Hallo, herzlich willkommen in diesem Video. Wir beginnen jetzt
mit Kapitel 6, dem letzten Kapitel des Skripts.
Dieses Kapitel ist überschrieben, euklidische Ebenen.
Die euklidische Ebene ist oftmals synonym verwendet für die Anschauungsebene.
In unserem Kontext hier werde ich euklidische Ebene,
ein paar Seiten weiter hinten, auf Seite 43,
unten definieren, locker gesagt als affine Ebene,
auf der noch ein weiterer Begriff definiert,
ist der Begriff der Kongruenz
Konkurrenz kennen Sie wahrscheinlich aus der Schule, Stichwort Kongruente,
Dreiecke und Ähnliches. Sowas soll hier betrachtet werden, eine Konkurrenzrelation,
eine Relation, Zwei-Punkte-Pare werden als Kongruent definiert oder wir,
wenn wir nachher einen abstrakten Zugang wählen, sagen,
wir haben eine Relation, kongruent auf Punktepaaren,
die gewisse Eigenschaften hat, anschaulich oder wenn wir ihn mit der Anschauungsebene starten,
dann würde das bedeuten,
dass die Strecken zwischen den Punkten A und B und die Strecke zwischen den Punkten C und D Gleich lang sind,
also gleich lange Strecken.
Es soll Kongruente, Punkte, Paare, ist so eine Astraktion
des Begriffs gleich lange Strecken. Und wir starten mal,
jetzt hier, bevor die erste formale Definition kommt,
mit einem Beispiel oder mit unserem Themenbeispiel, nämlich der reellen Ananschauungsebene, AG2R.
Und da würde man sagen, ich habe gesagt,
wenn diese Strecken gleich lang sind, sollen die Punktepaare Kongruent heißen. Das heißt,
man würde hier jetzt sagen, A, B,
Kongruent, CD, genau dann, wenn arminus B,
ich schreibe das jetzt nicht mehr in Doppelstrich,
also die Norm, die Länge dieses Vektors, arminus B,
ist gleich der Länge des Vektors C minus D.
Das könnte man machen,
mit der ganz gewöhnlichen Längenmessung von Vektoren im R hoch 2,
der Zugang, den wir jetzt hier aber wählen,
ist ein minimal anderer,
dass wir nämlich jetzt die Punkte vom R hoch 2 von unserer Anschauungsebene als komplexe Zahlen interpretieren Also AG2R,
jetzt hier auffassen als das, was wir dann auch nennen würden, AGCR.
Das heißt, der zugrunde liegende zweidimensionale Vektorraum,
die Punktmenge ist hier nicht R-Hoch 2,
sondern C. Das heißt Punktmenge ist,
A heißt sie ja meistens, hier jetzt C,
bei denen wir AG2R schreiben, eigentlich eher Hoch 2,
was aber natürlich sozusagen im Prinzip auch das Gleiche ist wie C.
Nur wir möchten
auch die Körperstruktur von C benutzen
Und wenn wir das haben und hier oben weiterlesen,
dann könnte man hier jetzt weiterlesen,
in dem Fall könnte man hier schreiben,
das ist dann auch wieder gleichbedeutend, dazu,
dass man sagt, wenn das alles komplexe Zahlen sind,
dann ist der Abstand jetzt zwar bei beiden komplexen Zahlen,
ja, berechenbar mit dieser Formel, raminusb, mal raminusb,
quer, daraus die Wurzel wäre eigentlich hier die Norm,
aber ich möchte eben gerade nicht die Wurzel verwenden,
damit es nachher für beliebige Körper oder für viele,
viele Körper verallgemeinerbar ist und deshalb schreibe ich das hier so
Das ist für die komplexen Zahlen das Gleiche. Zwei komplexe Zahlen,
A minus B und C minus D sind genau dann gleich lang,
wenn dieser Ausdruck Zahl mal ihr konjugiert komplex ist,
jeweils gleich ist.
Und das ist jetzt nämlich eine Sache,
die man verallgemeinern kann und das werden wir auch machen,
nämlich statt komplexe Zahlen und reeller Zahlen hat man gewisse andere Körper.
Das kommt nachher gleich auch noch,
das wird nachher gleich verallgemeinert,
auf Beispielklasse
Von diesem einen Beispiel gehen wir zu einer Beispielklasse,
AG-E-K, wo K, ein beliebiger, kommutativer Körper ist,
also in diesem Kapitel sind jetzt die Körper tatsächlich alle Kommutativ,
verallgemeinert hier die reellen Zahlen und E ist auch ein kommutativer Körper,
ein Oberkörper, und zwar ein solcher,
den man dann nennt,
eine separable,
quadratische Körpererweiterung von
Also ein Erweiterungskörper, ein Oberkörper, der Quadrat-Tischer-Oberkörper ist,
also in dem Sinne, dass er zweidimensional über K ist,
sowie die komplexen Zahlen und eine gewisse Eigenschaft hat,
die separabel heißt, die ich jetzt gleich definieren werde.
Vielleicht kennen Sie auch eine Definition,
die hier verwendete Definition ist wahrscheinlich nicht die Standarddefinition, aber eine,
die für unsere Zwecke gut geeignet ist und auch äquivalent ist zur Standarddefinition,
falls Sie aus der Algebra oder von irgendwoher schon eine Definition kennen.
Das möchte ich jetzt einführen. Wir sind jetzt seit 41 Mitte
Die Definition von separable quadratische Körpererweiterung sei eh der große Körper,
ist das, so wie die komplexen Zahlen, ein Kommutativer Körper.
Und zwar sollte er haben einen sogenannten involutorischen Automorphismus.
Erkläre ich jetzt gleich.
Kappa heißt er
Also ein Automaufismus des Körpers, eh,
und statt Kappa von X schreiben wir in der Regel X quer,
wie wir es also auch bei den komplexen Zahlen haben.
Das heißt also Kappa, wie schon gesagt,
ist einerseits ein Automaufismus des Körpers eh,
und hat die Eigenschaft, das ist jetzt das,
was ich involutorisch nenne, Kappa, Kringel, Kappa,
ist die Identität, also zweimal angewendet die Identität,
aber Kappa selbst ist nicht die Identität.
Ein solchen Automorphismus setzen wir als gegeben voraus und in den
komplexen Zahlen zum Beispiel haben wir den,
der heißt dort auch quer, also das komplexe Konjugieren.
Und jetzt sei im weiteren Schritt K,
der sogenannte Fixkörper von Kappa, also die Menge aller X aus E,
die gleich ihrem Kappa-Bild sind, also wo X gleich X quer ist.
Dieses K ist dann ein Unterkörper. Das ist sozusagen ein
kleiner Satz, der da drin steckt.
Ein Körper, ein Unterkörper von E. Das kann man prüfen,
das prüfe ich jetzt hier nicht, kann leicht prüfen
Und den nennt man auch den Fixkörper von Kappa.
Also die Menge aller Fixpunkte sozusagen der Abbildung, Kappa auf E,
bildet einen Körper und deshalb sprechen wir von Fixkörper.
Und dieses Paar, E-Karz, das ist eine Körpererweiterung,
also ein großer Körper mit einem kleinen Körper.
Manchmal schreibt man es vielleicht auch andersrum. K ist der
Körper und E ist die Erweiterung von K. Diese Erweiterung heißt jetzt eben,
wie oben schon angekündigt, separable, quadratische Körpererweiterung.
Genau, andere Definitionen sind, wie gesagt, möglich.
Wir sehen später auch ein paar Seiten später im Skript.
Also später wird zum Beispiel Folgendes gezeigt,
dass die Dimension von E über K,
also E lässt sich als K Vectorhauben natürlich auffassen,
weil kein Unterkörper ist,
dass die Dimension tatsächlich zwei ist und deshalb,
dass das sozusagen deswegen gerechtfertigt ist hier von quadratischer Körpererweiterung
zu sprechen
Die übliche Definition von quadratischer Körpererweiterung wäre eben, dass die Dimension zwei ist.
Und das ist hier auch der Fall, aber es steckt,
geht aus unserer Definition vielleicht nicht ganz auf den ersten Blick hervor.
Hat was damit zu tun, dass hier Kappa Quadrat sozusagen die Identität ist.
So, das ist unsere Definition und dazu kommen jetzt Beispiele.
Und das wird die Grundstruktur sein, für die wir affine Ebenen machen.
Also ja, ich schreibe vielleicht, fang direkt mal an
mit den Beispielen und dann komme ich nochmal eben darauf zu sprechen.
Beispiele, Beispiel eins, da schreibe ich nur nochmal hin,
was ich schon mehrfach jetzt auch gesagt habe.
Komplexe Zahlen, unsere elle Zahlen, die sich
eine solche separate quadratische Körpererweiterung mit dem üblichen, komplexen Konjugieren.
Und da hatte ich ja hier vorher schon gesagt,
unser Standardbeispiel oder erstes Beispiel einer euklidischen Ebene ist eben AGCR mit dieser Konkurrenzrelation,
AB KongruenCD, wenn diese Sache gilt.
Und das können wir jetzt verallgemeinern. Wir kriegen dadurch eine große Klasse euklidischer Ebenen,
also die abstrakte Definition euklidischer Ebenen kommt, wie gesagt,
auch noch, nämlich AG,
EK für eine solche separable quadratische Körpererweiterung EK und entsprechend auch definierter Kongruenzrelation.
Also wirklich genauso wie hier mit dieser Sache definiert,
weil wir dann auch so ein Querhaben, nämlich unser Kappa.
So, jetzt machen wir aber erstmal rein Alge Breischweiter, einige Beispiele.
Zweite Beispiel als Körper E haben wir Kuhwurzel 2. Alle solchen
Linearkombinationen A plus Wurzel 2 B pro A und B aus Kuh ist.
Und wozu zwei ist ja nicht aus Kuh,
deshalb ist hier schon klar, dass es ein zweidimensionaler Vektorraum über Kuh,
man kann dann eben zeigen, vielleicht wissen sie das,
dass das hier ein Körper ist und das Folgendes, ein involutorischer Automorphismus,
in wohl Auto schneide ich kurz, ist Capa, A plus Wurzel
2W, wird abgebildet auf A-Wurzel 2B, also genau wie bei den komplexen Zahlen,
A plus IB wird abgebildet auf Minus-IB, genauso geht das hier auch.
Man kann jetzt prüfen, das ist wirklich ein Körperautomorphismus,
das liegt daran, natürlich das Wurzel 2 ins Quadrat,
dann wieder zwei ist und dass man hier entsprechend einen Körper hat und involutorisch,
wenn man das zweimal anwendet,
dass man dann wieder bei der Identität landet.
Das ist klar und der Fixkörper Fixkörper ist cool.
Also in die rationalen Zahlen. So, jetzt haben wir weitere Beispiele,
die restlichen drei Beispiele beziehen sich jetzt auf endliche Körper.
Also kam hier schon mal weiter vorne, die Frage,
welche endlichen Körper gibt es überhaupt
Jetzt in, und Punkt 3 behandeln wir den Körper mit fünf Elementen
als K und als E kriegen wir dann einen Körper mit 25 Elementen.
Also der sozusagen K hoch 2 als Vektorraum entspricht und
dann 5 hoch 2, 25 Elemente haben muss.
Also jetzt starten wir mit K und konstruieren später dann das I,
Kasa, der Körper mit fünf Elementen, also Z5,
ganze Zahlenmodule 5. Und entweder kennen Sie das schon,
wie man den jetzt erweitern kann oder auch nicht.
Ich erkläre es Ihnen hier so, wie es in unserem Skript steht,
also recht elementar über diesen Körper K hat das Polynoum
x Quadrat minus 2 keine Nullstellen. Also Innenk könnte ich auch sagen.
Wer ist das nächste? In K hat dieses Polynon keine
Null Stellen. Das könnte man noch mal kurz prüfen. Wenn hier X ist,
als Möglichkeiten, Modulu 5 gibt es ja nur fünf Möglichkeiten,
0-1, 2, 3,
4. Ich rechne mal x Quadrat aus und damit das eine Nullstelle wäre,
müsste x Quadrat gleich 2 sein.
Und die Quadrate Modulu 5 sind aber 0-1,
2 Quadrat ist 4,
3 Quadrat ist 9,
das ist wieder
4 und 4 Quadrat
Ist 16, ist 1. Das heißt,
die Quadrate Modulu 4 sind 0-1 und 4,
aber eben nicht 2. Deshalb gibt es keine Zahl in Z5,
sodass deren Quadrat 2 ist. Und die Idee ist jetzt,
wir adjungieren eine künstliche Wurzel aus 2,
eine künstliche Nullstelle dieses Polynoms, so wie bei den komplexen Zahlen,
man im I adjungiert eine künstliche Wurzel aus minus 1. Also so wie schreibe ich das,
sei Alpha nicht in K mit Alfa-Quadrat gleich zwei.
Das heißt, wir haben eine künstliche Nullstelle,
so steht das hier im Skript. Halfer wird,
wie man eben sagt, adjungiert zu Set 5 hinzugefügt.
Und wir erhalten eh den Körper K plus Alpha K,
à la A plus Alpha
B, A und B in K,
was hier Z5 ist
Und man kann wieder zeigen,
genau so wie in den Beispielen, vorher,
genauso wie bei dem komplexen Zahlen oder auch hier bei den rationalen Zahlen,
dass, da ist ja die Idee auch genauso,
da hat x Quadrat minus zwei auch keine Nullstelle in Kuh und wir atologieren eben die künstliche Nullstelle,
die wir hier aber wurzeln zwei nennen,
weil die in den Oberkörper R existiert.
Hier nennen wir sie Alpha und wissen nichts Weiteres über sie,
außer dass ihr Quadrat 2 ist.
Und wir haben wieder, dass das hier ein Körper ist
, ist Körper
Wir haben wieder so ein Kappa, einen involutorischen Automorphismus,
A plus Alphabee, wird abgebildet auf A-Aphabee.
Ist wieder so ein involutorischer Automorphismus. Und der Fixkörper, Fixkappa,
ist K, Gleichzeit 5. Und so haben wir einen Körper gewonnen,
weil A und B in Z 5 variieren,
der dann 25 Elemente hat.
Und bei dem ist das,
bei diesen Beispielen ist das immer total klar,
dass tatsächlich der große Körper Dimension 2 über dem
kleinen Körper hat
Und dieses Beispiel jetzt mit Z5,
das kann man jetzt statt mit Z5 mit sehr,
sehr vielen anderen endlichen Körpern machen, aber nicht mit allen.
Bei manchen muss man ein bisschen anders vorgehen.
Ich gehe mal zu Beispiel 4 aus dem Skript.
Da schreibe ich nur oder ein bisschen Stichwortartig,
analog für jeden, endlichen Körper, K mit Charakteristik von K,
Ungleich 2. Charakteristik von K und Gleich 2,
das kam schon mal in einer Übungsaufgabe vor.
Das heißt, Zwei Ungleichnull in K. Also Körper mit zwei
Elementen, da wäre ja zum Beispiel zwei gleich null.
Oder auch Körper mit vier Elementen wäre auch zwei gleich null.
Aber ganz viele Körper ist eben zwei Ungleichnull,
die Körper der Charakteristik und gleich zwei.
Und das wäre hier zum Beispiel unser Körper mit fünf Elementen.
Da war das so. Und für alle anderen Körper oder
Charakteristik, Ungleich zwei kann man genauso vorgehen.
Fast genauso. Man muss dann aber hier statt der zwei
möglicherweise eine andere Zahl nehmen, sodass x-quadratminus diese andere Zahl A heißt sie dann gleich.
Keine Nullstellen hat
Genau, stets existiert, das müssen Sie mir jetzt glauben,
ich gebe auch gleich noch eine Begründung,
ein A in K, in diesem endlichen Körper,
der Charakteristik ungleich zwei, so,
dass x Quadrat minus A keine Nullstelle oder Null Stellen in K hat.
Man sagt auch, dass dieses Polynom irreduzibel über K ist.
Und warum ist das so,
eine kleine Begründung
Die im Skript jetzt nicht drinsteht, aber meines Erachtens kann man das relativ leicht überprüfen.
x-quadrat-a, keine Nullstelle, ist ja das Gleiche,
wie zu sagen, A, ist kein Quadrat.
Wenn A ein Quadrat wäre, wenn es ein x gäbe,
sodass x-quadrat gleich A ist, dann wäre ja,
wenn es eine Nullstelle gäbe, sagen wir mal x-0,
nenne ich sie, sodass x-0 Quadrat gleich A ist,
dann hätte dieses Polynom die Nullstelle x-0.
So, und wir gucken jetzt die Abbildung an von K
nach K. X wird abgebildet auf x Quadrat.
Die ist nicht injektiv
Nee, aktiv, da. Nix Quadrat, gleich minus
x Quadrat. Ist. Und wenn x gleich null ist,
ist natürlich null gleich minus null,
aber für alle anderen x ist x ungleich minus x,
aber für x und gleich null.
Mist x ungleich minus x. Das liegt jetzt wegen charakteristika
ungleich zwei. Wenn x gleich minus x wäre,
das wäre ja dasselbe wie x plus x
gleich null
Eins, einmal x plus einmal x gleich 0,
also zweimal x gleich null, das würde unserem zwei gleich
null entsprechen und das ist hier eben tatsächlich nicht der Fall.
Also Charakteristik und gleich zwei sagt auch, Minus und Plus sind eben verschieden.
Plus x und minus x sind, ist nicht dasselbe.
Außer für x gleich null, das ist natürlich der Fall.
So, warum schreibe ich das hier hin? Weil jetzt
keine endliche Menge ist, ist die Abbildung dann auch nicht sujektiv.
Also auch nicht. Wenn sie sujektiv wäre,
wäre sie ja schon bjektiv, sujektiv. Das heißt,
es existiert Ein A in K, ohne Urbild.
Das heißt A ist ungleich x Quadrat für alle x aus K.
Das Urbild will ja ein Element, sodass A eben x
Quadrat ist. Das ist jetzt eine kurze Begründung dafür,
dass im Fall Charakteristik ungleich zwei ein A existiert,
wo der Körper wir eben hatten,
dem Körper mit fünf Elementen,
da haben wir als A
die Zahl zwei genommen
Extrakt im Allgemeinen. Weiß man nicht, welches A,
aber es gibt immer eins,
so das x-quadrat-a keine Nullstelle hat und dann geht man so vor oder würde,
ja, wer würde man so vorgehen, wie hier,
dann adjongieren wir eine künstliche Nullstelle, Alpha mit Alpha,
Quadrat gleich A, kriegen Ka-Plus Alpha Car und genau auf diese Weise einen involutorischen Automofismus und der Fixkörper ist der Körper K, mit dem wir gestartet haben.
Also das schreibe ich jetzt alles nicht nochmal hin. Genau. Und vielleicht mache ich hier Schluss,
es kommt noch ein fünftes Beispiel, das ist dann sozusagen die Situation,
wo eben doch Charakteristik gleich zwei vorliegt, beziehungsweise genauer,
dort wird betrachtet der Fall, der Körper mit zwei Elementen,
da ist ja zweigleich null, also die Charakteristik ist zwei,
aber das möchte ich jetzt dann hier doch nicht mehr reinfügen,
damit ich dieses Video nicht zu lang mache,
sondern stoppe hier erstmal und wir sehen aber schon,
auf diese Weise haben wir eine ganze Menge Beispiele,
die wir dann auch im nächsten Video ausweiten werden,
zu Beispielen von eben solchen Ebenen mit Kongruenz wo die Punktmenge der Körper eh ist und eine Konkurrenz genau bei den komplexen Zahlen eingeführt wird.
Aber das mache ich alles nächstes Mal und stoppe stattdessen hier
jetzt erstmal vielen Dank für die Aufmerksamkeit