur noch die zyklischen Elemente dieser Zeitreihe kriegen,
jedenfalls ausgehend von der Annahme,
dass die ZA3 Trendstationär ist und dass sie durch einen
linearen Trend gekennt ist
Was dann übrig bleibt, sind die Residon genau dieser Gleichung hier.
Also Rennywalk minus die Konstante, minus der Trendherm,
sind natürlich die Residon in dieser Gleichung.
Die geschätzten Residon, also die schätzen Störungen dieser Gleichung.
Und die sehen dann so aus. Und das ist die große Überraschung,
was man bis Anfang der 80er Jahre oder Ende der 70er Jahre nicht wirklich wusste.
Denn das ist natürlich eine völlig falsche Schätzung für die Schocks,
die dieses Modell getrieben haben.
Warum sieht man, dass das völlig falsch ist?
Nun deshalb, weil wir wissen, die Schocks,
die wir in dieses Modell hineingesteckt haben, Diese Schocksier sind weißes Rauschen.
Das heißt, die sind stochastisch unabhängig und die sind nicht autokorreliert.
Sie erinnern sich hoffentlich noch, wie weißes Rauschen aussah,
ganz bestimmt nicht so. Hier sehen wir sozusagen eine große,
lange Welle und ganz offensichtlich ist hier Autokorrelation in den Daten.
Hier geht es wieder aufwärts und hier scheint es erstmal wieder abwärts zu gehen.
Also es wird wie über diese 100 Jahre hinweg jetzt wie ein großer, langer Zyklus,
ein voller Zyklus durchlaufen und vielleicht ein bisschen mehr als das.
Der hier plötzlich in den geschätzten Störthermen auftaucht,
nur deshalb, weil wir eine Trendbereinigung durchgeführt haben
Und wir wissen, dieser Zyklus ist völlig falsch.
In den tatsächlichen Störungen, U gab es keinerlei Zyklus.
Das war weißes Rauschen. Das heißt, die Trendbereinigung hat
uns hier einen Zyklus hinein erzeugt in die Reseren der OLS-Schätzung.
Dieser Zyklus ist ein sehr langweiliger Zyklus. Man bezeichnet
so langweilige Schwingungen in Output rein, manchmal als Kondradjev-Zyklus.
Damit sollen Zyklen beschrieben werden, die durch besonders grundlegende technische
Innovationen erzeugt worden sind. Also da spricht man beispielsweise von
sogenannten General Purpose Technologies, also bestimmten Technologien,
die entwickelt werden
Die sehr breite Verwendung finden können, die für sehr allgemeine
Zwecke zur Verfügung stehen können. Und dann hat Kondratjew,
ein russischstämmiger Wirtschaftswissenschaftler, dort eine gewisse Theorie zu entwickelt,
dass so alle 50 Jahre mal eine solche Innovation vorkommt.
Ja,
also da hat er angefangen mit der Entwicklung der Dampfmaschine Ende
des 18. Jahrhunderts und dann hat er die Industrialisierung als weitere
technische Innovation gesehen und die Entwicklung der Elektrizität und die Entwicklung
der chemischen Industrie und die Entwicklung der Elektronik im Sinne von der Fähigkeit zur digitalen Datenverarbeitung,
der möglicherweise eine weitere kontraktive Innovation gewesen.
Diese Innovationen sind selten, aber sie haben sehr große wirtschaftliche
Auswirkungen und sie können vielleicht zu solchen langfristigen Schwingungen anders geben.
Die traditionelle Konjunkturtheorie hat oft geglaubt, dass die konjunkturellen Fluktuationen
sich erklären lassen durch die Überlagerung von Zyklen mit unterschiedlicher Zyklusdauer.
Der Kondratjev-Zyklus mit dieser sehr langen Welle, die wir um
es hier hinein interpretieren können, wäre sozusagen die langfristigste Schwingung gewesen.
Und dann haben viele Konjunkturtheoretiker oder Konjunkturanalysten,
aber auch die Theoretiker gedacht, naja, und darum,
um diese Konrantierschwingung gibt es dann kürzerfristige Schwingungen,
die vielleicht so die klassische Konjunkturdauer haben von sieben bis 14 Jahren,
meinetwegen.
Und das könnten dann solche Schwingungen sein hier.
Das wäre eine Schwingung entlang eines Konratierzyklus.
Und hier wäre eine neue, konjunkturelle Schwingung.
Und dann geht es hier noch einmal runter,
starke Rezession und wieder eine Schwingung aufwärts
Und dann haben sie hier eine neue konjunkturelle Schwingung. Also so können sie jedenfalls denken,
dass sich auf dem Kontratierzyklus hier noch weitere mehr konjunkturelle Schwingungen abspielen,
in unseren Residionen U, von dem wir wissen,
dass es eigentlich meistes Rauschen ist,
dass da überhaupt keine Schwingung drin ist.
Das heißt, genau wie noch ein Gewissen,
das über die Störtherme, dass da keine Schwingung drin ist,
aber die Residionen geben offenbar ein völlig falsches Bild von den wahren Stöttern.
Denn die Residionen, also die geschätzten Störtherme,
haben ganz starke Autokorrelationen und weisen offenkundig Schwingungen auf,
obwohl in den wahren Störungen keinerlei Autokorrelation war und
keinerlei Schwingung im Sinne konjunktureller Schwingungen
vorhanden gewesen ist
Das heisst, die Ergebnisse dieser Schätzung hier sind außerordentlich irreführend.
Und wenn Konjunkturanalytiker dahergehen und aus Zeitreihen einfach nur eine langfristige
Trendkomponente isolieren und die von dieser Zeitreihe abziehen und dann sagen,
das ist die Trendbereinigung, dann erzeugen sie sich den Konjunkturzyklus,
den sie gerne erklären wollen, zunächst mal selbst.
Wenn die wahre Zeitreihe eine Einheit zurückzuleiten. Denn das ist das entscheidende Ergebnis,
ein Prozess, der eine Einheitswurzel hat,
weist fälschlicherweise von Jukturzyklen auf, wenn man diesen Prozess mit einer,
durch den Abzug eines linearen Trends scheinbar Trend bereicht.
Das heißt, es ist die falsche Trendbereinigung,
die hier hervorgerufen wird oder die hier durchgeführt wird.
Und sie ruft einen Zyklus hervor, der eigentlich in den Daten
gar nicht drin ist. Und da sind natürlich sämtliche Ergebnisse,
die man konjunkturanalytisch feststellt, würde ich falsch. Das heißt,
wenn sie Papiere lesen, ältere Papiere,
die in den 70er, 60er,
50er Jahren des 20. Jahrhunderts entstanden sind und die irgendwas zur Konjunktur sagen,
dann können sie die meistens einfach in den Mülleimer schmeißen.
Weil da die falsche Form
von Trendbereinigung gemacht worden ist
Die Leute, die sich dann mit diesen Einheitsrusselprozessen befasst haben,
Leute, deren Namen sie jetzt zum Teil kennen,
Dicky und Fuller und Nelson und Wasser, haben das erstmalig erkannt.
Und seitdem steht die empirische Konjunkturanalyse, also auf einem ganz anderen Fundament.
In dieser Folie sehen Sie noch die Autokorrelationsfunktion der geschätzten Residuren.
Und Sie sehen eben, dass der ganz, ganz,
ganz starke Autokorrelation drin ist.
Hier ist ja die Achse zu erkennen. Sie sehen,
hier ist 0,8888, also da sind wir ungefähr 0,9. Das heißt,
Sie sehen, der erste,
der erste Lake von U meist einer Autokorrelation von 0,9
auf.
Und dann fallen die Autokorrelationen langsam ab
Er ist hier, irgendwann erreichen sie dann so die Changroosbreite von einem Standardfehler.
Das heißt, jetzt weiß ich gar nicht mehr ganz genau,
ist das ein Standardfehlerband oder ein Zwei-Standardfehlerband?
Das müsste ich noch mal nachgucken, ist aber letzten Endes auch wurscht.
Also Sie sehen, die Balken hier reichen ganz, ganz weit drüber hinaus.
Aber ich habe hier einen Zwei-Standardfehlerband berechnet. Sie reichen ganz
klar darüber hinaus. Das sind also ganz klar hochsignifikante Autokorrelationen,
obwohl in den wahren Störungen U überhaupt keine Autokorrelation drin gewesen ist.
Hier hat uns also die falsche Form der Trendbereinigung
einen Zyklus in die Daten hineingeschwindelt,
der eigentlich gar nicht da ist
Und deshalb muss man auf diese Einheitswurzelgeschichten sehr acht geben,
wenn man ökonomische Zeit rein analysiert.
Ja, ich habe Ihnen eine Excel-Datei nach Dino hochgeladen,
die heißt randowalk.xls. Und da steht stehen kleine Befehle drin,
mit denen Sie sich an Randowalk selbst folgen könnten an Randowalk mittrifft.
Erzeugen Sie sich da einfach mal Daten und analysieren Sie diese künstlichen Daten mit Jay Multi,
sodass sie sich davon überzeugen können, wie falsch das Ergebnis ist,
was Sie dort bekommen in Bezug auf die Tykilizität.
Denn Sie würden auch dann Zyklizität finden,
obwohl tatsächlich in ihrer erzeugten Excel-Datei überhaupt keine Zyklizität
angelegt gewesen ist
Gut, ich habe Ihnen das hier mit einer Excel-Datei gegeben,
da wird Ihnen dann durch den Befehl Zufallszahl eine gleichverteilte Zufallszahl erzeugt.
Bei der Reihe, die ich hier benutzt habe,
habe Rendez Walk 1, habe ich einen normalverteilten Zufallszahlengenerator genommen,
was wahrscheinlich ein bisschen realistischer ist.
Ja, aber das spielt für die Validität des Phänomens
keine Rolle. Gut, gibt es hierzu Fragen?
Dann nutzen Sie bitte das Handzeichensymbol,
um mir das zu signalisieren
Ich hatte da am Anfang nur einen Teilnehmer überhaupt da war,
nicht gefragt, ob sie Interaktion haben wollten.
Das können wir aber immer noch am Ende der Sitzung haben.
Ich sehe jetzt auch keine Fragen. Ich denke auch,
das Beispiel dürfte für sich genommen klar genug sein.
Deshalb wollen wir wechseln,
jetzt zum Kapitel 2 und uns dort mit einer Erweiterung unserer
empirischen Kulturanalyse befassen
Nun, was ihr bislang gemacht habt, in Kapitel 1
war das ja immer nur eine Zeitreihe betrachtet haben.
Wir haben nur das Bruttoinlandsprodukt der Vereinigten Staaten uns angeguckt und
wir haben daraus die wichtige, aber vorläufige Erkenntnis gezogen,
dass das Bruttoinlandsprodukt der Vereinigten Stadt von Amerika wohl eine Einheitswurzel
hat und dass man deshalb die Schocks von denen dieses Bruttoinlandsprodukt getrieben wird,
vermutlich als technologische Schocks interpretieren sollte.
Das ist insofern eine sehr enge Analyse, als,
naja, ist natürlich sehr viel mehr makoökonomische Zeitreihen gibt,
als nur das Bruttoinlandsprodukt,
also auch und Investitionen und Arbeitsstunden und Zinssätze und Geldmengen und sowas alles,
kann man sich ja auch alles angucken.
Und vielleicht würde das Betrachten von mehreren Zeitreihen uns weitere Aufschlüsse geben.
Außerdem ist es natürlich schon eine sehr gewagte Hypothese,
das so zu machen, wie dass die Real-Business-Cycle-Leute in ihren Modellen gemacht haben,
zu sagen, es gibt im Wesentlichen nur einen Shop.
Und diese Annahme haben wir ja machen müssen,
weil wir nur eine Zeitreihe betrachtet haben,
wenn man nur eine Zeitreihe betrachtet, kann man immer nur einen Schock identifizieren.
Zwei Schocks sind nicht, also selbst wenn es zwei Shocks gäbe,
vielleicht sogar zwei sehr verschiedene Schocks gäbe,
die eine Zeitreihe treiben,
dann würde das bei der Analyse der einen Zeitreihe nur als einen Schock erfassbar sein,
nämlich als irgendwie eine Art Kombination der beiden eigentlichen Schocks
Und nun wird es natürlich kein vernünftiger Mensch behaupten,
dass Konjunktur nur und ausschließlich von technologischen Chancen befrieden wird.
You real business cycle, Leute, selbst haben das auch nicht behauptet.
Die haben sozusagen nur als Überspitzung darauf hinweisen wollen,
dass selbst dann, wenn man nur einen einzigen Schock tut,
ist nämlich nur einen technologischen Schock tour lässt,
selbst dann erklärt man schon einen großen Teil der Fluktuationen,
die sich in den Daten finden,
nur mit diesem einen Schock.
Aber sie wollten nicht sagen, dass es nicht vielleicht
auch Geldmengen-Shocks gibt oder Präferenz-Shocks gibt oder Jogs gibt,
die über den Außenhandel oder Außenwirtschaftliche Beziehungen,
die Konjunktur beeinflussen
Solche Shots gibt es. Die Frage ist im Wesentlichen,
wie wichtig sind diese Chancen und die Real Business Circle-Leute haben gesagt,
also diese Schock sind weitaus weniger wichtig,
vielleicht sogar vernachlässigt war, gegenüber den allerwichtigsten Shocks.
Und da sind die technologischen Jobs, deshalb haben sie sich darauf konzentriert.
Aber es gab natürlich an der Real Business Cycle-Hypothese auch Kritik
und es gab Leute, ihr dürft nicht andere Shocks.
Jede Leute, die gesagt haben, ihr dürft nicht an,
du shockst vernachlässigen und wir müssen denen auch die Möglichkeit geben,
fassbar zu werden in empirischer Analyse
Deshalb wollen wir jetzt mehrere Zeit rein beobachten können und damit auch mehrere Schocks identifizieren können.
Und den größeren Teil oder eigentlich den Rest, glaube ich,
der heutigen Vorlesung werde ich darauf verwenden, ihm klarzumachen,
was das eigentlich heißt, einen Schock zu identifizieren.
Und dass es nicht ganz einfach ist, Schocks zu identifizieren,
wenn es mehrere gibt. Wenn es nur einen Schock gibt,
dann ist es natürlich einfach. Dann schätzen wir eine Gleichung,
am Ende stehen irgendwelche Residon und das ist der Schock,
den wir identifiziert haben. Aber wenn wir mehrere Schocks haben,
dann ist es nicht so leicht, die zu identifizieren.
Und dann müssen wir auch wissen,
wie viele Schocks gibt es und wie wichtig sind die einzelnen
Schocks und in welcher Beziehung stehen die zu den Residonen,
die wir schätzen,
wenn wir
ökonometrische Modelle schätzen
Also mit diesen Fragen wollen wir uns jetzt befassen.
Und dazu gucken wir uns jetzt mehrere Zeit rein an,
gleichzeitig und in der Art und Weise,
wie diese Zeit rein, sich gegenseitig beeinflussen.
Wobei ich mich in Kapitel 2 beschränke auf stationäre Prozesse.
Die Einheitswurzelgeschichten, die vertagen wir bis hin zu Kapitel
3. Da treten sie wieder auf. Aber zunächst mal ist
es wichtig, die Theorie für stationäre Prozesse zu verstehen.
Nun mögen Sie sich wundern und fragen,
gerade hat der Luke doch erklärt,
wie wichtig
die Einheitswurzeln sind
Konzentriert er sich jetzt plötzlich auf stationäre Prozesse und blendet die Einheitsrution wieder aus.
In der Tat ist das nicht das Beste. Vorgehen,
aber didaktisch ist es sinnvoll, die Multivariaten-Prozesse da,
also wo es mehrere Variablen gibt,
erst einmal im Bereich der stationären Welt zu betrachten und von den Einheitsruzeln,
die ja ein bisschen kompliziert sind, erst mal abzusehen.
Aber wir kommen dahin, also versprochen, machen wir noch.
Dann machen wir vielleicht noch mehr, als ihm lieb ist.
Wir beschränken uns hier zunächst mal auf stationäre Prozesse und wenn
unsere Makro-Zeitreihen nun aber eigentlich I1 sind, genau,
über noch um die Logarithmen der Makro-Zeitreihen I1 sind,
das heißt, wenn die eigentlich eine Einheitswurzel haben,
dann wählen wir einfach folgenden Kniff,
wir differenzieren die
Das heißt, wir bilden die erste Differenz der Logarithmen und das bedeutet,
wir arbeiten mit den Wachstumsraten, dieser backoökonomischen Zeitreihen.
Die Wachstumsraten sind dann stationärer Prozesse,
weil die Prozesse ja nur I1 waren. Das heißt,
einmaliges Differenzieren, das Bilden der ersten Differenz führt dazu,
dass diese erste Differenz dann bereits stationär ist.
Und dann müssen wir uns über Einheitsruzeln keine Gedanken mehr machen. Okay,
nach dieser Vorrede zu dem, was jetzt kommt,
wollen wir uns auf den Analyseraben zunächst einmal konzentrieren und uns angucken,
was wir genau betrachten und in welcher Form wir das tun.
Wir wollen mal sagen,
wir betrachten jetzt K-Variablen gemeinsam
Oh, K ist oben bezahlt, das ist ganz egal, wie viel.
Wir können, als jetzt im Prinzip jede endliche Anzahl von unterschiedlichen Zeitreihen gemeinsam betrachten.
Und wir ordnen die an in K-dimensionalen Wektonen. Das heißt,
wir betrachten jetzt K Zeit rein und in einem Vektor Y
wird jetzt in K-Komponenten jeweils der Wert einer bestimmten Zeitreihe stehen,
also in jeder Komponente,
der wird einer anderen Zeitreihe stehen,
in einer gegebenen Periode T. YT ist also ein Vektor,
der besteht aus den K-Werten,
Edikat-Zeitreihen in der Periode T
Diese K-Variablen sind in der Regel dann auch voneinander abhängig.
Also war der Konsum in Periodity hängt ab vom Einkommen in der Judithee.
Und wie wir schon vom pensionischen Multiplikator-Modell her wissen,
das Einkommen in Periodity hängt aber auch von den Konsumausgaben in Periode T,
abhängig, weil eben Nachfrage auch Einkommen treibt.
Und beides hängt möglicherweise wiederum vom Zinssatz ab, der in der Ökonomie ist.
Das heißt, die makroökonomischen Zeitreihen sind sicherlich nicht unabhängig voneinander.
Ich zeige Ihnen jetzt zunächst einmal, was ein sogenannter Vektor-Auto-regressiver ist.
Und ich beschränke mich hier, damit die Notationen nicht zu kompliziert wird,
nicht überbordet, auf Vektorauto regressive Prozesse erster Ordnung.
Ich werde Ihnen dann später zeigen, wie man Vektorauto regressive Prozesse höherer Ordnung behandelt.
Das ist überraschend einfach. Man kann die nämlich alle zurückführen
auf einen Vektorauto regressiven Prozess. Erster Ordnung,
sodass man sich eigentlich nur mit dem Wahreins näher befassen muss,
der Wahreins schließt, wie Sie sehen werden und wie es wahrscheinlich so überraschen wird.
Auch alle höheren Backdoorauto regressiven Prozesse, also war Peace mit ein.
Was ist ein Wahreins? Zunächst zur Notation. YT,
wie ich sagte, ist jetzt
ein Vektor
Und der hat K-Komponenten, Y1, Y2 bis YK,
jeweils evaluiert in der Periode T. YT ist also der Wegur,
der mir K verschiedene Zeit rein,
jeweils in der Periode T darstellt.
Und sie könnten sich jetzt vorstellen,
das ist ein Konsum in der Periode Partie und das ist
das Einkommen in der Periode T und das ist meinetwegen der Zinssatz in der Parioty.
Und andere Variablen können da auch mit hingehen.
Dementsprechend definieren wir uns einen Vektor von Störungen, U1,
T, U2, T bis hin zur Party
Und wir definieren uns dementsprechend eine Konstante,
die jetzt auch einen K-A-dimensionaler Vektor ist.
Und hier gibt es eine Konstante 01 für die erste Gleichung
und eine Konstante 02 für die zweite Gleichung.
Konstant 0K für die Karte. Leichung. Das war,
was bei unserem einfachen AR1-Prozess dann ein koeffizient Alpha bewiesen ist,
wird jetzt plötzlich eine Matrix Groß A.
Da wird also am meisten sozusagen ein zusätzlicher Dimension gewonnen,
weil diese Matrix A jetzt K-Zeilen hat.
Und K-Spalten hat
Das heißt, die Matrix A ist eine quadratische Matrix und
sie werden gleich sehen, wofür die gut ist.
Die hat im Grunde genommen dieselbe Funktion, wie das Alpha im ARR1-Prozess.
Sie erinnern sich im AR1-Prozess, war YT gleich Alpha mal
YT minus 1 plus UT. Hier wird es ähnlich sein,
YT, aber jetzt eben ein Vektor YT ist gleich A,
mal YT minus 1. Plus der Viktor UT.
Und A gibt dann eben an, in seinen einzelnen Elementen hier,
In welchem Verhältnis die Variable Y1T steht zu ihrer eigenen Vergangenheit,
Y1T minus 1 und zur Vergangenheit Y2T minus 1
und Y3T minus 1 bis hin zu YK T minus 1,
also zu den T minus 1 werten aller anderen K-Variablen.
Dafür bräuchte man dann schon mal 1, 2,
3, 4, 5, 6,
7 bis hin zu K, hohe Effizienten,
allein für die erste Variable,
um anzugeben,
wie die K-Variablen unseres Systems in der Vorperiode wirken auf die Variable Y1T heute,
also auf die Variable Y1 in Periodity
Und entsprechend gilt dann für Y2. Also Y2T, der Wert,
den die zweite Zeitreihe in Periode Tee annimmt, wird dann erklärt,
durch diese Koeffizienten hier in der zweiten Zeit der A-Matrix,
der Koeffizient A21, erklärt,
wie Y2T minus 1 auf Y2T wird.
Quatsch. Wie Y1, Jonny,
der wird A21 erklärt, wie Y1,
aber in Periode T minus 1
auf das Y2T-Wett
Und der koeffizient A22, also immer die Diagonalelemente hier,
in dieser Matrix A. Dieser wird A22 erklärt, wie Y2,
also zweite Zeitreihe, in der Periode T minus 1,
wird auf Y2 in der Periode
T. Also auf dieselbe Variablen der Periode T. Ja,
und dann die weiseren Koeffizienten hier beschreiben wieder,
wie andere Variablen in der Vorperiode auf Variable 2 reagieren und so weiter.
Bin ich künftig eine Null schreibe,
kann das je nach Kontext entweder ein Nullvektor sein,
oder sogar eine Nullmatrix sein,
oder möglicherweise auch ein Skala sein,
was in gewisser Hinsicht als trivialer Weg baut,
oder ein Jan Matrixist
Nun definieren wir uns zunächst mal Eigenschaften für diese Störtherme hier.
Was ich hier machen müssen, ist, dass wir den Begriff
des weißen Rauschens definieren für einen jetzt vektoriellen Störprozess um.
Und das machen wir in diesem grünen Kasten hier.
Ein K-dimensionaler Störprozess UT, so wie er eben hier definiert ist,
der die Eigenschaften hat, dass der Erwartungswert von UT gleich null ist.
Das bedeutet also, alle Komponenten von UT haben einen Erwartungswert
von null. Dieses null hier ist ja
null Lektor
Und der die Eigenschaft hat, dass die Po-Variante Smarttricks von UT irgendeine Matrix-Sigmau-U ist.
Und da machen wir keine weiteren Annahmen drüber, wie diese Matrix-Sigma-U bestellt ist.
Die muss also nicht irgendwie null Elemente enthalten,
da können irgendwelche Zahlen drinstehen, außer,
dass wir annehmen, dass Sigma-U nicht singulär ist.
Das heißt, man kann diese Matrix invertieren. Achso,
Entschuldigung, nee, es ist nicht ganz richtig, was ich gesagt habe.
Wir machen doch noch Annahmen über das UT. Nämlich,
wir machen Annahmen über die Kuh-Variante Smarttricks,
dass der Erwartungswert von UT mal US-Strich für einen unterschiedlichen Vektor-US gegenüber UT
dass dieser Erwartungswert null ist, wenn es ungleich tägst.
Also wenn wir zwei Beobachtungen nehmen für unterschiedliche Zeitperioden, UT und US,
dann soll der Erwartungswert dieses Produkts hier gleich null sein.
Das bedeutet also, dass die Co-Varianz zwischen UT und US
gleich null ist. Das wiederum bedeutet,
dass in der Matrix Sigma U nur die Hauptdiagonale Elemente aufweist,
die von null verschieden sind,
während die nebendiagonalen Elemente aller gleichen Null sind
Gut, also ein solcher kadimensionaler Prozess, der die Eigenschaft hat,
sein Erwartungswert ist null und seine Varianz Koh-Varianz Matrix ist diagonal.
Sprich, hat nur auf der diagonalen Elemente,
die von null verschieden sind und ansonsten ist alles null.
Ein solcher Prozess heißt Multivariates weißes Tauschen oder im Englischen Multivariate, what noise.
Wir werden oft nicht von Multivariate im weißen Rauschen sprechen,
sondern wir werden einfach sagen, es ist ein Prozess,
der weißes Rauschen ist, wenn UT ein Vektor ist,
ein kadimensionaler Vektor,
dann ist es klar,
dass es sich unmultivariatis weißes Rauschen handelt
Also nehmen wir an, UT ist ein solches Multi-Variantes,
weißes Rauschen. Und dann haben wir einen K-dimensionalen Prozess.
YT, der folgendermaßen beschrieben wird. YT ist ny plus
A mal YT minus 1 plus UT. Ein Prozess,
der diese Form hier hat, heißt Vektor-auto-regressiver Prozess,
erster Onnok und wird abgekürzt als Wahr 1.
Und das ist im Prinzip eine ganz einfache Idee.
Wir generalisieren nämlich einfach das,
was wir bei dem AR1 als gemacht haben,
jetzt ihn zu Vektoren und deshalb schreiben wir einfach nur einen V davor.
Ein Victor, Autoregressiver Prozess, erste Ordnung,
weil nur ein verzögerter Y-Term auftritt,
Und ansonsten eben ein Prozess, der hier eine K-dimensionale,
konstante Aufweis, die nicht für alle Einträge,
also nicht für alle Komponenten, in dem Viktor,
denselben Wert Nü haben muss,
sondern es können unterschiedliche News in jedem Einzelnen,
der K in jeder einzelnen der K-K-Komponenten in diesem Vegbony sein.
Wir werden jetzt zunächst diesen Va-1-Prozess analysieren und später werde ich ihnen zeigen,
das war P-Prozesse, also Prozesse höherer Ordnung,
immer als ein Va-1-Prozess geschrieben werden können,
sodass wir mit der Analyse des Va-1 bereits alles abgedeckt
haben,
was man überhaupt abdecken muss
Und wie ist dazu aber ein Beispiel,
weil es eben vielleicht alles nicht so anschaulich ist,
wenn man jetzt nur die Formeln und die Matrizen, die...
Ich zeige Ihnen hier einen solchen Wahrprozess, einen Wahreins-Prozess für den Fall,
wo K2 ist, wo wir also nur zwei Variablen betrachten.
Nehmen wir mal an, also egal, was wir annehmen,
wir könnten hier Konsum und Einkommen betrachten,
wir können aber auch irgendwie etwas anderes betrachten,
wie beispielsweise ausländische Direktinvestitionen,
als Treiber für inländische Sachen zu,
das werde ich gleich in einem Beispiel
dann mit Ihnen machen
Der War 2, Entschuldige, war eins,
ist jetzt zweidimensional, denn es sind zwei Variablen.
Hier zum Beispiel Output oder über und und ausländische Direktinvestitionen.
So wird es gleich in meinem Beispiel sein.
Autput und ausländische Direktinvestitionen sind die beiden Variablen Y12.
Und die beiden Gleichhung spezifizieren jetzt. Das Y1
-1-T abhängt natürlich von einer konstanten 0-1,
aber dann über den koeffizienten Alpha 1-1 von seiner
eigenen Vergangenheit Y1-T minus
Und über einen koeffizienten Alpha 1.2 von seiner Vergangenheit Y2 t-minus
1 Angel von der Vergangenheit der anderen Variablen, CO2,
in der Vorperiode, gibt es so ein 2 teamminus 1.
Also, der Wert von Y1 in Periode T hängt ab
von dem Wert den Y1 in der Vorperiode angenommen hat und
von dem Wert den Y2.2 in der Vorperiode angenommen hat.
In dieser Schreibweise hier, das kann man beliebig natürlich
größer machen, wenn man größere Werte von K wählt.
Und dann kommt weißes Rauschen hinzu,
u1.de ist einfach eine skalare Störung dieser Gleichung,
die weiß zrauschen ist
Entsprechend hängt Y 2T, ebenfalls von einer Konstante ab,
und dann über einen koeffizienten Alva 2-1 von Y1 in der Vorperiode,
also von dieser Variablen hier in der Vorperiode,
und über einen koeffizienten Alva 2-2 von der eigenen Vergangenheit in der Vorperiode.
Das wird zunächst mal wie ein relativ allgemeiner Ansatz hier,
aber er hat schon eine gewisse Einschränkung.
Und diese Einschränkungen bestehen vor allem darin,
dass das Y1G zwar abhängt von Werten in der Vorperiode,
Aber Y-1-Tee hängt nicht ab oder nicht direkt,
nicht sichtbar ab und Y-2-Tee.
Y-2 und 2-Tee taucht hier als Regressor nicht auf.
Es tauchen nur vor Perioden wert darauf. Und entsprechend verhält
es sich für die zweite Gleichung des Y-2-T hängt nicht ab
von dem Y-1-T. Lassen wir uns im Augenblick mal so stehen,
dass diese Eigenschaft hier drin zu sein scheint in der Struktur.
Wenn das hier das wahre Modell ist,
das Y-1-T und Y-1-2-Tee,
durch ihre jeweilige Vergangenheit und durch die Vergangenheit der jeweils anderen Variablen,
erklärt werden,
plus weißes Rauschen als Störung
Dann kann man dieses System 25 ökonometrisch schätzen. Sogar konsistent
schätzen sogar effizient schätzen. Das will ich Ihnen jetzt nicht
im Einzelnen nachweisen, weil welche keine Ökonometrie groß machen.
Sie müssen zu mir bitte glauben. Das ist nicht schwer,
das Ding zu schätzen. Und man kann es sogar so machen,
dass man es einfach einzelgleichungsweise mit der Methode der kleinsten Quadrate setzt.
Also zunächst die beste Gleichung, Chats mit der Methode der
kleinsten Quadrate. Und dann Weitegleichung schätzt, mit der Methode
der kleinsten Quadrate
Und dennoch werden die Schätzungen hier für Alpha 1.1,
Alpha 1.2 beziehungsweise Alpha 2.1 und Alpha 2.2 konsistent.
Nein, das heißt, die konvergieren, also im Todesspülen waren Werten.
Das ist zunächst mal sehr schön, dass das so ist.
Und es wird sogar noch besser. Denn man kann das
auch schätzen, dieses System in einer effizienten Art und Weise.
Das heißt, man kann nicht nur die OLS-Schätzung machen,
sondern auch die DLS-Schätzung, die Effizienz der Varianz Co-Variance Matrix,
die Shetsco-Effizienten sichern
Wenn Ihnen das jetzt vielleicht aus der Ökonomitrie nicht so vertraut ist,
macht nichts, ja. Auch wenn Ihnen vielleicht der Begriff
eines Schuheschätzers, der hier kommt, nichts Vertrautes macht.
Auch nicht so sehr. Glauben Sie ihm einfach im Augenblick
einfach mal, was ich sage. Ein solches System würde
man normalerweise denken, muss man auch als System schätzen.
Also irgendwie gleichzeitig und dabei berücksichtigen, dass es hier,
ich würde Thermo-U1-T und U2-T gibt, die möglicherweise miteinander korreliert sind.
Das erfordert dann eine Systemschätzung. Aber ein Wirtschaftswissenschaftler oder Statistiker
namens Selna hat bereits 1962 darauf hingewiesen, dass es nicht nötig ist,
dieses System hier wirklich als Systeme zu schätzen,
sofern die Regressoren in der ersten Gleichung dieselben sind,
wie die Regressoren in der zweiten Gleichung.
Und das ist ja hier der Fall. Und so ist es gut,
dass wir sowohl die Vergangenheit von Y1 in der ersten Gleichung haben,
als auch die Vergangenheit von Y2. Und entsprechend hier.
Dadurch, dass es dieselben Regressoren sind, die hier auftauchen,
können wir einfach jede einzelne Gleichung hier per OLS schätzen.
Und das ist eine konsistente Schätzung und sie ist sogar asymptotisch effizient.
Er hat also erfüllt, also sie will wünschbaren Eigenschaften
Das macht man auch sehr oft. Man schätzt sehr oft
solche Bar-Modelle und man nutzt immer alle Regressoren,
die sich dort anbieten, nämlich die verzögerten Werte,
die zu diesen Beobachtungen Y1T und Y2T gehören.
Die tauchen als Regressoren hier auf in der Regressor Matrix.
Und solange das dieselben Regressoren sind in Gleichung 1,
wie in Gleichung 2, ist die Schätzung nicht verzerrt.
Nun, dass man das so schön schätzen kann,
liegt allerdings daran, dass es in dem System
keine Simultan-Abhängigkeiten zwischen den indogenen Variablen gibt
Das heißt, hier ist eben nicht spezifiziert,
das Y1T, abhängt von, Y2, in derselben Pennode.
Das hängt nur ab von Y2 in der Periode davor.
Aber es könnte natürlich grundsätzlich auch abhängen von dem Y2T hier.
Dann hätten wir das, was man einen simultanen Gleichungsfehler nennt.
Also dann hätten wir ein Problem,
was sehr gut bekannt und erforscht ist in der Ökonomitrie,
wo nämlich das Y1T durch einen zeitgleichen Regressor erklärt werden muss und dann eine hohe Wahrscheinlichkeit dafür besteht,
dass der zeitgleiche Regressor,
aber auch korreliert mit dem U1T und damit wäre die ULS-Schätzung nicht mehr konsistent,
wenn wir dann eine Korrelation zwischen Regressoren und Bildherren hätten
Deshalb ist diese Annahme, dass Y-1-T gleich dieser Ausdruck hier,
dass das das wahre Modell ist und dass deshalb also keine Abhängigkeit von
so einem 2-Tee besteht, diese Annahme ist schon sehr wichtig.
Unglücklicherweise ist es so, dass es in ökonomischen Systemen
nun gerade sehr viele simultane Abhängigkeiten existieren.
Und deshalb bietet sich dieses Modell hier nicht unbedingt und in jedem Kontext als das Modell an,
was man eigentlich schätzen möchte,
wenn man mit Makrodaten arbeitet,
wenn die meisten Makrodaten sind irgendwie miteinander verbunden und reagieren also
auf Änderungen anderer Makrodaten
Ja, also wir haben ein ökoökonomisches System, eine hohe Anzahl von Simultan-Abhängigkeiten.
Um wir uns das jetzt in dem Beispiel an,
wo ich direkt Investitionen ausländisch oder direkt investitionen,
als zweite Variable mit aufnehme, stellen wir also uns vor,
wir haben ein Land, vielleicht ein Entwicklungsland,
in dem wir die Logarithmen des Bruttoinlandsprodukts und den Logarithmus der ausländischen Direktinvestitionen betrachten.
Hier ist es eine Notation, GDP fürs Produktinlandsprodukt,
ist klar, und hier nehme ich einfach FDI für
das Bruttoinlandsprodukt
Angenommen mal, wir tenten die wahren Zusammenhänge. Und die seien,
die geben durch die Gleichung 26 und 27. Nun,
dann würde, es gar nicht noch 26 und sagen,
Delta GDP, also ich verwende hier alle Varianten in ersten Differenzen,
deshalb mache ich hier immer einen Bilder davor,
weil ich bin nicht so ganz sicher bin,
ob die Zeitreihe GDP nicht möglicherweise eine Einheitswurzel hat.
Also er sprach ja vieles für bei amerikanischen Daten,
bei anderen Daten kann das auch der Fall sein,
gehe ich von einem Entwicklungsland aus,
da weiß ich es nicht so ganz genau,
aber das ist letzten Endes egal.
Ich bilde jedenfalls die erste Differenz,
um die Einheitswurzel um die Einheitswurzel
zu bereinigen
Und dann ist die Interpretation, die,
dass die erste Gleichung mir sagt, die Wachstumsrate in der Periode T,
hängt ab mit einem Koeffizienten von Alpha,
von der Wachstumsrate in der Periode T minus 1. Aber dann mache ich als zweite Annahme oder zweite Eigenschaft des angeblich wahren Modells,
ist hier, dass die Wachstumsrate des Bruttoinlandsprodukts auch abhängt,
von der Wachstumsrate der ausländischen Direktinvestitionen.
Das heißt, je mehr Ausländer in Deutschland investieren,
desto mehr wirtschaftliche Aktivität entsteht hier natürlich auch und dieses mehr
an wirtschaftlicher Aktivität äußert sich in weiterer Nachfrage nach Produkten oder auch nach der Markteinführung,
äußert sich möglicherweise auch in der Markteinführung von Produkten habt,
welche Zweiggänge und beeinflusst damit ebenfalls das Wachstum des Bruttoinlands-Programms.
Wann sich nochmal klar, dass wenn das die wahren Zusammenhänge sind,
dann wäre das ja hier die Wachstumsrate des Bruttoinlandsprodukts.
Die wird also positiv davon beeinflusst, dass wir irgendwelche Schocks haben,
Äbsel und 1T oder dass wir ausländische Direktinvestitionen mit einer
bestimmten Wachstumsrate wachsen sehen oder davon,
dass eben ein gewisses Wachstumsbruttoinlandsprodukt auch in der Vorperiode
bereits erreicht ist
Wir stellen uns jetzt dieses Epsilon-1-T als einen inländischen Schock vor.
Wir sagen also, dass Epsilon-1-T hier treibt das Wachstum des inländischen Bruttoinhaltsprodukts.
Während die Ausländischen Direktinvestitionen das Wachstum des Bruttoinlandsprodukts treiben,
aufgrund von irgendwelchen Gegebenheiten im Rest der Welt im Ausland.
Dann habe ich hier eine bestimmte Wachstumsrate der Ausländischen Direktinvestition.
Nun ist es aber nicht unplausibel zu behaupten,
dass die Ausländischen Direktinvestitionen andererseits auch abhängen vom Wachstum der Ökonomie
im Inland
Denn Ausländer investieren vor allem dann gerne in ein fremdes Land,
wenn Sie denken, da sind große Wachstumspotenziale begeben.
Also die zweite Gleichung hier sagt, die Wachstumsreite der
ausländischen Direktinvestitionen hängt ab über einen Koeffizienten von Jammer.
Von der Wachstumsreite des Bruttoinlands oder Inland und von irgendeinem Schock,
der meinetwegen ein ausländischer Schock sein kann,
der also auch irgendwelche Einflüsse darauf hat,
wie viele Mittel im Ausland zur Verfügung gestellt werden,
um Wachstum,
um ausländische Direktinvestitionen im Inland,
also in diesem Entwicklungsland
zu essen
So, mit diesem strukturellen Modell. Hier haben wir ein Problem,
denn beispielsweise gleich Jungs 26 können wir nicht konsistent mit OLS schätzen,
weil hier die zeitgleiche Variable FDI, also Data FDIT,
als Regressor benötigt wird in der Erklärung von diesem Data GDP-Teich hier.
Das ist ja die selbe Zeitpunkt, der hier verwendet wird.
Und warum ist das so, dass diese Variablen nicht aufeinander regressiert werden können,
ohne dass sich eine Inkonsistenz in den Chatscore-Effizienten ergibt,
Nun, wir wissen ja, Delta
FDIT hängt seinerseits ab von Delta GDP, T und von dem Y2T.
Da Dalta G. FDIT von Dalta GDP-T abhängt, hängt FDIT auch ab von Y1T.
Denn Dalta GDP-T ist ja dieser Einfluss, plus der Einfluss,
plus der Störter. Das heißt, in dem Augenblick,
in dem wir FDI hier als Regressor verwenden,
die Wachstumsrate der Direktinvestitionen als Regressor verwenden,
in dem Augenblick führen wir einen Regressor ein,
der seinerseits bereits von dem Y1T abhängt.
Und damit haben wir eine Korrelation zwischen Regressor und Störterm.
Und das führt zu ihm konsistenten Checksoren. Das heißt,
wir können gleich um 26 und 27 eben nicht konsistent verobel
es schätzen. Weil dieses Modell hier,
was aus diesen beiden Gleichungen besteht, nicht kompatibel ist,
mit dem Gleichungssystem 25,
was ich Ihnen eben erläutert hatte,
wo Y1T und Y2T nur auf Perme
der Perioden T minus 1 oder sogar früher regressiert wurden
Hier haben wir aber eben zeitgleiche Grüße unter den Regressoren und die dürfen dort nicht sein.
Nun, das kann man dazu machen. Wir schreiben uns
zunächst mal, diese beiden Gleichungen 26 und 27 in Matrix-Schreibweise.
Dann lauten die, eine Matrix A0 Tilde,
die ich hier definiert habe, das ist diese Matrix hier,
mal YT, ist gleich eine Matrix A Tilde,
das ist diese Matrix hier, plus zerstört haben,
Y1 und Y2, jeweils Periode T.
Wenn Sie das ausmultiplizieren sehen, Silvester,
genau die Gleichung rauskommen,
die ich in Ebene 26 oder 27
aufgeschrieben habe
Diese Gleichung kann ich aber nicht per OLS schätzen,
weil ich zum Beispiel gar keine Schätzung kriegen würde,
von 1 minus Beta, Newscover und 1. Ich
kann also zum Beispiel das Better hier nicht so unweiteres schätzen.
Ich muss ja, wenn ich eine Regression laufen habe,
immer auf diese Seite eine Einheitsmatrix stehen haben.
Das heißt, das ULS-Verfahren nicht funktioniert, liegt daran,
dass wir hier eine Beziehung zwischen den endogenen Varianten haben
Andererseits ist es so, dass wir diese Schocks Y-1-Tee und Y2T
als eine Art primitive Schocks interpretiert haben und auch interpretieren können.
Also wir haben gesagt, Absolute 1-D ist ein Schock,
der passiert irgendwo im Event. Und Epson 2T war ein Schock,
der passiert irgendwo im Ausschlag. Wer wäre das so unterstellen,
dass wir diese beiden Schocks haben mit unterschiedlicher Herkunft,
dann sollte es möglich sein,
dass ihr diese beiden Schocks auch getrennt identifizieren.
Nehmen wir mal an,
um die Sache einfach zu machen,
dass die Co-Variance-Matrix der beiden Schocks
diagonal ist
Das heißt, dann wäre nämlich die Co-Varianz zwischen Aps und 1T und Aps und 2T
, gerade genau, gleich null. Das heißt,
die Co-Varianz Matrix, der Erwartungsschritt von dem Zeilenlektor Y1,
Y2, mal dem Spaltenwektor Aps und 1, Y12,
ist gerade eine Matrix Sigmar 1 Quadrat und Sigmar 2 Quadrat,
also die beiden Varianzen dieser beiden Schocks hier,
dieser strukturellen Schocks und die Nebendiagonale ist einfach leer,
da steht nur null drin.
Das heißt, da gibt es offenbar keine Korrelationen zwischen Aps
und 1, T und Aps.
Und zweite, der inländische Schock ist unabhängig von ausländischen Schock.
Das ist, glaube ich,
durchaus plausibel
Das hilft bereits, um das Problem der Schätzbarkeit zu lösen.
Ehrlich gesagt, es ist sogar schon ein bisschen mehr Struktur,
als wir unbedingt brauchen. Aber wir machen diese Annahmen. So,
wenn es jetzt so wäre,
dass wir die Gleichung 26 und 27 schätzen könnten, konsistent schätzen könnten,
dann würden wir ja Schätzungen für diese strukturellen Schocks bekommen.
Dann würden wir Schätzungen für Absoluten 1 und für Y2 bekommen.
Das wären irgendwelche Viktoren, Absoluten 1-Dach und Y2-Dach
Unglücklicherweise haben wir keine konsistente Schätzung im Augenblick zur Verfügung,
weil wir hier diese Simultanen-Beziehungen zwischen den unterschiedlichen Mitgliedern von Y,
von von Y haben,
zwischen den unterschiedlichen Elementen im Vektor Y haben.
Nun, was kann man da machen? Man kann sich überlegen,
wie wir das vielleicht umschreiben können, sodass wir zu einer Lösung kommen.
Wir setzen jetzt zunächst mal die zweite Gleichung in die erste Gleichung ein,
das heißt, wir machen Folgendes,
wir nehmen diese Gleichung hierfür,
älter FDI
Und setzen die hier ein. Ja,
dann steht doch hier Beta, Margama, mal Delta Gelipine,
plus Beta, mal liebsten und Zweite.
Ja? Wenn das so wäre, dann würden wir
sozusagen dieses Delta-GDPT jetzt in diese Gleichung hineinkriegen.
Und es steht hier auf der rechten Seite,
aber es steht auch auf der linken Seite.
Und das könnte man dann zusammenfassen. Wir hätten aber
auch das Epstein 2 Tee in der ersten Gleichung drinstehen,
wenn wir das Delta FDI hier durch diesen Ausdruck ersetzen
Nun, das Resultat dieses Einsetzens, während diese gleichen um 29.
Della GDPT ist einfach mal Della GDPT minus eins,
ältere Vorperiode, plus Peter Gammer, mal, ja,
älter GDPT, also derselbe Wert.
Plus Absoluten 1 T, plus Bittermann, Epso und 2 T.
Also jetzt tauchen hier beide Schocks auf.
Wenn ich gleich um 26 umgekehrten Gleichung 27 einsetze,
dann würde ich das ebenfalls auflösen können.
Da würde ich nämlich erhalten, Delta FBIT ist Alpha Gamma
, mal Delta
Plus, Beta Gamma, Data FDI, T. Das ist der Regressor,
den wir auch davor bereits gehabt haben. Plus, ja,
wieder eine Kombination der weiten Störterne, aber eine andere.
Hier wird Xeren 1 mit Beta Äpsel 2 addiert.
Hier wird Gamma Äpsel 1 mit Äpsel 2 addiert. Nun,
das Entscheidende ist jetzt zunächst mal, ob Beta Gamma,
also das Produkt Beta Malgamma, ob das ungleich eins ist.
Denn sie sehen ja hier in dieser ersten Gleichung,
ist es so,
dass wenn ich den Delta GDP-Term rüberbringe auf die andere Seite und zusammenfasse mit dem Delta GDP-Term hier,
dann kriege ich hier eins minus Beta Gamma als Profizienten vor dem Data GVPT stehen.
Und ich müsste sozusagen dividieren durch 1 minus Better mal Gamma,
um auf die Standardform für eine lineare Gleichung zu kommen.
Dasselbe gilt hier. Da ist auch das Produkt Better My Gamma,
was offenbar wichtig ist. Wenn wir dieses Better Gamma Delta FD IT auf die andere Seite rüberbringen,
dann hätten wir hier stehen 1 minus Better Gamma,
mal Delta FD IT und könnten durch das 1 minus Better Gamma teilen,
sodass wir entweder für die erste Gleichung oder für die zweite Gleichung so etwas ähnliches kriegen wie das,
was sich hier für die erste Gleichung aufgeschrieben habe,
Data GVPT ist Alpha durch 1 minus Better Gamma
Mal die Wachstumsrate von GDP T minus 1. Plus ein Störterm,
der sich jetzt zusammensetzt aus Epsolen 1,
Epsolen 2 T und verschiedenen Koeffizienten hier.
Diesen Störterm nenne ich jetzt einfach mal U1 T. Entsprechend würden wir
es haben bei der zweiten Gleichung. Da würden wir eben
auch Alpha Gamma geteilt durch 1 minus Peter Gamma haben.
Das heißt, es muss wieder sichergestellt sein,
dass man durch 1 minus Peter Gamma teilen kann.
Wenn es hier null wäre, ging das natürlich nicht.
Aber nehmen wir mal an, das ist nicht gleich null.
Dann habe ich hier die Lösung für Data FDI
T, das ist Alpha Gamma natürlich eins,
wenn es später Gamma malt, Delta, GDP-Termines eins,
plus ein Stück Term. Eben noch näher analysieren müssen.
Aber damit hätte ich das Modell so umgeschrieben,
dass ich im Grundsatz konsistent schätzen kann, in diese Gleichung.
Hier hat keine zeitgleiche Größe mehr in der Regressor Matrix.
Da ist nur nun wird der Vorperiode drin. Und dieser
Gleichruck hier hat auch keine zeitgleiche Größe in der Regressor Matrix.
Da ist nur eine Größe der Vorperiode drin.
Und das ist für die Konsistent
kein großes Problem
Das heißt, wir können hier, dass dieses Team
aus Gleichung 31 und 32 konsistent mit OLS schätzen.
Aber der Preis, den wir dafür zahlen, ist,
dass wir nicht mehr die strukturellen Schocks,
Äpfel und 1D und Äpfel und 2T bin.
Sondern wir finden jetzt hier einen neuen Schock, der irgendetwas anderes darstellt.
Nämlich beispielsweise ein Resiedlung U2T. Ich habe jetzt hier U2T
genommen als Symbol für dieses Silo, was wir dort kriegen,
weil wir damit wieder in dem Rahmen von Gleichung 25 sind,
wo ich ja auch Shops U1G und U2T hatte.
Und dann habe ich eben alle möglichen Variablen zugelassen
Habe damit sichergestellt, dass dieses Gleichungssystem konsistent schätzbar ist.
Es sind also keine zeitgleichen Regressoren mehr dabei. Und damit ist
das dasselbe System wie das, was ich hierhin geschrieben habe.
Woran liegt es also jetzt, dass wir die Gleichung
26 und 27 nicht direkt per OLS schätzen konnten?
Das hier sind hier noch die Gleichungen 26 und 27.
Nur jetzt zusammengefasst in einem System, was schon auf die Matrizen abstellt.
Nur es liegt doch offensichtlich daran,
dass wir hier Korrelation zwischen den abhängigen Variablen haben,
für die
niemand kontrolliert
Und wenn man für solche Korrelationen nicht angemessen korreliert,
dann ist die Schätzung eben bezerrt.
Das Problem scheint also diese Mart-Rücktricks Arnul Tilde hier zu sein.
Und jetzt sieht diese Matrix ja so aus,
als sei die eigentlich nicht singulär.
Normalerweise ist die auch nicht singulär. Es gibt einzelne spezielle Fälle,
wo sie simulär sein kann. Also zum Beispiel,
wenn Gamma gleich Nilus 1 ist und Better gleich minus eins ist,
dann offensichtlich ist auch nicht die Matrix singulär
Aber nehmen wir mal an,
die Matrix sei nicht so geschaffen, dass sie singulär ist,
sondern die Kalibration der Modellparameter erfolgt so,
dass wir hier tatsächlich eine invertierbare Matrix haben.
Ja, dann können wir doch diese Matrix hier mit ihrer inverse multiplizieren.
Also wir multiplizieren die Inverse von rechts daran und müssen dann
auf der anderen Seite genau dasselbe machen.
Ja, dann ist nur die Frage,
wenn wir jetzt schätzen,
dann schätzen wir
eben hier
einen Produkttherm
Die inverse dieser Matrix, mal das Y1T,
und das Y2T. Das heißt,
hier transformieren wir jetzt dann die Schocks,
so wie sie das hier in dieser Gleichung hupst,
in dieser gleichen Kirche gesehen haben.
Wir kommen auf diese Art von Schock,
wo Y1T und Y2&2 Team miteinander kombiniert werden,
beziehungsweise in der FD Eingleichung kommen wir auf diese Art von Schock.
Jetzt kann man natürlich sagen, die Schocks interessieren mich gar
nicht so sehr. Mich interessieren irgendwie diese Art von Abhängigkeiten
und die könnte ich
konsistent checkziehen
In bestimmten Anwendungen ist das in der Tat so,
dass man sich gar nicht so sehr dafür interessiert,
dass hier in der Provanienz-Matrix-Schocks drin sind.
Entschuldigung, jetzt habe ich den Faden ein bisschen verloren. Ja,
dass nicht das in der Covarenz-Matrix-Schocks drin sind, sondern dass die Schocks,
die jetzt die Residon oder die Störungen dieser reduzierten Fonds hier darstellen,
dass die miteinander korreliert sind und in der Co-Varianz.
Matrix, so wollte ich es eigentlich sagen,
dann Korrelationen ausgewiesen
Uns aber interessieren gerade die Schocks. Wir wollen ja wissen,
was die Ursache konjunktureller Produktivationen sind. Das heißt,
wir würden jetzt hier zwar ein U2-T schätzen,
aber wir würden daraus nicht unmittelbar entnehmen können,
wie groß das Y1T und wie groß das eben beim Zweite ist und was genau die jeweiligen Schocks wären.
Denn wir kennen, wie eine XL1-T, noch kennen wir XL2-T. Ja,
machen Sie hierzu vielleicht mal eine Übung, überlegen Sie sich nämlich,
dass diese Gleichung in 31 und 32,
die also hier eine Art reduzierte Form darstellen,
diese Gleichung.
Und diese Gleichung hier Dass diese Gleichung sich einfach dadurch ergeben,
indem man gleich um 28 von links mit der Matrix A0 inverse multipliziert.
Das ist nicht schwierig, das sehen Sie im Grunde genommen direkt,
wenn Sie sich diesen gleichen Kiel eben 38 angucken.
Dann müssten Sie das sehr leicht beantworten.
So, jetzt bin ich jetzt weit geraten,
So, in Matrix schreibweise kriegen wir dann heraus,
wenn wir diese Multiplikation mit der Inversen Matrix vornehmen.
Und das hier ist die Inverse Matrix. Ich habe Ihnen
schon gesagt, wie die aussieht. Dann kriegen wir also heraus,
YT ist dieser A-Matrix hier, mal YT minus 1,
plus ein Schock, der sich aus überall Komponenten,
U1T und U2T zusammensetzt.
Das ist also ein Vektor-Autoriere, ein Vektor-Auto regressiver Prozess,
erster Ordnung. Nur sind die Resido und dieses Prozesses
zunächst mal nicht als strukturelle Chance interpretierbar
Sodass die zentrale Frage für die Konjunkturanalyse, die ist,
wie wir aus der Schätzung eines vektorautoregressiven Prozesses erste Ordnung auf die strukturellen Residuren
Äpzilon rückschließen können. Nun, ehe wir diese Frage beantworten,
will ich das noch etwas allgemeiner für einen K-dimensionalen Prozess darstellen?
Oder ich will es an der allgemeinen Darstellung eines kardimensionalen Prozesses
darstellen, wie wir die strukturellen Schocks identifizieren können
Nehmen wir also mal an, in unseren abhängigen Beobachtungen,
Y-Y-I-T, oder genau genommen, in dem Vektor Y-T,
gibt es bestimmte Beobachtungen, die voneinander zeitgleich abhängig sind.
Also nehmen wir zum Beispiel an, dass Y-I-T abhängt von Y-J-T,
die Korrelation zwischen den beiden ist nicht null,
hängt ab von dem zeitgleichen Y-J-T. Selbst dann,
wenn wir angemessen hier ein I betrachten,
was ungleich des J von der zweiten Variante ist.
Oder gerade dann natürlich hängt es so,
dass die beiden
voneinander abhängen sollen
Dann hätten wir also ein System, was in der Form
geschrieben werden müsste, A0, Töde, mal YT.
Ist vielleicht Nüthilde,
plus Atilde YT minus 1 plus X und T. Das heißt,
wir haben hier wieder eine Matrix, die dazu führt,
dass man mit der UNS-Schätzung nicht konsistent schätzen kann.
Weil diese Arnold Tilde Matrix hier, keine Einheitsmatrix ist.
Ja, wenn das Arnold Tilde nun nicht singulär ist,
wenn diese Matrix also es erlaubt,
dann können wir
nach Y auflösen
Wir können dann schreiben,
YT ist gerade gleich Arnold Till de Inverse, Nythilde,
plus Arnold Till de Inverse, mal A-Till de Ytemius,
1, plus Arnold Till de Inverse, Xylonthie.
Und das definieren wir einfach, ist das sehr Vinyl,
plus A mal, Yteminus 1, plus UT. Das heißt,
ein Wahlansatz kann betrachtet werden als eine Art reduzierte Form eines strukturellen,
simultanen Gleichungssystems, wie es ökonomische Modelle eigentlich implizieren würden,
indem ich mit der Inversen Arnold Till de Matrix
das strukturelle Gleichungssystem multipliziere.
Ehrlich gewinne ich
die reduzierte Form
Das ist unser weiteres Vorgehen, wird jetzt Folgendes sein.
Wir analysieren zunächst einmal den VAR in reduzierter Form. Und dann,
und wir schätzen den dann auch, ein reduzierter Bom.
Und dann versuchen wir die strukturelle Form zu erschließen.
Das heißt, wir versuchen, die Residon Y zu identifizieren,
aus den geschätzten Residon Udach, der einfachen Barschätzung in reduzierter Form.
Dazu braucht man bestimmte Annahmen, um so etwas machen
zu können
Aber die Schätzung des Bars in reduzierter Form ist dafür hilfreich,
um an diese strukturellen Residionen ranzukommen. Und dann,
den dritten Schritt, analysieren wir natürlich die strukturelle Form.
Also gucken wir uns jetzt zunächst mal Bars in reduzierter Form an.
Und dazu, der bereits angekündigte Exkurs für war es,
die irgendwie höherer Ordnung sind. Stellen wir uns also vor,
wir hätten einen VAP und P ist irgendwie größer oder also auch gleich eins.
Aber stellen Sie größer vor, P ist jetzt größer als eins.
Das heißt, eine höhere Ordnung als P haben wir in
dem Warenprozess
Nun, ein solcher Wahrprozess kann stets als ein Wahreins
geschrieben werden und ich zeige Ihnen das jetzt nicht allgemein,
weil das ein bisschen viele Notationen ist.
Aber Sie werden es auch glauben,
wenn ich es Ihnen hier einfach mal für einen war.
Zwei zeige, die ich ebenfalls um Notationen einzusparen,
ohne Konstante schreibe. Es wäre also ein Prozess,
YT ist A1 mal YT und T minus 1 plus A2
mal YT und T minus 2 plus UT.
Das Ganze ist natürlich vectoriell wertig. Jetzt kann ich
Folgendes machen. Jetzt kann ich eine Hilfsvariable definieren,
die nenne ich einfach mal ZP.
Aber sie ist nichts anderes als YT und T minus 1.
Das heißt, für YT minus 1,
3-
5 ist ZT
Und daraus folgt, dass ich für Y und T
minus 2 künftig at D minus 1 treibe.
Und dann kriege ich folgenden, war eins in zwei Variablen.
Y und T ist A1, mal zu den T minus 1.
Wie das hier der Fall gewesen ist. Plus A2 mal
ZT minus 1. Denn ZT minus 1 ist ja dasselbe
wie ein YT minus 2. A2 mal ZT minus 1,
das ist ja wie A2 mal Y T minus
Plus Störungen. Ja, jetzt habe ich hier angenommen,
dass die Störung dieser Z-Variablen gleich null sein soll.
Also plus UT für die erste Variable. Das heißt,
die erste Zeilliche in dieser Matrixgleichung gibt mir genau diese Zeile wieder.
Und die zweite Zeile sagt mir einfach, Z-T ist Einheitswurzel,
Einheitsmatrix, mal YT minus 1. Das heißt,
die zweite Gleichung gibt mir einfach diese Gleichung wieder.
Z-T ist gleich YT minus 1. Und da gibt es ja
keinen Stück Therm dazu.
Das ist einfach
die Definitionsgleichung
Dieses Ding hier bildet also ab, diese Gleichung in der
ersten Zeile und diese Gleichung in der zweiten Zeile.
Insofern ist das eine Äquivalente Wiedergabe dieser Zeile und jetzt zahle ich hier.
Aber das ist jetzt ein Zwei-K-dimensionaler Wahr-1. Das heißt,
während ich mit einem Kardimensionalen Wahr-2 gestartet bin,
habe ich jetzt hier einen Wahr-1-Prozess, der 2K-Dimensionen hat,
nämlich K-Dimensionen hier in dem YT und K-Dimensionen hier in dem ZT.
So. Nur ist ein Wahreins. Ja, jetzt wird nur
noch ein Vektor auf seinen Wert in der Fupperiude bezogen.
Insofern ist es ein Wahreins und nicht mehr ein Wahr-2,
wo auch noch der Wert in der Vorfuhrperiode eine Rolle gespielt hat.
Bei technisch scheinen wir das jetzt hier als ein Wahreins,
allerdings als ein Wahr-eins mit einer singulären Kovarienz-Matrix,
der Störttherme
Dieser Wert hier entspricht nicht der Annahme über die Störtherme,
die wir im Rahmen des Barprozesses gemacht haben.
Da haben wir ja gesagt, dass die Kuh-Varienz-Matrix regulär ist.
Also nicht singulär ist. Aber hier hätten wir eine singuläre
Koh-Varienz-Matrix, weil eben Teil der Schocks einfach null ist.
Aber ansonsten ist es ein normaler Bar eins. So,
jetzt analysieren wir diesen Bar eins mal in der Lake-Operator-Schreibweise,
die wir ja schon eingeführt hatten.
Also ich kann gleich um 24, das war die einfache,
die einfache Gleiche für den Bar eins, die wir
Die hatten diese Gleichung, kann ich jetzt auch als,
kann ich jetzt auch Elektrooperator-Form schreiben.
Nämlich als i-a mal LYT ist ny plus UT.
Machen sich klar, dass die der Lake-Operator genauso Verwendung findet,
wie das im einen dimensionalen Fall auch der Fall ist.
L mal YT ist einfach YT minus 1. Und hier habe
ich jetzt i- die Matrix A mal den Scalar L. L
ist einfach nur der einfache Operator.
Die Dimension einmal 1. Wird aber in jedes Element von
Matrix A
hinein multipliziert
Ähm, i-minus armer LYT ist nü,
also ein Vektor von Konstanten, plus UT,
also ein Vektor von Störungen. Jetzt gilt das,
wenn alle Eigenwerte von diesem A hier betragsmäßig kleiner als eins sind,
dann existiert die Inverse i-a mal L-Inverse zu diesem Lakepool-Innom hier.
Und die Formel der geometrischen Reihe,
die wir bereits verwendet haben, die verallgemeinert sich,
nämlich i-a mal L-Inverse,
ist die Summe von null bis unendlich,
über A mal L,
in Klammern hoch
Das heißt, was wir jetzt machen können, ist,
dass wir diese Gleichung hier multiplizieren mit der Inversen hier.
Und dann wurden wir auf der linken Seite der gleichen Müll und YT gesehen haben.
Und auf der rechten Seite dergleichen steht i-amal L-Inverse Malny,
plus die Summe über Amal L. Hochi, ja,
multipliziert mit dem UT, ja, mit diesem UT hier.
Ja, i-minus Amal L-Inverse, angewandt auf Ny,
ist natürlich gleich i-am i-a-inverse Malny, Manino-Konstante ist,
das heißt, der Leck-Operator hat da keine Funktion,
der entfällt einfach
Und hier das L-Hoch-I, Angewandt auf UT,
gib mir ein U-T-Minus-I. Das Hoch-I-Angewandt auf AI,
gibt mir, Entschuldigung, auf A, ergib mir A-Hoch-I-U-U-T-Minus-I.
Und damit, ach so, das sollte ich vielleicht hier
noch sagen. Damit habe ich YT, den Vektor,
YT, dargestellt jetzt als ein Moving Average-Prozess.
Denn diese Darstellung hier ist ja nicht mehr autoregressiv,
da wird nicht mehr auf einen früheren YT-Wert-Bezug genommen,
sondern hier wird jetzt YT wieder wie im I Moving Average-Prozess dargestellt,
als eine unendliche Summe von weißem Rauschen
Ja, und das haben wir noch gar nicht definiert,
deshalb mache ich es jetzt. Die Folge dieser Karma,
Karmatritzen, M, also nehmen wir mal an,
dass wir eine Folge von Karma, Karmatritzen, MI haben.
Und diese Folge, die hat meinetwegen unendlich viele Elemente.
Die letzten Elemente können alle null sein,
falls es ein endlicher Prozess sein soll,
aber es können auch von null verschiedene Werte sein.
Nehmen wir einfach mal an, dass die Folge dieser Karma,
Karmatritzen, MI hier in jeder Komponente absolut zu mir weiß.
Das heißt, wenn ich die Summe über diese ganzen MI-Komponenten
bilde, dann kommt da was Endliches raus.
Außerdem war an das UT-Multi-Variant,
das weißes Rauschen ist,
also ein Kardimensionaler Türprozess
Dann heißt Y, G, Vector moving Average-Prozess,
wenn es diese Darstellung gibt, hat,
also wenn es so gewonnen werden kann, als irgendeine konstante Mühe,
plus die unendliche Summe von null bis unendlich über M-I-U-T minusi.
Das wäre jetzt die Verallgemeinerung des Konzeptes eines Moving Average-Prozesses,
so wie wir das im Eindimensionalen bereits kennengelernt hatten, auf den Victor fallen.
Und es ist im Wesentlichen, es sind exakt dieselben Formeln,
nur dass alles eben, was da steht,
wegtumen und Matrizen sind, stattdessen ist es einfache Koofizienten.
Sozusagen die Veter-Moving Average Darstellung von YT als ein unendlicher Vector-Moving-Average-Prozess.
Und da schreibt man dann auch VMA von unendlich.
In unserem Fall sind diese koeffizienten Matrizen MI, die ich
hier verwendet habe, nichts anderes als die Matrizen A hoch.
Und A, hoch, I ist eine Matrix,
die absolut sumira ist oder diese Folge von Matrizen ist absolut summierbar,
wenn die Eigenwerte von A, Betragsmäßigkeiten da sind als Eins.
Das ist ein Resultat der Linear am Allgebra,
was nämlich jetzt im Augenblick bitte einfach glauben
Nun, offenbar ist es ja auch so,
dass YT stationär ist, wenn alle Eigenwerte von A,
betragsmäßig kleiner sind, als eins.
Deshalb ist es jetzt wichtig, dass wir diese Eigenwerte uns mal anschauen.
Die Eigenwerte von A sind die Lösungen einer bestimmten Gleichung,
nämlich der Gleichung, determinante von A-Minus Lamdai ist gerade gleich null.
Nun, diese Gleichung, hier zu lösen,
ist Äquivalent dazu, dass man sagt,
die determinante von i minus 1 durch Lamda A ist gerade gleich noch.
Und das spielt letzten Endes keine Rolle,
was man da löst. Daraus folgt dann die sogenannte Stabilitätsbedingung
für solche Wahrprozesse
Wenn Z der Kehrwert der Eigenwerte ist oder für einen bestimmten Eigenwert,
soll Z sein Kehrwert sein, ja,
ein bestimmter Eigenwert lammnder,
weil irgendwie ein Kehrwert gebildet werden und das ist dann dieses Set.
Wenn also dieses Z gleich eins durch Lander ist,
dann müssen alle Lösungen der Gleichung determinante von i-ama Z gleich 0,
betrachtsmäßig größer sein als eins.
Das ist die Stabilitätsbedingung für was? Diese Stabilitätsbedingungen sichert,
dass alle Komponenten eines Vas stationäre Prozesse sind
Insbesondere darf die determinante von i- Armaell für den Wert von A
gleich 1 nicht verschwinden. Was sie natürlich nicht tut,
wenn aller Eigenwerte kleiner sind als 1 sind.
Aber Ali gleich 1 wäre ja der uns interessierende Fall einer Einheitswurzel.
Und wir wollen hier im Augenblick die Einheitswurzel noch ausblenden.
Deshalb werden wir annehmen, dass diese Stabilitätsbedingungen für die Matrix
A begeben ist. Also wenn es jetzt so ist,
dass die Störthame auch Stationäre sind,
dann impliziert die Stabilitätsbedingungen die Stationarität von YT
Hingegen, wenn eine der Lösungen vongleich um 36 doch einen Eigenwert von eins hätte,
dann hätte YT eben eine Einheitswurzel und ist dementsprechend nicht dafür mehr.
Das ist vielleicht alles ein bisschen technisch und so,
aber es ist konzeptionell eigentlich nicht besonders schwierig.
Schauen Sie sich das bitte ruhig zu Hause nochmal an
und denken Sie sich das, es reflektiert exakt das,
was wir im ersten Kapitel für die eindimensionalen AR-Prozesse gemacht haben.
Und nämlich, man kann die umschreiben in Moving Average-Prozess und es gibt bestimmte Stationalitätsbedingungen,
die im Wesentlichen sagen, Alpha ist betragsmäßig klein als eins.
Das war allgemein, als ich hier eben dahingehend,
dass man auch die Wahrprozesse umschreiben kann, in Vector,
Moving Average-Prozesse und dass die Stabilitätsbedingungen Alpha betragsmäßig kleiner als eins generalisiert wird,
hinzu, dass alle Eigenwerte der Matrix A betragsmäßig als eins.
Und jetzt wollen wir mal ein erstes System betrachten,
nämlich beschätzen, jetzt mal einen zweidimensionalen Wahr-eins-Prozess,
der aus den beiden Variablen Wachstumsrate der totalen Faktorproduktivität und Wachstumsrate
der Arbeitsstunden besteht
Die Arbeitsstunden sind jetzt eine neue Variable, auf die ich
aus einem bestimmten Grund zusteuere. Was sind die Arbeitsstunden?
Ich hatte schon mal gesagt, die Arbeitsstunden sind,
es ist die Summe aller geleisteten Arbeitsstunden in einer Ökonomie,
in einer bestimmten Mariode, sagen wir innerhalb eines Quartals.
Das heißt, es wird einfach ausgerechnet,
wie viele Stunden Arbeit sind geleistet worden innerhalb dieses Quartals.
Die Arbeitsstunden sind ebenfalls ein Maß für die aggregierte wirtschaftliche Aktivität.
Wir haben bislang immer den Output verwendet als Maß für die aggregierte wirtschaftliche Aktivität,
aber nach einer bestimmten Zeit ist die empirische Konjunkturanalyse dazu übergegangen,
zu sagen,
wir messen vielleicht sogar
noch besser
Die alvigierte, ökonomische Aktivität. Wenn wir uns die Arbeitsstunden angucken,
denn bei den Arbeitsstunden sehen wir ja auch Schwierigkeiten,
die sich auf dem Arbeitsmarkt ergeben und Arbeitslosigkeit ist immer ein besonders wichtiges, konjunkturelles Phänomen.
Das heißt, wir sollten vielleicht stärker auf den Arbeitsmarkt gucken,
als auf den Output-Markt, wenn wir die aggregierte ökonomische Aktivität messen.
Und deshalb guckt man sich jetzt mal die Arbeitsstunden an.
Wir werden uns im Gefolge dieser Vorlesung sehr oft Arbeitsstunden angucken, statt im Output.
Aber die Interpretation ist stets dieselbe, dass sowohl der Output,
dass GDP als auch die Arbeitsstunden die aggregierte ökonomische Aktivität essen und hier nehmen wir jetzt die Wachstumsraten dieser beiden Größen,
weil wir ja in stationären Größen arbeiten wollen und es eben so ist,
dass zumindest der Output ja eine Größe ist,
die eine Einheitswurzel hat, wo man also jetzt stationarisieren muss,
indem man die erste Differenz bildet und damit die Wachstumsrate des Outputs ausrechnet.
Solotation noch, D steht immer für die erste Differenz,
wenn es am Anfang einer Variablen geht,
also die Eränderung der totalen Faktor Produktivität und hier die Veränderung der Arbeitsstunden,
das H steht natürlich für Englisch Hours, also für
Und jetzt würde ich gerne mal wissen,
wie die aggregierte ökonomische Aktivität eigentlich abhängt von technologischen Innovationen,
die ich jetzt messe durch die Wachstumsstrate der totalen Faktorprodukte.
Denn unser bisheriger Erkenntnisstand war ja deren Technologie,
hat viel mit aggregierter ökonomischer Aktivität zu tun.
Und deshalb kann ich doch mal versuchen, Innovationen richtig zu messen,
das tue ich hier, indem ich das Solo-Residum bilde,
also die totale Faktorproduktivität ausrechne und von der die Wachstumsrate berechnen und dann zu gucken,
wie diese Wachstumsrate von technischen Innovationen
In Verbindung steht zur Wachstumsrate des Outputs, also zu einem Mars,
für die Wachstumsrate der technischen, der aggregierten ökonomischen Aktivität.
Hier ist jetzt dieser Wahre 1 bestehend aus zwei Varianten,
also Karl Gleich 2, geschätzt worden.
Wir schätzen dann jetzt hier vier Koeffizienten.
Und ich gebe ihm jeweils immer die koeffizienten Schätzung an.
Und in Klammern, da drunter steht die Standardabweichung dafür,
in Hundenklammern und in geschweiften Klammern steht der P-Wert,
der sich mit dieser Standardabweichung verbindet,
mit dieser geschätzten Standardabweichung verbindet
Und hier steht dann die zugehörige T-Statistik. Also eigentlich hätte man das vielleicht andersrum,
layouten sollen und erst den Standardfehler nehmen sollen,
dann den T-Wert berichten sollen und dann den P-Wert,
das ist auch letzten Endes egal,
in welcher Reihenfolge man das hier im Output drin hat.
Und jetzt sehen wir, die Wachstumsrate der totalen Faktor-Produktivität.
Erinnern Sie sich, das war dieselbe totale Faktor-Produktivität,
die wir in unserer Regission mit den Aktienpreisen drin hatten.
Die Wachstumsrate der totalen Faktor-Produktivität,
die hängt ab negativ von der Wachstumsgrate der totalen Faktor,
der totalen Faktor-Produktivität in der Vorperiode
Oder besser sollte ich sagen, scheinbar negativ, denn das ist nicht signifikant.
Der P-Wert ist 14 Prozent, das heißt,
die null Hypothese, dass dieser Koeffizient hier tatsächlich null ist,
die kann nicht verworfen werden.
Und die sollte man dann ehrlich gesagt noch nicht verwerfen,
wenn der P-Wert so hoch ist, also bei 14 Prozent liegt.
Sie sehen, die T-Statistik ist klein, liegt deutlich unter zwei,
minus 1,5, ist weniger als zwei.
Das heißt, dieser Koeffizient ist eigentlich gar nicht signifikant.
Sollte man sich vorstellen, dass der eigentlich null ist.
Ferner soll die Wachstumsrate der totalen Faktorproduktivität abhängen,
möglicherweise von den Arbeitsstunden der Vorperiode
Das könnte man sich so vorstellen, dass vielleicht dadurch,
dass Leute arbeiten, auch wiederum neue Entdeckungen gemacht werden.
Entweder weil Leute im F&E-Bereich arbeiten,
also weil sie direkt Forschungs- und Entwicklungsergebnisse erzeugen oder weil sie
in ihrem normalen Arbeitsleben technische Innovationen anwenden und dabei weitere Entdeckungen darüber machen,
wie gut oder wie nicht so gut diese technischen Innovationen funktionieren
und vielleicht auch Verbesserungen im Sinne von Learning by Doing
herbeiführen an den technischen Innovationen.
Wäre ja
eine Möglichkeit
Es ist aber nicht so. Oder das Regulussionsergebnis unterstützt
diese Interpretation zunächst einmal nicht. Denn sie sehen hier
die Wachstumsrate der totalen Faktorproduktivität hängt negativ ab.
Und der Wachstumsrate der Arbeitsstunden. Mit einem Kovizenten von minus 0,3 und hochsignifikant
. Mit einer T-Statistik von minus 4,7 am P-Wett von 0.
Hier gibt es also keinen Deutschen. Dieser Koeffizient ist nicht
null. Sondern hier haben wir einen bestimmten Feedback-Mechanismus zwischen Arbeitsstunden
und totaler Faktorproduktivität,
der die Real Business Cycle-Leute überrascht
Der sagt, das ist aber komisch,
dass die Arbeitsstunden einen negativen Einfluss haben auf die totale Faktorproduktivität.
Die Wachstumsrate, positive Wachstumsrate wird inperiode team minus eins,
wirkt so, dass die totale Faktorproduktivität sinken würde.
Wie sieht es für die Arbeitsstunden aus? Nun,
die Arbeitsstunden werden erklärt, erstens durch die Wachstumsrate der Arbeitsstunden
wird erklärt durch die Wachstumsrate der totalen Faktorproduktivitäten der Vorperiode.
Da kommt hier koeffizient von 0,075 raus,
der wieder nicht signifikant ist. P-Wert ist 24 Prozent,
können wir vergessen,
das ist de facto
Und hier kommt ein autoregressiver Koffizient draus, der uns nicht
weiter überrascht. Der ist positiv. Die Wachstumsrat der Arbeitsstunden
. Heute hängt positiv ab von der Fraktionsrate der Arbeitsstunden.
Gestern, das ist sozusagen das Kundentourenphänomen. Ja,
was wir hier wieder ganz stark sehen, die Wachstumsraten sind Otto korreliert.
Also wenig Überraschung im Grunde genommen hier drin,
außer dass vielleicht die Real Business Cycle-Leute sagen würden, naja,
schon ein bisschen komisch, dass die Arbeitsstunden nicht wachsen,
also dass hier kein positiver koeffizient ist.
Wenn wir in der Vorperiode eine technologische Innovation gehabt haben,
die totale Faktorprodukte
Das schauen Sie sich bitte zum nächsten Mal an.
Damit werden wir weiter arbeiten mit dieser Art von Analyse.
Damit werden wir in Frage stellen,
was die Real-Business-Cycle-Leute an Ergebnissen erzielt haben oder was sie geglaubt haben,
dass sie es an Ergebnissen erzielt hätten.
Wir werden also mit solchen Arten von Ansätzen
die RWC-Theorie in Frage stellen und kritisieren.
Und deshalb ist es wichtig, dass die Tiere das Grundgerüst verstehen.
Ich bin jetzt für die heutige Stunde am Ende ein paar Bemerkungen dazu,
kommen in der nächsten Vorlesung,
die er dann ist im neuen Jahr,
sein wird
Wie ist das 4. 5. Januar oder sowas?
Also Dienstag nach Neujahr. Sehen wir oder hören wir uns
das nächste Mal. Bis dahin wollen wir zumindest noch die
Möglichkeit in der Wägen ziehen, dass wir noch Interaktion machen.
Besteht von ihrer Seite dort Bedarf. Wollen Sie jetzt noch
in das interaktive Meeting wechseln,
um Fragen zu stellen oder Dinge zu kommentieren,
dann geben Sie bitte
ein Handzeichen
Das scheint nicht der Fall zu sein,
dann bleibt mir nur noch in frohe Weihnachten gesegnete Festtage
zu wünschen und natürlich einen guten Rutsch ins neue Jahr.
Und wir hören und hoffentlich sprechen uns dann wieder Anfang Januar.
Bis dahin alles Gute für Sie und schöne Feiertage und Vorlesungsferien