Herzlich willkommen. Ich möchte einen Satz über desacsche-affine Ebenen hier mit Ihnen besprechen und erinnere noch mal kurz,
was heißt desacsche-affine Ebene, eine affine Ebene, heiß desac,
wenn das Axiom, oder manchmal sagt man auch der Satz,
aber eigentlich ist es ein Aktion, großartig,
der große affine Satz von Desak gilt, der besagt,
wenn wir drei Graden haben,
die durch einen Punkt gehen und zwei Dreiecke sodass entsprechende Dreiecksseiten auf den entsprechenden Graden drauf liegen,
derart, dass diese beiden Dreiecksseiten parallel sind und diese beiden Dreiecksseiten parallel sind,
dass dann automatisch auch die dritten beiden Dreiecksseiten parallel sind.
Das ist der große,
affine Desag und der gilt zum Beispiel in allen Ebenen AG
2K und er gilt zum Beispiel nicht in der Multon-Ebene,
also in manchen affinen Ebenen gilt er und in anderen nicht.
Und wenn er gilt, dann sprechen wir von einer desagischen,
affinen Ebene und eine solche wird jetzt hier in Satz 4
-4 behandelt
Nämlich, der Satz beinhaltet drei Unterpunkte, 1, 2,
3, jeweils Sätze, die aus dem großen Desak folgen.
Also wenn in A, das Groß-AD gilt,
dann gelten auch klein AD, S und noch einen dritten.
Und die ersten beiden werde ich hier nur anhand einer Skizze jeweils erklären,
den Beweis des kleinen Desak, den können sie sich im Skript durchlesen.
Beweist das Scherensatzsitz wird wahrscheinlich in der Übung drankommen und die Aussage 2,
die hier unten noch versteckt ist, die werde ich gleich beweisen.
Und wenn ich den Beweis führe, werden sie sehen,
dass das relativ kompliziert ist und man immer ganz viele Sonderfälle mit berücksichtigen muss,
was für meinen Geschmack sehr unschön ist, das wirklich vorzurechnen.
Also deshalb möchte ich nicht allzu viele dieser Sätze hier in der Vorlesung
wirklich vollständig beweisen. Und auch die ersten beiden Sätze hier,
die habe ich jetzt auch nur in Zeichnungsform hier Ihnen erklärt,
die genauen mit Beschriftungen, wie die Buchstaben geraden und Punkte heißen und so weiter, können Sie im Skript nachlesen.
Der kleine Desigg ist so ähnlich wie der große Design,
nur dass die drei Träger geraden,
die hier alle drei durch den Punkt Z gingen,
hier jetzt alle drei parallel sind Ansonsten aber genauso,
wenn man auf diesen drei Parallelen geraden zwei Dreiecke hat,
derart, dass diese beiden geraden parallel sind und diese beiden geraden parallel sind,
dann sind auch die beiden roten Graben parallel.
Das ist der kleine Desak. Und der unterscheidet sich von
großem Desak nur dadurch, dass diese drei Träger geraden,
wie man die nennt, hier parallel sind.
Oder man könnte sagen, ihr Schnittpunkt ist ein Fernpunkt.
In dem Sinne dann im projektiven Abschluss werden sie doch wieder kopunktal.
Dann habe ich jetzt hier als nächstes die Aussage drei,
der Scherensatz
Den habe ich hier schematisch aufgemalt. Also man hat zwei Trägergraden,
darauf acht Punkte, sodass die blauen Graden,
wie ich hier aufgezeichnet habe, zueinander parallel sind.
Also diese zu dieser, diese zu dieser, zu dieser.
Und dann ist die Schlussfolgerung, auch die beiden roten Graden sind parallel.
So, und jetzt komme ich zum eigentlichen Satz,
den wir beweisen wollen.
Das ist die Umkehrung des Desag
Ah, die Strich, nenne ich sie, die lautet wie folgt.
Wir haben sechs verschiedene Punkte, A1, A2, A3, B1,
B2, B3, weder A1, A2, A3,
sein kollinear, noch B1, B2, B3 sein kollinear.
Das heißt, beide, Punkte, Triebel,
bilden wirklich ein Dreieck und nicht ein ausgeartetes Dreieck,
wo doch alle Ecken auf einer Raden liegen.
Und es gelten alle drei Parallelitäten,
also was bei dem eigentlichen Design die Schlussfolgerung ist,
dass alle drei entsprechend bezeichneten Dreiecksseiten A-I-A-J, B-I-B-J, parallel sind.
Das sei hier vorausgesetzt. Alle drei Parallelitäten. Und dann ist die Schlussfolgerung,
dass die drei Verbindungsgraden entsprechender Dreiecksecken,
also diese drei Trägergraben, entweder alle parallel sind,
dann wären wir in der Situation des kleinen Desigk,
oder dass sie alle drei co-punktal sind,
dann wären wir in der Situation des Großen Desigt.
Das heißt, aus den Parallelitäten der Dreiecksseiten können wir schließen,
eine dieser beiden Situationen liegt vor,
entweder die drei Trägergarten sind alle parallel,
oder sie sind co-punktal
Und das möchte ich jetzt beweisen und ich habe hier
den Anfang schon mal hingeschrieben. Wir gehen folgenden Sachen,
können wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit ausgehen, dass nämlich die drei Trägergraden,
die wir betrachten wollen, alle verschieden sind.
Sonst wären wir fertig, wenn wir hier nur statt
gar nicht drei verschiedene Graden hätten, sondern nur zwei verschiedene Graden,
dann wären die natürlich entweder parallel oder Co. punktal.
Und wir können auch OBDA davon ausgehen,
dass sie nicht alle parallel sind,
denn sonst wären wir fertig,
sonst hätten wir hier sozusagen den ersten Fall
Und wir gucken nur noch den Fall an,
wo sie alle verschieden sind und nicht alle parallel.
Und wir müssen zeigen, die sind alle drei kopunktal.
Nicht alle parallel heißt, mindestens zwei der drei Graden sind nicht
parallel und das seien mal ohne Beschränkung der Allgemeinheit A,
ein Sp, 1 und A, 2 B, 2.
Das habe ich hier schon mal so aufgemalt. Und den Schnittpunkt,
der dann ja existiert, den nennen wir Z. Und
zu zeigen ist also das Set auf der graden A3 B3 draufliegt.
Dann wären wir fertig, dann würde eben auch A3 B,
3 durch denselben Punkt Z gehen und die drei Graden
wären kopunktal
Und das wollen wir jetzt beweisen. Und dazu führe ich
einen Hilfspunkt ein. Ich verbinde nämlich Z mit A3,
die Verbindungsgrade im Skript steht da noch.
Man kann OBDA auch davon ausgehen, dass Z ungleich A3 ist.
Denn wenn Z gleich A3 wäre, dann wären wir hier natürlich
schon fertig. Also gibt es hier eine eindeutige Verbindungsgrade.
Und die schneidet die gerade wie ein Sp3 in einem Punkt,
die nennen wir B3 Strich. Und wenn wir das haben,
dann ist jetzt hier nur noch zu zeigen, zu zeigen,
B3-Strich ist gleich B3. Denn wenn wir das hätten,
A3B3-Strich und Z sind koordinär, wenn wir drei Strich-gleich-B3 wäre,
dann wären ZA3B, drei koordinär und dann wäre dieses hier erfüllt.
Jetzt haben wir aber ein Problem. Das müssen wir gleich noch zeigen,
das können wir auch nicht sofort, aber bevor wir das zeigen,
müsste ich leider noch hier ein Problem klären,
nämlich warum existiert dieser Punkt überhaupt?
B3-Strich existiert, da Z-A-3 nicht parallel ist zu B-1 B-3.
Also B-3 Strich war ja hier definiert als Z-A-3 geschnitten B-1
B-3. Und ich kann natürlich zwei Graden nur dann in einem
eindeutigen Punkt schneiden, wenn die beiden Graden nicht parallel sind.
Und das muss ich jetzt noch begründen.
Das mache ich jetzt hierhin in diese Ecke. Ich hoffe,
das passt hierhin, weil das jetzt der schwierigste Teil ist.
Da werden sie jetzt sehen, dass da wirklich viel Gedankenüberlegungen reinkommen,
um das zu zeigen. Also wir machen Annahme Dass diese
beiden geraden doch parallel wären, ZA3, parallel wie ein Speed3.
Dann haben wir das Parallelen-Aktion. In unserer affinen Ebene.
Es gibt nur eine einzige Grade durch A3,
die parallel zu B1B3 ist.
Das ist aber A1A3. Die sind nach Voraussetzungen parallel.
Und war ZA3 auch durch A3 geht,
muss dann ZA3 gleich
A1A3 sein
Also, auf jeden Fall,
Z ist ein Element der geraden A1, A3. So,
das haben wir mal gewonnen, das merken wir uns.
Und jetzt müssen wir noch zwei verschiedene Fälle betrachten und beide führen zu einem Widerspruch.
Das steht im Skript da so klein in Klammern.
Erster Fall, wenn jetzt die gerade A1,
A3 verschieden ist von der Graden A1, B1.
Das steht nirgends in unseren Voraussetzungen,
das müssen wir kurz zum Widerspruch führen,
dass das nicht angehen kann
Im Zusammenhang mit dieser Sache hier. Also A1 A3
ist diese gerade. A1 B1 ist diese. Wenn die
ungleich sind. Nachher gucken wir noch den Fall an,
dass die gleich sind. Aber schämen wir uns erstmal den
vielleicht einfach auf den Fall vor, dass die beiden verschieden sind.
Dann ist Z. Liegt ja auf A1 A3.
Und liegt auch auf A1 B1. So hatten wir Z
ursprünglich mal konstruiert
Das heißt, die beiden Graden sind verschieden, haben einen Punkt gemeinsam.
Das ist dann der eindeutige Schnittpunkt. A, ein Sp, eins.
Andererseits ist aber natürlich auf beiden Graden auch A.1 drauf.
Das heißt, Z ist gleich A.1. Z ist gleich A.1.
Und was schließen wir daraus jetzt wieder? Daraus schließen wir,
dass Z gleich A.1, das haben wir jetzt.
Dann ist A.1 A.2, wie gerade,
ist dann ZA2,
wenn Z
gleich A.1 ist
ZA2 ist aber A2 B2, so wie Z-Kontenstruiert ist.
A2 B2. Und jetzt machen wir wieder das Parallelen Aktion,
so ähnlich wie oben. Es gibt nur eine Grade durch B2.
Die Parallel ist zu A1 A2. Nämlich B1 B2.
Die geht durch B2 und ist parallel zu A1 A2.
Jetzt haben wir aber noch eine Grade durch B2,
die sogar gleich A1 A2 ist.
Also insbesondere auch parallel
Nämlich Arzt. Nämlich A1A2 selber. Nee, Entschuldigung.
Was wollte ich sagen? Es gibt nur eine,
gerade durch B2, die parallel zu A1A2 ist,
nämlich B1B2. Jetzt liegt aber B2 schon drauf.
Vielleicht schreiben wir das hier noch als Zwischenschritt hin.
B2-Element A1A2, daraus folgt, dass die eindeutige Parallele durch
B2 zu A1A2 ist gleich
A1A2. Die ist aber andererseits nach Definition
Und das heißt, die vier Punkte, die waren ja
alle verschiedener Voraussetzungen, die sind alle auf der gleichen Grade.
Lieben. Alle auf der gleichen Grade sind kolinear und
die ist die eindeutige Verbindungsgrade von je zwei Punkten.
Die sind alle identisch. Dann ist also insbesondere auch A1 B1
gleich A2 B2. Das ist auch die Verbindungsgrade von irgendwelchen Zweien
hiervon. Das ist jetzt aber ein Widerspruch zu unserer Voraussetzung
Zu unserer Voraussetzung, dass diese Graden alle verschieden sind.
Jetzt sind sie doch nicht mehr verschieden. Genau,
also kommen wir in diesen ersten Fall zum Widerspruch geführt.
Ich gucke mal, ob ich den zweiten Fall hier unten
in meine kleine Ecke noch zum Widerspruch führen kann.
Und dann kommen wir zu unserer eigentlichen Behauptung zurück.
Zweiter Fall. A1A3 gleich A1B1. Da können wir auch wieder
das parallelen Aktion anwenden.
Es gibt nur eine Grade
Durch B1. Die parallel ist zu A1A3, nämlich B1B3. Das heißt,
wieder mit dem parallelen Aktionen muss das B1B3 sein.
Und wir haben dieselbe Situation wie oben. Hier hatten wir A1A2,
B1, B2 liegen alle auf der gleichen Graden.
Daraus folgt B1, B1, gleich A2,
B2. Hier haben wir jetzt A1, A3, B1,
B3 liegen alle auf der gleichen Graden.
Also mit denselben Argumenten wie oben kriegen wir jetzt hier
raus A1,
B1 gleich
A3. B3 ist auch ein Widerspruch zur Voraussetzung,
dass diese Graden alle verschieden sind. Das heißt,
wir haben unsere kleine Nebenrechnung hier fertig und sind jetzt sicher,
dass dieser B3-Strich wirklich existiert und wir müssen jetzt,
wie gesagt, nur noch zeigen,
dass B3-Strich gleich B3 ist und da endlich verwenden wir jetzt den großen Desak,
der ja vorausgesetzt ist.
Und zwar gucken wir uns jetzt die Situation mit diesen
drei Trägergraden an und den Dreiecken A1 A2 A3 B1,
Speed 2, B3 Strich.
Also Dreiecke, A1, A2, A3, B1,
Speed 2, B3 Strich, Erfüllen, Voraussetzungen von großartig.
Die Dreieckseiten liegen auf, gerade durch diesen Punkt Set.
Diese beiden sind parallel, das sind ja die Alten,
diese gerade A1, A3 ist ja parallel zu B1 B3,
die aber dasselbe ist wie B1 B3 Strich,
weil B3 Stricher hier drauf liegt
Entsprechend A1A2 parallel zu B1B2, erfüllen die Voraussetzungen von AD.
Das heißt, mit AD folgt jetzt das A2A3 parallel ist
zu B2B3 Strich, weil ich hier Strich genommen hatte.
Und wieder nach dem parallelen Aktionen gibt es ja nur eine einzige Parallele.
Durch B2 parallel zu A2A3. Das war aber nach Voraussetzung des Satzes,
den wir gerade beweisen wollen,
war das B2B3. Diese B2B3 waren nach Voraussetzungen parallel zu A2A3.
Das heißt B2B3 Strich ist gleich B2B-Treiber. Das ist die
einzige Parallele ist durch B2, die parallel zu A2A3 ist.
So, jetzt sind die beiden Graden identisch und
wir können Schlussfolgern wie drei Strich
Das ist der Schnittpunkt nach Definition, hier oben.
B3-Strich ist der Schnittpunkt. Nein, nicht nach hier oben,
sondern nach dem, was wir jetzt hergeleitet haben.
Hier sehen wir jetzt B3-Strich, ist auf dieser Gran drauf.
Wenn die beiden Verbindungsgraden identisch sind,
muss insbesondere B3-Strich auf dieser Graden drauf liegen.
Und ist andererseits nach Konstruktion ja auf der geraden B1 B3.
Jetzt ist aber der Schnittpunkt dieser beiden Graden eindeutig der Punkt B3,
der in beiden vorkommt,
schon direkt hier in der Beschreibung
Und wir haben gewonnen, B3-Strich ist gleich B3,
was wir zeigen wollten. Und damit haben wir den Beweis
abgeschlossen. Und ich denke, Sie haben jetzt gesehen,
dass da wirklich sehr viele Kleinigkeiten zu beachten sind.
Und deshalb möchte ich jetzt auch die anderen Teilbeweise dieses Satzes hier nicht ausführen.
Und auch im Folgenden werde ich einige Beweise überspringen.
Und immer nur mal exemplarisch einige Teilbeweise vorführen.
Danke aber für die Aufmerksamkeit und genau,
schauen Sie sich den Beweis von dem kleinen Desigg
an und wir können in der Fragestunde
darüber sprechen