Hallo, hier möchte ich heute die verschiedenen Schließungssätze,
die wir thematisiert hatten, noch mal zueinander in Beziehung setzen.
Affiner Desarc-affine Pappus und auch ein paar Konsequenzen ausdehnen und in Bemerkung 4.6
wird erst mal grundsätzlich einiges gesagt, was auch zum Teil noch nicht in der Vorlesung dran war. In Punkt 1 sage ich Ihnen,
teile ich Ihnen mit, ohne dass wir den Beweis vollständig geführt haben,
dass AD, also das große Affine des Aktion von Desak,
Isomorph ist zu AD-Strich, das ist die Umkehrung des Desak,
das aus AD, AD-Strich folgt, hatte ich Ihnen bewiesen,
es gilt aber auch die Umkehrung und das aus AD auch S folgt,
also der Scherensatz, das hatte ich Ihnen auch bewiesen,
aber es gilt in Wirklichkeit sogar,
dass alle drei Sätze oder Aussagen zueinander Äquivalent sind.
Zweitens kann man sagen, und wissen wir,
habe ich letztes Mal gezeigt, dass aus AP,
also dem großen Pappus, stets der große Desak folgt,
das war der Satz von Hessenberg,
den ich gerade letztes Mal bewiesen habe, Dann ist klar,
und das haben wir auch schon bewiesen,
oder jedenfalls steht es im Skript als Aussage mit Beweis,
dass aus AD auch der kleine AD,
also der kleine Desak folgt.
Und dann kann man zeigen, wenn der Kleine Desak gilt,
dann gilt schon der kleine Pappus.
Also der Pappus, wo die Träger graden, parallel sind.
Und also diese Aussage habe ich ihnen bewiesen,
und diese wird im Skript bewiesen.
Diese ist im Moment noch nicht bewiesen, könnte sein,
dass sie in der Übung drankommt.
Ja, ansonsten sage ich sie ihnen einfach,
dass sie gilt und in der Aussage 2
wird auch noch was gesagt über die Umkehrung
Man kann nämlich zeigen, dass hier die Umkehrung nicht gilt.
Darum geht es nachher in diesem Video noch. Also wenn
der Sarg gilt, dann muss Pappus nicht unbedingt gelten.
Auch diese Umkehrung gilt nicht, also garantiert nicht,
da gibt es Gegenbeispiele. Hier genauso,
also es gibt affine Ebenen, wo der Kleine des Sarg gilt,
aber nicht der große des Sarg.
Bei dieser Sache hier ist das ein ungelöstes Problem.
Also es gibt weder Beweis noch Gegenbeispiel für diese Implikation aus
AP, Klein-AP,
Klein-AD folgt
Und die dritte Teilaussage der Bemerkung ist noch mal,
die Multen-Ebene, von der hatten wir damals gesagt,
sie erfüllt groß AD nicht.
Da hatte ich auch eine Skizze gemacht. Man kann aber
auch zeigen, erfüllt, klar, in AP nicht.
Also dieses Aktionen, und wenn sie das nicht erfüllt,
dann ist klar, dass sie alle anderen auch nicht erfüllt.
Also das ist ja das schwächste Aktionen von den Vieren und
nicht mal das wird von M erfüllt. Also sie erfüllt keines,
der hier auf oben genannten Axiome oder Sätze oder Aussagen,
wie man auch immer das nennen will.
Und jetzt kommen wir zu dieser Sache
Gegenbeispiel zu AD daraus folgt AP.
Ich gebe kein konkretes Gegenbeispiel, sondern eine Gegenbeispielklasse.
Wir wissen schon, alle AG2K erfüllen AD.
Und wir zeigen jetzt gleich nicht alle,
nicht alle AG2K erfüllen,
AP. Das heißt, es gibt affine Ebenen vom Typ AG2K,
die nicht Papus schenkt, also den Groß-AP nicht erfüllen.
Also diese Aussage gilt nicht, obwohl diese Aussage gilt,
obwohl AD gilt. Das heißt, aus AD kann nicht
AP folgen. Und genauer sogar werden wir jetzt zeigen,
dass AD2K genau dann den großen Papus erfüllt,
wenn das K kommutativ ist
Also hier kommen wir dann sozusagen. Pappus ist das geometrische Axiom,
was der Kommutativität des Grundkörpers entspricht. Und da wir ja
schon mindestens ein Beispiel eines nicht-kommutativen Körpers in unserem Sinne kennengelernt haben,
die Quartanionen, wenn wir karg, Quartanionen nehmen,
dann erfüllt die affine Ebene über den Quartanionen eben AAAP nicht.
Aber natürlich, wie jedes AG2K erfüllt diese Ebene AD.
Und das schreibe ich noch mal hin, diesen Satz,
den ich da jetzt gerade mündlich schon genannt habe
7. 4, 7 ist das. AG 2K,
die affine Ebene über dem Körper K, ist Papusch,
erfüllt also groß AP.
Genau dann, wenn K, kommutativ ist. Das heißt,
das Aktion von Papus ist eine geometrische Übersetzung des Kommutativgesetzes,
könnte man vielleicht so sagen.
Und das möchte ich
Ihnen jetzt beweisen
Und da skizziere ich Ihnen nochmal den Pappus hin.
Und ich schreibe vielleicht direkt hin, es reicht. Beim Pappus,
da gibt es ja die beiden Trägergraden, G1 und G2,
den Fall, dass die beiden nicht parallel sind, zu betrachten.
Da, wenn sie parallel sind, dann haben wir den kleinen Pappus,
da AP, in jedem HG2K,
Also für Parallelegraden gilt der Papus tatsächlich in jedem AG-2K. Das haben wir hier oben.
Jedes AG-2K erfüllt AD und damit aus dieser Implikationenkette auch Klein-AP. So,
das heißt also für den Papus, dessen Gültigkeit,
ich will jetzt prüfen, wann ist der genau gültig,
ist genau dann der allgemeine Aktion Groß-AP,
ist genau dann in A gültig, wenn für alle Situationen,
wo die Trägergraden nicht parallel sind,
die Aussage gültig ist.
Und die Skizze male ich hier nochmal hin
Den Schnittpunkt nenne ich Z, G1,
G2 und der Papos lautete, wir haben sechs Punkte,
A1, A2 ist parallel zu A4, A5,
das ist die erste Voraussetzung und A2,
A3 ist parallel zu A5, A6. Das ist die zweite Voraussetzung,
also die jeweils parallel, dann ist die Schlussfolgerung,
dass dann A1, A6 Parallel ist zu A3,
A4. Also diese Parallelität ist zu prüfen.
Da müsste, wenn Papus gilt, für alle schneiden dann geraden
die 1G2 und alle darauf entsprechend gewählten sechs Punkte gültig sein.
So, und jetzt gucken wir, wie kann man das
rechnerisch in den Griff kriegen? Das wollen wir ja,
weil wir ja auf die Kommutativität des Grundkörpers zu sprechen kommen wollen.
Und das heißt, wir müssen jetzt mit Koordinaten oder mit Skalaren arbeiten.
Und da benutzen wir 4-1 den Strahlensatz.
Also, benutze, das mache ich jetzt oft,
4-1 und schreibe das nicht jedes Mal
Noch dazu. Und wir müssen dafür die Punkte beschreiben.
Und zwar, ich schreibe mal eben nochmal die Voraussetzung hin.
Die erste Voraussetzung war A1, A2 ist parallel zu A4 A5.
Das möchte ich jetzt gucken, was bedeutet das rechnerisch?
Und dafür schreibe ich Strahlensatz, den Punkt A4 schreibe ich
als Z plus A2 minus Z. Malanda.
Und entsprechend A5 schreibe ich als Z plus 1-Z mal mühen.
Und wegen dieser Parallelität, Sternchen, Sternchen ist gleichbedeutend dazu,
dass Lamm da gleich Mühe ist. Das war der Strahlensatz.
Dann haben wir die zweite vorausgesetzte Parallelität, Sternchen,
Sternchen, die besagt A2 A3 ist parallel zu A5 A6.
Das setze ich jetzt genauso um. Da schreibe ich
A3 Ist gleich Z Z plus A5 minus Z. Malnü.
Und A2 ist gleich Z plus A6 minus Z mal roh.
Und wir haben die Parallelität der beiden Graden dieser beiden Graden,
ist genau dann erfüllt, wenn nie, gleich roh ist.
So, das ist die Voraussetzung von Pappus.
Den haben wir jetzt übersetzt. Der Pfiff Voraussetzung von Pappus,
wenn wir unsere sechs Punkte, oder hier haben wir jetzt erstmal,
es kommen alle sechs Punkte vor
Vier Gleichungen mit allen sechs Punkten. Die Voraussetzung,
dass die beiden entsprechenden Parallelitäten vorliegen, ist algebraisch gesprochen,
gleichbedeutend damit, dass Lamm da gleich Müh und Müh gleich roh ist.
Und jetzt kommen wir schon zur Schlussfolgerung.
Jawohl, also das ist vorausgesetzt, gilt nach Voraussetzung.
Das hier, also auch das hier, gilt dann auch.
Dieses gilt, weil Sternchen und Sternchen,
Sternchen gelten
Und wir möchten jetzt gucken,
wie kriege ich Parallelität beschrieben für die roten Graden.
Und da wissen wir erstmal ja noch nicht, ob sie gilt.
Und wir wollen gucken, wann gilt sie genau dann,
wenn eine gewisse Kommutativität vorliegt.
Das wird sich so zeigen. Also wir gucken einmal an,
wir haben die gerade A1 A6 und A3 A4.
Und dazu möchte ich jetzt die Punkte A3 und A4
in dieser Form in Abhängigkeit von A1 und A6
Und dafür gilt A3 ist gleich. Und ich benutze das von oben.
Ich benutze diese Formeln. Ich möchte nicht noch weitere Parameter,
Alpha und Better benutzen, sondern dass von da oben möchte ich ihn dann einsetzen sozusagen.
Das ist Z plus, und dieses A5, was ich
hier habe, das ersetze ich jetzt durch das hier.
Dann kommt nämlich genau A1 rein, was ich gerne auch hätte,
weil es ja um die gerade A1A6 und A3A4 geht.
Also ich möchte gerne das hier einsetzen. Also ich setze,
wobei ich hier für das A5 setze ich Z plus A1 minus Z mal Müh.
Also haben wir hier 5 Set plus A1 minus Z mal Müh,
das habe ich hier, dann kommt minus Z,
Manüh und das, also löse ich auf,
das Z minus Set, hebt sich weg,
Z plus A1 minus Z, Müh.
Und analog A4 ist gleich Z plus,
das hier und für A2 setze ich das hier unten,
Set plus A6 minus Z mal roh minus Z mal Lamda oder wo war ich?
A4 habe ich hier, genau, Lamda.
Ist also Z plus 6 minus Z. Rohlanda.
Und jetzt kommen wir, weil das hier gilt,
weil Lamda gleich Mühe ist und Nü gleich roh,
können wir hier genauso gut schreiben.
Z plus 6
minus Z mal
Lamda. Und hier, ich mache es jetzt so,
wie es im Skript steht. Eins, minus Z,
Lamda, Mü. Für Mühe, setze ich Lamda.
Das gilt ja nach Voraussetzung, unsere Pappuskonstellation.
Und für Roh setze ich Mü. Das gilt auch.
Also habe ich hier das. Und jetzt verbleibt 4-1,
sagt jetzt, die beiden Graden,
um die es hier geht,
1-A6,
parallel zu A3
Gilt genau dann, wenn diese beiden Skalare gleich sind,
also wenn Lamdany, gleich Nü Lamda.
Und das ist das, was wir wollten. Wir haben jetzt
die Pappusfigur schließt sich, also auch die letzte Parallelität,
die im Satz gefordert wird, als Schussfolgerung,
gilt genau dann, wenn Lamdany gleich Nü Lamda ist.
Also wenn das Kommutativgesetz für diese beiden Skalare,
Lamda und Nü gilt,
unter Lamda und Nü aber im Prinzip beliebig waren,
weil die Pappuskonfiguration ja nicht nur für diese
ganz konkret hier hingemalten Punkte gilt,
sondern dann für alle Punktkonstellationen gelten soll
Also auch, wenn ich A6 ein bisschen weiter dahin zeichne und
dann muss ich natürlich A5 auch ein bisschen woanders hinzeichnen.
Also wenn ich entsprechend hier die Parameter ändere, kriege ich andere Punkte, die aber,
wo die Voraussetzungen wieder genau Parallelität genau wieder mit Gleichheit von Parametern zu übersetzen ist.
Und das heißt, alle Pappungskonfigurationen schließen sich in diesem Sinne genau dann,
denn für alle Lander und Nü diskommutativ Gesetz gilt.
Und das ist das, was wir zeigen wollten,
dass je zwei Körperelemente miteinander komutieren und damit haben wir gezeigt,
unseren Satz, den ich hier nochmal auflege, Der Satz von Papos gilt,
in der affinen Ehe gibt Ebene AG2K, genau dann,
wenn K kommutativ ist.
Genau, und damit möchte ich dieses Video beenden.
Vielen Dank für die Aufmerksamkeit