Sie sehen hier noch einmal eine Folie,
die wir in der letzten Stunde bereits besprochen hatten.
Ich will Ihnen kurz zunächst vielleicht einen gewissen Überblick geben, was Sie in dieser Vorlesung erwartet.
Denn die heutige Vorlesung ist wahrscheinlich eine besonders wichtige Vorlesung,
weil wir hier erstmals auch eine ökonomische Interpretation der Daten vornehmen werden und eine gewisse Konjunktur,
Hypothese formulieren werden, abgeleitet aus Zeitreiheneigenschaften der Daten.
Das heißt, heute werden Sie erstmals lernen, wie man Zeitreihen,
Eigenschaften, ökonomisch interpretiert und wie man daraus Erkenntnisse über Ursachen für konjunkturelle Fluktuationen ableitet.
Was wir bislang gemacht hatten,
war ja eher technisch und deskriptiv, aber nicht interpretativ,
weil wir uns eine Zeitreihe,
in diesem Fall das amerikanische Bruttoinlandsprodukt angeschaut hatten und überlegt haben,
wie wir sie statistisch und auch ökonometrisch untersuchen können,
indem ich ihnen bestimmte Eigenschaften von Zeitreihen definiert hatte und auch anhand der ausgewählten Zeitreihe Bruttoinlandsprodukt pro Kopf der USA, illustriert hatte.
Aber wir sind ja noch nicht so weit gekommen,
dass wir jetzt irgendwie über ökonomische Hypothesen sprechen, über Ursachen,
Fluktu von konjunkturellen Flugportionen sprechen würden.
Und auch heute werden wir zunächst einmal die Technik noch ein wenig fortführen.
Allerdings nicht so sonderlich viel. Und dann wollen wir zur ökonomischen Interpretation kommen,
wobei ich dann auch nochmal kurz zurückgehen werde,
um ihn nochmal in Erinnerung zu rufen, die Ergebnisse,
die wir bislang bereits erzielt haben,
für das amerikanische Bruttoinland-Produkt
Diese Folie hier auf Seite 31 habe ich deshalb aufgerufen,
weil hier zunächst noch einmal die Definition einer stationären Zeitreihe steht,
die wir durchgesprochen hatten.
Ich wiederhole Sie hier noch einmal, eine Zeitreihe heißt stationär,
wenn Ihr Erwartungswert und Ihre Varianz zeitunabhängig sind.
Und die Auto-Co-Varianzen der Zeitreihe nur von der Zeitdifferenz tau abhängen.
Das heißt, im Zeitablauf ist das Auto-Co-Varianzmuster ebenfalls konstant und
damit zeitunabhängig. Das heißt, wenn ich einen bestimmten Abschnitt
der Zeitreihe in der Zeit sozusagen verschiebe,
dann würde die Auto-Co-Varianzstruktur
dieselbe bleiben
Erinnern Sie sich bitte, Otto-Co-Varianzen sind einfach die Co-Varianzen der
Beobachtung Tee, der Zeitreihe mit anderen Beobachtungen derselben Zeitreihe.
Also, sagen wir mal, mit der Periode YT-Tau,
also dem Wert, den die Zeitreihe in der Periode Y Team ist,
auch annimmt. Und wir hatten uns bei Grundtypen,
zwar besonders wichtige und auch im Verlauf der Vorlesung,
immer wiederkehrende Grundtypen von zeitreihen Prozessen definiert.
Den einen sehen Sie hier noch, den Moving Average-Prozess, also ein gleitender Durchschnitt.
Der andere Prozess, den wir uns angeschaut hatten,
war ein autoregressiver Prozess, also ein AR-Prozess gewesen.
Und Sie sehen hier noch einmal das Resultat,
was ich abgeleitet hatte, ein bleitender Durchschnitt,
ein Moving-Average-Prozess, ist immer ein stationärer Protest,
während bei dem Otto regressiven Prozess, wenn Sie sich erinnern,
dass ja ein wenig abhängen von den Koeffizienten dieses Prozesses,
ob der stationär ist oder nicht.
Im beispielhaft durchgesprochenen Falle eines AR1-Prozesses hatten wir nur einen solchen Koeffizienten,
der hieß Alpha und da war die entscheidende Frage,
ob das Alpha betrachtsmäßig größer oder kleiner als eins ist.
Ich hatte Ihnen gezeigt, die Stationarität ist dann gegeben,
wenn Alpha tragsmäßig kleiner ist
als eins
Soweit also zunächst einmal noch zum kurzen Rückblick und zu einem
Vorausblick auf das, was sie in dieser Vorlesung erwartet.
Hier kommt jetzt die nächste Folie,
die ich in der letzten Stunde schon kurz projiziert hatte,
aber noch nicht besprochen hatte und dort versuchen wir lediglich in etwas kompakterer Form,
die Konzepte, die ich für sie entwickelt hatte,
nämlich das Konzept einer Auto-Co-Varianz zu fassen,
indem wir uns
einer Otto-Co-Varianz-Funktion schreiben
Was ich hier in Gleichung 7 sehen, Gamma von Tau
ist einfach die Definition der Autoco-Varianz einer Zeitreihe. Nämlich,
sie erinnern sich, die Autoco-Varianz war definiert als der Erwartungswert eines Produktes,
nämlich des Produktes, der Zeitreihe YT, abzüglich Mittelwert,
oder der Beobachtung gibt es dann, Tee abzüglich Mittelwert,
multipliziert eben mit Y Temius Tau, abzüglich Mittelwert.
Der Mittelwert Mü ist ja zeitkonstant,
also es muss derselbe Wert von beiden Beobachtungen abgezogen werden.
Und da betrachten wir eben sozusagen
die Zeitdifferenz
Oder betrachtendes Produkt von zwei Beobachtungen über eine Zeitdifferenz von Tauperioden hinweg.
Und der Erwartungswert dieses Produktes, das hat mir definiert,
ist die Autoco-Varias. Und diese Autoco-Varianz,
so hatten wir gesagt, ist bei einer stationären Zeitreihe,
nur abhängig von der Differenz zwischen den beiden Beobachtungen, also von der zeitlichen Differenz.
Das heißt, von diesem Tau. Deshalb kann man sich
also leicht eine Funktion in Abhängigkeit von diesem Tau definieren.
Das ist gar nicht schwierig. Wir schreiben also jetzt Gamma Fontau
und fassen das als eine Funktion auf in Abhängigkeit von der Variablen Tau,
also in Abhängigkeit von der Zeitdifferenz,
die wir bei der Berechnung der Otto-Co-Variante zugrunde leben.
Gamma von Tau ist dann die sogenannte Autoco-Variante-Funktion eines solchen Prozesses.
Diese Autoco-Varianz-Funktion hat die Eigenschaft, dass sie an der Stelle null gerade den Wert der Varianz der Zeitreihe annimmt.
Gamma von null ist immer Sigma-Quadrat Y, denn klar,
wenn das Tau hier null ist,
dann würden wir hier einfach das Produkt haben, der Erwartungswehr,
also zunächst das Produkt haben, Y-T-Minus-Mühe zum Quadrat,
und der Erwartungswert an solchen quadrierten Produktes ist natürlich, Entschuldigung,
der Erwartungswert einer solchen quadrierten Größe ist natürlich einfach die Varianz,
weil bei den Erwartungswert des Terms YT bereits abgezogen haben.
Also Gamma von null ist Sigmaquarat Y und Gamma
von Tau ist Alpha Hochtee-Betracht, mal Sigmaquadrat Y,
wenn es sich um einen AR1-Prozess handelt.
Dieses für einen AR1-Prozess hier, was hier hingeschrieben habe,
das bezieht sich auf diese Eigenschaft
Das Gamma von null gleich Sigmar Karan hat. Y ist,
das gilt für jeden stationären AR-Prozess. Also auch für ARs höhere Ordnung,
aber diese Eigenschaft hier gilt nur für den AR1-Prozess.
Jetzt mögen Sie fragen, wieso steht da Alpha hoch? Tau,
Sigmar Quadrat Y. Nun, das würden Sie sehen,
wenn Sie nochmal zurückgehen in die Berechnungen,
die wir angestellt haben für die Ermittlung einer Auto-Co-Variante.
Das ist immer von dem Absolutbetrag der Zeitdifferenz zwischen zwei Beobachtungen
abhängt. Sie sehen es aber auch jetzt,
wann ich Ihnen jetzt gleich noch einmal zeigen werde,
dass die Auto-Co-Varianz-Funktion symmetrisch um den Punkt auch gleich null ist
Und diese Symmetrie geht natürlich auch aus dieser Formulierung hier für den AR1-Prozess bereits hervor.
Denn hier spielt es dann auch mal keine Rolle,
ob das taub, positiv oder negativ ist,
der Wert der Autoko-Varianzfunktion hängt immer nur vom Betrag.
Und tau ab. Das heißt,
sie sehen also bereits hier, dass für den AR1-Prozess-Prozess,
Gamma von Tau, dasselbe ist Vigamma von Minus Tau.
Nämlich immer dieser Wert hier,
der Betracht von Tau ist gleich den Betracht von Minus Tau.
Also es ist derselbe Wert, egal ob welche Tau
oder Minus
Tau einsetzen
Das habe ich hier behauptet für ein AR1 und de facto
habe ich es bereits in der letzten Stunde auch gezeigt.
Ich sagte Ihnen ja gerade, Sie brauchen nur zurück zu blättern und werden übersehen.
Jetzt beweise ich in dieser Eigenschaft aber auch für einen ganz
beliebigen AR-Prozess oder genau genommen für eine beliebige stationäre Zeitreihe.
Es muss noch nicht mal ein AR-Prozess sein. Denn nehmen wir mal an, dass das Tau kleiner als Null ist. Also klar,
normalerweise nehmen wir irgendwie größere Werte, Nehmewerte für Tau,
die größer sind als Null,
aber wir können ja auch mal einen Wert für Tau nehmen,
der kleiner als Null ist, um dann zu zeigen,
dass der Funktionswert der Otto-Co-Varianz-Funktion für ein negatives Tau derselbe ist,
wie wenn wir den wird von Tau positiv wählen würden,
also derselbe absolut betrachtet,
aber unterschiedliches Vollzeichen.
Und das können Sie sehr schnell hier sehen,
fahren wir also an mit Gamma von Tau und Tau ist eine negative Zahl.
Das ist definitionsgemäß der Erwartungswert über dieses Produkt hier,
also einfach mechanisch eingesetzt, yt-müh, mal yt-minus-tauf, minus müh.
Nun ja, was ist aber t-tau?
Da Tau negativ ist, ist Minus-tau positiv.
Das heißt, wir können Y-T-minus-tau auch schreiben als Y-T plus
Tau Betrag
Dieser Wert hier ist derselbe Wert wie der Wert hier über so einen Tee plus Taubetrag.
Ich tausche hier also einfach die Reihenfolge der beiden Faktoren in diesem Produkt,
das heißt die zweite Klammer wird die erste Klammer,
wenn ich hier das gleiche Zeichen durchrechne,
dann ist diese erste Klammer jetzt das,
was hier die zweite Klammer war und ich habe halt YT plus Taubetrag geschrieben,
minus müh,
mal yt-müh,
diese zweite Klammer ist genau unverändert die erste Klammer
hier gewesen und die Faktoren als Produkts kann ich ja
beliebig rumtauschen
Also, ist das Skammer von Tau gleich, diesem Ausdruck hier.
Und jetzt könnte ich natürlich auch umdefinieren und sagen,
naja, T-Plus-Tau-Betracht, das bezeichne ich mal als irgendeinen Tee-Strich.
Also ich setze Tee-Strich gleich Tee-Plus-Tau-Betrag. Dann würde ich also
für YT-Plus-Tau-Betrag ausschreiben können, YT-Strich, das steht jetzt hier,
minus müh. Immer noch dieselbe erste Klammer wie dort,
nur dass ich eine andere Notation eingeführt habe,
hier habe ich den Strich eingeführt.
Dann ist das Tee, was ich in der zweiten Klammer
findet, nach dieser Definition hier natürlich
gerade t-strich-minus-Tau-Betrag
Also schreibe ich hier in die zweite Klammer hin, Y,
Index-T-Strich-Minus-Taubetrag, minus müh. Und nun weiß ich aber natürlich,
der Erwartungswert über dieses Produkt hier, wo YT-Strich-Minus-Müh multipliziert wird,
mit YT-Strich-Minus-Tau, das ist gleich Gamma von Taubetrag.
Denn es hängt ja die Autoco-Varianz bei einer stationäre Zeitreihe
immer nur ab von der Zeitdifferenz.
Also es hängt nur ab von diesem Taubetrag hier.
Also ist das gleich Gamma von Taubetrag. Aber Taubetrag ist
natürlich dasselbe wie Minus-Tau, denn Tauber ja negativ.
Also ist Taubetrag gleich Minus-Tau, also ist das gleich Gamma
von Minus-Tau
Womit wir gezeigt haben, Gamma Fontau ist für jede stationäre Zeitreihe gleich Gamma von Minustaub.
Das heißt, die Autoco-Varianz-Funktion ist eine Funktion, die symmetrisch ist,
um den Punkt taugleich null herum und an der Stelle taugleich null.
Da wird eben gerade die Varianz der Zeitreihe angenommen.
Mit dieser Autoco-Varianz-Funktion rechnen wir gar nicht so oft,
denn ich hatte ihm ja auch schon gesagt,
die Co-Varianzen sind nicht vielleicht interpretierbar,
da sie abhängig sind von den Einheiten,
in denen die Zeitreihe essen worden ist.
Viel interessanter ist immer die sogenannte Autokorrelationsfunktion oder interessanter als eine Co-Varianz,
ist eine Korrelation und interessanter als eine Autoco-Varianz, ist eine Autokorrelation.
Und hier haben wir dann also natürlich naheliegenderweise leicht die Vorstellung,
dass wir auch die Autokorrelationsfunktion definieren können,
die jetzt mit Roh von Tau zeichnen werde.
Das sind übrigens ziemlich gängige Bezeichnungen in der Literatur, das Gamma von Tau,
die Autoco-Varianz-Funktion ist und Roh von Tau, die Auto-Korrelationsfunktion ist.
Da die Autokorrelationsfunktion so wichtig ist, wir werden sie
immer wieder verwenden, da hat sie eine spezielle Abkürzung,
ACF für Ortocorrelation, Franction.
Man könnte natürlich auch denken, das heißt Ortoco-Variance
Function ist aber nicht der Fall mit der Ortoco-Variance-Funktion,
wie gesagt,
Rechen von normalerweise
Die hier für Korrelation und nicht für Englisch Co-Varianz,
was man ja ebenfalls mit C schreiben würde.
Wie ist die Autokorrelationsfunktion definiert, nun ganz einfach?
Rohfond Tau ist natürlich einfach die Autokorrelation, die Autoko-Varianzfunktion geteilt durch die Varianz,
also geteilt durch Gamma von Null, denn ich hatte ihm ja gesagt,
Gamma von Null ist gerade gleich die Varianz.
Weil wir ja wissen, dass die Auto,
dass sich eine Korrelation immer ergibt, dadurch,
dass man eine Co-Varianz teilt durch das Produkt von zwei Standardabweichungen.
Also normalerweise, wenn sie irgendwie die Otto Pro-Varianz von X
und Y haben, würden sie teilen,
durch die Standardabweichung von X und die Standardabweichung von Y.
So müssen sie hier eben teilen, wenn sie, sagen wir mal,
die Co-Varianz zwischen Y und Tee und Y Tee-Tau betrachten.
Da müssen sie teilen, durch die Standardabweichung von YT
und durch die Standardabweichung von Y. Tee-Tau.
Diese beiden Standardabweichungen sind aber gleich,
weil die Varianz zeitunabhängig ist bei einer stationären Zeitreihe.
Also ist das Produkt der beiden Standardabweichungen gleich der Varianz.
Das heißt, wir müssen einfach nur durch die Varianz
der Zeitreihe teilen, sprich durch das Firma von Nullteilen
Dann erhalten wir die Autokorrelation zum Lake Tau.
Das ist Autokorrelation zum Lake Tau, ist Otto Co-Varience zum
Lake Tau, geteilt durch die Variante der Zeitreihe.
Wir wissen, solche Korrelationen liegen immer zwischen minus eins und eins.
Das habe ich hier nochmal aufgeschrieben. Und wir sehen natürlich sofort auch aus dem Ausdruck,
den ich auf der vorigen Folie hatte,
das für einen AR1-Prozess gilt,
dass die Autokorrelationsfunktion die Gestalt Rohhochtau gleich Alpha,
Hochtaubetrag hat
Das sehen Sie ganz einfach, wenn Sie in dieses Ding
hier nehmen. Das war ja Gamma von Tau,
das müssen Sie teilen durch die Varianz von der Zeitreihe,
also durch die Varianz von Y, sprich durch das Sigmaquarat Y,
dadurch wird geteilt, dann bleibt also Alpha, Hochtau einfach übrig.
Und dementsprechend ist die Autokorrelationsfunktion für einen AR1-Prozess einfach gegeben durch Alpha,
Hochtaubetrag, woraus natürlich auch sofort ersichtlich ist,
dass auch die Autokorrelationsfunktion symmetrisch ist.
Das gilt aber nicht nur für den AR1,
sondern es gilt für jeden beliebigen, stationären Prozess.
Denn hier haben wir eine symmetrische Funktion Gamma von Tau
und die und einfach durch eine Konstante geteilt.
Das heißt, die Symmetrie um den Punkt Taugleich.
Null herum bleibt erhalten
So, das ist zunächst mal das,
was ich an Theorie noch nachtragen wollte, zum Verständnis dessen,
was wir im Bereich der Zeitreihe machen werden und welche Instrumente wir dort nutzen werden.
Jetzt wollen wir wieder zurückkehren zu der Zeitreihe des Bruttoinlandsprodukts,
die wir betrachten und ich will sie ihm gerade noch einmal zeigen,
denn ich setze jetzt hier nochmal da an,
wo wir die Wachstumsrate des Outputs als ein AR1 geschätzt
hatten,
also in Form der Gleichung
Die Wachstumsrate hatten wir ja beschrieben, mit DDP,
also die Veränderung des Bruttoinlandsprodukts, weil das Bruttoinlandsprodukts,
das Bruttoinlandsprodukt in Logarithmen gegeben war, wissen wir,
dass die erste Differenz des Logarithmus, die Wachstumsrate war.
Also das noch mal zur Erinnerung und jetzt gucken wir uns noch mal schnell die Zeit rein an, die wir dort hatten. Das ist die Ausgangszeitreihe,
die wir betrachten werden, allerdings werden wir sind nur bis 2007 betrachten,
das hatte ich ja in Aklette,
aber im Grundsatz ist das hier die Zeitreihe,
die wir haben wollen und da sehen wir halt diese Fluktuationen und irgendwie,
naja, es wollen wir die halt konjunkturell interpretieren können,
diese Fluktuationen Und das hatten wir bislang dadurch gemacht,
dass wir gesagt haben,
die Wachstumsrate muss ja in irgendeiner Form Autokorrelation auch weisen.
Und wo habe ich sie?
Entschuldigung. Nicht richtig. Ja, kommt wohl noch
Ja, das war die zugehörige Quartalswachstumsrate. Das heißt,
die erste Different der Logarithmierten Zeitreihe, so wie das hier oben noch einmal definiert ist.
Und wir hatten dann für diese Zeitreihe, also für die Wachstumsrate,
von der wir wissen wollten, weiß die Autokorrelation auf.
Das heißt, gibt es Phasen, wo überwiegend das Bruttoinlandsprodukt
weckt und Phasen, wo überwiegend das Bruttoinlandsprodukt strumpft.
Also über mehrere Perioden hinweg die Wachstumsrate negativ ist.
Da hatten wir bereits ein kleines Modell geschätzt und das sah so aus,
wenn sie sich erinnern,
Die Wachstumsrate des Bruttoinlands-Produkts wurde im Rahmen einer AR-Einschätzung regressiert auf
eine Konstante und auf die eigene Verzögerung dieser Wachstumsrate,
also auf den gelegten Wert des Vorquartals dieser Wachstumsrate.
Und das hier war ein Unbeobachtbarer Störtern,
der dann geschätzt werden konnte, dessen Werte geschätzt werden konnten.
Und dann bekamen wir hier heraus, der Schätzwert für dieses Alpha,
ein Schätzwert bezeichnet war mit Alphadach, ist 0,278,
also grob ein Viertel,
ein bisschen mehr als ein Viertel
Und hatten uns dann überlegt, das bedeutet,
dass externe Shop-Impulte auf die Wachstumsrate des Outputs schnell abklingen.
Das hatten wir dann auch ausgerückt durch eine solche Impulsantwort-Funktion,
die ich hier für sie geplottet hatte.
Das hat uns definiert, wie das funktioniert. Da sehen wir eben,
wenn ein Schock des Ausmaßes eins eintritt,
dann hat der eine Wirkung von eins in der Periode,
in der er auftritt,
aber in der Folgeperiode hat er schon nur noch
eine Wirkung von 0,27,
also etwas mehr als ein Viertel
Und in der Periode danach ist die Wirkung noch kleiner,
nämlich ein Viertel zum Quadrat, sprich ein Sechzehntel.
Ja, und dann stirbt das eben relativ schnell aus.
Schon nach einem Jahr, also nach vier Quartalen,
ist von dem Schock in der Wachstumsrate im Grunde genommen nichts mehr zu sehen.
Jetzt gehen wir zu unserer Zeitreihe zurück,
haben uns das nochmal in Erinnerung gerufen,
was wir als Resultate hatten für die Analyse der Wachstumsrate des Outputs.
Und wir fragen jetzt, was passiert denn,
wenn wir das Niveau des Outputs in der Form AR1 schätzen?
Also jetzt nehmen wir wirklich GDP und nicht die Veränderung
von GDP
Jetzt nehmen wir diese Trenntende Zeitreihe,
die ich Ihnen eben gerade noch gezeigt hatte. Das heißt,
ich schätze jetzt einfach mit der Methode der kleinsten Quadrate,
GDPT wird regressiert auf eine Konstante, auf Alpha, mal GDP-T minus 1.
Und, naja, dann ist ein Störternter ein unbeobachtbarer.
Das Ergebnis dieser Schätzung sehen Sie hier,
für Nü kriege ich einen Wert heraus, der fast null ist.
Ja, der Schätzwert für Nü ist dieses Nüdach hier,
das ist minus 0,001. Sie sehen die T-Statistik ist ganz klein,
minus 0,1, also überhaupt nicht signifikant. Das heißt,
über dieses Nü müssen wir nicht weiter nachdenken,
das ist de facto null in unserer Schädigung hier
Dieser Schätzwert hier. Erstens, du mirre schon nahe,
ein Null liegt, zweitens auch überhaupt nicht konsignieren.
Null, aber überhaupt nicht signifikant von null verschieden ist.
Interessant ist, der Schätzwert Alphadach, den ich hier habe,
für dieses Alpha dort. Dieser Wert ist jetzt 0,998,
also er ist fast eins. Der ist natürlich hochgradig signifikant,
wenn sie sich diesen T-Statistik hier angucken,
denn der T-Wert für dieses Alpha ist 424,2. Sie wissen,
das ist jenseits allen Zweifels, dass das einfach nicht gleich Null ist.
Also das ist ein hochgradig signifikanter Koeffizient,
den wir hier schätzen und der liegt ganz,
ganz nah an Eins dran
Was würde das bedeuten, wenn Sie in Form einer Impulsantwort
jetzt denken, also in Form einer Impulsantwortfunktion? Nun,
das hieße doch offenbar, dass ein Schock auch nach
vielen Perioden noch eine fast ungeminderte Wirkung auf das Uto-Inlands-Produkt,
das heutige Brillebrutto-Inlandsprodukt auswirkt.
Das heißt, dass der Schock eben nicht schnell abklingt,
so wie wir das bei den Wachstumsreifen gesehen hatten,
sondern dass er sich fast konstant in der Zeit erhält.
Stellen Sie sich mal vor, dieses Alpha-Dach hier sei
exakt gleich eins
Und wenn das der Fall wäre,
dass einfach exakt gleich eins ist, dann wissen wir ja,
aus dem Impuls-Antwort-Funktion, die Wirkung des Schocks in der Periode,
in der er auftritt, ist eins,
die Wirkung des Schocks in der Periode,
in der nächsten Periode, also sozusagen mehr Schock,
eine Periode zurückliegt, dann ist die Wirkung eins zu Quadrat.
Oder allgemein gesprochen ist es immer Alpha zum Quadrat.
Und danach einfach hoch drei, einfach hoch vier und so weiter.
Also, die Wirkung wäre dann eins zum Quadrat,
das ist ebenfalls eins. Und in der nächsten Periode wäre
die Wirkung eins hoch drei, das ist ebenfalls eins.
Das heißt, wenn der Schock exakt,
wenn dieser Koeffizient exakt gleich eins wäre,
dann würde die Wirkung eines Schocks
nie abgingen
Sondern selbst Schocks, die sehr lange zurückliegen,
vielleicht hunderte von Jahren zurückliegen,
würden doch heute eine völlig ungeschmälerte Wirkung auf das heutige Bruttoinlandsprodukt haben.
Das sagt dieser Koeffizient von Alpha hier. Nun haben wir
nicht ganz exakt eins geschätzt, aber Sie sehen,
das ist total nah da dran.
0,998. Und Sie können sich schnell überlegen, wie langsam das abklingt.
Ich habe es für Sie gemacht, indem ich hier die Impulsantwortfunktion geplottet habe.
Sie sehen, die Schockwirkung ist zunächst eins. Und dann
ganz, ganz langsam klingt die Wirkung des Schocks ab,
wird ein ganz bisschen niedriger
Aber mich dramatisch. Hier unten sind 32 Quartale.
Das ist meine normale Skalierung in dieser Vorlesung.
Ich werde Ihnen meistens entlang der Zeitwachse bei solchen Impuls antworten,
das Abtragen über 32 Quartale.
Das sind also genau acht Jahre. Das macht man deshalb,
weil das so eine Konvention in einer Konjunkturanalyse gibt,
dass man sagt, na konjunkturelle Schwankungen sind Schwankungen,
die so eine Dauer von länger als einem Jahr haben und weniger dann als acht Jahre.
Die acht Jahre sind ein bisschen willkürlich gewählt. Ja,
da gibt es keinen guten Grund, das so zu machen,
aber das hat sich so eingebürgert.
Deshalb nehme ich hier
auch acht Jahre
Dass es eine konjunkturelle Schwingung länger sein soll als ein Jahr
hängt damit zusammen, dass Schwingungen, die unterjährig sind,
normalerweise als saisonal bezeichnet werden und nicht als konjunkturell.
Also der Bereich sozusagen hier von vier Quartalen,
sprich ein Jahr bis 32 Quartalen, deckt gerade den Zeitbereich ab,
der aus Konjunktur analytischer Sicht besonders interessant ist.
Und da sehen Sie jetzt, dass nach den Schätzergebnissen,
die wir jetzt haben, die Wirkung eines Schocks,
der unsere Ökonomie trifft, nur ganz,
ganz langsam zurückgehen würde, und zwar so,
dass nach acht Jahren der Schock immer noch 95 Prozent seiner anfänglichen Wirkung auf das Bruttoinlandsprodukt ausübt.
Es wäre also eine enorme Menge. Hier ist ja die Skalierung,
hier ist 90 Prozent, das ist 95 Prozent und hier
ziemlich genau bei 95 Prozent, endet meine grüne Linie im Augenblick.
Jetzt mögen Sie fragen, steht denn das nicht im Widerspruch zu
den Ergebnissen, die wir für die Wachstumsrate erzielt haben?
Der Schock könnte ja im Prinzip derselbe sein. In beiden Fällen
habe ich einfach nur gesagt, es ist ein Schock,
ohne zu sagen, was für eine Art von Schock das ist.
Und bei der Wachstumsrate habe ich Ihnen gesagt, das Schätzergebnis,
was wir hatten mit einem Alpha von 0,27,
klingt sehr schnell ab oder impliziert, dass die Wirkung des Schocks sehr schnell abklingt.
Nach einem Jahr, also dann sozusagen,
wenn wir überhaupt erst den konjunkturellen, interessanten Bereich betreten,
nach einem Jahr ist die Wirkung des Schocks eigentlich schon abgeklungen.
Und hier haben wir jetzt eine Impulsantwort,
die uns sagt, am Ende des Zeitraums der Konjunktur definiert,
ist die Wirkung des Schocks noch fast unverändert.
Also nur ganz, ganz gering, sehr abgeklungen.
Während diese beiden Ergebnisse jetzt im Widerspruch zueinander
Sehen Sie dafür, muss man diese Zeit rein,
Theorie kennen, denn als ungeschulter Beobachter würde man jetzt möglicherweise sagen,
das passt irgendwie nicht zueinander.
Aber es passt natürlich zueinander und im Augenblick ist es auch noch ganz einfach,
Sie sehen das hier an dieser kleinen Grafik hier,
wo ich Ihnen einfach mal eine Variable gemalt habe,
die mit einem glatten Trend wächst.
Und hier irgendwo in der Mitte der Zeitperiode in diesem Fall gibt es einen Sprung,
da sagen wir mal,
gibt es einen Schock,
der irgendwie das Bruttoinlandsprodukt plötzlich nach oben hebt und danach wächst
die Variable wieder mit demselben Wachstumstrend wie vorher
Nun, diese Grafik erklärt ihnen sehr gut,
weshalb bei der Wachstumsrate ein Schock,
eine schnell abklingende Wirkung haben kann,
aber in Bezug auf das Niveau eine anhaltende Wirkung haben kann.
Denn hier ist es derselbe Schock,
der sowohl die Wachstumsrate als auch das Niveau der Zeitreihe verändert.
Und die Wirkung sind natürlich in Bezug auf das Abklingen ganz anders.
Denn die Wachstumsrate ist nur einmal erhöht, nur an dieser Stelle.
Ansonsten ist die Wachstumsrate immer gegeben durch diese Steigung hier,
was auch immer die Steigung nun sei.
Und nach dem Schock,
also ab einer Periode nach dem Schock,
haben wir wieder
dieselbe Wachstumsseite
Zuvor auch. Das heißt,
wenn wir uns die Wachstumsrate dieser Grafik,
dieser Zeitreihe hier plotten würden, dann wäre das irgendeine Konstante,
sagen wir mal, die liegt hier in dieser Höhe,
es wäre eine Konstante, die würde so gehen,
bis zu dem Shop-Zeitpunkt,
dann gäbe es hier oben einmal eine höhere Wachstumsrate und dann geht die Wachstumsrate wieder konstant weiter.
Das heißt,
die Wachstumsrate nach dem Schock ist sehr schnell wieder exakt da,
wo sie vorher auch war und wir würden sagen,
der Schock oder dessen Wirkung auf die Wachstumsrate
ist ganz schnell abgeklungen
Für das Niveau gilt das aber natürlich nicht.
Das Niveau der Zeitreihe wird hierdurch gegeben. Und sie sehen
jetzt, das Niveau der Zeitreihe ist dauerhaft erhöht.
Denn normalerweise wäre die Zeitreihe ja irgendwie so weitergelaufen. Parallel,
aber unterhalb der grünen Linie, die ich hier gezeichnet habe.
Das heißt, in jeder Periode nach dem Schock haben wir
ein höheres Bruttoinlandsprodukt, als wir das gehabt hätten ohne den Schock.
Das heißt, die Wirkung des Schocks ist dauerhaft und klingt
nicht ab
Und genau diese Art von Phänomen scheinen wir jetzt in unseren, in unserer Zeitreihenanalyse zu sehen.
Genau das scheint uns diese Impulsantwortfunktion zu sagen und scheint uns dieses Testergebnis,
dieses Schätzergebnis hier zu sagen, wo der Alphakoeffizient ganz,
ganz geringfügig unterhalb von eins zu dient scheint.
Ich werde Sie gleich davon überzeugen, dass das kein sehr gutes Modell ist, was wir hier geschätzt haben. Trotzdem ist es im Augenblick,
glaube ich, instruktiv,
einfach mal diese Resultate zur Kenntnis zu nehmen für die Schätzung eines A1-Prozesses,
einmal mit Daten,
die Die Wachstumsrate des Outputs darstellen und damit Daten,
die das Niveau Output darstellen und sich klarzumachen,
warum die Schätzergebnisse so unterschiedlich sind und dass das überhaupt keinen interpretatorische Schwierigkeit darstellt,
sondern dass man das eben sehr gut durch solche Überlegungen sich klarmachen kann,
dass es dazu kommen kann.
Nun sagte ich schon, die Schätzung,
die wir da gerade gemacht haben für das Niveau des Outputs,
also für GDP, ist keine gute Schätzung.
Denn es gibt folgendes Problem. Wir hatten den AR1-Prozess
ja bereits analysiert und hatten abgeleitet, die Tatsache,
die Eigenschaft, dass der Erwartungswert von YT für jede Periode,
für jedes gegebene T vielleicht nie durch eins minus Eifers
Diesen Bruch, Nüd durch Eins-Minus-Eifer, haben wir als Mühe
bezeichnet und haben gesagt, das ist der Erwartungswert.
Alle Y-Tes in einem AR1-Prozess haben denselben Erwartungswert.
Nun haben wir die Zeitreihe des GDPs genutzt,
um einen AR1-Prozess zu schätzen und würden jetzt also folgen,
der Erwartungswert für das Bruttoinlandsprodukt der Periode Tee
ist in allen Perioden Tee geschätzt mit Mühdach und Mühdach
wäre natürlich Nühdach geteilt durch Eins-Minus-Eiferdach
Und das könnte ich ja jetzt ausrechnen. Für Müdach habe ich geschätzt,
minus 0,001 und eins minus Alphadach ist 1 minus 0,998.
Da gibt es jetzt zwei riesengroße Probleme, muss man sagen.
Man sieht es hier an diesen Schätzergebnissen hier sehr schön.
Das erste Problem ist, das, was hier rauskommt,
ist eine Konstante. Das heißt, wir würden ermitteln,
der Erwartungswert für das Bruttoinlandsprodukt ist in jeder Periode dasselbe,
derselbe. Aber das ist natürlich Unfug,
denn wir haben gesehen, die Zeitreihe des Bruttoinlandsprodukts hat einen
klaren Trend
Das heißt, man würde natürlich nicht am Ende des Zeitraums,
den wir da haben, sagen wir ein Jahr 2000,
dasselbe Bruttoinlandsprodukt erwarten, wie das,
was man im Jahr 1950 erwartet hat.
Also schon das zeigt, dass eine Modellierung als AR1 für eine Zeitreihe,
die einen Trend hat, überhaupt nicht angemessen ist.
Es ist Unfug, davon auszugehen,
dass da ein zeitkonstanter Erwartungswert zugrunde liegt bei einer Zeitreihe,
die einen so klaren Trend hat, wie das Bruttoinlandsprodukt.
Also wir haben ja einfach das falsche Modell angewendet auf eine
Zeitreihe, die eben eines anderen Modells bedarf.
Und ich werde Ihnen gleich dieses andere Modell vorstellen,
was da stattdessen nehmen müssen.
Angesichts des klaren Trends in den Daten ist schon mal klar,
dass wir hier ein Problem haben
Das andere Problem ist aber auch noch das,
dass dieser Bruch hier natürlich ein sehr instabiler Bruch ist,
wenn man die Schätzungenauigkeit berücksichtigt.
Wenn Sie diese Zahl hier ist, fast null.
Und die Zahl hier ist auch fast null. 0 durch 0
ist sowieso nicht definiert. Aber selbst wenn man davon ausgeht,
dass die Zahlen eben noch ein bisschen von null
unterschiedlich sind und dass man sie schon durcheinander teilen kann,
wissen wir ja, es gibt hier Schätzungenauigkeiten.
Und jetzt stellen Sie sich mal einfach vor,
dass hier eine kleine Fluktuation ist,
eine kleine Schätzungenauigkeit in diesem
Das ist der wahre Wert, 0,99 ist oder 0,9975 oder sowas ähnliches.
Das kann sofort zu gewaltigen Änderungen des ganzen Bruchs führen,
weil wir so nah hier an der Polstelle dieses Bruchs sind.
An der Stelle, wo der Bruch für einen gegebenen,
von null verschiedenen Erzähler, gegen unendlich oder gegen minus unendlich.
Das kann also gewaltige Schwankungen herbeiführen. Und auch deshalb ist das
also ein völlig instabiles Ergebnis, was wir hier haben,
trotz des beeindruckend hohen Teewertes für den koeffizienten.
Alter, aber dieser Teewert für Alpha sagt eben uns nur,
hier nochmal zurück, sagt uns nur,
dass das Alpha von null verschieden ist.
Das wissen wir todsicher, gar keine Frage.
Bei einem T-Wert von 424. Aber die entscheidende Frage ist,
könnte es nicht sein, dass das Alpha,
das wahre Alpha eins ist, wenn dieser Koeffizient hier liegt ja doch sehr,
sehr nah an eins dran.
Und wir werden nachhinten Standardfehler dazu ausrechnen oder sie können es
auch selber schon mal machen, was der Standardfehler ist.
Und sie werden sehen,
koeffizient dieser Schätzkoeffizient Alphadacht ist gar nicht signifikant von eins verschieden,
was jetzt auch angesichts von 0,98
nicht wirklich überraschend ist
Und nun wissen wir aber, wenn Alpha gleich eins ist,
dann ist die Zeitreihe hier überhaupt nicht stationär.
Und das für zu vielen Schwierigkeiten. Zum Beispiel führt das
zu der Schwierigkeit, dass wenn Alpha gleich eins ist,
dass dann dieser Erwartungswertchen nicht definiert ist,
denn dann würden wir ja durch null teilen.
Das dürfen wir nicht. Also auch das zeigt wiederum,
wir haben ein großes Problem mit dieser Schätzung und wir haben ein falsches,
ungeeignetes Modell genommen, um die Niveau dann des Bruttoinlandsprodukts zu schätzen.
Für die Wachstumsreite war das Modell in Ordnung.
Ja, das kann man so machen.
Aber das Niveau darf man so nicht benutzen.
Oder auf das Niveau darf man
dieses Modell
nicht anwenden
Gut, also der stationäre Prozess, der stationäre AR1 ist
kein gutes Modell für das Niveau des Bruttoinlandsprodukts.
Und deshalb kommen wir jetzt zu einem zweiten Konzept,
was unsere Vorstellung eines A1-Prozesses noch einmal erweitert,
um die Möglichkeit jetzt auch trendende Daten abzubilden.
Wenn trennende Daten, wie wir gerade gesehen haben,
kann man eben nicht durch stationäre AR1-Prozesse oder durch stationäre AR-Prozesse abbilden,
weil diese stationären AR-Prozesse einen konstanten erweitert wird haben und
das ist bei trendenden Daten nun mal nicht
der Fall
Quest, alle makroökonomischen Daten trennen. Ausgenommen sind Zinssätze beispielsweise,
aber Preise und Mengen in makroökonomischen Datensätzen haben normalerweise einen außenprägten Trend.
Und sehr viele Export, Importe, FDI und sowas,
ein bisschen was anderes, aber Konsum, Investitionen, brutto-inliness-Produkte.
Solche Zeitreihen haben typischerweise einen ganz klar ausgeprägten Trend und deshalb
ist er ein stationärer AR für diese Prozesse nicht geeignet.
Auch man kann nun sagen, dann erweitern wir halt den AR-Ansatz um einen Trend-Term.
Genau das machen wir jetzt hier. Das heißt,
wir kombinieren einen stationären AR-Prozess, so wie wir ihn kennen,
einem linearen, deterministischen Trett. Und die Gleichung,
die wir dann bekommen als Verallgemeinerung unserer bisherigen AR-Gleichung,
heißt YT ist Konstantiny plus ein Therm-Täter-Mal-Tee,
dieses Tee hier ist der Zeitindex-Tee da unten.
Ja, der verändert sich also, wenn jederzeit Index fortschaltet,
plus Alpha mal das verzögerte Y,
also YT und Team minus 1, plus Stör-Therm-UT.
Wenn das Täter hier null ist, dann sind wir wieder
bei dem ganz üblichen AR1-Prozess, den wir kennen.
Aber uns interessiert jetzt natürlich der Fall,
dass Täter ungleich null ist
Wir halten nach wie vor aufrecht unsere Bedingung,
dass das Alpha betragsmäßig kleiner sein soll als eins.
Also, ohne dass Täter-Tee, wer ist ein stationärer AR1?
Weil einfach betragsmäßig kleiner als eins ist.
Jetzt tun wir aber noch einen Trend hinzu. Und weil
wir hier eben kombinieren einen linearen Trend mit einem stationären Prozess,
sind wir hier im Vorlesungsabschnitt Trend-Sationalität.
Und wir müssen uns überlegen, was genau soll eigentlich Trend-Stationalität heißen?
Wie definiert man das? Nun, hier kommt die Definition
. Eine Zeitreihe YT heißt Trend-Stationär, wenn ihr Erwartungswert,
ich habe Ihnen geschrieben, hier unbedingt der Erwartungswert,
E von YT,
eine Funktion nur der Zeit ist
Und die Zeitreihe YT minus E von YT stationär ist,
in dem bisher verwandten Sinne stationär ist. Das heißt,
der Erwartungswert darf nur von Tee abhängen und wenn nicht von YT,
diese Funktion der Zeit abziehe,
dann soll diese Zeitreihe YT minus E von YT stationär sein.
Um das besser zu verstehen, müssen wir uns zunächst überlegen,
was ist denn der Erwartungswert der Zeitreihe YT,
also in Zeiten der Erwartungszeit unserer Zeitreihe,
in dieser neuen Formulierung 8,
die ich Ihnen auf der Forierfolie gezeigt habe
Nun, einen solchen Erwartungswert kann man genauso ausrechnen,
also nach demselben Prinzip ausrechnen,
wie wir das beim stationären AR-Prozess auch bereits getan haben,
nämlich durch ein solches sukzessives Einsetzen der verzögerten Y-Werte.
Denn auch für diese Gleichung 8 gilt ja die Gleichung,
gilt für alle Teas.
Egal welche werde ich hier für Tea einsetze,
immer ist der entsprechende YT-Wert durch diesen Ausdruck
hier beschrieben und gegeben
Also kann ich das immer ineinander einsetzen. Und jetzt kommen wir noch mal
etwas kompliziertere Rechnungen, durch die ich sie schnell durchführen möchte.
Es ist aber vom Prinzip her nichts anderes als das,
was wir bereits gemacht haben. Nur das ist jetzt eben
der Trend, die haben noch neu hinzugekommen ist. Das heißt,
wenn sie hier irgendwo die Übersicht verlieren,
dann machen sie es einfach so,
dass sie die Formeln mal nehmen und das Täter auf Null setzen,
dann müssen sie genau zu den Formeln kommen,
die ich ihnen bereits für den Stationären AR1 und für seinen Erwartungswert gezeigt habe.
Gut, Gleichung 8 sagt YT ist Nyplus Tätermatte,
plus Alphama YT minus 1, plus UT.
Das ist die neue Form unseres Superhesses
Jetzt setze ich für das YT minus 1 denselben Ausdruck hier
ein, nur um eine Periode verzögert. Das heißt,
Alpha steht hier und jetzt kommt YT minus 1,
das ist alles das, was hier in Klammern steht.
Also das ist konstant ny plus Tedder,
mal jetzt t minus 1,
weil in dieser Zeit in Next t minus 1 jetzt sozusagen an der Stelle steht,
wo bislang das T stand.
Also ny plus Tedder mal t minus 1,
plus einfach mal YT minus 2, plus UT minus 1.
Dieser Term, hier in den Runden,
Klammern, ist gerade das YT minus
Ja, plus UT, da haben wir nichts daran verändert.
Der Anfang, hier ist auch derselbe Nü,
plus Täter-Tee, ist dasselbe. Also die Einzelveränderung ist,
dass wir Y-Tee minus 1 jetzt durch diesen Ausdruck ersetzt haben.
Naja, und jetzt sortieren wir das ein bisschen um und sammeln mal
die Konstantenglieder. Was ist konstant in diesem Ausdruck hier?
Da ist das Nükonstant? Täter-Tee ist nicht konstant.
Das hängt ja von Tee ab. Und dann ist hier
plus einfach mal Nü. Das hier hängt wieder von Tee
ab, offensichtlich. Also Täter-Tee hängt von Tee ab.
Allerdings steht hier auch Täter mal minus
Und das muss man mit Alpha multipliziert werden. Also an Konstanten
haben wir eins plus Alpha-Manony, das ist Mühe hier plus Alphany.
Und dann haben wir hier noch ein Alpha, mal Täter,
mal minus eins. Deshalb steht hier noch minus Alpha Täter.
Das ist auch Teil der Konstant. Okay, wie sieht
es mit den Tee-Thermen aus, den Koeffizienten von Tee?
Nun, hier habe ich einen Täter mal Tee und
dann habe ich hier plus Alpha mal Täter, Marty.
Also kriege ich doch raus, eins plus Alpha,
Maltäter Tee.
Das hier ist mal
neuer Trend-Therm
Ja, also wieder eine Konstantin, die besteht aus diesem Therm hier,
abzüglich Alpha Tetter. Und ich habe wieder einen Trendtherm,
der hat jetzt den koeffizienten 1 plus Alpha, mal Tetter.
Naja, und dann habe ich hier Alpha,
mal Alpha, das macht also Alpha Quadratmal YT minus 2.
Da habe ich hier also Alpha Quadrat, mal,
habe ich so einen T minus 2? Und ich sehe gerade,
dass ich hier einen UT verschlabbert habe, Entschuldigung,
oder vielleicht ist das irgendwie nicht mehr auf die Folie aufgegangen,
aber das fehlt natürlich.
Plus UT bitte, das muss ich gleich nochmal korrigieren,
wenn ich mit der Vorlesung fertig bin.
Hier hinter muss noch plus UT stehen
Hier steht Alpha-Quadrat, aber da war ich eigentlich gerade stehen geblieben,
also Alpha, mal Alpha, YT minus 2,
wo ich Alpha-Quadrat mal YT minus 2,
und sie sehen hier für YT minus 2,
habe ich jetzt bereits eingesetzt, denselben Ausdruck,
wie eben wieder verzögert, nämlich nü,
Konstante, Rustetta mal in diesem Fall Team minus 2,
das einfach mal übst und Themen mit frei fürs U-Themen bis 2. Und dann fehlt hier hinten noch Plus-U-Themen.
Okay, wenn ich das jetzt wiederum auflöse,
dann bauen sich wieder so Summen-Ausdrücke auf,
deren Struktur man dann langsam erkennen kann,
denn jetzt kommt zu einem 1 plus Alpha-Manü noch ein Plus Alpha-Quadrat-Manü.
Das heißt, wir kriegen hier eins plus Alpha, plus Alpha-Quadrat-Manü.
Und sie sehen schon, wie das dann weitergeht.
Ich meine, hier ist so eine Summe über Alpha-Hoch-I. Ja,
war einfach hoch null, einfach hoch eins, einfach zum Quadrat.
Und wenn man das weitertreiben würde und also weitere Alpha-Hoch-I-Therme kommen.
Dann habe ich in diesem Ausdruck,
ich hatte ja hier minus Alpha mal Peter,
und der entsprechende Therm hier ist plus, oder das Alpha-Quadrat,
mal Teter, mal minus zwei.
Das heißt, ich habe jetzt minus Alpha plus zwei Alpha-Quadrat-Teter
Ja, das Minus habe ich ausgeklammert. Beide Thermen sind negativ. Da
habe ich einmal Alpha und dann plus zwei Alpha Quadrat und
es fehlt nicht viel Fantasie, das sich vorstellen können.
Das nächste Summenglied, was hier folgen würde,
wäre plus drei Alpha hoch drei. Also so baut sich
diese Summe dann auf. Und das mal bitter.
Ja, und wie sieht es mit unserem Trendtherm aus?
Wir wiederholen nochmal, das Ganze hier ist ja eine Konstante jetzt.
Schon ein relativ komplizierter Ausdruck. Hier kommt jetzt
der Trendtherm, der von dem Tee abhängt. Nun,
der baut sich auf als, was kriegen wir Neues hinzu?
Alpha-Quadrat, mal Teta, mal Tee,
das kommt neu hinzu
Und Täter Matti hat man hier sowieso schon stehen.
Bislang war das 1 plus Alpha.
Jetzt ist das 1 plus Alpha plus Alpha Quadrat.
Also sie sehen auch, wie diese Summe sich aufbaut.
Das nächste Glied wird dann plus Alpha hoch 3 sein.
Das ist also genau wie hier bei der Konstanten auch.
Okay, und dann wie bauen sich die UT-T-Therme auf?
Da hatte ich eben, wie gesagt, hier einen vergessen.
Da ist einmal einfach UT. Und dann haben wir einmal
ein Alpha. Ach nee, da ist das UT.
Entschuldigung, ich habe es wiedergefunden. Hier ist das UT
. Ich hatte das hier schon zusammengefasst in einem Klammerausdruck.
Also der Ausdruck ist richtig, ich muss nicht korrigiert werden.
UT plus Alpha mal UT minus 1 hatte ich hier bereits.
Und jetzt kommt noch hinzu, ein Alpha-Quadrat Ute minus
Also, UT plus Alpha-UT minus 1, plus Alpha-Quadrat,
UT minus 2, das ist auch klar,
wie sich das Ding hier weiter aufbaut,
denn nächstes Glied wird plus Alpha hoch 3,
UT minus 3 sein, wenn man das weitermacht.
Ja, dann bleibt übrig, Alpha hoch 3,
YT minus 3. Nun, wenn Sie diese Schritte unendlich oft durchgehen,
dann ist klar, dass dieser Term letzten Endes verschwinden wird.
Denn Alpha ist betragsmäßig kleiner als 1-1,
das heißt, Alpha hoch I geht für I gegen unendlich
gegen null und da das Y eine stationäre Größe ist,
also nicht trendhaft wächst,
verschwindet das hier und geht gegen null
Ganz richtig, was ich hier sage, in diesem Fall wechselt es sogar,
Trend tough, nämlich mit einem linearen Trend.
Aber selbst wenn es mit dem linearen Trend wächst,
ist dies hier ein exponentiell gegen null gehender Therm, einfach hoch drei.
Das geht also schneller gegen null als das YT minus drei,
vielleicht gegen unendlich gehen würde. Und das heißt,
in der Tat, dieser Ausdruck hier, der verschwindet.
Wenn wir das bis ins Unendliche fortsetzen. Und die anderen
Thermen, naja, da müssen wir ihren Grenzwerte berechnen.
Sie wissen schon, diese Summe hier,
die konvergiert gegen eins, durch eins minus Alpha.
Das heißt, hier kriegen wir ein Mü durch eins
minus Alpha als Grenzwert raus
Dasselbe haben wir hier. Das heißt, da kriegen wir
Täter durch 1 minus Alpha mal Tee als Grenzwert raus.
Ja, und diese Summe hier ist ein bisschen komplizierter,
das verrate ich Ihnen einfach, dieses Alpha plus 2 Alpha
Quadrat plus 3 Alpha hoch 3 und so weiter.
Das konvergiert gegen Alpha durch 1 minus Alpha zum Quadrat.
Und er hält natürlich sehr vor, ein negatives Vorzeichen hier.
Und dann haben wir eine unendliche Summe von Gewichteten und verzögerten Störungen,
also die Shops, u-t-tau,
wobei jedes U-Tee minus tau mit Alphahochtau multipliziert wird.
Das heißt, je weiter der Shop zurückliegt,
je größer das Tau ist, desto kleiner ist der koeffizient hier davor,
denn das Alpha ist betrachtsmäßig größer betrachtsmäßig kleiner als eins.
Also sozusagen vom Absolutwert her ist dieses Alphahochdau dann immer kleiner,
je größer das tau ist. Ja,
und das kann ich jetzt zusammenfassen, diese Therme,
als ein My-Null plus My-1-T plus diese unendliche Summe über die UTs.
Und Sie sehen, das My-Null ist natürlich müh durch eins-alpha-alpha-Tetter
durch eins-alpha-Quadrat, das heißt,
das ist
genau dieser Ausdruck hier
Denn das ist Konzert, da steckt kein Tier drin.
Und das Müh einziehe ist Tetter durch eins minus einfer,
das der koeffizient von diesem Tee hier.
Und die Summe, was ist unverändert? Ist ein bisschen kompliziert,
gebe ich zu, man muss sich da einmal durchrechnen,
aber dann kommt man eben auf dieses Ergebnis hier.
Und mit diesem Ergebnis ist es leicht, den Erwartungswert von dem Y-Tee
zu berechnen, denn den wollen wir ja gerne stimmen.
Der Erwartungswert ist also der Erwartungswert dieses Ausdrucks hier und
der Erwartungswert dieses Ausdrucks ist leicht zu bestimmen,
weil die Erwartungswerte von den Us alle Null sind.
Das heißt, der Erwartungswert dieser unendlichen Summe hier ist Null
Woraus sich sofort ergibt,
der Erwartungswert von YT ist my-0 plus my-1 mal Tee.
Das ist also genau dieser Term hier. Jetzt sehen wir,
der Erwartungswert von YT ist nur eine Funktion der Zeit.
So wie ich das in der Definition zur Trendstationalität befordert hatte,
der Erwartungswert von YT hängt nur von der Zeit ab.
Also er verändert sich mit der Zeit,
erwartungswert steigt mit der Zeit, wenn das my-1 positiv ist,
dann steigt er mit der Zeit.
Das heißt, wir haben hier sozusagen einen Trendhaftsteigenden,
die linear steigenden Erwartungswert für das YT
Das Müh 1 ist Täter, geteilt durch 1 minus Alpha.
Wenn also das Täter positiv war, hier oben,
wenn wir gesagt haben, wir wollten einen positiven Trend wiedergeben,
dann ist Täter geteilt durch 1 minus Alpha, natürlich auch positiv,
denn das Alpha ist ja kleiner als 1. Gut,
also deshalb hat dieser Erwartungswert hier ebenfalls einen positiven Trend,
wenn Täter positiv ist.
Ob es, jetzt wollte ich mal wissen,
wie war das mit YT minus Erwartungswert von YT,
das sollte ja dann stationär sein.
Also unsere Definition von Trendstationarität hatte gesagt,
der Erwartungswert von YT ist nur einer Funktion der Zeit
Und die Differenz zwischen YOT und seinem Erwartungswert soll stationär sein.
Was ist die Differenz zwischen YT und deinem Erwartungswert?
Nun gucken wir nochmal da drauf. Hier steht YT.
Das ist von da oben. YT. Hier steht der Erwartungswert von YT
. Wenn ich das also auf die andere Seite bringe,
dann ist YT-minus evon yT genau gleich dieser Summe hier.
Der Summe über die gewichteten und verzögerten Störtherme.
Diese Summe da, da habe ich sie hingeschrieben.
Nun, diese Summe ist offensichtlich ein Moving Average-Prozess und wir
wissen ein Moving Average-Prozess ist immer stationär
Brauchen wir uns also keine weiteren Gedanken zuzumachen.
Folglich ist die Gleichung 8, ein Trendstationärer Prozess oder genauer
gesagt gleich um 8, beschreibt einen Trendstationärer Prozess.
Er ist nicht stationär, weil der Erwartungswert nicht zeigt, unabhängig ist.
Aber der Erwartungswert ist eine einfache Funktion der Zeit.
Und wenn man den Erwartungswert von der Zeitreihe abzieht, ist der Rest stationär.
Also ist 8 ein Trendstationärer Prozess gemäß unserer Definition.
Mit dieser Vorüberlegung gehen wir jetzt dazu über,
dass wir sagen, wir wissen, es war keine gute Idee,
das Bruttoinlandsprodukt zu schätzen mit einem Modell, was einen stationären AR1-Prozess vorsieht.
Denn da hat man einen konstanten Erwartungswert, der dadurch impliziert worden ist.
Und ich habe sie Ihnen ja eben alles vorgetragen,
was dagegen spricht. Jetzt machen wir das mal so,
dass wir gleich schon acht anpassen an das Brutto-Elends. Das heißt,
wir schätzen jetzt eine Regression, wieder eine kleine Quadrateschätzung,
OLS, das GDP der Periode T wird regressiert auf eine Konstante,
auf einen linearen Trend-Therm,
nämlich auf Tee.
Und auf das GDP des Vorquartals
Wir schätzen jetzt also drei Parameter, nämlich wir schätzen ein Mü,
was uns nicht bekannt ist, ein Täter,
was uns nicht bekannt ist oder ein Alpha, was uns nicht bekannt ist.
Und wenn man die dann geschätzt haben,
wenn wir hier für drei Chat-Chat gekriegt haben, über unsere kleines Quadrateschätzung,
dann können wir natürlich ausrechnen, was das geschätzte U ist.
Da müssen wir ja nur die Beobachtung GDP, die wir haben,
nehmen und davon ziehen wir ein Mühdach ab und Petterdach mal,
Tee ziehen wir ab und Alphadach mal GDP-Team minus 1,
das kennen wir ja dann alles, können wir auch abziehen,
dann kriegen wir auch die geschätzten Presido und U-Dach heraus.
Das UT selbst kennen wir nie,
aber das UDach können wir schon setzen
Okay, was kommt da also raus?
König Müdach kriegen wir jetzt einen Wert von minus 0,124.
Damit kann man nicht so schrecklich viel anfangen mit diesem Wert.
Ich wette also nicht viel drüber. Sagen, wir sehen
die T-Statistik hier ist minus 1,8. Das ist gerade so ein T-Wert,
wie man ihn eigentlich nicht so richtig gerne hat.
Denn der ist noch in signifikant, aber es fehlt auch
nicht viel zur Signifikant. Also üblicherweise signifikant liegt vor in
der T-WR. 2 ist vor absolut betrachtet wert.
Hier liegen wir ein bisschen unterhalb von 2. Könnte also sein,
dass wir da eine signifikante Konstante haben oder dass das die
Ware,
das der wahre Müh wird
Von null verschieden ist. Kann auch sein,
dass er gleich null ist,
so ganz gut kann man das hier nicht unterscheiden,
weil der Tee wird ein bisschen blöd liegt.
Aber es spielt auch keine große Rolle,
denn an diesem Judachsen, wenn nicht wirklich interessiert.
Dann schätzen wir hier einen Steigungsparameter für den linearen Trend.
Das ist der neue Parameter. Der wird geschätzt mit Täterdach
gleich 0,00014. Stören Sie sich nicht daran,
dass das jetzt eine sehr kleine Zahl ist.
Das ist einfach davon abhängig, in welchen Einheiten wir
das Bruttoinlandsprodukt hier messen und über den Trend vorgeben.
Ich habe den ja einfach als sozusagen 1,
2,
3,
Vorgegeben, wenn ich den als eingeben würde, als,
was weiß ich, ein Hundertstel, ein, zweimal,
200 zu 300 zu 400 zu, dann wären die entsprechend größer.
Also die vielen Nachkommastellen sind uninteressant. Das sagt nicht,
dass der Trend koeffizient null ist. Maßgeblich ist die T-Statistik
. Und die ist komischerweise schon wieder bei 1,8.
Das ist ein Zufall, dass das dieselbe T-Statistik ist.
Diese T-Statistik liegt bei 1,8. Das heißt,
hier wissen wir wieder nicht so ganz genau,
ist das nun ein signifikanter Trend oder ist dieses Täter positiv
oder ist es möglicherweise null
Angesichts der Tatsache, dass wir so stark trennende Daten haben,
ist es natürlich naheliegend zu vermuten, dass das Täter hier eigentlich positiv ist.
Wir hätten ihnen aber später zeigen, dass dieser Schluss nicht zwingend ist.
Und dass das durchaus seinen Grund hat, warum dieser Tee koeffizient hier,
diese T-Statistik hier nicht so stark ausgeprägt ist,
wie man das angesichts des Trends in den Daten wohl vermutet.
Wir nehmen das einfach mal so hin und sagen, okay,
das Täter ist positiv geschätzt, die T-Statistik ist so,
dass der koeffizient nicht ganz signifikant ist,
aber ganz viel fehlt auch nicht zur Signifikant,
ist also so ein bisschen unergiebig auch dieses Schätzergebnis
Das, was uns zunächst einfach interessiert, ist das geschätzte Eifer.
Alphadach ist jetzt 0,97. Und die T-Statistik ist immer noch gewaltig hoch,
nicht mehr ganz so hoch wie eben,
aber mit 55 ist das immer noch jenseits aller Zweifel darüber,
dass Alpha ist nun wirklich von null verschieden.
Da gibt es gar keinen Zweifel dran. Und
das Alpha ist sogar noch in der Nähe von null.
In der Nähe von 1. Also eben hat man 0,998.
Und jetzt haben wir 0,967. Also es ist gar nicht
sehr stark gefallen, das Eifer.
Wir haben immer noch einen sehr,
sehr hohen Eifer-Koeffizienten hier
Und das stellt die Frage,
ob wir möglicherweise immer noch ein Problem in unserer Schätzung haben,
weil die diese Schätzung hier möglicherweise nicht signifikant von eins verschieden ist.
Die T-Statistik hier gibt uns ja nur Auskunft darüber,
ob das Eifer signifikant von null verschieden ist.
Lasst mich mal bejahen. Aber ob das Wahre einfach möglicherweise
eins ist, das steht noch immer als Möglichkeit im Raum.
Und dieser Koeffizient spricht nicht unbedingt dagegen.
Dafür müssen wir uns
die Standardfehler angucken
Und genau genommen, wir helfen dir jetzt auch nicht so richtig weiter, aber wir machen es trotzdem einfach mal.
Ich rechne die Standardfehler mal aus. In der ersten Schätzung,
die wir hatten, also da,
wo wir noch den stationären AR1-Prozess angepasst hatten,
an die Zeitreihe des Bruttoinlandsprodukts, da hatten wir ermittelt,
Alphadach ist 0,0998 und der Standardfehler, den konnte man da ausrechnen,
ich hatte ihn damals nicht angegeben, aber er gab sich aus T-Statistik und Koalition,
ist 0,002. Nun, es gibt immer so eine Faustregel,
die ehrlich gesagt an dieser Stelle nicht anwendbar ist.
Ja, das machen wir aber später. Wir werden trotzdem mal anwendbar,
sie ist vielleicht in Statistik einfach so gelernt haben,
die Faustregel sagt, die Frage ist,
ob der Schätzkoeffizient mehr als zwei Standardfehler entfernt ist von dem
Effizienten, die man als den wahren Koeffizienten vermutet.
Also in diesem Falle von eins. Naja,
und wenn es also um eins geht, dann sehen Sie,
dass das 0,998 genau einen Standardfehler nur entfernt ist,
mal von eins. Das heißt, die Hypothese,
dass das wahre Alpha 1 ist, kann man nicht verwerfen.
Und das ist auch richtig so, auch wenn diese Regeln
mit den zwei Standardfehlern hier nicht ohne weiteres stimmt.
Aber das ist zweifellos richtig. Die Ware,
der wahre Koeffizient könnte eins sein,
wenn der Schätzkoeffizient 0,998 ist,
weil das halt
nur ein Standardfehler entfernt
In der zweiten Schätzung, die wir jetzt eben gemacht haben,
mit dem Trendstationären Modell,
beträgt der Standardfehler für das mit 0,967 geschätzte Alpha-Dach, 0,0118,
ist also deutlich größer, ist fast das Zehnfache, dieses Standardfehlers hier.
Also nehmen wir mal großzügig 0,02, als Standardfehler,
dann sehen Sie, ja,
diese 0,967 ist keine zwei Standardfehler entfernt von 1. Und selbst wenn Sie hier das exakt rechnen,
zwei Standardfehler sind 0,036, Ja, 0,9667 ist weniger als zwei Standardfehler,
also weniger als 0,036 von 1 entfernt.
Das heißt, auch dieses Alpha-Dach hier ist offensichtlich nicht signifikant verschieden von 1.
Das Schätzergebnis ist kompatibel mit der Hypothese, dass das wahre Alpha-Ads.
Aber das würde uns wieder ein interpretatorische Schwierigkeiten bringen, denn sie sehen ja,
wir haben hier schon wieder durch 1 minus Alpha geteilt.
Also Alpha darf nicht eins sein. Wir haben ein trennstationäres Modell
und haben angenommen oder all diese Rechnungen gehen nur dann,
wenn man sagt,
Alpha ist betragsmäßig kleiner als eins
Die Daten scheinen aber durchaus eine gewisse Neigung zu haben,
einem ein Alpha von 1 zu verkaufen, wie wir jetzt festgestellt haben.
Ich stelle jetzt hier auch wieder die Frage, ist das Trendstationäre Modell eigentlich das richtige Modell?
Das hat zwar unsere Schwierigkeiten mit dem nicht zeitkonstanten Erwartungswert lösen können,
weil wir jetzt hier einen zeitabhängigen Erwartungswert haben,
aber wir haben immer noch die Frage offen,
ob denn das angemessen ist, anzunehmen,
dass das Alpha betragsmäßig kleiner als eins ist.
Wir brauchen das überall hier,
weil wir immer durch eins minus Alpha oder durch eins
minus Alpha teilen und das können wir halt nur machen,
wenn das Alpha betragsmäßig kleiner als eins ist oder genau
genommen ist
Von eins verschieden ist. Aber es gibt eine gewisse Evidenz
dafür und die wird uns noch ziemlich beschäftigt halten,
dass das wahre Alpha vielleicht gerade bei als liegt.
Also Quintessenz, hier müssen die Alarmglocken wiederklingen. Wir haben
zwar ein schönes Modell erst mal entwickelt, transstationäres Modell.
Das erlaubt uns nicht zeitkonstant der Erwartungswerte und damit trennende Daten abzubilden.
Aber auch hier wissen wir nicht,
ob es sich um ein gutes Modell handelt
Und deshalb machen wir noch ein drittes Modell. Und dieses
Modell bezeichnet man auch in der deutschsprachigen Literatur stets als random Walk-Modell.
Einen ganz alten Arbeiten liest man gelegentlich auch Zufallsweg,
aber das ist eigentlich unüblich. Ich werde also auch den
englischsprachigen Begriff hier random Walk verwenden für das Modell, was jetzt kommt.
Denn jetzt blicken wir einfach mal der Realität ins Auge und sagen,
augenscheinlich ist das, was man so in der Zeitreihenanalyse am Anfang immer lernt,
dass Alpha-Betracht so kleiner als eins sein.
Das ist keine harmlose Annahme. Und es ist durchaus möglich
, dass das einfach gleich eins ist. Das heißt,
jetzt nehmen wir unseren ARRRR1, so wie wir ihn kennengelernt haben,
und sagen ganz brutal mal, was ist denn nun,
wenn das Alpha gleich eins ist
Was für Konsequenzen hätte das denn? Und warum ist der Fall so schwierig?
Der Fall ist in der Tat ein bisschen schwierig, ein bisschen hakelig,
aber es ist ein ganz wichtiger Fall empirisch, sich zu finden.
Also es gibt eine unglaublich große Literatur darüber,
ob dieses Alpha gleich eins ist in den unterschiedlichen Zeitreihenmodellen, die eingepasst werden.
Und wir werden viel davon auch behandeln in der Vorlesung.
Zunächst mal sieht die AR1-Gleichung dann wunderschön einfach aus.
YT ist YT Plus 1 plus UT. Also einfacher geht
es ja eigentlich gar nicht, würde man denken.
Da gibt es auch nichts mehr zu schätzen,
denn das Alpha, was ja bislang geschätzt haben,
das haben wir auf eins gesetzt, haben wir sozusagen so getan,
als wüssten wir schon,
was das wahre Alpha ist.
Und das Nü,
das ist verschwunden
Ich habe hier nämlich auch nü gleich null gesetzt.
Also es ist ein sehr spezieller Fall eines AR1-Prozesses,
aber ein besonders wichtiger Fall,
wenn wir das Alpha auf einsetzen und das auf null setzen,
dann nennen wir den Prozess,
der durch diese Gleichung 9 hier beschrieben wird, einen random Walk.
Und wenn man das nüll nicht auf null setzt,
dann würde man die Gleichung bekommen,
YT ist nü plus yT minus 1 plus UT.
Das ist immer noch eine sehr einfache Gleichung, denkt man.
Und dieses Ding heißt Random Walk mit Drift
Und trifft es sowas ähnliches wie ein Trend, wie sie gleich sehen werden.
Dieses Mühe, das bezeichnet, den trifft.
Manchmal liest man auch die trifft, ist mir egal.
Also nü ist der drifft Term, der in dieser Formulierung so überraschend,
das jetzt vielleicht zunächst wütend mag, den Trend ersetzt.
Dieses Mühsicher hier ausgehende harmlose Konstante, aber das ist alles andere
als eine harmlose Konstante, wie sie gleich sehen können.
Okay, das sind die beiden Random-Walk-Modelle, die wir betrachten werden.
Der allereinfachste Fall ist dieser hier, der reine Random-Walk mit nü gleich null.
Der empirisch relevantere Fall ist der hier Random-Walk mitdrift,
wo das Nü von null verschieden ist und typischerweise positiv ist
So, wenn wir dieses Modell nur nehmen,
was ist die Folgerung, die wir daraus ziehen können?
Im Falle eines reinen Random Walks,
jetzt erstmal ohne Driftherrn, gilt das Data YT,
also die Veränderung von YT, einfach nur UTs.
Nehmen Sie diese Gleichung hier und bringen Sie das YT
minus eins auf die andere Seite.
Sprich, Sie ziehen auf beiden Seiten YT minus eins ab.
Dann steht links YT minus YT minus 1,
das ist die Veränderung von YT und rechts steht nur noch
weißes Rauschen,
UT,
das UT ist weißes Rauschen
Also falle eines random Walks gilt, dass die Veränderung der
abhängigen Variablen, YT, dass die weißes Rauschen ist.
Das heißt, sie ist vollständig unprognostizierbar. Und insofern würde man zunächst
mal denken, dieses Rando-Walk-Modell ist für die Konjunkturanalyse nicht interessant.
Denn wenn das YT wieder der Logarithmus des Bruttoinlands-Produkts ist,
dann ist Data YT ja unser DGDP, die Zeitreihe,
die wir bereits bearbeitet haben, die wir schon geschätzt haben,
man würde es also sagen, diese Zeitreihe,
DGDP ist vollständig unprognostizierbar.
Das heißt, die weiß, die Wachstumsraten dem Bruttoinlandsprodukt weisen,
keinerlei Autokorrelation auf. Denn weißt Rauschen hat keine Autokorrelation.
Und wir hatten nun gerade gesehen, diese Wachstumsraten weisen sehr hohlautokorrelationen auf.
Und da hatten wir ja auch einen Alpha von 0,27 geschätzt,
was dieser Autokorrelation beschrieb und der ganze Autokorrelationsfunktion beschrieb.
Darüber habe ich am Anfang dieser Folge, die ist auch geredet.
Also zunächst mal möchte man meinen, das ist kein gutes Modell,
ebenfalls kein gutes Modell für unsere Korrekturanalyse. Wir werden aber später sehen,
dass wir das ein bisschen zusammenführen können,
diese Überlegung eines Random-Works und die Überlegung eines stationären Teils innerhalb einer Zeitreihe,
so wie wir das in der Analyse der Wachstumsraten schon gefunden haben.
Deshalb ist es schon sinnvoll, sich damit zu befassen.
Dieses random Walk-Modell hier hat also die Eigenschaft,
dass die Veränderung oft die Wachstumsrate oder auch die absolute Veränderung einer bestimmten Variablen,
dass die nicht prognostizierbar ist.
Und das ist ökonomisch deshalb ein sehr wichtiges Modell,
weil man solche Prozesse typischerweise in effizienten Märkten beobachtet.
Das Paradebeispiel dafür ist der Aktienmarkt. Man sagt ja,
Aktienmarkt ist ein effizienter Markt,
weil er ganz schnell fast sofort sämtliche Informationen verarbeitet,
die neu eingehen für Gewinne und die allgemeine wirtschaftliche Entwicklung der Unternehmen,
deren Aktien dort behandelt werden.
Das heißt, jede Information ist fast sofort, fast ohne Zeitverzögerung im Preis drin.
Und wenn also YT der Preis einer Aktie ist,
der Kurs einer Aktie ist,
dann ist dieser Kurs einer Aktie nicht prognostizierbar,
weil es keinerlei Informationen darüber gibt, wie ihr Morgen sein wird.
Denn alle Informationen, die wir heute haben,
ist im heutigen Preis schon enthalten.
Die Veränderung eines Braktienpreises ist nicht prognostizierbar
Es gibt gute Gründe anzunehmen, dass das so ist.
Denn wenn sie prognostizierbar wäre, dann könnte man ja Gewinne machen,
indem man entsprechend Aktien kauft und wer kauft auf der Basis der Prognosen.
Aber genau das, was man kauft und verkauft,
würde den Preis der Aktie eben hochtreiben und in der heutigen
digitalisierten Welt geht das so sekundenschnell innerhalb von Millisekunden eigentlich,
dass sofort alles,
was Leute aus einer Prognose an Informationen über die künftige Kursentwicklung ableiten,
wenn sofort im heutigen Preis drin ist und der künftige Preis wieder nicht prognostikleist.
Also das RandoWalk-Modell ist ein sehr wichtiges, ökonomisches Modell.
Es gibt gute Gründe anzunehmen, das ist die durch einen
Random Walk sehr gut betrieben werden. Es hat offengestanden,
viele Tests dieser Random Walk-Typothese auf Kapitalmärkten gegeben,
die oft zu dem Ergebnis geführt haben,
dass die Kapitalmärkte in der Tat effizient sind und die Preise auf den Kapitalmärkten Random Walk-Prozesse sind.
Nur für unsere Konjunkturanalyse scheint es nicht so das schönste Modell zu sein,
weil es eben sagen wird, es gibt keine Autokorrelation.
In den Wachstumsraten des Bruttoinlandsprodukts. Verhält sich das im Falle
eines Random Walks mittrifft, anders?
Nun, nicht wirklich. Denn im Falle eines Random Walks mittrifft,
wäre Delta YT, also die Wachstumsrate, gleich Konstantonym,
also der driftet her,
plus UT
Das heißt, ja, gewiss, die Veränderung ist prognostizierbar,
in dem Sinne, dass man weiß,
im Mittel ist sie Immany, aber das weiß jeder,
da kann man sich darauf einstellen und alles darüber hinaus ist wieder vollständig unprognostizierbar, weil es eben meistens Rauschen ist.
So, nun hatte ich ja schon mehrfach gesagt,
wenn Y ein Lugarithmus ist,
dann ist Delta Y aproximativ die Wachstumsreise von Y,
das heißt im Random Walk-Fall, sagen wir mal, mitdrift,
also wie positiv, aber es gilt auch für den einfachen Random Walk-Fall,
haben wir einen Erwartungswert von Delta Y ist gleich Mü,
das heißt, wir würden dann das Ergebnis haben,
die erwartete Wachstumsrate von Y ist konstant.
Entweder null, wenn es ein einfacher Random braucht ist oder irgendeine positive Zahl.
Und das würde sozusagen die konstante Steigung einer logarithmischen Teilreihe wiedergeben. Ja,
jetzt hatte ich Ihnen ja schon gesagt, bei dem einfachen Random-Walk-Modell,
sorry, hier, ist gar nichts zu schätzen.
Das Alpha und Farmen ist eins,
das haben wir von Anfang an so gesetzt,
sonst gibt es keine Parameter, ist nichts zu schätzen.
In Random Walk mittrifft, kann man natürlich grundsätzlich schätzen,
denn wir können dieses Nü hier schätzen,
das machen wir jetzt auch gleich.
Das Alpha brauchen wir nicht zu schätzen,
denn das haben wir
auf eins gesetzt
Das heißt, man würde, um sicherzustellen,
dass das einfach auch tatsächlich als eins besetzt wird.
Das Übs und Team minus eins auf die andere Seite der Gleichung
bringen und einfach ein Data YT regressieren auf eine Konstante.
Müh, naja, auf eine Konstantony und das alles.
Also schätzen wir mal ein Random Walk Modell mit Drift für das Bruttoinlandsprodukt GDP.
Das heißt, wir regressieren eine Konstante, regressieren Delta
GDPT einfach nur auf eine Konstante. Das heißt,
wir rechnen eigentlich nur den Mittelwert aus von Delta GDP.
Diese gleiche und hier wird geschätzt,
dann kriegen wir raus, Mühdach ist 0,00444,
Buch und plötzlich ist die T-Statistik für das Music Niveau
Bislang war die T-Statistik für unseren Nü immer in signifikant gewesen.
Wenn das Mühdach 0,0044 ist, dann ist das die Wachstumsrate pro Quartal.
Das bedeutet also, die mittlere Wachstumsrate ist ungefähr das Vierfache davon.
Ich habe jetzt hier einfach mal vier genommen.
Sie wissen, eigentlich mussten wir da E-Funktionen zugrunde liegen,
aber da spielt keine große Rolle. Die mittlere Jahreswachstumsrate ist also
ungefähr 1,76 Prozent für das reale Bruttoinlandsprodukt in den USA pro Kopf.
Das ist zumindest erstmal ein vernünftiger Wert, den wir daraus kriegen. Das ist durchaus realistisch,
dass die amerikanische Wirtschaft im langjährigen Durchschnitt beim realen Gruppe Inlandsprodukt,
pro Kopf, ein Wachstum von 1,76 Prozent,
also ein bisschen weniger als zwei Prozent pro Jahr gehabt hat.
So, nun kommt noch folgende Sache,
die ich Ihnen erklären muss, die sozusagen den Charme,
dieses Ryan Walk mitdrift, Modells ausmacht.
Und ich sagte eben schon,
diese scheinbare Konstante Mü ist nicht wirklich eine Konstante,
sondern das Gedrift Therm, der im Wesentlichen eine Art Trend bildet.
Also, meinen wahren Hinweis hier,
obwohl der Random Walk mittrifft,
keinen Trend Therm
zu enthalten scheint
Handelt es sich dabei um ein geeignetes Modell für viele Trenntende Daten.
Und das kommt folgendermassen zustande. Das Random Walk mit Drift-Modell
besagt ja YT ist gleich Nyplus YT minus 1 plus UT.
Und wir können jetzt wieder selber Verfahren praktizieren,
was wir auch sonst praktiziert haben, bei autoregressiven Prozessen.
Wir setzen einfach für das YT minus 1 dieselbe Gleichung nochmal ein.
Dann kriegen wir Nyplus in den runden Klammernstück YT minus 1.
Das ist nämlich Nyplus YT minus 2 plus UT minus 1.
Plus UT. Und das kann ich ein bisschen umsortieren.
Nyplus Ny ist 2 Many
Dann kommt ein Plus-Y-Thema, das 2. Und dann kommt hier U-T-Minus 1 plus U-T oder hier andersrum U-T plus U-T-Minus
1. Jetzt setze ich für das Y-T-Minus 2 das wieder ein,
naja, und das ist nicht schwierig zu sehen,
dass dann da rauskommt,
dass es gleich 3-0 plus Y-T-Minus 3 plus U-T,
plus U-T minus 1 plus U-T minus 2. Hier bauen sich also wieder bestimmte Summen auf,
aber diesmal sind die Summen nicht von so einem Alpha abhängig.
Die U-Ts, die werden einfach summiert,
da steht kein Alpha-Hochtaum hier davor,
sondern es ist einfach die Summe taugleich null bis t-minus 1,
U-T-Minus taug die da letzten Endes rauskommt,
wenn nicht das Ganze jetzt über Tauptschritte hinweg macht
Nein, über Tische, Entschuldigung über Teeschritte hinweg mache.
Ich mache diese Substitutionen hier nämlich insgesamt Thema.
Hier habe ich, oder so teamminus ein, zwei,
genau genommen. Hier hatte ich noch nicht substituiert,
ja, bei T minus zwei hatte ich einmal substituiert.
Bei T minus drei hatte ich zweimal substituiert,
wenn ich hier zu T minus T, also zu Null komme,
dann habe ich T minus eins mal substituiert.
Ja, und da, wo T minus drei stand,
statt 3 Mü, wo T minus zwei stand,
statt 2 Mü, das heißt,
bei rotéminus T steht,
steht Thema nym
Das heißt, wir können das YT in diesem Random Walk mittrifft,
Modell schreiben, als Teammanym plus Y0 plus eine Summe von UTs,
ein kumuliertes Weißrauschen, was hier steht.
Und nun passen Sie auf. Hier steht plötzlich ein Trend her. Das,
was hier steht, das sieht genauso aus,
wie wir in dem Trendstationären Modell eine Konstante hatten,
die hat man Mühe 0 genannt, hier heißt die Y0,
das ist irgendein Anfangswert für unsere YT-Zeitreihe.
Und dann steht hier ein Trendherm,
der hängt nämlich Linie von dem Tee ab
Und hat den Steigungsparameter nüh. Das entspricht also dem Müh
eins in unserer früheren Lösung für das Trendstationäre Modell.
Das heißt, der Random Walk mittrifft, obwohl er zunächst
keinen Trend zu enthalten schien, hat sehr wohl einen Trend.
Und zwar hat er den Trend, der aus dem Drift hervorgeht.
Aus diesem Drift-Therm, der sein koeffizient geworden ist.
Hier steht also, wenn Sie es nochmal umschreiben wollen,
könnt ihr auch erst die Konstantin schreiben und dann den Trend-Therm.
YT ist eine konstante Y0, die gerade der irgendwie gegebene
Anfangswert dieser Zeitreihe ist.
Plus Nühmer Tee, also plus ein linearer Trend
Plus kumuliertes weißes Rauschen. Kurze Zusammenfassung, hierzu. Der stationäre AR1-Prozess mit Alpha
betragsmäßig kleiner als eins ist ungeeignet, umtrennende Daten abzulegen.
Aber ein AR1, der Alphagleich 1 setzt, ist geeignet,
getrennte Daten. Ob er für die Konjunkturanalyse geeignet ist,
mag man bezweifeln, denn wie ich ihnen sagte,
die Wachstumsreiten habe keine Autokorrelation.
Das Problem ist man noch beheben. Aber der AR1 mit
Alphagleich 1 ist geeignet für Trennende Daten und wir haben gesehen,
in unseren bisherigen Schätzungen haben die Daten sich ziemlich Mühe gegeben
in die Nähe von Alphagleich 1
zu kommen
Das Witzige ist, dass die Eigenschaften des AR1-Modells sich diskontinuierlich verändern,
wenn in diesem AR1-Modell der Übergang von Alra Kleiner 1
auf euer Gleich 1 erfolgt.
Da wird nämlich plötzlich aus einem stationären Modell,
was keinem Trend aufweist, ein Modell, was einen Trend hat.
Deshalb ist das Diskontinuierlich. Man spricht in dem Fall von Alpha
gleich 1 oft von einem Einheitswurzelprozess.
Im englischen Unit Route
Das können Sie im Augenblick noch nicht verstehen,
warum man das Einheitswurzelprozess nennt, aber es wird mir bestimmt passieren,
dass ich gelegentlich von Einheitswurzelprozess spreche im Laufe der Vorlesung.
Deshalb sage ich es Ihnen jetzt schon mal,
Einheitswurzelprozess heißt in Bezug auf den AR1, einfach das Pfeffer gleich. Eins ist,
tatsächlich bezieht sich das auf die Nullsteller eines gewissen Polynoms,
über das wir später reden werden,
mal sich also keine Gedanken im Augenblick darüber,
wo der Begriff herkommt, sondern indem sie es einfach zur Erkenntnis,
wenn ich von Einheitswurzelprozess spreche,
dann ist das im Fall des AR1 einfach ein Prozess mit aller Vergleich
1. Jetzt hatte ich Ihnen eingangs der Vorlesung versprochen,
dass wir nun auch ökonomische Schlüsse ziehen werden aus dem
bisherigen Befutter
Und das machen wir jetzt. Zunächst, bei dem wir
nochmal zu der Darstellung, die wir hier gerade abgeleitet haben.
Wir haben gesagt, YT ist, gibt es nur null
plus Thema, Mü plus kubuliertes, weißes Rauschen.
Jetzt sehen Sie sofort, wie die Impulsantwortfunktion hier ist.
Die ist nämlich konstant gleich eins. Jeder Schock-UT oder UT-T
hat einen Effekt von eins auf das YT.
Hier steht kein Alpha hoch tau oder taubetrag oder sowas Ähnliches mehr
davor. Hier steht immer eins vor jedem UT-Tau
Das heißt, jeder Schock, der die Ökonomie trifft,
hat eine dauerhafte, nicht abklingende Wirkung, falls es richtig wäre,
ein solches Random Walk mit Drift-Modell den Daten anzupassen.
Früher haben die Konjunkturanalytiker oft gesagt, das ist ein unsinniges Modell.
Denn es gibt keine Chocs, die nicht abklingen. Und das,
was man ihnen in der Makro wahrscheinlich beigebracht hat über Konjunktur,
vielleicht war ich es sogar, je nachdem,
wann die Makro gehört haben, war nicht sehr viel.
Aber meistens hat man, eigentlich gibt es in den Makrovorlesungen
üblicherweise drei Sachen, die man Studienanfängern beibringt, über Konjunktur.
Entweder man sagt, es gibt irgendwie Konjunktur und man kann
was dagegen machen mit Fiskalpolitik, Staatsausgaben, aus denen beispielsweise,
wenn eine Rezession da ist.
Oder es gibt irgendwie Konjunktur und man kann was dagegen machen mit Geldpolitik,
Geldmenge aus denen Zinsen senken oder wie auch immer.
Diese beiden Mechanismen sind nicht wirklich eine Konjunkturtheorie,
das ist eher eine Konjunkturbekämpfungstheorie und noch nicht mehr unbedingt eine besonders gute.
Aber sie legt natürlich nahe, dass Staatsausgaben konjunkturelle Wirkungen haben.
Also man könnte auch sagen,
vielleicht geht Konjunktur sogar auf Ernstausgaben zurück
Oder vielleicht geht Konjunktur auf Geldpolitik zurück. Mit dem Friedmann war sehr stark
der Auffassung, dass Konjunktur eigentlich auf falsche Geldpolitik zurückgeht.
Und man kann denselben Punkt auch für Staatsausgaben machen.
Vielleicht ist es der Staat selbst,
der durch eine bestimmte Form von Staatsausgabenpolitik und Tour hervorruft.
Das sind eigentlich die Sachen, die man üblicherweise im Grundstudium, im Bachelorstudium,
in den ersten Bereich Semestern ungefähr in den Makrofonlesungen lehrt.
Manchmal kommt auch noch hinzu, dass sogenannte Multiplikator Akzelerator-Modell,
wo man irgendwie sagt, ja, wenn bestimmte Investitionstätigkeit erfolgt,
dann gibt es unter bestimmten Umständen so einen Akzelerator-Mechanismus.
Und dadurch kann sich die Investitionstätigkeit manchmal sehr stark verstärken und
wieder abschwächen. Und dann gibt es Zyklen,
das kann man ja auch ausrechnen, wie die rauskommen.
Also auch private Investitionstätigkeit könnte ein Auslöser für Content Plus sein
Sprich, aus ihrer bisherigen Ausbildung, aus ihren Mikrofonlesungen,
haben sie möglicherweise eine Vorstellung mitgebracht,
dass Konjunktur erzeugt werden kann,
wo durch Geldpolitik oder durch Staatsausgabenpolitik oder durch private Investitionen.
Das ist eigentlich alles recht privilegal, sagen will.
Und lange Zeit haben Konjunkturanalytiker gesagt,
dass Random Walk mit Driftmodell kann kein gutes Modell sein,
denn sowohl geldpolitische Impulse klingen irgendwie ab
Haben wir nach einem gewissen Tag keine reale Wirkung mehr,
weil sie sich in Preiswirkungen niederschlagen und dann ihre Realen Wirkungen verschwinden.
Staatsausgabenpolitik, naja, was bedeutet das schon? Also selbst wenn es günstig ist,
dann würde der Staat irgendwie ein bisschen Infrastruktur finanzieren.
Die nützt sich im Laufe der Zeit ab,
dann ist die nicht mehr so produktiv.
Also die Wirkung der finanzierten Infrastruktur klingt im Zeitablauf ab.
Aber meistens macht der Staat eher konsumtive Ausgabenpolitik,
deren Wirkung ist sowieso eher kurzfristig, die klingt auch ab.
Und für private Investitionen, die im Rahmen, sagen wir mal,
eines Multiplikator-Accelerator-Modells konjunkturerklärend sein können, gilt natürlich dasselbe.
Da kauft ein Unternehmer irgendwelche Maschinen und die nutzt dann eine
gewisse Anzahl von Jahren und dann verschleißen die natürlich auch.
Und der Effekt dieser Anfangsinvestition muss abklingen
Das heißt, die Konjunkturanalytiker haben früher oft gesagt,
wir können kein Modell brauchen, wo die Schocks eine dauerhafte Wirkung haben,
wo sozusagen irgendet ein Schock,
der zurzeit von Christi Geburt auf die Ökonomie getroffen ist,
heute noch immer die gleiche Wirkung hat,
die zurzeit von Christi Geburt.
Das ist ein unsinniges Modell. Und das wirkt ja vielleicht
auch auf den ersten Blick plausibel. Denn die Impulsantwortfunktion eines
solchen Random Walks Modells ist eben konstant gleich eins.
Das heißt, der Effekt eines Schocks stirbt nie aus
Jetzt wollen wir aber anbieten der Tatsache, dass die Daten
uns gezeigt haben. Irgendwie sind die Daten doch so,
dass das Alpha vielleicht sehr nah an Eins ist.
Und vielleicht war noch nicht mal signifikant verschieden von Eins her.
Also vielleicht ist das wahre Alphagleich Eins.
Da kam jetzt in den 80er Jahren des letzten Jahrhunderts,
also vor ungefähr 40 Jahren, kamen plötzlich Leute an und sagten,
Leute, lasst uns mal ernst nehmen, was die Daten sagen.
Die Daten verlangen nach der Vergleich 1. Und deshalb müssen wir
vielleicht einfach darüber nachdenken, ob sich doch eine vernünftige Interpretation dafür gibt für Alphagleich 1.
Und die Überlegung war jetzt die, dass man sagt,
wenn es Schocks gibt, die eine nicht abklingende Wirkung haben,
so wie das in einem solchen Random-Walk-Modell der Fall ist,
dann müssen das Ideelle Schocks sein.
Ich werde das gleich erklären, was ideelle Schocks sind.
Also könnte ich vorstellen, Ideen. Denn alles Physische,
alle physischen Schocks sind irgendwie dem Verfall, dem Verschleiß, der Verflachung ausgesetzt.
Also wenn ein solches Modell hier tatsächlich von den Daten verlangt werden sollte,
was wir noch verifizieren müssen, aber wofür wir gewisse Indizien gesehen haben,
dann können die Schocks, die wir hier drin haben,
nicht Schock sein, die irgendwie verschleißt oder der Verflachung ausgesetzt sind.
Das heißt, es kann eigentlich nicht eine physische Investition in Maschinen sein,
wie im Multiplikator-Akzelerator-Modell. Und es kann nicht eine Infrastruktur sein,
die im Laufe der Zeit ihm doch verschleißen würde,
wie das Kapitalbestand nun einmal tut.
Und es kann auch nicht irgendwie Geldpolitik sein,
in Geldpolitik wird sich irgendwie in die Preise umsetzen.
Und der Geldpolitische Effekt verflachtet. Sondern es könnten ideelle Schock sein und unter ideellen Schocks haben diese Leute,
deren Namen mit Presscott und Pitland und so assoziiert ist,
sind mit ideellen Schocks, haben sie gemeint,
es könnten ja neue, ökonomisch relevante Ideen sein,
die im weitesten Sinne technologisch sind.
Also eine technologische Innovation ist im Wesentlichen eine Erfindung.
Und der Effekt einer Erfindung kann man jetzt sagen,
der flacht eigentlich überhaupt nicht ab. Die Erfindung ist ja
nun mal da und solange sie nicht vergessen wird,
kann man die Erfindung heute noch genauso gut nutzen,
wie man sie zu Jesu Christi Geburt genutzt hat
Freilich spielen Erfindungen zurzeit Jesu Christi, was weiß ich,
Innovationen in der Landwirtschaft. Heute nur noch eine sehr untergeordnete
Rolle, weil man vielleicht inzwischen bessere Erfindungen gemacht hat.
Oder weil die Produktivitätsgewinne, die man damals gemacht hat,
so klein gewesen sind, vergleichbar zu dem,
was wir heute an technischen Möglichkeiten und Produktivität haben,
dass das kaum noch messbar ist.
Aber grundsätzlich ist natürlich eine gewisse Erfindung,
die man gemacht hat und sei es in der Jugendsteinzeit,
die Töpferscheibe oder sowas ähnliches.
Das Prinzip wird noch heute genutzt, im Führung modernerer Produktion,
wenn irgendwie Keramik war, hergestellt werden.
Der Effekt der Töpferscheibe ist heute wahrscheinlich noch genauso irgendwo in
den Daten drin. Wir zur Jugendzeit, Kleinzeit da waren,
nur ist er zu der Zeit besser zu sehen gewesen,
weil es da viele andere technologische Innovationen noch nicht gegeben hat
Also die Idee ist jetzt, vielleicht gibt es doch Schocks,
deren Wirkung nicht abflacht im Zeitablauf,
sondern die eine nicht aussterbende Wirkung haben.
Und dann müssten das technologische Innovationen sein,
wobei man technologisch hier im weitesten Sinne verstehen kann.
Also einschließlich effizienzsteigernde Ideen beispielsweise im Bereich von Organisationen,
Management, Marktordnung, Governance und so etwas.
Da können viele, viele Ideen entwickelt werden,
auf die
man plötzlich poppt
Auktionsverfahren zum Beispiel, die irgendwie Effizienz steigert sind.
Und dann ist die Idee da und dann versteigert man
UMTS-Lizenzen oder Mobilfunklizenzen oder sowas in bestimmten Optionsverfahren.
Und die haben bestimmte Effizienzeigenschaften. Und das ist heute
gültig und das ist in 100 Jahren immer noch gültig,
dass diese Auktionsverfahren, diese Effizienzeigenschaften haben.
Also es geht nicht nur um technische Innovationen,
sondern es geht um Technologie im allerweitesten Sinne unter Einschluss von allem,
was irgendwie das Funktionieren von Märkten betrifft und von Unternehmen betrifft.
Hauptsache es ist eine Idee, die grundsätzlich unendlich lange nutzbar
Und deshalb, hier sind wir jetzt, also an der Stelle,
wo wir lernen, aus der bisherigen statistischen Analyse.
Deshalb kamen Leute an wie Kündeln und Prescott und haben gesagt,
lasst uns doch mal einfach alles vergessen,
was wir bislang bis zum Ende der 70er Jahre,
als Konjunktururursachen betrachtet haben.
Weil die Daten zunächst einmal suggerieren, sie werden von Ideen getrieben,
von ideellen Shops getrieben, von technologischen Ideen trieben.
Lass uns doch mal ein Modell bauen,
wo Konjunktur nur erzeugt werden kann durch technische Ideen.
Nämlich deshalb, weil man aus dem Modell qua Annahme
alles andere rausgeschmissen hat
Hat damals Modelle gebaut, wo man gesagt hat,
wir nehmen einfach an, es gibt keinen Staat.
Damit hatte sich das Problem der Staatsausgaben erledigt.
Es gab keine Staatsausgaben in dem Modell.
Nehmen wir mal an, es gibt kein Geld. Ja,
die Zentralbank wurde rausgeschmissen aus den Modellen,
Geld gab es nicht, es gab nur noch Güterhandel,
Buttertrade, also Tauschhandel oder irgend sowas, ähnlicher Preise,
zu denen irgendwas getauscht wurde.
Transaktionen hat man einfach angenommen, Laufen, trotzdem unheimlich schnell ab.
Die können also auch nicht dazu beitragen, dass irgendwie konjunkturelle Schwankungen gibt.
Wir nehmen an, es gibt keinen Staat,
wir nehmen an, es gibt kein Geld, wir nehmen an,
es gibt keine Außenwirtschaft, die irgendwie etwas stören kann.
Wir bauen eine Wirtschaft, in der die Produktion
nur von technologischen Stocks getrieben wird
Und dann gucken wir uns an,
wie in einem Ideal funktionierenden System von Märkten diese technologischen Shops
wirken und was für Zeitreiheneigenschaften der Output in einem solchen,
ich sage jetzt mal, etwas negativen Mickey-Maus-Modell hat.
Aber mit ihrem Haus ist kein ganz netter Ausdruck,
denn das hatte seinen didaktischen Grund, dass man das so machen wollte.
Man wollte einfach alle anderen möglichen Konjunktururursachen,
die man bislang als Kandidaten so untersucht hat,
die wollte man rausschließen oder dann gibt es überhaupt nicht.
Wir gucken uns jetzt mal nur ideelle Shops an.
Nur Schocks an deren Wirkung
nicht abklebt
Die meisten Ökonomen zu der Zeit haben gesagt, er kann ja nicht viel Gescheites rauskommen.
Und die große Überraschung war, da kamen Zeitreihen raus,
die gar nicht so ganz unähnlich den Zeitreihen sind,
die wir tatsächlich in der Empiri beobachten. Also sozusagen,
wenn man ein solches Modell baute und das mit irgendwelchen Schocks simulierte,
die man im Computer erzeugt und sagen,
das sind technologische Shots und so war das Modell gebaut,
dass das eben nur technologisches Shop sein konnten,
dann konnte man das ganze Modell simulieren und sich künstliche Zeitreihen erzeugen und diese künstlichen Zeitreihen,
sahen zumindest auf den ersten Blick,
den in der Empirie beobachteten Zeitreihen erstaunlich ähnlich.
Das heißt,
sie hatten ähnliche Zeitreihen, Eigenschaften
Und hier sind wir jetzt an der Stelle und ich schließe jetzt die Vorlesung gleich.
Wir sind jetzt an der Stelle, wo wir gelernt haben
aus der Zeitreihenanalyse, ein bestimmtes ökonomisches Modell zu motivieren.
Nämlich das sogenannte Real-Business-Cycle-Modell, also das Modell realer von Hypozyklen,
wo man gesagt hat, Konjunktur wird nur erzeugt durch Reale
und damit war gemeint durch technologische Schocks, die nicht aussterben.
Und dieses Modell ist dann sehr lange,
sehr intensiv erforscht worden und später auch kontrovers diskutiert worden und
wir werden das auch machen und werden in den nächsten Stunden
erarbeiten,
das spricht für dieses Modell
Man spricht gegen dieses Modell. Aber sie haben hoffentlich,
jetzt an meiner relativ ausführlichen Darstellung verstanden,
wie man aus der Zeitreihenanalyse und der Außennutzung der Eigenschaften,
die man aus verschiedenen Zeitreihenmodellen gewinnen kann und unter der Ausnutzung von ökonometrischen Ergebnissen,
erstmalig ihr eine Hypothese formuliert darüber,
wie von der Tour zustande kommt,
was Konjunktur treibt.
Hier will ich stoppen,
ich schließe schon mal
die Aufzeichnung