So, hier bin ich wieder. Wir hatten ja behandelt
oder wir haben dann in diesem Kapitel 5 Automorphismen,
affine und projektiver Ebenen. Und jetzt,
das nächste große Ziel ist Automorphismen von AG2K und Pegi-2
K zu beschreiben oder auch ISO-Morphismen zwischen verschiedenen AG2K und K-Strich.
Und alle diese kann man beschreiben mithilfe der Koordinaten aufs K natürlich.
Und da haben wir auch schon diverse gehabt, diverse Beispiele.
Die möchte ich gleich noch mal kurz daran erinnern,
um das dann zu verallgemeinern und ein allgemeineres Abbildungskonzept da einzuführen.
Also wir wissen schon, von früher, Folgende Automoficemen kennen wir schon.
Wenn Alpha von Khoch 2 nach Khoch 2 eine lineare Bijektion ist,
dann ist Alpha ein Automofismus der affinen Ebene AG2K.
Das hatten wir ja mal in der Übung auf Platz 2.
Und auch Folgendes hatten wir in der Übung auf Platz 2,
wenn Vieh von K nach K ein Körperautomafismus ist.
Dann haben wir dem zugeordnet eine Abbildung,
die hieß da glaube ich Beta
Ich kriege jetzt hier bei mir gar keinen Namen,
sodass ich jedem wieder Koordinate, ihr Viehbild zuordne.
Also zum Beispiel das Konjugieren bei komplexen Zahlen. Ein Beispiel für
ein solches Vieh, wenn klar die komplexen Zahlen sind.
Und diese Abbildung ist auch ein Automafismus von AG2K.
Das hatten wir beides in der Übung auf Platz zwei.
Und auch für PG2K wissen wir,
wenn Alpha dann von Karuk 3 nach K hoch 3 eine
lineare Bijektion ist, die induziert Einen Automofismus von Pi.
Den hatten wir genannt, Sigmar M. Wobei eben dann die Matrix,
ich schreibe mal kurz die Matrix von Alpha,
also bezüglich der Standardbasis wird Alpha durch eine invertierbare 3-Kreuz 3 Matrix geschrieben und den Automofismus,
der zu einer linearen Bijektion gehört, den hatten wir dann Sigmar M genannt.
Also ich will nur kurz damit sagen, die Beispiele,
die wir kennen, von Automofismen sowohl von AG Zweika als
auch PG Zweika hängen zusammen entweder mit linearen Miliektionen oder mit Körperautomofficemen.
Und die Idee ist jetzt, beides zu kombinieren und
da landen wir beim Begriff der semilinearen Bijektionen.
Und das wird im Skript jetzt sehr allgemein behandelt,
also im heutigen Video wird jetzt AG2K und Piggy 2K überhaupt keine Rolle mehr spielen,
sondern wir beenden den Begriff der semilinearen Abbildung.
Wir sind auf Seite 32 oben und da wird semilinäre Abbildung
definiert für beliebige Rektorräume, V und V Strich,
rechts Vector-Räume über K, beziehungsweise K-Strich.
Sein gegeben und Sigmar Dach sei eine Bijektion zunächst mal von K
nach K-Strich. Und dann haben wir eine Abbildung Sigmar.
Eine Abbildung von V nach V-Strich. Die heißt dann Semilinea
. Mit Begleitisomorphismus
Begleit ISO schreibe ich kurz, Sigmar Dach, wenn gilt,
vielleicht bevor ich das hinschreibe, sage ich kurz,
dass dieses Sigmar Dach tatsächlich ein Isomorphismus ist, das sehen wir gleich.
Weiter unten, das Coffit muss man beweisen.
Hier sieht man doch erst mal nur eine Vijektion,
aber Sigmar Dach ist sogar ein Körper Isomorphismus. Das kommt gleich,
wenn gilt, für alle VW und Lamda,
schreibe ich jetzt nicht hin, gilt Sigmar von V plus W,
ist Sigmar von V plus Sigmar von W,
also wie bei Linear, aber jetzt,
Sigmar von V Ma Lamda, ist Sigmar von V,
mal Sigmar Dach von Lamda.
Ja, ich könnte ja auch sowieso nicht Sigmar von Lam,
ich könnte hier sowieso nicht einfach Lamda rausziehen,
wie bei Linea, weil V-Strich ist ja ein Vektoran über Karstrich.
Das heißt, ich muss ja auf jeden Fall ein Element
aus Karstrich hinschreiben. Und wenn Karstrich jetzt ungleich Kar ist,
dann macht es gar keinen Sinn, das Lamm da rauszuziehen.
Sie kennen sowas vielleicht für, nennt man manchmal auch semilinia,
wenn wir jetzt einen Vektoran über den komplexen Zahlen haben,
dass wir dann den Skalar konjugiert rausziehen
Das ist also Sigmar Dach von Langda, wie er dann lang da quer.
Also das wäre ein Beispiel. Wir kommen nachher aber noch ausführlicher
zum Beispiel. Also hier sieht man jetzt aber schon,
semilinia ist eine relativ naheliegende Verallgemeinerung von Linear.
Der einzige Unterschied, der Skala Lamda wird nicht ganz unverändert rausgezogen,
sondern verändert sich zu Lamda zu Sigmar Dach von Lamda.
Wo sieht man Dach? Eine Biation ist, die die
Elemente des Körpers KInnen, den Körper, Karstrich abbildet.
Und jetzt kann man diverse Sachen beweisen.
Und zwar möchte ich zunächst mal die Sache beweisen,
die ich eben schon gesagt habe,
dass das Sigmar Dach wirklich
ein Isomorphismus ist
Körper Isomorphismus, das ist Bemerkung 5.3. Das gilt nur,
wenn Siegmar ungleich der Nullabbildung ist. Aber die Nullabbildung,
die finden, dann kann man natürlich eh alles beliebige heran multiplizieren.
Und die Aussage bleibt richtig, null gleich null.
Also Siegmar, gleich null Abbildung, werden wir nie betrachten.
Ab sofort sei Sigmar stets, ungleich der Nullabbildung.
Nachher werden wir eigentlich nur in Anbetracht dessen,
was wir eigentlich wollen, Bijektionen auf Khoch 2 oder Khoch 3 betrachten.
Also jetzt besai aber Sigmar semilinear mit Begleit Isosigmar Gach,
nicht die Nullabbildung,
dann folgt Sigmar Dach
Ist ein Körper-Isonaphismus. Körper-ISO. Also wie hier in dem Wort Sigmar Dach schon anklingt.
Und außerdem, das schreibe ich jetzt nicht mit hin,
ist das Sigmar Dach durch Sigmar eindeutig bestimmt.
Wer weiß, bei Körper-ISO muss man zeigen, ist verträglich mit Plus und Mal.
Ich zeige das mal für Plus, für Mal geht das genauso.
Und wir benutzen, das sieht man nicht, die Nullabbildung ist.
Das heißt, es gibt ein V,
so das Sigmar von V nicht der Nullvektor ist und sein Alpha und Better in Kara.
Also wie Skalare, wie Lamda, kriegen jetzt oftmals nicht immer,
aber oftmals griechische Buchstaben. Und was rechne ich aus?
Vielleicht rechne ich das auf den nächsten Zettel aus,
weil ich mal ein bisschen ausholen muss. Das ist nicht schwer,
aber ich möchte ein bisschen mehr Platz dafür verbrauchen.
Also V sei nicht der Null, war ein Vektor,
dessen Bild nicht der Null Vektor sei und Alpha und Better
seien Körperelemente und wir rechnen aus Sigma von V mal
Alpha Plus Better
Das ist wegen der Seemilinarität, Sigmar von V,
mal Sigmar Dach von Alpha Plus Better.
Also ich ziehe den Skalaalva Plus Better raus und verändere ihn
durch das Sigmar Dach. Andererseits ist dies aber auch,
kann ich erst hier innen außen multiplizieren, Sigmar von V,
Alpha plus V Better. Und das ist Sigmar von V,
Alpha, plus Sigmar von V Better,
das ist die erste Eigenschaft von Seemilinär, also die Additivität.
Und jetzt kann ich hier einzeln Alpha bzw. Better rausziehen,
Sigmar von V,
Sigmar Dach von Alpha,
plus Sigmar von
Siegt man Dach von Betta. Und das schreibe ich nochmal
um zu Sigma von V, mal Klammer auf,
Sigma Dach von Alpha, plus Sigma Dach von Betta.
Und jetzt gucken wir hin. Dieses hier ist gleich diesen.
Hier haben wir vorne den Nicht-Null-Vektor-Sigma von V. Und der Vektor,
wenn ich diesen Vektor mit dem Skala Sigma Dach von Alpha
plus Betta multiplizier, kommt dasselbe raus,
als wenn ich mit dem Skala,
sieht man davon Alpha plus Sigma Dach von Betta
Multipliziere, das heißt,
diese beiden Linear-Kombinationen der einen elementigen Linear, unabhängigen Vektormenge,
Sigmar von V sind gleich,
also bei Sigmar von V und gleich der Nullvektor ist folgt,
dass die beiden unterschlängelten Skalare gleich sind,
sieht man Dach von Alpha Plus Peter ist Sigmar Dach von Alpha,
plus Sigmar Dach von Better.
Und analog zeige ich, sieht man Dach von Alpha Malbetter,
Sigmar Dach von Alpha Mal, Sigmar Dach von Better
und damit habe ich die Bemerkung 5-3 bewiesen.
Also, wenn man einen Nicht-Null semilineare Abbildung hat,
dann ist der Begleitisomorphismus stets ein Körperisomorphismus.
Und jetzt kommen konkrete Beispiele. Das ist fünf.
Vier im Skript. Da stehen vier Beispiele oder Beispielklassen.
Der erste ist ganz einfach, sieht mal linear.
Also wenn wir jetzt nicht,
wenn wir wirklich eine ganz normale lineare Abbildung haben und kleine Bemerkungen,
dann muss natürlich K-Gleich-K-Strich sein.
Von einem K-Vektorraum in einen anderen geht die in
der Regel.
Dann ist Sigmar
auch semilinear
Semilinear mit Siegmar Dach ist die Identität. Aufkam. Zweitens,
also die Linearen sind ja mit Inbegriffen. Das Emilinar ist
eine Abschwächung von linear. Außerdem sind die mit Inbegriffen,
die wir hier oben schon behandelt haben,
wo ich komponentenweise, hier habe ich ein Körperauto,
ich könnte auch einen Körper ISO anwenden.
Alpha von K nach K Strich, ein Körper beliebiger Körper ISO-Mophismus.
Den kann ich also vorgeben,
das wird nachher gleich das Sigmar Dach
Dann haben wir eine Abbildung, die heißt jetzt im Skript Gamma-Alpha.
Für beliebiges N geht die von K hoch innen nach K-Strich hoch enden,
wo ich einen Vektor X1 bis XN abwilde,
sodass jede einzelne Komponente mit diesem Visomorphismus Alpha behandelt wird.
Und dann lande ich in K-Strich hoch enden und dieses Gamma-Alpha ist semilinar und
der Begleit-ISO ist natürlich das Alpha mit Gamma Alphadach, gehörigen Begleit-ISO ist gleich dem Alpha, von dem wir ausgegangen sind. Und das kann man noch verallgemeinern,
das schreibe ich hier noch dazu, drittens,
das ist sozusagen eine Verallgemeinerung von dem oder eine Kombination,
kann man vielleicht auch sagen, Alpha wie oben,
also wieder ein Körper-ISO, ich schreibe kurz ISO und M,
jetzt eine Matrix, ich könnte auch schreiben,
eine lineare Bijektion, ich schreibe jetzt eine Matrix,
mit Einträgen aus Karstrich, also aus dem Körper des Bildvektorraums,
Dann ist die Abbildung, ich nenne sie Siegmar,
ich glaube, im Skript hat sie keinen Namen,
auch wieder von K.H. Hoch-Ennen nach K.S.
Strichhoch-Ennen, wo ich ein X reinstecke und abbilde auf Matrix
mal dieser Vektor, also Matrix mal, Gamma, Alpha von X.
Diesem Beispiel wäre sozusagen die Matrix, die Einheitsmatrix.
Ich könnte jetzt sozusagen hier noch eine Matrix hinterher von links
dazu multiplizieren, also die Linejahre, wie Etionen,
die durch M induziert wird oder beschrieben wird,
hier noch dahinter schalten.
Und das ist dann auch semilinear. Semilinear. Mit Sigmar Dach
gleich, unserem Automafismus Alpha. Und eine vierte Beispielklasse möchte ich
noch bringen, die ja ganz interessant ist meines Erachtens.
Dafür nehmen wir ein Element Müh, einen Skala-Müh aus Karstern.
Hier ist jetzt K, Gleichkar Strich.
Wir haben eine Abbildung Romü,
Roh steht für Rechtsmultiplikation
Von K-Hoch-N nach K-Hoch-N. Einen beliebigen Vektor X wird jede
einzelne Koordinate von rechts mit dem Scalamü mal genommen.
Und hier kann man nachrechnen, das können Sie bitte selber machen,
ist Semilinear mit dem Begleit, Isomorphismus, Rohmü,
Dach ist die Abbildung,
ist die folgende Abbildung,
die geht von K nach
Das ist ein Automofismus von K, allgemein ein ISO-Mofismus,
aber weil jetzt beide Körper gleich sind, ein Automofismus von K, nämlich jeder Skandal Lamda wird auf mühhoch minus eins Lamdamü abgebildet. Das ist ein Körper,
Automofismus, man sagt auch ein innerer Automofismus, oder man sagt,
die Konjugation mit Müh ist natürlich, wenn Körper,
wenn der Körper K kommutativ ist, ist das die Identität,
dann hätten wir hier natürlich auch eine lineare Abbildung,
dann könnten wir dieses Müh überall hier nach links schreiben,
dann wäre das einfach mal wahrnehmen,
mit dem Mühfachen der Einheitsmatrix, also auf jeden Fall linear,
aber im Nicht-komutativen Fall hat man hier eine sehr einfache Abbildung,
die aber echt semilinar ist,
im Nicht-komutativen Fall haben wir durch solche Abbildungen immer Körperautomofismen,
die nicht die Identität sind.
Wenn wir einen Müh nehmen, das eben nicht mit allen
Lambdas kommutiert und dem Nicht-komutativen, gibt es natürlich solche Mühs.
Genau, damit bin ich mit diesen Beispielen fertig und schließe damit
auch dieses Video zum Einstieg des Begriffs semilineare Abbildung ab.
Vielen Dank für die Aufmerksamkeit