Herzlich willkommen in Woche 9. Ich möchte damit weitermachen,
was wir zuletzt hatten,
nämlich einerseits die Fundamentalsätze für AG2K und PG2K,
wie dort die Kollinationen aussehen und andererseits das,
was wir davor hatten, nämlich den Fortsetzungssatz.
Und wir befinden uns jetzt im Skript auf Seite 35 Mitte.
Da geht es nämlich um dieses Thema.
Wir möchten betrachten die Fortsetzung einer Kollination Alpha
Von A gleich AG2K. Zu einer koordination, Alpha Sternchen hatten
wir die genannt, die Fortsetzung auf den projektiven Abschluss.
Von P gleich Peggy 2K. Welches Jahr Isomorph ist zum projektiven Abschluss von A,
gemäß der kanonischen Einbettung, also PG2K können wir im
Prinzip mit der kanonischen Einbettung als den projektiven Abschluss von AG2K auffassen.
Das erkläre ich nachher auch nochmal, wenn wir
so weit kommen.
Zunächst mal zur Erinnerung
Schreibe ich mal in einer anderen Farbe. Das ist unsere
Erinnerung hier. Dieses Alpha Stern existiert nach dem Fortsetzungssatz,
also nach 5-1, und ist sogar eindeutig.
Also es existiert ja zu jeder Koordination einer affinen Ebene,
eine eindeutige Fortsetzung auf den projektiven Abschluss,
die dann auch eine Koordination ist.
So, dann hatten wir den Fundamentalsatz. Wir hatten zwei Fundamentalsätze,
aber zunächst mal 15, das war der für affine Ebenen,
der sagt uns,
wie unser Alpha,
unsere Koordination aussieht
Alpha, hat die Gestalt, tau a, Kringelsigmar,
mit A, gleich Alpha von null.
Das ist ein Vektor. tau a, ist dann die Abbildung X,
geht über nach X plus A. Hund Sigmar ist ein Element von Gamma L,
2K, also eine seemilinäre Guetion von Khoch 2 nach K.
Und wir können Sigmar sogar noch ein bisschen konkreter beschreiben.
Das ist für diese Zwecke, die wir jetzt hier verfolgen, nützlich. Sigmar lässt sich beschreiben,
ein Vektor X, X 162,
abgebildet auf eine Matrix M mal, Sigmar Dach von X1,
sag mal Dach von X2. Sigmar Dach ist er zu Sigmar Gehörige,
Körperautomorphismus von K und M ist eine Matrix aus GL Zweika,
also sozusagen Sigmar ist Hintereinanderscheidung von Anwenden des Körperautomorphismus auf die Koordinaten und Hinterschaltung einer linearen Bietion,
also einer Matrix, matiplizieren mit einer Matrix.
Und das war Aussage, schreibe ich hier auch noch mal dazu,
573 die gesagt hat,
dass tatsächlich jede seemilinäre Diäktion sich so aufspalten lasst,
lässt in eine Abbildung, die direkt durch einen Körper Automofismus beschrieben wird und hinterschalten einer Matrix.
So, und jetzt ist die Frage, wie sieht jetzt einfach Stern aus?
Und Alpha Stern wird, wie sieht Alpha Stern aus?
Alpha Stern ist ja eine Kolliniation von PG2K. Da wissen wir auch, nach einem Fundament,
nach dem zweiten Fundamentalsatz, 5-11 für projektive Ebenen,
für PG-2K, das Alpha Stern induziert wird,
durch eine semilineare Bieektion von Khoch 3 nach Karo 3.
Und jetzt wollen wir konkret wissen, wie die aussieht und
ich schreibe ihnen das gleich hin.
Ich weise hier auch hin auf das Übungsblatt 8.
Da haben wir Spezialfälle dafür schon behandelt für den linearen Fall
Genau. Also, ich gebe Ihnen gleich sozusagen diese millineare
Bijektion direkt an. Aber vorher, vielleicht so allgemein,
dass hier haben wir einen Vektor, ich schreibe mal Uma,
K, wird abgebildet auf Beta-O. K,
wenn Betta dieses emillineare Bijektion ist.
Das war das, wie eine semillineare Bijektion von Klahauk 3
nach Kharauch 3,
stets eine Koordination induziert
Das ist das Induzieren, das von Wetterinduzierte,
Lieb von Wetterinduzierte Abbildung auf, der projektiven Ebene.
Das nur noch mal generell. Jetzt möchte ich aber hier
noch aufzeichnen durch so ein Diagramm,
wie wir jetzt das Alpha-Sternchen finden oder welche Eigenschaft es haben muss,
damit es wirklich eine Fortsetzung von Alpha ist.
Wir wissen, a, die projektive Ebene ist in Pi
, kanonisch eingebettet. Also mittels Yota, der kanonischen Einbettung
Ein X, ein Punkt der Affinen Ebene.
Nix eins, X zwei. Den hatten wir mittels Yota
abgebildet auf 1X1X2 Maka. Einen Punkt der projektiven Ebene.
Jetzt wird auf der affinen Ebene, wird unsere Koordination angewendet.
Alpha. Alpha haben wir hier schon, mehr oder weniger hingeschrieben.
X wird zunächst mit Sigma abgebildet. Das steht hier.
Und dann wird noch plus A gerechnet. Also wir haben als Bild von X,
mal Sigmar Dach von X1, Sigmar Dach von X2 plus,
ich schreibe mal A1, A2. Das ist das Bild.
Und wenn wir jetzt hier suchen wir jetzt unsere Fortsetzung,
Alpha Stern, und fragen uns, was kommt hier hin?
Und wir hätten gerne, dass es so hinkommt,
dass wenn ich dieses Bild jetzt hier mit Yota auch wieder abbilde,
dass da das Gleiche rauskommt.
Also mit anderen Worten, dass dieses Diagramm komutiert.
Weil dieses Yota ist sozusagen die Art und Weise,
wie die Elemente hier mit Elementen hier identifizieren.
Und wenn Alpha hier die Abbildung zwischen den Punkten ist,
dann so hier zwischen den entsprechenden Punkten die Abbildung Alpha Stern
So, und jetzt dieses Bär hatten wir im Auge.
Dies könnte man jetzt, wenn man wollte, ausrechnen.
Das mache ich auch gleich, aber ich gebe Ihnen erst
mal direkt an, wie ich jetzt Eifersternchen definieren würde.
Und dann gucken wir hinterher, dass dieses Eifersternchen tatsächlich die Eigenschaft hat.
Also gesucht ist jetzt eine semilineare Bijektion von Kahoch 3 nach Kahoch 3,
die diese Abbildung hier induziert. Genau, und ich behaupte,
dieses Eifersternchen auf der positiven Ebene PG2K wir,
wie folgt, definieren, sodass tatsächlich die Eigenschaft,
die wir hier hätten, die wir hier gerne hätten, erfüllt ist.
Also das ist jetzt eine Behauptung, die ich dann
gleich noch beweisen muss. Behauptung, Alpha Sternchen von,
jetzt mache ich das ganz allgemein, nicht nur solche eingebetteten Punkte,
sondern einen beliebigen Punkt möchte ich einsetzen.
So, und ich behaupte, dass Alpha Sternchen die
folgende Abbildung ist
Einfach Sternchen soll ja induziert werden durch eine seemilineare Bijektion auf Khoch 3
und analog zu den seemilinearen Bijektionen auf Khoch 2 wird jetzt auch hier gelten,
dass wir eine dann 3 Kreuz 3 Matrix haben und dahinter Sigmar Dach von den Einträgen.
Und die 3 Kreuz 3 Matrix schreibe ich jetzt hierhin,
die hat die Gestalt 100. A1 A2, das ist dieses A
hier und hier fehlt noch ein 2 Kreuz 2 Block,
das ist die Matrix M, die wir hier hatten.
Das ist eine 2 Kreuz 2 Matrix,
die schreibe ich hier als Block Matrix in die Ecke
Diese Matrix-Mahl, Sigmar Dach von X0, Sigmar Dach von X1, Sigmar Dach von X2.
Auf jeden Fall ist diese, und da muss ich hier noch,
Entschuldigung, hier noch, K dazu schreiben.
Also wenn ich ohne K geschrieben hätte, X0X1, X2,
geht auf dieses Objekt, dann wäre das eine semililineare Reaktion.
Von hier, nach hier, die ich eben Wetter genannt
hatte, semilineare Bijektion von Khoch 3 nach Khoch
Weil das ist ein Körperautomofismus. Und dahinter geschaltet Multiplikation mit
einer Matrix. Das ist eine semilineare Bielektion. Das Ganze,
das Alpha Stern, ist jetzt die davon induzierte Koordination.
Und jetzt möchte ich noch gucken, ob Alpha Sternchen wirklich das Richtige ist.
Also wenn ich Alpha Sternchen jetzt auf 1, X,
1, X, 2K anwende,
dass dann das Gleiche rauskommt, als wenn ich diesen Vector hier einbette.
Ich rechne mal aus. Alpha Sternchen von 1, X-1
, X-2, K. Also es ist genauso wie hier,
nur das X-0 jetzt gleich 1 ist
Ja, ich schreibe es nochmal ab,
1-0-0, A1, A2M. So,
Sigmar Dach von 1, wenn ein,
wenn Sigmar Dach ein Körper, Automorphismus ist,
ist das wieder eins.
Sigmar Dach von X-1, Sigmar Dach von X-1. Ich lasse
die Klammern weg wegen des Assoziativ-Gesetzes, ist das möglich?
Ich rechne erstmal, dann zeige ich Ihnen nochmal wieder das Diagramm.
Das rechnen wir jetzt aus. Und die Matrix M,
die nehme ich an, habe die Einträge M1-1,
M-1-2 und so weiter
Das heißt, wenn ich dir Matrix-Produkt rechne,
habe ich eins plus 0 plus 0, also eins,
das ist schon mal gut.
A1 mal eins plus M11,
Sigmar Dach von X1 plus M12, zweiter Eintrag von M,
Sigmar Dach von X2 und analog in der nittnächsten Zeile X3 plus M21,
Sigmar Dach von X1 plus M22,
Sigmar Dach von
K und das könnte ich auch wieder kürzer schreiben.
Nämlich als... Oben steht eins. Und was steht jetzt
hier unten? Das könnte ich auch anders schreiben als Zweiervektor.
Nämlich hier vorne steht der Vektor. A1a2. Und hier hinten,
das hier, das ist die Matrix M,
mal der Vektor, Sigmar Dach von X-A1, Sigmar Dach von X-2.
Und hier steht dann noch Wie kann man, das kann
die eigentlich weglassen? Malka. Und jetzt fällt auf,
wenn sie noch wissen, was ich oben stehen hatte,
dieses hier ist genau Alpha von X.
Bis hier. M mal, Sigmar, Dach von X
einzig, mal Dach von X 2 plus A1 A2.
Hier ist die Reihenfolge anders, aber plus ist ja kommutativ.
Das heißt, das ist genau Alpha von X.
Und wenn ich die 1 oben davor schreibe,
ist das Ganze hier also Yota von Alpha von
Und das ist das, was wir wollten.
Dass wenn ich hier Yota anwende auf Alpha von X.
Hier haben wir Alpha von X. Dass dann dasselbe rauskommt,
als wenn ich auf diesen Punkt der projektiven Ebene Alpha Stern anwende.
Und das haben wir jetzt gerade nachgerechnet, dass das tatsächlich der Fall ist. Und genau,
damit habe ich das gezeigt, was ich zeigen wollte,
nämlich wie sieht die Fortsetzung Alpha Stern einer beliebigen Koordination von AG2K aus,
wenn wir AG2K Betten via Yota in projektiven Abschluss,
den wir dann mit Peggy 2K gleichsetzen.
Und das haben wir hier erreicht.
Und im Skript folgt dann jetzt hier noch ein Satz,
Satz 5, 23, glaube ich, heißt er.
Nee, 5, 13, der nochmal den Spezialfall,
dass die Abbildung oben hier bei Alpha,
die Abbildung Sigma, nicht semilinear, sondern linear ist,
dann ist es ein bisschen weniger kompliziert.
Dafür steht, dass nochmal explizit in einem Satz da,
den schreibe ich Ihnen aber hier nicht auf
Genau, das ist ein Spezialfall von dem,
was ich Ihnen hier vorgerechnet habe.
Und ich möchte an der Stelle hier Schluss machen.
Und ab dem nächsten Video behandeln wir dann ein etwas anderes
Thema über Koordinationen, projektiver Ebenen vor allen Dingen.
Vielen Dank erstmal für die Aufmerksamkeit