So, da bin ich wieder. Ich mache weiter mit diesem Satz 5,
15, den wir zum Teil schon behandelt haben.
Da geht es um Zentralkoordinationen einer projektiven Ebene.
Und ich habe letztes Mal vergessen, die Definition,
diese Sprechweise hier, die ich hierhin geschrieben habe,
einzuführen, die stehen eigentlich im Skript oberhalb von dem Satz.
Also wir nennen eine Koordination, die ein Zentrum besitzt,
ab sofort Zentralkoordination. Und nach dem Satz vom letzten Mal
ist das das Gleiche, als wenn wir sagen würden,
eine Koordination,
die eine Achse besitzt
Wenn eine Kollegniation ein Zentrum besitzt,
dann auch eine Achse und umgekehrt im Fall projektiver Ebenen und
eine solche Kollination nennen wir kurz Zentralkollination.
Das ist Standard in der Literatur. Und für den Spezialfall,
dass das Zentrum auf der Achse liegt, nennen wir die Zentralkollination eine Elation.
Und wenn das Zentrum nicht auf der Achse liegt, dann eine Homologie.
Also das sind ein paar Sprechweisen, die sie sich merken sollten.
Und jetzt nehmen wir erstmal eine beliebige Zentralkollination Siegma.
Ich habe hier nicht hingeschrieben, meine das aber mit Zentrum
Z und Axel. Dann haben wir letztes Mal diesen ersten
Teil hier schon behandelt
Auch bewiesen, dass durch ein paar P-Sigma von P,
die Zentralkoordination schon Sigma eindeutig bestimmt ist.
Wenn wir einen Punkt P gewählt haben, der nicht auf L liegt,
also nicht auf der Achse liegt und ungleich dem Zentrum ist.
So, dann kommen wir jetzt zu der Aussage 2 von diesem Satz.
Die sagt, es sind für die Zentralkoordination Sigma sind
drei Sachen äquivalent. Erstens, Sigma ist die Identität.
Dazu möchte ich noch kurz bemerken, dass natürlich die Identität,
also die Abbildung, die jeden Punkt festlässt,
das ist eine zentralen Koordination
Da ist jeder Punkt und jede gerade fest,
jeder Punkt ist Zentrum, jede Grade ist Achse.
Und dann haben wir also sogar eine Zentralkoordination,
die gleichzeitig Elation und Homologie ist, weil jeder Punkt und jede Grade,
egal ob Inzident oder nicht, als Zentrum und Achse interpretiert werden können.
Also kurz und wichtig für uns, die Identität ist eine zentrale Koordination.
Und die gegebene Zentralkoordination ist genau dann die Identität,
wenn Römisch 2 gilt, oder auch genau dann,
wenn Römisch Strei gilt, Römisch 2 sagt, es existiert ein Fix.p,
der nicht auf L liegt und ungleich Z ist.
Und Römisch 3 sagt, es existiert eine Fixgrade G. Jetzt habe ich
jetzt hier ein klein bisschen anders hingeschrieben als im Skript,
damit es dem oben möglichst entspricht.
Eine gerade G, die nicht durch Z geht und nicht gleich L ist.
Und die Äquivalenz von diesen drei Sachen möchte ich jetzt beweisen. Und ich beweise zunächst mal,
dass Römisch 1 äquivalent zu Römisch 2 ist und sage,
diese Richtung ist klar, Wenn Sigmar die Identität ist,
dann ist jeder Punkt Fixpunkt, also dann existiert nicht nur ein Fixpunkt,
sondern alle Punkte sind Fixpunkt.
Umgekehrt, ist aber auch klar,
wir sitzen römisch zwei voraus, ein Fixpunkt P in L,
der eben nicht in L ist und ungleich Z ist.
Das soll ein Fixpunkt von Sigmar sein,
Sigmar von P gleich P, ist also vorausgesetzt.
Jetzt gucken wir hier oben, römisch Nummer eins möchten wir
verwenden,
die Eindeutigkeit
Durch ein paar Punktbildpunkt, jetzt hätten wir hier PP sozusagen stehen,
ist Sigma eindeutig bestimmt. Sigma hat jetzt diese,
dieses Paar, Bildpunkt, Bildpunkt, das P sieht man von P.
Das ist aber gleichzeitig P, Identität von P.
Und wegen der Eindeutigkeit muss deshalb Sigma gleich der Identität sein,
weil unser Satz hier oben sagt, die Sigma ist schon eindeutig bestimmt,
es gibt aber zwei Sigmas sozusagen, die P auf P abbilden,
nämlich einmal unser Sigma von oben und zweitens die Zentralkollidination Sigmar Strich,
sag ich mal, gleich Identität.
Das heißt, nach der Eindeutigkeit Musik mal gleich der Identität sein.
Und damit ist das auch klar. Und dann habe ich noch,
möchte ich gerne als nächstes hinschreiben, römisch 1 ist Äquivalent zu Römisch
3. Und da schreibe ich Dual. Zum Obigen. Das brauche ich
nicht mehr zu beweisen, weil, hole mich Strei,
die Sie hier sehen, ist genau die Dualisierung von Römisch 2.
Aus Fixpunkt wird Fix gerade. Aus nicht auf der Achse
wird nicht durchs Zentrum. Punkt liegt nicht auf der Achse,
wird zu gerade, geht nicht durchs Zentrum.
Auf Punkt ist nicht das Zentrum, wird gerade, ist nicht die Achse.
Also Römisch 2 und Römisch 3 sind dual zueinander.
Das heißt, der Beweis von 1 Äquivalent 3
ist dual zum Beweis von 1 Äquivalent 2.
Somit haben wir hier nach dem Dualitätsprinzip unseren Beweis schon stark kürzen können.
Das war der Satz von 15 und es folgt 5, 16.
Das ist eine Bemerkung mit verschiedenen Unterpunkten
Äh, die ich auch nicht alle im Detail ausführen möchte,
manche ein bisschen ausführlicher, manche ein bisschen weniger ausführlich.
Römisch 1 besagt, Zentrum. Und Axel,
einer Zentralkoordination, die nicht die Identität ist,
sind eindeutig bestimmt
Also Identität, das hatten wir schon gesagt,
hat natürlich jeden Punkt als Zentrum und jede Karte als Achse,
da ist also nicht eindeutig,
aber wenn ich eine Zentralkollination habe,
die nicht die Identität ist und sie ist Zentralkollination,
dann hat sie ja ein Zentrum,
das ist dann eindeutig und sie hat auch eine Achse und die ist auch eindeutig.
Also sie hat genau ein Zentrum und genau eine Achse und
das heißt, wir können dann auch eindeutig entscheiden,
liegt eine Elation oder eine Homologie vor.
Genau und das werden sie in der Übung beweisen und
da benutzen wir diese oder sollen sie dann oder wäre hilfreich
die Aussage zwei von oben zu benutzen
Also es ist nicht die Identität ist, dann existiert eben nicht
ein solcher Fixpunkt und auch nicht eine solche Fixgrade und das können sie benutzen.
Für vielleicht einen Widerspruchsbeweis. Das ist Römisch 1. Römisch 2 ist das,
was, nicht Römisch, das ist noch, also Nummer 1, dieser Bemerkung.
Nummer 2 dieser Bemerkung, das hatte ich neulich schon mal hingeschrieben.
Ich hatte gedacht, das würde gar nicht im Skript drin stehen.
Hier steht es nun doch, dass stets Z,
P, Sigma von P, Collinia.
Wenn wir eine Zentralkolliniation mit Zentrum Z haben und irgendeinen beliebigen Punkt P,
den wir abbilden, Dann kommt Römisch Strei, das ist jetzt ein bisschen aufwendiger.
Ich möchte nicht zu viel dazu hinschreiben,
aber wir betrachten oder ich erinnere an den projektiven Design,
Groß-PD, da haben wir auch ein Z und ein L,
wo damals bei der Beschreibung dieser Desigkonfiguration auch dabei stand,
das eine nennt man das Zentrum und das andere,
die Achse der Desigkonfiguration.
Und ich sage jetzt, das ist der Einsatz von Bär,
Reinhold Bär, ein relativ wichtiger Mensch in der Geometrie,
So um 1950 rum war er besonders aktiv, gilt in einer projektiven Ebene Pi.
Der große projektive Desak mit Zentrum Set und Axel L. Also der,
wie gesagt, muss nicht immer gelten,
aber wenn er gilt, solange die Konfiguration,
die drei Graden,
mit denen man startet,
die drei Strägergarten durch den festgelebten Punkt Z gehen und die drei.de P1 P2 P3,
die man dann nachher hat,
alle auf der Achse L liegen
So, dass tatsächlich auch der dritte Punkt dann auf dieser ACL liegt,
so existiert in Pi, so existieren in Pi,
alle denkbaren Zentralkoordinationen mit Zentrum, Set und Achse L.
Also es gibt einen Zusammenhang zwischen den Satz von Desak und
der Existenz von Zentralkoordination. Ich habe ja neulich schon gesagt,
über die können wir im Moment noch nichts sagen.
Wir wissen nur, was über die Eindeutigkeit.
Und was heißt jetzt überhaupt denkbar? Es sind nicht alle Zentralkoordinationen
denkbar. Also haben wir ja auch schon da oben.
Das liegt eigentlich an dem, was hier oben steht.
Gegeben eine vorgegebene Aktie L, ein vorgegebenes Zentrum Z. Jetzt
ist eine Zentralkoordination denkbar, die P auf P-Strich abbildet.
Die ist denkbar. Also ist jedenfalls kein Widerspruch zu dem her.
Und sobald in der Ebene, in der jetzt meine Sitze gemacht wurde,
der große Desark mit Zentrum Z-Aktie L, gilt, existiert die auch.
Also die Konstruktion, die wir letztes Mal hatten, führt dann wirklich zu einer Koordination.
So könnte man sagen. Und um das zu beweisen,
benutzt man den Satz von Desak,
dass man da nicht in Widersprüche gerät,
aber nicht denkbar wird zum Beispiel eine Koordination,
eine Zentralkoordination, die dieses P auf dieses P2-Strich abbildet.
Weil dann die Voraussetzung, Zentrum,
Punkt und Bildpunkt,
das ist nicht denkbar
Zentrum.bild, Punkt. Ja, kolinear sein müssen. Also eine Zentralkoordination mit Zentrum Z
, die P auf P2-Strich abbildet, ist nicht denkbar.
Also um die geht es hier in diesem Satz nicht.
Die kann natürlich dann auch nicht existieren, aber alle denkbaren alle möglichen,
die diesem nicht widersprechen, die existieren tatsächlich.
Das sagt der Satz von Bär. Und eine vierte Sache habe ich noch,
die auch wichtig ist, nämlich wenn Sigmar eine Zentralkoordination ist von PG2K.
In PG2K Existieren alle denkbaren Zentralkolliniationen,
weil da ja der große Desigt gilt,
und zwar unabhängig von welcher Achse und welchem Zentrum wir sprechen.
Der große Desigt gilt generell. PG2K ist eine desacische, projektive Ebene. Das heißt,
nach dem Satz existieren hier alle denkbaren Zentralkollinationen,
aber darum geht es jetzt hier gar nicht, sondern hier geht es darum,
dann ist Sigma gleich Sigma M für eine Matrix M im GL2K. GL3K.
Das heißt, induziert durch eine lineare Biation
Wir wissen ja allgemein, alle Koordinationen von PG2-Karten durch Seemillineare Biationen induziert,
die Zentralkoordinationen sind jetzt aber stets, das kann man beweisen,
vielleicht machen wir das, ansatzweise in der Übung,
das weiß ich noch nicht genau, durch Matrizen,
also durch lineare Bieaktionen, induziert.
Und in der Übung werden wir auf jeden Fall machen für verschiedene Sigma M,
gucken, liegt eine Zentralkoordination vor,
das ist nicht immer der Fall,
also Sigma gleich Sigma M impliziert nicht,
also dieser Fall ist nicht umdrehbar
Muss nicht unbedingt eine zentralen Koordination sein. Das ist ja schon eine starke Bedingung,
dass eine ganze Grade aus lauter Fixpunkten existiert, zum Beispiel.
Es muss für einen nicht für jedes Sigma eben gelten.
Aber wenn wir ein Sigma eben haben,
können wir rechnerisch mit linearer Allgebra, relativ leicht rauskriegen,
ist es eine Zentralkoordination, ja oder nein?
Wie sieht das Zentrum, wie sieht die Achse aus?
Also das wird eine typische Aufgabe sein auf dem Übungsblatt,
welches zu diesem Thema dann dazugehört.
Ist auch wirklich nicht schwer, aber ich möchte da jetzt
noch nicht weiteres zu verraten.
Genau, hier möchte ich
dieses Video schließen
Es gibt noch eine Teilaussage 5,
die möchte ich aber dann an den Anfang des nächsten Videos stellen,
weil sie damit zusammenhängt, was dann direkt danach im Skript kommt.
Dann mache ich hier Schluss und freue mich schon aufs
nächste Video