So, da bin ich noch mal. Ich möchte jetzt,
nachdem wir im letzten Video in einer desaction-affinen Ebene auf der geraden K,
eine Addition und eine Multiplikation eingeführt haben,
sodass K ein Körper ist, möchte ich jetzt Koordinaten einführen.
Für jeden Punkt der affinen Ebene,
der desaction-affinen Ebene A. Wir sind im Skript auf Seite 27
und ich habe hier schon was hingeschrieben und was aufgemalt.
Drei Abbildungen, die wir gleich brauchen werden.
Wir starten erstmal mit einem beliebigen Punkt
Der affinen Ebene, dann bilde ich P1 von X,
indem ich die Parallele durch X-Zucker strich, ziehe und hier den Schnittpunkt bilde.
Das ist P1 von X. Also X wird in Richtung K-Strich auf K
projiziert, könnte man sagen. Entsprechend mit vertauschten Rollen P2,
die Parallele zu X durch X zu K und der Schnittpunkt mit K-Strich,
das ist P2 von X. Und dann habe ich noch eine Bijektion zwischen K-Strich und K,
die nenne ich P3, Y wird zugeordnet,
ich bilde zunächst die Parallele durch Y zur Graden 1
-1-Strich und den Schnittpunkt mit K nenne ich P3 von Y. Und damit kann ich jetzt jeden Punkt, jeden Punkt X, seine Koordinaten zuweisen.
Also X soll sozusagen, ich möchte eine Zuordnung machen,
wie heißt die, eine Viaktion von der Punktmenge A,
der Affinen Ebene, in die Punktmenge K hoch 2 der Ebene AG 2K
Und zwar möchte ich einen Punkt X abbilden auf ein Tupel,
erste und zweite Koordinate X1X2, könnte man sagen.
Die erste Koordinate ist P1 von X. Nur wenn das Koordinatenkreuz jetzt hier orthogonal wäre,
dann wäre das die ganz gewöhnliche X1-Koordinate, wenn das hier die X1-Achse ist.
Die zweite Koordinate soll jetzt auch ein Körperelement sein. Ich kann also nicht einfach P2 von X nehmen,
aber das ist ja gar kein Element von K,
sondern ein Element von K Strich,
um also diese zweite Koordinate zu konstruieren,
wende ich auf diesen Punkt P2 von X,
wenn dich nochmal unser P3 an,
so wie es hier auf Y angewendet habe
Und lande hier. Und das ist jetzt P3 von P2 von X.
Und das ist so die zweite Koordinate hier. Ich schreibe es
anders. P3, Kringel, P2 von X. So,
da habe ich also meinen Punkt X,
der erstmal ein beliebiger Punkt in dieser beliebigen, desagischen,
affinen Ebene ist, eine erste und eine zweite Koordinate,
also ein Element des Vektorraums K-Hoch 2 zugeordnet.
Vokar, unser Hier auf dieser Graden konstruierter Körper ist.
Und dieses ist auf jeden Fall eine Bijektion, Vieh ist Bijektion,
wie ist Bijektiv, schreibe ich kurz. Das müsste klar sein,
denn ich kann auch wieder eine Umkehrabbildung konstruieren, gegeben irgendwelche zwei Elemente,
also ein Vector X1 X2 aus K hoch 2,
dann kann ich durch den umgekehrten Prozess hier bei einem Punkt in A landen.
So, und ich behaupte, viel ist nicht nur bjektiv,
sondern Vieh ist sogar ein Isomorphismus.
Das ist jetzt Satz
Damit habe ich dann das Ziel,
was ich im letzten Video am Anfang formuliert hatte, erreicht.
Vieh ist ein ISO von A nach AG2K. Also unsere desacische,
affine Ebene A ist ISO morph zu AG2K für
den Körper K, den wir hier konstruiert hatten.
Und es bleibt nur noch zu zeigen,
dass dieses Vieh geraden auf Graden abbildet.
Und wie auch schon letztes Mal möchte ich auch jetzt hier
keinen Beweis im Detail durchführen,
aber vielleicht doch so ein bisschen anfangen mit der Idee
Wer weiß, zu zeigen, Fief von G ist gerade von AG2K.
Und das gehen für alle die. Für alle die,
aus G. Wenn G die geraden Menge von unserer affinen Ebene A ist. So,
und da werden jetzt drei Fälle betrachtet und die geraden von AG2K werden noch speziell beschrieben,
die beschreiben wir in diesem Beweis,
so wie wir sie mal in der Übung,
auf Übungsplatz 2 beschrieben hatten, Geraden beschrieben,
als zäh in Spitzenklammern, beziehungsweise im B in Spitzenklammern.
Vergleiche Übung. Das wird also im Skript nur am Rande erwähnt,
aber ausgeführt wurde, dass in der Übung,
da hatten wir gesehen, K hoch 2 mit diesen beiden Grabentypen,
ist Isomorph zu AG 2K.
Also ich kann das hier einfach so beschreiben.
Und jetzt gucken wir uns mal die drei Fälle an und
die ersten beiden Fälle sind nämlich so einfach,
dass wir sich anhand dieser Skizze Und mit diesen Datenbeschreibungen sehr schnell verstehen können.
Wie fangen wir mit dem ersten Fall an,
der passt hier noch auf mein Blatt. Erster Fall,
also ich nehme eine beliebige Grade, meine affinen Ebene A.
Und der erste Fall sei, dass die gerade parallel ist, Zuckerstrich.
Und genau, das gucken wir mal kurz an.
Die zeichne ich hier rein. Eine Grade,
die parallel ist Zuckerstrich. Hier, das sei unsere Grade
Und jetzt bilde ich jeden Punkt von G,
bilde ich gemäß dieser Vorschrift ab. Und sie stellen fest,
ganz egal, welchen Punkt ich hier nehme,
wenn ich hier X drauf laufen lasse, aufgehe,
ich werde immer als erste Koordinate dieses Körperelement bekommen.
Also man könnte sagen, X ist Element G,
genau dann, wenn P1 von X gleich C ist,
wenn ich dieses Element jetzt hier mal als C definiere.
Das ist genau so ist die gerade G beschrieben
Und das heißt, mit unserer Beschreibung hier,
dann folgt wegen diesem, was ich hierhin geschrieben habe,
Sternchen,
haben wir dann Vieh von G,
ist dann die Menge aller Zieh und hier unten steht irgendwas,
habe ich XC,
meine Zieh und hier
unten steht irgendein beliebiges Element aus
Könnte man so schreiben, oder auch sie X2,
nenne ich es mal, X2 aus K. Weil alle möglichen Elemente von Karstrich,
hier zunächst mal vorkommen, wenn ich P2 von X bilde,
und wenn ich dann P3 anwende,
das ist dann Bieaktiv von Karstrich nach K,
kriege ich also insgesamt hier ein Element raus,
jedes Element raus,
was in K liegt
Das nenne ich X2. Und das ist genau die gerade C in Spitzenklammern.
Die war damals so definiert. In der affinen Ebene in
dieser, in der Übung behandelten Variante der affinen Ebene.
Isomorphen-Modell der affinen Ebene AG2K. So, das ist der erste Fall.
Der zweite Fall, den möchte ich auch noch kurz behandeln.
Der geht im Prinzip genauso. Dann nehmen wir nämlich die
gerade oder eine gerade, die parallel ist zu K,
die parallel zu K. Ich möchte das jetzt nicht nochmal
da oben reinzeichnen,
sondern mache hier
eine neue Skizze
011-Strich-K-Strich-K. Und jetzt nehmen wir eine Grade G. Hier,
die parallel ist zu K. Und was stellen wir jetzt fest,
wenn wir unser Vieh anwenden auf die Punkte von G.
Dann stellen wir fest, wenn ich hier ein X habe,
wird P2 von X für alle X hier auf der Graden G gleich sein.
Diesen Element nenne ich B, B-Strich vielleicht lieber.
Und wenn ich das, wenn ich dann Ich schreibe es
hier gleich nochmal hin, Entschuldigung.
Vieh von X war definiert als die 1 von X.
Das ist hier Mund P3 von P2 von X.
Hier ist P1 von X. Hier ist P2 von X,
das ist jetzt immer B-Strich für alle X.
Und dann muss ich ja hier noch rüber transportieren.
Das ist P3 von B-Strich und den nenne ich B. Genau
Und dann haben wir X, liegt auf der geraden G,
genau dann, wenn P3 von P2 von X gleich B ist.
Das sind genau die Elemente von G,
die mit der zweiten Koordinate hier bei dem B landen.
Und jetzt behaupte ich,
dass dann Vieh von G ist dann die gerade MB mit
diesem konkreten W und M gleich Null,
also die
gerade Null
0b, das waren alle X-1, X-2,
nenne ich es jetzt vielleicht mal, aus Chaos. Entschuldigung,
Sie könnten gar nichts mehr sehen,
aus K hoch 2 mit X-2 ist gleich M mal X-1 plus B,
also 0 mal X-1 plus B,
also X-2 gleich B und X-2 ist ja sozusagen hier die zweite Koordinate und da haben wir oben gesehen,
die ist gleich B.
Also ist das die zweite Koordinate des Vieh von
Und deshalb stimmt das so. Und jetzt haben wir noch den dritten Fall,
der führt jetzt zu weit,
ihn hier im Detail auszuführen oder ich führe ihn gar nicht aus,
wenn ich jetzt eben eine Grade habe, gehe,
die weder parallel zuckerstrich ist und auch nicht parallel zu K,
dann muss man halt mit ein bisschen Om überlegen,
also es ist jetzt dann wesentlich schwieriger,
zeigen das dann Vieh von G vom Typ MB ist,
MB in Spitzenklarmann,
mit einem Ungleichnull.
Also hier war eben gleich Null und ja,
jetzt die geraden mit M. Ungleich 0, die kriegen wir hier im dritten Fall.
Und diese Graben hatten ja die geraden Gleichung,
dann X2 ist gleich M, X1 plus B. Das heißt,
hier geht jetzt sozusagen sowohl die Multiplikation als auch die Addition von dem konstruierten Körper K ein.
Und da muss man sozusagen wieder aufrufen,
wie waren die eigentlich hier definiert,
geometrisch in diesem Bild und dann noch eine Sache benutzen,
die letztens nur ganz kurz erwähnt wurde,
dass die Definition jeweils unabhängig von der Wahl von dem Punkt 1 Strich sind.
Und da muss man mit einem ganz speziellen Einstrich arbeiten,
um rauszukriegen, Bildpunkte auf einer solchen aller Punkte,
auf einer solchen Graben, haben genau die Eigenschaft,
dass die Koordinaten diese Gleichung erfüllen.
Also das ist ein wesentlich schwierigeres Unterfangen, auch noch diesen
Fall abzuarbeiten, aber es gelingt. Ich behaupte einfach,
das Gelingende, es steht auch im Skript drin,
aber ich finde es nicht wichtig genug, das hier vorzuführen.
Auf jeden Fall haben wir damit dann den Satz bewiesen,
den zeige ich hier nochmal, fiest ein Isomorfismus von A nach A, G2K.
Also wir haben gezeigt, hier steht nirgends drauf,
aber das wissen sie ja noch vom letzten Mal,
aber eine desagische affine Ebene,
also der Satz von Desag ging immer wieder ein,
Bei den Eigenschaften von Plus und Mal,
also dass wir überhaupt einen Körper rauskriegen. Und eine desaksche,
affine Ebene ist jetzt also nach diesem Satz automatisch stets Isomorph
zu einer affinen Ebene vom Typ AG2K. Also kurz gesagt,
die affinen Ebenen AG2K sind genau die Desaction-affinen Ebenen.
Und damit haben wir jetzt dieses Thema Desaction-affine Ebenen und
ihre Koordinatisierung zunächst mal abgeschlossen.