Herzlich willkommen zu diesem Video, wo wir weitermachen mit
dem Thema semilineare Abbildung. Ich starte direkt mit Lämmer 5,5.
Das brauchen wir dann für den darauffolgenden Satz. Der Beweis,
den führe ich hier nicht vor, der geht einfach durch Nachrechnen.
Tau und Sigmar seien semilineare Abbildung. Sie milinäre Abbildung,
ungleich der Nullabbildung. Dieses Ungleich der Nullabbildung benötigen wir immer,
weil dann die zugehörigen Begleitisomophismen Taudach und Sigmardach
eindeutig sind
Wie schon gesagt, im Folgenden für unsere geometrischen Anwendungen
benutzen wir sowieso immer nicht null Abbildungen.
Bielektive Abbildung auf gar auch 3 oder K
hoch 2. Aber hier schreibe ich es erst mal so.
Dann gilt, existiert die Hintereinanderausführung. Ich sage ja jetzt
hier nicht von wo nach wo die gehen,
also so allgemein wie möglich.
So ist diese auch semilinär.
Und der Begleit-ISO
Ist die Komposition der beiden Begleit ISOs von Tau und Sigma
. Und hier müsste ich natürlich noch dazu schreiben,
das mache ich jetzt mal nicht, müsste im Skript aber stehen,
dass Taukringel Sigma hier dann auch nicht die Nullabbildung sein muss,
wenn wir so eine Aussage hier schreiben wollen.
Zweitens, existiert Sigma hoch minus eins, also mit
anderen Worten, sieht man hoch minus eins, Bijektiv.
So ist auch Sigma hoch minus eins, Seemillinear,
und der Begleit ISO von Sigma hoch minus eins ist dasselbe
wie der Begleit ISO von Sigma,
Buch minus eins,
also wie das Inverse von Begleit ISO von Sigma
Das ist das Lämmer. Und mit dem Lämmer kann man
jetzt den Satz beweisen, 5, 6,
den Beweis führe ich ja auch nicht vor.
Bitte denken Sie selber einmal drüber nach,
ob Sie aus dem Lämmer den Satz beweisen könnten.
Dazu sei V nicht der Null-Vektorraum, weil dann,
wenn ich jetzt gleich von Bijektiven Abbildung spreche, diese,
wenn die Semiliese automatisch immer nicht die Nullabbildung sind.
So, und dann gilt Folgendes.
Dann definieren wir die Menge Gamma-LVK, VSA-Entweckerung über K,
aller Semilliniarmbijektionen von V
Sieg mal, semiline Jahre. Edition. Und die Aussage ist,
dass dies hier eine Gruppe ist. Das liegt im Prinzip
an dem, was hier oben steht. Und zweitens,
hier oben haben wir noch sozusagen immer Aussagen über den Begleit, ihn so gemacht. Wir haben hier eine Abbildung,
Dach nenne ich sie, die von Gamma L,
VK geht in die Automatismengruppe des Körpers K, die jeden Siegma zuordnet,
seinen Begleit ISO, der in diesem Fall jetzt eindeutig ist,
also dieses Dach, diese Abbildung wohl definiert und die Aussage ist,
dass diese Abbildung ein Gruppenhomo ist, ein Gruppenhomofismus.
Das ist im Prinzip das hier,
was da oben steht und noch dazu der Kern von diesem Gruppenhomo ist G-LVK,
also die Gruppe der Lineam, wie Exionen von V nach V,
denn das hatten wir letztes Mal schon gesehen,
ich habe das zwar nicht als genau dann,
wenn Aussage formuliert, es ist aber so,
dass das Sigmar genau dann linear ist,
wenn der Begleit-ISO die Identität ist.
Und das ist ja das neutrale Element hier. Also der
Kern sind genau die, deren Begleit-ISO die Identität ist.
Und das ist GL VK. So,
wir kommen zum nächsten Satz oder zur Bemerkung.
Bemerkung, ist das jetzt ein paar Zusatzinformationen zu dem,
was hier oben steht? Zu dem Satz, erstens,
haben wir den Spezialfall, dass wir einen Körper haben,
dessen Automorphismengruppe nur aus der Identität besteht, also dessen Automorphismengruppe trivial ist.
So ist natürlich ganz GLs, GammaL, zwei GammaL-VK,
gleich dem Kern, also so ist Gamma LVK, gleich G-L-VK,
wurde anders ausgedrückt, jede Seemilinäre, Biäktion ist schon linear.
Und diese Sache gilt für relativ viele Körper,
gilt zum Beispiel für K-Gleichkuh oder auch ZP.
Also für alle diese Körper gilt, dass sie nur einen einzigen Automafismus haben,
nämlich die Identität und das gilt zum Beispiel nicht,
für K gleich komplexe Zahlen.
Da kennen Sie alle einen Automophismus, der nicht die Identität ist, das Konjugieren.
Aber auch für K gleich GFP hoch N mit N-Größe 1,
also Körper, endliche Körper, die nicht Prinzahlordnung haben,
das sind ja, wer sich in der Agebra auskennt,
alles Galoir-Erweiterung von ZP und die haben dann eine nicht triviale Galoir-Gruppe.
Von Automophismen. Und Aussage 2 schließt hier nochmal an,
das schreibe ich nochmal kurz,
diese Sache von hier oben
gilt auch nicht
Für K nicht kombitativ. Für nicht kommutative Körper,
das habe ich gerade letztes Mal gesagt, das schreibe ich jetzt nicht nochmal hin.
Im Skript steht es nochmal angegeben, ein Automofismus,
der nicht die Identität ist. Das hatten wir letztes Mal schon.
Da gehe ich jetzt nicht nochmal drauf ein. Drittens,
jede seemilineare Viektion, wenn der Körper V,
wenn der Rektor Raum V gleich K hoch N ist und
er meinetwegen auch nach K Strichhoch N geht,
dann hat jede solche seemilineare Viektion die Gestalt,
die wir letztes Mal schon hatten
Wird abgebildet auf Matrix, mal Gamma, Alpha von X,
wie in 5, 4, 3. Und das Alpha hier,
dieser Automaufismus, die man da braucht, ist,
wenn diese Bieaktion Sigmar heißt, ist das hier das Sigmar Dach.
Im Skript steht zu dieser Sache eine Begründung,
das ist auch gar nicht so schwer,
aber mir fällt das jetzt ein bisschen schwer,
das hinzuschreiben, ist ein bisschen technisch,
wenn man das wirklich ausführen wollte,
aber sie können ja bitte drüber nachdenken,
ob sie hier eine Idee aus dem Skript herauslesen können,
wie man das beweist
Und Aussage 4 von dieser Bemerkung ist noch eine Schreibweise.
Für den Fall des V gleich K-Hoch-N ist, schreibe Damael-N-K statt Gammael-VK.
Also das wird im Folgenden meistens unsere Schreibweise sein,
wie wir auch GL-L-N-K-G-L-3-K kamen schon mal vor, schreiben,
weil wenn wir N haben und wir wissen schon,
der Vektorraum hat die Gestalt K-Hoch-N,
dann ist der Vektorraum
dadurch festgelegt
So, das waren ein paar allgemeine Aussagen
noch über semilinäre Abbildung, insbesondere semilineare Viettionen.
Und jetzt möchte ich zur Geometrie kommen. Also alle diese semilinären Viettionen,
wenn der Vektorraum K hoch 2 bzw. Khok 3 ist,
dann kriegen wir dadurch Kolliniationen.
Und wir starten mal mit maffinen Ebenen. AG2K. Das ist Satz 5,
8. Wir betrachten die affine Ebene A,
gleich AG 2K,
über irgendeinem Körper
Wir betrachten ein Sigma aus Gamma L2K,
also eine semilineare Bijektion auf K. Hoch 2,
auf der Punktmenge von A. Außerdem betrachten wir noch einen beliedigen,
aber festen Vektor A und dem zugeordnet eine Abbildung Ciao A. von K. Hoch 2,
nach K. Hoch 2,
wo jeder Vektor X auf X plus A abgebildet wird.
So, und die Aussage ist, dann sind Ciao A und Sigma
in der Gruppe Out A sind bei so Koordinationen von AD2K.
Und das ist deshalb unter anderem hier nochmal so hingeschrieben,
weil später eine Umkehrung kommt,
jede Automofismus von AG2K ist vom Typ KA oder vom Typ Sigma
oder hintereinander Ausführung von einem Tau A und einem Sigma,
das schon mal als Ausblick.
So, das muss man jetzt beweisen. Ich schreibe hier
und im Skript steht es auch so ähnlich klar für Tau
A. Ich verweise da auf das Video Woche 2 Video 4
Da habe ich das hier, da hieß es,
da hieß es nicht Tow-A und da hieß es,
habe ich statt A auch den Buchstaben C verwendet.
Aber da habe ich das schon mal vorgerechnet.
Als wir überhaupt erst kennengelernt haben, wie beweist man,
dass irgendwas, ein Automorphismus einer Inzidenzstruktur ist. Und ja,
für Sigma Fürcht ist das genauso, oder fast genauso wie die Beispiele,
die wir in Übungen schon damals auch gerechnet haben.
Ich möchte es trotzdem noch einmal vorführen. Was muss man
zeigen? Es ist bioaktiv und bildet geraden auf Graden ab.
Bioaktiv ist es nach Definition. Ich muss zeigen,
dass es Sigma geraden auf Graden abbildet
Also für Sigma möchte ich zeigen, wenn G eine Grade ist,
dann hat sie die Gestalt A plus BK.
Was ist dann Sigma von G? Ich mache das jetzt
mal ganz ausführlich, das ist mir irgendwie lieber.
Ich das Gefühl habe, dann sieht man das besser.
A plus B Lamda, Lamda in K. Dieser A plus B Lamda,
Lamda in K,
das sind die Elemente von G und jedes einzelne Element
wird jetzt abgebildet und so erhalte ich die Bildmenge von G.
Und jetzt benutze ich das Sigma Semilinear ist mit Begleit
Isomofismus Sigma Dach. Dann kommt hier also raus Sigma von A
plus Sigmar von B, Sigmar, Dach von Lamda.
Und Lamda ist im K. Und weil Sigmar Dach eben einen Isomafismus ist,
insbesondere eine Bijektion, wenn Lamda das K durchläuft,
durchläuft auch Sigmar Dach,
ganz K. Und wir haben hier die Menge Sigmar von A plus Sigmar von B,
mal K, Sigmar von B ist genauso wie B,
nicht der Null-Vektor, weil wir eine bijektive Abbildung auf einem Vektorraum,
der nicht der Null-Vektorraum ist, haben.
Das heißt, das hier ist eine Grade und damit haben wir den Beweis abgeschlossen
Und die Aussage dieses Satzes ist bewiesen. Und ich beende hier dieses Video,
ich möchte noch ein weiteres Video ihn vorbereiten,
also ein siebtes Video zu dieser Woche,
wo noch der projektive Fall, also PG2K,
ebenfalls mit semilinären Viettionen, die dann Kollinationen induzieren,
vorgestellt wird.
Genau, aber für dieses Video beende ich hiermit erstmal
und bedanke mich für die Aufmerksamkeit