Herzlich willkommen in diesem Video. Ich werde in diesem Video
das Kapitel 5 abschließen und wir hatten im letzten Video gesehen,
den Satz 5,18 in einer affinen Ebene gilt der kleine affine Desag,
genau dann, wenn a eine Translationsebene ist.
Darauf möchte ich aufbauen, 5,19 ist eine Reihe von Bemerkungen.
Die erste erwähne ich hier jetzt gar nicht,
können Sie sich anschauen, wenn Sie möchten.
Die analysiert den Beweis nochmal etwas genauer.
Die zweite ist sozusagen die Übertragung ins Projektive,
statt AD, wenn wir der kleinen PD haben,
den kleinen projektiven Desagern,
hatten wir gesprochen von einer Movehan-Ebene
Kurfangebene. Und Pi ist Movehan-Ebene genau dann,
wenn für alle L, die affine Ebene, die entsteht,
wenn wir die gerade L als Fern gerade rausnehmen,
wenn das, wenn dort der kleinen AD gilt,
da haben wir zumindest eine Richtung schon mal eingesehen und die andere können sie sich überlegen,
dass die auch gilt.
Also das ist so eine Art Zwischenschritt,
der dort nicht mit aufgeführt wird in der Bemerkung,
entscheide ich hier in Klammern vielleicht dazu,
für alle gerade ein L aus G gilt, APL,
erfüllt.
Klein Ade. Und das ist dann nach 5,
18 gleichbedeutend mit für alle L aus G gilt APL.
Ist Translationsebene. Im Skript steht APF für Ferngrade.
Ich habe hier L genommen, weil das ist die Achse
der Disarkonfiguration, gerne auch mal bezeichnet.
Also eine Movehang-E, eine projektive Ebene ist genau da Movehang-Ebene,
wenn alle entstehenden affinen Ebenen Translationsebenen sind.
Aber es ist wichtig, es muss hier für alle gehen.
Es reicht nicht, wenn es für eine gilt.
Das war bei großem Desark und beim Papos anders,
wie sie sich vielleicht erinnern
Und dann gibt es noch Punkt 3 von dieser Bemerkung.
Den möchte ich auch nicht ausführen, sondern nur stichwortartig.
Ich möchte erinnern, ich habe unterhalb der Definition der Translationsebene
kommen im Skript 2 Bemerkungen, die keine Nummer haben.
Also die zweite Bemerkung, Bemerkung 2,
aber ohne Nummerierung 5 so und so viel.
Der hatte gesagt, dass in AG 2K,
dass das eine Translationsebene ist und dass die Translationsgruppe dort dann Isomorph ist,
zur additiven Gruppe des Vektorraums K Plus.
Und sowas kann man jetzt auch allgemein machen,
wenn A eine Translationsebene ist
Dann kann man, das steht im Skript genauer,
das mache ich hier nicht genauer, auf der Punktmenge.
Ah, haben wir die ja immer genannt,
von der affinen Ebene, Arme, Doppelstrich,
kann eine Addition reingeführt werden,
sodass A mit dieser Addition Isomorph ist zur Transstationsgruppe mit
der Hintereinanderausführung
Und warum macht man das? Das macht man, damit man Translationsebenen algebraisch beschreiben kann.
Da hat man schon mal die Punktmenge algebraisch beschrieben, da muss man auch die Graden, auch algebraisch beschreiben. Es gilt nämlich,
also wir wissen schon, jedes AG 2K ist Translationsebene,
die hat man natürlich schon AG-Bereich beschrieben,
aber es gibt auch Translationsebenen,
die nicht vom Typ AG 2K sind und da kann man auch eine ähnliche,
aber doch etwas schwierigere gebrauche Beschreibung machen und der erste Schritt dafür ist,
zu zeigen, Punktmenge ist schon mal eine Gruppe mit einer geeigneten Addition plus und es folgt sogar,
dass die Punktmenge eine armelische Gruppe ist, also eine kommutative Gruppe.
Das ist der nächste Satz, der jetzt hier für die Translationsgruppe formuliert ist.
Satz 5,20, sei a Translationsebene, Ebene,
dann ist die Translationsgruppe, also die Menge an der Translation mit Kringel
Eine abelsche oder kommutative steht im Skript Gruppe.
Also das kommt Multiplikation, die verhindert. Hintereinanderausführung ist komutativ
. Und hier in dem Punkt 3 würde dann folgen,
dass eben auch A mit Plus Komutativ ist.
Genau, das kann man leicht beweisen, relativ leicht.
Das fürchte ich gerne vorführen. Also in einer Translationsebene ist
die Translationsgruppe Abelsch dazu sein, zwei Translationen gegeben,
Sigmar und Tauch und zu zeigen ist Sigmar Kringe Tau
ist Taugringer Sigmar
Und wir wählen uns einen festen Punkt.
X in A. Fest. Für den ganzen Beweis.
Und wir machen einen ersten Fall. Der einfache Fall.
X, Sigma von X. Und Tau von X. Nicht kollinär.
Was male ich hier hin? Wie ist X? Sigma
von X. Tau von X. Und die Idee ist jetzt,
Sigma Kringeltau von X und Tau Kringel Sigma von X
zu konstruieren oder zu bestimmen, den Punkt zu bestimmen.
Genau, das ist der erste Schritt
Ich mache das mal in rot, möchte ich bestimmen.
Im Skript steht es ein klein bisschen anders,
aber die Idee ist die gleiche. Was ist Taukringe,
Sigma von X? Was ist das Taubild von Sigma
von X? Also Sigma von X ist hier.
Und dessen Taubild suchen wir jetzt. Und da wissen wir
zwei Sachen. Weil Tau eine Translation ist, muss.
Das ist dann die Translationsrichtung. X geht nach Tau von X,
dann Musik mal von X, liegen auf der Parallelen.
Er muss Tau von Sigma von X,
liegen auf der Parallelen durch Sigma von
Parallel zu X-Tau von X. Also auf jeden Fall auf
dieser Graden, weil das Zentrum hier der Fernpunkt ist.
Also auf der Graden Sigma von X parallel X Tau von X.
Muss er drauf liegen. Und gleichzeitig muss er drauf liegen,
weil die gerade X Sigma von X,
die geht unter Tau in die Grade, nee, Entschuldigung.
Doch. X geht ja unter Tau nach Tau von
X. Sigma von X geht auf den gesuchten Punkt
Und dieser gesuchte Punkt liegt auf der Bild gerade von X-Sigma,
von X. Also das, was ich hier jetzt hinschreibe,
ist die Bild gerade, Tau von X, Sigma von X.
Das ist diese Grade,
denn jede Grade geht noch auf eine Parallele über,
das wissen wir, über eine Delatation vorliegen haben.
Und auf dieser Grade liegt auf jeden Fall Tau von X drauf,
weil X auf der Urbild gerade drauf liegt.
Und das ist also die Grade,
die geht durch Tau von X und ist parallel
zu X,
Sigma von
Und wenn Sie jetzt hier scharf hingucken, sehen Sie schon.
Das Ganze ist symmetrisch in Sigmar und Tau.
Also ich könnte jetzt hier noch die Rollen vertauschen.
Also die Reihenfolge. Wir schneiden zwei Graden. Erst diese
gerade hinschreiben, Tau von X parallel X Sigma von X.
Und dann diese gerade hinschreiben, Sigma von X parallel X Tau von X.
Und das ist mit genau denselben Argumenten. Also wenn ich sage einerseits,
diese gerade in diese Parallele und diese gerade hierhin, haben wir.
Das ist genau dasselbe mit vertauschten Rollen, Sigmar und Tau.
Ist das Sigmar von Tau von X? Also Sigmar Kringeltau von X.
Diese beiden Ausdrücke sind gleich für diesen festen Punkt X.
Der wird mit diesen beiden Abbildungen, von denen wir insgesamt zeigen wollen,
sie sind identisch auf den gleichen Punkt abgebildet.
Und dann wissen wir aber schon die Eindeutigkeit. Wenn wir einen Punkt und seinen Bildpunkt haben,
dann gibt es gemein, höchstens eine Translation in der Translationsebene,
genau eine Translation, aber auf keinen Fall mehr als eine Translation,
die X auf den vorgeschriebenen Bildpunkt, nennen wir ihn Y,
also auf diesen Punkt hier abbilden, wegen der Eindeutigkeit muss dann Taukringel,
Sigmar, gleich Sigmar Kringel, Tau sein,
wie gewünscht.
Also in dem Fall ist das einfach. Immer wenn dieser Fall vorliegt,
X, Sigmar von X Tau von X nicht koordinär.
Jetzt kommt der zweite Fall,
dass sie eben doch koordinär sind und wie so oft wählen
wir uns meistens einen Hilfspunkt,
jetzt eine Hilfstranslation
Also zweiter Fall. Zweiter Fall. X, Sigma von X
, Tau von X. Sind jetzt doch koordinär. Nix,
sieht man von X. Tau von X, sie liegen auf einer Graben,
die nenne ich hier für den Beweis mal kurz G.
Und ich wähle jetzt ein Roh, eine Translation roh,
sodass so von X eben nicht auf G liegt.
Ich nenne es hier mal kurz
Nicht Element gehen. So einen gibt es ja,
ich kann mal irgendein Y außerhalb G vorliegen, liegen,
vorgeben und roh sei, die eindeutig existierende Translation,
die X nach Y abbildet.
Also ich schreibe jetzt einfach roh von X,
weil wir ja eine Translationsebene haben, gibt, ist ein solches Gro.
Und jetzt erfüllen eben zum Beispiel X Siegma von X,
roh von X, die Voraussetzung, dass sie nicht kolliniär sind.
Das heißt, ich kann Fall 1 anwenden, Wannwenden auf Sigmar und Roh,
weil X Sigmar von X Roh von X nicht kollinär sind,
haben wir also das Sigmar-Kringel Roh, gleich Rohkringel, Sigmar.
Das nenne ich kurz Sternchen, das benutze ich gleich.
Jetzt wende ich Fall 1 nochmal an. Auf,
kurz gucken, Sigmar und Taukringelroh. Kurz gucken, dass
wir das auch dürfen. Wo ist Taukringelroh von X?
Hier ist Roh von X und wenn ich da jetzt Tau anwende,
haben wir dasselbe Konstruktion,
die wir
eben geführt haben
Hier, ungefähr liegt tau, Kringel roh von X.
Tau von Roh von X. Das heißt X,
Sigma von X und tau Kringel roh von X sind auch nicht koordinär,
weil diese gerade, und diese gerade sind garantiert nicht identisch,
weil sonst auch Roh von X auf dieser identischen Graden draufliegen müsste,
was wir extra nicht gewählt haben.
Das heißt, ich kann auch hier Fall 1 anwenden
und erhalte Siegma, Kringel, Tau Kringel roh,
ist das Gleiche wie Tau Kringel roh
Kringel Siegmar. Diese beiden komutieren miteinander. Und das benutze ich
jetzt. Ich fange noch mal eine neue Gleichungskette an.
Siegmar Kringel Tau. Kringel Roh. Sie sehen gleich,
worauf ich hinaus will. Assoziativgesetz, Siegmar Kringel. Tau Kringel
Roh. Da, wenn ich jetzt dies hier an,
Sternchen, Sternchen, Siegmar Kringel Tau Kringel Roh,
ist Tau Kringel Roh.
Kringel Siegmar
Das klammere ich um. Ciao, Kringe, wo Kringe
, Siegma. Das haben wir hier nach Sternchen.
Ist das Tau Kringe? Siegma Kringel, roh. Und
das ist nochmal nach dem Assoziativgesetz. Tau Kringel, Siegma.
Kringel roh. Und jetzt kann ich die Kürzungsregel anwenden oder
wenn sie die so nicht kennengelernt haben, könnte man auch sagen,
von der rechten Seite verkette ich mit rohhoch,
minus eins
Gruppe sind, geht das und dann bleibt übrig,
Sigmar Kringeltau, Gleichtau, Kringe, Sigmar.
Und das wäre der Beweis von diesem Satz. Und genau,
ich kann hier noch einen Haken machen oder ein Symbol,
das ist der Beweis abgeschlossen ist und im Skript
des Kapitel 5 habe ich jetzt noch nicht ganz beendet,
aber doch fast.
Es folgt jetzt nur noch zwei Bemerkungen über den Fall,
also über die Situation des großen Desak
Bemerkung 5, 21, die affine Ebene ist genau dann Desaks,
wenn für alle A, B,
Z verschieden und koordinär eine Streckung Delta existiert, mit fix.z,
die A nach B transportiert, also so ähnlich wie beide Translationen,
da haben wir eben nicht das Streckzentrum,
sondern das Zentrum ist ein Fernpunkt,
weil wir eine Translation haben.
Hier haben wir jetzt das Zentrum als affinen Punkt,
das ist auch das Zentrum,
wo die in der Desakkonfiguration die drei Träger graden,
sich dann schneiden.
Da können sie selber überlegen, wenn sie möchten,
ähnlich geht der Beweis wie 5,
Und dann folgt noch eine Bemerkung, dass man dann in
dem Fall auch eine Multiplikation auf der Punktmenge einführen kann.
Das möchte ich aber, oder Moment,
ist das hier der Fall? Eine Skalarmultiplikation einführen kann.
Da möchte ich jetzt gar nichts drüber sagen. Die Bemerkung,
die nach 5,21 folgt, die werden wir nicht behandeln.
Stattdessen wollte ich den Schwerpunkt hier in diesem Video auf diesen Satz legen,
der nochmal mit dem Begriff der Translation gut erarbeitet und zeigt,
in einer Translationsebene ist die Translationsgruppe kommutativ.
Damit beende ich dieses Video und im nächsten Video geht es
dann weiter mit Kapitel