Also, das Modell hier ist ein besseres Modell für trennende Daten,
als der einfache AR1-Prozess, bei dem das Tedda hier auf null gesetzt wäre.
Jetzt lassen wir Tedda ungleich null zu und erhalten aufrecht unsere Hypothese
des Alpha betragsmäßig kleiner ist als eins. Wir haben gesehen,
dass es ein sogenanntes Modell der Trendstationalität und wenn wir das jetzt den Daten anpassen,
also den Niveau-Daten, nicht den Wachstumsraten,
dann schätzen wir hier in der Tat einen gewissen Trend,
positiv, sehr klein, aber das ist eine Frage der Enormierung,
der Skalierung, der Variablen, mit immerhin einer Tierstatistik von 1,8. Also nicht ganz wenig.
Und das Alpha allerdings ist nur geringfügig niedriger,
als wir das zuvor geschätzt hatten, mit 0,97 de facto,
immer noch sehr nah an eins dran.
Wenn wir uns das mit den Standardfehlern angeguckt haben,
dann haben wir gesehen,
dass weder in der ersten Schätzung noch in der zweiten Schätzung
der wird Alpha gleich eins mehr als zwei Standardfehler vom Schätzwert entfernt war.
Oder besser sollte ich sagen, der Schätzwert war
nicht mehr als zwei Standardfehler von dem Wirtalfergleich 1 entfernt.
Und insofern gibt es also Zweifel daran,
ob das geschätzte Alpha überhaupt von 1 verschieden ist.
Deshalb haben wir uns überlegt, dass wir möglicherweise in
diesem Fall Alphagleich eins mal genauer betrachten sollten.
Und das haben wir hier getan, indem wir das einfache AR-Modell jetzt nochmal spezialisiert haben.
Nämlich, wir haben es geschrieben als ein Modell ohne Konstakte,
sprich die Konzerte zu null. Und mit einem Alpha-Wert,
den wir bereits fixiert haben, auf Alphagleich 1,
sodass einfach nur noch YT gleich gibt es so ein Team,
wie das 1 plus UT spezifiziert wird,
das nennt man
ein random Walk-Modell
Und das haben wir dann ein bisschen verallgemeinert,
indem wir auch eine von null verschiedenen Konstrukte Mühe zugelassen haben.
Gibt es so ein DSNyplusum zum Thema, das 1A plus UT.
Und dieses Modell nennen wir Random Walk mit Drift.
Und ich hatte ihm gezeigt, dass Mühe dieser Drift-Tern de
facto einen linearen Trend begründet in einer solchen Darstellung hier.
Dieses Modell ist möglicherweise, oder dieses Modell,
vielleicht mehr im Modell 10 als Modell 9,
Modell 10 ist möglicherweise ein sinnvolles Modell für die Niveaus,
den Zeitreihen.
Also für das Bruttoinlandsprodukt
Denn wir haben gesehen, Schätzungen,
die wir durchgeführt haben, haben uns zumindest suggeriert,
dass die Daten vielleicht einen Koeffizienten von Alpha gleich 1 haben,
unterstützen würden. Insofern ist das also ein Modell,
was relevanter zu sein scheint, empirisch relevant zu sein scheint.
Und wir hatten dafür uns dann auch schon eine ökonomische Hypothese überlegt,
warum möglicherweise hier ein Koeffizient von 1 stehen kann.
Denn zunächst einmal scheint ein Koeffizient von Alpha gleich 1 interpretatorische Schwierigkeiten aufzuweisen,
weil dieser Koeffizient von 1 implizieren würde,
dass die Effekte eines Schocks über die Zeit hinweg
nicht abnehmen
Das heißt, ein langer zurückliegender Schock hat heute noch genau dieselbe Wirkung, wie zu dem Zeitpunkt, wo ihr aufgetreten ist. Und das scheint unplausibel zu sein,
wenn man als Schockursache Dinge nimmt, wie,
sagen wir mal, eltpolitische Schocksveränderungen, in Zinssätzen,
Veränderungen in den Staatsausgaben spricht die Dinge,
die sie im Grundstudium kennengelernt haben, als entweder Mittel zur Konjunkturstabilisierung,
also zu einer typischen Konjunkturpolitik, oder man könnte im Umkehrschluss auch sagen,
vielleicht sind sie sogar Auslöser für Konjunktur,
aber in jedem Fall hatte ich argumentierte Staatsausgaben,
die lange zurückliegen,
sollten heute eigentlich keinen großen Effekt mehr auf die wirtschaftliche Aktie haben.
Dasselbe gilt für Zinssätze oder Geldmengen aus Dehnungen, die lange zurückliegen.
Das heißt, deren Effekte müssten eigentlich abnehmen.
Aber tatsächlich ist es eben so, ja,
jetzt bin ich ja schon weit, egal. Tatsächlich ist es so,
dass die Wirkung eines Schocks, ein Alphagleich 1 ist,
gar nicht abnimmt, sondern die war hart konstant auf 1,
sprich in dieser Grafik hier müssten sich einfach vorstellen,
dass die Impulsantwortfunktion hier gerade immer auf der Größenordnung von Alpha gleich eins verläuft,
egal wie viele Quartale hier unten abgetragen werden.
Hier habe ich ja bis 10 zu 32 Quartalen,
also bis hin zu acht Jahren abgetragen.
Aber selbst wenn ich bis zu 100 Jahren gehen würde,
müsste man Alpha gleich eins die Impulsantwortfunktion hier oben verharren.
Und das hat bei Schocks, die irgendwelche,
sagen wir mal, physischen Eigenschaften haben, wenig Sinn.
Das gibt keine gute Interpretation ab. Deshalb hatten wir
uns überlegt, dass es möglicherweise Schocks geben könnte,
die nicht physisch sind,
sondern ideell sind
Und mit ideellen Schocks meine ich im weitesten Sinne technologische Shops,
also neue Erfindung und neue Ideen, neue Vorstellungen,
wie man in Märkten operieren kann, wie man merkte,
organisieren kann, wie man Verwaltungen organisieren kann, wie man Governance betreiben kann.
Alle diese Sachen sind letzten Endes Ideen, die nicht verschleißen,
die heute genauso gut eingesetzt werden können und genauso gut Wirkung entfalten können,
wie sie das vielleicht vor 50 Jahren noch bereits getan haben,
als man, was weiß ich,
Marktordnungen in Deutschland oder in Europa gestaltet hat.
Das heißt, Unsere Erkenntnisstand ist der,
dass es in den Daten möglicherweise erhebliche Evidenz dafür gibt,
dass derartige ideelle Schocks, und ich werde oft vereinfachen sagen,
technologische Schocks, ein Rollerhof spielen.
Behaupte damit nicht notwendigerweise, dass alles,
was in den Daten drin ist, nur solche ideellen Schocks sind,
nur solche technologischen Schocks sind, aber vielleicht spielt sie eine erhebliche Rolle.
Und wenn dem so wäre,
dann müsste ihnen Rechnung getragen werden in Form eines Modells,
dass es erlaubt,
dass ein bestimmter Anteil der Schocks nicht abklingt,
sondern eine Impulsantwortfunktion hätte,
die konstant bei 1
liegt an Jobprogrammen
Eintritt. Das heißt, in gewisser Hinsicht scheinen die bisherigen empirischen Ergebnisse, die wir haben,
und das sind ja nur kleine, einfache Ergebnisse bislang,
uns nahezulegen, uns dieses Random-Walk-Modell hier etwas genauer anzugucken.
Genau genommen, das Random-Walk-Modell mittrifft, was ich hier beschrieben habe.
Also dieses Alpha gleich eins zuzulassen. Das hat allerdings einen Nachteil,
nämlich der Nachteil ist der, dass wenn ich von den Niveaus der Variabien,
also von GDP, auf die Wachstumsrate übergehe,
dann würde ich ja die Differenz von diesem YT betrachten in der Zeit.
Die erste Differenz YT minus YT minus 1. Nun sehen Sie sofort an dieser Gleichung hier,
wenn ich auf beiden Seiten der gleichen YT minus 1 abziehe,
dann steht auf der linken Seite im SydonT minus YT minus 1,
also die Differenz, sprich die Aktionsseite.
Und die Wachstumsgerate wäre dann einfach nü plus weiß zu rauschen.
Konstante plus meist zu raschen. Das heißt,
das Random-Walk-Modell, was in gewisser Hinsicht ein Modell ist,
was den Daten gerecht zu werden scheint,
weil die Daten eben ein alphanah bei 1 oder vielleicht sogar gleich eins verlangen,
dieses Random-Walk-Modell ist insofern kein gutes Modell,
als es uns implizieren würde,
dass die Wachstumsreite des Bruttoinlandsprodukts
keine Autokorrelation hat
Denn es wäre ja die Wachstumsrate, gleich eine Konstante plus
weißes Rauschen und weißes Rauschen, hat keine Autokorrelation.
Also würde das Random-Walk-Modell implizieren, dass der Wachstumsrate keine Autokorrelation werden durfte.
Und das haben wir aber bereits falsifiziert. Wir finden Autokorrelationen in der Wachstumsrate,
denn wenn wir die Wachstumsrate des Bruttoinlandsprodukts einem AR1-Prozess anpassen,
also ein Alpha dafür schätzen, dann kommt dort eben nicht heraus,
dass das so ein Wert von Null hat,
wie das hier der Fall sein müsste,
wenn keine Autokorrelation vorliegt,
sondern es kommt heraus,
dass ein Wert von Alphagleichen 0,28 Alphadach
gleich 0,28 geschätzt wird
Das heißt, wir sind jetzt in einer Situation,
wo wir zwei unterschiedliche Modelle haben und beide passen nicht so richtig gut.
Das eine Modell ist das Modell, was,
ich hoffe jetzt vielleicht mal,
mit dem Random Walk an,
was uns eine ganz gute Modellierung der Niveaus erlauben könnte,
weil wir eben ein Alpha gleich 1 unter den zulässigen Parameterwerten haben und die Daten vielleicht danach verlangen.
Aber dieses Modell impliziert, dass die Wachstumsrate des Bruttoinlandsprodukts
nicht autokoaliert ist
Wir einen Random Walk mit Drift unterstellen würden,
dann würden wir unterstellen, dass die Wachstumsrate des Bruttoinlandsprodukts keine Autokorrelation hat.
Das heißt, es gibt keine Konjunkturen in dem Sinne,
wie wir bislang darüber gesprochen haben.
Das andere Modell ist das Modell, wo einfach kleiner als eins ist.
Das ist ein sehr gutes Modell oder jedenfalls ganz gut brauchbares
Modell für die Wachstumsrate des Bruttoinlandsprodukts,
die schätzt uns dort alphableich 0,28. Also einen von null verschiedenen Wert für Alpha und damit eine positive Autokorrelation der Wachstumsrate.
Das heißt, die zeigt uns, ja,
es gibt Konjunktur und wir wissen aus unserer empirischen Analyse der Wachstumsrate,
die Wachstumsrate des US-Bruttoinlandsprodukts ist autokorrelierend
Anderen Staaten, auch in Deutschland, ist das übrigens auch so.
Also es liegt Autokorrelationen in Wachstumsraten vor und dafür scheint dieses Modell mit
Alpha Kleiner 1 in die Wachstumsraten eine brauchbare Anpassung zu liefern.
Aber dieses Modell war nicht tauglich für die Niveaus, die wir gesehen haben.
Denn das würde implizieren, dass die Daten nicht traufen dürfen.
Es seien, wir tun noch irgendwie einen Trend.
Mit hinzu, wie im Falle der Trendstationarik. So,
und damit wollen wir jetzt weiter arbeiten mit diesem Erkenntnisstand,
dass wir also sozusagen rivalisierende Modelle haben und wollen versuchen,
ein Modell zu finden,
was sozusagen insgesamt für die Daten gut geeignet ist und dann entsprechende ökonomische Schlussfolgerungen auch über die Natur-Echox-Atmos ziehen.
Beachten Sie das im Random-Rock-Modell, also hier Random-Rock trifft, gelten würde,
dass wir von den Schocks eigentlich nur dann wirklich klar erkennbare Effekte sehen würden,
wenn diese Schocks in den Niveaus auftreten.
Das heißt, wenn wir hier die Niveaudarstellung uns anschauen,
der Darstellung in ersten Differenzen würden die Schocks natürlich heraus differenziert werden.
Oder die früheren Jobs, die Wirkung der früheren Jobs würde herausdifferenziert werden.
Denn wenn YT minus eins von einem Schock beeinflusst worden ist,
dann wissen wir, wird dieser Schock in genau derselben Art und Weise auf das YT.
Das heißt, wenn die Differenz zwischen YT und YT minus eins bildet,
dann wird dieser Schock gerade raus differenziert aus den Daten.
Und ist in der Wachstumsrate nicht mehr zu sehen. Das heißt,
die technologischen Schocks, die im weitesten Sinn mit technologischen oder ideellen Schocks,
die nimmt man in einer Analyse,
die sich nur auf die Wachstumsrate des Bruttoinlands des Produkts bezieht, gerade nicht mehr war.
Weshalb wir uns offenbar auch nicht darauf konzentrieren könnten oder dadurch retten könnten,
dass wir sagen, wir gucken uns nur die Wachstumsrate an.
Es ist wichtige Informationen in den Niveaus der Zeitreihe drin,
die vergloren gibt, wenn wir uns nur die Wachstumsrate anschauen.
Also wir müssen ein Modell finden, was sowohl für die
Wachstumsrate als auch für das Niveau der Variablen gut ist.
So, und das hatten wir eben gemacht und haben dann hier
auch ein bisschen was geschätzt und da habe ich ihm gezeigt,
Johannes, ich war das,
dieser Drift sich umsetzt in ein Trend
Perlen in einen Trenddarstellung, bei der sich dann das YT schreibt,
als nüh mal der lineare Trend Tee, plus eine Konstante,
oder wende dich der Anfangswert, plus die Kumulation des weißen Rauschindens.
Also das hier ist kumuliertes Weiß zu rauschen,
den UTs Weiß zu rauschen,
das wird hier einfach aufordiert,
aber aufordiert eben mit einem Koeffizienten von eins,
sodass auch lange zurückliegendes Weißes Rauschen genau denselben Effekt auf das YT hat,
wie erst kürzlich aufgetreten ist,
Weißes Rauschen,
also die Effekte der Schocks sterben nicht aus
So, und soweit waren wir kommen. Jetzt will ich,
oder ich bis zu dieser Folie, waren wir eigentlich kommen,
wo wir gesagt hatten, dass möglicherweise Technologie-Shocks oder nicht abklingende,
dauerhafte ökonomische, ideelle Shops in unseren Daten drin sind.
Jetzt gucken wir uns das Modell noch einmal etwas genauer an,
dieses Random Walk mit Tift-Modell. So ähnlich wie wir
das bei dem Modell der Trendstationalität auch schon gemacht haben.
Wir gucken uns nämlich jetzt mal die Varianz an.
Was wäre denn die Varianz von YT
Wenn YT erzeugt wird durch einen Random Walk mittrifft,
also durch Gleichung 10, die ich eben mehrfach projiziert habe.
Nun, die Varianz ist ja der Erwartungswert der
quadrierten Differenz zwischen YT und dem Erwartungswert von YT.
Jetzt können wir uns überlegen, was ist der Erwartungswert von YT?
Nun, das haben wir in der letzten Stunde ausgerechnet,
der Erwartungswert von YT ist, themanü minus Y0. Das heißt,
der Erwartungswert ist nicht zeitkonstant, sondern der weist einen Trendkomponent aus.
Auf. Also müsste man den Erwartungswert von YT minus Thema nü minus Y0 Quadriert bilden.
Also diese größere Quadrieren und dann davon den Erwartungswert bilden. Ja,
in dergleichen, die ich eben dir nochmal gezeigt hatte,
Y und T, ist gleich Thema 0 plus Y 0,
plus kumuliertes weißes Rauschen. Sehen Sie es schon,
wenn ich Team Malnü und Y 0 auf die andere Seite,
also auf die linke Seite bringe,
indem ich das auf beiden Seiten dergleichung abziehe.
Dann bleibt hier gerade das kumulierte weiße Rauschen übrig.
Das heißt, diese Erwartungswert hier von dieser quarrierten Größe
ist der Erwartungswert von dem Quadrierten kumulierten weißen Rauschen
Und was ist das für ein Erwartungswert? Nun,
das ist gerade Thema, Sigma-Quadrate U. Denn weißes Rauschen hat ja
die Eigenschaft, dass es unkorreliert ist. Das heißt,
wenn ich diese Summe hier einmal quartiere und dann den Erwartungswert da drüber ziehe,
dann bleiben nur die Erwartungswerte dequadrierten U-T-Tau-Term dort stehen.
Also sozusagen der Erwartungswert der Summe von u-t-tau-tau-Quadrat.
Und jedes einzelne U-T-Quadrat hat einen Erwartungswert von Sigma-Quadrat U.
Davon gibt es dann Tee
Denn wir fangen hier bei null an zu zählen und geben das Team in Los 1.
Das sind also E-Komponenten. Während die Kotzterne,
wo ich sagen wir mal, u-t-pow,
multipliziert mit u-t-s nehmen, ja, deren Erwartungswert ist null,
weil die Co-Varianzen beim ersten Rauschen immer gleich null sind,
um die Bauung, das weitere nicht zu tun.
Was wir hier feststellen, ist,
dass die Varianz des Random Walks eine,
dass die Varianz des Random Walks nicht zeitkonstant ist,
sondern von der Zeit einhängt.
Also beim Random Walk ist es so,
dass nicht nur der Mittelwert von der Zeit abhängt
Sondern auch die Varianz von der Zeit abhängt. Erinnern Sie sich bei dem Modell der Trendstationalität,
was die letzte Woche besprochen haben,
war zwar der Mittelwert, abhängig von der Zeit,
ähnlich wie hier, aber die Varianz war nicht,
war eigentlich vor der Zeit, in nicht von TR.
Da ist also ein Unterschied zwischen dem Modell der Trendstationalität,
was wir ja auch entwickelt hatten,
um trennende Daten abbilden zu können und dem Modell des Renny Walks betrifft,
bei dem, das ebenfalls trennende Daten abbilden kann.
Und der Unterschied besteht darin, dass hier die Varianz
den Zeitablauf zunimmt
Das heißt, der Random Walk ist eben nicht stationär,
während es trennstationäre Modellen, nachdem wir den Trend subtrahiert haben,
immer noch eine stationäre Großzelle gab.
Aber hier würde die Subtraktion des Trends keine stationäre Größe ergeben,
sondern eine Größe, die eine von der Zeit abhängige Varianz etwa.
Auch die Autoko-Varianzen eines Random Walks hängen von Tee ab.
Das rechne ich ihm jetzt nicht aus.
Das ist aber nicht so schwierig, dann zu verifizieren.
Andererseits sind das hier die Eigenschaften für die Niveaus des
Random Walks
Wenn er uns die erste Differenz eines Random Wars betrifft,
angucken, dann sehen wir,
Delta YT ist ja so ein T-, so ein Team-in-us-1,
ist beim Random Walk mit Trift, Nyplus-UT.
Naja, und Nyplus-UT ist eine stationäre Größe.
My ist nur eine Konzertezahl, ist irgendein Erwartungswert.
Erwartungswert und Delta-UT, Delta YT ist dann My.
Und die Varianz von Delta Y ist natürlich
gerade gleich der Varianz von U. Also von diesem Term hier
Die Autoco-Varianzen sind alle gleich null. Also die Ottoco-Varianz-Funktion von dieser Zeitreihe Delta,
Y, von den ersten Differenzen des Rine Walks misstrifft,
die sind einfach alle gleich null.
Das heißt, diese Zeitreiche ist stationär. Der Random Walk
ist also eine Zeitreihe, die in den News instationär ist.
Aber nachdem man sie einmal differenziert hat,
wird diese Zeitreihe zu einer stationären R3 oder die erste Differenz
dieser Zeitreihe ist eine stationäre Zeitreihe
Gut, jetzt haben wir dann zwei Modelle.
Das Modell der Trendstationalität, was in Gleichung 8 beschrieben war.
Und das Modell ist Random Walks mittrifft,
was im Gleichung 13-Finale jetzt beschrieben gewesen ist.
Sowas brechen 13. Diese gleich auf. Und die Frage ist
jetzt, was ist denn eigentlich das Bessere Modell?
Das ist letzten Endes eine Frage danach,
ob Alpha kleiner als eins ist.
Oder ob Alpha gleich eins ist
Das heißt, ökonomisch gesprochen ist,
dass die Frage danach, wird Konjunktur verursacht durch Schocks,
die im Laufe der Zeit abklingen, sprich durch physische Chance,
oder wird Konjunktur verursacht durch Schocks,
die ideell sind und im Laufe der Zeit nicht abklingen.
Sprich, wird Konjunktur verursacht durch Dinge wie beispielsweise? Nachfrage,
Schocks, Staatsausgaben, Redpolitik, Außenhandelsshops und ähnliche Sachen?
Oder wird es Rückkundentur verursacht durch angebotsseitige Schocks?
In diesem Fall spezifiziert als ideelle Schocks technologischer Art.
Also durch technologische Innovationen oder auch durch andere Formen von Innovationen
wie beispielsweise
Die Organisation von Märkten und was weiß ich,
was in der Europäischen Union erleben, dass so einen großen gemeinsamen Binnenmarkt schafft.
Das waren bestimmte Wettbewerbskontrollen geschafft, dass man Rahmenbedingungen für faire Wettbewerbs setzt.
Also das sind sozusagen ideelle Shops, die eine Ökonomie treffen,
wenn man dort diese Rahmenbedingungen eben mit einer bestimmten Form setzt.
Diese Frage würde ich jetzt nachgehen,
aber davor, da ich jetzt merke,
dass die Sonne hier langsam in das Zimmer hineinwandert,
gestatten ist,
wenn er sich kurze Sonnenblende runterziehe,
sonst wird das hier von der Optik überträchte
Musik So soll ich, das ist hoffentlich etwas besser gehen.
Gut, also wie entscheiden wir jetzt,
ob Trennstationalität einfach klein an gleich eins,
kleiner als eins oder random walk betrifft,
Alpha gleich eins
das bessere Modell
Das ist eine Kernfrage in der Mikroökonomie und in der Makroökonometrie.
Und ich werde die einigermaßen ausführlich hier behandeln,
auch wenn sie technisch, statistisch durchaus Komplikationen aufweist,
die ich dann nicht im Einzelnen darstellen werde,
aber sie sollten noch das Grundprinzip verstanden haben.
Also, die Frage ist letzten Endes,
wie können wir die Hypothese Alphagleich 1 testen?
Und diese Hypothese nimmt man auf die Einheitswurzelhypothese,
die genaue Herkunft dieses Begriffes werde ich ihn später noch erläutern.
Aber ich habe es erst jetzt schon erwähnt,
dass man davon Einheitswurzelhypothese spricht,
wenn man Alphagleich 1
als Arbeitshypothese nimmt
Nun, zunächst mal wollen wir folgende Beobachtung noch mal festhalten.
Es ist nicht sinnvoll, wenn man linear trennende Daten hat,
dann eine Gleichung des Typs 2 zu schätzen und auf Alpha gleich 1 zu testen.
Gleich um 2 sagt YT ist gleich nu plus Alpha
YT minus 1 plus uT minus 1 und sie könnten ja
sozusagen naiv auf die Idee kommen zu sagen,
lasst uns doch einfach mal diese Gleichung hier schätzen und
dann testen,
ob einfach
gleich 1 ist
Das haben, ehrlich gesagt,
in den 60er und 70er Jahren zahllose Ökonomietriker gemacht,
dass die solche Mutter nicht hier geschätzt haben und das Alpha getestet haben daraufhin,
ob einfach gleich eins ist oder kleiner als eins ist.
Und ist überraschend spät und mit sozusagen Verbesserung der statistischen Ausbildung im Bereich der Wirtschaftswissenschaften
hat man festgestellt, dass das nicht sinnvoll ist.
Der Grund, weshalb das nicht sinnvoll ist,
ist der, dass in diesem Modell hier im Grunde genommen
die Daten gar keine andere Möglichkeit haben,
als Alpha sehr nah an eins
Als Schätzergebnis zu liefern. Denn nur wenn Alpha gleich eins ist,
kann dieses Modell hier trennende Daten abbilden. Wenn Alpha gleich eins ist,
dann ist das ja das Modell eines Rangle Wanks betrifft.
YT wird erklärt durch Konstante, plus YT ist eins,
mal eins, plus Stück Therm und wir haben gesehen,
das ist ein Random Walk mit Drift,
der bildet dann einen linearen Trend ab durch diesen Drift-Therm-Nym.
Aber wenn Alpha kleiner ist als eins,
also wenn sozusagen wahre Alpha,
kleiner als eins ist,
dann hat dieses Modell
keinen Trend
Und wenn man sozusagen dann trennende Daten an dieses Modell anpasst oder man
dieses Modell trendenden Daten anpasst, dann erzwingt man praktisch,
dass die Daten Alpha gleich eins liefern oder Schätzwerte von Alpha
sehr nahe bei eins liefern.
Auch dann, wenn tatsächlich das einfach kleiner ist,
als eins ist und vielleicht stattdessen ein transstationäres Modell geschätzt hätte werden müssen.
Das heißt, diese Leichung zu schätzen ist nicht sinnvoll als Schätzgleichung.
Wir müssen viel mehr gucken,
dass wir eine Schätzgleichung spezifizieren,
die so geschaffen ist
Dass die Daten, die trennenden Daten,
die wir haben, sich entscheiden können,
zwischen entweder Alphagleich 1 oder Alpha-betragsmäßig kleiner als eins,
aber in beiden Fällen ein linearer Trend abgebildet werden kann.
Das heißt, wir brauchen sozusagen eine Art Supermodell,
was sowohl das random Walk-Modell mittrifft,
als auch das Modell Trendstationäre Narrität in sich vereint.
Und es ist natürlich gar nicht so schwierig,
das zu machen,
denn wir müssen
lediglich diesen Trendtherm noch hinzufügen
Also, schätzen wir mal gleich schon acht oder überlegen uns,
was passieren würde, wenn wir gleich um acht schätzen,
die lautete YT ist Ny plus Tetamaté,
plus einfach mal Y-Team Yus 1, plus UT.
Diese Gleichung ist auch nicht ganz harmlos als Schätzgleichung, möchte ich sofort hinzufügen.
Denn sie sieht ja hierfür Hetta Ungleich null einen linearen Trend
vor. Und sie würde hierfür Alpha Gleich 1 nochmal einen
linearen Trend vorsehen. Wenn ich einfach nur diese Gleichung schätze,
ohne ihr aufzuerlegen, dass Alpha kleiner als eins ist,
haben, dann erlaube ich sozusagen einen doppelten linearen Teil.
Das macht das in der Tat,
macht die Schätztheorie hier etwas schwieriger,
aber wir wollen uns zunächst mal nur überlegen,
was sozusagen die beiden parametrisierungen dieser Leichung hier sind,
die unseren bisherigen Modellen von trennstationärem Prozess und Randombalk mit Drift-Prozess entsprechen würden.
Das wären nämlich die Parametrisierung, die durch die beiden Hypothesen,
die wir testen wollen, gegeben sind.
Die null Hypothese wäre, Alpha ist gleich eins und Tetter
ist gleich null. Das heißt, Alpha ist gleich eins,
sagt mir, ich kriege einen Drift, Nymal Tee.
Aber gleichzeitig schalte ich den linearen Trend aus,
indem ich sage, Titter ist gleich null.
Die null Hypothese würde, also die Hypothese sein,
das wahre Modell ist ein Random Walk mittrifft.
Und diese Hypothese ist, neudeutsch genästet in dieser Spezifikation,
wenn Alpha gleich eins ist und Titter gleich null ist,
dann kriegen wir unsere Gleichung.
10, also ist Random Walk mit,
trifft Modell heraus
Umgekehrt das Modell der Trendstationalität ist die Alternativhypothese H1,
die besagen würde Alpha, ist betragsmäßig kleiner als eins.
Also es gibt keinen Drift in diesem Modell. Und Täter
ist ungleich null. Das heißt, wir haben einen linearen
Trend in diesem Modell, der über diesen Täter besteuert wird.
Das Ungewöhnliche an diesen beiden Hypothesen ist jetzt,
dass wir sozusagen gleich zwei Parameter testen müssen.
Die einfachsten Tests und die, die man ihm zunächst vorgestellt hat,
in Statistik, sind immer Tests gewesen bezüglich eines einzelnen Parameters
Hier haben wir eine verbundene Hypothese. Alpha, die Nullhypothese sagt,
Alpha ist gleich eins und zugleich ist Tetter gleich null.
Wenn wir erlauben würden,
dass Alpha gleich eins ist und Tetter ungleich null wäre,
dann würde man einen quadratischen Trend für das YT bekommen.
Und das entspricht den Eigenschaften der Daten, so wie wir
sie gesehen haben. Nicht, sie können sich zu Hause
mal überlegen, warum das einen quadratischen Trend wäre.
So, jetzt gibt es verschiedene Möglichkeiten, auch die Einheitswurzeln
zu testen. Die eine Möglichkeit ist die,
dass wir die Gleichung acht schätzen mit der Methode der kleinsten Quadrate
Und dafür nutzen wir jetzt dann nur die T-Statistik für das Alpha.
Das heißt, wir vereinfachen die erste Hypothese und testen einfach nur Alphagleich eins,
kümmern uns nicht darum, was mit dem Ketter ist.
Die andere Möglichkeit wäre, eben auch eine Schätzung von Gleichung 8
mit ULS und stattdessen nutzen wir die T-Statistik für das Täter.
Das heißt, wir testen das Täter gleich null ist.
Und die dritte Möglichkeit ist die,
dass wir erneut die Gleichung mit ULS schätzen und wir machen
eine F-Statistik für die verbundene Hypothese Alphagleich 1,
wäre da
gleich null
Die vierte Möglichkeit ist die,
dass wir das Modell noch ein bisschen anders schreiben,
nämlich wir schreiben es als YT ist nü, bloß einfach,
weil Übser Themen, die das eins plus UT,
also das ist alles so wie zuvor,
aber das Täter, das schreiben wir jetzt als Täter,
Tilde mal eins minus reifer, tut einem das Team multipliziert.
Sprich, das Täter, was wir bislang hatten,
spalten wir auf in ein Produkt,
irgendeine Zahl Täter Tilde und dann eins minus Alter.
Jetzt wäre es so,
dass wenn wir eine nicht lineare Schätzung vornehmen und nur das Alpha schätzen,
dass im Fall von Alpha gleich 1 automatisch der koeffizient vor dem T-0 wird.
Denn 1 minus 1 wäre null. Und dann würde dieser koeffizient
hier verschwinden. Ein solches Modell könnte man mit einem Maximum Lightly
Hood-Schätzung schätzen und dann kann man eine Like-Bibliotration-Satistik für einfach gleich einzeln teilen.
Die Zeitreihe in Ökonometrie hat sich diese vier Schätzmöglichkeiten angeguckt.
Und es hat sich herausgestellt, dass das,
was die meisten Leute benutzen und gerne benutzen,
dieser erste Test ist,
obwohl er eigentlich nicht der Beste ist.
Das ist nicht
der effizienteste
Tests. Es wäre eigentlich besser,
man würde entweder diese Form des Tests verwenden,
wogleich die verbundene Hypothese getestet wird oder diese Meximum Lecking und Schätzung hier anstellen,
wo auch die verbundene Hypothese geschätzt wird.
Aber man hat festgestellt, die Güte dieses Testziel ist nur
geringfügig niedriger als die Güte der Tests hier.
Und der Test hier lässt sich sehr viel einfacher durchführen.
Und deshalb werde ich auch in dieser Vorlesung das machen,
was fast die gesamte Literatur macht.
Ich konzentriere mich hier einfach auf die Schätzung A,
aber sie sollten wissen, dass es diese Möglichkeiten BCD eben auch gibt.
Und das ist so eine C&D, vielleicht sogar bessere statistische
Das Problem ist jetzt, dass die Verteilung der Teststatistiken unkonventionell ist,
weil nämlich die Variablen YT unter der Nullhypothese
nicht stationär ist und deshalb eine linear wachsende Variante hat.
Schauen Sie sich das nochmal an,
die Nullhypothese ist ja Alphagleich 1, das heißt die Nullhypothese ist,
dass die Variable nicht stationär ist und dass Ihre Varianz nicht zeitkonstant ist.
Was Sie bislang an Statistik immer gelernt haben,
an Tests galt immer für stationäre Variablen,
die eine konstante Varianz haben
Und dann kann man irgendwie ableiten, dass die,
wie die Teststatistik verteilt ist, typischerweise ist es in der
Tee verteilt oder bei größeren Stichproben, proximativ normal verteilt.
Aber wenn die Variable, die getestet wird,
keine zeitkonstante Varianz hat, und das wäre ja hier der Fall,
wenn die Nullypothese wahr ist,
dann ist die Verteilung für die normale Tee-Statistik nicht mehr die Tierverteilung.
Das ist eine ganz andere Verteilung und eine etwas eigentümliche Verteilung,
die erst 1979 ermittelt worden ist
Da hat man die asymptotische Verteilung ermittelt von,
das wurde von zwei Statistiken gemacht, namens Dicky und Fuller.
Und nach denen ist der heutige Einheitswurzeltest auch benannt.
Man spricht vom sogenannten Dicky Fuller Est. Wir haben also
die Verteilung der Teststatistik, der normalen Tee-Teststatistik ermittelt und auch simulierend.
Und später ist das nochmal verbessert worden von McKinnon.
Inzwischen ist das in jeder anstehenden Software ordnungsgemäß umgesetzt worden. Das heißt,
sie kriegen die Teestatistiken ausgegeben und die P-Werte der Teestatistik werden
dann anhand dieser Dicky-Fuller-Arteilung ermittelt und nicht anhand der Tiefverteilung.
Auch wenn man die Statistiken immer noch Teestatistiken nennt,
die werden nicht durch die Tiefverteilung ausgewertet,
sondern durch die Dicky-Fuller-Verteilung
Nun, wie macht man das? Man macht das so,
dass man die Testgleichung noch mal ein bisschen umformuliert.
Nämlich, normalerweise in üblicher statistischer und ökometrischer Software
wird automatisch immer die T-Statistik berechnet für die Hypothese,
dass der koeffizient vor einer Variablen gleichen Null ist.
Uns interessiert aber in diesem Modell gar nicht die Hypothese,
dass Alphagleich null ist, sondern uns interessiert ja die Hypothese das einfach gleich.
Eins ist. Aber die T-Statistik,
die in statistischer Software drin ist,
rechnet immer den Test aus für Alphagleich null,
also für eine Hypothese,
die wir eigentlich
gar nicht testen möchten
Weil man aber nicht die ganze Software umschreiben wollte,
hat man stattdessen die Gleichung umgeschrieben und hat gesagt,
wir können ja folgendes machen in unserer Testgleichung,
ziehen wir mal auf beiden Seiten dergleichen nochmal YT-Mews 1 ab.
Wenn man das tut, dann steht rechts alpha minus 1 mal YT minus 1
und auf der linken Seite steht YT minus YT minus 1,
also Delta YT, sprich die Wachstumsrate,
wenn es nicht um logerhythmische Größen anlädt.
Das heißt, wir können eine Regression,
eine Regression machen, wo die Wachstumsrate Delta YT regressiert wird
auf eine Konzente
Auf einen linearen Trend und auf das Verzögerten Niveau,
YT minus 1. Dieses Wetter hier ist dasselbe wie das Alpha-1 hier.
Wenn Better gleich null ist,
diese Hypothese wurde jetzt automatisch getestet werden von statistischer Software,
hat das der Regressionsgerät jetzt in Flächenbullis.
Nun, wenn diese Hypothese Better gleich null getestet wird,
dann wird automatisch die Hypothese getestet,
dass Alpha minus 1 gleich null ist und Alpha minus 1
gleich null ist natürlich dasselbe wie Alphagleich 1.
Und das ist die Hypothese, die uns interessiert.
Deshalb nimmt man die so unparametrisierung vor und der sogenannte Dicky-Full-Up-Test besteht eben darin,
dass man die erste Differenz einer Variablen regressiert auf ihr verzögertes Niveau.
Sprich für unsere Bruttoinlandsproduktsdaten, die Wachstumsrate des Bruttoinlandsprodukts,
wird prägressiert auf das logorio-rhythmierte Bruttoinlandsprodukt.
Also auf das Niveau des Vlogs, des Profilinlandsprodukts.
Und außenblick auf der Konstante oder auf dem linearen Trend regressiert.
Der lineare Trend muss dabei sein,
denn wenn der lineare Trend nicht dabei wäre und das Alpha tatsächlich kleiner als eins ist,
dann brauchen die Trendenden Daten natürlich den linearen Trend,
damit der Trend überhaupt aufgefallen wäre,
kann in der Regression also
wiedergegeben werden
Das ist also das Grundprinzip dieses sogenannten Dicki-Fulland-Tests,
der es uns ermöglicht zu testen,
ob dieser koeffiziente Alter gleich eins ist oder kleiner als eins ist.
Typischerweise liegt er entweder zwischen 0 und 1
oder es liegt bei 1, negative Werte für Alpha.
Kann man grundsätzlich damit auch testen, aber es kommt de facto
nicht vor. Ich meine normalerweise positive Werte für Alpha,
wenn ich über das Alpha spreche. Okay,
ausgewertet wird dann die T-Statistik für das geschätzte Better,
also für diesen Koeffizienten, der gleich alphanus 1 ist.
Und zwar anhand der Zugehörigen Dicki-Fuller-Verteilung
Und dann wird die null Hypothese, dass ein Random Walk mittrifft,
vorliegt. Also die null Hypothese Alphagleich 1 dann verworfen.
Wenn die T-Statistatistik den kritischen Wert der Diggi-Fuller-Verteilung übersteigt.
Das heißt, wenn sie größer ist als der kritische Wert
der Diggi-Fuller-Verteilung. Wenn die T-Shirts, die kleiner ist,
als der kritische Wert der Diggi-Fuller-Verteilung, dann wird die Einheitsurzelhypothese akzeptiert.
Das heißt, dann geht man davon aus,
dass das Alphagleich eins ist.
Wir gucken uns diesen Diggi-Fuller-Test jetzt für unsere Daten
mal an
Wenn wir eine OLS-Schätzung machen von dieser Testgleichung,
die ich beschrieben habe,
wo die Wachstumsreite des Bruttoinlandsprodukts regressiert wird auf Konstante,
Trendthermen und das verzögerte Niveau der Variablen, hier die Wachstumsrate,
da das Niveau, dann kriegen wir folgende Ergebnisse daraus.
Nüdach ist irgendwie minus 0,1, bei mir aus 0,1,1 mit
einer T-Statistik von minus 1,8. Tinterdach ist ein kleiner positiver Wert,
ebenfalls mit der T-Statistik von ungefähr 1,8,
nicht exakt dieselbe wie hier,
aber fast
Das ist Zufall. Und das Betterdach wird geschätzt auf
einen koeffizienten von minus 0,033 mit einer T-Statistik von minus 1,87.
Lassen wir diese Dinge hier mal im Augenblick außen vor,
dieser Chats-Ergebnisse und konzentrieren uns auf das Betterdach.
Was sagt dieser Schätzwert für Betterdach? Normalerweise würden wir uns
jetzt dafür interessieren, ob das Betterdach von null verschieden ist.
Und genau genommen, ob das der wahre Wert Beter von
null verschieden ist, wenn wir einen Chatswert für Betterdach von
minus 0,033 haben
Normalerweise würden wir hier einen sogenannten zweiseitigen Test machen.
Das heißt, wir würden sagen, der T-Wert,
der dafür maßgeblich ist, dass das Betterdach signifikant ist.
Dieser T-Wert ist minus 1,96 bei 5 Prozent Niveau.
Das kennen Sie. Minus 1,6 ist der kritische Wert für
einen zweiseitigen Test zum 5 Prozent Niveau.
Die liegt schon mal ein bisschen der Hund begraben,
denn das, was uns interessiert,
ist im Augenblick eigentlich nicht der Zweiseitige fest.
Uns interessiert, ob das Alpha kleiner als eins ist
Alpha, kleiner als eins, würde bedeuten, dass Alphan minus eins negativ ist.
Das heißt, wir wollen hier eigentlich einen einseitigen Test machen.
Wir wollen ein bisschen auf Better, kleiner ist 1-0.
Denn Better kleiner als Null würde bedeuten, einfach kleiner als eins.
Die andere Seite interessiert uns nicht. Das heißt,
wir müssen hier nicht den kritischen Geld, 1,96 nehmen,
wen sie als kritischen Wert für den zweiseitigen Test kennen,
sondern wir müssen den kritischen Wert nehmen für einen einseitigen Test,
der uns testet,
ob das Better gleich Null ist oder ob
das Beta Kleider als Neues
Nun, wenn es so wäre,
dass diese T-Statistik hier mit minus 1,87,
wenn diese T-Statistik normal tief verteilt wäre, was nicht der Fall ist,
wie ich ja schon gesagt habe, ja,
aber wenn das so wäre, dann wäre die Wahrscheinlichkeit dafür,
dass die T-Statistik minus 1,869 ist,
bei einem einseitigen Test bei 3,2 Prozent.
Und da könnte man sagen,
zum Testniveau von 5 Prozent ist das hier eine signifikate Statistik.
Das ist geringer als 5 Prozent
Das heißt, wir würden die null Hypothese in diesem Falle beherrschen.
Wenn wir die null Hypothese verwerfen, die null Hypothese sagt, ja,
Better ist gleich null, dann akzeptieren wir die Alternativhypothese,
dass Beter klein ist als null.
Wenn wir die Alternativhypothese akzeptieren, dass Beter kleiner als null ist,
dann wird mir die Alternative akzeptieren, dass Alpha kleiner ist als eins,
denn inzwischen Alpha und Beter besteht ja immer diese klare Beziehung.
Das heißt, wir würden jetzt, wenn wir davon ausgingen,
dass die T-Statistik auch einer T-Verteilung folgt,
schließen doch die Daten,
sagen uns,
Alpha ist kleiner als eins
Denn die Null-Hypothese hätte bei einem einseitigen Test
nur einen P-Wert von 3,2 Prozent. Nochmal zur Übung,
wenn man in zwei seid ihren Test gemacht hätten,
dann würden wir hier herauskriegen,
dass der kritische Wert für diese Teststatistik hier 1,96 ist.
Und bei 1,96 würden wir sagen, na die T-Statistik ist
noch zu klein. Also wie tatsächlich die geschätzte T-Statistik ist
zu klein, um die Null-Hypothese zu verhärfen.
Und dann würden wir akzeptieren, dass das Wetter hier gleichen ist.
Das heißt, wir würden einfach
gleich eins akzeptieren
Die Sache ist also auch dünn unter einer T-Statistik,
je nachdem, ob es ein einseitiger oder ein zweiseitiger Test ist,
kommen wir eben zum einen oder zu dem anderen Ergebnis,
aber sinnvoll ist eigentlich der einseitige Test.
Wir wollen wissen, ob das Peter klein als Null ist.
Nun wird dieses Problem aber dadurch gelöst, dass man weiß,
und ich habe es ihm gesagt, aber nicht bewiesen,
dass diese T-Statistik T-Bitte, dass die gar nicht tief verteilt ist.
Weil unter der Null-Hypothese, die variable YT,
eine von der zeitabhängige Varianz hätte,
liegt eine andere Verteilung vor,
nämlich die sogenannte Dicky-Fuller-Verteilung
Und die kritischen Werte aus der Dickie-Fuller-Verteilung für diese Statistik-Tee-Bitter sind minus 3,13 zum 10-Prozent-Niveau,
minus 3,41 zum 5-Prozent-Niveau und minus 3,96 zum 1-Prozent-Niveau.
Das heißt, wir können die Hypothese, das Better
gleich null ist, noch nicht einmal zum 10-Prozent-Niveau verwerfen.
Geschweige denn zum 5 Prozent-Niveau, die tatsächlich T-Statistik von minus 1,87
ist ja viel niedriger als der kritische Wert zum 10-Prozent-Niveau,
Tatsächlich ist das also so, dass die Wahrscheinlichkeit,
eine solche T-Statistik hier zu beobachten,
wenn die null Hypothese wahr ist, ziemlich groß ist.
Deutlich größer als zehn Prozent ist. Es gibt also eine
hohe Wahrscheinlichkeit dafür, diesen Wert von Tibetta zu beobachten,
wenn das wahre Better gleich null und damit das wahre Alpha gleich eins ist.
Sprich, unter der null Hypothese H.0 ist das hier
alles andere als ein ungewöhnlicher Wert.
Das ist kein Wert, der uns irgendwie dazu bringen könnte,
die null Hypothese zu verwerfen
Und deshalb wäre als Ergebnis dieses Tests festzuhalten,
dass die null Hypothese Betergleich null akzeptiert wird und damit
die null Hypothese an Eifergleich 1 akzeptiert wird.
Das heißt, wir stellen hier durch Anwendung des Hula-Tests fest,
ja, die Zeitreihe GDP scheint eine Einheitsmutze zu haben.
Das heißt, das Alpha ist möglicherweise jedenfalls gleich eins.
Die Daten, die waren keine Evidenz dagegen, dass das
Alpha gleich eins ist. Das heißt, die Hypothese,
dass die Schocks, die das Niveau des Bruttoinlandsprodukts treiben,
Überwiegend, dominant, technologischer Art sind, IDLer Art sind,
diese Hypothese kann nicht verworfen werden.
Und üblicherweise sagen wir dann, wir akzeptieren,
sortieren diese Hypothese. Unser Ergebnis sagt uns jetzt,
in der Zeitreihe des Bruttoinlandsprodukts in Amerika ist in einem erheblichen
Ausmaß ein ideeller Schock drin,
von dem wir etwas verengen zu sagen werden,
es ist ein technologischer Schock im weitesten Sinne
Das schließt nicht aus, dass auch noch andere Shops
die Ökonomie treffen. Das werden wir später noch ausdifferenzieren,
wie sich die einzelnen Shops, die das Bruttoinlandsprodukt möglicherweise treiben,
zueinander verhalten. Aber zunächst mal ist das die Erkenntnis,
die einen ganzen maßgeblicher Schockwert drin zu sein scheint und der
dieses Testergebnis des Dicky-Fuller-Tests hier bewirkt, scheint ein ideeller Schock zu sein.
Also ein technologischer Schock. Beachten Sie bitte, dass diese Testgleichung
hier formuliert wird, einerseits in der Wachstumsreiter und andererseits im Niveau.
Aber tatsächlich ist es eine Schätzgleichung, die rein in
die Wurst formuliert ist
Denn sie können dieses Data GDP hier natürlich auflösen und
das GVP-T-minus eins hier auf die andere Seite bringen,
um wieder zu dieser Gleichung zu kommen.
Zu dieser gleichen G hier zu kommen.
Ja, das ist dieselbe Gleichung. Nur alles geschrieben und
sie sehen es eine reine Niveaugleichung, die wir hier haben.
Das heißt, der Vicky Fuller-Test ist ein Test,
der sich auf die Niveaus bezieht, eine Zeitreihe.
Nicht auf die Wachstumsraten, der zeigt rein. Man kann
dem Dicky Fuller-Test natürlich auch für die Wachstumsraten in einer Zeitreihe machen,
dann muss man die erste Differenz der Wachstumsraten regressieren auf ihre eigene,
auf ihr eigenes Niveau, also auf die Wachstumsrate.
Das heißt, man muss sozusagen auf der liebten Seite
zweimal differenzieren und regressieren auf der rechten Seite,
dann dann regressieren auf die Wachstumsrate auf der rechten Seite,
was die einmalige Differenz der Niveaus ist.
Das machen wir auch gleich noch. Das wäre der Digi-Fuller-Test,
der Test der Einheits-Ozzo-Hypothese für die Wachstumsraten. Aber was wir hier gemacht haben,
das ist der Test für die,
was wir hier gemacht haben,
das ist der Test für die Niveaus gewesen und unsere Erkenntnis ist,
die Niveaus des Bruttoinlandsprodukts sind offenbar maßgeblich durch technologische Schocks getrieben
Jetzt machen wir den Digi-Full-A-Test für die Wachstumsreihen. Das heißt,
wir nehmen jetzt die Wachstumsrate des Bruttoinlandsprodukts und schätzen eine Gleichung,
bei der wir die erste Differenz der Wachstumsrate nehmen.
Das heißt, das Niveau wird zweimal differenziert und das ebe
ich ihm mit Delta-Quadrat, dann wieder. Data-Quadrat, GDP,
die Veränderung der Veränderung des CDPs, sprich die Veränderung der Wachstumsrate,
wird jetzt regressiert auf eine Konstantiny und ein jetzt Beta.
Das sind übrigens andere News und andere Wetters als eben.
Das ist nur dieselbe Wette. Auf eine Konstantiny und auf
einen Wert. Bitter, multipliziert mit dem verzögernden Niveau,
also mit der verzögerten Wachstumsreihe
Zweitveränderung des GDPs wird auch erst jetzt per enorm des GDPs regressiert,
beziehungsweise die Veränderung der Wachstumsrate wird regressiert auf die Verzögerte Wachstum treiben.
Also dasselbe Grundprinzip wie eben auch,
aber jetzt haben wir eine gleiche, nur in Wachstumsrat.
Und können jetzt testen, ob die Wachstumsraten ebenfalls eine Einheitswurzel aufweisen.
Wenn wir das machen, dann, ach so,
sollte ich vielleicht noch hinzufügen, hier schätzen wir das jetzt ohne Trendterm.
Denn die Wachstumsraten haben ja keinen Trend mehr.
Das heißt, hier schätzen wir ein Random-Walk-Modell ohne Drift
Nein, es ist falsch.
Doch, ist richtig. Hier schätzen wir ein Random-Walk-Modell,
bei dem wir dem Daten nicht die Möglichkeit geben,
entweder sich durch eine lineare Trennt oder durch einen Trift erklären lassen.
Und dann erhalten wir dafür, dass die Konstante geschätzt wird,
auf 0,003, mit einer IT-Statistik, die 4,7 beträgt,
also sehr stark ist.
Das heißt, wir haben hier von null verschiedenen Kontanten.
Und wir haben den Better koeffizienten geschätzt mit
War eine T-Statistik von minus 11. Die kritischen Werte für eine
Soltity-Statistik in einem Modell, in dem kein Trend vorgesehen ist,
sind andere als in dem Modell mit Trend.
Die lauten jetzt zum 10-Prozent-Niveau minus 2,57, zum 5-Prozent-Miniveau,
minus 2,86, zum 1-Prozent-Niveau minus 3,43,
wir haben tatsächlich einen Wert von minus 11, der liegt irgendwo hier hinten.
Das heißt, diese T-Statistik ist hochgradig signifikant,
das heißt, das Wetter ist in der Tat negativ,
sogar stark negativ, das heißt,
dieses Eifer hier für die Wachstumsreiten ist kleiner als
Oder anders gesprochen, Data JVPT ist klar, eine stationäre Größe.
Die Wachstumsrate des GDPs ist stationär, aber das Niveau des
GLPs ist instationär, ist ein Random Walk gut trifft.
Das sind jetzt erstmal die empirischen Ergebnisse, die wir hierfür haben.
Zusammengefasst, unser vorläufiger Erkenntnisstand besagt,
für das Niveau des Bruttoinlandsprodukts scheinen permanent wirkende,
wir schreiben jetzt hin in Klammern, vielleicht technologische Fragezeichen,
Schocks, eine bedeutende Rolle zu spielen.
Also mit permanent wirkenden meine ich Schocks,
die nicht abgängen,
die an Eifergleich 1 verlangen
Die Wachstumsrate des GDPs wird dadurch aber nicht permanent verändert.
Denn für die Wachstumsrate ist GDPs haben wir herausgekriegt,
dass das ein stationärer Prozess ist.
Das heißt, da gibt es keine permanent wirkenden Shops.
Um das sich nochmal klarzumachen, gehen Sie nochmal zurück zu meiner Grafik,
die ich Ihnen in der letzten Stunde gezeigt hatte, zu dieser Grafik hier.
Wir können uns also vorstellen, es gibt technologische Shops,
die führen einmal oder jeder Shop führt einmal dazu,
dass das Bruttoinlandsprodukt sich dauerhaft erhöht ist.
Es dauerhaft dann auf einem anderen Trend angekommen
Die Wachstumsrate verändert sich aber nicht dauerhaft. Die Wachstumsrate vor dem technologischen Schock
ist im Wesentlichen gleich der Wachstumsrate, nach dem technologischen Schock,
nur im Augenblick des Schocks hat man einmal eine veränderte Wachstumsrate.
Und dann ist die Wachstumsrate wieder auf dem alten Niveau.
Das ist für technologische Shops durchaus eine plausible Interpretation des Geschehens.
Und Sie können sich jetzt natürlich vorstellen, während in dieser Grafik
nur ein technologischer Schock idealtypisch abgebildet worden ist, dass das ständig passiert.
Dass man ständig irgendwelche technologischen Schocks hat,
die Entwicklung des Bruttoinlands-Produkts auf ein neues Niveau heben,
dass aber die Wachstumsrate selbst, abgesehen von dem Augenblick des Technologischen Schocks,
nicht verändert ist, sondern nach wie vor dieser Steigung hier entspricht.
Aber das Niveau der Variante wird auf ein neues Niveau gehoben.
Das wäre die mögliche Interpretation für die empirischen Befunde,
die wir jetzt haben und die ich hier im vorläufigen Erkenntnis statt zusammengefasst habe.
Das Problem, was wir dabei jetzt haben, ist zweifach. Erstens,
Wenn es sich tatsächlich um einen Rennwalk mit Drift handelt,
so wie wir das jetzt durch den Biggie-Fuller-Test bestätigt,
zu finden haben, glauben, dann würde es implizieren,
dass die Wachstumsrate keine positive Autokonvention drauf ist.
Die Wachstumsrate wäre weißes Rauschen plus eine Konstante.
Das widerspricht unseren früheren empirischen Befund, dass die Wachstumsrate des Inhaltsprodukts
sehr wohl protokolliert ist. Zweitens scheint unser Modell im Augenblick
zu sagen, alle Schocks sind technologische Schocks.
Das heißt, jeder Schock, der die Ökonomie trifft,
ist ein Schock,
der nicht abklickt
Das ist nicht plausibel. Es gibt sicherlich auch Schocks, die abklingen. Das,
was wir hier als Resultat zutage gefördert haben,
sollte uns nur bewegen zu sagen,
die technologischen Shops scheinen eine wichtige Rolle zu spielen,
vielleicht sogar eine dominante Rolle zu sehen.
Das werden wir später noch im Einzelnen auseinanderbüßen.
Wie wichtig die technologischen Shops gegenüber anderen Schocks sind.
Aber Apriouri wäre es völlig voreilig, jetzt zu sagen,
dass die konjunkturelle Entwicklung oder die Entwicklung des Bruttoinlandsprodukts
nur auf technologische Shops zurückgeht und es
keine anderen Schutz
Gibt. Und es wäre völlig falsch sogar zu sagen,
dass dieses technologische Modell uns implizieren würde, dass die Wachstumsrate und keine Autokorrelation aufweist.
Also wäre falsch, nicht deshalb, weil das Modell es nicht implidifizieren würde,
sondern natürlich impliziertes Modell ist, sondern es wäre falsch,
weil wir wissen, empirisch hat die Wachstumsrate, aber Autokorrelation.
Und die Autokorrelation, die wir in der Wachstumsrate sehen,
könnte ja vielleicht zurückzuführen sein auf andere Shops, die eben abklingelt sind,
jedenfalls in Bezug auf die Weizung zeigen. So, das heißt,
was wir jetzt im Folgenden machen werden und was wir in dieser Stunde nur beginnen können,
aber nicht Ende führen können, ist,
dass wir uns überlegen müssen, ob wir das Modell,
was wir hier haben, nicht auch noch allgemeiner fassen können,
sodass wir einerseits technologische Chancen im Sinne einer Einheitsnutze in dem Modell abbilden können,
aber andererseits auch erlauben können,
dass Stationäre Fox oder Otto-Kolation in der Wachstumsschreite des Bruttoinlands-Produkts auftreten können.
Das heißt, wir suchen noch eine allgemeinere Formulierung als das,
was ich Ihnen bislang angeboten habe. Mir ging es zurzeit nur darum,
Ihnen sozusagen das Grundprinzip klarzumachen, indem ich sehr deutlich gegenübergestellt habe,
das trendstationäre Modell und das Modell Ren Walking trifft.
Wobei die Daten, wenn sie nur diese beiden Möglichkeiten haben,
sich für eines der beiden Modelle zu entscheiden,
sich klar für das Modell Ren Walking mitdriften,
sprich Alphagleich 1, sprich technologische Schocks entscheiden.
Gut, bevor wir aber zu Modellen kommen,
die beides miteinander kombinieren, müssen wir ein bisschen Theorie machen.
Das wird jetzt gleich beginnen und ernießen beim Fortsetzen,
weil wir das mit dieser nicht mehr schaffen.
Aber sie sollten sich eben diesen vorläufigen ökonomischen Erkenntnis einprägen und
sich auch klar machen,
wie wir
darauf gekommen sind
Zunächst noch folgendes, Prozesse, die instationär sind,
wie der Random Walk, wie dieser Randoward mittrifft,
aber durch ein einmaliges Differenzieren, stationär werden,
die nennt man integriert von Ordnung 1 oder integriert der Ordnung
1 und schreibt dafür symbolisch i1.
Empirische Forschung hat gezeigt, dass die allermeisten makroökoökonomischen Zeitreihen gut
durch i1-Prozesse beschrieben werden können. Also fast alle makroökonomischen Zeitreihen,
die man kennt in fast allen Ländern, sind i1-Prozesse.
Das heißt, der Digi-Fuller-Test, wenn man ihn anwendet,
kann nicht in null Hypothese ablehnen,
das einfach
gleich 1 ist
Aber die Wachstumsrate ist typischerweise stationär. Das heißt,
einmaliges Differenzieren führt dazu, dass wir einen stationären Prozess bekommen.
Längere Zeit gab es eine wichtige Ausnahme dazu, nämlich das Preisniveau.
Das Preisniveau in einer Volkswirtschaft hat sich in verschiedenen Staaten als ein sogenannter G2-Prozess herausgestellt. Das heißt,
nicht nur das Niveau des Preisniveaus hatte eine iPadswurzel,
ein Alphagleich 1, sondern die erste Differenz, das war die Inflationsrate,
aber das flomatimierte Preisniveau genommen hat und der Gästelieferenz war die Intentionsrate,
also die Wachstumsrate des Weißt du wusstest?
Die Implationsrate war ebenfalls noch I1. Das galt, solange wir
Schwierigkeiten mit Implation haben. Das ist jetzt schon etliche Jahre her,
inzwischen ist die Inflation sehr stark lebendigt worden,
sogar stärker gebändigt worden, als der Europäischen Zentralbank heutzutage lieb ist.
Deshalb ergeben die meisten Tests inzwischen auch,
dass die Implationsrate doch ein nationärer Prozess ist.
Aber als man diese Arten von Tests Ende der 80er,
Anfang der 90er Jahre gemacht hat,
waren Implationsraten in den USA und in Deutschland oft noch immer instationär.
Das heißt, es waren die zwei Prozesse,
das war es
die Ausnahme
Heute aber gilt um relativ zuverlässig das, was ich in dir schreibe.
Die meisten bei ökonomischen Zeitreihen, auch das Preisniveau,
können als E1-Prozess beschrieben werden. Das heißt,
die Erstdifferenz dieser Zeitreihe, und das ist dann,
weil man meistens die Zahlreihen in Luherithmen ausdrückt,
die Wachstumsrate in Zeitreihe, ist normalerweise stationär.
Und solche stationären Prozesse, die nennen wir dann i0-Prozesse,
weil man sie null mal differenzieren muss,
um einen stationären Prozess zu gewinnen.
Haben Sie Fragen bis hier, die Sie im Rahmen von
Chat oder über die iQ&A-Funktion stellen wollen?
Ich sehe hier nichts
Winken Sie gegebenenfalls, gegebenenfalls,
falls Sie jetzt noch eine schnelle Frage stellen wollen,
sonst würde ich fortfahren und gleich am Ende der Stunde ja nochmal die Diskussion ermöglichen.
Da scheint also erstmal nichts zu sein. Deshalb gehen wir
zum nächsten Vorlesungsabschnitt, der nochmal Theorie machen wird.
Um uns jetzt kompliziertere Modelle analysieren zu lassen,
als den einfachen AR1. Bislang haben wir ja praktisch nur immer gesprochen über AR1.
Entweder sozusagen im stationären Fall, wo einfach kleiner als eins war,
oder im instationären Fall, wo Alpha gleich eins gewesen ist,
aber es war immer nur eine Zögerung, die wir berücksichtigt haben.
Zur Themen oder immer nur erklärt euch,
ich übe so ein T-minus 1,
aber nicht durch übe so eine Themen des 2 Teams,
das 3 Team minus 4 und selbstverständlich können auch weiter entfernt liegende Ys vielleicht noch irgendwelche Einflüsse haben.
Wir wollen jetzt allgemeine ARP-Prozesse analysieren und das kann man eigentlich
nur dann gut und elegant machen,
wenn man sich zuvor mit sogenannten Lake-Polydonen beschäftigt hat.
Diese Lake-Polynome erlauben es nämlich mehr oder weniger die gesamte Theorie
der ARP-Prozesse, aufzubrechen in die Theorie von AR1-Prozessen.
Wir führen also alles auf den AR1 zurück in eine Art
und Weise, wie sie gerade sehen werden,
aber dafür brauchen wir diesen Lake-Operator Elben
Nun, der Lake-Operator L ist eine Größe, die definiert
wird durch eine ganz einfache Eigenschaft. Wir sagen nämlich,
der Lake-Operator verschiebt eine Variable in der Zeit um eine Periode.
Also L mal YT ist YT mit 01. Das ist ein
Operator, den Sie dieser Art wahrscheinlich noch nicht kennen.
Den kann man auch mathematisch genau herleiten,
wie der beschaffen ist, aber das sparen wir uns alles,
denn das führt uns auf Abwege,
die mit der Konjunkturanalyse wenig zu tun haben.
Sie merken sich einfach diese Eigenschaft hier.
L, mal YT,
das YT-Noseits
Man kann sich diesen Operator auch invers definieren,
beziehungsweise aus dieser Definition folgt bereits L-Inverse, mal Y-Y-Y-T, ist Y-T plus 1.
Das heißt L-Inverse verschiebt die variable Y-T in die Zukunft. Klar ist,
wenn Sie diese Gleichung hier multiplizieren mit L-Inverse auf beiden Seiten,
dann würden Sie hier stehen haben,
L-Inverse mal L, das zieht sich weg,
weil L-Inverse eben gerade die Inverse von L ist,
L-Inverse mal L-Y-T,
dann würde also einfach nur noch Y-T
hier stehen bleiben
Und auf der rechten Seite, wenn sie mit Ellenverse multipliziert hätten,
stünde El-Inverse mal YT-minus 1. Naja,
El-Inverse mal YT-minus 1, ist YT.
Und die Varianten rücken in die Zukunft verschoben.
Das ist also insofern ganz logisch. Sie können diesen Lake-Operator
auch wiederholt anwenden. Sie können die mit sich selbst multiplizieren.
Zum Beispiel kann man auf einem Quadrattakt oder viel sprechen.
Was ist El-Quadrat YT? Das ist L, mal in
eine Lyximatee. L-YT ist, aber wir wissen,
YT-minus 1, denn L-YT verschiebt ja YT um eine Periode
in die Vergangenheit
Also ist das El mal üb so ein T minus 1 und El mal yt minus 1,
bedeutet das üb so ein T minus 1 nochmal,
um eine Periode verschoben wird,
dann ist das üb so ein Team in Österreich.
Sprich, 11 Quadrat, YT, ist Y Temius 2
und allgemein gilt dementsprechend, dass L hoch irgendeine Zahl.
Au mal, üb so ein D,
gerade üb so ein T minus bau ist.
Diese Notation mit dem Lake-Operator erlaubt es uns also eine Zeitstruktur,
die wir in einer Gleichung haben.
Und lauter unterschiedlichen Größen vorkommen, gibt es so einen T,
gibt es so einen T minus 1,
bis hin zu üb so ein T minus.
Au,
die aussehen wie verschiedene Größen
Die alle viel einfacher zu schreiben, nämlich derart,
dass wir sie alle als YT schreiben mit so einem Ellen.
Operator, davor, Elho, irgendwas, Elhochtau oder was auch immer.
Dann kann man das im Stunde einfach ausklammern und kann mit
diesem L praktisch rechnen, wie mit einer normalen Variablen.
Wir werden sehen, man kann mit diesem L rechnen wie mit einem Polynomen.
Denn Elhochtau ist ja de facto schon ein Polynom.
Und das macht die Handhabung von komplizierteren Differenzengleichungen sehr viel einfacher.
Gehen wir zunächst um AR1, den wir ja schon kennen,
den können wir also schreiben,
als 1 minus Alphamal El in Klammern,
bei einem bestimmten Team
Bis gleich, nü plus UT. Warum ist das der AR1?
Nun multiplizieren sie einfach dieses YT hier in die Klammer rein.
Also keine Scheu, jetzt sozusagen normale Multiplikationsregeln anzuwenden. YT mal 1 ist YT,
YT multipliziert von rechts, muss man jetzt allerdings sagen,
von rechts ran multipliziert an dieses Alpha Elche,
gibt mir Alpha mal YT minus 1.
Also steht hier YT minus Alpha mal YT minus 1,
ist nü plus UT. Übrigens das minus Alpha mal,
du bist so ein Team minus 1 auf die andere Seite,
dann haben sie die normale Formulierung des A1 da stehen,
YT ist gleich nü plus einfach mal YT minus 1
plus UT
Das heißt, diese Schreibweise hier ist ebenfalls eine Schreibweise
des A1 und das ist völlig äquivalent zu der Formulierung,
die man gleich um zweit für den A1 benutzt hat.
Hier beim A1 ist das, wie Sie gleich sehen,
werden auch schon ganz hilfreich,
aber eigentlich brauchen wir das für den allgemeinen ARP.
Den allgemeinen ARP hatten wir in Gleichung eins formuliert und den können wir dann äquivalent schreiben,
als ein Lake-Polynomchen runden Klammern, mal ups über den Tee,
ist gleich Konstante plus Weißes Rauschen.
Es ist sozusagen jetzt die Standardschreibweise,
mit der wir so autoregressive Prozesse schreiben werden
Und dieser Term hier in den Klammern, dieses Lake-Pulli nochum,
das ist 1 minus Alpha 1L, minus Alpha 2L Quadrat,
minus Alpha 3L hoch 3 und so weiter,
bis hin zum minus 3VP, L hoch P.
Das ist also ein Polynom in Ellen, so wie sie
sonst Polynom in X schreiben, mit bestimmten Koeffizienten.
Der höchste Exponent von dem L steht hier hinten mit LHOP,
wir können uns beliebig umformulieren,
das ist nichts anderes als ein Polynom in Ellen,
was wir
hier stehen haben
Und wenn sie das Y-Tier hier rein multiplizieren,
dann wissen sie, na hier wird dann draus Y-Team-Nus-P.
Und hier wird raus über so ein Themenmenaster 2. Und daraus wird Y-Team-Nus-1.
Das heißt, wir kriegen hier wirklich genau die Formulierung für unseren ARP,
so wie wir den Begleitung 1 aufgestellt haben.
Manchmal schreiben wir, das ist dann auch folgendermaßen als Lake-Polinum
A von L mal im Sloti. Das heißt,
diese Runde, Klammer hier, dafür sagen wir einfach,
das ist ein Polynom, was wir als A von L zeichnen.
Wir merken uns, dass A, ein Polynom in L ist.
Weil die Potenzen von Elia auftreten, L hoch Null hier
, das ist eins
El Hoch 1, El Hoch 2, bis hin zu L hoch P,
also ein Polynom, und das bezeichnen wir als AHOL.
A, Hoch Elmann YYT ist Nyplus UT, und wir können es auch so schreiben,
dass es eins, minus die Summe über AlphaI,
ElhochI, bei YT, ist also in Planung.
Manchmal ist es ganz sinnvoll, wenn wir diese Summe hier betrachten,
wo die ganzen koeffizienten des Lang-Polynoms auftreten,
im Augenblick noch mit diesen Lang-Operatoren hoch I,
später werden die entfallen, das werden sie dann sehen,
und hier haben wir sozusagen die koeffizienten Summe des Polynops,
die von eins abgezogen wird.
Ich verrate Ihnen jetzt mal schon, worauf das Ganze hinauslaufen wird,
die Verallgemeinerung der Einheitswurzelhypothese wird sein, dass nicht ein Alphagleich eins ist,
sondern dass die Summe über alle dieser Alphagies hier gleich eins ist.
Und das werden wir testen. So wie wir vorhin getestet haben,
dass eins minus Alphan, nein ungefähr,
wir haben es umgedreht mit umgekehrten Vorzeichen geschrieben,
das Alpha minus eins, gleich null war,
werden wir hier testen,
dass eins minus die Summe über die ganzen Alphas
gleich null ist
Das heißt, es ist eine Verallgemeinerung des Digit-to-Fuller-Testverfahrens,
wo es jetzt eben nicht mehr auf ein einzelnes Alpha ankommt,
sondern auf die Summe von all diesen Alphas ankommen.
Und der Fall des AR1 ist natürlich völlig eingeschlossen,
denn wenn P gleich eins ist, naja,
dann steht hier eben einfach nur das Alpha-eins-Schrift, das normale Alpha.
Und dann ist die Frage,
ob das gleich eins ist oder nicht gleich eins. Gut,
also A von L heißt Lake-Polinom und das ist ein Polynomen-Peten-Grades,
da eben natürlich das Peni hier, die höchste Potenz von Alice.
Wir betrachten jetzt zunächst nur das Lake-Polinom erster Ordnung,
das heißt,
das Lake-Polinomen für den
Das lautet einfach eins minus einfach mal enden, das ist klar.
Und ein solches Lake-Polynom nennen wir invertierbar, wenn Alpha betragsmäßig
kleiner als eins ist. Da ist sie also wieder unsere Bedingung,
die uns ja schon davor interessiert ist,
ist Alpha kleiner als eins betragsmäßig oder ist es gleich?
Eins? Ein solches Lake-Polynom hier heißt inverntierbar und ist nur dann inverntierbar.
Wenn das Alpha betragsmäßig kleiner als eins ist. Was heißt
das, dass ein solches Lake-Polynom invertierbar ist? Nun,
Sie sehen, ich habe ja hier oben schon,
als ich den Lake-Operator einführte, davon gesprochen,
dass man auch einen inversen Lake-Operator haben kann
In gewisser Hinsicht ist L. ein triviales Lake-Polynom.
Man hat halt nur ein Glied, hat nur L hoch 1.
Und das wäre dann die Inverse dazu. Ganz genau so
können wir auch die Inverse zu 1 minus Alphael,
zu diesem etwas komplizierteren Lake-Polynom bilden und das werden wir gleich tun.
Die Invertierbarkeit bedeutet jetzt eben, dass ein solches Polynom hier
eine Inverse hat, dass diese Inverse existiert.
Und jetzt machen wir nochmal kurz einen Ausflug in die Analysis-Vorlesung,
die sie Mathe 1 wahrscheinlich gehört haben
Entschuldigung, ich glaube, Mathe 21 lineare Allgebrad,
dann haben sie es im Mathe 2 gerettet.
Da haben sie die geometrische Reihe kennengelernt. Da haben sie gelernt,
dass die Summe von null bis unendlich über C hochi,
dass das gleich eins durch eins minus C ist,
wenn C betrachtsmäßig clever als eins ist.
Falls sie das nicht mehr wissen oder nicht mehr herleiten können,
dann gucken sie sich das zu Hause nochmal an in ihren Matheunterlagen.
Ich mache es normalerweise auch in meinen Mikrofonlesungen,
falls sie bei mir im Mikro gehört haben,
da sehen sie das bei kenianischem Multiplikator,
da ist C die im Originale Konsumneigung,
die ist gleich 1-
So ein Effekt irgendwie aussehen und der Konsumausgaben pflanzt sich dann
fort über die Jahre und durch Perioden hinweg mit der Wirkung C
hoch i und in der Grenze ist das 1 minus C und das ist der kennzianische Multiplikator.
Also aus diesen Zusammenhängen kennen sie im Grunde genommen diese Gesetzmäßigkeit hier,
dass die Summe über C hoch i gleich 1 durch 1 minus 10 ist.
Wir drehen dieser Eigenschaft jetzt um und wenden sie an auf
das Lake Polynon, beziehungsweise auch des niversen Lake Polynon.
Denn man wurde natürlich erwarten,
dass das niverse Lektolinom von 1 minus Alpha L,
dass das gerade 1 durch 1 minus Alpha ist.
Also dieses Polynomien
Oder die sind, das ist kein Problem, Norman, Entschuldigung, dieser Ausdruck hier.
Das ist das, wie wir gleich sehen werden,
das inverse Lake Polynomen zu dem Elektrolinum 1 Minus-Alphael.
Ja, oder hier ist es kein Leckpoly-Nummer, wir werden es gleich in ein Leckpolynom entwickeln.
Denn, also, dieser Ausdruck hier ist formal sehr ähnlich, diesen Ausdruck dort. Nur,
dass hier Alphael steht,
und da steht C. Fassen Sie mal dieses Alphael hier einfach
als C auf und wenden sozusagen die diometrische Reihe analog an,
dann würde folgen,
dass dieser Ausdruck hier eins durch eins minus Alphael,
dasselbe ist wie eine unendliche Summe pro C hoch I
genommen wird und C ist einfach mal elf,
in Klammern hoch
Vorausgesetzt, Alpha ist betragsmäßig kleiner als eins. Nur dann ist diese Intertierbarkeit gegeben,
denn das C-Betracht muss ja auch noch kleiner als eins sein.
Was sie nicht wissen und jetzt auch nicht verstehen können,
weil ich die mathematische Theorie dazu nicht gemacht habe,
ist, dass nämlich in der Tat das L dieser Lake-Operator,
der hat einen Betracht von genau gleich eins.
Sodass es in der Tat darauf ankommt,
dass das Alpha betrachtsmäßig kleiner als eins ist.
Nur dann ist diese Entwicklung hier möglich,
wenn das Alpha klein war als einzeln in Betracht.
Und dann können wir eben eins durch eins minus AlphaL schreiben,
als eine unendliche Summe über Alpha mal L,
ein Klammernbuch liegen
Und das hier ist wieder ein Lake Polinom. Nur ist
das jetzt ein Lake-Polynom, was eine unendliche Ordnung hatte.
Denn das I hier wird beliebig groß. Aber es ist
auch ein Lake-Polynom. Okay, bleiben wir bei den Fallen,
dass einfach eine tragsmäßig kleiner als als ist,
zu dem Fall einfach gleich eins, kommen wir später.
Das ist sogar ziemlich einfach dann. Dann wissen wir also,
wenn wir das inverse Lake-Polynom anwenden auf diese Gleichung hier,
also wenn wir hier sozusagen teilen durch eins minus Alphael,
dann kürzt sich das eins minus Alphael auf dieser Seite weg.
Wir können das genauso rechnen wie normal, ganz kürzen da einfach.
Und auf dieser Seite steht eins durch eins minus Alphael
vor dem Nyplus UT. Das heißt, wir kommen zu
dieser Leichung hier
Und wir wissen jetzt, dieses 1 durch 1 minus Alpha
L ist gerade gleich diese unendliche Summe über Alpha Elden,
Klammern hoch I, angewandt auf nyplus U.
Naja, Alpha mal Elden, Klammern hoch,
I ist derselbe wie Alphanguch I mal Elhori,
das habe ich hier, also sozusagen habe ich die Klammern aufgelöst.
Immer noch angewandt auf nyplus U. Jetzt nehme ich
dieses L-Hoch-I und multipliziere das rein in das nyplus UT.
Dann kriege ich hier also in den runden Klammern
Elhoch Immany plus Elhoch I mal UT. Elhoch I mal
Mü sagt, ich soll das Mü periodenweise verschieben,
aber das Mü ist zeitkonstant
Also Elhochimanü ist einfach dasselbe Vinyl, weil es mühsig
eben in jeder Zeitperiode mit demselben geht, darstellt.
In Hochiman-U-T ist aber U-T-In, wie sie wissen.
Elhochiman-U-T verschiebt das U-T um I-Perioden in die Vergangenheit. Das heißt,
wir kriegen jetzt hier raus, unendliche Summe über Alphahochi,
Nyplus-U-T-Minus-I. Naja, also hoch I,
also die Summe über dieses Alphahoch-I,
wenn das Alphabetrass-mäßig kleiner ist,
mal ein My gibt uns My durch 1-Eifer,
da wende ich einfach wieder
die geometrische Reihe an
Und dann bleibt hier stehen, plus diese unendliche Summe,
über die einfach hoch hieß, mal ut-i.
Weil dieses ging hierher. Das hier nennt man
die Moving Average-Darstellung von ucilontin. Um es zusammenzufassen,
wir sind ausgegangen von einem AR1-Prozess YT, der Yt darstellt.
Yt ist gleich einfach mal über so ein Themen,
das eins, plus nü, plus Utin.
Das war ein AR1-Protest. Der hat Äquivalent,
eine sogenannte Moving Average-Darstellung. Moving Average bedeutet,
wir bilden hier einen gewichteten Durchschnitt über die Sus,
wie ich es Ihnen schon erklärt habe,
das Moving Average-Prozess ist
Hier wird also YT nicht mehr durch verzögerte eigene Werte erklärt,
sondern es wird Verzöger erklärt, durch verzögertes weißes Rauschen.
Allerdings unendlich viele Werte davon. Und deshalb ist die Darstellung
in gewisser Hinsicht komplizierter, als die einfache AR1-Darstellung,
aber es ist derselbe Prozess, der dadurch dargestellt wird.
Diese beiden Darstellungen sind völlig äquivalent und sie können immer hin und her
switchen zwischen AR1-Darstellung und MA-Unendlich-Darstellung, die wir tatsächlich hier haben.
Diese MA-Unendlich-Darstellung in der vorigen Gleichung kann es natürlich
ebenfalls als ein Lake-Podinum geschrieben werden
YT ist also konstantin, wie durch 1 Minus Alpha,
plus diese unendliche Summe, übergewichtetes, meistens Rauschen?
Gerade, sagen wir mal,
dieses Ny durch 1 Minus Alpha, das nehmen wir künftig.
Müh, damit wir nur noch ein Symbol dahin zu schreiben haben.
Das ist also die Konstante. Und dann sagen wir hier,
das ist eine Summe, eine unendliche Summe über irgendwelche Koeffizienten.
MI mal Lake Operator HochI, mal UT.
Also sozusagen das MI hier ist das einfach HochI in
dem Fall
Und das bedeutet also, wir haben ja nichts anderes als
ein Lake-Pullinum M von L mit koeffizienten MI,
unendlich vielen Koeffizienten, aber das macht nichts,
das ist also ein Lake-Pullinum von unendlich hoher Ordnung.
Und das wird dann gewendet auf UT. Das heißt,
auch den Woming Average und selbst wenn er von unendlicher Dauer
ist oder von unendlicher Spannbreite ist,
diese Moving Average können wir ebenfalls in Form eines Lake-Pullinums schreiben.
Aus den Koeffizienten dieses Lake-Pullinums,
nämlich aus diesen MIs hier,
ergeben sich dann unmittelbar die Varianz des Prozesses und
die Autokurve-Ranzen von den YT
Zum Beispiel, weil das ja hier alles weiß, Zrauschen ist,
gilt, dass die Varianz von dem Y dann einfach die Summe über die MP-Quadrats,
mal sing mal Korat, U,
also mal die Varianz von diesem Tee hier ist.
Denn so eine Summe hier zu verdrieren ist einfach,
weil unterschiedliche U, also mit unterschiedlichen Verzögerungen als Erwartungswerte immer null haben,
die Co-Varianz ist ja nun,
und da bleiben also nur die quadrierten Perlen hier übrig.
Da wird natürlich auch der Koeffizient quadriert,
das wird dann einfach hoch 2I,
also hoch 2I oder AlphaI zum Quadrat, ist gerade MI zum Quadrat.
Das heißt, auch summiert werden einfach hier diese einzelnen
Thema Quaratus
Ja, und das ist dann sozusagen die Varianz von dem Öfziger.
Als Übung nutzen Sie bitte einfach mal die Beziehung Singen bei Frankreich Y,
ist zigmal Quarrat, U durch 1 Minus, iPhone Quarrat,
die wir für den AR1 ja schon hergeleitet hatten,
um hier die gleichen 15 nochmal zu verifizieren.
An dieser Stelle will ich schließen, weil wir ja noch
ganz kurz auch vielleicht ein bisschen Interaktion brauchen oder vielleicht auch nicht,
je nachdem, jetzt machen wir es nicht gebraucht.
Ich will Ihnen nur noch kurz sagen, worauf das hinausläuft.
Denn ich hatte ja gesagt, wir wollen zur ARP-Prozessen kommen
Nun ein ARP-Prozess, hat immer ein Lake-Polynom in dieser Art,
also ein kompliziertes Polynom LHOP,
aber jedes solches Polynom kann man faktorisieren,
nämlich als Produktschreiben in dieser Forum 1 minus W1L,
weil 1 minus W2L, mal bei Wahl,
1 minus WPL und diese Beasts,
das sind irgendwelche Zahlen,
da brauchen wir auch noch nicht so drüber nachzudenken,
aber sie können jedenfalls ein solches Polynom immer,
es ist ein solches Produkt schreiben und die Bekehrwerte von
diesen Wesen nennt man die Wurzeln des Polynoms,
da kommt dann auch der Begriff Einheitswurzel
Ja. Das Schöne daran ist, dass das hier eins
minus W1L so aussieht wie eins minus Alpha, mein Elb.
Das heißt, das Ding können wir invertieren und das Ding können wir invertieren.
Das Ding können wir invertieren, wenn die wurzeln,
also wenn diese Wes hier jeweils kleiner sind als eins.
Betragsmäßig. Und das werden wir dann in der nächsten Stunde
machen. Das heißt, das,
was ich jetzt gerade für ein A1 gemacht habe,
das wenden wir dann auch auf ein ARP-Prozess.
Und die Formel werden ein bisschen komplizierter,
aber im Prinzip ändert sich überhaupt nichts davon.
Und die Rechnungen macht später für uns der Computer,
also ja hochgängig von Hand zu machen.
Das also nur als Perspektive für das, was kommt.
Hier will ich
die Aufzeichnung stoppen