So, ich begrüße Sie zum nächsten Video und schließe da an,
wo ich im letzten Video aufgehört habe. 5,
16, 5 fehlte noch, die fünfte Teilaussage,
so eine Reihe von Bemerkungen, die möchte ich jetzt hier bringen,
weil sie dann gleich an die nächste Sache im Skript anschließt.
Und zwar sei gegeben, Sigma, eine Zentralkoordination einer projektiven Ebene,
Pi, gleich PG, wie üblich mit Zentrum Z und Axel.
Und für eine gerade F. F wie fern gerade. Gilt,
dass, wenn ich Sigma einschränke auf PF,
also die Punktmenge der affinen Ebene APF,
dann ist das ein Automorphismus von APF, also der affinen Ebene,
die ich erhalte, indem ich F als Ferngrade rausnehme,
genau dann Wenn Sigmar von F gleich F ist,
weil nur dann dieses Sigmar eingeschränkt auf PF wieder nach PF abbildet.
Das haben wir vorher schon mal gehabt. Mit anderen Worten,
mit unseren jetzigen Begriffen könnte man sagen, genau dann,
wenn die gerade F eine Fixgrade ist von Sigmar.
Und wann ist eine Grade eine Fixgrade der Zentralkoordination Sigmar?
Das ist genau dann der Fall, wenn das Zentrum
auf F liegt oder die Achse gleich F ist.
Und andere Fälle kann es nicht geben
Wenn Sie mal die Identität ist, da gibt es natürlich
unendlich viele, oder jedenfalls ist jede gerade Achse,
dann trifft zum Beispiel dieser zweite Fall immer zu.
Aber das ist der uninteressante Fall. Gut, und jetzt
wollen wir uns diese Siegner eingeschränkt auf PF ein bisschen genauer angucken.
Also diejenigen Kollinationen einer affinen Ebene, die von einer projektiven,
von einer Zentralkolliniation der zugehörigen projektiven Ebene herkommen.
Also mit anderen Worten, wir wollen jetzt die Frage beantworten,
wie können solche Sigma eingeschränkt auf PF aussehen.
Solche Kollinationen, Automofismen der affinen Ebene. Und das steht in
der Definition drin, die im Skript im Anschluss an 5,
16 folgt. Ich nenne das mal Definition und Satz,
weil da auch diverse kleine Sachen drin sind,
die eigentlich eben keine Definition sind, sondern die bewiesen werden müssen.
Jetzt möchte ich den Startpunkt anders wählen.
Also ich starte jetzt mit der affinen Ebene.
Ah, eine beliebige affine Ebene
Und Pi ist der projektive Abschluss, projektive Ebene also,
mit Punktmenge P und die geraden Männer,
nenne ich jetzt G-Strich und die Ferngrade,
also die Grade, die hinzukommt von A nach Pi,
die nenne ich F, mit Ferngrade F. Dann ist also,
wenn ich APF bilde,
ist das dann wieder A. Also dann sind wir genau in der Situation von oben.
Das wissen wir ja auch,
dass man das so hin und rückt
machen kann
Jetzt sei a. ein beliebiger Automorphismus der affinen Ebene a. Und
an der Stelle wird ja in der Definition gesagt,
dass dafür auch im Folgenden oftmals die Bezeichnung verwendet wird,
Alpha-Affinität, also Koordination oder Automorphismus einer affinen Ebene,
heißt manchmal auch Affinität.
Also zeig Alpha ein solcher Automorphismus und Alpha Stern,
die entsprechende Fortsetzung, gemäß dem Satz 5.1,
die Fortsetzung
Dann gilt natürlich Alpha Stern von F, ist gleich F.
Und Alpha Stern. Genau, übernimmt die Rolle,
die hier oben das Siegmarkt gespielt hat.
Und sei jetzt der Fall, werde jetzt betrachtet Alpha Stern
eine Zentralkoordination.
Mit Zentrum Z. Axel
Und wir sind ja bei dieser Frage hier,
die wollen wir analysieren. Jetzt heißt die Abbildung eben nicht
mehr Sigma, eingeschränkt auf PF, sondern Alpha und Alpha
Stern ist das Sigma. Und ich könnte hier dazu schreiben,
Alpha Stern, eingeschränkt auf Pi, Index F,
was ja gleich A ist, die Punktmenge der auf ihnen Ebene,
ist unser Alpha.
Und wir sind also tatsächlich in der Situation von oben
und wie oben erläutert
Die oben erläutert ist. Alpha Stern von F gleich F.
Und damit F gleich L oder Zeptelement F. Das ist genau das,
was auch hier oben als die Abbildung einfach Stern noch Sigma hieß,
schon genannt wurde.
Das ist jetzt hier auch der Fall.
Und diese Fälle untersuchen wir jetzt. Also wir gucken jetzt
an, wie kann dieses Alpha aussehen
Dessen Fortsetzung eine Zentralkoordination ist. Da gibt es grob gesagt zwei Fälle.
Entweder die Achse ist die Ferngrade oder das Zentrum ist ein
Fernpunkt und für beide Fälle gibt es dann auch Unterfälle,
die jetzt hier behandelt werden.
Ich gehe so vor wie im Skript. Unter Punkt eins
wird der Fall behandelt, dass die Achse, die Ferngrade ist.
Also sei jetzt in Punkt eins L gleich F. Also
die Achse von Alpha Stern ist die Ferngrade.
Dann ist ja eine Definition, das ist jetzt hier wieder
der Definitionsteil. Dann heißt das Alpha,
die Latation
Also das ist eine Koordination einer affinen Ebene, sodass das Alpha Stern,
die Fortsetzung auf dem positiven Abschluss, eine Zentralkoordination ist mit Achse gleich Ferngrade.
Und das können wir noch anders formulieren,
wenn man nicht den Weg über den projektiven Abschluss gehen will,
kann man sagen, es gilt, Alpha ist die Latation,
so eine Koordination Alpha von A ist Delatation,
genau dann, wenn für alle Graden der affinen Ebene gilt,
das Alpha von der Grade parallel zur Grade ist.
Also Delatation sind Koordination der affinen Ebene,
die jede gerade auf eine Parallele gerade abbilden.
Und warum ist das so
Das ist deshalb so, weil das bedeutet,
für alle Punkte der Ferngrade,
das sind ja die Parallelklassen von G, gilt,
wenn das hier gilt, dann ist Alpha Stern von diesem Fernpunkt,
in diesem beliebigen Fernpunkt, das ist ja nach Definition,
die Parallelklasse von Alpha von G,
einfach von G ist aber parallel zu G, das heißt,
das ist die Parallelklasse von G. Also diese beiden Sachen sind äquivalent,
wenn man sagt, Parallelität,
Parallelklassen entsprechend den Fernpunkten und dieses hier ist wiederum bedeutet genau
Wie ferngrade ist die Achse von Alpha Stern?
Jeder Punkt von Alpha Stern ist Fixpunkt. Jeder Punkt,
Entschuldigung, jeder Punkt von F. Ist Fixpunkt.
F. Gleich Achse. So, damit haben wir also Delatation.
Einmal mit Hilfe von F. Gleich Achse charakterisiert. Oder auch,
wenn man den Umweg über den positiven Abschluss nicht gehen will,
kann man die Latation auch so beschreiben.
Das ist eigentlich die in der Regel verwendete Definition.
Man kann das eben auch so definieren.
So, jetzt haben wir den Begriff Delatation.
Jetzt gucken wir noch Unterfälle an
Ist zusätzlich Alpha Stern. Er verstern hat,
die Achse gleich fern gerade jetzt, ist Alpha Sternhomologie.
Homologie heißt ja Zentrum, liegt nicht auf Achse.
So ist das Zentrum eben in P.O.N. F. gleich P.
Ohne L, also ist nicht auf der Achse,
und das ist dasselbe wie P ohne F.
Und das ist aber A. Die Punktmenge der Affinenebene,
wenn ich die fernpunkte rausnehme. Insbesondere hat also Alpha
den Fixpunkt Set. Ein Verstern ist ja auf A,
dasselbe wie Alpha. Ein Zentrum ist insbesondere ein Fixpunkt.
Insbesondere hat Alpha also den Fix.z. Und Alpha heißt dann
Streckung. Also das ist jetzt unsere Definition von Streckung.
Wenn sich eine anschauliche Streckung vorstellen in der affinen Ebene,
dann gilt tatsächlich natürlich, dass sie einen Fixpunkt hat.
Und es gilt auch, das muss man sich überlegen,
dass jede Grade tatsächlich auch eine Parallele gerade abgebildet wird beim Strecken,
dass also tatsächlich eine Dilatation vorliegt.
Also Streckung
Streckung ist also dasselbe wie Dilatation mit Fixpunkt. Und also sobald Alpha
einen Fixpunkt hat, ist dieser Fixpunkt übrigens schon Zentrum.
Das schreibe ich nochmal hin. Wenn Alpha Fixpunkt hat,
wo ist dieser ein Zentrum von Alpha Stern
Das haben wir im letzten Video gesehen. Also sobald wir
einen Fixpunkt haben, der nicht auf der,
oder im vorletzten Video, sobald wir einen Fixpunkt haben,
der nicht auf der Achse liegt.
Und der Fixpunkt liegt ja nicht auf der Achse,
wenn er einen Fixpunkt von Alpha ist,
dann ist er ein Punkt von A. Dann ist das schon ein Zentrum.
Das war in dem Beweis aus Existenz einer Achse,
folgt Existenz eines Zentrums. Da haben wir das gesehen.
So, und was ist der zweite Fall?
Ist Alpha Stern Elation? So ist das Zentrum dann eben
ein Fernpunkt.
So ist Z-Element
Gleich F. Also das Zentrum ist ein Fernpunkt und die Latation Alpha hat keine Fixpunkte.
Eine Fixpunkte. Denn wenn sie einen Fixpunkt hat,
so hätten wir schon ein Zentrum außerhalb der Achse.
Hier hat sie keine Fixpunkte oder Alpha ist die Identität.
Das würden wir noch zulassen. Die Identität ist ja auch
eine Illation. Da versterben wir dann auch die Identität.
Und in diesem Fall Alpha heißt in diesem Fall Translation.
Also Translation ist eine Delatation ohne Fixpunkte oder die Identität.
Man sagt auch eine fixpunktfreie Delatation oder die Identität.
Und eine Translation wäre in, zum Beispiel der Anschauungsebene,
unsere übliche Abbildung, X geht über nach X plus A.
Also jeder Punkt wird um einen festen Vektor A verschoben.
Parallelverschiebung ist sozusagen das deutsche Wort für Translation.
Dann ist natürlich kein einziger Fixpunkt vorhanden.
Jede gerade geht auf eine Parallele, gerade über.
Also wir haben eine fixpunktfreie die Latation, beziehungsweise wenn A,
der Null Vektor ist, haben wir die Identität.
Und es folgt noch der Fall 2, dass nämlich,
hier hatten wir den Fall 1,
dass die Achse gleich der Fern gerade ist.
Jetzt haben wir den Fall, dass die Achse
nicht gleich der Fern gerade ist. Dann ist,
wie wir gesehen haben, dann ist das Zentrum ein Fernpunkt.
Das muss dann so sein und L ohne F ist Achse von Alpha.
Also ich male ein Bild. Hier ist die Ferngrade F.
L ist jetzt nicht F. Das ist hier zum Beispiel.
Das schneidet hier, dass der Fernpunkt von L alles
L ohne F ist jetzt alles außer diesen herausgenommenen Punkt.
Also hier ist die affine Ebene. Und dieser Teil
L ohne F ist eine gerade der affinen Ebene.
Besteht aus lauter Fixpunkten von Alpha. Ist also eine
Achse von Alpha
Und in diesem Fall nennen wir Alpha Achsenaffinität. Also eine
Affinität mit Achsel. Eine Affinität war einfach eine beliebige Koordination von A
und sobald sie eine Achse hat, ist das eine Achsenaffinität.
Und wenn sie eine Achse hat, dann heißt das,
die Achse ist eben eine affine gerade, plus ihrem Fernpunkt,
das ist das L und die Ferngrade ist keine Achse.
So, jetzt gibt es hier wieder die zwei Fälle.
Alpha Sternkandilation oder Hormologie sein
Ist Alpha Stern Illation. So ist das Zentrum gleich hell geschnitten
F. Dann liegt das Zentrum ja auf der Achse.
Andererseits wissen wir, das Zentrum muss ein Fernpunkt sein.
Das heißt, das Zentrum ist hier.
Und Alpha heißt dann Scherung. Shiro,
wenn sie aus der Schule vielleicht den Begriff Scherung können,
können sie wir nochmal gemeinsam auch bei Gelegenheit überlegen,
ob das das Gleiche ist.
Es gilt, das ist ein kleiner Satz jetzt hier wieder
Ralpha Ungleich der Identität ist Scherung. Genau dann,
wenn für alle Punkte, ich male das gleich auf,
in A ohne L. Also alle Punkte außerhalb der Achse,
aber schon in der affinen Ebene.
Gilt, dass die Verbindungsgrade von P mit Alpha von P,
eine Grade ist, die parallel ist zu L.
Da gehen wir jetzt wieder ins Projektive.
Punkt, Bild, Punkt und Zentrum
sind koordinär
Also Alpha von P muss irgendwo hier liegen, weil hier
das Zentrum ist. Und das ist aber ein Fernpunkt,
das heißt, die beiden Graden sind parallel.
Und durch AP und einfach von P ist die Abbildung
ja schon festgelegt für ein P. Das heißt,
es reicht hier auch zu verfordern, es existiert ein P.
Für welches das gilt. Damit ist,
wenn man ein P und seinen Bildpunkt kennt,
und die sind parallel zu ell,
dann muss dieses Z das Zentrum sein und dann gilt das auch für alle anderen Punkte P.
Also das wäre eine Scherung,
die durch diese Sache hier charakterisiert ist,
sofern sie nicht die Identität ist,
dann ist es sowieso,
dann ist das sowieso alles trivial
Interessant. Und es bleibt noch der letzte Punkt,
ist Alpha Sternhomologie. Dann gibt es keinen speziellen Begriff.
Also, Valilation heißt Alpha Scherung, im Fall Alpha Sternhomologie,
dann ist das Zentrum irgendein anderer Fernpunkt, nicht L geschnitten F.
Dann haben wir keinen speziellen Ausdruck für Alpha.
Aber es gilt, wenn noch was zusätzliches ist,
ist und gilt zusätzlich
Auch noch das Alpha-Quadrat, also Alpha zweimal hintereinander ausgeführt.
Die Identität ist, und Alpha nicht die Identität, dann heißt Alpha Affinenspiegelung.
Also eine Affinspiegelung ist eine Achsenaffinität, also eine Koordination der Affinen Ebene,
die eine Achse hat, und die auch noch ein Zentrum,
also wo Alpha Stern hat ein Zentrum, aber das Zentrum,
ich mache das jetzt in Grün, Würde hier liegen,
von der Achsen, von der affinen Spiegelung, Homologiefall.
Das heißt, an jeder Punkt, meinetwegen dieser,
der wird auf dieser Graden bewegt.
Ich male ihn jetzt mal hierhin. Einfach von P,
dass wir der Fall der Affinenspiegelung und wegen dieser Eigenschaft,
wie wir dahin bewegt, dieser wird wieder zurückbewegt,
ist das und war sämtliche Punkte auf L natürlich festbleiben.
Ist das sowas wie eine Gradenspiegelung an der Graden L?
Hier jetzt so eine Schrägspiegelung, würde man das nennen.
Also man kennt meistens
die Orthogonalspiegelung
Man könnte ja auch einen Orthogonalitätsbegriff einführen,
oder jedenfalls für manche Grundkörper könnte man das machen.
Das machen wir jetzt nicht. Es kommt später tatsächlich nochmal
zur Sprache. Aber hier kann man sagen,
sobald zweimal angewendet die Identität vorliegt und ein Zentrum vorliegt,
welches nicht hier der Schnittpunkt der Achse mit der Ferngrade ist,
solange also keine Scherung vorliegt, sprechen wir von einer Affinspiegelung.
Und das war der letzte Typ von Affinität,
den ich hier gerne ihn einführen wollte.
Also das sind jetzt alle Affinitäten, deren Fortsetzung Alpha Stern
eine Zentralkoordination ist.
Fast alle haben spezielle Namen
Die Latation, Translation, Streckung, sind Unterpunkte von Dilatation,
Achsenaffinität mit den Unterpunkten, Scherung und Affinspiegelung, aber wichtig,
Affinspiegelung gilt nur, wenn dieses hier noch zusätzlich gilt,
also nicht jeder Fall, wo Alpha Stern Homologie ist,
heißt Affinspiegelung, da kann es auch noch andere geben,
die keine speziellen Namen haben,
weil die eben auch sich nicht besonders griffig beschreiben lassen.
Ja, damit danke ich und im nächsten Video
geht es weiter