Hallo,
hier möchte ich einen kleinen Alternativbeweis für die Aussage von H18C präsentieren,
ein bisschen ausführlicher, um ein bisschen deutlicher zu machen,
warum wir auf die Weise einen Fernpunkt der Graben Psyphan G gewinnen.
Und laut Aufgabenstellung haben wir eine gerade G in der
affinen Ebene AG2R,
nämlich diese gerade
Und gesucht ist der Fernpunkt, der geraden Psyphongie, bezüglich dieser Einbettung sie.
Und der erste Schritt wäre jetzt mal, um das mal
ein bisschen expliziter zu machen, was ist eigentlich Psyphongie?
Bestimme, das war jetzt in der Aufgabe nicht gefordert,
aber das kann auch an anderer Stelle auch gerne,
auch vielleicht mal eine Aufgabenstellung sein, bestimme die gerade Psyphongie.
Bestimme Psyphongie, die nenne ich jetzt Kurzgehstrich,
Und das ist diejenige, gerade von Pi, gleich PiG2R.
Und G ist eine gerade von AG2R,
wir stimmen jetzt diejenige gerade, von PG2R,
sodass alle Punkte, sie von X,
sie,
nee,
X-Element G
aufgestrich liegen
So, und dazu möchte ich gern ausrechnen, wie sehen jetzt diese Psy von X aus?
Dazu schreibe ich die gerade noch mal ausführlich. Das ist 1,
2 plus minus 2, 3 Landa,
Landa in R. oder auch, wenn ich das ausrechne,
in einen Vektor reinschreibe, 1 minus 2 Landa,
2 plus 2 plus 3 Landa, Landa in R.
Das ist die gerade G und jetzt möchte ich ausrechnen,
also wenn X in G liegt,
Dann hat X also die Gestalt wie hier,
das schreibe ich vielleicht nochmal hin, eins,
minus zwei Landa, zwei plus drei Landa für ein Landa aus R.
Und dann ist Psy von X mit dem Psy aus der Aufgabenstellung,
wäre dann zweimal eins, minus zwei Landa,
zweimal X-1, minus zwei plus drei Landa,
also minus X-2,
dann eins plus zwei plus drei Landa und zwei plus 1
minus zwei Landa
Plus 2 plus 3 Lander. Hat Aufgabenstellung mal. Also
wir haben ja einen Punkt der projektiven Ebene. Das heißt,
es ist ein eindimensionaler Untervektorum, der von diesem Vektor aufgespannt wird.
Und den kann man jetzt vereinfachen. Du hast hier ausrechnen,
diese Klammern, 2, minus 4 Lander,
minus 2, minus 3 Lander, also 2,
minus 2 hebt sich weg, bleibt minus 4 Lander,
minus 3 Lander,
also minus 7 Lander.
1 plus 2 plus 3
Sind 3 plus 3 Lander. Und 2 plus 1
minus 2 Lander plus 2 plus 3, Lamda,
sind 5, 2 plus 1 plus 2 sind 5,
minus 2 Lamda plus 3 Lamda plus Lamda.
Mal er. Das wird dieser Bildpunkt, so sehen alle
Bildpunkte, sie von X, X auf G aus.
Und gesucht ist jetzt eine Grade, auf der diese alle drauf liegen.
Diesen Vektor hier, den schreibe ich nochmal raus,
den kann ich auch schreiben als 0, 3,
5 plus minus 7, 3, 1 Malanda.
Wenn ich das jetzt wieder auseinanderziehe. Und jetzt stelle ich fest,
jeder Bildpunkt, sie von X hat diese Gestalt und der Zugehörige Vektor
ist auf jeden Fall eine Linearkombination von diesen beiden Vektoren.
Das heißt, ich kann sagen, alle sie von X,
X auf G liegen auf der Graden,
Strich der projektiven Ebene, nämlich 0-3,
5 R plus minus 7, 3, 1 R.
Das ist ja eine gerade der projektiven Ebene,
ein zweidimensional Untervektorraum von R hoch 3. Und alle diese Vektoren,
die die Punkte, sie von X aufspannen, sind Elemente,
dieses zweidimensionalen Untervektorraums, weil sie die NIA-Kombination dieser beiden Basisvektoren sind.
So, jetzt gilt, alle diese Punkte, diese Psy von X,
sind, was ich gerne nennen möchte, affine Punkte.
Also, Punkte der affinen Ebene, wie es auch im Skript,
nicht im Skript auf dem Aufgabenzettel draufsteht, sie von A,
wenn A die Ausgangsebene AG2R ist, und die hat die Punktmenge.
Sie von GroßA, also ob sie von R hoch 2,
und dies ist eine affine Ebene,
die sozusagen in P. eingebettet ist mit unserem,
unserer Einbettung P. eine Ebene, die Isomorph ist zur affinen Ebene AG2K,
zu A, die jetzt aber im C eingebettet,
in P. eingebettet ist und so,
dass der projektive Abschluss gleich P ist,
das schreibe ich jetzt hier nicht hin.
Ach ja, vielleicht doch. Mit projektiver Abschluss gleich P.
Also das ist eine affine Ebene und da kann ich ja
den projektiven Abschluss bilden und das ist natürlich dann die projektive Ebene,
wo Ebene sowieso hier schon als Teilebene erscheint.
So, und in diesem projektiven Abschluss liegen ja jetzt die Fernpunkte.
Das ist ja immer so gewesen, die affine Ebene,
die gerade in der affinen Ebene werden erweitert durch Fernpunkte.
Und dies ist ja jetzt aber sowieso schon,
gerade des gesamten projektiven Abschlusses, das heißt,
der Fernpunkt dieser Grade muss derjenige Punkt sein,
der nicht in Psy von A liegt, aber in P natürlich,
das sind ja alles Punkte von P und hier auf dieser Graden draufliegt.
Und wir werden feststellen, es gibt genau
einen solchen Punkt
Ich schreibe es dir nochmal hin. Ich habe mir
extra überlegt, wie ich das hier ein bisschen aufschreibe.
Der eindeutig bestimmte, das sehen wir gleich,
das ist da wirklich eindeutig bestimmt ist. Punkt von G-Strich,
der nicht die Gestalt, sie von X hat,
für ein X aus R hoch 2 genauer ein X aus
der Graden G ist der gesuchte Fernpunkt, der gesuchte Fernpunkt.
Er ist nämlich dann kein Punkt der affinen Ebene.
Sie von A, weil er sonst ja die Gestalt Psy
von X hätte. Aber ein Punkt des projektiven Abschlusses.
Logischerweise war ja sämtliche Punkte, Punkte von P sind was.
Wir sind hier gerade innerhalb von P,
der pojektive Abschluss ist
Und es ist also ein Punkt, der Nichtpunkt der Affin-Ebene ist,
aber des projektiven Abschlusses, also muss es der Fernpunkt sein.
Der einzige Punkt auf einer Graben, der Nicht-affiner Punkt ist
, ist der Fernpunkt. Und den suchen wir. Und
genau, das machen wir jetzt auf dem nächsten Blatt.
Also wir merken uns gerade nochmal, das ist die gerade G. Strich,
schreibt sie hier nochmal auf, geh Strich ist die Grabe,
so wie sie hier steht.
Null, 3, 5, R plus minus 7,
3,
Und ein Punkt, Psy von X hat immer die Gestalt.
Und das war hier das? 0, 3,
5 plus minus 7, 3, 1 mal Lamda.
Ja, für ein Lamda, für eine reelle Zahl Lamda.
Und wir suchen jetzt, wir gucken jetzt,
gibt es auf die Strichpunkte, die nicht diese Gestalt haben.
Und das ist dann der Fernpunkt,
da wird es genau einen geben und das ist der
gesuchte Fernpunkt
F, gleich, Fernpunkt von Gehstrich, ist Gleichpunkt von Gehstrich,
der nicht die Gestalt sie von X hat.
So, und das ist jetzt unser Herangehen.
Und jetzt gucken wir nochmal die Punkte von Gehstrich an.
Punkt von Gehstrich, also ein beliebiger,
Punkt von Gehstrich, hat die Gestalt.
P nenne ich ihn
Da haben wir ein Vector, der den Punkt beschreibt,
der ist linear Kombination von diesen beiden Basisvektoren.
Und weil wir Lamda schon verbraten haben,
der nicht die Skalama, jetzt Alpha und Better,
0,35 Alpha, plus minus 7,31. Better, mal R. Positiv,
jeder beliebige Punkt von G-Strich aus und Alpha Better sind nicht beide null.
Dann hätten wir den Wohlvector, das ist ja nicht zulässig.
So. Und jeder Punkt lässt sich so beschreiben mit irgendwelchen
Alpha Better ungleich null und jetzt gibt es zwei Fälle für
die Alpha und Better,
erster Fall
Alpha Ungleichnull. Dann können wir durchall verteilen sozusagen oder normieren
. Wir können den ganzen Vektor hier von rechts mit Alpha
hoch minus eins multiplizieren und erhalten denselben Punkt,
weil wir ja nur einen, die näher abhängigen neuen darstellenden Vektor haben.
0,3,5 mal eins plus minus 7,3,1 Better Alpha hoch minus eins
. Hier habe ich Alpha Alpha hoch minus eins,
das habe ich gar nicht mehr hingeschrieben.
Mal R. Dieses Ding nennen wir jetzt Lamda und dann
haben wir genau das,
was da oben steht
Das heißt, dieser Punkt, der ist von der Form, sie von X.
So sehen alle Psy von X aus. Immer wenn Alpha ungleich null ist,
dann habe ich einen Punkt, der von der Form sie von X ist.
Und wenn Alpha jetzt nicht null ist,
dann habe ich auf jeden Fall, wenn Alpha gleich null ist,
hier war Alpha ungleich null, wenn ein Vergleich null ist,
dann habe ich eben einen Punkt,
der nicht von der Form, sie von X ist,
dann ist nämlich der Punkt P,
Alphagleich null,
dann ist dieser vordere Teil,
fällt dann weg
7, minus 7, 3, 1. Better kann ich weglassen,
das Better ist dann ungleich null, OBDA, Better
gleich 1. Ich kann wieder mit Better hoch,
minus 1 skalieren, wenn ich will.
Also dann habe ich diesen Punkt und der ist natürlich ungleich
Psy von X. Die Punkte Psy von X,
die haben ja immer hier den ersten Vektor mit dem Skala 1.
Und wenn ich hier den Skala 0 jetzt habe bei dem ersten Vektor,
dann kriege ich ganz bestimmt,
kann ich den nicht so darstellen.
Das ist klar
Das heißt, das ist ein Punkt, der nicht sie
von X ist, das ist aber auch nur ein einziger.
Das ist dieser eindeutig bestimmte Punkt von Gestrich,
der nicht die Gestalt, sie von Xern,
also der Punkt, den wir suchen.
Das ist der Punkt F, der Fernpunkt und das
war auch tatsächlich genau der Punkt aus der Aufgabenstellung.
Genau und damit hoffe ich, dass ich Ihnen diese Lösung,
diese Aufgabe auf diesem Wege nochmal auf andere Weise ein bisschen näher gebracht habe.
Falls Sie Fragen haben,
können Sie mich gerne nennen,
deswegen kontaktieren