So, herzlich willkommen. Ich habe hier schon ein bisschen was vorbereitet.
Ich möchte jetzt weitermachen mit Koordination, affiner und projektiver Ebenen,
jetzt aber weniger rechnerisch als viel mehr begrifflich.
Also wir möchten ein paar wichtige Begriffe einführen und aus denen
wir dann diverse Schlussfolgerungen ziehen können.
Und das ist die Definition seit 36 oben im Skript.
Die kann man formulieren für Koordinationen, Sigma, einer affinen oder projektiven Ebene.
Also PNG kann beides sein. Ich werde gleich parallel zu
dem, was ich sage, immer Beispiele bringen,
ich es mal in der affinen Ebene AG2R. Ein Beispiel in
der projektiven Ebene bringe ich dann im Anschluss an die Definition.
Und zwar hat diese Definition zwei Unterpunkte, die auch noch dual zueinander sind.
Da kriege ich dann gleich nochmal drauf ein. Also,
Punkt 1, da soll eigentlich der Begriff Achse definiert werden.
Vorher definiere ich den Begriff Fixpunkt. Ein Punkt P heißt
Fixpunkt von Sigma. Wenn Sigma von P gleich P ist.
Also wenn er festbleibt bei Anwenden von Sigmar,
wenn Sigmar jetzt zum Beispiel Drehung um den Nullpunkt ist,
in der Anschauungsebene, in AG2R dann, wäre der Nullpunkt ein Fixpunkt.
Oder auch, wenn Sigmar die Streckung X geht über nach 4X ist,
jeder Vektor wird mit dem Faktor 4 gestreckt.
Da wäre auch der Nullpunkt ein Fixbund.
Mit dem Begriff Fixpunkt kann ich den Begriff Achse,
auch Fixpunktgrade genannt, formulieren eine gerade L heißt Achse,
wenn jeder ihrer Punkte
Fixpunkt ist
Genau. Zum Beispiel, wenn ich eine Gradenspiegelung nehme,
an der Y-Achse spiegeln, dann sind sämtliche Punkte der Y-Achse Fixpunkte,
dann wäre die Y-Achse die Spiegelachse und auch eine Achse im Sinne dessen,
was wir hier formuliert haben.
Also Fixpunkt und damit mit Hilfe des Begriffs Fixpunkt kommen wir
zum Begriff Achse. Achse ist der Hauptpunkt, um den
es nachher gehen wird. Und jetzt haben wir etwas,
was ist val zu dieser Aussage 1 oder zur Definition 1,
die Definition 2,
zunächst mal dua zu Fixpunkt ist der Begriff Fix gerade
Eine Grade heißt Fixgrade, wenn, gerade geh,
wenn Sigma von G gleich G ist.
Oder wenn wir jetzt eine projektive Ebene PG2K haben,
da wir ja die Inzidenzrelation gar nicht die Elementrelation.
Hier habe ich es extra so formuliert, dass hier die
Men-Relation als Inzidenzrelation vorliegt, dann ist das besonders einfach.
Im anderen Fall müsste man vom komplizierter Formulieren streng genommen.
Wir werden das trotzdem meistens so schreiben,
aber streng genommen müsste man sagen, die Menge aller Bilder,
aller mit G, Inzidentenpunkte ist wieder die Grade G.
So, oder ist wieder die Menge aller mit G-Inzidentenpunkte
Sogar. Also hier habe ich schon hinskizziert, ein Beispiel
in AG2R, einer Fixgrade oder von ganz vielen Fixgraden.
Wir nehmen eine Parallelverschiebung um diesen festen Vektor hier und dann ist jede Grade,
die parallel ist zu dem Vektor,
also in meinem Fall parallel zur X-Achse, ist eine Fixgrade,
weil jeder Punkt immer nur auf dieser entsprechenden Grade bewegt wird.
Die Graben sind keine Fixpunktgraden, jeder Punkt wird weggeschoben,
aber die Graden parallel zur X-Achse in diesem Fall sind
allesamt Fixgraden
Insbesondere gilt also eine Fixgrade, das ist hier die untere Sache,
muss nicht unbedingt Achse sein, also nicht unbedingt Fixpunkt gerade sein.
Aber natürlich, wenn ich einen Fixpunkt gerade habe,
wenn jeder Punkt fest bleibt auf Geh, dann ist Geh natürlich erst recht eine Fixgrade.
Und mit Hilfe des Begriffs Fix, gerade komme ich jetzt zum Begriff Zentrum,
das ist der Begriff, der Dual ist zum Begriff Achse,
also das müssen sie sich unbedingt merken, Zentrum und Achse sind duale Begriffe.
Das ist ein Punkt,
den nenne ich Z aus P, der heißt Zentrum,
wenn alle Graden, die durch den Punkt gehen,
hier hatte ich alle Punkte auf der Graden,
jetzt wenn alle Graden,
die durch den Punkt Z gehen,
Fixgraden sind
Dann spreche ich von einem Zentrum. Und genau wie oben,
wie hier diese Aussage gilt, wenn Z ein Zentrum ist,
dann ist Z automatisch auch ein Fixpunkt.
Nämlich Schnittpunkt zweier seiner Graden. Und damit dann,
wenn die Graden beigefest sind, ist auch der Schnittpunkt fest.
Aber die Umkehrung gilt nicht. Also, ein Fixpunkt muss nicht unbedingt
Zentrum sein. Zum Beispiel bei der 90-Grad-Drehung um den Nullpunkt,
ist zwar ein Fixpunkt, aber keine Grade durch den Punkt,
bleib fest, denn jede Grade wird um 90 Grad gedreht.
Während bei einer Streckung das Streckzentrum festbleibt und auch sämtliche Graden durch das Z-Streckzentrum.
Die Graden, die Punkte werden zwar wegbewegt,
sozusagen vom Nullpunkt, wenn der Nullpunkt das Streckzentrum ist,
aber die Graden in sich sind fix Graden.
So, das waren die Begriffe und ganz wichtig,
eben die beiden Begriffe hier sind dual zueinander.
Erstens Fixpunkt und Fix Grade und zweitens und für uns
besonders wichtig, die neuen Begriffe Achse und Zentrum.
Und ich möchte jetzt ein Beispiel bringen für projektive Ebenen.
Das steht nicht im Skript, sowas ähnliches behandeln wir demnächst
auch in der Übung
Und als P, nehme ich jetzt PG, 2R,
könnte ich auch für andere Körper machen,
aber ich möchte es jetzt gerne eben rechnerisch machen,
Sigmar, sage ich folgende Koordination, X1 X2 X3,
ja, wird abgebildet auf 2 X1, 3 X2,
3 X3, ja, das ist eine Koordination,
kann man nachrechnen, oder man sagt,
Sigmar ist Sigmar M, für die Matrix M gleich 2,00,
030,
In GL 3R und damit mit Sicherheit eine Koordination,
ein Automofismus von Pi.
So, was sind jetzt hier Zentrum und Achsel?
Also, da machen wir mal folgende erste Behauptung,
folgender Punkt P ist ein Fixpunkt.
Der Punkt 100, ja. Ist Fixpunkt,
das müssen wir ganz kurz prüfen.
100R wird ja abgebildet hier mit dieser Vorschrift auf
Was aber, weil wir HMR dahinter stehen haben,
weil wir die eindimensionalen Untervektorräume haben,
dasselbe ist wie 1-0-0 da.
Also das ist schon mal richtig. Wir zeigen nachher noch,
dass P sogar Zentrum ist,
aber da machen wir einen Trick und machen erst,
zeigen erst, dass folgendes eine Achse ist.
Das ist einfacher. Nämlich die gerade 0-1
-0-R plus 0-0-1, ja,
0-1-0-R plus 0-0-1-R ist Achse,
also die gerade aller Punkte,
die erste Koordinate 0 haben
Achse heisst, jeder Punkt auf dieser geraden ist ein Fixpunkt.
Wiehmen wir einen beliebigen Punkt auf dieser geraden,
dass wir null X2X3R. X2 extra nicht beide null. Wird,
wenn wir hier gucken, abgebildet auf 03X2. 3X3. Ja,
und genau wie oben können wir jetzt die drei wieder in
das R reinziehen sozusagen und kriegen
null X2
Und wir haben das jeder Punkt, Fixpunkt ist.
Und damit ist L eine Achse.
P ist ein Fixpunkt, Alice ist eine Achse.
Und jetzt behaupte ich, das machen wir jetzt hier.
Es gilt sogar, P ist Zentrum. Und das mache ich
jetzt nicht rechnerisch, sondern eine allgemeingültige Beweis führe ich vor.
Hier ist P, jetzt mache ich eine Skizze,
hier ist
Wir haben hier, wie sie wahrscheinlich hier erkennen können,
sofort, P ist nicht auf L.
Das heißt, die Situation sieht so aus.
P ist ein Fixpunkt, der nicht auf der Achse liegt.
Jetzt nehme ich eine beliebige Grade durch P. Wenn wir zeigen wollen,
P ist Zentrum, dann müssen wir zeigen,
dass diese Beliebige gerade jetzt fix bleibt.
Die zeichne ich und die schneidet L,
weil wir eine projektive Ebene haben.
Diese Argumentation geht jetzt in jeder projektiven Ebene,
nicht nur in PG2R.
Ja,
mit Schnittpunkt S nenne ich ihn
Weil es auf L liegt, ich schreibe jetzt Element,
der einfache treiber für die Inzidenzrelation. Und El Achse ist,
ist Sigmar von S gleich S. Nach Voraussetzung ist P,
gleich Sigmar von P, P war ja Fixpunkt.
Jetzt haben wir, was ist jetzt Sigmar von G?
Sigmar von G ist Sigmar von PS.
Da hatten wir ganz am Anfang mal eine Aussage,
die wahrscheinlich auch anschaulich klar ist,
dass die Verbindungsgrade von P und S durch Sigmar auf Sigmar P,
Sigmar S abgebildet wird, auf die Verbindungsgrade der Bilder.
Und das ist aber wieder PS gleich ging
Und das geht jetzt unabhängig davon, welches Konkrete gehe.
Ich nehme jedes G durch P,
schneidet die Grad L in einem eindeutig bestimmten Punkt.
Und damit habe ich das bewiesen. Also ich habe hier sozusagen allgemein bewiesen,
wenn L eine Achse ist, einer Koordination in einer projektiven Ebene,
P, ein Fixpunkt, der nicht auf L liegt,
dann ist P automatisch bereits ein Zentrum.
Und das wird jetzt in dem nächsten Satz nochmal wieder vorkommen,
den ich jetzt noch formuliere und bei dem ich
den Anfang jetzt hier in diesem Video noch beweise,
den leichten Teil
5, 14, Satz. So IP, P,
jetzt eine projektive Ebene. Also wir haben zwar
oben Achse und Zentrum für Affine oder projektive Ebenen formuliert,
aber meistens werden wir es für projektive Ebenen angucken.
Und Sigmar eben eine Koordination, also aus OutP,
dann gilt erstens, wenn Sigmar eine Achse hat,
dann hat Sigmar auch ein Zentrum.
Also wenn eine Achse von Sigmar existiert,
dann existiert auch ein Zentrum
Von Sigmar und zweitens, wenn Sigmar ein Zentrum hat,
dann hat Sigmar auch eine Achse.
Ich hätte ihr das natürlich auch in einem schreiben können,
als genau dann Wenn-Aussage, wenn ich so schreibe,
kann ich hier im Beweis als allererstes schreiben.
Zwei ist dual zu eins. Bei Zentrum und Achse
hatten wir vorhin gesagt, sind duale Begriffe.
Das heißt, zwei folgt raus eins mit dem Dualitätskonzip.
Wenn wir eins jetzt nachher bewiesen haben, dann gilt das Dualitätsprinzip und dann folgt,
gilt dann auch der duale Satz und das ist zwei.
Und wer sich da nochmal vergewissern würde, könnte den Beweis
dualisieren und entsprechend würde man einen Beweis für zwei erhalten.
So, jetzt mache ich also Beweis von eins.
Und da gibt es zwei Fälle. Der eine ist einfach,
den mache ich jetzt hier noch und der zweite ist schwierig,
den hole ich im nächsten Video nach,
weil wir das jetzt hier nicht mehr schaffen, erfordert,
nochmal vielleicht Neuanfang, denke ich, ist ganz gut.
Der erste Fall, also Beweis von 1, sei L
Axel von Sigmar. Gesucht ist ein Zentrum. Erster Fall,
es existiert ein Fixpunkt P, der nicht auf L liegt.
Das ist ein, könnte sein, dann ist die Behauptung,
P ist Zentrum und wir sind fertig.
Das hake ich ab, denn das ist genau der Beweis
von hier oben
L ist Achse. P ist ein Fixpunkt außerhalb von L.
Dann können wir genau wir oben, hier oben ging überhaupt nicht ein,
dass wir in PG2R sind, können wir genau wie oben zeigen,
dass jede gerade durch P Fixgrade ist, also dass P ein Zentrum ist.
Sieh um. Ich schreibe den zweiten Fall noch hin.
Der zweite Fall ist sozusagen das Gegenteil von dem. Das heißt,
für alle Punkte P, die in P ohne L liegen,
gilt, also P, nicht auf L, gilt, P ist kein Fixpunkt.
Das heißt, Sigmar von P ist Ungleich P. Und diesen Fall,
wie gesagt, den werde ich im nächsten Video behandeln,
da ist es ein bisschen schwieriger,
ein Zentrum zu finden, insbesondere ist hieraus schon klar,
das war jedes Zentrum ist ja ein Fixpunkt,
dass unser Fixpunkt auf L liegen muss,
die Punkte außerhalb von L kommen nicht in Frage,
weil das alles keine Fixpunkte sind.
Das ist aber ein bisschen schwieriger,
das hole ich im nächsten Video nach und schließe hiermit erstmal
dieses erste Video zum Thema Zentrum und Achse