So, wir beginnen jetzt mit Kapitel 5 des Skripts, dem vorletzten Kapitel.
Und in diesem Kapitel geht es um Automaphismen, affiner und projektiver Ebenen.
Die kamen ja am Rande auch schon vorher immer mal vor.
Diesen Kapitel werden sie jetzt systematisch studiert. Kleiner Ausblick,
also wir geben diverse Beispiele von Automaphismen, von AG2K und PG2K.
Dann kommen die Fundamentalsätze, die besagen,
jeder Automorfismus von AG2K hat diese und jene Gestalt,
also eine ganz konkrete Gestalt, genauso für PG2K,
die werden wir nicht beweisen, aber zumindest durch das,
was vorher dran war, haben wir dann einen guten Überblick über alle Automorfismen.
Dann gehen wir aber auch noch zu abstrakten Affinen und projektiven Ebenen,
die eben nicht unbedingt AG2K und PG2
K sind und studieren da gewisse Typen von Automorfismen,
wie zum Beispiel Translation,
Scherung,
Bevor wir das alles machen, machen wir aber hier diesen sogenannten Fortsetzungssatz,
der besagt, dass ich jede, also grob gesagt,
der wesentliche Punkt ist, dass ich jeden Automofismus einer affinen Ebene A zu einem Automofismus des projektiven Abschlusses fortsetzen kann.
Und hier habe ich schon mal den Anfang hingeschrieben,
dieses Satzes, Satz 5.1,
gegeben eine affine Ebene A mit Punktmenge A und Gardenmenge G,
Pi ist der projektive Abschluss mit Punktmenge P und Gradenmenge G Strich,
beide so geschrieben, dass die Inzidenzrelation die Elementrelation ist,
Die Ferngrade von A, nenne ich F,
dann ist also die Punktmenge des projektiven Abschlusses, ist A,
die affinen Punkte vereinigt mit F, die Fernpunkte.
Und jetzt sei Alpha ein Automorphismus von A. Bevor wir gleich in Punkt 2 zeigen,
dass sich Alpha zu einem Automorphismus von B fortsetzen lässt,
kommt in eins eine Vorüberlegung, nämlich,
dass für beliebige zwei Graden aus G gilt, G parallel H,
genau dann, wenn Alpha von G parallel Alpha von H ist.
Also wenn G und H graden sind,
sind natürlich Alpha von G und Alpha von H auch Garden
Und Parallelität wird in diesem Sinne erhalten. Im Skript steht als Beweisübung,
ich habe es auf dem Übungszettel bisher nicht gestellt und werde es auch nicht stellen,
aber sie können sich ja mal überlegen,
ob sie den Beweis hinkriegen würden,
ist sehr einfach mit der Definition von parallel.
So, das ist also, kann ich schon mal abhacken.
Beweis ist leicht. Jetzt kommt der wichtigste Teil,
danach kommen noch zwei Punkte, drei und vier,
die wir in diesem Video gar nicht mehr schaffen werden,
aber zwei ist der Hauptpunkt von diesem Fortsetzungssatz,
da geht es jetzt darum, wie setze ich Alpha fort?
Und die Fortsetzung nenne ich Alpha-Sternchen
Alpha Sternchen definiere ich als Abbildung von P nach P,
also der Punktmenge der projektiven Ebene. Einem Punkt X wird zugeordnet
sein Alpha Sternchenbild und das soll sein Alpha von X,
falls X ein Element von A, also auf A,
habe ich die alte Abbildung.
Die alte Kollination Alpha. Und jetzt muss ich noch sagen,
was passiert, wenn X ein Fernpunkt ist?
Das sind die X, die jetzt hier noch nicht betrachtet werden.
Und ein Fernpunkt, das schreibe ich vielleicht mal hier hinten hin,
falls X ein Fernpunkt ist,
dann ist er ja die Parallelklasse einer gerade
So sehen die Fernpunkte aus und für ein solches X definiere ich jetzt das Alpha-Sternbild,
als die Parallelklasse der geraden Alpha von G. Einfach von dir
ist auch eine gerade, die hat auch eine Parallelklasse.
Das heißt, das Bild eines Fernpunktes ist so,
dann automatisch auch wieder ein Fernpunkt.
Und die Aussage von Nummer zwei ist,
dieses so definierte Alpha-Sternchen ist ein Automorphismus von P,
vom projektiven Abschluss. Und das möchte ich jetzt beweisen,
bevor ich zu den Punkten drei und vier komme,
beweise ich jetzt
diesen Punkt zwei
Weiß von zwei. Ich muss zeigen, erstens, Alpha Sternchen ist wohl definiert.
Das muss ich deshalb zeigen, weil hier Parallelklassen sind ja Äquivalenzklassen.
Also für die X aus A ist es natürlich wohl definiert,
aber für diese X ist es, muss man kurz überlegen,
wenn ich gehe und H habe,
die die gleiche Parallelklasse haben,
also zwei verschiedene Repräsentanten der gleichen Parallelklasse G und H und
ich wende jetzt dieses Alpha Sternchen an,
muss ich gucken,
ob auch wirklich
das Gleiche rauskommt
Das mache ich mit einem kleinen Zwischenüberlegungen. Das bedeutet,
das gäbe die beiden parallelklassen identisch sind, heißt das,
geh parallel zu Haar ist.
Dann wende ich Nummer eins an und weiß,
dass Alpha von G parallel zu Alpha von Haar ist.
Und dann ist natürlich die Parallelklasse von Alpha von G,
gleich der Parallelklasse von Alpha von Haar.
Und das bedeutet, wenn Sie hier gucken,
die Bilder sind identisch. Also es ist tatsächlich wohl definiert.
Zweitens, Alpha
Sternchen ist injektiv
Das ist auch wieder klar, wenn ich Bildpunkte habe oder
wenn ich Xe habe, deren Bilder in A liegen.
Und wenn ich ein X habe,
was in A liegt und ein Y,
was in F liegt, dann sind die Bilder natürlich verschieden.
Der einzige interessante Fall ist,
ob zwei solche Bilder über einen stimmen können für verschiedene Urbilder.
Das ist nicht der Fall. Gucken wir uns aber trotzdem
einmal kurz an. Nehmen wir an, Alpha Stern von
der Parallelklasse G, sei gleich Alpha Stern von der Parallelklasse H.
Das bedeutet ja nach Definition Alpha von G,
in eckigen Klammern, ist Alpha von H, in eckigen Klammern.
Und jetzt können wir hier oben diese Schritte alle auch rückwärts gehen.
Wir sind hier sozusagen hier und alle diese Pfeile sind auch umkehrbar.
Und dann kriegen wir raus, nach ein paar Zwischenschritten,
dass eben auch G in eckigen Klammern gleich Haar in eckigen Klammern ist,
also die Urbilder sind gleich.
Die Abbildung ist tatsächlich injektiv. Im Skript sind diese beiden
Sachen gemeinsam abgehandelt. Es fehlt noch Alpha Sternchen ist sujektiv
Im Skript wird da gesagt, so und so sieht die Umkehrabbildung aus.
Das könnte man auch machen. Ich möchte es direkt machen, sujektiv.
Da muss ich ja für jedes Element aus P ein Urbild suchen.
Für Elemente aus Y, nenne ich sie mal, aus A,
ist das klar, dass ich dazu ein X finde,
weil Alpha auf A, ja objektiv ist.
Und ich muss also wieder nur für einen Fernpunkt das Urbild suchen.
Und das ist wieder ganz einfach,
das Urbild von, sagen wir mal,
dem Fernpunkt der Garden H ist die Parallelklasse Von Alphahoch minus 1
von H. Alphahoch minus 1 ist natürlich auch ein Automorfismus,
weil Alpha ein Automorfismus ist, ist auch die Umkehrabbildung einfach hoch minus 1,
sein Automorfismus.
Also ist das ja auch eine Parallelklasse.
Und wenn ich auf die jetzt wieder Alpha Sternchen anwende,
dann haben wir hier Alpha von einfach minus 1 von H.
in eckigen Klammern, also Haar in eckigen Klammern.
Das ist also auch ganz einfach einzusehen. Das heißt,
wir haben jetzt gezeigt,
Alpha Sternchen ist eine wohldefinierte Bijektion von P nach P
und es fehlt noch das Alpha Sternchen,
geraden auf geraden Abbild
Das ist also der verbleibende Punkt. Einfach Sternchen bildet geraden auf Geraden ab.
Und Graden sind jetzt ja Graden aus dem projektiven Abschluss.
Und die nenne ich jetzt mal L, hell eine Grade aufs G-Strich.
Und ich muss gucken, was ist Alpha Sternchen von L.
Und hoffe, es ist wieder eine Grade aus G-Strich.
Erster Fall, L ist die Ferngrade.
Gleich ferngrade. Das ist ja gerade des projektiven Abschlusses.
Dann ist aber natürlich Alpha von
Die Menge aller Alphabilder aller Fernpunkte. Und das sehen wir hier,
wenn wir einen Fernpunkt reinstecken, kriegen wir auch einen Fernpunkt raus.
Und hier unten haben wir gesehen,
auf der Menge der Fernpunkte haben wir tatsächlich auch eine Bijektion,
also die Urbilder von Fernpunkten sind auch wieder Fernpunkte.
Das heißt, wir haben hier tatsächlich Alpha von L,
ist Alpha von der Fern, gerade ist genau gleich der Ferngrade.
Und das ist in Gehstrich, also das Bild von dieser
speziellen Grade L ist schon mal eine Grade.
Und der zweite Fall, das sind alle Graden,
die jetzt nicht die Ferngrade sind,
Dann hatten wir ja damals bei der Konstruktion des projektiven Abschlusses.
Ich erinnere nochmal, dann haben wir die geraden,
die haben dann die Gestalt. L ist gleich eine affine gerade,
gehe es also aus G, eine gerade der affinen Ebene,
die aber ja noch vereinigt wird mit ihrem Fernpunkt.
Also der Fernpunkt wird hinzugefügt. So sieht jede gerade des
pojektiven Abschlusses aus, die nicht fern gerade ist.
Und was ist jetzt einfach Sternchen von L?
Da muss ich einmal auf G einfach Stern anwenden und
dann auf den Fernpunkt
Das ist eine affine gerade. Also G ist eine Teilmenge
von A. Das heißt, die könnten erst mal schreiben,
einfach Sternchen von G vereinigt mit Alpha
Sternchen von G in eckigen Klammern.
Das ist einfach erst mal Definition anwenden, eine Abbildung.
Rund Alpha Sternchen von G ist jetzt aber dasselbe wie Alpha
von G, weil wir hier uns im Affinen bewegen.
Und da war Alpha und Ansa Sternchen ja identisch.
Und hier Alpha Sternchen von einer Parallelklasse.
Das hatten wir hier. Wenn wir eine Parallelklasse reinstecken,
dann ist das Alpha Sternchen wählt.
Die Parallelklasse der geraden Alpha von
Das heißt, das ist die Parallelklasse der Garden Alpha von G.
Und das ist auch wieder eine gerade des projektiven Abschlusses.
Hier haben wir wieder eine Grade. Hier haben wir den zugehörigen Fernpunkt,
gerade vereinigt mit ihrem Fernpunkt. Das ist genau so,
wie die gerade, die wir reingesteckt haben vom gleichen Typ.
Gerade vereinigt mit ihrem Fernpunkt ist eine Grade des projektiven Abschlusses.
Und weitere Graden gibt es nicht für die Ferngrade,
kommt eine Grade raus, für eine gerade ungleich ferngrade,
kommt auch eine Grade raus.
Das heißt einfach Sternchen bildet geraden auf Graden ab und
damit haben wir die Aussage zwei bewiesen und die restlichen Aussagen
werde ich dann im nächsten Video mit Ihnen besprechen.
Vielen Dank für die Aufmerksamkeit