Herzlich willkommen. Ich mache weiter,
wo ich im letzten Video aufgehört habe und möchte noch mal
kurz erst erinnern an den Begriff separable, quadratische Körpererweiterung.
Wir waren dann stehen geblieben vor Beispiel 5. Separable,
quadratische Körpererweiterung, das sagt man, wenn man zwei Körper hat,
E und K und in diesem Kapitel die ganze Zeit Kommutative Körper.
Klar ist der kleine Körper eh der große Körper, sage ich auch.
Also E ist ein Oberkörper von K und der entsteht auf folgende Weise.
Man hat einen Automorfismus Kappa, von E, einen sogenannten involutorischen Automofismus.
Das heißt, Kappa zweimal angewendet ist die Identität.
Kappa selbst ist aber nicht die Identität.
Und wenn dann K genau der Fixkörper,
also die Menge der unter Kappa festbleibenden Elemente von E ist,
dann sprechen wir von einer separablen quadratischen Körpererweiterung.
Beispiele sind Z und R mit dem normalen Komplex konjugieren als Kappa.
Eine Kappa von X nenne ich meistens auch in der Allgemeinsituation X quer.
Dann kamen zwei weitere Beispiele und dann kam,
aha,
hier fehlt was
Karr ein endlicher Körper mit Charakteristika, Ungleich 2,
also 1 plus 1 ist nicht null.
Dann haben wir letztes Mal gezeigt, dass dann immer ein
Körperelement A existiert, sodass x-quadrat-a keine Nullstelle in K besitzt.
Man sagt auch, dieses polynomis quadratische Polynom ist irreduzibel.
Und dann können wir eh konstruieren als K plus AlphaK
mit einem Alpha, was dann nicht in Karl liegt.
Und stattdessen eben null Stelle von diesem Polynom ist,
also Alpha-quadrat ist
Und dann ist das hier ein Zweidimensionaler Carvictor-Raum,
der zu einem Körper wird mit dieser Regel.
Alles andere kann ich dann ausrechnen mit dem Distributivgesetz.
Und das Kappa ist X plus Alpha Y,
wird abgebildet auf X-Alpha Y und man stellt fest,
genau diejenigen sind fix, wo das Y-0 ist,
das heißt diejenigen, die in K liegen.
Und dann hatte ich schon angekündigt,
dass ich jetzt ein Beispiel machen möchte für einen endlichen Körper
mit Charakteristik gleich zwei,
nämlich den Körper mit zwei Elementen
Für andere Körper der Charakteristik 2, endliche Körper,
geht das ähnlich, aber das führe ich hier nicht vor.
Ich möchte jetzt also den Körper K gleich Z2,
0 und 1 mit Addition und Multiplikation, Modulu 2 nehmen.
Dann gibt es in diesem Körper KK KK KKA,
so das x-Quadrat-A, keine Nullstelle hat,
denn es gibt nur zwei Elemente,
0 und 1 und null Quadrat ist 0 und 1 Quadrat ist 1. Das heißt,
beide Elemente von KCOM vor, als mögliche A,
die aber dann eine Nullstelle haben,
weil sie eine Wurzel haben,
die Wurzel aus 1 ist 1 und die Wurzel aus 0
ist null
Genau, das heißt, in die Tote von oben können
wir nicht machen, aber wir variieren die ein bisschen.
Wir nehmen ein anderes, irreduzibles Polynom. Nämlich zum Beispiel,
das Polynom x Quadrat plus x plus 1,
das ist jetzt eben nicht von der Form x Quadrat minus A,
sondern hat hier noch so einen linearen Therm drin,
hat keine Nullstelle.
Null Ställe in K. Das überlege ich mir wieder mit einer bini-kleinen Wertetabelle.
Wenn ich x einsetze und x gibt es nur zwei Möglichkeiten,
null oder eins einzusetzen, 0 plus 0 plus 1,
das ist also gleich eins, keine Nullstelle.
Und wenn ich eins einsetze, habe ich eins plus eins
plus eins, weil das aber null ist wegen Charakteristik.
Zwei oder sagen wir unseren ganz konkreten Körper hier haben,
kommt da eins raus. Also es ist beide Möglichkeiten von Elementen von K
sind keine Nullstellen. Also wir haben hier wieder ein irreduzibles,
quadratisches Polynom gefunden und statt diesem Alpha haben wir das jetzt
hier im Skript Tau genannt.
Also wir nehmen jetzt Tau,
das ist dann wieder nicht in K,
weil es dann null Stelle wird von dem Polynom
Künstliche Nullstelle habe ich das letztes Mal genannt. So wie
oben das Alpha auch, eine künstliche hinzugefügte Nullstelle war.
Also möge gelten die Gleichung, taug Quadrat plus tau
plus 1, gleich null. Das ist ja,
wenn ich Tau in das Polynomie einsetze,
soll null rauskommen und Tau kann dann nicht in K sein,
weil das für die Elemente von Kaja niemals null ist.
Also wir addieren oder addjungieren, wie man sagt,
ein neues Element. Und dann setzen wir genau wie oben,
jetzt eben eh gleich K plus Tauca.
Und das ist ein Körper
Mit vier Elementen, also ein Vektorraum mit vier Elementen,
ist klar, weil in K jeweils zwei Elemente wählbar sind.
Dass es auch ein Körper ist, muss man sich überlegen.
Das Wichtigste schreibe ich vielleicht schon mal hin. Dieses hier
kann ich umschreiben zu Taugquadrat ist minus Tau minus eins eigentlich,
aber weil wir in Charakteristik zwei sind, kann ich genauso gut schreiben.
Tau plus eins, weil minus dasselbe ist wie Plus.
Und wenn man diese Regel anwendet und jetzt zwei Elemente hieraus multiplizieren will,
A plus Tau mal B, plus C plus Taumade,
dann, wenn ich das Distributivgesetz an und da, wo 2000 aufeinanderstoßen,
beim Multiplizieren, Tauquadrat rechne ich eben Tau plus 1 und man erhält tatsächlich einen Körper.
Wenn Sie möchten,
könnten Sie für diesen Körper die vier Elemente 0 plus Tauma 0,
0 plus Tauma 1,
1 plus Tauma 0 und 1 plus Tauma 1 sind die vier Elemente,
dann könnten Sie, wenn Sie möchten,
eine Multiplikations- oder eine Additionstabelle aufstellen und dann gucken,
sind das wirklich Gruppen und so weiter.
Also liegt ein Körper vor. Genau. Und
das ist jetzt ein Körper mit vier Elementen,
das habe ich schon hingeschrieben und uns fehlt noch das Kappa
Also ein Automorphismus von E, sodass K genau der Fixkörper ist.
Oben hatte ich den hier angegeben. Und hier gebe ich ihn jetzt auch an.
X plus tau Y wird abgebildet. Es steht jetzt im Skriptenklein ein bisschen anders,
aber wenn Sie kurz drüber nachdenken, stellen Sie fest,
dass das das Gleiche ist,
der soll jetzt aber abgebildet werden auf X plus tau plus einmal Y,
also im Skript steht die Zuordnung Tau wird abgebildet auf taub plus 1,
liefert uns ein Kappa und ich möchte das hier mal explizit machen.
Das ist nämlich dann dasselbe wie X plus Y,
einmal, Y schreibe ich nach vorne, plus
TAU Y. Das ist eine lineare Abbildung, eine lineare Biliektion und
dass sie tatsächlich auch mit der Multiplikation verträglich ist,
das muss man sich überlegen.
Und man stellt fest, das hier ist genau dann gleich
X plus TAU Y, wenn Y gleich null ist,
also wenn das Element in K gelegen ist.
Weil so haben wir tatsächlich fix von diesem Kappa,
ist gleich K. In dem Fall gleich C2. So,
soviel also zu dieser Konstruktion, könnte man sagen,
des Körpers eh mit vier Elementen
Also Körper mit vier Elementen ist ein klein bisschen schwieriger
als Körper mit zwei oder mit fünf Elementen,
weil er eben nicht von der Gestalt Z4 ist,
sondern auf diese Weise entsteht.
Und ist eine separable quadratische Körpererweiterung im Sinne unserer Definition.
Ja, aber das war ja jetzt nur ein Beispiel.
Ich komme jetzt zu dem Nachfolgenden ersten Satz,
über allgemein, über separable quadratische Körpererweiterung.
Und am Schluss des Satzes, wenn ich ihn formuliert habe,
sage ich nochmal, warum er für uns wichtig ist.
Im Skript steht das eigentlich oberhalb von dem Satz 6-
Also, es sei jetzt eh Komma K. separable,
quadratische Körpererweiterung mit diesem Kappa von oben,
das schreibe ich nicht mehr hin,
sodass Fixkappa gleich K ist, dann gelten drei Sachen.
Erstens, für alle B,
aus E ist B plus B quer in K und B
quer ist wie der Kappa von B und B malbig quer ist in K.
Das kann man leicht nachprüfen, das möchte ich jetzt gar nicht beweisen.
Man muss dazu nur prüfen, wenn ich auf dieses Objekt
hier plus bequer. Kappa anwende, dass es fest bleibt.
So ist ja K definiert. Und genauso hier. Zweitens,
B und X, zwei Elemente aus E. Sind linear abhängig,
genauer K linear abhängig. Wir betrachten eh als K-Vektorraum,
genau dann, wenn X-B quer in K liegt.
Den Beweis schauen Sie sich bitte selbst an,
der steht im Skript, ich möchte ihn hier nicht vorführen,
ich möchte von den Nummer drei nachher wenigstens eine Beweisidee bringen.
Nummer drei sagt, für alle B, in E,
die nicht in K sind, gilt, E ist K plus BK.
Also genau wie in den Beispielen eben,
oder hieß das nicht B, sondern Alpha oder Tau.
Insbesondere ist die Dimension von E über K gleich 2.
Das ist sozusagen der absolut wichtige Teilpunkt hier. Ich schreibe nochmal dazu,
wir haben die Basis oder eine Basis nämlich gefunden, der Mächtigkeit 2,
1 und B. Jedes Element ist Linearkombination eines Elementes aus K mal 1,
plus B, mal weiteres Skala aus K.
So, wer weiß, von dem bringe ich gleich.
Vorher möchte ich hier hinschreiben, Folgerung, was für uns die wichtigen Punkte sind.
Folgerung ist nämlich, erstens, dass die Dimension 2 ist,
deshalb ist es sozusagen endlich gerechtfertigt hier von einer quadratischen Körpererweiterung zu sprechen.
Zweitens, das, was hier steht,
das ist sozusagen die ganz wichtige Folgerung,
das sagt uns nämlich, Zum Teil zumindest,
es liegt eine Situation vor, wie in den Beispielen.
Also IK ist, wie in den Beispielen, das noch
ein bisschen ausführen. I ist tatsächlich K plus WK,
das steht ja schon oben, für ein, eigentlich für alle.
Wir wählen uns jetzt ein festes B,
was natürlich selber nicht im Kader sein darf.
Und es gilt tatsächlich noch die Sache,
die auch in den Beispielen gegolten hat.
B ist tatsächlich auch null Stelle eines irreduziplen Polynoms
Eines Polynoms, P von X, nenne ich das mal kurz,
gleich X Quadrat plus kleinen Karma X plus L,
K und L aus K, also ein Polynom mit koeffizienten aus K,
welches keine Nullstellen in K hat. Das behaupte ich jetzt,
das war ja in den Beispielen immer so und das gilt jetzt
eben tatsächlich auch allgemein und dazu muss ich kurz begründen,
welches Polynom Nämlich, es steht im Skript,
wie gesagt, oberhalb von dem Satz.
P von X ist das Polynom X Quadrat plus B plus B minus,
muss ich hier schreiben. Also wenn ich das kann,
möchte ich das Negative von dem, was ich hier habe.
X plus, wie mal X quer. Und nach Nummer 1
hier oben fange ich vielleicht mal mit meiner zweiten Farbe an,
sind diese beiden Ausdrücke tatsächlich Körperelemente in K.
Und die habe ich hier jetzt auch wieder als Koeffizienten
des Polynoms
Und das können wir nämlich einmal kurz einsetzen,
dass das tatsächlich null rauskommt, wenn ich wie einsetze.
Dann haben wir hier B-Quadrat, minus B plus B,
quer, mal B, plus B, mal B quer.
Und wenn man das jetzt ausmultipliziert, B-Quadrat,
minus B mal B, also minus B-Quadrat,
plus Speak quer B, minus, minus Speak quer B,
das ist ja schlecht zu lesen,
vielleicht,
plus Baby quer und da wir kommutativ,
alles kommutativ haben
Hebt sich dieses Minus mit dem Plus hier weg.
Und es kommt null raus. Wie gewünscht.
Und warum hat das Polynom keine Nullstellen in K,
weil die zweite Nullstelle von P, von X ist bequer.
Wie quer, welches tatsächlich auch nicht in K liegt.
Das führe ich jetzt nicht vor. Das kann man sich
leicht überlegen. Und, also dass es nicht in K liegt,
ist klar, weil dann sonst auch BNK liegen würde.
Aber das ist tatsächlich hier eingesetzt, auch null ergibt,
kann man sich überlegen. Wir haben also 2-0
Stellen eines quadratischen Polynoms gefunden und mehr Nullstellen kann es ja
gar nicht haben.
Also hat es keine Null Stellen
In K. Und damit ist meine kleine Folgerung hier, begründet,
und wir haben also tatsächlich in jeder separablen quadratischen Körpererweiterung eine solche Beschreibung,
K plus BEK, mit B, Nullstelle eines quadratischen Polynoms,
welches keine Nullstelle in K hat,
also eines über K, ihreduziblen, quadratischen Polynoms.
Genau, und ich habe, mir fehlt noch,
oder was ich noch gesagt habe, was ich noch machen möchte,
ist der Beweis von Nummer drei von diesem hier.
Das werde ich
noch kurz ausführen
Beweis von drei. Der steht auch im Skript,
aber ich finde, man muss das einer erklärt kriegen,
um das besser zu verstehen.
Also es soll gezeigt werden, eh ist gleich K plus Bemaka.
Und da sind zwei Inklusionen zu zeigen. Diese ist trivial,
weil alles, was hier steht, ist Element von eh.
Und jetzt sind wir bei dieser Inklusion und nehmen uns
ein beliebiges X aus E und wir müssen zeigen,
es liegt in K plus BK.
Und dazu machen wir eine kleine Nebenrechnung,
so wie sie im Skript steht.
B-b-b-b-quer mal
Ist, wie X, minus Speak Quer X. Das ist
nur ausmultipliziert. Das vorher kompliziere ich jetzt aber ein bisschen.
Ich addiere ja nochmal null. Und zwar in der Gestalt
B X quer minus B X quer.
Das ist nicht verkehrt. Und das sortiere ich jetzt um
zu B X-Quer schreibe ich nach vorne, minus B
Quer X. Habe ich die beiden schon.
Und dann kommt B X-W X quer.
Ich schreibe B mal x-x quer
Und jetzt habe ich, dieses hier ist gleich dem,
ich interessiere mich ja für X,
ich löse das nach X auf und habe X ist gleich.
Und weil wir jetzt in einem kommutativen Körper sind,
kann ich ganz normale Brüche schreiben,
wie X quer-b quer X, geteilt durch b-b quer,
plus b mal x-x-x-quer geteilt durch b-b-b quer.
Und wenn ich jetzt noch zeigen kann,
diese beiden Ausdrücke hier sind beide in K,
Dann sind wir fertig, dann ist X in K plus Beaker.
Dann sind wir fertig. Das heißt, das muss ich noch zeigen,
das geht für beide Ausdrücke gleich, da dieser,
der etwas kompliziertere ist, führe ich das für den einmal vor.
Diesen Ausdruck nenne ich mal kurzzeitig A, damit ich ein bisschen Schreibarbeit
mir spare. Und ich muss zeigen, zu zeigen,
a quer ist gleich A, weil dann A in K liegt.
Was ist a quer? A quer ist gleich. Das ist dieser Bruch,
versehen mit einem quer, weil aber quer, also dieses Kappa,
ein Automorphismus ist, nicht quer auch einmal oben und einmal unten anwenden.
B-x-quer-b- quer x, quer, geteilt durch b-quer-b-quer, quer.
Und jetzt ist das quer, additiv und multiplikativ,
das heißt, ich kann das auseinanderziehen, B-quer,
mal x, quer quer, also mal x,
weil quer zweimal angewendete Identität ist, minus B,
mal x quer, geteilt durch B-quer-b.
Und das ist jetzt schon fast unser A, aber nicht ganz,
das ist einfach bis auf ein Vorzeichen hier, minus B
X Quer minus B Quer X und im Nenner-b-b-quer.
Die beiden minus heben sich weg,
die streichel ich hier mal eben weg,
kann ich kürzen und das ist dann wieder unser A von dort.
Und das war das, was wir zeigen wollten und völlig
analog zeigt man das auch hier für den zweiten Koeffizienten und
die Aussage ist gezeigt und damit ist der Satz gezeigt.
Und damit beende ich auch dieses Video.
Vielen Dank für die Aufmerksamkeit