Herzlich willkommen in diesem Video. Hier geht es um einen Satz,
den ich neulich schon angekündigt habe, nämlich,
dass in einer affinen Ebene zwei Sachen äquivalent sind,
nämlich der kleine Desak und die Eigenschaft des A-Translationsebene ist.
Das ist ein Spezialfall dessen, was im Satz von Bär schon erwähnt wurde.
Also wenn der projektive Desak für festes Zentrum und feste Achsel gilt,
dass dann auch alle möglichen alle denkbaren Zentralkollinationen mit dieser Achse und diesem Zentrum existieren,
das entspricht für einen Spezialfall jetzt der Richtung von links nach rechts,
der wir uns gleich widmen werden.
Also wer möchte, kann darüber nochmal nachdenken,
warum das im Prinzip ein Spezialfall ist.
Ich möchte heute den Beweis führen, beziehungsweise Teile des Beweises.
Also diese Richtung beweise ich hier gar nicht.
Das machen wir in der Übung. Wenn eine Translationsebene vorliegt,
dass dann der kleine Desak gilt, ich erinnere auch gleich nochmal,
was Translationsebene heißt.
Jetzt möchte ich diese Richtung machen, aber tatsächlich lasse ich
auch einige kleine Unterpunkte weg
Die sie dann im Skript noch nachlesen können. Nur,
dass sie eine grobe Idee von dem Beweis kriegen und
auch sehen, wo der kleine Desak wirklich eingeht.
Sei also AD, Klein-AD erfüllt. Und wir müssen zeigen,
dass Translationsebene ist. Seien A und B zwei Punkte,
die verschieden sind. Und gesucht ist dann eine Translation Tau,
die A nach B abbildet. Also Tau aus der Translationsgruppe.
Das war die Eigenschaft Translationsebene. Zu je zwei Punkten gibt
es eine Translation, die den ersten Punkt auf den zweiten abbildet.
Und wenn einer gleich b ist, dann wäre das die Identität.
Also ist bei uns jetzt a. ungleich b. Und das Vorgehen ist in zwei Schritten,
der erste Schritt ist konstruiere, konstruiere eine wohldefinierte Abbildung,
Tau von A nach A mit Tau von A, gleich b.
Und zwar eine solche, die sich dann nachher als Translation
erweisen wird
Genau, und um das zu machen,
um die Wohldefiniertheit zu zeigen, benutzen wir den kleinen Desigg.
Und im zweiten Schritt müssen wir dann noch zeigen,
es wird beim ersten Schritt nicht mit rauskommen,
nicht sofort direkt mit rauskommen, zeige, tau ist Translation.
Und wir müssen zum Beispiel dann nochmal zeigen, dass Tau
tatsächlich Kolliniation ist und jede gerade auf eine Parallele abbildet.
Das war ja die Definition von Translation.
Aber ich möchte jetzt hier erstmal den ersten Schritt behandeln.
Und da mache ich eine Skizze.
Das erkläre ich zum Teil an der Skizze
Also, hier sind unsere Punkte A und B und ich habe
auch schon gleich die Verbindungsgrade hingezeichnet, weil die ist wichtig.
Translation war eine Koordination der affinen Ebene, die jede gerade
auf eine Parallele abbildet. Das ist speziell eine Delatation,
also eine Abbildung, deren Fortsetzung auf den projektiven Abschluss,
Zentralkoordination ist, wo die Achse,
die ferngrade ist und Translation heißt jetzt,
Zentrum ist ein Fernpunkt und der Fernpunkt ist dann,
das Zentrum ist dann der Fernpunkt der Verbindungsgrade von A und
Weil ja immer Punkt, Bild, Punkt und Zentrum koordinär liegen.
Mit anderen Worten, es werden alle geraden,
alle geraden, die parallel zu AB sind,
die also durch den gleichen Fernpunkt gehen, werden Fixgraben sein.
Also Punkte auf der geraden AB werden aufgegraben AB abgebildet,
also bleiben auf der geraden AB zum Beispiel. So,
also A soll nach B gehen, das ist ja unsere Generalvoraussetzung.
Und für alle anderen Punkte konstruieren wir jetzt einen Bildpunkt,
so dass nachher die Eigenschaften einer Translation vorliegen, also im Prinzip genau so,
wie wir das in Ich hatte mir das extra rausgeschrieben,
5, 15, 1 konstruiert haben, bei gegebenem Punkt,
wählt Punkt damals genannt, P-Sigma von P,
wie man dann für jeden anderen Punkt X den Bildpunkt konstruieren kann unter Benutzung dessen,
dass man weiß,
wo Zentrum und Achse liegt.
Und das machen wir jetzt, also es sind zwei Fälle zu untersuchen.
Erstmal X, Nicht-Element der Verbindungsgraden AB, das ist der
einfache Fall. Ich nehme X jetzt mal hier,
dann weiß ich schon, Tau von X,
wenn es eine Translation werden soll,
muss auf der Parallelen zu der geraden AB liegen
Und zwar so, dass die gerade AX abgebildet wird auf
eine Parallele, weil es ja eine Translation sein soll.
Und zwar natürlich durch B, was Taufen A sein soll.
Und hier ist Tau von X. Das könnte ich jetzt auch
noch hinschreiben in Formeln. Das lasse ich mal. Also
das ist der Schnittpunkt der Parallelen zu AB durch X und der Parallelen zu AX durch B.
Das ist Tau von X. So, das ist der einfache Fall.
Der schwierige Fall ist der Fall, dass X auf AB liegt.
Da wählen wir uns einen Hilfspunkt. Wähle Hilfspunkt. C
nicht auf Abi. Und damit ich das hier in meine Skizze reinkriege,
nenne ich diesen Punkt jetzt hier ab sofort ziehe,
dann ist das Tau von C. Den habe ich schon konstruiert.
Und wenn jetzt X hier liegt,
dann kann ich mit derselben Methode statt mit A und B
jetzt mit C und Tau von X arbeiten,
den Bildpunkt von X konstruieren,
nämlich der muss auf der geraden AB liegen
Und diese gerade muss parallel zur Verbindungsgrade mit dem Bild sein.
Also hier ist Tau von X. Und jetzt kommt das Problem,
Tau von X ist unabhängig vom Hilfspunkt C.
Also ich nehme jetzt noch einen weiteren Hilfspunkt.de.
Statt diesen C nehme ich zum Beispiel hier noch ein Hilfspunkt.de
und gucke, dass ich beim selben Tau von X lande
Und dann im Prinzip müsste ich noch eine Fallunterscheidung machen.
Mein D, habe ich jetzt schon so hingegescheichnet,
dass es nicht auf der blauen Graden liegt.
Also nicht auf der Verbindungsgraden, C taufen sie.
Wenn die jetzt doch hier auf der Verbindungsgrade liegt,
dann muss man noch einen weiteren Hilfspunkt E wählen.
Das habe ich im Skript ausgeführt, den Fall überspringe ich
hier jetzt mal. Ich gucke nur noch an,
dass der hilfs.de neuer Hilfspunkt eben nicht auf der blauen Graden liegt.
Dann muss ich so wie hier zunächst mal das Bild von
die konstruieren
Das muss wieder auf Wieder- auf der Parallelen liegen.
Also diese drei Graben sind jetzt parallel. Das sind nachher
unsere Trägergraden vom kleinen Desag. Und zwar so,
dass AD parallel so wie Tauf und die,
also hier habe ich Tauf und D. Und jetzt möchte ich
ja den Bildpunkt Tau von X mithilfe von Dekonstruieren.
Das heißt, er muss wieder auf der Graben AB liegen.
Aber ich muss hoffen jetzt, dass diese gerade,
also die sind parallel,
dass wenn ich hier jetzt auch die Parallele ziehe,
dass ich hier beim selben Punkt Lande.
Das ist sozusagen das, was ich zeigen muss.
Und da sieht man jetzt vielleicht schon,
dass hier der kleine Desak drin steckt.
Und zwar zweimal eigentlich. Ich wende den kleinen Desak an.
Also hier habe ich die drei Parallenträger geraden. Ich wende
den kleinen Desak zunächst an auf das Dreieck C-A-D und Tau
von C-B-Tau von D. Und ich kriege, dass diese gerade
und diese
gerade parallel sind
Weil AC parallel B taufen sie, die beiden sind auch parallel,
dann müssen auch die dritten Dreiecksseiten parallel sein,
also CD, Parallel, Tau von C taufen die.
Und jetzt wende ich nochmal AD an auf die anderen,
auf der anderen Seite sozusagen Gelegenen, Dreiecke.
Diese beiden langen schwarzen Linien, das sind diese,
die sind parallel, das haben wir gerade gezeigt,
die beiden roten XC und Tau von X Tau von C
sind auch parallel.
Nach dem Design müssen die beiden verbleibenden parallel sein,
DX ist parallel Tau von
Tau von X. Und das heißt,
die Parallele durch Tau von D zur geraden DX,
enthält Kau von X. Tau von X, Element,
Tau von D, parallel DX.
Und das ist das, was wir zeigen wollten.
Also mit anderen Worten, hier haben wir jetzt gezeigt,
dass diese Konstruktion unabhängig vom Hilfspunkt ist.
Diese Sache wird im Skript auch Aussage A genannt. Ich glaube,
ich werde das nachher vielleicht noch einmal kurz sagen benutzen,
also dass sie wissen,
Unabhängigkeit vom Hilfspunkt,
das ist die Aussage
Ja. So, damit habe ich den ersten Schritt gemacht.
Natürlich ist es so, wie ich es konstruiert habe,
jetzt Tau von A, gleich B. Also wenn ich für
X gleich A nehme, würde ich bei B landen.
Das ist klar, so wie ich es konstruiert habe.
Es bleibt jetzt dieser zweite Schritt und den spezifiziere ich noch ein bisschen genauer,
wie man jetzt zeigt, dass Tau eine Translation ist.
Also ich komme jetzt zum zweiten Schritt,
dieses eben konstruierte Tau ist eine Translation. Und da zeige
ich zuerst Und das werde ich auch gleich noch ausführen.
Wenn XYZ in A liegen und kollinär und verschieden sind,
dann sind auch die Taubilder kollinär.
Und die gerade XY ist parallel zur geraden Tau von
X Tau von
Das zeigen wir. Also wir möchten ja generell,
dass jede gerade parallel zu ihrer Beetgraden ist,
und das ist das hier schon fast, wenn wir schon wüssten,
es ist eine Koordination, wäre das hier die Bildgrade.
Das ist aber sozusagen hier mit drin versteckt.
Und wenn wir das gemacht haben, das mache ich gleich.
Ich schreibe nur mal, wie es dann weitergeht. Danach,
siehe Skript, das führe ich jetzt hier heute nicht mehr aus.
Und überhaupt auch im nächsten Video nicht. Ist die Idee,
man konstruiere noch einen Tauschstrich wie Tau,
aber mit Tauschstrich von B
Kau Strich hat dann natürlich, wenn es genauso konstruiert ist, dieselben Eigenschaften.
Nitau. Also zum Beispiel auch diese Eigenschaft. Und tau Strich
ist tauhoch minus eins. Insbesondere ist Tau damit also bjektiv,
das wussten wir bis jetzt noch gar nicht. Wenn wir das haben,
dann ist auch klar, dass hier diese drei,
wenn XYZ verschieden sind, sind auch die drei Bilder verschieden.
Und wenn diese Sache, die hier oben steht,
mit der Koliniarität, daraus folgt, dass die Bilder koliniar sind,
wenn das auch für Tau Strich gilt, gilt,
also kann ich hier sozusagen den Pfeil auch umdrehen.
Und wir haben tatsächlich
eine Kollination
Und diese Sache liefert dann, dass Tau X,
Tau Y, weites eine Kollination ist,
ist dann die Bildgrade Tau von XY.
Und dann ist dieses hier die Eigenschaft Dilettation.
Also dann sind wir sozusagen fast fertig. Das schreibe ich
nochmal kurz hin. Dann haben wir also erreicht,
das muss man sich genau überlegen, aber das ist wirklich so,
dass Tau-Kolliniation ist, wegen dieser Sache hier Sternchen sogar.
Die Latation Und wir möchten ja, dass es Translation ist,
das ist aber auch klar, nach Konstruktion sogar Translation.
Weil nach Konstruktion das Zentrum ein Fernpunkt ist. Weil gerade
in einer festen Parallelklasse bleiben in Varianten, sind Fixgraden.
Das haben wir hier aus der Konstruktion herausgelesen. Also wenn
wir das von hier oben, was unter Zeige zuerst steht,
wenn wir das gezeigt haben, dann sind wir letztendlich fertig.
Und jetzt möchte ich
das hier noch zeigen
Und da gibt es auch wieder zwei Fälle. Der eine
Fall ist einfach, der andere ist nicht so einfach.
Erster Fall, wir haben ja XYZ koordinär.
Und verschieden. Also gerade, wo sie alle draufliegen,
das ist die gerade XY, wenn die parallel ist zu AB.
Ich mache eine Skizze. Hier sind X YZ. Hier
sind A und B. Dann hat uns die Konstruktion gezeigt,
Dass dann auch Tau von X, Tau von Y und Tau
von Set auf dieser geraden, ich nenne sie Magie, draufliegen.
So wie hier bei C,
wenn ich da neben C noch E und F hätte,
die würden alle auf derselben blauen Graden draufliegen und auch alle verschieden sein.
Und sozusagen die Verbindungsgrade von Tau von X und Tau
von Y ist dann auch diese gerade G,
also die gerade XY und dann sind die beiden Graden,
also insbesondere auch parallel, Damit ist dieser Fall einfach.
Der nächste Fall ist ein bisschen schwieriger. Ich glaube,
ich fange lieber ein neues Blatt Papier an für die Skizze dazu.
Also zweiter Fall, XY nicht parallel zu AB.
A, B, X, Y, Z,
diesen Schnittpunkt nenne ich
So, und jetzt machen wir Folgendes. Also,
das Ziel ist zu zeigen, Tau X, Tau Y,
Tau Z sind Collinia und die Verbindungsgrade dieser drei kollinären Punkte
ist parallel zu dieser Garten, die ich mal wieder geh nenne.
Und wir konstruieren mal kurz nochmal zur Erinnerung,
Tau X und Tau Y. KX liegt hier auf der Parallelen,
Tau Y liegt hier auf der Parallelen,
also die sind alle drei parallel.
Und zwar so,
dass hier Tau X liegt
Und hier, Tau Y, Taus.
Jetzt lassen wir mal kurz außen vor. Und jetzt machen wir
eine Sache. Die Bemerkung A von vorhin, konstruiere,
Tau von C, mit Hilfspunkt, drauf.
Und sie liegt ja auf der Verbindungsrate AB.
Also C liegt auf der Verbindungsrate AB. Das heißt,
ich muss die Konstruktion mit dem Hilfspunkt machen,
mit Hilfspunkt X und mit Hilfspunkt Y.
Und nach der Aussage A von vorhin
kommt dasselbe raus
Es kommt der gleiche Bildpunkt heraus, ganz egal,
ob ich mit Hilfspunkt X oder mit Hilfspunkt Y arbeite.
Und wie war das nochmal mit der Konstruktion?
Tau von C mit Hilfspunkt X. Tau von C mit Hilfspunkt X.
Das war Folgendes. Wir wissen, Tau von C liegt auf
der Verbindungsgrade AB. Und wir haben diese gerade und die
gerade Durchtau von C Ich mache das mal ein bisschen so,
dass es nicht gerade so aussieht, als würde es mit A zusammenfallen.
Die müssen parallel sein. Hier ist Tauf und See.
Also Tau von See ist der Schnittpunkt von AB mit der
eindeutigen Parallelen, Durchtau von X zur geraden XC.
Und das ist die gerade G. So,
und jetzt mache ich dasselbe mit dem Hilfspunkt Y.
Da ist Tau von C, auch AB,
geschnitten mit Tau von Y. Parallel
Parallel YC, was aber auch gleich die ist.
Das ist hier der Knackpunkt, XY und C sind koordinär.
So, wo liegt der jetzt? Diese rote Bagade,
das war hier die gerade G, die kann ich verlängern.
Hier, neu zeichnen. Das ist die erste Parallele,
die wir hier nehmen.
Und jetzt muss ich die Parallele dazu durchtauchen, Y zeichnen.
Und ich weiß schon, ich lande hier. Mit anderen Worten,
die gerade von hier, nach hier,
muss dieselbe sein wie die rote gerade
Daraus folgt also Ciao, zieh, tau, x,
tau, y, coorlinear. Und Tau X,
Tau Y, parallel zu G. Gleich XY.
Das haben wir hier jetzt aus der Konstruktion schon rausgesehen.
Und damit haben wir schon einiges erreicht. Tau,
X-K, Y. K, X-Tau Y, Entschuldigung.
Noch einmal. Tau X-Tau Y parallel zu XY
die Aussage Sternchen. Die haben wir hier jetzt schon
Sternchen, die ist schon gesichert. Außerdem haben wir jetzt C-Tau X-Tau Y-Coorlinear,
aber wir möchten eigentlich Tau X-Tau Y-Tau Z koordinär.
Jetzt machen wir sozusagen die ganze Sache nochmal. Analog.
Wenn wir jetzt nicht Hilfspunkt X und Hilfspunkt Y nehmen,
sondern Hilfspunkt X und Hilfspunkt Z kriegen wir,
tau C,
Tau X,
Tau Z coorlinear
Und das heißt, KYps hier, sehen wir Tau Y
liegt auf der Verbindungsgrade von Tau C und Tau X.
Hier sehen wir Tau Z, liegt auf der Verbindungsgrade von Tau C und Tau X.
Also insgesamt sind diese Punkte allesamt koordinär. Tau X,
Tau Y, Tau Z, koordinär. Und das war das,
was ich zeigen wollte, was ich hier oben gesagt habe,
was wir im ersten Unterpunkt von Schritt 2 zeigen.
Das ist der wesentliche Punkt,
danach mit Hilfe von diesem Tau Strich, mit dieser Umkehrfunktion zeigen wir,
dass tatsächlich eine Kollination und dann sogar eine Translation vorliegt und
damit ist der Satz dann endgültig bewiesen und sie haben,
glaube ich, gesehen, dass der Beweis nicht ganz einfach ist.
Ich hoffe, die wesentlichen Ideen geschildert zu haben.
Vielen Dank für die Aufmerksamkeit