Hallo, herzlich willkommen. Ich habe hier schon mal was aufgeschrieben,
was schon bekannt ist, was wir neulich im letzten Video betrachtet haben.
Zusammenhang von Desag und Pappus in einer projektiven Ebene und in einer zugehörigen affinen Ebene.
Wenn Pi eine projektive Ebene ist und L eine feste Gerade
in der projektiven Ebene. Letztes Mal hieß sie F,
jetzt SCL, dann gilt, wenn Pi Desags ist,
dann ist auch dieses APL die entstehende affine Ebene,
Desags und wenn Pipapusch ist,
dann ist auch dieses
Papus. Das haben wir letztes Mal schon behandelt.
Jetzt fragen wir uns, ob auch die Umkehrung gilt.
Und tatsächlich, ja, sie gilt. Das ist nämlich
ein Satz, Satz 4. 24. Aus dem Skript seite 29 unten,
das tatsächlich in beiden Teilaussagen hier auch die Umkehrung gilt.
Und das möchte ich jetzt beweisen. Also diese Richtung,
die andere hatten wir schon. Und das beweise ich zusammen,
und da brauchen wir alles,
was wir vor kurzem gerade hatten,
sei also a. gleich APL
Desaks beziehungsweise in Klammern Papus. Dann wissen wir,
aus dem Darstellungssatz, dass dann A,
Isomorph ist zu AG 2K, für einen Körper K
und in Klammern Pap im Papusischen Fall ist der Körper kommutativ.
Komutativen Körper K. So, dann haben wir
letztes Mal
ein Argument gehabt
Das jetzt genauso geführt wird, die genauen Sätze,
die ich da verwende, schreibe ich hier nicht nochmal hin.
Das nämlich, wenn das hier gilt, dann ist auch
der projektive Abschluss von A, Isomorph zum projektiven Abschluss von AG2K.
Das ist der eine Satz aus dem Kapitel 5, 5,
2, 3, wo ich letztes Mal gesagt habe,
der kommt eigentlich erst.
Hier wissen wir, aus dem Satz über die kanonische Einbettung
, dass dies Isomorph ist zu PG2K.
Und hier wissen wir aus dem Satz ganz vom Anfang des Kapitels,
dass dies Isomorph ist zu P.
Das heißt
Die projektive Ebene, die wir eigentlich betrachten,
ist Isomorph zu PG2K für diesen geeigneten Komuter, eventuell kommutativen Körper K.
Und dann wissen wir für PG2K, gilt der Satz
von Desak, das heißt P ist Desage bzw. Papus.
Bei PG2K, Desage ist und im Komutativen sogar Papus. Und damit habe ich den Satz abgeschlossen,
vielleicht mache ich noch eine kleine Bemerkung,
die ich so implizit wahrscheinlich schon oft verwendet habe,
die auch hier wieder eingeht,
wo man vielleicht einmal kurz drüber nachdenken könnte,
dass nämlich PG2K ist Desage, PS Isomorph zu P,
dass dann Pi auch Desage ist.
Also wenn eine projektive Ebene Desage ist, dann ist auch hier
die Isomorph für projektive Ebene Desage. Weil bei dem Isomorphismus,
die Desage-Figur in eine Desagfigur übergeht und wenn sie sich in der einen Ebene schließt,
dann auch in der anderen Ebene, weil Isomorphismen eben die Inzidenz übertragen.
Das noch als kleine Randbemerkung. So,
im Skript kommt hiernach ein weiterer Satz 4,25,
den schreibe ich gar nicht hin, den sage ich nur kurz mündlich,
das ist nämlich die endlichen Desagschen projektiven Ebenen stets.
Papust sind, wissen wir schon für endliche affine Ebenen.
Und wenn wir hier jetzt eine endliche Desacche,
eben projektive Ebene haben, dann ist auch die zugehörige affine Ebene Desage,
weil sie endlich ist,
ist sie dann auch Gabus und dann können wir hier wieder zurückgehen,
dann ist auch die projektive Ebene Pi.
Papus, also jede endliche besagte affine Ebene. Desacische projektive Ebene ist Papus,
was wir vorher auch schon für affine Ebenen wussten.
Aber vielleicht schreibe ich das hier noch drunter. Wir sind jetzt bei 4,26,
eine andere Sache im Zusammenhang mit dieser Äquivalenzaussage hier,
dieser genau dann Van-Aussage möchte ich unbedingt erwähnen.
4,26,1, das ist nämlich diese Äquivalenz hier im Fall des
Kleinen Desag nicht geht. Hier haben wir den Großen Desag,
hier haben wir den Pappus im Fall des Kleinen Desag
gilt diese Richtung dieser Pfeil nicht.
Also, was bedeutet das? Wie meine ich das?
Da hatten wir die Aussage und das schon bekannt hier oben
Hatten wir damals neben diesen beiden auch noch eine dritte Folgerung hingeschrieben,
nämlich wenn P-Move am Ebene ist. Das heißt,
es geht der kleine projektive Desak, schreibe ich nochmal dazu.
Dass dann auch A gleich APL den kleinen affinen Desak erfüllt.
Aber hier gilt eben tatsächlich diese Richtung nicht.
Wenn APL den kleinen affinen Desak erfüllt,
muss P noch lange keine Movehan-Ebene sein.
Da gibt es Gegenbeispiele,
auf die ich jetzt nicht eingehen möchte
Im Skript steht da noch ein klein bisschen mehr dazu.
Auch unter Punkt zwei möchte ich alles nicht erwähnen. Ich möchte nur sagen,
wenn man diese Sache hier verschärfen würde, dahingehend,
hier haben wir gesagt, das L ist eine feste Grade,
die ich wähle.
Wenn wir nicht für eine feste Grade L AD fordern,
sondern für alle Graden L. Also wenn jede affine Ebene,
die aus P entsteht, den kleinen Desark erfüllen würde,
dann würde die projektive Ebene den auch den
kleinen projektiven Desark erfüllen,
wäre also
eine Mofan-Ebene
Das ist hier im kleinen Desiggfall anders als im großen Desigg.
Also das ist etwas, ja, das ist zu schwach,
wenn man es nur für eine gerade hier fordert.
So, wie gesagt, Bemerkung 4, 26,
2 lasse ich weg und ich gehe direkt über zur Teilaussage 3 von dieser Bemerkung.
So 4, 26, 3, da geht es um
die duale Aussage zum projektiven Desigg. Der projektive Desigg,
wenn der gilt, dann kann man beweisen,
dass dann auch Die duale Aussage gilt, und diese duale Aussage,
die ist genau das Gleiche, wie die Umkehrung.
Und bei der Umkehrung hatten wir es im Affinen,
dass aus dem großartig, großartig Strich die Umkehrung,
das ist hier die duale Aussage,
zu PD und dies ist die Umkehrung.
Und da die beiden sind identisch,
die beiden Aussagen
Und ja, diesen Beweis führe ich jetzt hier nicht.
Wir gucken uns trotzdem einmal kurz an,
was bedeutet eigentlich die duale Aussage zum projektiven Desag?
Und warum ist das im Prinzip das Gleiche wie die Umkehrung?
Dazu gucken wir uns hier noch einmal wieder die Desagfigur an des großen Desag.
Und zwar gilt, das sage ich jetzt alles nur mündlich,
aber vielleicht schauen sie sich das Bild hier nochmal an.
Da haben wir ja unsere zehn Punkte und zehn Graden.
Und wenn man die jetzt ganz genau anschaut,
das erwarte ich nicht, dass sie das auf den ersten Blick erkennen,
und das möchte ich jetzt auch nicht im Detail durchsprechen,
Aber das könnten sie eigentlich, ähnliche Übungsaufgaben hatten wir schon,
wenn wir diese Figur mit den zehn Punkten und zehn Graden und der Eigenschaft,
dass sich das hier in den Punkt schließt.
Also die Inzidenzen so wie nach Groß-PD vorgegeben,
wenn man die sich anschaut und alleine diese zehn Punkte und zehn Graden als Inzidenzstruktur interpretiert.
Und keine anderen Punkte und keine anderen Graben dazugehören.
Und diese Figur dann dualisiert, dann kriegt man die gleiche Figur.
Also diese Figur ist Selbstdual, so könnte man sagen.
Die große Besagfigur, die pro große projektive Desagfigur ist
eine Selbstduale Figur oder selbstduale Inzidenzstruktur
Und ja, der große Desak sagt ja nun,
wenn man diese Figur hat und hier die letzte Inzidenz eben nicht hat oder nicht notwendigerweise hat,
dass diese Inzidenz aus allen anderen dir gegebenen Inzidenzen folgert.
Das heißt, das hatten wir ja mehrfach schon gesagt,
der große projektive Desak bedeutet, aus dieser Figur hervorgehend,
dass die Punkte P1, P2, P3 kollinär sind.
Drei Punkte, diese drei Punkte, die man konstruiert sind, kollinär.
Wenn man jetzt alles dualisiert und wenn sie mir glauben,
dass die Figur im Prinzip genau so aussieht und ich entsprechende Bezeichnungen wähle,
Ist die duale Figur, oder der duale Aussage, ist dann schließlich, dass drei Graben kopunktal sind.
Und die können wir so nummerieren, dass das genau unsere Graden G1, G2, G3. Sind das die kopunktal sind, also. Genau,
wenn alle anderen Inzidenzen vorliegen, und das ist jetzt offensichtlich das,
was wir beim Affinenfall, die Umkehrung genannt hatten,
also wir starten mit kolinearen Punkten P1, P2,
P3, alles andere hier mit den Dreiecken,
auch entsprechend so wie hier in der Skizze,
nur über die Graben, die drei Graden machen wir keine Voraussetzung,
dann sagt der Duale, Design oder auch,
können Sie genauso gut als die Umkehrung interpretieren,
dass dann die drei Graden propunktal gewesen sein müssen.
Genau, also das nur zu dem projektiven Desak,
seiner dualen Aussage und dass die dasselbe ist, wie seine Umkehrung.
Umkehrung in dem Sinne, wie wir es im Affinen
auch gehabt haben. Da hatten wir es ja genauso,
wenn die Affine die Sarg-Konfiguration vorliegt,
mit der dritten Parallelität sogar,
dass dann die Träger geraden
entweder kopunktal oder parallel sind
Und weil wir hier im Projektiven eben keinen parallel haben,
muss die Schlussfolgerung der Umkehrung co.punktal bedeuten.
Genau, also das würde ich gerne hier noch einmal betonen.
Das ist wichtig im Zusammenhang mit dem Dualitätsprinzip.
Es gilt dann nämlich insbesondere, das könnte man nennen,
das Dualitätsprinzip für Desagische projektive Ebenen.
Also wenn wir eine projektive Ebene haben,
und die ist Desagsch,
dann ist auch die duale projektive Ebene Desagsch
Weil wenn in Pi, PD gilt, dann gilt auch PGDach.
Das ist diese Sache. Habe ich nicht bewiesen,
aber die glauben wir mal. Und PGDach,
PDDach gilt in Pi, bedeutet, dass die duale,
projektive Ebene, dass dort PD gilt.
Und dann geht natürlich auch die Umkehrung. Weil wenn ich
zweimal Dach anwende, bin ich wieder beim Ausgangspunkt und genauso,
wenn ich das dualisiere, bin ich wieder hier.
Also hier kann ich auch sogar Äquivalenz schreiben.
So,
und das heißt jetzt
Dass das Dualitätsprinzip auf der Klasse der Desagtion projektiven Ebenen gilt.
Also nicht nur für alle projektiven Ebenen gilt er,
sondern wenn ich speziell eine Desagsche projektive Ebene habe, dann gilt, gilt ein Satz.
Für alle Desagschen, Projektiven Ebenen, so auch der duale Satz.
Weil die Voraussetzung dieses Satzes würde dann lauten SIP eine besagsche projektive Ebene
Die Voraussetzung des dualen Satzes würde eigentlich lauten SIPI-Dach eine desagische projektive Ebene,
aber nach dieser Sache,
hier können wir genauso gut formulieren und das würden wir meistens so machen,
weil der duale Satz,
den möchten wir ja trotzdem in der projektiven Ebene pief formulieren,
würde dann wieder lauten, die Voraussetzung wird dann wieder lauten,
SIPI, eine desagische projektive Ebene.
Genau, und da werden wir später Beispiele für haben,
wo das eine Rolle spielt,
wo wir also Sätze über desagische projektive Ebenen machen,
zum Beispiel in einer desagischen, projektiven Ebene existiert,
ein Automaufismus, der eine zwei gegebene, für zwei gegebene Graden,
die erste Grade auf die zweite abbildet.
Dass wir einen Satz, der in Desuction projektiven Ebenen gilt und
der duale Satz wäre dann in einer Desuction projektiven Ebene,
existiert ein Automaufismus, der von zwei gegebenen Punkten den ersten Punkt auf den zweiten abbildet.
Ja, also in diesem Sinne gilt das Dualitätsprinzip für
die Klasse der desaction projektiven Ebenen durch dualisieren,
gerate ich nicht aus der Klasse raus,
wie das hier sagt
Und das war die letzte Teilaussage von Kapitel 4.
Damit schließe ich dieses Video und wir starten dann im
nächsten Video mit Kapitel 5, wo es um Automorphismen,
die sagst,
Automorphismen affiner und projektiver Ebenen geht