Herzlich Willkommen. Ich möchte gern weitermachen mit den Schließungssätzen in
projektiven Ebenen. Da hatte ich am Ende des letzten Videos
schon die projektive Version des Großen und des kleinen Desak behandelt.
Das ist im Skript seit der 28 und den Papus
habe ich da noch weggelassen.
Der steht dort eigentlich auch mit dabei. Den habe ich
deshalb hier jetzt nochmal aufgezeichnet. Die projektive Version des Papus
, da können wir nicht unterscheiden zwischen Großen und Kleinem.
Kleiner Papus war ja im Affinen,
wo sich die beiden Träger geraden parallel sind.
Das kommt im Projektiven
nicht vor
Genau, deshalb haben wir zwei beliebige Graden,
die sich dann schneiden in einem Punkt Z und sechs weitere Punkte A1
bis A6 und die Schnittpunkte, so wie sie hier eingezeichnet sind.
Ich schreibe, ich lese das vielleicht nicht alles vor,
aber wir erhalten drei Schnittpunkte, P,
Q und R und der Satz von Papus sagt im Projektiven,
dass die drei Schnittpunkte koordinär sind.
Das wird sozusagen zum affinen Papus, wo ja dann gewisse Graden
parallel sind, wenn man diese rote Grade als Ferngrade nimmt
Und wenn dann P und Kuh auf der Ferngrade drauf sind,
also die ersten beiden geraden Paare parallel sind, dann eben,
wenn der große projektive Pappus gilt, liegt auch der dritte Punkt,
auf der Ferngraden drauf und im Affinen, heißt das,
das ist auch das dritte Gradenpaar parallel ist.
Also so hängen projektiver und affiner Pappus zusammen. Und genau,
das kommt jetzt auch direkt in der nächsten Bemerkung,
nochmal, 4,20 Bemerkungen, Punkt 2,
den Punkt 1 lasse ich vollständig weg,
den behandle ich nicht
Aber die Unteraussage zwei dieser Bemerkung sagt eben genau das, was ich eben gesagt habe.
Wir haben eine projektive Ebene und eine beliebige Grade,
beliebig, dann gilt oder dann gelten folgende drei Sachen,
wenn Pee Desage ist,
also der große projektive Desak erfüllt ist,
dann ist auch A gleich APF Desage,
das kürzt sich das kurz ab
Weil wir dann ja jede gerade dort als Achse der DSA-Konfiguration nehmen können,
ich zeige die gerade noch einmal kurz hier,
die DSA-Konfiguration, wie wir sie letztes Mal gesprochen hatten,
da haben wir hier diese Achse,
die hier L hieß,
wenn ich die jetzt F stattdessen nennen würde und sofern gerade machen würde,
dann würde auch wieder aus zwei Parallelitäten eine dritte Parallelität folgen,
was genau der Affine große Pappus ist.
Und da diese Konfiguration in desagischenaffinen, in Desagtion projektiven Ebenen sich immer schließt,
kann ich also jede beliebige gerade als gerade L oder hier dann F genannt
als ferngrade herausnehmen und erhalte eine desaacische, affine Ebene.
Genauso mit Trapush, wie ich hier oben eben erklärt habe,
ich kann jede gerade sozusagen, es gilt jede Kapp-Pappus-Konfiguration,
schließt sich im Projektiven für jede Grade, die rote,
gerade wenn ich die F nennen würde.
Und deshalb gilt, wenn Pi Papush ist, im Sinne der obigen Figur,
dann ist auch dieses A gleich APF, ist dann ebenfalls Papush. Und wir haben auch noch den kleinen Desag,
heraus Behandelt letztes Mal, das wurde dann auch zur Movefang-Ebene,
also wenn der Kleine projektive Desak stets gilt und da gilt dann entsprechend,
dass das A, da gibt es kein Wort für,
da müssen wir einfach sagen, er fühlt den kleinen AD,
den kleinen affinen Desak, da gibt es keinen Namen für,
für diese Ebenen, beziehungsweise wir lernen später einen Namen kennen,
der aber im Moment jetzt noch keinen Sinn machen würde,
deshalb erwähne ich den jetzt an dieser Stelle noch gar nicht.
Also wenn eine projektive Ebene diese entsprechenden Aktionen großer Desak projektiver
Papus oder kleiner Desark erfüllt, dann entsprechend die affine Ebene,
die entsprechende, affine Variante.
Und das gilt für alle Graden, die ich hier als fern gerade auszeichne.
So, ich möchte noch einen weiteren Satz hier erwähnen im Zusammenhang mit dem Papus.
4,21, der besagt PG2K, ist stets Desarch.
Genau wie AG2K, ist auch PG2K,
stets Desarch, das kann dann rechnerisch Relativ leicht beweisen,
machen wir eventuell in der Übung.
Und PG2K ist Papus. Pap, schreibe ich kurz
. Genau dann, wenn K, kommutativ ist.
Also auch genauso wie im Affinen. Das kann man ebenfalls
rechnerisch nachweisen. Und wird vielleicht auch in der Übung behandelt.
So, jetzt komme ich zu dieser Umkehrung,
die wir kürzlich für den Affinenfall gemacht haben.
Also hier steht jetzt, PG2K ist stets de Sar.
Wir hätten gern, dass jede Desarc projektive Ebene
auch vom Typ PG2
K ist
So wie wir das für affine Ebenen kürzlich gerade gezeigt haben.
Den Satz für affine Ebenen möchte ich als kleine Erinnerung
hier noch mal hinschreiben. Auch deshalb,
weil ich ihn zwar da sehr ausführlich letztendlich bewiesen habe,
aber diesen Satz, der alles dort zusammenfasst,
den habe ich wahrscheinlich gar nicht hingeschrieben, den nennt man Darstellungssatz.
Darstellungssatz für affine Ebenen, schreibe ich mal.
Da führt die sagscheaffine Ebene. Im Skript heißt er Darstellungssatz,
der Satz 4,16, der besagt in Kurzform,
wenn wir eine affine Ebene A haben,
und die ist Desage
Dann folgt es, existiert ein Körper K,
komutativ oder auch nicht, sodass A Isomorph ist zu AG2K.
Das haben wir ausführlich in der letzten Woche bewiesen.
Und jetzt kommt die projektive Variante. 4,
22 ist das, da arbeiten wir unter anderem mit diesem
affinen Satz und mit diversen anderen Sätzen.
Also man muss nicht nochmal diesen ganzen Koordinatisierungsaufwand neu betreiben,
sondern wir arbeiten mit dem,
was wir schon wissen.
Das ist der Darstellungssatz
Für projektive Ebenen. Der sagt,
wenn ich eine projektive Ebene Pi habe, die Desagsch ist,
dann folgt es, existiert ein Körper K, sodass Pi Isomorph ist,
zu Pi G2 K. Also genau dasselbe wie oben, nur jetzt im Projektiven.
Und dafür ich den Beweis mal vor. Dazu wählen wir
uns irgendeine gerade F. Also eine gerade der projektiven Ebene.
Und dann habe ich eben gerade erklärt, 42024-2,
die Bemerkung, die wir eben hatten,
dass dann die affine Ebene, ah, gleich APF ist dann Desacsch,
wenn wir das hier voraussetzen, das Pi, dieser Abschluss,
das schreibe ich jetzt hier nicht nochmal hin,
das setze ich aber voraus.
Dann ist nach der Bemerkung von eben auch die affine Ebene APF Desacsch,
dann können wir auf diese Ebene den Darstellungssatz von oben anwenden,
4-16,
dann existiert ein Körper K,
sodass A,
diese Morph ist zu
So, und jetzt sind wir schon fast fertig.
Jetzt müssen wir eine Sache benutzen, die erst im nächsten Kapitel drankommt,
die aber trotzdem hier, glaube ich,
plausibel erscheint und wo ich auch gleich noch dazu sage,
wo das im nächsten Kapitel steht.
Wir haben zwei Isomorphe-affine Ebenen, dann gilt,
dass auch die projektiven Abschlüsse Isomorph sind.
Also das haben wir jetzt für diesen Körper K.,
wenn wir das hier haben,
dann folgt das der projektive Abschluss von A. Isomorph
ist zum projektiven Abschluss von
Das ist ein allgemeingültiger Satz, der kommt im nächsten Kapitel 5,
2, 3, sozusagen rechnerisches Vorgehen.
Wir haben einen Isomafismus zwischen zwei affinen Ebenen und der Satz besagt,
den kann man immer fortsetzen zu einem Isomorphismus zwischen den projektiven Abschüssen.
So, jetzt wissen wir aber noch weiter,
deshalb habe ich hier extra Platz gelassen. Pi von A
, A ist ja aus Pi entstanden durch Herausnahme von F.
Wenn ich den wieder projektiv abschließe,
ist das Isomorph zu Pi, zu der projektiven Ebene,
mit der
ich gestartet bin
Das war die Aussage 3, 6. 3,
die hatten wir relativ am Anfang des Kapitels über projektive Ebenen mal.
Und das hatten wir auch schon. Im Zusammenhang mit der kanonischen Einbettung. 3,
15, 3 war das,
dass der projektive Abschluss von AG 2K stets Isomorph ist
zu PG 2K. Und wenn Sie jetzt hier hingucken,
haben wir also insgesamt hier diese Isomorphiekette, das Pi,
Isomorph ist zu PG 2K. Für diesen Körper K,
der auch schon A, koordinatisiert hat.
Also der Körper ist bei beiden Ebenen tatsächlich
auch noch der gleiche
So, aber auf jeden Fall haben wir unser Ziel erreicht.
Diesen Satz bewiesen, dass jede Desagsche, projektive Ebene vom
Typ bis auf Isomorphie, vom Typ PG2K ist.
Es geht noch weiter. Kannst kurz gucken,
wo ich hier noch Platz finde auf meinen Zetteln.
Mache ich kurz, muss ich kurz noch ein Blatt Papier
in der Bier hervorholen.
Es geht weiter mit Satz 4,
Wo ich jetzt sozusagen noch einen Darstellungssatz für,
den papusischen Fall behandeln möchte, da,
möchte ich natürlich gerne, dass jede Papussche,
projektive Ebene vom Typ PG2K mit kommutativem K ist,
um das aber hinzukriegen, brauche ich noch eine Sache.
SIP, eine Papussche, projektive Ebene,
dann kann ich zeigen, und das mache ich gleich,
das ist, sage ich, die nenne ich Sternchen,
diese Schlussfolgerung hier, dann ist P auch Desage
Das zeige ich gleich, das wissen wir.
Im Affinen wissen wir das, dass aus Papus Desak folgt,
das war der Satz von Hessenberg, der gilt auch im Projektiven.
Und dann folgt auch noch, dass dann,
ich schreibe hier und, und Pi ist Isomorph zu PG,
2K für einen Kommutativen Körper K.
Wer weiß. Es reicht, Sternchen zu zeigen.
Sternchen zu zeigen. Warum reicht das
Wenn ich Sternchen habe, dann ist Pi de Sarge,
dann gilt nach dem Satz von eben,
dass Pi isomorph zu PG2K für einen beliebigen Körper K ist.
Das haben wir gerade gezeigt. Und dann hatten wir vorhin schon
den Satz 4,21. Dass Danka auch kommutativ ist. Das heißt,
mit dem Satz von eben Satz 4,22 und dem
davor erwähnten Satz 4,21 folgt aus Desage und Papus gemeinsam schon
diese Sache
Skript wird das ein bisschen anders begründet,
aber auf jeden Fall reicht es, Sternchen zu zeigen.
Aus Parpus folgt dieser Arc. Und da hatten wir im Affin,
wie gesagt, den Satz von Hessenberg, sozusagen einen geometrischen Beweis.
Jetzt machen wir wieder einen Beweis,
der vom Projektiven ins Affine geht und das benutzt,
was wir fürs Affine schon wissen.
Also sei Pipapus, Pipapus, sei Pipapus.
Und sei eine projektive Desak-Konfiguration gegeben
Von der wir zeigen müssen, dass sie sich schließt.
Und die positive Desert-Konfiguration, die habe ich hier nochmal,
die wollte ich nicht nochmal neu aufzeichnen.
Und wir haben also alles, so wie hier in
der Skizze, mit der Grade L, der Achse.
Und das einzige, was noch zu zeigen ist,
ist das P3 auf L liegt. Also zu zeigen,
P3, Element L. Und jetzt machen wir folgenden Trick.
Wir gehen nach A in die affine Ebene A,
gleich A, PL.
Das ist eine affine Ebene
Und die ist selber Pappusschi. Wegen Pi,
Pappussch ist auch A. Pappusschi, das hatten wir vorhin,
wenn die projektive Ebene, das projektive Aktion von Pappus erfüllt,
dann die affine Ebene, das affine Aktion von Pappus,
dann ist nach dem Satz von Hessenberg, 4,
5, A, auch Desage.
Und weil wir jetzt als Ferngrade, die gerade L genommen haben,
wird, werden unsere Voraussetzungen des Projektiven oder unseres Projektiven
Desark werden zu P1 und P2 liegen auf L.
Das heißt, in der affinen Ebene A, gleich RPL,
sind die geraden A2, A3 und B2 B3 parallel.
Schnittpunkt ist ein Fernpunkt. Ebenso A1 A3 und B1 B3 sind parallel.
Wir wissen jetzt, dass der affine Desark gilt.
Das heißt, auch die verbleibenden beiden Dreiecksseiten B1,
B2 und A1 A2 sind parallel.
Der Schnittpunkt liegt also auf der Ferngrade L und
der Schnittpunkt ist aber hier
der Punkt
Und das heißt also, das affine Axium von Desak hier anwenden liefert, P3, Element L.
Und das ist genau das, was wir zeigen wollten.
Und damit haben wir diesen Satz bewiesen. Und wir wissen
jetzt also nicht nur für Desage, projektive Ebenen,
dass die immer vom Typegi 2K sind,
sondern außerdem für Pappusche, projektive Ebenen,
dass die immer Desage sind und auch vom Typegi 2 Kader natürlich,
aber mit Kommutativen,
Körper K.
Und damit beende ich erstmal hier
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