was ich hiermit tue. Und beginne jetzt damit,
dass ich noch einmal kurz einen Blick werfe auf die Inhalte der vergangenen Stunde. Sie erinnern sich,
dass wir dort noch einmal den AR1-Prozess in einer etwas anderen Form geschrieben hatten,
nämlich unter der Nutzung des sogenannten Lag-Operators,
also eines Operators, der eine Variable bezögert,
um eine Periode L mal YYYT,
ist einfach YT minus 1. Und deshalb konnten wir den AR1 auch schreiben als 1 minus AlphaL,
in Klammern, mal YT.
Denn wenn man das YT hier rein multipliziert,
1,
2 YT ist einfach YT
Und Alpha, mal L, YT,
ist Alpha mal YT minus 1. Denn das L verzögert ja
gerade das YT, um eine Periode.
Das heißt, auf der linken Seite dieser Gleichung steht YT
minus Alpha mal YT minus 1. Ist gleich nü,
also Konstante plus Störung bei Strauschen, UT.
Das heißt, das ist die Altbekannte Leichung YT,
ist gleich Alpha mal YT minus 1,
also Otto Regressive Heil, plus eine Konzenü plus meistens Rauschen.
Das hätten wir bereits in Gleichung 2 uns überlegt.
Oder diese Gleichung hat man schon als Form als Gleichung 2
gesehen und analysiert
Ich hatte ihnen dann gezeigt,
dass man diesen Ostdruck hier, eins minus AlphaL,
auffassen kann als ein Polynom in L. Hier wäre das nur ein Polynom ersten Gratis,
denn hier steht praktisch L. Hoch 1. Aber wenn man mehrfach anwendet,
also L Quadrat zum Beispiel, wurde ich ja am YT um zwei Teiloten verzögern.
Ey Quadratmark YT wäre YT minus 2. Das heißt,
wenn wir kompliziertere AR-Prozesse haben, wo YT mit stärker verzögerten Werten drinstehen,
dann ergibt sich hier ein Ausdruck,
der ein echtes Polynom ist im Sinne von,
dass auch höhere Potenzen eins für dieses L-Vorkommen,
also auch L-Quadrat, L-Hoch 3 und vielleicht noch höhere Potenzen.
Und das erlaubt es uns, wie wir gleich sehen werden,
auch relativ komplizierte AR-Prozesse in dieser Lake-Operator-Schreibweise zu schreiben und dann
die Lösung dieses AR-Prozesses auf eine eigentlich sehr einfache Art und Weise,
wenn auch vielleicht ein bisschen eine gewöhnungsbedürftige Art und Weise, durchzuführen.
Nun, wir haben das zunächst mal für dieses recht triviale Polynomen getan,
was ja noch ein linearer Ausdruck in L ist,
aber eben de facto auch schon ein Polynom ist,
in dem wir uns überlegt haben, wie man eins minus AlphaL invertiert
Und dieses 1-minus AlphaL zu invertieren, war einfach.
Denn was wir einfach gemacht haben, Entschuldigung, ich glaube,
in die falsche Richtung gegangen ist, dass wir analog zur geometrischen Reihe,
die sie aus ihrem Mathematikvorlesungen kennen, also analog zu diesem Ausdruck,
hier, der sagt, für eine Zahl C,
die betragsmäßig kleiner als eins ist, gilt,
dass diese unendliche Summe über C-Hoch-I mit I laufen von 0 bis unendlich,
dass das nichts anderes ist als eins durch eins
Und genau dasselbe Ding können wir hier auch anwenden auf das inverse Lake-Polinum.
Also eins minus Alphael hätte als seine Inverse natürlich eins durch,
als minus Alphaelder oder sich sozusagen das eins minus Alphael einfach wegkürzen.
Dieses eins durch eins minus Alphael können wir in Anwendung dieser Gesetzmäßigkeit schreiben,
als eine unendliche Summe von Alphamal L,
in Klammern hoch I,
sofern das Alpha betragsmäßig kleiner ist
als eins
Sie mögen fragen, warum muss nur das Alpha betragsmäßig kleiner sein,
als das als eins und nicht das L ebenfalls. Nun,
das L, ich habe Ihnen nicht so genau erklärt,
was ein Lake-Operator eigentlich ist,
weil das eine etwas anspruchsvollere mathematische Theorie ist,
aber Sie glauben, wir bitter einfach nehmen zur Erkenntnis,
das L hat immer einen Absolutwert von eins.
Das heißt, wenn Alpha betragsmäßig kleiner als eins ist,
dann ist auch Alpha L betragsmäßig kleiner als eins,
weil der Betrag von diesem L hier eben einfach gleich
eins ist.
Und das insofern keine Rolle spielt
Ja, und diesen Ausdruck hier,
das ist ja dann wieder ein Ausdruck, der einfach sagt,
Tipps treten, treten Potenzen von Ellen auf,
El hoch i und die laufen dann durch sämtliche natürlichen Zahlen durch,
also von null bis unendlich.
Natürliche Zahlen unter Einfluss der Null,
läuft das durch und das angewendet auf irgendwie eine,
datierte Variante wie YT oder UT oder Epsilon Tee,
bedeutet das eben einfach,
dass diese Variable dann um jeweils E-Perioden in die Vergangenheit
verschoben wird
Das hatten wir gemacht und hatten deshalb gesehen,
dass wir den AR1-Prozess auch schreiben können, als YT ist,
eins durch eins minus Alvael, das heißt,
das hier ist das Inverse Lake Polino, angewendet auf nyplus-uT. Nun,
ny kann man nicht in der Zeit verschieben, das ist immer konstant.
Das heißt, da hat dieser Lake-Operator einfach keine Bedeutung und wir kommen dann sozusagen angewendet auf das ny,
einfach zu dem Ausdruck ny durch eins minus Alva als neuer Konstante,
aber das UT kann in der Zeit verschoben werden und wir wissen jetzt eben,
dieser Inverse Lake-Operator hier oder ist inverse Lake Polynom,
löst sich auf in so ein Ding,
unendliche Summe über Alpha L. Hochi.
Das heißt, das UT wird jetzt immer um E-Perioden verschoben in die Vergangenheit.
Das heißt, wir kriegen dann da eine unendliche Summe raus, Alpha Hoch-I-U-T minus li.
Und das ist natürlich gerade die Moving Average-Darstellung des AR1-Prozesses,
die wir sowieso schon ermittelt hatten in Gleichung. Vier. Nur jetzt eben hiergeleitet,
nicht durch sukzessives Einsetzen und Verzögern der AR-Gleichung und mit unendlich vielen Schritten kann man dann hier hin,
sondern mehr oder weniger in einem Schritt einfach,
indem wir das Lake-Polynom hier inverbieren und dann eben mit der via Metrische Reihe auflösen,
kommen wir auf die MA-Darstellung,
wo YT eine Funktion einer Konstanten und aller zurückliegender Schocks mit abklingenden Gewichten Alphahooi ist.
Und sie erinnern sich daran, dass das einfach hochii,
ja, mir die Impuls antworten gab, die entstehen,
wenn ein bestimmter Schock in einer bestimmten Periode stattfindet,
dann weiß man durch dieses Alphahooii,
wie stark das noch auf das YT wirkt.
Deshalb ist diese Moving Average-Darstellung eben wichtig. Und wir machen jetzt
dasselbe einfach für Ein ARP-Prozess. Hier waren wir stehen geblieben,
denn bei einem ARP-Prozess ist es eben so,
dass wir dann ein Lake-Polinum höheren Grades haben.
Hier zum Beispiel ein Lake-Polynom des Grades P. Beim AR1 wäre P einfach gleich eins gewesen,
das heißt, wir hätten hier Schluss gemacht,
eins minus Alpha 1 mal 11,
aber jetzt können eben noch höhere Verzögerungen für die endogene Variable YT hinzukommen,
zum Beispiel hier eine Verzögerung um zwei Perioden oder um drei Perioden,
vier Perioden
bis hin zu P verjuden
Das wurde also ein ARP-Prozess,
wie ich Ihnen zum Beispiel, wo aufgeschrieben hatte.
Ich dachte, ich hätte ihn schon irgendwo aufgeschrieben.
Naja, hier habe ich ihn aufgeschrieben, nicht?
Solchen ARP-Prozess würde es wiedergeben. Also hier
das Lake-Polinum als Polynom-Petengrades in
Multipliziert mit YT. Das heißt, das ist gleich nyplus UT, wie immer.
Und die Anwendung des Lake-Polynoms auf YT ergibt eben gerade hier einen YT und dann minus Alpha 1,
YT-minus 1, minus Alpha 2, Yus 2,
Bühnchen, Bühnchen, Bühnchen, bis hin zu minus AlphaP,
YT-P,
wenn sie diese ganzen mit negativen Vorzeichen stehenden Therma auf die
andere Seite schreiben,
dann haben sie
die Standarddarstellung eines ARP-Prozesses
Und das, was wir jetzt ausnutzen wollen, ist die Tatze,
dass Tatsache, dass ein solches Polynom hier sich immer faktorisieren lässt.
Das haben Sie ja auch schon in der Schule gelernt,
irgendwann in der neunten Klasse,
dass sich ein quadratisches Polynom schreiben lässt als ein Produkt aus zwei Thermen,
irgendwie a-bx, mal zehn minus DX oder sowas ähnliches.
Das gibt ihnen dann für geeignete Werte von A,
B, C und E, jedes quadratische Polynom.
Und genau dasselbe werden wir jetzt hier auch machen. Das heißt,
wir nutzen aus, dass man immer jedes Polynom,
was sich in dieser Darstellungsweise schreiben lässt, auch schreiben kann,
als ein Produkt aus einfachen Polynomen, nämlich 1 minus V1L,
ist ein Polynom im 1. Grades, 1 minus V2L,
ist ein Polynom im 1. Grades und so weiter,
1 minus VPL ist ein Polynom im 1. Grades.
Das heißt, wir können das Polynom Petengrades auch schreiben,
als ein Produkt von P-Faktoren und jeder einzelne Faktor hat die
Form 1 minus und dann irgendeine Zahl wie 1 mal add.
Oder hier wie 2 oder da VP
Diese Zahlen B1, B2 bis WP, sind unter Umstellen
komplexe Zahlen. Also sie können nicht jedes Polynom so schreiben,
dass hier reelle Zahlen stehen. Zum Beispiel,
dass Polynom x Quadrat plus 1,
kann man nicht schreiben als nur bestehend aus reellen Zahlen hier,
weil das Polynom keine Nullstille hat.
Das geht da nur im Komplexen,
x Quadrat plus 1, gleich 0,
hat ja bekanntlich
keine Lösung
Denn man müsste die Gleichung x Quadrat gleich minus eins lösen.
Das heißt, die einzige Lösung,
die es dafür gäbe, wäre eine komplexwertige Lösung,
weil nur im Komplexen eine Wurzel aus minus eins definiert ist.
Und so wäre es auch hier, diese W1,
W2 bis WP, können im Prinzip komplexe Zahlen sein.
Das ist gar nicht selten, dass es dort komplexe Zahlen gibt.
Nun, was ist jetzt eigentlich wichtig,
warum sind diese W1 bis W2, SWP hier wichtig?
Nun, sie sind deshalb wichtig,
weil sie uns sagen, wo das Polynom,
was wir hier haben,
eine Nullstelle hat
Das sieht man aus dieser Darstellung besonders einfach. Das Polynom hat immer dann
eine Nullstelle, wenn einer dieser Faktoren hier gleich null ist.
Nur eine von diesen Klammern gleich null ist, dann wissen wir,
dass das gesamte Polynom gleich null ist, der null,
mal irgendwas anderes, ist natürlich immer gleich null.
Und es ist sehr leicht zu sehen,
wann einer dieser Faktoren gleich null ist, nämlich genau dann,
wenn W1 mal L oder im allgemeinen Fall WI mal L,
wenn das gleich eins ist.
Nun, wann ist WI mal L gleich eins?
Nun dann natürlich, wenn L sozusagen vom Betrag her
gleich eins durch W1 ist
Das heißt, der Kehrwert von diesem W1,
oder im Allgemeinen Palais VI, der Kehrwert von VI,
also eins durch BEI, ist das, was man,
eine Wurzel des Polynoms nennt,
mit Wurzeln bezeichnet man diejenigen Werte,
die man für die Unbekannte in dem Polynom einsetzen kann.
Im Allgemeinen Polynom ist das irgendwie X oder hier ist die Unbekannte L,
sodass das Polynom den Wert null annimmt.
Das heißt, die Kehrwerte dieser WEIs hier heißen die Wurzeln
oder auf Englisch Roots des Lake Polynups
Was uns interessiert, sind im Grunde genommen nur Einheitswurzeln. Das heißt,
uns würde interessieren, wann das W1 hier 1 ist,
denn dann würde es bedeuten, da ich ihm ja gesagt hatte,
dass L hat auch einen Betrag von 1,
wenn das W1 hier 1 ist,
dann ist die Differenz 1, minus 1,
die ist null und das Polynom hat eine Nullstelle.
Warum ist das wichtig, wann dieses Polynom eine Nullstelle hat?
Nun, das ist deshalb wichtig,
weil wir das Polynom ja invertieren wollen
Wir erinnern sich an den Ausdruck 1 durch 1 minus Alphael,
den ich Ihnen eben nochmal gezeigt habe.
Dieser Ausdruck 1 durch 1 minus Alphael, der ist nur dann zulässig,
wenn 1 minus Alphael von 0 verschieben ist.
Denn ich darf ja nicht durch null teilen. Das heißt,
wir müssen immer sicherstellen, dass das Lake-Polinum,
wenn wir es nicht, wenn wir es invertieren wollen,
nicht eine Nullstelle hat.
Und eine Nullstelle könnte eben genau dann vorkommen,
wenn eines von diesen Werten B1,
B2 bis VIP,
wenn der
genau gleich 1 ist
Es gibt streng genommen noch andere Nullstellen für diese Lake-Polynome oder andere Einheitswurzeln.
Nämlich relevant ist nur, dass dieses WI-Betragsmäßig gleich eins ist.
Im Komplexen gibt es aber vier Zahlen, die einen betrachten.
Es gibt mehr, aber viele, die es besonders interessant sind.
Es gibt unendlich viele Zahlen im Komplexen,
die einen Betrag von eins haben,
aber wir sind besonders interessant, nämlich eins, minus eins,
das wären die reellen Zahlen und dann I,
also die imaginäre Einheit,
die Wurzel aus
minus eins und minus
Also minus die Wurzel als minus eins.
Und darüber hinaus gibt es noch eine ganze Randreihe von anderen,
die uns aber alle nicht interessieren.
Wir werden uns nur interessieren für den Fall,
dass das WI tatsächlich gleich eins ist. Das heißt,
nicht nur BI betracht gleich ein, sondern auch WI gleich eins ist.
Diese Art von Einheitswurzel interessiert uns, aber grundsätzlich ist alles,
wo WI betracht gleich eins ist, eine Einheitswurzel.
Würde also bedeuten, dass ein solcher Ausdruck hier Probleme macht beim Invertieren.
Also wir betrachten nur den Fall WI gleich eins,
nicht aber negative oder komplexwertige Einheitswurzel
Gut, ein solches Lake-Polinom, dieses Lake-Polinom hier,
der Ordnung, okay, ist nun invertierbar.
Das heißt, wir können eine Inverse dazu bilden und sozusagen
auf die andere Seite unserer Gleichung bringen, wenn gilt,
dass alle diese WNJs hier betragsmäßig kleiner sind als eins.
Das heißt, für alle Js von 1
Diese Bedingung, dass die WJs hier betragsmäßig kleiner als eins sind,
die korrespondiert mit der Bedingung,
die wir vorher für das einfach gehabt haben.
Dann haben wir gesagt, wir hatten ein Lake-Polin um eins
minus AlphaL und das Alpha musste betragsmäßig kleiner als eins sein.
Das heißt, IWs hier, diese VEIs,
die nehmen einfach dieselbe Funktion, haben dieselbe Funktion,
wie das Alpha beim einfachen AR1.
Nur, dass es jetzt eben P derartige Zahlen gibt.
Und alle von denen müssen betragsmäßig kleiner sein als eins,
damit das Lake-Polinum invertierwandt
Wenn die WI, WIJs hier, wenn die allesamt kleiner als eins von ihrem Absolutbetracht her sind,
dann bedeutet das, dass alle Wurzeln des Lake-Polinums größer sind als eins.
Das ist die sogenannte Stabilitätsbedingung. Die Wurzeln müssen größer werden als eins,
beziehungsweise diese koeffizienten müssen kleiner sein, als eins, dann ist alles in Ordnung. Schwierigkeiten gibt es,
und das ist leider der empirisch relevante Fall,
wenn das W1 hier genau ein Betracht von gleich eins hat,
wobei wir uns, wie gesagt,
nur konzentrieren werden auf den Fall, wo WI gleich eins ist,
nicht unbedingt WI-Betracht gleich eins ist, Andere Fälle,
zum Beispiel, wenn W1 einen Betrag von eins hat,
aber nicht gleich eins ist, könnten eben sein,
dass wir eins plus oder minus I ist oder minus eins ist.
Diese Fälle korrespondieren mit saisonalen Einheitswurzeln, also mit Saisoneffekten.
Und deshalb lasse ich das jetzt aus,
weil das ist die Sache, zu kompliziert macht.
Wir arbeiten hier mit Saisonbereinigten Daten. Das sind solche Einheitswurzeln
nicht drin. Also das nur zum vielleicht etwas tieferen Verständnis,
was mit den anderen Einheitswurzeln wäre.
Uns interessiert nur die Einheitswurzel, wo BI gleich eins sein könnte.
Bei dem müssen wir eben aufpassen,
wenn wir in solches Lake-Polinum invertieren
So, jetzt nehmen wir mal an, dass das Lake-Polinum A von L,
ein Polynom-Picken gratis, dass dieses Lake-Polynom invertierbar sei.
Dann würde gelten, dass wir die Moving Average-Darstellung unseres autoregressiven
Prozesses Peter Ordnung einfach schreiben können als YT ist gleich,
eins durch, eins minus V1L, mal eins durch 1-W2,
L, mal nochmal, eins durch 1 minus VPL.
Das heißt jeden einzelnen Faktor, unser Lake-Polinum konstituiert,
den invertieren wir so, wie wir das beim AR1 auch gemacht hatten.
Da hatten wir ja eins durch,
eins minus Alpha L stehen und das machen wir jetzt eben
für alle dieser Ausdrücke mit den Ws hier, die,
wie ich ja gesagt habe, mit dem Alpha korrespondierten.
Das heißt, wir kriegen hier ein Produkt von lauter solchen
inversen Faktoren und dieses Produkt muss angewendet werden auf MyPlus UT.
Wir wissen schon, dieses My hier ist ja zeitkonstant,
das heißt, da spielen diese Lake-Operatoren einfach gar keine Rolle.
Die Verschiebung von My, um irgendwelche Anzahlen von Perioden in der Zeit
gibt immer nur My, weil My eben zeitkonstant ist.
Das heißt, in Bezug auf das My kann man vielleicht
Operatoren hier einfach vergessen
Und sie haben gedacht, ich darf einfach streichen.
Aber in Bezug auf das UT hier werden natürlich dann
die Zeitperioden verschoben, wenn diese inversen Lake-Poly-Nummer angewendet werden.
Und wir werden hier viele Verzögerungen von diesem UTs kriegen.
Wir haben schon unendlich viele bekommen,
als wir nur ein einziges derartiges Late-Polynummer invertiert haben im Palace ARR1.
Und hier können Sie sich vorstellen,
da geht das ziemlich kreuz und quer,
wenn wir das jetzt prima hintereinander weg auf diese ganzen UTs anwenden müssen.
Deshalb kriege ich gleich auf den nächsten Folien auch einigermaßen hässliche
Ausdrücke oder unübersichtlich scheinende Ausdrücke.
Und ich werde versuchen, ihnen sozusagen die grundsätzliche Linie
dieser Ausdrücke zu erklären
Nun, man versucht ja immer Notation zu sparen,
das hier ist das Inverse Lake-Polinom und wir schreiben das dann
einfach als A von L Inverse, innerhalb einer kurzen Schreibweise.
Das heißt, wenn A von L invertierbar ist,
wenn das Lake-Polinom Petengrades invertierbar ist, dann kann man einfach schreiben,
A von L Inverse und wir wissen,
diese A von L Inverse ist das Produkt dieser Inversen Faktoren.
Hier, die sozusagen immer die einzelnen Elementarfaktoren des Lake-Polinoms
invertieren und damiteinander multiplizieren
Ah, von Elenversum muss also auch Nyplus UT angefasst angewendet
werden und wir können jetzt jeden einzelnen dieser Faktoren hier einfach
als eine geometrische Reihe bezüglich des Faktors WP-Mann L. auffassen.
Ja, wenn man das dann ausmultipliziert,
diese ganzen geometrischen Reihen, gibt es einen relativ kompliziertes Lake-Polinum.
Wir wollen das gar nicht so im Einzelnen machen,
aber was wir uns schon vorstellen können, ist,
dass dieses A von L. Inversum sich dann eben schreiben lässt,
als ein neues Lake-Polinum und Nom M von L.
Und das läuft durch sämtliche möglichen Perioden durch von 0
bis unendlich. Also es wird irgendwie die Form haben,
kleiner Index, gleich kleines M index i mal L. hoch
Diese kleinen Ms hier selbst zu bestimmen, ist kompliziert.
Und das machen wir auch nicht analytisch oder kaum, wenn wir das machen.
Das macht der Computer für uns. Für den Computer ist das
gar kein Problem, der rechnet die dann eben aus,
indem wir nacheinander hier alle diese Lake-Polynomie invertiert und das ausrechnet,
wie die unendlichen Tummen da sind und die ganzen Lieder summiert und solche Sachen.
Sie müssen nur das Prinzip verstehen. Sie müssen nur verstehen,
dass A von L-Inverse sich schreiben lässt,
als wieder eine unendliche Summe über Lake-Operatoren mit der Potenz I,
wobei I dann von 0 bis unendlich läuft,
so wie das ja auch schon beim AR1 der Fall gewesen
ist und irgendwelchen kompliziert zusammengesetzten festen Zahlen MI als koeffizient für
die Potenz
Wir definieren jetzt also einfach, dass unser inverses Lake-Polynom sich schreiben lässt,
als M von L in dieser Art und Weise.
Und das ist immer der Fall. Das besteht gar kein Zweifel,
dass es sich so schreiben lässt. Also wissen wir,
unser ART lässt sich in Moving Average Form auch schreiben als YT,
ist gleich M von L, Manu plus UT.
Ja, und nun hatte ich gesagt, in Bezug auf
das Nüchchen spielen die Lake-Operatoren ja einfach gar keine Rolle.
Das heißt, da das Nü-Zeit konstant ist,
wird da nichts in der Zeit verschoben.
Das heißt, das wäre dasselbe,
wie wenn wir diese Ls hier einfach alle reinlassen
Und fallen lassen, ist mathematisch natürlich kein ganz korrekter Ausdruck.
Sagen wir mal, wir setzen diese Elche einfach alle auf
den Wert von 1. Ja, damit verschwindet das Elben.
Das wird eins und das wird eins und das wird eins. Das heißt,
wir würden, wenn wir den diversen,
das diverse Lake-Polynom anwenden auf Ny,
das Ny letzten Endes nicht multiplizieren mit M von L,
sondern mit M an der Stelle 1. M von 1 bedeutet einfach überall,
wo L steht, in dem Lake-Polynom MVL,
setzen sie für L einfach eins ein.
Das ist also M von 1
Manyl plus M von L
mal Uti
Und jetzt mal erneut eine Definition, um uns schreibt, Arbeit zu sparen.
Wir nennen dieses M von 1-Manö, das nennen wir eben Mühen.
Das ist irgendeine Konstante. Und erneut wird zu sein,
der Computer rechnet uns aus, was das für eine Konstante ist.
Für uns ist im Augenblick nur wichtig zu sehen,
das ist einfach ein konstantes Glied.
Es macht uns keine weiteren Schwierigkeiten und den Computer bestimmt uns,
wie groß das ist.
Und dann haben wir hier M von L mal Uti.
Vielleicht noch schnell zur besseren,
zum besseren Verständnis von diesen M von 1. M von 1
ist natürlich einfach
die koeffizienten Summe über diese kleinen MIs
Denn sehen Sie M von L, war ja
die Summe über die kleinen MIs, mal L hoch I.
Und wenn Sie für Alliens aber eins einsetzen,
dann steht hier eins hoch I, Einzug I ist immer
eins und eins mal irgendwas ist dann einfach dieses Irrbar, also eins mal
MI ist einfach MI. Das heißt, M von 1
ist einfach die koeffizienten Summe, ist die Summe über diese MI hier.
Nun, offenbar ist YT in diesem Fall ein stationärer Prozess,
denn ich hatte Ihnen ja mal gesagt,
ein Moving Average-Prozess ist immer stabil.
Und wir haben hier gezeigt, wir können das YT als
einen Moving Average-Prozess schreiben
Falls das Lake-Polinum A von L in der Tierweist. Wir wissen,
dass Lake-Polinum ist invertierbar, wenn alle diese WIs hier,
wenn die alle betragsmäßig kleiner sind als eins.
Das heißt, insbesondere wenn keine Einheitswurzel vorliegt.
Zum einen als Wurzelfall kommen wir gleich.
Aber wir können jetzt also sozusagen einen Zusammenhang festhalten,
wenn die WIs hier alle drastmäßig kleiner als eins sind.
Schön, dann wissen wir, ist das A von L
im Vertierbar. Und wenn das A von L invertierbar ist,
dann kriegen wir eine MA-Darstellung des ARPs,
die diese Form hier annehmen wird
Wenn es eine MA-Darstellung gibt, dann wissen wir,
dass der Prozess stationär ist, denn jeder MA ist stationär,
wie ich Ihnen bereits gesagt habe. Also können wir schließen,
sofern diese Ws hier alle betragsmäßig kleiner als eins sind,
ist unser autoregressiver Prozess, Peter Ordnung, ein stationärer Prozess.
Jetzt mögen Sie noch fragen,
wie komme ich denn an diese verflixten Ws hier ran,
denn gegeben, bisher durch ein Schätzergebnis,
nur die Menge dieser Alpha 1,
Alpha 2
bis AlphaP koeffizienten
Nun, da lautet die Antwort wieder Computer.
Das berechnet Ihnen einen Computer in 0, nichts,
wenn Sie eben die Koeffizienten eines Polynoms eingeben,
dann berechnet in der Computer die Faktorisierung.
Das heißt, der berechnet in diese V1-V2 bis VP.
Ein näherer Zusammenhang zwischen den Alpha 1 und zwischen diesem Alpha-I-Koeffizienten
hier und diesen WI-E-Koeffizienten da, werden wir später noch kennenlernen.
Aber zunächst mal müssen Sie sich keine Gedanken drüber machen,
wenn wir Alpha 1, Alpha 2 bis Alpha-P kennen,
dann kennen wir auch W1 bis W1-W2 bis WI.
Also der Computer kann uns die ausrechnen und da können wir
sie schnell checken, ob die alle betragsmäßig kleiner sind als eins.
Das heißt, auch diese Stabilitäts- und Stationalitätsbedingungen erfüllt ist
Das geht also im Computer in, null Komma nichts.
Gibt es hier zuerst mal Fragen, ich fortfahre?
Ich sehe nichts im Chat, okay. Ich sehe auch
kein Handzeichen jetzt. Dann machen wir einfach weiter. Zweiter
Fall. Angenommen A von L ist nicht in Vertire.
Sagen wir mal, weil genau eines der WJ gleich 1 ist.
Gibt noch andere Fälle, warum das A von L nicht invertierbar ist.
Es können also mehrere WJs gleich eins sein. Oder wie
ich schon sagte, es könnte auch sein, irgendwie,
welche von diesen wie jetzt gleich I oder minus I oder sowas sind,
das haben wir aber alles ausgeschlossen.
Quer Annahme, wir betrachten jetzt nur den Fall,
dass das Lake-Polinum nicht invertierbar ist, weil genau ein Wert gleich eins ist.
No, welches VJ das ist, das ist letzten Endes wurscht.
Wir können ohne Beschränkung der Allgemeinheit, dafür steht dieses OBDA hier,
schreiben, dass das Pete-W hier gleich eins ist.
Ja, denn das war eine Multiplikation, da kann man
die Faktoren in billigerer Reihenfolge schreiben, also es kommt nicht drauf an.
Nehmen wir mal an, das VP ist dasjenige,
was gleich eins ist und alle anderen wie J sind betragsmäßig
kleiner als eins für AliJ die ungleiche These.
Das ist also jetzt der Fall, wo die Invertierbarkeit nicht
gegeben ist, weil in unserem Olinom dieses Ding hier,
dieses WP gleich eins ist.
Da das L-Ebene ebenfalls einen Betrag von eins hat,
steht hier sowas Ängste drin wie eins, minus etwas,
was den Betracht von eins hat.
Und das ist sozusagen null. Dadurch dürfen wir nicht teilen.
Das ist jetzt das Problem. Gut,
also wenn das VP gleich eins ist,
dann können wir doch den letzten derartigen Faktor einfach schreiben
als eins,
Dann steht hier also das Lake Polynom wie zuvor mit 1-minus-W1L,
1-minus-b2-11 bis hin zu 1-minus-w.
P-1 mal 11, also bis dahin unverändert. Und hier
haben wir jetzt ausgenutzt, dass das PTW gleich 1 ist.
Da steht dann also 1-minus L, denn das VP ist 1.
Und das wird alles angewandt auf XOT und ist dann gleich nu plus UT.
Nun ja, 1 minus L, mal YT, das kennen wir aber.
1 minus L mal YT ist nämlich gerade Delta YT.
Das ist ja YT minus YT minus 1,
als L, das YT um eine Periode verzögert.
Das heißt, das hier ist sozusagen die Veränderung in YT,
mit der wir auch schon gerechnet haben.
Wir haben ja schon die Veränderung von GDP beispielsweise auf seine
eigene Vergangenheit regressiert. Das heißt, was hier steht,
ist eine Veränderung, also eine relativ einfache Größe.
Und damit sagt uns diese Gleichung hier eigentlich nur,
wir haben ein Lake-Polinum, und zwar ein invertierbares Lake-Polinum,
was angewendet wird auf Delta YT, also auf diese Größe hier.
Das heißt, was wir jetzt machen können, ist,
dass wir sagen, okay, wir wissen diesen Teil,
hier können wir nicht invertieren,
denn hier liegt eine Einheitswurzel vor,
da würden wir irgendwie durch null dividieren,
das ist nicht zulässig
Dann lassen wir dieses 1 minus L eben schön auf der linken Seite stehen.
Wir wissen, 1 minus L wird Y und T ist Delta, Y und T.
Das können wir ausrechnen, macht das keine Schwierigkeiten.
Und den Rest des Lake-Podynoms bestehend aus diesen P minus 1 Faktoren hier. Ja,
den können wir ja invertieren wie zuvor auch,
indem wir teilen durch 1 minus W1L, durch 1 minus B2,
durch bissig 1 minus W minus 1 L. Das heißt,
wir können im Grunde genommen einfach sagen,
dieses Ding hier, diese P minus 1 Klammer hier,
sind ebenfalls ja ein Lake-Podynom,
das nenne ich jetzt mal Athilde.
Athilde von L ist 1 minus W1L,
mal 1 minus W2L bis hin zu 1
minus W P
minus 1 mal
Athilde unterscheidet sich von A, von L, dadurch,
dass der letzte Faktor den A von L noch drin ist,
bei Athilde von Ellen nicht mehr mit berücksichtigt wird.
Also der eine, der uns hier Schwierigkeiten macht,
weil da eine Einheitswurzel vorliegt,
den haben wir gerade in dem Athilde nicht drin,
aber ansonsten ist das, sind es dieselben Faktoren.
Naja, wenn ich dieses Ding hier ausmultipliziere,
dann würde ich irgendwie sowas kriegen wie 1,
Minus und dann eine Summe,
die von I gleich 1 bis P minus 1 läuft,
über irgendwelche unbekannten koeffizienten Athilde I mal L hoch
Also diese Außenmultiplikation, die ich jetzt hier mache, ist praktisch dasselbe rückwärts,
was ich zuvor gemacht habe, als ich hier war.
Hier hatte ich ja eins, minus eine Summe,
jetzt über P. Glieder, einfach eins, L,
Albert 2, L zum Quadrat, bis Alpha P,
L hoch P.
Und habe die dann umgeformt in so eine faktorisierte Schreibweise.
Das heißt, ich habe jetzt einen Computer,
die wir eins bis WP hier ausrechnen lassen.
Umgekehrt kann ich natürlich auch vorgehen und kann sagen,
hier gebe ich dem Computer meine W1,
B2 bis WP
minus eins Koeffizienten
Und der berechnet mir dann, welche Alphatilde-Koeffizienten da rauskommen.
Das heißt, diese Dinger sind eigentlich nicht unbekannt.
Ich hatte das eben so gesagt. Kennen wir nicht.
Tatsächlich kennen wir die sehr hohl oder können die sehr schnell berechnen.
Wir können die einfach aus den W1, B2 bis WP minus 1 vom Computer berechnen lassen.
Das heißt, das sind de facto bekannte Grüßen hier.
Warum ist das erste Hinner 1? Nun, das ist ja klar,
wenn Sie sozusagen in dieser faktorisierten Darstellung hier immer die ersten Glieder miteinander multiplizieren,
dann berechnen Sie eins, mal eins, mal eins,
mal eins, mal eins, mal eins,
mal eins, gibt Plätzen Endes 1. Das heißt,
eines dieser,
einer dieser ausmultiplizierten Produktherme
ist dann
immer eins
Und alles andere hat irgendwie einen L da mit drin oder
ein Äquadrat oder ein L-hoch-I oder ein L-hoch-P minus 1 und hat irgendwelche Koeffizienten.
Das steht dann hier drin. Das heißt,
das Alphatilde von Ellen hat im Prinzip dieselbe Gestalt wie das A,
schon das A-Tilde von Ellen, das A-Tilde von El,
dieses Polynom, hat im Prinzip dieselbe Gestalt wie das A von L,
nämlich 1-koeffizienten, mal Potenzen von L.
Nur ist der Grad dieses Polynoms um eine Einheit niedriger
als bei dem A von El.
Das hier ist ein Polynom mit Grad P minus 1 und A
von El war ein Polynom des Grades
Also, p-1. Grad, das ist dieses Leckpolino.
Und das bedeutet also, wir können unsere Gleichung,
diese Gleichung hier oben, die können wir jetzt kompakt schreiben,
als Leckpolinom Alphatilde von L. mal Delta YT,
dieses Delta YT ist 1-LYT, ist gleich nyplus UT.
Okay, damit sind wir sozusagen wieder bei einer ähnlichen Schreibweise,
wie schon auf der Seite davor,
als wir die Invertierbarkeit von A von L angenommen haben.
Denn wir wissen jetzt, dass Atilde von L
dieses Lakepolinom ist Invertierer
Das besteht ja nur aus den Faktoren,
bei denen die Vs betragsmäßig kleiner als eins sind.
Also wissen wir, Delta YT ist Atilde von L-Inverse.
Das wird invertiert, wie zuvor auch, diese Faktoren hier invertiert werden,
also eins durch eins minus W1L und ähnliche Ausdrücke treten da auf.
Atilde diverse, mal nü plus UT. Das entspricht dann
irgendeinem M-Tilde von L, was wir jetzt nicht genau berechnen werden,
das kann aber der Computer für uns tun,
was angewendet wird auf nü plus UT
Und dann wissen wir wieder, dass Emtilde von L angewendet
auf Lü ist praktisch Emtilde von 1, angewendet auf Lü,
Emtilde von 1 mal nü, das nennen wir einfach Mythilde.
Und dann bleibt Emtilde von L mal UT hier übrig.
Das heißt, wir sehen Data YT ist jetzt ein stationärer ARRRP minus 1 Prozess.
Das heißt, was wir hier jetzt gesehen haben,
ist, wenn wir starten mit einem ARRP-Prozess,
bei dem das Lake-Politnom nicht invertierbar ist,
aber wir wissen,
dass nur genau einer dieser Faktoren ein BJ mit
genau gleich eins hat und alle anderen sind betragsmäßig kleiner
als eins
Dann ist zwar das A von L nicht Invertiere,
aber dass daraus abgeleitete Atille ist Invertiere und die eine Einheitswurzel überträgt sich darauf,
dass wir aus YT, die Variable Delta YT machen,
das heißt den Zuwachsblitz und Team.
Das heißt, wir schließen jetzt YT, ist ein ARP-Prozess,
der instationär ist, aber Data YT ist ein stationärer Prozess,
und zwar ein autoregressiver Prozess, der enopin-1.
Das heißt, durch das Differenzieren,
dadurch, dass ich hier die erste Differenz gebildet habe,
verliere ich eine Ordnung in dem AR-Prozess,
Das Lake-Polinum mindert seinen Grad um eins, wird aus,
von, von P wird es zu P minus eins.
Aber ansonsten passiert eigentlich nichts. Nur ist es eben so,
dass ich immer jetzt mit dem Zuwachs rechnen muss und
nicht mit dem Niveau der Zeit rein.
Ich muss mit der ersten Differenz rechnen und nicht mit dem Niveau,
wenn ich einen stationären Prozess analysieren möchte.
Bitte unterbrechen Sie mich, wenn Sie Fragen haben bzw. heben Sie die Hand.
Ich weiß, das ist technisch und eigentlich hoffe ich,
dass ich das jetzt einigermaßen genau alles erkläre und Sie das verfolgen können,
aber wenn was unklar ist,
bitte gleich fragen,
ich unterbreche gerne
So, ja, in dieser Darstellung 16,
die wir jetzt hier hatten, Tele von Elma, Delta,
Y und T ist nyplus UT, folgt jetzt natürlich,
dass wir haben Data YT, ist irgendwie das Mü,
plus Alphatilde mal die Data YT-I plus UT,
wobei das, glaube ich, ein Fehler ist,
wenn ich das richtig sehe, deshalb nutzte ich hier gerade,
da dürft ihr es eigentlich nicht nü stehen,
sondern da müsste Mythilde stehen,
wenn ich das richtig sehe,
warum habe ich
da Mü geschrieben
Ja, das ist falsch.
Das werde ich korrigieren. Das muss mythilliche natürlich sein,
denn sie sehen das ja an der vorigen Gleichung,
Delta YT ist Mythilde, nämlich das Nü multipliziert mit M Telefon 1.
Es gibt dann Mythilde und das sollte deshalb hier
auch Mythilde heißen und da natürlich dann auch.
Also zunächst mal haben wir Delta YT,
ist ein Mythilde plus die Summe über die Alpha
Till the East mal Delta YT-I
plus UT
Das ist also jetzt sozusagen ein autoregressiver Prozess pp-erster Ordnung in den ersten Differenzen.
Und den kann ich jetzt auflösen, um die Niveaudarstellung wieder zu gewinnen.
Denn Delta YT ist ja YT minus YT minus 1.
Jetzt bringst du mal das minus YT minus 1,
was hier auf der linken Seite der Gleichung steht,
auf die rechte Seite rüber, dann steht es hier.
Also weiß ich jetzt, YT das Niveau,
nicht mehr die erste Differenz, ist mythiles,
bleibt hier bitte bei Mythilde, plus YT minus 1,
das habe ich von einer Seite rübergebracht,
plus dann diese Summe hier,
plus UT
Und damit sind wir sozusagen beim ersten Ergebnis, was wir hier zutage fördern wollten.
Und was ich auch in der letzten Vorlesung bereits versucht hatte
zu motivieren, weshalb, dass wir uns wichtig ist.
Denn das, was ich hier sehe,
ist so eine Art Verallgemeinerung des Random Walks.
Schauen Sie, wenn diese Summe hier gleich null wäre,
denken Sie sich die mal weg, dann stünde ich hier der Random Walk.
YT ist null, plus, also build, Entschuldigung,
muild hilded, plus ytemios 1,
also koeffizient von 1 davor, plus 1 das Rauschen.
Ist ein Random Walk mittrifft, wenn das Ding hier
gleich null wäre
Jetzt ist das Ding hier aber nicht null. Jetzt haben
wir hier irgendwie Abhängigkeiten von Verzögerten, Differenzen dieser Y-Zeitreihe.
Ich hatte ihn in der letzten Stunde gesagt,
eigentlich verlangen die Daten wohl nach einer Eins hier vor dem Verzögerten YT minus Eins-Term.
Da haben wir ja verschiedene Schätzungen gehabt. In dieser gleich
um 19 wäre das der Fall. Hier steht sogar eine
exakte Eins. Wir werden das später schätzen, gucken,
ob das hier mit dieser Eins immer noch so hinkommt, auch empirisch.
Aber in der Theorie erstmal für einen solchen ARP-Prozess,
der hier eine Einheitswurzel hat, wäre das also so,
dass das YT in der Regression auf seine eigene Vergangenheit
hier eigentlich eine Eins erwarten lassen sollte.
Also sozusagen das alte Alpha,
das ist gleich eins
Hier haben wir also praktisch die eins wie bei einem random All Walk und ich hatte Ihnen gesagt,
nur einen random Walk mit Drift war nicht so reizvoll,
weil wir, wenn wir nur einen Random Walk mitdrift,
unseren GDP-Daten anpassen, feststellen, dass die Wachstumsraten,
also die Data YTs, keine Autokorrelation aufweisen.
Sozusagen nochmal,
wenn sich das Ding hier nochmal als Null denken,
beziehungsweise das Ding, das ist ja dasselbe,
wenn sich das als Null denken,
dann steht da ja einfach,
Delta YT ist konstante plus weißes Rauschen,
also keine Autokorrelation
Ich habe ihm aber gesagt, das ist nicht so interessant oder
das deckt sich nicht mit dem, was wir empirisch feststellen.
Empirisch haben wir ja festgestellt, die Delta YTs sind,
wenn wir YT mit unserer GVP-Reihe füllen.
Wir sind nun mal autokorrigiert. Da hatten wir ja
so eine Autokorrelation von grob 0,27 oder sowas.
Ja, also ungefähr ein Viertel. Jetzt haben wir
ein Modell, bei dem wir beides erfüllen können.
Denn erstens haben wir hier die Einheitswurzeln, nach der
die Daten verlangen, wenn wir eine Niveauschätzung gemacht haben.
Gibsilontäre, rissiert auf yt-1, sollte hier eine Eins ergeben.
Und zweitens sind die Daten aber auch autokorreliert,
nämlich über diesen Term
Die Delta YTs, die sie ja kriegen,
wenn sie diese Synthemie eins wieder auf die andere Seite bringen.
Diese Delta YTs haben Autokorrelation durch diesen Thermen hier,
die sind korreliert mit ihrer eigenen Vergangenheit.
Also diese Alphatel.de ist hier die Steuern, das Ausmaß der Autokorrelation. Das heißt,
dieses Modell ist ein interessantes Modell, um unsere GDP-Zeitreihe abzubilden,
für die wir in der vergangenen Woche noch keine gute Abbildungsmöglichkeit gefunden hatten.
Denn entweder hat es gestört, dass die Daten eben nach
einer Eins hier verlangt haben und sozusagen das AR-Modell,
was wir anpassen, es dürfte gerade keine Eins da haben.
Oder es war so, wenn wir den Random Walk mit Drift anpassten,
ja, dann hatten wir keine Autokorrelation in den Wachstumspartnern,
in ersten Differenzen, Aber wir wussten eigentlich, war da Autokorrelation.
Dieses Modell hier, das kombiniert nun beides.
Und deshalb habe ich das entwickelt. Deshalb ist das wichtig,
dass Sie auch das eben verstehen, diese Schreibweise mit dem
Lake-Operator und wie man da hinkommt und so weiter.
Das hier ist das Modell, was man ganz vielen makroökonomischen
Zeiten rein anpasst. Nicht einen ARRRR1,
entweder in den Niveaus oder in den ersten Differenzen,
sondern eben einen AR höherer Ordnung mit irgendeinem P.
Und wir werden noch darüber sprechen,
wie man dieses P bestimmen kann
Gut, das ist also, weshalb wir das so gemacht haben.
Jetzt kommen die etwas hässlicheren Formeln, die ich angekündigt habe.
Die sehen sich hier in voller Pracht auf Folge 68 stehen.
Da passiert aber trotz der scheinbar hässlichen Formeln eigentlich nicht sehr
viel Schlimmes auf dieser Folie, sondern stellt nur das,
was ich schon mal gemacht habe,
das stelle ich Ihnen jetzt nochmal in einer anderen Art und Weise dar.
Also eigentlich ist gar nichts Neues. Vielleicht ist es wichtig,
weil wir zu einem Test dieser Einheitswurzelkypothese kommen müssen und
dafür muss man diese Rechnung hier verstehen.
Also, was ich jetzt eigentlich mache,
ist, dass ich diese Schreibweise hier noch einmal anders herleite
Nämlich jetzt leite ich sie her, indem ich ausgehe von dem allgemeinen ARP,
so wie wir ihn ursprünglich formuliert haben, YT ist,
nö, jetzt stimmt das wieder, das nö,
ja, also nicht mütelig, ist nö richtig,
plus Alpha 1, YT minus 1, plus eurer Zeit,
so und dminus 2 bis hin zu plus AlphaP,
YSP, plus,
meistens brauschen.
Was ich jetzt machen will, ist, dass ich diese Gleichung
einfach nur umschreibe und mir dadurch diese Differenzen hier erzeuge.
Ich will ihnen sozusagen zeigen,
wie man sogar von Hand
diese Alpha-Till-Werte berechnen kann
Und das mache ich jetzt folgendermaßen. Hier nehme ich,
also in der ersten Zeit hier,
nämlich dieselbe Gleichung wie dort,
aber ich schreibe bei AlphaP nicht mehr über so einen Team-Minus-P,
sondern ich schreibe AlphaP mal Delta, YT-Plus-1.
Das heißt, hier bin ich eine Periode zurückgegangen,
dieses Delta YT-P plus-1.
Das ist ja de facto YT minus-P plus-1,
minus YT-Piep
Ja. So, was bedeutet das? Das bedeutet,
dass ich hier sozusagen einen zusätzlichen Y-Therm hinzugefügt habe.
Und den müsste ich dann hier, den muss ich dann
hier wiederum abziehen. Oder genau genommen,
ich habe ihn hier abgezogen und ich muss ihn hier wieder hinzuaddieren,
damit die Gleichung insgesamt erhalten bleibt.
Wenn das jetzt noch nicht so richtig klar wird,
also sie müssen es wahrscheinlich einfach zu Hause mal nachrichten,
aber noch ein Versuch ist besser zu erklären.
Hier haben wir das Glied AlphaP-1 stehen
AlphaP minus 1 muss multipliziert werden mit YT minus pminus 1 in Klammern.
Oder wenn Sie Klammern auflösen, t-p plus 1. Also das Ding hier,
mal das Ding, das entspricht dem Term,
der hier in diesen Punkten steht, sozusagen der vorletzte Term.
AlphaP minus 1 mal YT minus, in Klammern P minus
1. Dieses Ding war das. Ich habe dann hinzuaddiert,
Dieses Teil hier, plus AlphaP, gib so ein T-Plus 1.
So, und dann muss ich das, was ich hier
dazu addiert habe, natürlich auch wieder abziehen. Das heißt,
ich ziehe einmal ab, minus AlphaP,
mal YT minus P plus 1. Und es bleibt noch,
dass AlphaP mal YT minus P. Nun,
das wäre dann aber gerade diese Differenz hier, sozusagen das,
was ich hier abziehen muss, durch das Negative auch abgezogen,
in Bezug auf die erste Komponente dieser Differenz.
Und ferner habe ich noch das Plus-Y-T-Minus-P, mein AlphaP hier.
Ja, minus, mal sozusagen das Minus,
was in dieser Differenz bezüglich des zweiten Terms drinsteht.
Ergibt gerade dieses Plus wieder. Das heißt,
ich habe hier nichts verändert. Ich habe nur den Ausdruck
erweitert und am Ende habe ich es jetzt geschafft,
hier eine erste Differenz zu erzeugen.
Dadurch verändert sich der Koeffizient vor dem Y-T-Plus-1-Term.
Alle anderen Koeffizienten von den verzögerten Y-Tithermen
sind gleich geblieben
Und jetzt kann ich dasselbe Spiel mit diesen Koeffizienten hier auch machen.
Und auch das Ding in eine Differenz umschreiben.
Also hier habe ich Alvapier minus eins plus Alvapi.
Das ist dieser Koeffizient. Tier. Da mache ich eine Differenz
draus. Und werde die entsprechende kompensatorische Größe hier ebenfalls einfügen.
Sodass sich in den vorverletzten Thermen hier ein Ausdruck ergeben wird,
als einfach P minus eins plus Alvapier minus eins plus Alvapi.
Das baut sich hier also praktisch als so eine Art Summe
der Alvakoeffizienten auf. Und dafür kriege ich dann hier eben
immer die Delta-Koeffizienten heraus
Wenn man das dann durchgeht, dann kommt man da drauf.
Kommt man da drauf, dass sich diese ganzen Alpha-Eas hier suvieren?
Und letzten Endes hat man vor dem 1. Y-T-1-Koeffizienten hier
die Summe über alle Alpha-Is stehen,
weil sich hier eben so eine Summe aufbaut.
Und vor allen anderen Alpha-I-Koeffizienten hat man
die Alpha-Is stehen,
beziehungsweise Summationen dieser Alpha-Is
Jetzt komme ich selbst gerade ins Draufeln, ob das Ding eigentlich richtig ist.
Was nämlich gerade mal gucken. Ja, das ist richtig.
Natürlich, denn hier steht ja die Summe über diese AlphaIs.
Von zwei Bispy. Also hier werden die AlphaIs von 1
bis P alle addiert. Hier werden sie von 2 bis
I addiert. Vielleicht hätte ich ja noch eine Runde Klammer
drum machen können, um das deutlicher zu machen.
Das ist sozusagen der neue Alphatilde.
I koeffizient
Diese Summe verkürzt sich von somant zu somant. Am Ende
steht nur noch die Summe von P minus 1 und Peder.
Und ganz am Schluss nur noch P, also diese koeffizienten Summen,
die bauen sich eben von AlphaP langsam in diese Richtung.
Auch bis hier sämtliche AlphaIs summiert werden. Und
hier ist es eben das Niveau, was da steht.
Das heißt, das ist YT minus 1,
während es hier nur die Datas sind.
Und damit sind wir genau bei dieser Darstellung hier.
Da haben wir ein Niveau YT minus 1
und hier haben wir die Alpha Tildekoeffizienten von den ganzen
Deltas stehen
Das heißt, wir kriegen jetzt diese Gleichung,
praktisch in der Form, in der sie auch sonst vor unserem,
in der sie auch auf der vorigen Folie bereits statt.
Nun ja, und jetzt ist die Kernfrage natürlich,
was ist mit dieser Summe von den AlphaIs?
Ist die Summe von den AlphaIs gleich eins,
wie das hier der Fall wäre?
Oder ist die Summe von diesen AlphaIs von eins verschieben?
Und es wird insbesondere interessieren,
der Fall, ist die Summe der AlphaIs
kleiner als eins
So, gut. Jetzt subtrahieren wir mal
das YT-minus eins auf beiden Seiten der letzten Gleichung.
Dann kriegen wir links wieder die erste Differenz.
Delta YT ist irgendeine Konstantiny plus die Summe über die Alpha-I
minus eins jetzt, mal YT-minus eins.
Also ich subtrahiere auf beiden Seiten dieser letzten Gleichung das YT-minus eins,
wo sie hier also stehen Summe über einfach I minus eins
und auf der linken Seite steht YT-minus YT-minus eins,
also Delta YT
Delta YT ist Myplus, ein Ausdruck, Summe über die AlphaIs,
minus eins, zwei, schon Team minus eins,
plus verzögerte Differenzen mit irgendwelchen Koeffizienten davor,
die uns weiter übrigens nicht besonders interessieren.
Diese Gleichung hier, 20, verallgemeinert die Gleichung,
die wir bereits als Gleichung 14 kennengelernt hatten, für einen Random-Walk-Test.
Ich gehe nochmal zurück zu dieser Gleichung 14.
Wo war sie? Hier. Da hatten wir ja auch
Delta YT, ist gleich Myplus-Tetter,
mal Tee
Plus Alpha minus 1 mal YT minus 1 plus UT.
Und da hatten wir uns eben überlegt,
dass man jetzt testen kann darauf,
ob dieses Alpha minus 1 hier, ob das null ist,
was ein Test der Hypothese wäre, das Alpha gleich 1 ist.
In der Gleichung, die wir gerade besprochen haben,
haben wir das Täter hier sozusagen gedanklich schon mal auf null gesetzt.
Denn wenn das Alpha gleich 1 ist, dann würde ja
durch ein Alpha gleich 1 hier ein Random Walk mit Drift entstehen.
Wobei der trifft dann durch dieses Müh, gesteuert ist.
Jetzt haben wir denselben Sachverhalten,
nur dass hier die Summe über AlphaI steht,
minus 1, statt Alpha minus 1.
Und dass wir noch
zusätzliche verzögerte Differenzen haben
Also zurück zu der Gleichung, die ich gerade besprochen habe.
Hier, das hier. Dieses Delta YT, oder diese Darstellung hier,
erlaubt uns einen Aufschluss darüber, ob eine Einheitswurzel vorliegt.
Warum? Wir wissen ja, A von L hat dann
eine Einheitswurzel, wenn A von 1 gleich 0 ist.
Also dann eine Einheitswurzel,
wenn für L hier der Wert 1 eingesetzt ergeben würde,
dass das Polynom den Wert null annimmt.
Nun, was ist aber A von 1?
A von 1 ist gerade die koeffizienten Summe über diese
ganzen Alpha-Is
Das heißt, wenn diese ganze koeffizienten Summe hier gleich eins ist,
dann hat das Polynom einen, dann hat der Prozess eine Einheitswurzel.
Wenn diese koeffizienten Summe gleich eins ist,
dann ist die koeffizienten Summe minus eins gleich null.
Das bedeutet also, wir können einen Test machen,
indem wir Delta YT, die erste Differenz unserer Zeitreihe,
regressieren auf nü, dann ehrlich gesagt noch einen Trendtherm,
damit wir auch unter der Alternative einen Trend abbilden können.
Das hatte ich Ihnen ja schon mal erklärt.
Dann wird es regressiert auf YT minus eins und wir gucken,
ob der Code koeffizient signifikant von null verschieden ist
Wenn dieser koeffizient hier null wäre, dann wüssten wir,
es liegt eine Einheitswurzel vor.
Wenn er nicht signifikant von null verschieden ist,
dann sagen wir auch, es liegt eine Einheitswurzel vor.
Wir können jedenfalls die Hypothese einer Einheitswurzel dann nicht bewerfen.
Wenn das aber signifikant von null verschieden ist,
dann wissen wir, es liegt keine Einheit zuzukommen.
Das ist also sozusagen die Kern-Teststatistik, die wir uns angucken werden.
Die Frage, ob dieser Ausdruck hier gleich null ist,
das ist die null Hypothese, die wir testen werden.
Und dann haben wir doch noch zusätzliche verzögerte Differenzen,
auf die wir ebenfalls regressieren, die Koeffizienten hierfür interessieren uns aber nicht sonderlich.
Das, was uns interessiert, ist diese Summe hier
der ganzen Koeffizienten
Ja, das habe ich hier gesagt.
A von 1 gleich null impliziert oder A von 1
ist gleich die Summe über die Alpha Is hier.
Und wir wissen natürlich, dass A von L gleich 1
minus die Summe über diese Alpha I L hoch I ist.
Das heißt A von 1 gleich null impliziert,
dass die Koeffizientensumme hier über diese Alpha I gerade gleich 1 ist.
So, damit haben wir das Ergebnis.
Ein ARP hat eine Einheitswurzel dann, wenn seine koeffizienten Summe
gleich 1 ist
Nun, nach den relativ komplizierten Formeln,
die ich ihm hier zugemutet habe und die ich dir wirklich bitten würde,
sich zu Hause nochmal genau mit Bleistift und Papier aufzuschreiben und das nachzuvollziehen,
dass das alles eine Richtigkeit hat,
ist das ein überraschend einfaches Ergebnis.
Wenn Sie ein ARP-Prozess haben, dann wissen wir jetzt,
dass dieser ARP-Prozess eine Einheitswurzel hat, wenn seine Koeffizientensumme gleich eins ist.
Das heißt, wir geben irgendeinen ARP-Prozess in dieser Form hier beispielsweise,
alles, was Sie tun müssen, ist,
dass Sie Alpha 1 plus Alpha 2 plus Alpha 3
bis hin zu plus einfach die rechnen und gucken,
so müht sich das zu eins
Wenn sich das zu eins summiert, dann hat der Prozess eine Einheitsmutze.
Das ist also eine ganz einfache Art und Weise sozusagen, das erste Mal abzuchecken.
Was ich ihn allerdings versprechen kann, ist folgendes,
wenn sie irgendeine Zeitreihe nehmen und dir irgendeinen ARP-Prozess anpassen und das schätzen.
Wenn sie diese Alpha 1, Alpha 2 und Alpha P
werde schätzen und anders können wir sie ja nicht ermitteln,
denn wir können sie nur aus den Daten heraus schätzen,
dann wird die Schätzung nie so sein,
dass die Summe der Schätzwerte exakt gleich eins ist.
Das kommt einfach nicht vor.
Er hat die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis
ist null
Nicht deshalb, weil nicht möglicherweise die wahren Koeffizienten sich tatsächlich
zu eins addieren, sondern weil das Ereignis,
dass es exakt gleich eins ist, völlig unwahrscheinlich ist.
Also stellen Sie sich beispielsweise mal vor,
Sie haben einen Zahlenstrahl mit dem Intervall von,
sagen wir mal, 0 bis 2.
Da liegt also die 1 mittendrin. Wir haben einfach einen
Zahlenstrahl und Sie sollen mit dem Zirkel reinstechen in diesen Zahlenstrahl
und genau die 1 treffen.
Ich verspreche Ihnen, wenn Sie in Zirkel da reinpicken,
werden Sie nie ganz exakt auf dem Wert 1 sein
Sondern sie wird immer ein ganz kleines bisschen daneben liegen.
Entweder ein kleines bisschen drunter oder ein klein uns ein bisschen drüber.
Und das kann sein, dass sie bei 0,999999987 sind.
Aber sie werden es nie schaffen, ganz exakt die Eins zu treffen.
Und so ist das bei der Schätzung auch.
Man findet nie exakt die Eins, sondern wenn sie geschätzen,
koeffizienten Werte hier addieren, werden sie immer herauskriegen,
dass die von Eins abweichen.
Aus bestimmten statistischen Gründen werden sie sogar fast immer feststellen,
dass die Koeffizienten somit kleiner ist als Eins.
Ein bisschen kleiner als Eins. Sodass die entscheidende Frage die sein wird,
ist die koeffizienten Summe signifikant von Eins verschieden,
beziehungsweise ist die koeffizienten Summe minus eins
Mifikant von Nudeln verschieben. Das ist der Test, den man durchführen muss. Ja,
damit sind wir also soweit, dass wir den Einheitswurzeltest,
den wir ja schon für einen AR1-Prozess kennengelernt haben,
nun auch konstruieren können, für einen ganz allgemeinen Prozess,
einen autoregressiven Prozess, hat Peter Ordnung.
Denn alles, was wir machen müssen, ist,
dass wir das Data YT, die erste Differenz,
regressieren auf das verzögerte Niveau und auf P minus eins verzögerte Differenzen.
Und ehrlich gesagt, noch auf ein paar andere,
auf ein paar andere Regressuren,
nämlich noch auf Konzante und den Trendtherm
Die Teststatistik einer solchen geschätzten Gleichung ist dann die T-Statistik für den Regressionskoeffizienten,
den viermal als Beta bezeichne, von YT minus eins.
Und diese Teststatistik folgt dann wiederum asymptotisch der Dickie Fuller Verteilung.
Im Falle als reinen Random Walks war das auch in etlichen Stichproben der Fall,
dass die Dickie Fuller Verteilung maßgeblich war,
bei so einem erweiterten Dickie Fuller Test ist nur noch asymptotisch,
die Dickie Fuller Verteilung, die richtige Verteilung.
Man hat aber inzwischen ganz gute Simulationen und die ist auch
in der Software implementiert für die Verteilung auch in Pinitenstichproben.
Also da müssen sich nicht so viele Gedanken drüber machen,
der Computer spuckt ihnen da schon die richtigen kritischen Werte aus
Nun, die Regression von der ersten Differenz darf nicht nur erfolgen auf yt minus 1 und auf pi minus 1 verzögerte Differenzen,
sondern die Regressionsgleichung muss auch eine konstante und wenn trennende Daten dabei sind,
einen linearen Trend enthalten, sodass die Testgleichung, also die,
die wir wirklich schätzen werden und wo wir dann im Test durchführen werden,
also lautet,
die erste Differenz der Variablen YT wird regressiert auf eine konstante Mühe,
auf einen Trendtherm mit Parameter Täter,
mit Koeffizienter Täter,
auf Beta mal yt minus
Und auf p minus eins verzögerte Differenzen mit irgendwelchen Regressionskoeffizienten BTI,
die uns normalerweise nicht interessieren. Wir müssen nur diese verzögerten
Differenzen drin haben, damit wir die richtige Standardfehler berechnen,
damit das hier wirklich weißes Rauschen ist, was von Autokorrelation frei ist.
Das heißt, alle Autokorrelationen, die in den verzögerten Differenzen
drin ist, die fangen wir durch diese Therme hier auf.
Dieser Test wird der erweiterte Dicki-Fuller-Test genannt oder im englischen Augmented Dicki-Fuller-Test,
auch im deutschen Sprachgebrauch, sagt man einfach, der ADF-Test.
Merken Sie sich bitte gut das Prinzip,
denn es ist zunächst ein bisschen verwirrend.
Hier auf der linken Seite steht eine Differenz
Und die Differenz wird regressiv sowohl auf das verzögerte Niveau als auch auf verzögerte Differenzen,
als auch natürlich auf dem Trend haben und eine Konstante bei trenntenden Daten.
Und interessieren tut uns nur eigentlich der geschätzte Wert für Better und seinen Standardfehler.
Denn wir wollen wissen, ob dieses Wetter gleich null ist.
Wenn das Better gleich null ist, dann läge eine Einheitswurzel vor,
wie ich ihn gezeigt habe. Denn dann wäre die Koeffizientensumme des ARP-Prozesses,
also die Summe über diese AlphaIs, die wäre dann gleich eins.
Dieses Better hier ist die Summe über die AlphaIs minus eins.
Das heißt, Mit diesem Wetter bezeichne ich diesen Ausdruck hier.
Und da wollen wir wissen, ob der gleiche Null ist.
Gut. Jetzt kommen wir mal zur Praxis dieser Sache.
Durch die Theorie haben wir uns jetzt erstmal einigermaßen durchgekämpft.
In der Praxis kennen wir erstmal die angemessene Länge Pi nicht.
Da gibt es jetzt verschiedene Möglichkeiten, diese angemessene Lake-Länge zu ermitteln.
Eine Möglichkeit ist so, dass man sagt,
man berücksichtigt einfach verzögerte Differenzen, Data YT-I,
wenn sie in der Testgleichung signifikant sind. Das ist,
glaube ich, das, was die meisten Leute eigentlich machen,
ja, dass man sich einfach,
dass man mehrfach die Testgleichung schätzt und guckt, naja,
wie viele Delta-Y-T-Minus-I sind denn daran signifikant und dann entscheidet man sich so für irgendeine Laklinge.
P. Also man probiert das sozusagen einfach aus,
wie relevant das ist. Die zweite Möglichkeit besteht darin,
dass man so viele Differenzen Delta-Y-T-Minus-I nimmt, wie erforderlich sind
damit die geschätzten Residon-UDACT, eine signifikante Autokorrelation mehr aufweisen.
Da guckt man also nicht auf die Signifikanz dieser Y-T-Minus-I,
sondern lässt möglicherweise sogar insignifikante T-Minus-I am Ende noch stehen macht
stattdessen einen Test auf Autokorrelation bei diesen geschätzten rosierten UDAHT.
Und erst dann, wenn die Autokorrelation nicht mehr signifikant ist.
Das heißt, wenn die Hypothese, dass keine Autokorrelation da ist,
nicht verworfen werden kann, dann hört man auf der weiteren Data YTs reinzustopfen.
Und die dritte Möglichkeit ist die,
dass man sogenannte Informationskriterien benutzt zur Bestimmung der optimalen Läglinge.
Da werden normalerweise vier Informationskriterien für angeboten und man müsste sich
eigentlich für eins entscheiden.
Oft guckt man auch so ein bisschen,
wie die alle vier aussehen
Nicht alle Software weist, alle vier Informationskriterien aus,
die da üblich sind und wahrscheinlich gibt es sogar noch etwas unbekanntere andere Informationskriterien,
aber besonders bekannt sind vier Formationskriterien, die immer minimiert werden müssen.
Da würde man also sozusagen gucken, dass man im Vergleich
unterschiedlicher Spezifikationen, das Minimum dieser Informationskriterien bekommt.
Auch das kann ich Ihnen nicht im Einzelnen erklären,
das ist auch mehr Statistik als Ökonomitrie. Glauben Sie mir das einfach,
da haben sich Statistiker Gedanken gemacht,
die mit Informationen und Intropie und welchen Sachen rumgefummelt haben und dann Informationskriterien entwickelt haben,
die einem ein Indikator dafür anbieten,
was die angemessene Spezifikation ist
Diese vier gebräuchlichen Informationskriterien sind einmal das Informationskriterium von AKIKE,
also der Outdoor. Das wird oft als RKIKEs Information-Kriterien oder AIC
bezeichnet. Parallel dazu gibt es ein Kriterium von Schwarz,
der das entwickelt hat, Schwarzkriterium, der hat einen besianischen Ansatz verwendet.
Deshalb heißt das Schwarzkriterium entweder manchmal SC wie Schwarzkriterium oder
manchmal heißt es auch B-I-C wie Basian Information Criterium
Da gibt es also eine A-I-C und ein B-I-C. Und außerdem gibt es ein Informationskriterium,
was auf den sogenannten Final Prediction-Error abstellt, FPE.
Und dann gibt es von zwei Autoren Henning Queen ein Kriterium H.Qu.
Die sind alle unterschiedlich definiert. Und ich werde ihnen nicht
beibringen, wie die definiert sind. Das lernen sie bei
mir in der Zeitreihentheorie. Aber das brauchen wir,
also wenn sie in den Master kommen, dann mache ich das dann.
Aber hier in diesem Bachelor-Kurs brauchen wir das nicht zu besprechen.
Sie müssen sich nur einfach merken, gut ist immer,
wenn die möglichst klein werden, diese Informationskriterien.
Meistens ist es so, dass Akaike und Final Prediction-Error
eher relativ lange näh klingen,
Und Henning Queen und Schwarzkriterium empfehlen ihr etwas kürzerem Lake-Kriterien.
Und da gibt es keine gute Handreichung für, was nun
angemessener ist. Das ist manchmal auch einfach eine Geschmackssache,
aber man sollte das wissen, dass es die Kriterien,
also unterschiedliche Informationsanforderungen haben und damit mal eine gewisse Neigung haben,
entweder reichere Parametrisierung, der Schätzgleichung oder sparsamere Parametrisierung und der Schätzgleichung zu empfehlen.
Wir nehmen jetzt einfach mal eine Möglichkeit, aber,
dass die einfachste Möglichkeit ist, also Möglichkeit A,
war hier diese Möglichkeit, dass wir sagen,
wir nehmen einfach die Verzögerten Differenzen, Delta-Y-T-I,
wenn sie in der Testgleichung signifikant sind, dann nehmen wir sie eben mit rein.
Wobei die Konvention, die ist,
dass wenn man beispielsweise vier verzögerte Differenzen mit reinnimmt und die vierte Differenz ist noch signifikant,
aber die ersten drei Differenzen oder einer der ersten drei ist nicht signifikant,
dann schmeißt man die insignifikant normalerweise nicht raus.
Also man schätzt bis zur letzten,
oder man nimmt so lange Differenzen mit rein, bis zur letzten,
die signifikant ist und die insignifikanten davor lässt man drin.
Auf jeden Fall also nicht raus, wie sie vielleicht denken würden.
Das kommt jetzt bei uns, glaube ich, gar nicht vor.
Nein, kommt nicht vor. Also ich habe es jetzt
hier mal so gemacht,
dass ich unsere Zeitreihe in GDP genommen habe und ich schätze
GDP mit vier verzögerten Differenzen
Das ist jetzt Output von Jay. Multi, also diesem anderen Programm,
was ich ja auch für diese Vorlesung empfohlen habe,
was ich hier gemacht habe, ist,
dass ich die Zeitreihe GDP differenziert habe.
Das heißt, es wird jetzt die erste Differenz von GDP
regressiert auf ihren eigenen verzögerten Wert.
Day Multi schreibt jetzt hier nicht GDP hin,
aber dieses X, das ist GDP minus eins.
Und die abhängige Variable ist D-GDP minus 1,
also ist die Veränderung von GGP
Ist das verzögerte Niveau. Hier sind die D-Varianten,
also die ersten Differenzen,
DGDP minus 1, DGDP minus 2, minus 3,
minus 4. Ich habe hier mal vier Verzögerungen am Anfang genommen,
um einfach ein Gefühl für die Daten zu kriegen.
Vier Verzögerungen zu nehmen, in den ersten Differenzen bietet sich
deshalb an, weil wir hier mit Quartalsdaten arbeiten.
Und oft ist trotz Saisonbereinigung da immer noch so ein bisschen was drin,
dass eine Beobachtung mit der Beobachtung vier Perioden davor korreliert.
Deshalb ist es ganz sinnvoll, wenn man mit Quartalsdaten arbeitet,
mindestens vier Lags erst mal auszuprobieren. Man kann manchmal,
wenn man etwas hässlichere oder persistentere Daten rein hat,
auch mit acht Lags beispielsweise beginnen,
also auch für Korrelation noch über zwei Jahre hinweg erlauben.
Und man sieht ja dann, ob die gebraucht werden oder
nicht gebraucht werden
Was wir jetzt hier sehen, ist zunächst mal
das verzögerte Niveau, hat eine T-Statistik von minus 2,7.
Und wenn wir eine normale Tiefverteilung zugrunde liegen würden oder eine normale Normalverteilung,
was heißt eine normale Normalverteilung, wenn wir eine Normalverteilung zugrunde liegen würden,
dann würde man sagen, was ist Ignifikant?
Tatsächlich wissen wir,
das ist hier aber nur aus dem Tod des Stitty-Full-Up verteilt,
da müssen wir uns einfach gleich nochmal die kritische Werte der Ignifula-Verteilung angucken,
ob das eigentlich signifikant ist oder nicht,
signifikant ist,
der Koeffizient ist jedenfalls von null verschieden
und ist negativ
Sie wissen, hier wird eigentlich geschätzt,
Summe über die AlphaIs minus 1. Das heißt, das würde mir sagen,
die Summe über die AlphaIs ist kleiner als eins,
liegt so ungefähr bei 0,95.
Denn das hier ist ungefähr 0,05. Gut,
das gucken wir uns also gleich nochmal an.
Zunächst wollen wir uns die Verzögerungen angucken,
weil wir die angemessene Lake-Länge bestimmen wollen. Nun ja,
Sie sehen die erste Verzögerung hier, dgp minus eins,
hat hier irgendeinen Koeffizienten, der sich weiter interessiert,
hat eine Tierstatistik von 3,72.
Das hier ist normale Tierverteilung. Das ist nicht mehr
die Gifuller-Verteilung. Also hier können wir normale Inferenz anwenden.
3,72 ist sicherlich signifikant
Die zweite Verzögerung, DEX minus 2,
hat eine T-Statistik von einem Wesentlichen 2. Das ist auch noch gignifikant.
Die dritte Verzögerung, DEX hat eine T-Statistik von 0,01,
die ist also ganz sicherlich in signifikant.
Und die vierte T-Verzögerung hat eine T-Statistik von minus 0,02.
Das ist auch völlig insignifikant. Das heißt, die Verzögerung 3,
sorry, die Verzögerung 3 und 4, die brauchen wir nicht.
Die Lags 3 und 4 in den ersten Differenzen sind offenbar überflüssig,
die habe ich jetzt hier mal reingetan,
aber da soll ich mir die gleiche normal schätzen,
ohne diese beiden Dinger, denn die Genauigkeit der Schätzung wird besser,
wenn man keine überflüssigen Regressoren mitschleppt.
Deshalb sollte man
die hier eliminieren
Da wird er eine Konstante geschätzt und es wird ein Trendtherm geschätzt, wie Sie sehen.
Beide mit T-Statistiken größer als zwei vom Absolutbetrag her.
Also beide nach konventioneller Inferenz signifikant. Das heißt,
das hier ist eigentlich ein relativ klares Bild,
das man da bereits kriegt,
indem ich erst mal mit relativ vielen Differenzen angefangen habe und dann festgestellt habe,
also Differenzen drei und vier brauchen wir aber nicht mehr unbedingt.
Das stellt sich leider nicht immer so klar heraus,
wie an dieser Zeitreihe. Also da kann man auch
etwas gemischtere Eindrücke bekommen aus einer solchen Regression.
Aber hier ist es wunderschön klar, deshalb machen wir
die Sache einfach nochmal
Schreiben jetzt die Regressionsgleichung, gehen noch einmal hin oder schätzen
Sie ihn noch einmal mit nur zwei verzögerten Differenzen.
Und Sie sehen jetzt, hier wird wieder so ein Wert
von ungefähr minus 0,05 für das erzögerte Niveau geschätzt.
Das heißt, die koeffizienten Summe liegt bei ungefähr 0,95,
nahe an eins, aber nicht ganz eins.
Dazu kommen wir noch. Stehstatistik ist jetzt bei minus 2,8.
Dann ist die erste Differenz als Regressor da und die ist signifikant mit Natilstatistik von 3,8.
Die zweite Differenz ist da als ein signifikanter Regressor mit
einer T-Statistik von zwei,
auch noch signifikant
Konstantin, Kontrend, eine schöne Gleichung. Also wohl spezifiziert,
ALT-Statistiken oberhalb von zwei, sieht erstmal sauber aus.
Was uns jetzt interessiert, ist die Frage,
ob dieser Koeffizient hier, ob der eigentlich signifikant von null erschienen ist.
Er ist ja nicht weit von null entfernt.
Und da ist eine Tierstatistik von 2,78. Aber diese Statistik hier,
die als T-Statistik berechnet ist, ist,
und das müssen sich dringend merken, ist nicht teeverteilt.
Also der Koeffizient hier vor diesem x-minus-1,
folgt keiner Standardverteilung und seine T-Statistik folgt ebenfalls keiner Standardverteilung,
sondern sie folgt der sogenannten Diggy-Fuller-Verteilung, asymptotisch.
Hier sind die Werte sogar schon angepasst an Werte für endliche Stichproben,
aber wir haben hier so viele Beobachtungen,
dass da auch kein großer Unterschied zur Asymptodik mehr besteht.
Sie sehen die kritischen Werte des ADF-Tests hier. Also,
wenn wir auch nur zum 10-Prozent-Niveau ablehnen wollten,
dann müsste die T-Statistik schon kleiner sein als minus 3,13,
also stärker negativ sein
als minus
Üblicherweise empfehle ich Ihnen mindestens zum 5-Prozent-Niveau zu testen.
Viele Software gibt es zwar auch immer, das 10-Prozent-Niveau an,
aber das 10-Prozent-Niveau ist eigentlich viel zu wackelig.
Das ist unzuverlässig. Also da können so grobe Fehler mitmachen mit einem 10-Prozent-Niveau.
Ich empfehle Ihnen dringend mindestens immer ein 5-Prozent-Niveau anzulegen.
Vielleicht sogar ein 1-Prozent-Niveau. Aber ich mache hier in dieser Vorlesung immer 5-Prozent-Niveau.
Da sehen Sie, ist der kritische Wert minus 3,4.
1. Und die T-Statistik ist größer als minus 3,41. Das heißt,
im absolut betonen Sie kleiner. Sie überschreitet also,
beziehungsweise in diesem Fall unterschreitet, den Wert nicht.
Sie ist nicht signifikant. Wir können nicht auf einem 5%
Das ist irgendwie Flanzniveau, die null Hypothese ablehnen.
Denn wir bräuchten einen, wird der noch stärker negativ ist,
als dieses minus 2,8 hier.
Wir bräuchten mindestens 3,4, 1,3,42. Absolut wird her.
Das heißt, die null Hypothese kann nicht abgelegt werden.
Jetzt machen Sie sich bitte immer klar, weil auch das,
wenn man sowas zum ersten Mal hört, verwirrend sein kann,
was genau war die null Hypothese, die wir getestet haben?
Die null Hypothese, die wir getestet haben, war,
dass die Koeffizientensumme des AR-Polynums gleich 1 ist.
In einer Gleich noch die so parametrisiert war,
dass wir eigentlich die Hypothese getestet haben, die Koeffizientensumme minus eins ist gleich null.
Das ist aber die gleiche Hypothese, wie ich ihnen ja gesagt habe.
Diese koeffizienten Summe minus eins hat sich hier herausgestellt
als minus 0,0479. Das ist von null nicht weit entfernt.
Und wie wir jetzt festgestellt haben, ist es nicht signifikant von null verschienen.
Das heißt, wir müssen die Null Hypothese annehmen und damit
müssen wir die Null Hypothese annehmen, dass die Ware,
dass die Waren effizienten in der Summe eins ergeben.
Das heißt, dass wir nach wie vor eine Einheitswurzel haben
Praktisch, das Ergebnis, was wir bereits kennen,
die Daten rufen nach einer Einheitswurzelband-GDP. Rufen nach einem Koeffizienten von 1. So,
wenn man aber die null Hypothese akzeptieren,
dann bedeutet das eben nicht nur,
dass dieser betterkoeffizient gleiche null ist, sprich,
dass die Summe über die Alpha Is gleich 1 ist,
sondern es bedeutet auch, dass das Täter gleich null sein müsste.
Was ehrlich gesagt hier ein bisschen wackelig ist, ja,
denn das Täter wird mit 0,0002 getestet und da haben wir
also 2,7427 wird T-Statistik,
die nach einer Standardverteilung eigentlich völlig in Ordnung ist
Allerdings ist auch diese T-Statistik hier nicht Standard verteilt.
Da gibt es nochmal eine Verteilung für, die,
man jetzt auch auswerten könnte und checken könnte,
ob das hier eigentlich signifikant ist oder nicht signifikant ist.
Das wollt ihr aber nicht machen. Wir machen,
wie das fast jeder inzwischen tut, das so,
dass wir uns nur die T-Statistik hier oben angucken.
Und wenn die T-Statistik hier oben innen signifikant ist,
dann schließen wir, dass die Daten keinen weiteren Trend brauchen,
denn wir kriegen den Trend ja durch die Einheitswurzelhypothese und durch die Konstante,
also durch den Drift sozusagen rein, wir ja uns auch signifikant ist.
Das heißt, dann würden wir schließen,
dass dieser koeffizient hier in Wahrheit null ist
Ja, und um die Sache zu präzisieren,
machen wir das jetzt deshalb nochmal so, dass wir sagen,
okay, jetzt akzeptieren wir mal die Testergebnisse so,
wie wir sie hergeleitet haben.
Das heißt, wir liegen jetzt als Restriktion den Daten auf,
Better ist gleich null, beziehungsweise die koeffizienten Summit der AlphaIs ist gleich eins.
Und Täter ist gleich null. Ja, wir müssen das implizieren,
wir müssen das auferlegen, dass Täter gleich null ist,
denn sonst würden wir einen quadratischen Trend in den Daten bekommen,
wenn wir eine Einheitswurzel haben.
Das hatte ich ihm ja schon mal gezeigt.
Und in diesen Daten ist, wie Sie wissen,
kein quadratischer Trend drin
Wenn wir Better gleich, nur im Täter gleich null auferlegen,
dann tun wir das,
indem wir sagen, dann erlegen wir eben sofort auf,
dass dekoeffizient vor dem verzögerten Temius, für den verzögerten Y-Niveau,
das ist dir gleich minus ein, dass der gleich eins ist.
Das heißt, wir können das verzögerte Y oder das verzögerte GDP
auf die andere Seite rüberbringen und können hier eben eine Differenz bilden.
Damit haben wir auferlegt, erzwungen,
dass der koeffizient vor dem verzögerten Y-Temius 1 Term 1 ist.
Und das regressieren wir jetzt, diese Differenz auf ein Konstantony,
plus Better eins
Plus bitte zwei Delta-GDP-Themen aus zwei, also oft zwei Verzögerte,
Differenzen, so wie das davor auch der Fall gewesen ist.
Ja, und was wir jetzt rauskriegen, ist,
die abhängige Variable ist DGDP, wie Sie sehen.
Hier? Ich glaube, ich habe da übrigens eben was
falsch gesagt, aber das werde ich gleich nochmal korrigieren,
ist DGDP wie zuvor auch. Und jetzt sehen wir,
dass hier die Koeffizienten der beiden Verzögerten Differenzen geschätzt werden.
Und der erste nach wie vor signifikant ist,
mit einer T-Statistik von 3,5. Der zweite ist aber nicht mehr
signifikant, die T-Statistik ist jetzt
nur noch
Ich war ja davor immer bei zwei ungefähr.
Das war diese Tees-Statistik hier. Jetzt ist das nur noch
1,5. Mein Fehler eben übrigens, ich hatte irgendwie gesagt,
das Y-T-Minus 1 wird auf die andere Seite gebracht.
Das ist natürlich Quatsch. Auf der anderen Seite,
also auf der linken Seite stand ja schon die erste Differenz
und vor dem Y-T-Minus 1 hatten wir eben koeffizienten Summe minus 1. Johannes auferlegt,
koeffizienten Summe ist eins.
Das heißt, eins minus eins ist null.
Damit entfällt das die verzögerte Differenz, die wird das erzögerte
Niveau auf der rechten Seite dergleichung.
Es bleiben nur die verzögerten Differenzen dort übrig.
Und dann würden wir eben unter Auferlegung dieser beiden Restriktionen
einfach gleich um 22 schätzen müssen.
Eine Gleichung nur in dem ersten Differenzen
Das wäre die angemessene Spezifikation für den Fall, dass wir eine Einheitswurzel haben.
Ja, und jetzt stellen wir fest, naja,
eigentlich hätten wir diesen zweiten Lank hier überhaupt nicht mehr gebraucht.
Der ist eigentlich nicht signifikant. Und damit wäre er praktisch
bei der Gleichung wieder gewesen, die wir schon mal gehabt haben.
Wir lassen den jetzt aber trotzdem drin. Ja,
wir bearbeiten mal einfach mit diesem Ergebnis weiter und sehen mal,
wie sehr sich das verändert, wenn wir hier noch eine zweite Differenz,
eine zweite verzögerte Differenz mit berücksichtigen mit einem Koeffizienten von 0,1.
Wie stark verändert es unsere Impulsantworten? Ja, das können
wir einfach mal gucken. Das heißt, wir sagen,
okay, 1,54 ist eigentlich nicht mehr signifikant,
aber mindestens mal
Beachten Sie bitte, wir hatten in früheren Schätzungen ja schon geschätzt
DGDP, ist gleich Nü plus Beta,
mal DGDPT minus 1 plus UT.
Und da haben wir, glaube ich, hier 0,27 rausgekriegt.
Gehen wir da noch mal kurz zurück zu diesen Schätzergebnissen,
die wir da produziert hätten.
Was? Halt, Wasser?
Nein, das ist das Niveau
Wo habe ich das geschätzt? Hier hatten wir ja schon DGDP,
Tee ist gleich Ny plus Alpha,
haben wir das da genannt, DGDP Team Julius 1,
plus UT, also nur eine verzögerte Differenz.
Und da haben wir herausgerichtet für das Alphadach gleich 0,2278. Und
jetzt haben wir noch eine zweite verzögerte Differenz reingeschätzt und dann kriegen wir raus statt 0,278,
0,246. Ist also jetzt nicht so meilenweit entfernt von dem,
was er früher gehabt haben.
Stattdessen, also das ist jetzt ein bisschen niedriger und stattdessen haben wir eben noch das GDP-T-2,
DGDP-Themen, da ist 2 drin mit einem Koeffizienten von 0,11.
Nun können wir uns ja angucken, ob das jetzt einen großen Unterschied macht.
Ich kann Ihnen schon sagen, es wird keinen so großen Unterschied machen.
Okay, denn hier ist die Impulsantwortfunktion. Meine Impulsantwortfunktion für die Frage,
wie wird jetzt ein Schock auf die Veränderung des Bruttoinlandsprodukts ist die,
nun zunächst mal ein Shop des Ausmaßes.
Eins hat eine Veränderung des Bruttoinlands, der hat eine Veränderung
der Wachstumsrate von eins zur Folge und dann fällt das halt ziemlich schnell ab.
So wie das bei dem geschätzten AR1 auch der Fall gewesen ist,
nach vier Quartalen, sprich nach einem Jahr, Özenschock schon fast abgeklungen.
Ein kleines bisschen länger braucht er hier vielleicht noch,
bis er wirklich so, praktisch bei 0 ist jedenfalls visuell,
praktisch bei 0 ist, de facto wird er auch hier noch ganz niedrige,
positive Werte annehmen, aber im Wesentlichen ist die Impulsantwort so,
dass innerhalb eines Jahres Wirkung des Schocks abklingt.
Das heißt, ein Schock,
der vor vier Perioden passiert ist, sprich vor vier Quartalen,
also vor einem Jahr, hat heute auf das heutige,
auf die heutige Wachstumsrate des Bruttoinlandsprodukts, also auf das heutige DGDP,
schon fast keinen Einfluss mehr.
Einen ganz kleinen positiven Einfluss noch. Hier ist so eine Größenordnung
vielleicht von 0,03. Aber nichts im Vergleich zum anfänglichen Einfluss von eins
. Ja, das ist also sehr ähnlich wie das,
was wir auch für den A1-Prozess schon gehabt haben.
Blättern Sie ruhig nochmal zurück und vergleichen Sie mit der Impulsantwort,
die wir für die A1-Spezifikation gekriegt haben
Sodass wir nicht wirklich weiter sind in Bezug auf die Impuls antworten.
Und wir waren ja auch nicht wirklich unglücklich mit dieser Impuls-Antwort-Funktion.
Nur haben wir jetzt eben eine Spezifikation, bei der wir sagen können,
ja, und eine Einheitswurzel haben wir halt auch drin.
Denn das haben wir ja getestet. Und deshalb stellt sich die Frage,
können wir denn jetzt auch eine Impulsantwort für das Niveau ermitteln,
für GDP, statt für hier Delta-GDP, also AGDP,
dass er dasselbe sein kann.
Jamudley hat da kein Delta hingemacht und einen D.
Also können wir uns jetzt auch angucken,
was dieses Modell denn für das Niveau des GDPs
als Impulsantwort impliziert
Und das werden wir in der nächsten Vorlesungsstunde machen.
Ich zeige sie Ihnen schon mal ganz kurz,
aber wir müssen davon auch ein bisschen in die Theorie reingehen.
Die Impulsantwortfunktion für das Niveau wird so aussehen. Das heißt,
da ist ein anfänglicher Effekt von eins und dann steigt die Wirkung des Schocks
erst noch und dann kommt das hier irgendwie auf so eine Plateauphase.
Das müssen wir uns aber noch überlegen,
da sehen Sie ja jetzt noch ein bisschen Mathe für erforderlich,
nicht so ganz schlimm,
wie man aus sozusagen dieser Art von Impuls-Antwortfunktion für die erste Differenz die Impuls-Antwortfunktion für das zugehörige Niveau der Zeitreihe herleitet.
Und dann, ich darf jetzt noch ein bisschen fordern,
das ist ja auch noch ein bisschen Ökonomie für heute mitkriegen,
Wollen wir versuchen,
dem eine ökonomische Interpretation zu geben und diese ökonomische Interpretation wird im Wesentlichen eine technologische Interpretation sein.
Wir werden nämlich sagen, die Tatsache, dass hier ein
Schock mit seiner Wirkung auf das GDP überhaupt nicht abklingt,
das ist ja hier der Fall.
Bleibt auf dem konstanten Niveau. Wie werten wir wiederum als Evidenz dafür,
dass das Ideelle Jobs, sprich technologische Jobs sind,
deren Wirkung dauerhaft, ist eine neue Erfindung.
Die kann man ständig nutzen, wenn es einmal erfunden worden ist.
Wenn die Kompass einmal erfunden hat, vor 500 Jahren,
dann kann man den auch heute noch benutzen.
Also seine Wirkung, die Wirkung dieses Schocks fängt nicht ab
Es ist jetzt allerdings so anders als in unserem früheren Modell,
dass wir nicht einmal sozusagen auf ein neues Niveau springen und dann ist die Würfung konstant.
Bei Brandom Walk mit Drift war das ja so,
sondern dass wir jetzt sagen,
wir haben eine Erfindung und die entfaltet sozusagen in den ersten vier,
fünf, sechs, sieben Quartalen ungefähr noch zusätzliche Wirkung.
Das heißt, irgendwie pflanzt sie sich auch in der Ökonomie
noch fort und erhöht ihre anfängliche Wirkung.
Sie verbreitet sich sozusagen in der Ökonomie,
die neue Technologie wird vielleicht im Laufe der Zeit von
immer mehr Branchen adaptiert und genutzt so,
dass der Output-Effekt wächst
Bis ungefähr auf eine Höhe von weiteren 50 Prozent des anfänglichen Effektes.
Und dann erst kommen wir hier zu so einer Plateau-Phase.
Das ist also durchaus kompatibel mit einer Interpretation als Technologieschock,
was wir hier sehen, aber wir müssen uns in der nächsten Stunde
halt erst noch damit befassen, wie man eigentlich dazu kommt.
Wir können sich das auch schon im Vorgriff mal anklingen,
anschauen, wie man dazu kommt,
dass man an solche Impulsantwortfunktionen für die Niveaus herleitet,
wenn die Impulsantwortfunktion für die ersten Differenzen.
So läuft
So viel erst einmal für heute. Ich habe die Zeit
schon wieder ganz aufgebraucht, aber es sind ja auch nicht
so schrecklich viele Teilnehmer hier in der Sitzung da.
Deshalb bin ich gar nicht sicher,
ob wir noch Fragen haben werden und ins Meeting gehen